线性代数试卷及答案

考试科目： 线性代数

考试类型：（闭卷） 考试时间： 120 分钟

学号 姓名 年级专业

一. 选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题的选项中，只有一项符合要求，把所选项前的字母填在题中括号内

1.设n B A 均为,阶方阵，则必有（ D ）

(A) B A B A +=+

(B) BA AB = (C) 111)(---+=+B A B A

(D) BA AB =

2. 已知,A B 均为n 阶实对称矩阵，且都正定，那么AB 一定是( C )

(A) 对称矩阵 (B) 正定矩阵 (C) 可逆矩阵 (D) 正交矩阵

3．设矩阵142242A ab a 2 1⎛⎫ ⎪

=2 + ⎪ ⎪ + ⎝⎭

的秩为2，则( C )

(A) 0,0a b ==

(B) 0,0a b =≠ (C) 0,0a b ≠=

(D) 0,0a b ≠≠

4．设A 为3阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，A 的行列式|A |=2，则2*-A =（ A ）

5. 设 (),ij n n A a ⨯=且A 的行列式A =0, 但A 中某元素kl a 的代数余子式 0,kl A ≠ 则齐次线性方程组0AX =的基础解系中解向量个数是( A )

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）

6. 设四阶行列式D 的第四列元素分别为1,0,2,3且他们对应的余子式分别为2,3,1,2-，则D=______2_______．

7. 向量[1,4,0,2α=与

[2,2,1,3]β=-的距离和内积分别为_________和___0____.

8. 设向量组(1,0,1),(2,,1),T T k ==-αβ(1,1,4)=--T γ线性相关，则k =___1___.

(A) 52-

(B) 32-

(C) 32

(D) 52

(A) 1 (B) k (C) l (D) n

9. 已知二次型222

123112132233

(,,)2245f x x x x x x x x x x x x λ=+-+++正定, 则λ的取值范围为 ．

10. Matlab 软件中，在命令窗口输入rank(ones(2,3))，显示ans= ．

三、计算题

11.(8分) 已知100110,021A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭131011,

002B ⎛⎫

⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭

求:2T A B A -.

12.（8分）计算行列式

1111

1111

11111111

D -=

--.

四、解方程组

13. (10分) λ取何值时，线性方程组

⎪⎩⎪

⎨⎧-=+--=-+=+-1

311332

1321321x x x x x x x x x λ 有唯一解、有无穷多解、没有解？并在有无穷多解时，求出它的通解.

五、解答题

14.（10分）求向量组

1234(2,1,3,1),(3,1,2,0),(1,3,4,2),(4,3,1,1)T T T T αααα=-=-=-=-

的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示.

15. (7分) 求矩阵A=2000014000100009⎛⎫ ⎪

⎪ ⎪- ⎪⎝⎭

的逆矩阵1A -.

16.(10分) 设2阶矩阵A 的特征值为1，2，对应的特征向量依次为

1201,,11αα⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

.

（1）求矩阵A ; （2）求2010A .

17.（6分） 求二次型112212(,)34x f x x x ⎛⎫

⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

的矩阵A ，并求f 的秩.

六、证明题

18.(6分) 设A ，B 都是n 阶矩阵，AB A B =+，证明 （1）A E -，B E -都可逆； （2）AB BA =.

参考答案和评分标准

一. 每小题3分，共15分， 1. D 2. C 3. C 4. A 5. A

二 每小题4分，共20分 6. 2

7.

0 8. 1

9. 4

05

λ-<<

10. 1 三.

11. 满分8分

110012001T A -⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

,

………………………2分 122013002T A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

………………………5分

1222213040T A B A -⎛⎫ ⎪

-=- ⎪ ⎪-⎝⎭

………………………8分

12. 满分8分

8-

（用行列式性质或行列式定义，适当给步骤分） ………………………8分

四

13. 满分10分

131111

111111()11110422042231104320010R A b λλλ-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪

==---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---++⎝⎭⎝⎭⎝⎭

……………………5分 1,()()3R A R B λ∴≠-==当时有唯一解

1,()()23R A R B λ=-==<当时有无穷多解 ……………………7分

11111100,0422021100000000R ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪

-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

此时

基础解系为 ()1,1,2T ξ=， 特解为 ()0,0,1T

η=

…………………10分

五

14. 满分10分

12342314113311332314(,,,)3241324110211021A αααα--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--

⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭

………2分 11331133102105510011201120551000000000011200000000-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭

………6分 12312412() 2.,R A αααααααα∴=就是一个极大无关组,且=2-,=-+2 …10分

15. 满分7分

1100020140001010009A -⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪

=

⎪- ⎪

⎪ ⎪

⎝

⎭ (用初等变换或定义或分块矩阵，适当给步骤分) ………7分

16. 满分10分