2011雅礼实验班招生数学试卷
湖南省长沙市雨花区雅礼实验中学九年级(上)第一次月考数学试卷含解析
湖南省长沙市雨花区雅礼实验中学九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（在下列各题的选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本小题共12个小题，每小题3分，共36分）1．（3分）﹣2017的绝对值是（）A．﹣2017 B．﹣C．2017 D．2．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（）A．a＞3 B．a≥3 C．a＜3 D．a≤33．（3分）下列计算正确的是（）A．a3•a3=a9 B．（a+b）2=a2+b2C．a2÷a2=0 D．（a2）3=a64．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．6．（3分）下列说法正确的是（）A．“打开电视机，正在播放体育节目”是必然事件B．了解夏季冷饮市场上冰淇淋的质量情况适合用普查C．抛掷一枚普通硬币，“这枚硬币正面朝上”，这一事件发生的概率为D．甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩的平均数相同，方差分2=0.3，S乙2=0.5，则乙的射击成绩较稳定别是S甲7．（3分）如图，直线AB，CD被直线EF所截，∠1=55°，下列条件中能判定AB ∥CD的是（）A．∠2=35° B．∠2=45°C．∠2=55°D．∠2=125°8．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（x，y）向左平移2个单位长度到点P，则点P的坐标为（）A．（x+2，y）B．（x﹣2，y）C．（x，y+2）D．（x，y﹣2）9．（3分）甲、乙两超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市连续两次降价10%，乙超市一次性降价20%，在哪家超市购买此种商品更合算（）A．甲B．乙C．同样D．与商品的价格有关10．（3分）对于二次函数y=﹣（x﹣1）2+2的图象与性质，下列说法正确的是（）A．对称轴是直线x=1，最小值是2B．对称轴是直线x=1，最大值是2C．对称轴是直线x=﹣1，最小值是2D．对称轴是直线x=﹣1，最大值是211．（3分）如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3米，CA=1米，则树的高度为（）A．3米 B．4米 C．4.5米D．6米12．（3分）如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点F，E分别以相同的速度从D，C两点同时出发向C和B运动（任何一个点到达即停止），过点P作PM∥CD交BC于M点，PN∥BC交CD于N点，连接MN，在运动过程中，则下列结论：①△ABE≌△BCF；②AE=BF；③AE⊥BF；④CF2=PE•BF；⑤线段MN的最小值为．其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）13．（3分）世界文化遗产长城总长约6700 000m，用科学记数法表示这个数为．14．（3分）因式分解：2x2﹣8=．15．（3分）如果关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是．16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若AB=1.5，则DE=．17．（3分）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8cm，DC=2cm，则OC=cm．18．（3分）如图，已知反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象经过点A，过A点作AB⊥x轴，垂足为B．若△AOB的面积为1，则k=．三、解答题（本大题共8小题，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）．19．（6分）计算：|﹣3|+（+π）0﹣（﹣）﹣2．20．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，请在2，﹣2，0，3当中选一个合适的数代入求值．21．（8分）为调查广西北部湾四市市民上班时最常用的交通工具的情况，随机抽取了四市部分市民进行调查，要求被调查者从“A：自行车，B：电动车，C：公交车，D：家庭汽车，E：其他”五个选项中选择最常用的一项，将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题：（1）在这次调查中，一共调查了名市民，扇形统计图中，C组对应的扇形圆心角是°；（2）请补全条形统计图；（3）若甲、乙两人上班时从A、B、C、D四种交通工具中随机选择一种，则甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率是多少？请用画树状图或列表法求解．22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为AB、AC边上的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，连接AF、CD．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若BC=8，AC=6，求四边形ABCF的周长．23．（9分）松雷中学图书馆近日购进甲、乙两种图书，每本甲图书的进价比每本乙图书的进价高20元，花780元购进甲图书的数量与花540元购进乙图书的数量相同．（1）求甲、乙两种图书每本的进价分别是多少元？（2）松雷中学计划购进甲、乙两种图书共70本，总购书费用不超过4000元，则最多购进甲种图书多少本？24．（9分）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA 的延长线于点E，连接AD、DE．（1）求证：D是BC的中点；（2）若DE=3，BD﹣AD=2，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求弦AE的长．25．（10分）对平面直角坐标系中的点P（x，y），定义d=|x|+|y|，我们称d为P（x，y）的幸福指数．对于函数图象上任意一点P（x，y），若它的幸福指数d ≥1恒成立，则称此函数为幸福函数，如二次函数y=x2+1就是一个幸福函数，理由如下：设P（x，y）为y=x2+1上任意一点，d=|x|+|y|=|x|+|x2+1|，∵|x|≥0，|x2+1|=x2+1≥1，∴d≥1．∴y=x2+1是一个幸福函数．（1）若点P在反比例函数y=的图象上，且它的幸福指数d=2，请直接写出所有满足条件的P点坐标；（2）一次函数y=﹣x+1是幸福函数吗？请判断并说明理由；（3）若二次函数y=x2﹣（2m+1）x+m2+m（m＞0）是幸福函数，试求出m的取值范围．26．（10分）如图①，直线y=x+4交于x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线F1交x轴于另一点B（1，0）．（1）求抛物线F1所表示的二次函数的表达式．（2）若点M是抛物线F1位于第二象限图象上一点，求△AMC的面积最大时点M的坐标及S△AMC的最大值．（3）如图②，将抛物线F1沿y轴翻折并“复制”得到抛物线F2，点A、B与（2）中所求的点M的对应点分别为A′、B′、M′，过点M′作M′E⊥x轴于点E，交直线A′C于点D，在x轴上是否存在点P，使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C 相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．湖南省长沙市雨花区雅礼实验中学九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（在下列各题的选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本小题共12个小题，每小题3分，共36分）1．（3分）﹣2017的绝对值是（）A．﹣2017 B．﹣C．2017 D．【分析】根据绝对值的定义即可解题．【解答】解：∵|﹣2017|=2017，∴答案C正确，故选：C．【点评】本题考查了绝对值的定义，绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离．2．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（）A．a＞3 B．a≥3 C．a＜3 D．a≤3【分析】根据二次根式与分式有意义的条件即可求出a的范围．【解答】解：由题意可知：a﹣3＞0∴a＞3故选：A．【点评】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．3．（3分）下列计算正确的是（）A．a3•a3=a9 B．（a+b）2=a2+b2C．a2÷a2=0 D．（a2）3=a6【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式=a6，不符合题意；B、原式=a2+2ab+b2，不符合题意；C、原式=1，不符合题意；D、原式=a6，符合题意，故选：D．【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式3x+4≤13，得：x≤3，解不等式﹣x＜1，得：x＞﹣1，则不等式组的解集为﹣1＜x≤3，故选：D．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．6．（3分）下列说法正确的是（）A．“打开电视机，正在播放体育节目”是必然事件B．了解夏季冷饮市场上冰淇淋的质量情况适合用普查C．抛掷一枚普通硬币，“这枚硬币正面朝上”，这一事件发生的概率为D．甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩的平均数相同，方差分2=0.3，S乙2=0.5，则乙的射击成绩较稳定别是S甲【分析】分别利用概率的意义以及抽样调查的意义以及方差的意义分析得出答案．【解答】解：A、“打开电视机，正在播放体育节目”是随机事件，故此选项错误；B、了解夏季冷饮市场上冰淇淋的质量情况应该采用抽样调查的方式，故此选项错误；C、抛掷一枚普通硬币，“这枚硬币正面朝上”，这一事件发生的概率为；正确；D、甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩的平均数相同，方差分2=0.3，S乙2=0.5，则甲的射击成绩较稳定，错误．