数学建模第二章微积分方法建模--2.3存贮模型
数学建模 存贮模型
利用(8)式 Q rT1 ，得到每天的平均费用是
C(T , Q)
(10)
c1 T c2Q 2 2rT c3 rT Q2 2rT
(10)式为这个优化模型的目标函数，是
T 和 Q 的二元函数。
模型求解
用微分法求 T 和 Q 使 C(T,Q)最小。解方程组
C
T
C
模型建立
设时刻 t 的贮存量为 q(t)，把 q(t)视
作连续函数， t=0 时生产 Q 件，贮存量
q(0)=Q ， q(t) 以 需 求 速 率 r 递 减 ， 直 到
q(T)=0．于是
q(t) rt Q， Q rT
(1)
T
一个周期内的贮存费是 c2 0 q (t )dt c2Q T 2 ，
敏感性分析
2. T 对 c2 的敏感度
S(T , c2 )
T c2
T c2
T c2
c2 T
1 2
2c1 c 23 r
c2 0.5 2c1
c2r
可见， c2 增加 1%，T 减少 0.5%；
敏感性分析
3. T 对 r 的敏感度
S(T , r) T T T r 1 r r r T 2
问题分析
• 总结：生产周期越长，产量越多，会使平 均每天费用中的贮存费变大，生产准备费 变小。所以必存在最佳生产周期，使每天 的平均费用最小。
• 为了得到准确的结论，应该建立优化模型， 研究每天的平均费用和生产周期、产量、 需求量、生产准备费、贮存费之间的关系， 求出最优解。
问题分析
• 把以上问题一般化，考察如下的不允许缺 货的存贮模型： 假设产品需求稳定不变，生产准备费 和每天每件产品的贮存费均为常数，生产 能力无限，不允许缺货，确定生产周期和 产量，使每天的平均费用最小。
数学建模论文--生产与存贮问题的优化模型
数学建模论文--生产与存贮问题的优化模型摘要本文针对生产与存贮问题，建立了一种优化模型。
通过分析生产与存贮过程中的各种因素，包括供应链、库存管理、生产调度、成本控制等，建立了相应的数学模型，并使用线性规划方法对模型进行求解。
本文的模型可以为企业在生产与存贮过程中提供有效的参考，帮助企业实现成本最小化和效益最大化。
关键词：生产与存贮；优化模型；供应链；库存管理；生产调度；成本控制AbstractThis paper establishes an optimization model for production and storage problems. By analyzing various factors in the process of production and storage, including supply chain, inventory management, production scheduling, cost control, etc., corresponding mathematical models are established, and linear programming method is used to solve the model. The model of this paper can provide effective reference for enterprises in the process of production and storage, helping enterprises to achieve cost minimization and benefit maximization.Keywords: production and storage; optimization model; supply chain; inventory management; production scheduling; cost control 1. 引言生产与存贮是企业的核心业务之一，对企业的发展和运营至关重要。
数学建模研究——存贮问题
关于数学建模课程综合性教学内容的设计与研究胡京爽(青岛理工大学理学院，青岛 266033)1、引言数学建模课程的教学方法应当是丰富多彩的，主要的教学方法一般都是案例式教学，通过剖析各种各样的建模案例，让学生体会学习数学建模的实际过程，积累经验。
但是案例式教学内容不应当太过分散，不能完全就是一个一个案例讲解，而是应当从众多的案例中总结出蕴含在其中的某些共性和可遵循的规律，这种共性规律对于启发学生在解决类似问题时将会起到重要的作用。
