九年级数学一元二次方程2.1_2.2测习题新版湘教版
新湘教版数学九年级上册一元二次方程测试题
一元二次方程测试题姓名： 总分：120分 成绩：一．选择题（共12小题，每小题3分，共36分）1．下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的为（ ）A ．ax 2+bx+c=0B ．x+y=2C ． x 2+3y ﹣5=0D ． x 2﹣1=02．将一元二次方程2x 2+7=9x 化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ） A ．2，9 B ． 2，7 C ． 2，﹣9 D ． 2x 2，﹣9x 3．用配方法解方程x 2+10x+9=0，配方后可得（ ） A ．（x+5）2=16 B ． （x+5）2=1 C ． （x+10）2=91 D ． （x+10）2=1094．使分式2561x x x --+ 的值等于零的x 是( )或65．对于一元二次方程3y 2 +5y —1=0，下列说法正确的是（ ） A 、方程无实数根 B 、方程有两个相等的实数根 C 、方程有两个不相等的实数根 D 、方程的根无法确定 6．下列一元二次方程两根均为负数的一元二次方程是( )A ．05x 12x 72=+-B ．05x 13x 62=--C ．05x 21x 42=++D ．08x 15x 22=-+7．三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x 2﹣13x+36=0的两根，则该三角形的周长为（ ）A ．13B ． 15C ． 18D ． 13或18 8．若关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2﹣2x+2=0有实数根，则整数a 的最大值为（ ）A ．﹣1B ． 0C ． 1D ． 2 9．已知关于x 的一元二次方程x 2+mx+n=0的两个实数根分别为x 1=﹣2，x 2=4，则m+n 的值是（ ）A ．﹣10B ． 10C ． ﹣6D ． 2 10．关于x 的方程kx 2+3x-1=0有实数根，则k 的取值范围是（ ）A 、k ≤-49B 、k ≥-49且k ≠0 C 、k ≥-49 D 、k ＞-49且k ≠011．某超市一月份的盈利100万元，第一季度的盈利800万元．如果平均每月增长率为x ，则所列方程应为（ ）A ．100（1+x ）2=800B ． 100+100×2x=800C ．100+100×3x=800 [1+（1+x ）+（1+x ）2]=80012．若(x 2+y 2)(x 2+y 2+6)=7,则x 2+y 2的值是（ ）A ．-1B ．1C ．7D ．-7二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11．关于12．已知13．已知14．关于15．整式16．如图设路的宽17．已知18．某农40m ．若20．（24（1）2（（3）（2x 21．（10（1）若（2）对于22．（8分求a 的值23．（10分﹣x 1=4+x 24．（10分的汽车拥（1）求（2）如果25．（10了迎接“六场调查发利1200元。
湘教版九年级上册数学第2章一元二次方程单元测试题
湘教版九年级上册数学第2章一元二次方程单元测试题考试时间：100分钟；满分120分一、单选题(计30分）1．（3分）方程是关于x 的一元二次方程的是( )A ．211x x +=B ．20ax bx c ++=C ．()()121x x ++=D ．23250x xy y --= 2．（3分）若关于x 的方程x 2+x+m=0的一个根为–2，则m 的值为（ ）A ．–2B ．2C ．–1D ．13．（3分）若一元二次方程x 2﹣2x +n ＝0有实数根，则实数n 的取值范围是（ ）A ．n ＞1B ．n ＜1C ．n ≥1D ．n ≤1 4．（3分）已知关于x 的一元二次方程230x x a ++=有一个根是2-，那么a 的值是（ ） A ．2- B ．1- C ．2 D ．10 5．（3分）在一块长80cm ，宽60cm 的长方形铁皮的四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积是21500cm 的无盖长方体盒子，设小正方形的边长为cm x ，则可列出的方程为（ ）A ．2708250x x -+=B ．2708250x x +-=C ．2708250x x --=D ．2708250x x ++=6．（3分）某批发店将进价为4元的小商品按5元卖出时，可卖出500件，已知这种商品每件涨价1元，其销售量就减少10件，若要赚得4 100元利润，售价应定为( ) A ．45元B ．14元C ．45元或14元D ．50元 7．（3分）已知：()()2222310a b a b ++-=，则22a b +的值为( )A ．-2或5B ．-2C ．4D ．5 8．（3分）三角形的两边长分别为4和7，第三边长是方程x 2﹣7x+12=0的解，则第三边的长为（ ）A．3 B．4 C．3或4 D．无法确定9．（3分）有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘原来的两位数就得1855，则原来的两位数中较大的数为（）A．62 B．44 C．53 D．3510．（3分）芳芳有一个无盖的收纳箱，该收纳箱展开后的图形（实线部分）如图，将该图形补充四个边长为10cm的小正方形后，得到一个矩形，已知矩形的面积为22000cm，根据图中信息，可得x的值为（）A．10 B．20 C．25 D．30二、填空题（计32分）11．（4分）. 试写一个有两个不相等实根的一元二次方程:12．（4分）已知直角三角形两条的边长是方程27120-+=的两个根，则这个直角x x三角形的面积为________。