别是S甲故选：C．【点评】此题主要考查了概率的意义以及抽样调查的意义以及方差的意义，正确把握相关定义是解题关键．7．（3分）如图，直线AB，CD被直线EF所截，∠1=55°，下列条件中能判定AB ∥CD的是（）A．∠2=35° B．∠2=45°C．∠2=55°D．∠2=125°【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：A、由∠3=∠2=35°，∠1=55°推知∠1≠∠3，故不能判定AB∥CD，故本选项错误；B、由∠3=∠2=45°，∠1=55°推知∠1≠∠3，故不能判定AB∥CD，故本选项错误；C、由∠3=∠2=55°，∠1=55°推知∠1=∠3，故能判定AB∥CD，故本选项正确；D、由∠3=∠2=125°，∠1=55°推知∠1≠∠3，故不能判定AB∥CD，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查了平行线的判定定理，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．8．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（x，y）向左平移2个单位长度到点P，则点P的坐标为（）A．（x+2，y）B．（x﹣2，y）C．（x，y+2）D．（x，y﹣2）【分析】利用平移规律计算即可得到结果．【解答】解：在平面直角坐标系中，将点P（x，y）向左平移2个单位长度到点P，则点P的坐标为（x﹣2，y），故选：B．【点评】此题考查了坐标与图形变化﹣平移，熟练掌握平移性质是解本题的关键．9．（3分）甲、乙两超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市连续两次降价10%，乙超市一次性降价20%，在哪家超市购买此种商品更合算（）A．甲B．乙C．同样D．与商品的价格有关【分析】此题可设原价为x元，分别计算出两超市降价后的价钱，再比较即可．【解答】解：设原价为x元，则甲超市价格为x×（1﹣10%）×（1﹣10%）=0.81x 乙超市为x×（1﹣20%）=0.8x，0.81x＞0.8x，所以在乙超市购买合算．故选：B．【点评】本题看起来很繁琐，但只要理清思路，分别计算降价后的价格是原价的百分之多少便可判断．渗透了转化思想．10．（3分）对于二次函数y=﹣（x﹣1）2+2的图象与性质，下列说法正确的是（）A．对称轴是直线x=1，最小值是2B．对称轴是直线x=1，最大值是2C．对称轴是直线x=﹣1，最小值是2D．对称轴是直线x=﹣1，最大值是2【分析】根据抛物线的图象与性质即可判断．【解答】解：由抛物线的解析式：y=﹣（x﹣1）2+2，可知：对称轴x=1，开口方向向下，所以有最大值y=2，故选：B．【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是正确理解抛物线的图象与性质，本题属于基础题型．11．（3分）如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3米，CA=1米，则树的高度为（）A．3米 B．4米 C．4.5米D．6米【分析】标注字母，判断出△ACD和△ABE相似，再利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．【解答】解：如图，由题意得，△ACD∽△ABE，∴=，即=，解得BE=6，即树的高度为6米．故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质．12．（3分）如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点F，E分别以相同的速度从D，C两点同时出发向C和B运动（任何一个点到达即停止），过点P作PM∥CD交BC于M点，PN∥BC交CD于N点，连接MN，在运动过程中，则下列结论：①△ABE≌△BCF；②AE=BF；③AE⊥BF；④CF2=PE•BF；⑤线段MN的最小值为．其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】由正方形的性质及条件可判断出①△ABE≌△BCF，即可判断出②AE=BF，∠BAE=∠CBF，再根据∠BAE+∠BEA=90°，可得∠CBF+∠BEA=90°，可得出∠APB=90°，即可判断③，由△BPE∽△BCF，利用相似三角形的性质，结合CF=BE 可判断④；然后根据点P在运动中保持∠APB=90°，可得点P的路径是一段以AB 为直径的弧，设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，最后在Rt△BCG中，根据勾股定理，求出CG的长度，再求出PG的长度，即可求出线段CP的最小值，可判断⑤．【解答】解：如图，∵动点F，E的速度相同，∴DF=CE，又∵CD=BC，∴CF=BE，在△ABE和△BCF中，∴△ABE≌△BCF（SAS），故①正确；∴∠BAE=∠CBF，AE=BF，故②正确；∵∠BAE+∠BEA=90°，∴∠CBF+∠BEA=90°，∴∠APB=90°，故③正确；在△BPE和△BCF中，∵∠BPE=∠BCF，∠PBE=∠CBF，∴△BPE∽△BCF，∴=，∴CF•BE=PE•BF，∵CF=BE，∴CF2=PE•BF，故④正确；∵点P在运动中保持∠APB=90°，∴点P的路径是一段以AB为直径的弧，设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，在Rt△BCG中，CG===，∵PG=AB=，∴CP=CG﹣PG=﹣=，即线段CP的最小值为，故⑤正确；综上可知正确的有5个，故选：D．【点评】本题为四边形的综合应用，涉及全等三角形、相似三角形的判定和性质、勾股定理、正方形的性质等知识点．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，证明△ABE≌△BCF是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）13．（3分）世界文化遗产长城总长约6700 000m，用科学记数法表示这个数为 6.7×106．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将6700 000m用科学记数法表示为：6.7×106．故答案为：6.7×106．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．14．（3分）因式分解：2x2﹣8=2（x+2）（x﹣2）．【分析】观察原式，找到公因式2，提出即可得出答案．【解答】解：2x2﹣8=2（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查提公因式法和公式法分解因式，是基础题．15．（3分）如果关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是m＜1．【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，a=1，b=﹣2，c=m∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×m＞0，解得m＜1．【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若AB=1.5，则DE= 4.5．【分析】根据位似图形的性质得出AO，DO的长，进而得出==，求出DE 的长即可．【解答】解：∵△ABC与DEF是位似图形，它们的位似中心恰好为原点，已知A 点坐标为（1，0），D点坐标为（3，0），∴AO=1，DO=3，∴==，∵AB=1.5，∴DE=4.5．故答案为：4.5．【点评】此题主要考查了位似图形的性质以及坐标与图形的性质，根据已知点的坐标得出==是解题关键．17．（3分）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8cm，DC=2cm，则OC=5cm．【分析】连接OA，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理R2=42+（R﹣2）2，计算求出R即可．【解答】解：连接OA，∵OC⊥AB，∴AD=AB=4cm，设⊙O的半径为R，由勾股定理得，OA2=AD2+OD2，∴R2=42+（R﹣2）2，解得R=5∴OC=5cm．故答案为5．【点评】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．18．（3分）如图，已知反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象经过点A，过A点作AB⊥x轴，垂足为B．若△AOB的面积为1，则k=﹣2．【分析】根据反比例函数的性质可以得到△AOB的面积等于|k|的一半，由此可以得到它们的关系．【解答】解：依据比例系数k的几何意义可得两个三角形的面积都等于|k|=1，解得k=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查反比例系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．该知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．三、解答题（本大题共8小题，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）．19．（6分）计算：|﹣3|+（+π）0﹣（﹣）﹣2．【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、绝对值3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：|﹣3|+（+π）0﹣（﹣）﹣2=3+1﹣4=0．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、绝对值等考点的运算．20．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，请在2，﹣2，0，3当中选一个合适的数代入求值．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式=•=当m=3时，原式=3【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．