存贮模型从最简单的微积分优化模型，到具有随机需求、随机供货以及多供应商的数学规划模型，通过详细解剖分析这些模型的特点，能让学生体会到从简单到复杂的循序渐进的建模过程；人口模型则是微分（常微和偏微）方程、差分方程、随机微分方程模型的综合体现，能够体现出利用客观的平衡规律，对同一个背景下的问题可以从不同的角度进行分析，用不同的数学理论与方法进行描述和求解的过程；0-1变量方法的使用则体现了数学建模方法中具有一定普遍意义的专门方法，用这种方法可以解决一系列的问题。
本文探讨的是在教学过程中，在学生掌握了一些基本的数学建模知识的基础上，如何设计教学内容，体现出数学模型方法的渐进性、灵活多样性、层次性、统一性等规律，让学生得到良好的建模实战训练，全面提高学生数学建模的综合素质和能力。
下面介绍三个实例，可以选为数学建模教学的参考案例。
2 教学案例及分析2.1 系列存贮优化模型存贮模型是一类重要的数学模型。
要根据市场需求量状况、存贮费用、订购费用、供货方的生产能力和供货时间、缺货的损失代价等，综合分析，确定使得费用最小或者使得盈利最大的计划。
该类模型类型丰富，层次分明，多种模型体现了有机的统一。
其数学理论方法涉及到简单的优化分析、综合的规划分析、随机优化分析等，特别是在计算离散数量的和时，用到了将离散和转换成定积分计算、并进而转换成计算几何图形面积的方法，在目标函数的构建上，利用平均值作为优化目标的建模方法等。
数学建模——存储模型
数学建模——存储模型存储模型摘要本文建立的是在产品需求稳定不变，生产准备费和产品贮存费为常数、生产能力无限的条件下的存贮模型。
在不允许缺货和允许缺货的这两种情况下，为了简化模型的建立，我们采用了连续的变量来更加合理地来描述问题。
模型的求解是一个以每天的平均费用作为目标函数来求解的优化模型。
本文主要是通过数学中的微积分知识，借助Matlab程序实现，来求目标函数的极值问题，从而求得总费用最小的方案。
首先，在模型一中我们提出了不允许缺货的优化模型，即综合考虑在产品需求稳定不变、生产准备费和产品贮存费为常数、生产能力无限、不允许缺货以及确定生产周期和产量的情况下，使总费用最小的模型。
这个模型中，通过对得到的目标函数进行分析求解，可以得出经济订货批量公式（EQQ公式），验证了模型一的准确性。
其次，模型二中考虑当缺货的损失费不超过不允许缺货导致的准备费和贮存费时，提出了允许缺货的贮存模型。
根据贮存量函数和周期之间的关系，得到适用于模型二的目标函数。
此外，在模型二的求解中，当函数中的变量都各自趋于某一定值时，可以近似认为不允许缺货模型是缺货模型的特例。
总而言之，本文中的存贮模型是在总费用中增加购买货物本身的费用时，重新确定最优订货周期和订货批量的优化模型，并且证明了在不允许缺货模型和允许缺货模型中结果都与原来的一样，充分考虑了模型的优化。
关键词：不允许缺货；允许缺货；订货周期；订货批量；matlab程序一、问题重述在我们的周边有一家配件厂，据我们得知，该厂为装配线生产若干种部件时因更换要付生产准备费（与生产数量无关），同一部件的产量大于需求时因积压资金、占用仓库要付贮存费。
现已知某一部件的日需求量为100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元。
如果生产能力远大于需求，试求在以下两种情况下来安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（称为生产周期），每次产量多少，可使总费用最小。
（1）不允许出现缺货（2）允许出现缺货二、问题分析在第（1）问时，我们不如先来试算一下以下几种情况的结果：若每天生产一次，每次100件，则我们可知，此时无贮存费，生产准备费5000元，每天费用为5000元；若10天生产一次，每次1000件，则我们可知，此时贮存费为900+800+…+100=4500元，生产准备费5000元，总计9500元，平均每天费用为950元；若50天生产一次，每次5000件，则我们可知，此时贮存费为4900+4800+…+100=122500元，生产准备费5000元，总计127500元，平均每天费用为2550元；从以上的计算看，生产周期短、产量少，会使贮存费小，准备费大；而周期长、产量多，会使贮存费大，准备费小。
数学建模-简单的优化模型
3）f1(x)与B(t2)成正比，系数c1 (烧毁单位面积损失费） 4）每个队员的单位时间灭火费用c2, 一次性费用c3
火势以失火点为中心，
均匀向四周呈圆形蔓延，
假设1） 的解释
半径 r与 t 成正比
r
B
面积 B与 t2成正比， dB/dt与 t成正比.