湘教版九年级数学上册第2章测试题及答案
湘教版九年级数学上册第2章测试题及答案2.1 一元二次方程一、选择题1.关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（）A. 1B. -1C. 1或﹣1D.2.一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )A. B. C. D.3.方程（m﹣2）x +（m+2）x+5=0是关于x的一元二次方程，则（）A. m=±2B. m=﹣2C. m=2D. m=14.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A. 5（x+1）2=2（x+3）B.C. ax2+bx+c=0D. 2m2+x=35.方程x2－2(3x－2)+(x+1)=0的一般形式是（）A. x2－5x+5=0B. x2+5x+5=0C. x2+5x－5=0D. x2+5=0二、填空题6.已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，则2m2﹣4m=________．7.方程3x2﹣2x﹣1=0的一次项系数是________，常数项是________．8.把方程3x（x﹣1）=（x+2）（x﹣2）+9化成ax2+bx+c=0的形式为________．9.若方程（m﹣2）x|m|+4mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为________．10.已知一元二次方程（a+3）x2+4ax+a2﹣9=0有一个根为0，则a=________．三、解答题11.已知关于x的方程（m+1）x2+（m﹣3）x﹣（2m+1）=0，m取何值时，它是一元二次方程？12.已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0，有一个根是-a(a≠0)，求a-b的值．13.已知m是方程x2+x﹣1=0的一个根，求代数式（m+1）2+（m+1）（m﹣1）的值．参考答案一、选择题1.B2.A3.B4.A5.A二、填空题6. 67.﹣2 ﹣18.2x2﹣3x﹣5=09.﹣2 10.3三、解答题11.解：∵方程（m+1）x2+（m﹣3）x﹣（2m+1）=0是关于x的一元二次方程，∴m+1≠0，即m≠﹣1．12.解：∵-a是方程x2＋bx＋a＝0的根，∴a2-ab＋a＝0.又a≠0，∴a-b＋1＝0，∴a－b＝－1.13.解：把x=m代入方程得：m2+m﹣1=0，即m2+m=1，则原式=m2+2m+1+m2﹣1=2（m2+m）=2．2.2 一元二次方程的解法一、选择题1.一元二次方程x2﹣9=0的解是（）A. x=﹣3B. x=3C. x1=3，x2=﹣3D. x=812.一元二次方程x2－4x－6＝0，经过配方可变形为（）A. (x－2)2＝10B. (x－2)2＝6C. (x－4)2＝6D. (x－2)2＝23.方程x(x+2)=0 的根是（）A. x=2B. x=0C. x1=0, x2=-2D. x1=0, x2=24.方程x2=2x的解是（）A. x=2B. x1=2，x2=0C. x1=，x2=0D. x=05.一元二次方程的解是( )A. B. C. D.二、填空题6.方程x2﹣x=0的解是________．7.小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2﹣2b+3，若将实数对（x，﹣2x）放入其中，得到一个新数为8，则x=________．8.方程5x4=80的解是________．9.利用求根公式解一元二次方程时，首先要把方程化为________，确定________的值，当________时，把a ，b ，c 的值代入公式，x 1，x 2= ________，求得方程的解．10.若x 2+x ﹣1=（x+ ）2+a ，则a=________．三、解答题11.解方程：x 2﹣3x+2=0 .12.回答下面的问题：解方程：x 2﹣|x|﹣2=0．解：①x≥0时，原方程化为x 2﹣x ﹣2=0，解得x 1=2，x 2=﹣1（不合题意，舍去）．②x ＜0时，原方程化为x 2+x ﹣2=0，解得x 1=﹣2，x 2=1（不合题意，舍去）．∴原方程的根是x 1=2，x 2=﹣2．请参照例题解方程x 2+|x ﹣4|﹣8=0．参考答案一、选择题1.C2.A3.C4.B5.B二、填空题6.0或17.﹣5或18.±29.一般式方程 a ，b ，c 24b ac ≥010.﹣三、解答题11.