21．（8分）为调查广西北部湾四市市民上班时最常用的交通工具的情况，随机抽取了四市部分市民进行调查，要求被调查者从“A：自行车，B：电动车，C：公交车，D：家庭汽车，E：其他”五个选项中选择最常用的一项，将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题：（1）在这次调查中，一共调查了2000名市民，扇形统计图中，C组对应的扇形圆心角是108°；（2）请补全条形统计图；（3）若甲、乙两人上班时从A、B、C、D四种交通工具中随机选择一种，则甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率是多少？请用画树状图或列表法求解．【分析】（1）根据B组的人数以及百分比，即可得到被调查的人数，进而得出C 组的人数，再根据扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°进行计算即可；（2）根据C组的人数，补全条形统计图；（3）根据甲、乙两人上班时从A、B、C、D四种交通工具中随机选择一种画树状图或列表，即可运用概率公式得到甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率．【解答】解：（1）被调查的人数为：800÷40%=2000（人），C组的人数为：2000﹣100﹣800﹣200﹣300=600（人），∴C组对应的扇形圆心角度数为：×360°=108°，故答案为：2000，108；（2）条形统计图如下：（3）画树状图得：∵共有16种等可能的结果，甲、乙两人选择同一种交通工具的有4种情况，∴甲、乙两人选择同一种交通工具上班的概率为：=．【点评】此题考查了条形统计图、扇形统计图和概率公式的运用，解题的关键是仔细观察统计图并从中整理出进一步解题的有关信息，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为AB、AC边上的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，连接AF、CD．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若BC=8，AC=6，求四边形ABCF的周长．【分析】（1）根据旋转可得AE=CE，DE=EF，可判定四边形ADCF是平行四边形，然后证明DF⊥AC，可得四边形ADCF是菱形；（2）首先利用勾股定理可得AB长，再根据中点定义可得AD=5，根据菱形的性质可得AF=FC=AD=5，进而可得答案．【解答】（1）证明：∵将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，∴AE=CE，DE=EF，∴四边形ADCF是平行四边形，∵D、E分别为AB，AC边上的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∵∠ACB=90°，∴∠AED=90°，∴DF⊥AC，∴四边形ADCF是菱形；（2）解：在Rt△ABC中，BC=8，AC=6，∴AB=10，∵D是AB边上的中点，∴AD=5，∵四边形ADCF是菱形，∴AF=FC=AD=5，∴四边形ABCF的周长为8+10+5+5=28．【点评】此题主要考查了菱形的判定与性质，关键是掌握菱形四边相等，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．23．（9分）松雷中学图书馆近日购进甲、乙两种图书，每本甲图书的进价比每本乙图书的进价高20元，花780元购进甲图书的数量与花540元购进乙图书的数量相同．（1）求甲、乙两种图书每本的进价分别是多少元？（2）松雷中学计划购进甲、乙两种图书共70本，总购书费用不超过4000元，则最多购进甲种图书多少本？【分析】（1）设乙种图书每本的进价为x元，则甲种图书每本的进价是（x+20）元，根据花780元购进甲图书的数量与花540元购进乙图书的数量相同，列方程求解；（2）设购进甲种图书m本，则购进乙种图书为（70﹣m）本，根据总购书费用不超过4000元，列不等式求解．【解答】解：（1）设乙种图书每本的进价为x元，则甲种图书每本的进价是（x+20）元，由题意得，=，解得：x=45，经检验，x=45是原分式方程的解，且符合题意，则x+20=65．答：甲种图书每本的进价为65元，乙种图书每本的进价是45元；（2）设购进甲种图书m本，则购进乙种图书为（70﹣m）本，由题意得，65m+45（70﹣m）≤4000，解得：m≤42.5，∵m为整数，且取最大值，∴m=42．答：最多购进甲种图书42本．【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．24．（9分）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA 的延长线于点E，连接AD、DE．（1）求证：D是BC的中点；（2）若DE=3，BD﹣AD=2，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求弦AE的长．【分析】（1）根据圆周角定理求得AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质即可证得结论；（2）先求得∠E=∠C，根据等角对等边求得BD=DC=DE=3，进而求得AD=1，然后根据勾股定理求得AB，即可求得圆的半径；（3）根据题意得到AC=，BC=6，DC=3，然后根据割线定理即可求得EC，进而求得AE．【解答】（1）证明：∵AB是圆O的直径，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=DC；（2）解：∵AB=AC，∠B=∠C，∵∠B=∠E，∴∠E=∠C，∴BD=DC=DE=3，∵BD﹣AD=2，∴AD=1，在RT△ABD中，AB==，∴⊙O的半径为；（3）解：∵AB=AC=，BD=DC=3，∴BC=6，∵∠B=∠E，∠C=∠C，∴△EDC∽△BAC，∵AC•EC=DC•BC，∴•EC=3×6，∴EC=，∴AE=EC﹣AC=﹣=．【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用以及割线定理的应用，熟练掌握性质定理是解题的关键．25．（10分）对平面直角坐标系中的点P（x，y），定义d=|x|+|y|，我们称d为P（x，y）的幸福指数．对于函数图象上任意一点P（x，y），若它的幸福指数d ≥1恒成立，则称此函数为幸福函数，如二次函数y=x2+1就是一个幸福函数，理由如下：设P（x，y）为y=x2+1上任意一点，d=|x|+|y|=|x|+|x2+1|，∵|x|≥0，|x2+1|=x2+1≥1，∴d≥1．∴y=x2+1是一个幸福函数．（1）若点P在反比例函数y=的图象上，且它的幸福指数d=2，请直接写出所有满足条件的P点坐标；（2）一次函数y=﹣x+1是幸福函数吗？请判断并说明理由；（3）若二次函数y=x2﹣（2m+1）x+m2+m（m＞0）是幸福函数，试求出m的取值范围．【分析】（1）设点P的坐标为（m，），根据幸福指数的定义，即可得出关于m 的分式方程，解之经检验即可得出结论；（2）设P（x，y）为y=﹣x+1上的一点，分x＜0、0≤x≤1和x＞1三种情况找出d的取值范围，由此即可得出一次函数y=﹣x+1是幸福函数；（3）设P（x，y）为y=x2﹣（2m+1）x+m2+m上的一点，由y=x2﹣（2m+1）x+m2+m=（x﹣m）（x﹣m﹣1）且m＞0，可知分x≤0、0＜x＜m、m≤x≤m+1、x＞m+1四段寻找m的取值范围，利用配方法以及二次函数的性质结合幸福函数的定义即可求出m的取值范围，综上即可得出结论．【解答】解：（1）设点P的坐标为（m，），∴d=|m|+||=2，解得：m1=﹣1，m2=1，经检验，m1=﹣1、m2=1是原分式方程的解，∴满足条件的P点坐标为（﹣1，﹣1）或（1，1）．（2）一次函数y=﹣x+1是幸福函数，理由如下：设P（x，y）为y=﹣x+1上的一点，d=|x|+|y|=|x|+|﹣x+1|，当x＜0时，d=|x|+|﹣x+1|=﹣x﹣x+1=1﹣2x＞1；当0≤x≤1时，d=|x|+|﹣x+1|=x﹣x+1=1；当x＞1时，d=|x|+|﹣x+1|=x+x﹣1=2x﹣1＞1．∴对于y=﹣x+1上任意一点P（x，y），它的幸福指数d≥1恒成立，∴一次函数y=﹣x+1是幸福函数．（3）设P（x，y）为y=x2﹣（2m+1）x+m2+m上的一点，d=|x|+|y|=|x|+|x2﹣（2m+1）x+m2+m|，∵y=x2﹣（2m+1）x+m2+m=（x﹣m）（x﹣m﹣1），m＞0，∴分x≤0、0＜x＜m、m≤x≤m+1、x＞m+1考虑．①当x≤0时，d=|x|+|x2﹣（2m+1）x+m2+m|=﹣x+x2﹣（2m+1）x+m2+m=（x﹣m﹣1）2﹣m﹣1，当x=0时，d取最小值，最小值为m2+m，∴m2+m≥1，解得：m≥；②0＜x＜m时，d=|x|+|x2﹣（2m+1）x+m2+m|=x+x2﹣（2m+1）x+m2+m=（x﹣m）2+m﹣1≥1，∵（x﹣m）2≥0，∴m﹣1≥1，解得：m≥2；③当m≤x≤m+1时，d=|x|+|x2﹣（2m+1）x+m2+m|=x﹣x2+（2m+1）x﹣m2﹣m=﹣（x﹣m﹣1）2+m+1，当x=m时，d取最小值，最小值为m，∴m≥1；④当x＞m+1时，d=|x|+|x2﹣（2m+1）x+m2+m|=x+x2﹣（2m+1）x+m2+m=（x ﹣m）2+m﹣1＞m≥1，∴m≥1．综上所述：∴﹣（m+1）≥1，解得：若二次函数y=x2﹣（2m+1）x+m2+m（m＞0）是幸福函数，m的取值范围为m≥2．【点评】本题考查了二次函数的性质、完全平方公式、因式分解法解一元二次方程以及绝对值，解题的关键是：（1）根据幸福指数的定义，找出关于m的分式方程；（2）分x＜0、0≤x≤1和x＞1三种情况找出d的取值范围；（3）分x≤0、0＜x＜m、m≤x≤m+1、x＞m+1四段考虑．26．（10分）如图①，直线y=x+4交于x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线F1交x轴于另一点B（1，0）．（1）求抛物线F1所表示的二次函数的表达式．（2）若点M是抛物线F1位于第二象限图象上一点，求△AMC的面积最大时点M的坐标及S△AMC的最大值．（3）如图②，将抛物线F1沿y轴翻折并“复制”得到抛物线F2，点A、B与（2）中所求的点M的对应点分别为A′、B′、M′，过点M′作M′E⊥x轴于点E，交直线A′C于点D，在x轴上是否存在点P，使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C 相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据自变量与函数值得对应关系，可得A．C点坐标，根据待定系数法，可得答案；（2）根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；（3）根据待定系数法，可得函数解析式，根据相似三角形的性质，可得关于m 的方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：（1）令y=0代入y=x+4，∴x=﹣3，A（﹣3，0），令x=0，代入y=x+4，∴y=4，∴C（0，4），设抛物线F1的解析式为：y=a（x+3）（x﹣1），把C（0，4）代入上式得，a=﹣，∴y=﹣x2﹣x+4，（2）如图1，设点M（a，﹣a2﹣a+4），其中﹣3＜a＜0∵A（﹣3，0），B（1，0），∴OA=3，OB=1=OA•OB=，∴S△AOC过点M作MD⊥x轴于点D，∴MD=﹣a2﹣a+4，AD=a+3，OD=﹣a，。