模型建立
假设1） 假设2）
dB
b t1,
t t b
由模型决定队员数量x
问题
4 最优价格
根据产品成本和市场需求，在产销平
衡条件下确定商品价格，使利润最大
假设
1）产量等于销量，记作 x 2）收入与销量 x 成正比，系数 p 即价格 3）支出与产量 x 成正比，系数 q 即成本 4）销量 x 依赖于价格 p, x(p)是减函数
进一步设 x( p) a bp, a, b 0
C~
c1
c2
Q 2
T
c1 c2
rT 2 2
每天总费用平均 值（目标函数）
~ C(T ) C c1 c2rT
TT 2
模型求解
dC 0 dT 模型分析
求 T 使C(T ) c1 c2rT Min T2
T 2c1 rc2
Q rT 2c1r c2
c1 T,Q
模型应用
c2 T,Q
失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 画出时刻 t 森林烧毁面积B(t)的大致图形
分析B(t)比较困难, 转而讨论森林烧毁 速度dB/dt.
B B(t2)
0
t1
t2
t
模型假设
1）0tt1, dB/dt 与 t成正比，系数 (火势蔓延速度）
2）t1tt2, 降为-x (为队员的平均灭火速度）
数学建模论文 两种随机存贮管理模型的建立和求解
两种随机存贮管理模型的建立和求解摘 要：本文建立了仓库容量有限条件下单品种、多品种的允许缺货随机存贮模型。
采用连续的时间变量更合理地描述了问题，简化了模型的建立。
模型的求解是一个以分段的平均损失费用函数作为目标的带约束最优化问题。
针对题目中的具体数据对随机量送货滞后时间的密度函数进行了估计，解出了单品种、多品种条件下最优订货点的值和存贮方案。
通过分情况讨论把单品种存贮模型推广为多品种（m 种）存贮模型，论证了目标函数的独立变量为21m -个,使模型更加清晰、求解方便。
类比控制论中的相关理论提出了一定条件下多品种存贮的最优性原理，给出了证明，指出该原理简化模型和验证模型求解结果的作用。
讨论了销售速率具有随机性时的存贮模型，实际当中调整修正订货点的方法，以及仓库最大存贮量的一种预测办法。
最后指出了模型的优缺点。
0问题重述工厂生产需定期地定购各种原料，商家销售要成批地购进各种商品。
无论是原料或商品，都有一个怎样存贮的问题。
存得少了无法满足需求，影响利润；存得太多，存贮费用就高。
因此说存贮管理是降低成本、提高经济效益的有效途径和方法。
问题1 某商场销售的某种商品。
市场上这种商品的销售速率假设是不变的，记为r ；每次进货的订货费为常数1c 与商品的数量和品种无关；使用自己的仓库存贮商品时，单位商品每天的存贮费用记为2c ，由于自己的仓库容量有限，超出时需要使用租借的仓库存贮商品，单位商品每天的存贮费用记为3c ，且32c c ≤；允许商品缺货，但因缺货而减少销售要造成损失，单位商品的损失记为4c ；每次订货，设货物在X 天后到达，交货时间X 是随机的；自己的仓库用于存贮该商品的最大容量为0Q ，每次到货后使这种商品的存贮量q 补充到固定值Q 为止，且Q Q <0；在销售过程中每当存贮量q 降到L 时即开始订货。
请你给出求使总损失费用达到最低的订货点*L （最优订货点）的数学模型。
问题 2 现给出来自某个大型超市的关于三种商品的真实数据，按你的模型分别计算出这三种商品各自相应的最优订货点*L 。
数学建模(微积分)二
，不难求得 （4）
2c1 r c2
T
2c1 rc 2
再根据（1）有，
Q
（5）
宁波职业技术学院数学教研室
数学建模讲座
Q
2c1 r c2
（5）
这就是经济理论中著名的经济订货批量公式（EOQ公式） 货物本身的价格可不考虑，这是因为若记每吨货 的价格为k，则一周期的总费用 C 中应添加kQ，由于
Q rT
（1）
订货后贮存量由Q均匀地下降，记任意时刻t的贮 存量为q，则q(t)的变化规律可以用图1表示
宁波职业技术学院数学教研室
数学建模讲座 q
Q A r T 图1 t
0
考察一个订货周期的总费用：订货费为c1;贮存费是
c2 q(t )dt 其中积分恰等于图中三角形的面积为A，显然
0 T
1 A QT 2
实例十一、森林救火数学模型
宁波职业技术学院数学教研室