解：x2﹣3x+2=0，（x﹣1）（x﹣2）=0，∴x﹣1=0或x﹣2=0，解得x1=1，x2=2.12.解：当x≥4时，原方程化为x2+x﹣12=0，解得x1=3，x2=﹣4（不合题意，舍去）．当x＜4时，原方程化为x2﹣x﹣4=0，解得x1= ，x2= ，∴原方程的根是x=3或x= 或x= .2.3 一元二次方程根的判别式一、选择题1.一元二次方程x2﹣2x+2=0的根的情况是（）A. 有两个不相等的正根B. 有两个不相等的负根C. 没有实数根D. 有两个相等的实数根2.若关于x的一元二次方程ax2+x﹣1=0有实数根，则a的取值范围是（）A. a 且a≠0B. aC. aD. a 且a≠03.已知a，b，c是△ABC的三条边长，且关于x的方程（c－b）x2+2（b－a）x+（a－b）=0有两个相等的实数根，那么这个三角形是（）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 不等边三角形D. 直角三角形4.若一元二次方程x2+2x+m+1=0有实数根，则（）A. m的最小值是1B. m的最小值是﹣1C. m的最大值是0D. m的最大值是25.下列一元二次方程有两个相等实数根的是（）A. x2+4=0B. x2﹣2x=0C. （x+1）2=0D. （x﹣3）（x+1）=06.下列方程，没有实数根的是（）A. x2+x-1=0B. x2+8x+1=0C. x2+x+2=0D. x2-2x+2=0二、填空题7.写一个你喜欢的整数m的值，使关于x的一元二次方程x2﹣3x+2m=0有两个不相等的实数根，m=________．8.关于x的一元二次方程x2+3x﹣m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________ .9. 关于x的一元二次方程x2﹣x+m=O没有实数根，则m的取值范围是________ ．10.如果关于x的一元二次方程x2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根，那么实数a的值为________.三、解答题11.已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2mx+m+3=0 有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的根．12.已知关于x的方程mx2﹣（m+3）x+3=0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）如果方程的两个实数根都是整数，且有一根大于1，求满足条件的整数m的值．13.已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0.（1）当m=8时，判断方程的根的情况；（2）当m=﹣8时，求方程的根．参考答案一、选择题1.C2. A3.B4.C5. C6.C二、填空题7. 1 8.9.10.﹣1或2三、解答题11.解：（1）根据题意，得m﹣2≠0且∆=4m2﹣4（m﹣2）（m+3）＞0，解得m＜6且m≠2；（2）m满足条件的最大整数为5，则原方程化为3x2+10x+8=0，∴（3x+4）（x+2）=0，∴x1=﹣，x2=﹣2．12.（1）证明：∵m≠0，∴方程mx2﹣（m+3）x+3=0（m≠0）是关于x的一元二次方程，∴∆=（m+3）2﹣4×m×3=（m﹣3）2 .∵（m﹣3）2≥0，即∆≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵x=，∴x1=1，x2=.∵方程的两个实数根都是整数，且有一根大于1，∴为大于1的整数.∵m为整数，∴m=1．13.解：（1）当m=8时，b2﹣4ac=22﹣4×1×8=4﹣32=﹣28＜0，∴原方程没有实数根．（2）当m=﹣8时，原方程为x2+2x﹣8=0，即（x﹣2）（x+4）=0，∴x1=2，x2=﹣4．2.4 一元二次方程根与系数的关系一、选择题1.设x1，x2是方程x2+x﹣4=0的两个实数根，则x13﹣5x22+10=（）A. ﹣29B. ﹣19C. ﹣15D. -92.已知关于x的一元二次方程x2-6x+k+1=0的两个实数根是x1，x2，且x12+x22=24，则k的值是（）A. 8B. -7C. 6D. 53.已知3是关于x的方程x2－5x＋c＝0的一个根，则这个方程的另一个根是（）A. -2B. 2C. 5D. 64.已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3=0两实数根为x1、x2，则x1+x2的值是（）A. 3B. -3C. 2D. -25.设α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，则αβ的值是（）A. 2B. 1C. ﹣2D. ﹣1二、填空题11.已知x1，x2是方程x2﹣x+1=0的两根，则x12+x22的值为________.12.如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2015=________ .13.已知一元二次方程x2﹣6x﹣5=0两根为a、b，则①a+b=________②ab=________．