湖南省长沙市雅礼实验中学2022-2023学年九年级上学期开学考试数学试题
湖南省长沙市雅礼实验中学2022-2023学年九年级上学期开
学考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
．．
．．
．舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计中国每年浪费的食物总量折合粮食约
A．2
=+
9．一次函数y ax b
图象可能是（）
．．．．
二、填空题
15．如图，在ABC 中，D ，E 分别为4AB =，7BC =，则EF 的长为
16．如图所示，已知二次函数y =点C ，对称轴为直线1x =．直线点在x 轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①③()x ax b a b +≤+；请写出所有正确选项的序号
三、解答题17．计算：()
(
1
2022
1231-⎛⎫
-+⨯ ⎪⎝⎭
-
(1)求该抛物线所对应的函数解析式；
0,4-，求出此时△AFP面积的最大值；
(2)如图1，当点F的坐标为()
(3)如图2，是否存在点F，使得△AFP是以AP为腰的等腰直角三角形？若存在，求出
所有点F的坐标；若不存在，请说明理由．。
2011年雅礼自主招生考试测试题
2011年雅礼自主招生考试测试题物 理◆考生注意：本卷满分130分，考试时间100分钟；一、单项选择题（共10小题，每小题3分，满分30分。
各小题给出的四个选有一个是正确的） 1．下列现象中，支持分子间存在引力的证据是A ．两块表面光滑的铅块相互紧压后会黏在一起B ．固体和液体很难被压缩C ．磁铁能吸引大头针D ．破镜不能重圆2．如图所示，密度均匀的木块漂浮在水面上，现沿虚线将下部分截去，则剩下的部分将A ．上浮一些B ．静止不动C ．下沉一些D ．无法确定3．作为2008年北京奥运会标志性场馆之一的“水立方”，其建筑设计充分体现 了“绿色奥运”的理念，如图所示。
下列对其屋顶设计的解释不正确的是A ．屋顶上设计临时悬挂的隔噪网，能减弱降雨时雨滴声造成的噪音B ．屋顶上设立多个自然排风机，能让室内的热量尽快散发出去C ．屋顶上采用透光性良好的特殊膜，能确保场馆白天尽可能采用自然光 照明D ．游泳池消耗的水大部分能从屋顶收集并反复使用，这是利用水的升华和液化形成的水循环 4．有些电工仪表的刻度盘上有一个弧形缺口，缺口下面有一面镜子，它的作用是A ．读数时使眼睛处于正确位置B ．增加刻度盘的亮度C ．检验仪表是否水平D ．便于观察仪表的内部结构5．如图所示，M 、N 两个线圈套在一根光滑绝缘杆ab 上，它们受力时都能自由移动。
当闭合电键K 后，M 、N 两线圈将A ．互相靠拢B ．互相离开C ．静止不动D ．先靠拢后分开6．A 、B 、C 、D 四个带电体，已知D 带正电，A 和C 互相排斥，C 和B 互相吸引， 而B 和D 也互相排斥，则A ．A 、C 带正电，B 带负电 B ．A 、C 带负电，B 带正电 C ．B 、C 带正电，A 带负电D ．A 所带电性不能确定7．烛焰通过凸透镜恰好在光屏上得到一个缩小倒立的像，若保持透镜位置不变，把烛焰与光屏的位置 对调一下，则A ．光屏上仍能呈现出一个缩小的像B ．光屏上将能呈现出一个放大的像C ．光屏上不能呈现出像，但眼睛透过透镜能看到像D ．光屏上没有像，需调节光屏的位置像才能呈现出来8．“蜻蜓点水”是常见的自然现象，蜻蜓点水后在平静的水面上会出现波纹。
2012雅礼省理科实验班考试
雅礼理科实验班考试试题（复试）1__________. 2．555的末尾三位数字是________.3．将正三角形每条边四等份，然后过这些分点作平行于其它两边的直线，则以图中线段为边的菱形个数为_______.4．某人将2008看成了一个填数游戏式：2□□8，于是他在每个框中各填写了 一个两位数ab cd 与，结果所得到的六位数28abcd 恰是一个完全立方数，则ab cd +=________.5．如图，在边长为1的正三角形ABC 中，由两条含0120圆心角的弓形弧 AOB ， AOC 及边BC 所围成的（火炬形）阴影部分的面积是 .6．已知实数b a ≠，且满足)1(33)1(2+-=+a a ，2)1(3)1(3+-=+b b .则b a a a b b+的值为________. 7．如果x 和y 是非零实数，使得3=+y x 和03=+x y x ，那么x +y 等于_______.8．一个一次函数图象与直线59544y x =+平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，并且过点（－1，－25），则在线段AB 上（包括端点A 、B ），横、纵坐标都是整数的点有_____个.9．已知21()()()4b c a b c a -=--且0a ≠，则b c a+＝ . 10．已知实数a 、b 、x 、y 满足2=+=+y x b a ，5=+by ax ，则=+++)()(2222y x ab xy b a ________.11．设a 为整数,使得关于x 的方程a 2x -(a+5)x+a+7=0至少有一个有理根，试求方程所有可能的有理根.12．为丰富学生的校园文化生活，振兴中学举办了一次学生才艺比赛，三个年级都有男、女各一名选手进入决赛，初一年级选手编号为男1号、女1号，初二年级选手编号为男2号、女2号，初三年级选手编号为男3号、女3号。
比赛规则是男、女各一名选手组成搭档展示才艺。
(1)用列举法说明所有可能出现搭档的结果；(2)求同一年级男、女选手组成搭档的概率；(3)求高年级男选手与低年级女选手组成搭档的概率13．如图，O、H分别是锐角△ABC的外心和垂心，D是BC边的中点，由H向∠A及其外角平分线作垂线，垂足分别是E是F.证明：D、E、F三点共线.14．120人参加数学竞赛，试题共有5道大题，已知第1、2、3、4、5题分别有96、83、74、66、35人做对，如果至少做对3题便可获奖，问：这次竞赛至少有几人获奖？。
雅礼数学试题及答案
雅礼数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是偶数？A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B2. 如果一个三角形的内角和为180°，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定答案：D3. 圆的周长公式是：A. C = 2πrB. C = πr²C. A = πr²D. A = 1/2πr²答案：A4. 以下哪个数是质数？A. 1B. 2C. 4D. 9答案：B5. 一个数的平方根是它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：A6. 一个数的立方根是它本身，这个数可以是：A. 0B. 1C. -1D. 所有选项答案：D7. 以下哪个是二次方程的解？A. x = 2B. x = -2C. x = 1D. x = 08. 一个数的绝对值是它本身，这个数是：A. 正数B. 负数C. 零D. 所有选项答案：A9. 一个函数的零点是函数值为零的点，以下哪个不是二次函数的零点？A. x = 2B. x = -2C. x = 1D. x = 0答案：B10. 一个数的对数是它本身，这个数是：A. 1B. 10C. eD. π答案：C二、填空题（每题2分，共20分）1. 一个数的平方等于16，这个数是______。
答案：±42. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，斜边的长度是______。
答案：53. 圆的半径为5，其面积是______。
答案：25π4. 一个数的立方是27，这个数是______。
答案：35. 一个数的对数以10为底，值为2，这个数是______。
答案：1006. 一个数的绝对值是5，这个数可以是______。
7. 一个二次方程的判别式为4，这个方程有两个______。
答案：实数根8. 一个数的平方根是2，这个数是______。
答案：49. 一个数的立方根是-2，这个数是______。
湖南长沙市雅礼中学等差数列测试题 百度文库