数学建模讲座
贮存模型 背景 不允许缺货的贮存数学模型 知识 工厂要定期地订购各种原料，在仓库里供生产
之用。商店要成批地购进各种商品，放在货柜中以 备零售。水库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和航运。 无论是原料、商品还是水的贮存，都有贮存多少的 问题。原料、商品贮存得太多，贮存费用高；贮存 得太少，则无法满足需求。水库雨季蓄水过量，更 可能危及安全。当影响贮存量的因素包含随机性时， 如顾客对商品的需求，天气对蓄水的影响，需要建 立贮存模型。
Q rT 所以公式（3）中增加一常数项kr，对求解结果
式（4）、（5）没有影响。 （5）式表明，订货费c1越高，需求量越大，订货批量 Q应越大；贮存费c2越高，订货批量Q应越小，这些关系 当然是符合常识的，不过公式在定量上表明的平方关系 却是凭常识方法得到的
【9A文】数学建模—存储模型
存储模型摘要本文建立的是在产品需求稳定不变，生产准备费和产品贮存费为常数、生产能力无限的条件下的存贮模型。
在不允许缺货和允许缺货的这两种情况下，为了简化模型的建立，我们采用了连续的变量来更加合理地来描述问题。
模型的求解是一个以每天的平均费用作为目标函数来求解的优化模型。
本文主要是通过数学中的微积分知识，借助Matlab程序实现，来求目标函数的极值问题，从而求得总费用最小的方案。
首先，在模型一中我们提出了不允许缺货的优化模型，即综合考虑在产品需求稳定不变、生产准备费和产品贮存费为常数、生产能力无限、不允许缺货以及确定生产周期和产量的情况下，使总费用最小的模型。
这个模型中，通过对得到的目标函数进行分析求解，可以得出经济订货批量公式（EQQ公式），验证了模型一的准确性。
其次，模型二中考虑当缺货的损失费不超过不允许缺货导致的准备费和贮存费时，提出了允许缺货的贮存模型。
根据贮存量函数和周期之间的关系，得到适用于模型二的目标函数。
此外，在模型二的求解中，当函数中的变量都各自趋于某一定值时，可以近似认为不允许缺货模型是缺货模型的特例。
总而言之，本文中的存贮模型是在总费用中增加购买货物本身的费用时，重新确定最优订货周期和订货批量的优化模型，并且证明了在不允许缺货模型和允许缺货模型中结果都与原来的一样，充分考虑了模型的优化。
关键词：不允许缺货；允许缺货；订货周期；订货批量；matlab程序一、问题重述在我们的周边有一家配件厂，据我们得知，该厂为装配线生产若干种部件时因更换要付生产准备费（与生产数量无关），同一部件的产量大于需求时因积压资金、占用仓库要付贮存费。
现已知某一部件的日需求量为100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元。
如果生产能力远大于需求，试求在以下两种情况下来安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（称为生产周期），每次产量多少，可使总费用最小。
（1）不允许出现缺货（2）允许出现缺货二、问题分析在第（1）问时，我们不如先来试算一下以下几种情况的结果：若每天生产一次，每次100件，则我们可知，此时无贮存费，生产准备费5000元，每天费用为5000元；若10天生产一次，每次1000件，则我们可知，此时贮存费为900+800+…+100=4500元，生产准备费5000元，总计9500元，平均每天费用为950元；若50天生产一次，每次5000件，则我们可知，此时贮存费为4900+4800+…+100=122500元，生产准备费5000元，总计127500元，平均每天费用为2550元；从以上的计算看，生产周期短、产量少，会使贮存费小，准备费大；而周期长、产量多，会使贮存费大，准备费小。
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工厂要定期地订购各种原料，商店要成批地购进 各种商品，小库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和航 运……不论是原料、商品还是水的贮存，都有一个贮 存多少的问题 。原料、商品存得太多，贮存费用高，
.