14.已知3是一元二次方程x2﹣4x+c=0的一个根，则方程的另一个根是________．三、解答题15.已知关于x的方程x2-3x+m=0的一个根是另一个根的2倍，求m的值.16.已知关于x的方程x2﹣3mx+2（m﹣1）=0的两根为x1、x2，且+ =﹣，则m的值是多少？17.已知x1、x2是方程2x2＋3x－1＝0的两个实数根，不解方程，求：①(x1－x2)2；②＋的值．参考答案一、选择题1.B2.D3.B4.C5.D二、填空题11. 3 12.2026 13.6 -5 14.1三、解答题15.解：设方程的另一个根为k，则一个根为2k，则k+2k=3,解得k=1.∴m=1×2=2.16.解：根据题意，得x1+x2=3m，x1x2=2（m﹣1）.∵+ =﹣，∴=﹣，∴=﹣，解得m= .∵ ＞0，∴m的值为．17.解：由一元二次方程根与系数的关系可知：x1＋x2＝－，x1·x2＝－.所以①(x1－x2)2＝x12－2x1x2＋x22＝(x12＋2x1x2＋x22)－4x1x2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－4×＝.②＋＝＝＝3.2.5 一元二次方程的应用一、选择题1.九（1）班同学毕业的时候，每人都必须与其他任何一位同学合照一张双人照，全班共照相片780张，则九（1）班的人数是（）A. 39B. 40C. 50D. 602.某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元．已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（）A. 168（1+x）2=128B. 168（1﹣x）2=128C. 168（1﹣2x）=128D. 168（1﹣x2）=1283.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参赛球队的个数是（）A. 5B. 6C. 7D. 84.某化肥厂第一季度生产了化肥为m，后每季度比上一季度多生产x％,第三季度生产的化肥为n，则可列方程为( )A. m(1＋x）2=nB. m(1＋x％）2=nC. (1＋x％）2=nD. a＋a (x％）2=n5.某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值为175亿元，若设平均每月的增长率为x，根据题意可列方程（）A. 50（1+x）2=175B. 50+50（1+x）2=175C. 50（1+x）+50（1+x）2=175D. 50+50（1+x）+50（1+x）2=1756.将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3 cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300cm3，则原铁皮的边长为（）A. 10cmB. 13cmC. 14cmD. 16cm7.小丽要在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边制成一幅矩形挂图，使整幅挂图的面积是5400，设金色纸边的宽度为xcm，则x满足的方程是（）A. B. C. D.二、填空题8.在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交均价由去年10月份的7000元/m2下降到12月份的5670元/m2，则11、12两月平均每月降价的百分率是________%.9.某磷肥厂今年一月份的磷肥产量为4万吨，若二月份的产量平均增长率为x，则二月份的产量为________ ．若三月份产量的平均增长率为x，则三月份产量为________ ．10.如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为________ m．三、解答题11.为丰富学生的学习生活，某校九年级组织学生参加春游活动，所联系的旅行社收费标准如下：春游活动结束后，该班共支付给该旅行社活动费用2800元，请问该班共有多少人参加这次春游活动？12.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？参考答案一、选择题1.B2.B3.C4.B5.D6.D7.C二、填空题8.10 9.4（1+x）万吨4（1+x）2万吨10.2三、解答题11.解：∵25人的费用为2500元＜2800元，∴参加这次春游活动的人数超过25人．设该班参加这次春游活动的人数为x名.根据题意，得[100-2（x-25）]x=2800.整理，得x2-75x+1400=0.解得x1=40，x2=35.当x1=40时，100-2（x-25）=70＜75，不合题意，舍去．当x2=35时，100-2（x-25）=80＞75，符合题意．答：该班参加这次春游活动的人数为35名．12.解：设每件衬衫应降价x元，可使商场每天盈利2100元．根据题意，得（45﹣x）（20+4x）=2100，解得x1=10，x2=30．因尽快减少库存，故x=30．答：每件衬衫应降价30元.。
最新湘教版初中数学九年级上册2.1一元二次方程2重点习题