一、等差数列选择题1．设a ，0b ≠，数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n nn S a b n =---⨯+，*n N ∈，则存在数列{}n b 和{}n c 使得（ ）A ．n n n a b c =+，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列B ．n n n a b c =+，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列C ．·n n n a b c =，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D ．·n n n a b c =，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列 2．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则3810b b b =（ )A ．1B ．8C ．4D ．23．等差数列{}n a 中，22a =，公差2d =，则10S =（ ） A ．200B ．100C ．90D ．804．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和.若1476a a a ++=，则7S =（ ） A ．10-B ．8C ．12D ．145．等差数列{}n a 的公差为2，若248,,a a a 成等比数列，则9S =（ ） A ．72B ．90C ．36D ．456．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差1d =，且6210S S ，则34a a +=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．57．定义12nn p p p +++为n 个正数12,,,n p p p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为12n ，又2n n a b =，则1223910111b b b b b b +++=（ ） A ．817 B ．1021C ．1123 D ．9198．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3944a a a +=+，则15S =（ ） A ．45 B ．50C ．60D ．809．题目文件丢失！10．等差数列{}n a 中，12318192024,78a a a a a a ++=-++=，则此数列的前20项和等于（ ） A ．160B ．180C ．200D ．22011．已知等差数列{}n a ，且()()35710133248a a a a a ++++=，则数列{}n a 的前13项之和为（ ）A ．24B ．39C ．104D ．5212．已知等差数列{}n a 中，前n 项和215n S n n =-，则使n S 有最小值的n 是（ ）A ．7B ．8C ．7或8D ．913．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，31567a a a +=+，则23S =（ ） A ．121B ．161C ．141D ．15114．在等差数列{}n a 中，10a >，81335a a =，则n S 中最大的是（ ） A ．21SB ．20SC ．19SD ．18S15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =.定义数列{}n b 如下：()*1m m b m m+∈N 是使不等式()*n a m m ≥∈N 成立的所有n 中的最小值，则13519 b b b b ++++=（ ）A ．25B ．50C ．75D ．10016．已知数列{}n a 中，12(2)n n a a n --=≥，且11a =，则这个数列的第10项为（ ） A ．18B ．19C ．20D ．2117．已知数列{}n a 是公差不为零且各项均为正数的无穷等差数列，其前n 项和为n S .若p m n q <<<且()*,,,p q m n p q m n N +=+∈，则下列判断正确的是（ ）A ．22p p S p a =⋅B ．p q m n a a a a >C ．1111p q m n a a a a +<+ D ．1111p q m nS S S S +>+ 18．等差数列{}n a 中，若26a =，43a =，则5a =（ ） A ．32B ．92C ．2D ．919．已知{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且100S =，下列式子正确的是（ ） A ．450a a +=B ．560a a +=C ．670a a +=D ．890a a +=20．等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若231n n a n b n =+，则2121S T 的值为（ ）A ．1315B ．2335C ．1117 D ．49二、多选题21．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，若612S S =，则下列结论中正确的有（ ） A ．1:17:2a d =-B ．180S =C ．当0d >时，6140a a +>D ．当0d <时，614a a >22．题目文件丢失！23．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若30S =，46a =，则（ ） A ．23n S n n =- B ．2392-=n n nSC ．36n a n =-D ．2n a n =24．等差数列{}n a 是递增数列，公差为d ，前n 项和为n S ，满足753a a =，下列选项正确的是（ ） A ．0d <B ．10a <C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为825．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是（ ） A ．1055a = B ．2020a 是偶数C ．2020201820223a a a =+D ．123a a a +++…20202022a a +=26．已知数列0,2,0,2,0,2,，则前六项适合的通项公式为（ ）A ．1(1)nn a =+-B ．2cos2n n a π= C ．(1)2sin2n n a π+= D ．1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--27．{} n a 是等差数列，公差为d ，前项和为n S ，若56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d <B ．70a =C ．95S S >D ．170S <28．已知数列{}n a 为等差数列，则下列说法正确的是（ ） A ．1n n a a d +=+（d 为常数）B ．数列{}n a -是等差数列C ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列D ．1n a +是n a 与2n a +的等差中项29．(多选题)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则下列命题正确的是（ ）A ．若59S S =，则必有14S =0B ．若59S S =，则必有7S 是n S 中最大的项C ．若67S S >，则必有78S S >D ．若67S S >，则必有56S S >30．已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥时，)211n a =-，则关于数列{}n a 说法正确的是（ ）A ．28a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．数列{}n a 为周期数列D ．22n a n n =+【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．D 【分析】由题设求出数列{}n a 的通项公式，再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征，逐项判断，即可得出正确选项. 【详解】 解：(21)[(2)22](2)2(2)n n n n S a b n a b bn a b =---⨯+=+-⋅-+，∴当1n =时，有110S a a ==≠；当2n ≥时，有11()2n n n n a S S a bn b --=-=-+⋅， 又当1n =时，01()2a a b b a =-+⋅=也适合上式，1()2n n a a bn b -∴=-+⋅，令n b a b bn =+-，12n n c -=，则数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列，故n n n a b c =，其中数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列；故C 错，D 正确；因为11()22n n n a a b bn --+=-⋅⋅，0b ≠，所以{}12n bn -⋅即不是等差数列，也不是等比数列，故AB 错. 故选：D. 【点睛】 方法点睛：由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解，考查学生的计算能力. 2．B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，求出72a =，再由等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】因为各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，所以27720a a -=，解得72a =或70a =（舍）；又数列{}n b 是等比数列，且772b a ==，所以33810371178b b b b b b b ===.故选：B. 3．C 【分析】先求得1a ，然后求得10S . 【详解】依题意120a a d =-=，所以101104545290S a d =+=⨯=. 故选：C 4．D 【分析】利用等差数列下标性质求得4a ，再利用求和公式求解即可 【详解】147446=32a a a a a ++=∴=，则()177477142a a S a +=== 故选：D 5．B 【分析】由题意结合248,,a a a 成等比数列，有2444(4)(8)a a a =-+即可得4a ，进而得到1a 、n a ，即可求9S . 【详解】由题意知：244a a =-，848a a =+，又248,,a a a 成等比数列，∴2444(4)(8)a a a =-+，解之得48a =，∴143862a a d =-=-=，则1(1)2n a a n d n =+-=，∴99(229)902S ⨯+⨯==，故选：B 【点睛】思路点睛：由其中三项成等比数列，利用等比中项性质求项，进而得到等差数列的基本量 1、由,,m k n a a a 成等比，即2k m n a a a =； 2、等差数列前n 项和公式1()2n n n a a S +=的应用. 6．B【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，可直接得出结果. 【详解】因为n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，公差1d =，6210S S ，所以()()6543434343222410a a a a a d a d a a a a +++=+++++=++=， 解得343a a +=. 故选：B. 7．D 【分析】由题意结合新定义的概念求得数列的前n 项和，然后利用前n 项和求解通项公式，最后裂项求和即可求得最终结果. 