存得少了则无法满足需求。水库蓄水过量可能危及安 全，蓄水太少又不够用。我们的目的是制订最优存贮 策略，即多长时间订一次货，每次订多少货，才能使 总费用最小。
可以求出 T , Q 的最优值，分别记作 T 和 Q ，有
T 2C 1 rC
2
C2 C3 C3
,
Q
2C 1r C2
C3 C2 C3
模型分析： 若记
C2 C3 C3
，则与模型一相比有 ，
Q Q
T T
显见 T T , Q Q ， 即允许缺货时应增大订贷周期， 减少订贷批量； 当缺货费 C 相对于贮存费 C 而言越大
1 2r
C 3 ( rT Q )
2
一个订货周期平均每天的费用 C (T , Q ) 应为
C (T , Q ) C (T , Q ) T C1 T C 2Q 2 rT
2
C 3 ( rT Q ) 2 rT
2
模型求解：
C 0 T C 0 Q
模型一、不允许缺货的存贮模型 模型假设： 1、每次订货费为 C 1 ，每天每吨货物贮存费 C 为已知；
2
2、每天的货物需求量 r 吨为已知； 3、订货周期为 T 天，每次订货 Q 吨，当贮存量降到零 时订货立即到达。
模型建立： 订货周期 T ，订货量 Q 与每天需求量 r 之间满足
Q rT
订货后贮存量 q (t ) 由 Q 均匀地下降，即 q ( t ) Q
问题归结为求 T 使 C (T ) 最小。
模型求解： 令Biblioteka dTdC 0，不难求得
T 2C 1 rC
2
从而
Q 2C 1r C2
（经济订货批量公式，简称 EOQ 公式）
模型分析： 若记每吨货物的价格为 k ，则一周期的总费用 C 中应添加 kQ ，由于 Q
rT
，故 C 中添加一常数项 kr ，求
解结果没有影响，说明货物本身的价格可不考虑。 从结果看，C 越高，需求量 r 越大，Q 应越大；C
1
2
越高， Q 越小，这些关系当然符合常识的，不过公式 在定量上的平方根关系却是凭常识无法得到的。
模型二 允许缺货的存贮模型 模型假设： 1、每次订货费为 C , 每天每吨货物贮存费 C 为已知；
1
2
q (t )
rt
。
Q
A
r
t
0
T
2T
一个订货周期总费用
订货费 C 1 贮存费 C 2 q ( t ) dt
0 T
1 2
C 2 QT
1 2
C 2 rT
2
即
C （ T ） C 1
1 2
C 2 rT
2
一个订货周期平均每天的费用 C (T ) 应为
C (T ) C (T ) T C1 T 1 2 C 2 rT
2、每天的货物需求量 r 吨为已知； 3、订货周期为 T 天，订货量 Q 吨，允许缺货，每天 每吨货物缺货费 C 为已知。
3
模型建立： 缺货时贮存量 q 视作负值，q (t ) 的图形如下， 货物 在t
T 1 时售完，于是 Q rT 1 。
.
.
q
Q
r
A
0
T1
B
T
t
一个订货周期内总费用如下
订货费 C 1 贮存费 C 2
T1 0 T
q ( t ) dt
C2 2
QT 1
1 2
C2
2
Q r
2
缺货费 C 3 | q ( t ) | dt
T1
C3 2
r ( T T1 )
C3 2r
( rT Q )
2
即
C (T , Q ) C 1 1 2 C 2Q
2
1 r
3
2
时， 越小， T 和 Q 越接近 T 和 Q 。