21 一元二次方程1、判断下列方程，是一元二次方程的有____________（1）32250x x -+=； （2）21x =； （3）221352245x x x x --=-+； （4）22(1)3(1)x x +=+；（5）2221x x x -=+；（6）20ax bx c ++=（提示：判断一个方程是不是一元二次方程，首先要对其整理成一般形式，然后根据定义判断）2、下列方程中不含一次项的是（ ）A ．x x 2532=-B ．2916x x =．0)7(=-x x D ．0)5)(5(=-+x x3、方程23(1)5(2)x x -=+的二次项系数___________；一次项系数__________；常数项_________4、1、下列各数是方程21(2)23x +=解的是（ ） A 、6 B 、2 、4 D 、05、根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x（2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x（3）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长x6已知关于x 的方程22(1)(1)0m x m x m --++=．（1）x 为何值时，此方程是一元一次方程？（2）x 为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项。
7、下列方程一定是一元二次方程的是（ ）A 、22310x x+-= B 、25630x y --= 、220ax x -+= D 、22(1)0a x bx c +++=8、2121003m x x m -++=是关于x 的一元二次方程，则x 的值应为（ ） A 、m ＝2 B 、23m = 、32m = D 、无法确定 9、根据下列表格对应值：判断关于A 、x ＜324 B 、324＜x ＜325、325＜x ＜326 D 、325＜x ＜32810若一元二次方程20,(0)ax bx c a ++=≠有一个根为1，则=++c b a _________；若有一个根是-1，则b 与a 、c 之间的关系为________；若有一个根为0，则c=_________。
湘教版九年级上第2章《一元二次方程》单元测试含答案
《一元二次方程》单元测试姓名 .一、选择题（每题3分，共30分）1、下列为一元二次方程的是（）A.x2-3x+1=0B.x+-2=0C. ax2-bx+c=0D. 2+2y=02、若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（）。
A、m = 0B、m≠ 1C、m≥0且m≠ 1D、m为任意实数3、已知2是关于x的方程的一个解，则2а－1的值是（）。
A、－3B、3C、5D、－54、方程x2= -3x的根为（）A.x=0B. x=3C. x=0 或x=3D. x=-3或x=05、2x2-3x+1=0 用配方法解时正确的配方是（）A. (x-)2=；B. (x-)2=；C. (x-)2=；D. (x+)2=；6、关于方程.y2+y+1=0的说法正确的是（）A 两实根之和为-1； B.两实根之积为1； C.两实根之和为1； D.无实数根；7、小丽要在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边制成一幅矩形挂图，使整幅挂图面积是5400cm2，设金色纸边的宽度为x cm，则x满足的方程是（）。
A、B、C、D、8、若方程x2+mx+1=0和方程x2-x-m=0有一个相同的实数根，则m的值为（）A、2B、0C、-1D、9、若x2+2xy+y2-4x-4y+3=0，则x+y的值为（）A. 3B. -3C. 1 或3D. -3或-110、若m、n是方程x2-x-2017=0的两根则m2-2m-n的值为（）A. 2014；B. 2015；C. 2016；D. 2114；二、填空题（每题3分，共30分）11、把方程(1－2x)(1+2x)=2x2－1化为一元二次方程的一般形式为_______ _．12、若(a+1)+3ax-2=0是关于x的一元二次方程，则a 值为.13、关于x的一元二次方程(m-1)x2-x+m2-1=0有一根为0，则m= .14、若x=a是方程x2-x-505=0的根，则代数式2a2-2a-505值为. 15、x2+4x-5与2-2x是互为相反数，则x的值为.16、关于x的一元二次方程x2－x－3m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_____．17、2016年某市人均GDP为2014年的1.21倍，如果该市每年的人均GDP增长率相同，那么增长率为.18、如果，则x的值是________．19、直角三角形的周长为2+，斜边上的中线为1，则此直角三角形的面积为.20、若关于x的方程x2-mx-3=0的两根为p和q，且+= -，则m= .三、解答题（60分）21、（16分）解方程：（1）2(x+2)2－8=0；（2）x(x－3)=x；（3）x2=6x－；（4）(x+3)2+3(x+3)－4=0．22.（6分）先化简，再求值：-.，其中a是方程a2+2a-1=0的一个根。