【详解】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，由题意可得：12n n S n=，则：22n S n =， 当1n =时，112a S ==，当2n ≥时，142n n n a S S n -=-=-， 且14122a =⨯-=，据此可得 42n a n =-， 故212nn a b n ==-，()()111111212122121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 据此有：12239101111111111233517191.21891919b b b b b b +++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=⨯= 故选：D 8．C 【分析】利用等差数列性质当m n p q +=+ 时m n p q a a a a +=+及前n 项和公式得解 【详解】{}n a 是等差数列，3944a a a +=+，4844a a a ∴+=+，84a =1158158()15215156022a a a S a +⨯⨯====故选：C 【点睛】本题考查等差数列性质及前n 项和公式，属于基础题9．无10．B 【分析】把已知的两式相加得到12018a a +=，再求20S 得解. 【详解】由题得120219318()()()247854a a a a a a +++++=-+=， 所以1201203()54,18a a a a +=∴+=. 所以2012020()10181802S a a =+=⨯=. 故选：B 11．D 【分析】根据等差数列的性质计算求解． 【详解】由题意()()357101341041073232236()1248a a a a a a a a a a ++++=⨯+⨯=+==，74a =，∴11313713()13134522a a S a +===⨯=． 故选：D ． 12．C 【分析】215n S n n =-看作关于n 的二次函数，结合二次函数的图象与性质可以求解．【详解】22152251524n S n n n ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭，∴数列{}n S 的图象是分布在抛物线21522524y x ⎛⎫=--⎪⎝⎭上的横坐标为正整数的离散的点．又抛物线开口向上，以152x =为对称轴，且1515|7822-=-|， 所以当7,8n =时，n S 有最小值． 故选：C 13．B 【分析】由条件可得127a =，然后231223S a =，算出即可.【详解】因为31567a a a +=+，所以15637a a a =-+，所以1537a d =+，所以1537a d -=，即127a =所以231223161S a == 故选：B 14．B 【分析】设等差数列的公差为d .由已知得()()1137512a d a d +=+，可得关系1392a d =-.再运用求和公式和二次函数的性质可得选项. 【详解】设等差数列的公差为d .由81335a a =得，()()1137512a d a d +=+，整理得，1392a d =-. 又10a >，所以0d <，因此222120(20)2002222n d d d dS n a n n dn n d ⎛⎫=+-=-=-- ⎪⎝⎭， 所以20S 最大. 故选：B. 15．B 【分析】先求得21n a n =-，根据n a m ≥，求得12m n +≥，进而得到21212k k b --=，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】由题意，等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =，可得21n a n =-，因为n a m ≥，即21n m -≥，解得12m n +≥， 当21m k =-，（*k N ∈）时，1m m b k m+=，即()()11212m m m mk m b m m +===++， 即21212k k b --=， 从而()13519113519502b b b b ++++=++++=.故选：B. 16．B 【分析】由已知判断出数列{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，求出通项公式后即可求得10a .【详解】()122n n a a n --=≥，且11a =，∴数列{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，通项公式为()12121n a n n =+-=-，10210119a ∴=⨯-=，故选：B. 17．D 【分析】利用等差数列的求和公式可判断A 选项的正误；利用作差法结合等差数列的通项公式可判断B 选项的正误；利用p q m n a a a a <结合不等式的基本性质可判断C 选项的正误；利用等差数列的求和公式结合不等式的基本性质可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，由于()()1221222p pp p p p a a Sp a a pa ++==+≠，故选项A 错误；对于B 选项，由于m p q n -=-，则()()p q m n m n m n a a a a a p m d a q n d a a ⋅-⋅=+-⋅+--⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()()22m n m n m n a q n d a q n d a a q n a a d q n d =--⋅+--=----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()2220q n n m d q n d =-----<，故选项B 错误；对于C 选项，由于1111p q m n m n p q p q p q m n m na a a a a a a a a a a a a a a a ++++==>=+⋅⋅⋅，故选项C 错误； 对于D 选项，设0x q n m p =-=->，则()()()20pq mn m x n x mn x n m x -=-+-=---<，从而pq mn <，由于222222p q m n p q pq m n mn +=+⇔++=++，故2222p q m n +>+.()()()()()()111111p q pq p q mn m n m n --=-++<-++=--，故()()22221122p q m n p q p q m n m nS S p q a d m n a d S S +--+--+=++>++=+.()()()()()221111112112224p q p p q q pq p q pq p q S S pa d qa d pqa a d d--+---⎡⎤⎡⎤⋅=+⋅+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()221121124mn m n mn p q mna a d d+---<++()()()221121124m n mn m n mn m n mna a d d S S +---<++=，由此1111p q m n p q p q m n m nS S S S S S S S S S S S +++=>=+，故选项D 正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列中不等式关系的判断，在解题过程中充分利用基本量来表示n a 、n S ，并结合作差法、不等式的基本性质来进行判断. 18．A 【分析】由2a 和4a 求出公差d ，再根据54a a d =+可求得结果. 【详解】设公差为d ，则423634222a a d --===--， 所以5433322a a d =+=-=. 故选：A 19．B 【分析】由100S =可计算出1100a a +=，再利用等差数列下标和的性质可得出合适的选项. 【详解】由等差数列的求和公式可得()110101002a a S +==，1100a a ∴+=， 由等差数列的基本性质可得561100a a a a +=+=. 故选：B. 20．C 【分析】利用等差数列的求和公式，化简求解即可 【详解】2121S T ＝12112121()21()22a ab b ++÷＝121121a a b b ++＝1111a b ＝2113111⨯⨯+＝1117.故选C二、多选题21．ABC 【分析】因为{}n a 是等差数列，由612S S =可得9100a a +=，利用通项转化为1a 和d 即可判断选项A ；利用前n 项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ；利用等差数列的性质961014a d a a d a =++=+即可判断选项C ；由0d <可得6140a a d +=<且60a >，140a <即可判断选项D ，进而得出正确选项.【详解】因为{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，由612S S =得：1267891011120S S a a a a a a -=+++++=，即()91030a a +=，即9100a a +=， 对于选项A ：由9100a a +=得12170a d +=，可得1:17:2a d =-，故选项A 正确； 对于选项B ：()()118910181818022a a a a S ++===，故选项B 正确；对于选项C ：911691014a a a a a a d d =+=++=+，若0d >，则6140a a d +=>，故选项C 正确；对于选项D ：当0d <时，6140a a d +=<，则614a a <-，因为0d <，所以60a >，140a <， 所以614a a <，故选项D 不正确，故选：ABC【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由612S S =得出9100a a +=，熟记等差数列的前n 项和公式和通项公式，灵活运用等差数列的性质即可.22．无23．BC【分析】由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前n 项和公式【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为30S =，46a =， 所以113230236a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得133a d =-⎧⎨=⎩， 所以1(1)33(1)36n a a n d n n =+-=-+-=-，21(1)3(1)393222n n n n n n n S na d n ---=+=-+=， 故选：BC24．