湘教版九年级数学上册第2章《一元二次方程》检测题及答案
第2章检测题时间：120分钟 满分：120分一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分)1．将一元二次方程2x 2＝1－3x 化成一般形式后，一次项系数和常数项分别为( C )A ．－3x ，1B ．3x ，－1C ．3，－1D ．2，－12．用配方法解关于x 的一元二次方程x 2－2x －3＝0，配方后的方程可以是( A )A ．(x －1)2＝4B ．(x ＋1)2＝4C ．(x －1)2＝16D ．(x ＋1)2＝163．(云南)一元二次方程x 2－x －2＝0的解是( D )A ．x 1＝1，x 2＝2B ．x 1＝1，x 2＝－2C ．x 1＝－1，x 2＝－2D ．x 1＝－1，x 2＝24．已知关于x 的方程x 2－kx －6＝0的一个根为x ＝3，则实数k 的值为( A )A ．1B ．－1C ．2D ．－25．某工厂今年元月份的产值是50万元，3月份的产值达到了72万元．若求2、3月份的产值平均增长率，设这两个月月平均增长率为x ，依题意可列方程( B )A ．72(x ＋1)2＝50B ．50(x ＋1)2＝72C ．50(x －1)2＝72D ．72(x －1)2＝506．若关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋2x －2＝0有两个不相等实数根，则k 的取值范围是( C )A ．k >12B ．k ≥12C ．k >12且k ≠1D ．k ≥12且k ≠1 7．在Rt △ABC 中，其中两边的长恰好是方程x 2－14x ＋48＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是( D )A ．10B ．48C ．36D ．10或88．一边靠6 m 长的墙，其他三边用长为13 m 的篱笆围成的长方形鸡栅栏的面积为20 m 2，则这个长方形鸡栅栏的长和宽分别为( B )A ．长8 m ，宽2.5 mB ．长5 m ，宽4 mC ．长10 m ，宽2 mD ．长8 m ，宽2.5 m 或长5 m ，宽4 m9．(仙桃)已知m ，n 是方程x 2－x －1＝0的两实数根，则1m ＋1n的值为( A ) A ．－1 B ．－12 C.12D ．1 10．已知a ，b ，c 是△ABC 三条边的长，那么方程cx 2＋(a ＋b )x ＋c 4＝0的根的情况是( B )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定二、填空题(本大题共8个小题，每小题3分，共24分)11．一元二次方程x 2＝16的解是__x ＝±4__．12．孔明同学在解一元二次方程x 2－3x ＋c ＝0时，正确解得x 1＝1，x 2＝2，则c 的值为__2__．13．若代数式x 2－8x ＋12的值是21，则x 的值是__9或－1__．14．已知关于x 的一元二次方程x 2＋bx ＋b －1＝0有两个相等的实数根，则b 的值是__2__．15．(宿迁)一块矩形菜地的面积是120 m 2，如果它的长减少2 m ，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是__12__m.16．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，若计划安排21场比赛，则应邀请__7__个球队参加比赛．17．若关于x 的一元二次方程x 2＋(k ＋3)x ＋k ＝0的一个根是－2，则另一个根是__1__．18．已知关于x 的一元二次方程x 2＋(2k ＋1)x ＋k 2－2＝0的两根为x 1和x 2，且(x 1－2)(x 1－x 2)＝0，则k 的值是__－2或－94__． 点拨：若x 1－2＝0，则x 1＝2，代入方程解得k ＝－2；若x 2－x 2＝0，则Δ＝0，解得k ＝－94三、解答题(66分)19．(8分)用适当的方法解下列方程：(1)2x 2＋7x －4＝0；解：x 1＝12，x 2＝－4(2)(x －3)2＋2x (x －3)＝0.解：x 1＝1，x 2＝320．(7分)已知关于x 的方程2x 2－kx ＋1＝0的一个解与方程2x ＋11－x＝4的解相同，求k 的值．解：2x ＋11－x ＝4得x ＝12，经检验x ＝12是原方程的解，x ＝12是2x 2－k 为何值，方程x 2＋(m －2)x ＋m 2－3＝0总有两个不相等的实数根． 证明：Δ＝(m －2)2－4(m 2－3)＝(m －3)2＋7>0，∴方程x 2＋(m －2)x ＋m 2－3＝0总有两个不相等的实数根22．(10分)(南充)已知关于x的一元二次方程x2－22的最大整数值；(2)在(1)的条件下，方程的实数根是x1，x2，求代数式x12＋x22－x1x2的值．解：(1)根据题意知Δ＝(－22)2－4m>0，解得m<2，∴m的最大整数值为1(2)m ＝1时，方程为x2－22x＋1＝0，∴x1＋x2＝22，x1x2＝1，∴x12＋x22－x1x2＝(x1＋x2)2－3x1x2＝8－3＝523．(10分)电动自行车已成为市民日常出行的首选工具．据某市某品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售150辆，3月份销售216辆．(1)求该品牌电动自行车销售量的月均增长率；(2)若该品牌电动自行车的进价为2300元，售价为2800元，则该经销商1至3月共盈利多少元？解：(1)设月增长率为x，则150(1＋x)2＝216，解得x1＝20%或x2＝－220%(舍去)，即：月增长率为20%(2)二月份销售150×(1＋20%)＝180(辆)，(2800－2300)×(150＋180＋216)＝273000(元)，该经销商1至3月共盈利273000元24．(12分)用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米．(1)当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？(2)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．解：(1)根据题意知x(16－x)＝60，解得x1＝6，x2＝10，当x＝6或10时，面积为60平方米(2)假设能，则有x(16－x)＝70，整理得x2－16x＋70＝0，Δ＝－24<0，∴方程没有实数根，即不能围成面积为70平方米的养鸡场25．(12分)(株洲)已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c 分别为△ABC三边的长．(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．解：(1)根据题意有a＋c－2b＋a－c＝0，即a＝b，∴△ABC为等腰三角形(2)根据题意有Δ＝(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝4b2－4a2＋4c2＝0，∴b2＋c2＝a2，∴△ABC为直角三角形。
湘教版九年级数学上学期(第一学期)《一元二次方程》应用题归类练习及答案解析.docx
（新）湘教版九年级数学上册 一元二次方程 应用题归类练习前言：（新）湘教版九年级数学上册一元二次方程的应用主要讲了三种类型的应用题：①增长率问题，引例（动脑筋）和例1。
②销售、利润问题，例2。
③几何图形的面积与动点移动形成的几何图形的面积，引例（动脑筋）例3，例4。
复习题中还出现了数字方面的应用题。
无论哪一种题型都离不开教材第50页的议一议，要建立好一元二次方程的模型，才能去很好的解一元二次方程。
在这里把（新）湘教版九年级数学上册一元二次方程的应用归一下类，供大家参考！一、 增长率问题：1、某楼盘2013年房价为每平方米8100元，经过两年连续降价后，2015年房价为7600元．设该楼盘这两年房价平均降低率为x ，根据题意可列方程为 ．2、2015年1月20日遵义市政府工作报告公布：2013年全市生产总值约为1585亿元，经过连续两年增长后，预计2015年将达到2180亿元．设平均每年增长的百分率为x ，可列方程为 ．3、某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，如果每月的平均增长率x 相同，则下列方程正确的是（ ）A.250(1)196x +=B. 25050(1)196x ++=C.()()250501501196+x x +++=D. ()()505015012196+x x +++=4、满洲里市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元，请问哪种方案更优惠？5、全民健身和医疗保健是社会普遍关注的问题，2014年，某社区共投入30万元用于购买健身器材和药品．（1）若2014年社区购买健身器材的费用不超过总投入的，问2014年最低投入多少万元购买药品？（2）2015年，该社区购买健身器材的费用比上一年增加50%，购买药品的费用比上一年减少，但社区在这两方面的总投入仍与2014年相同．①求2014年社区购买药品的总费用；②据统计，2014年该社区积极健身的家庭达到200户，社区用于这些家庭的药品费用明显减少，只占当年购买药品总费用的，与2014年相比，如果2015年社区内健身家庭户数增加的百分比与平均每户健身家庭的药品费用降低的百分比相同，那么，2015年该社区用于健身家庭的药品费用就是当年购买健身器材费用的，求2015年该社区健身家庭的户数．二、销售、利润问题：6、新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调査，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多少元？设每件童裝应降价x元，可列方程为．7、百货大楼服装柜销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十•一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，要使平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？