BD【分析】由题意可知0d >，由已知条件753a a =可得出13a d =-，可判断出AB 选项的正误，求出n S 关于d 的表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD 选项的正误.由于等差数列{}n a 是递增数列，则0d >，A 选项错误；753a a =，则()11634a d a d +=+，可得130a d =-<，B 选项正确；()()()22171117493222224n n n d n n d n n d S na nd n d -⎡⎤--⎛⎫=+=-+==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 当3n =或4时，n S 最小，C 选项错误；令0n S >，可得270n n ->，解得0n <或7n >.n N *∈，所以，满足0n S >时n 的最小值为8，D 选项正确.故选：BD.25．AC【分析】由该数列的性质，逐项判断即可得解.【详解】对于A ，821a =，9211334a =+=，10213455a =+=，故A 正确；对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误；对于C ，20182022201820212020201820192020202020203a a a a a a a a a a +=++=+++=，故C 正确； 对于D ，202220212020a a a =+，202120202019a a a =+，202020192018a a a =+，32121,a a a a a ⋅⋅⋅=+=，各式相加得()2022202120202021202020192012182a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++， 所以202220202019201811a a a a a a =++⋅⋅⋅+++，故D 错误.故选：AC.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是合理利用该数列的性质去证明选项.26．AC【分析】对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案．【详解】对于选项A ，1(1)n n a =+-取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件；对于选项B ，2cos2n n a π=取前六项得：0,2,0,2,0,2--，不满足条件； 对于选项C ，(1)2sin 2n n a π+=取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件； 对于选项D ，1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--取前六项得：0,2,2,8,12,22，不满足条件；故选：AC【分析】结合等差数列的性质、前n 项和公式，及题中的条件，可选出答案.【详解】由67S S =，可得7670S S a -==，故B 正确；由56S S <，可得6560S S a -=>，由78S S >，可得8780S S a -=<，所以876a a a <<，故等差数列{}n a 是递减数列，即0d <，故A 正确；又()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<，所以95S S <，故C 不正确； 又因为等差数列{}n a 是单调递减数列，且80a <，所以90a <，所以()117179171702a a S a +==<，故D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列性质的应用，解题的关键是熟练掌握等差数列的增减性及前n 项和的性质，本题要从题中条件入手，结合公式()12n n n a S S n --≥=，及()12n n n a a S +=，对选项逐个分析，可判断选项是否正确.考查学生的运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题.28．ABD【分析】由等差数列的性质直接判断AD 选项，根据等差数列的定义的判断方法判断BC 选项.【详解】A.因为数列{}n a 是等差数列，所以1n n a a d +-=，即1n n a a d +=+，所以A 正确；B. 因为数列{}n a 是等差数列，所以1n n a a d +-=，那么()()()11n n n n a a a a d ++---=--=-，所以数列{}n a -是等差数列，故B 正确； C.111111n n n n n n n n a a d a a a a a a ++++---==，不是常数，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是等差数列，故C 不正确；D.根据等差数列的性质可知122n n n a a a ++=+，所以1n a +是n a 与2n a +的等差中项，故D 正确.故选：ABD【点睛】本题考查等差数列的性质与判断数列是否是等差数列，属于基础题型.29．ABC根据等差数列性质依次分析即可得答案.【详解】解：对于A.，若59S S =，则67890a a a a +++=，所以781140a a a a +=+=，所以()114141402a a S +==，故A 选项正确； 对于B 选项，若59S S =，则780+=a a ，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故780,0a a ><，所以7S 是n S 中最大的项；故B 选项正确；C. 若67S S >，则70a <，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故80a <，6a 的符号不定，故必有78S S >，56S S >无法确定；故C 正确，D 错误．故选：ABC ．【点睛】本题考查数列的前n 项和的最值问题与等差数列的性质，是中档题．30．ABD【分析】由已知递推式可得数列2=，公差为1的等差数列，结合选项可得结果.【详解】 )211n a =-得)211n a +=，1=，即数列2=，公差为1的等差数列，2(1)11n n =+-⨯=+，∴22n a n n =+，得28a =，由二次函数的性质得数列{}n a 为递增数列，所以易知ABD 正确，故选：ABD.【点睛】本题主要考查了通过递推式得出数列的通项公式，通过通项公式研究数列的函数性质，属于中档题.。
2014年雅礼中学高中理科实验班初升高招生数学真卷(一)
2014年雅礼中学高中理科实验班初升高招生数学真卷（一）（满分：100分，时间90分钟）第I 卷 （选择题 共25分）一、选择题（本题共5个小题，每小题5分，满分25分。
）1、如图，AB 为半圆O 的直径，C 为半圆上一点，且060COA ∠=。
设扇形AOC 、COB 、弓形BmC 的面积分别为123,,,S S S 则他们之间的大小关系是（ ） （第1题）A. 123S S S <<B. 213S S S <<C. 132S S S <<D. 321S S S <<2、如图，表示阴影区域的不等式组为（ ）A 、253490x y x y y +≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩B 、253490x y x y y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩C 、253490x y x y x +≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩D 、253490x y x y x +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩（第2题图）3、正实数,,,a b c d 满足1a b c d +++=，设p =+ ）A. 5p >B. 5p =C. 5p <D. p 与5的大小关系不确定4、函数2y ax bx c =++图像的大致位置如图所示，则,,2,ab bc a b +22(),a c b +-2222(),a b c b a +--等代数式的值中，正数有（ ）A. 2个B. 3个C.4个D.5个5、图示某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段， （第4题图）单位时间进出路口A 、B 、C 的机动车俩数如图所示，图中123,,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段,,AB BC CA 的机动车辆数（假设单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的机动车辆数相等），则123,,x x x 的大小关系为（ ）A. 123x x x >>B. 132x x x >> （第5题图）C. 231x x x >>D. 321x x x >>第II 卷 （非选择题 共75分）二、填空题（本题共10个小题，每小题6分，满分60分）6、已知不等式30ax +≥的所有正整数解为1,2,3, 则a 的取值范围是 。
雅礼高一实验班招生考试数学试卷
数学测试一考生注意：本试卷时量90分钟，满分100分一、填空题：（每小题5分，共50分）1112sin 452-⎛⎫--= ⎪⎝⎭。
2、已知实数,m n 满足2223418290,m n m n +--+=则m n +的平方根是 。
3、若12,x y +=的最小值等于 。
4、在ABC 中，高AD 和BE 交于点H ，且BH=AC ，则ABC ∠等于 度。
5、四条边长分别为1、2、3、4的梯形的面积是 。
6、已知实数,,0,3,||||||x y z x y z xyz x y z ++==++满足则的最小值为 。
7、平面上的n 条直线恰有2011个交点，则n 的最小值为 。
8、从长为1、2、3、4、5的5条线段中任取3条，能构成钝角三角形的概率是 。
9、如图，在ABC 中，90,,ACB AC BC P ∠==是ABC 内一点，PA=3，PB=1，PC=2，则BPC 的面积是 。
第9题图 第10题图10、如图所示，直径为d 的一只圆盘没有任何滑动的沿一个直径为3d 的铁环的内侧滚动，当圆盘的圆心返回到起始位置时，圆盘已围绕自己的圆心转了 圈。
二、解答题：（共50分）11、（10分）已知,a b 为正整数，关于x 的方程220x ax b -+=的两个实根为12,x x ，关于y 的方程220y ay b ++=的两个实根为12,y y 且1221104x y x y -=，求b 的最小值。
12、（10分）已知反比例函数2k y x=的图像与一次函数21y x =-的图像在第一象限内交于点A ，其中一次函数的图像过点()(),1,a b a b k ++和。
（1）求反比例函数的解析式；（2）请问在x 轴上是否存在点B ，使A O B 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的B 点坐标；若不存在，请说明理由。
13、（12分）如图，⊙O 是ABC 的外接圆，点I 是他的内心，射线AI 、BI 各交对边于点D 、E ，射线AD 、BE 各交⊙O 于点M 、N ，求证：AM ID AN IB =。
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2011年雅礼中学自主招生考试
科学素养（数学）测试题
◆注意事项：
1. 本卷满分150分，考试时间120分钟；
2. 所有题目必须在答题卷上作答，否则不予计分。
一、选择题（每小题5分，共30分。
每小题均给出了A 、B 、C 、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，不填、多填或错填均得０分）
1、有一正方体，六个面上分别写有数字1、
2、
3、
4、
5、6，有三个人从不同的角度观察的 结果如图所示。
如果记6的对面的数字为a ，2的对面的数字为b ，那么b a +的值为
A ．3
B ．7
C ．8
D ．11
2、右图是某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量x 的图像（收支差额=车票收入-支出费用） ）是不改变
A ．①反映了建议（2），③反映了建议（1）
B ．①反映了建议（1），③反映了建议（2）
C ．②反映了建议（1），④反映了建议（2）
D ．④反映了建议（1），②反映了建议（2）
3、已知函数))((3n x m x y ---=，并且b a ,是方程0))((3=---n x m x 的两个根，则 实数b a n m ,,,的大小关系可能是
A ．n b a m <<<
B ．b n a m <<<
C ．n b m a <<<
D ．b n m a <<<
O
D C
B
A
F E D
C
B
A
4、记n S =n a a a +++ 21，令12n
n S S S T n
+++=
，称n T 为1a ，2a ，……，n a 这列数的“理想数”。
已知1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为2004，那么8，1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为 A ．200４ B ．2006 C ．2008 D ．2010
5、以半圆的一条弦BC （非直径）为对称轴将弧BC 折叠后 与直径AB 交于点D ，若3
2
=DB AD ，且10=AB ，则CB 的 长为
A ． 54
B ．34
C ． 24
D ．4
6、某汽车维修公司的维修点环形分布如图。
公司在年初分配给A 、B 、C 、D 四个维修点某种配件各50件。
在使用前发现需将A 、B 、C 、D 四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行。
那么要完成上述调整，最少的调动件次（n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n ）为 A ．15
B ．16
C ．17
D ．18
二、填空题(每小题6分,共48分)
7、若[]x 表示不超过x 的最大整数（如[]33
22,3-=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡-=π等），则
=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⨯-++⎥⎦⎤⎢
⎣⎡
⨯-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-200120002001132312121 _________________。
8、在A B C ∆中，E D 、分别是AC BC 、上的点，CD BD CE AE 2,2==，
BE AD 、交于点F ，若3=∆A B C S ，则四边形DCEF 的面积为________。
9、有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各三面，在每种颜色的旗帜上分别标有
号码1、2、3，现任意抽取3面，它们的颜色与号码均不相同的概率是___________。
10、已知抛物线bx x y +=
2
2
1经过点A(4,0)。
设点C （1，-3），请在抛物线的对称轴上确定一点D,使得CD AD -的值最大，则D 点的坐标为＿＿＿＿＿＿＿。
A
B
C
M
A'
B'
C'
x
y
E
O
D
C
B
A
11、三角形纸片内有100个点，连同三角形的顶点共103个点，其中任意三点都不共线。
现以这些点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，则这样的三角形的个数为__________。
12、已知点（1，3）在函数)0(>=x x
k
y 的图像上。
正方形ABCD 的边BC 在x 轴上，点E 是对角线BD 的中点，函数)0(>=x x
k
y 的图像又经过
A 、E 两点，则点E 的横坐标为__________。
13、按下列程序进行运算（如图）
规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为一次运算。
若5=x ，则运算进行_______次才停止；若运算进行了5次才停止,则x 的取值范围是________________。
三、解答题（本大题共5小题，276181412121'='+'+'+'+'）
15、已知：如图在Rt △ABC 中，斜边AB ＝5厘米，BC ＝a 厘米，AC ＝b 厘米，a ＞b ，且a 、b 是方程2
(1)40x m x m --++=的两根。
⑴ 求a 和b 的值；
⑵ C B A '''∆与ABC ∆开始时完全重合，然后让ABC ∆固定不动，将C B A '''∆以1厘米/秒的速度沿BC 所在的直线向左移动。
① 设x 秒后C B A '''∆与ABC ∆的重叠部分的面积为y 平方厘米， 求y 与x 之间的函数关系式,并写出x 的取值范围；
② 几秒后重叠部分的面积等于8
3
平方厘米？
16、已知⊙O 过点D （3，4）,点H 与点D 关于x 轴对称，过H 作⊙O 的切线交x 轴于点A 。
⑴ 求HAO ∠sin 的值；
⑵ 如图，设⊙O 与x 轴正半轴交点为P ，点E 、F 是线段OP 上的动点（与点P 不重合），连接并延长DE 、DF 交⊙O 于点B 、C ，直线BC 交x 轴于点G ，若DEF ∆是以EF 为底的等腰三角形，试探索CGO ∠sin 的大小怎样变化，请说明理由。
17、青海玉树发生7.1级强震，为使人民的生命财产损失降到最低，部队官兵发扬了连续作战的作风。
刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令：一分队立即出发前往距营地30千米的A 镇，二分队因疲劳可在营地休息)30(≤≤a a 小时再往A 镇参加救灾。
一分队出发后得知，唯一通往A 镇的道路在离营地10千米处发生塌方，塌方地形复杂，必须由一分队用1小时打通道路。
已知一分队的行进速度为b 千米/时，二分队的行进速度为)4(a +千米/时。
⑴ 若二分队在营地不休息，问要使二分队在最短时间内赶到A 镇，一分队的行进速度至少为多少千米/时？
⑵ 若b =4千米/时，二分队和一分队同时赶到A 镇，二分队应在营地休息几小时？
18、如图1、2是两个相似比为1：2的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合。
⑴在图
3中，绕点D旋转小直角三角形，使两直角边分别与BC
AC、交于点F
E,，如图4。
求证：2
2
2EF
BF
AE=
+；
⑵若在图3中，绕点C旋转小直角三角形，使它的斜边和CD延长线分别与AB交于点F
E、，如图5，此时结论2
2
2EF
BF
AE=
+是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。
⑶如图，在正方形ABCD中，F
E、分别是边CD
BC、上的点，满足CEF
∆的周长等于正方形ABCD的周长的一半，AF
AE、分别与对角线BD交于N
M、，试问线段BM、MN、DN能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由。
19、定义：在平面内，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量。
平面向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。
其中大小相等，方向相同的向量叫做相等向量。
如以正方形ABCD的四个顶点中某一点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出8个不同
的向量:、、、、、DA、、（由于和是相等向量，因此只算一个）。
图二 ⑴ 作两个相邻的正方形(如图一)。
以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出不同向量的个数记为)2(f ，试求)2(f 的值；
⑵ 作n 个相邻的正方形(如图二)“一字型”排开。
以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为)(n f ，试求)(n f 的值；
共n 个正方形
⑶ 作32⨯个相邻的正方形(如图三)排开。
以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终点作向量, 可以作出不同向量的个数记为)32(⨯f ，试求)32(⨯f 的值；
图三
⑷ 作n m ⨯个相邻的正方形(如图四)排开。
以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量, 可以作出不同向量的个数记为)(n m f ⨯，试求)(n m f ⨯的值。
图一
共m
个
正方
形相连。