请先填空后再列方程求解：设每件童装降价元，那么平均每天就可多售出件，现在一天可售出件，每件盈利元．8、水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？9、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？10、某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把化简后的结果填写在表格中：销售单价（元）x销售量y（件）销售玩具获得利润w（元）（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元．11、随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．（1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元？12、某公司生产的商品的市场指导价为每件150元，公司的实际销售价格可以浮动x个百分点（即销售价格=150（1+x%）），经过市场调研发现，这种商品的日销售量y（件）与销售价格浮动的百分点x之间的函数关系为y=﹣2x+24．若该公司按浮动﹣12个百分点的价格出售，每件商品仍可获利10%．（1）求该公司生产销售每件商品的成本为多少元？（2）当实际销售价格定为多少元时，日销售利润为660元？（说明：日销售利润=（销售价格一成本）×日销售量）（3）该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a≥1）给希望工程，公司通过销售记录发现，当价格浮动的百分点大于﹣2时，扣除捐赠后的日销售利润随x增大而减小，直接写出a的取值范围．三、面积、动点问题：13、在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画（如图①）的四周镶上宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图（如图②），使整个挂图的面积是80平方分米，设金色纸边宽为x分米，可列方程为．14、在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是5 400cm2，设金色纸边的宽为xcm，则可列方程．15、如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？16、如图，长方形ABCD（长方形的对边相等，每个角都是90°），AB=6cm，AD=2cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向终点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t，问：（1）当t=1秒时，四边形BCQP面积是多少？（2）当t为何值时，点P和点Q距离是3cm？（3）当t= 以点P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形．（直接写出答案）17、已知：如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间t（s），解答下列各问题：（1）经过秒时，求△PBQ的面积；（2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？（3）是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出t的值；不存在请说明理由．18、如图所示，在△ABC中∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动．（1）如果P、Q分别从A、B同时出发3秒，则四边形APQC的面积是．（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟，使S△PBQ=8cm2．（3）如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟后，以P、Q、B三点为顶点的△与△ABC相似？19、如图，在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动．若P、Q 分别从A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求：（1）经过6秒后，BP= 6cm，BQ= 12cm；（2）经过几秒后，△BPQ是直角三角形？（3）经过几秒△BPQ的面积等于10cm2？（4）经过几秒时△BPQ的面积达到最大？并求出这个最大值．四、数字问题：20、某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1640张相片．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为．21、根据题意，列出方程：已知某两位数，个位数字与十位数字之和为12，个位数字与十位数字之积为32，求这个两位数；五、行程问题：22、“铁路建设助推经济发展”，近年来我国政府十分重视铁路建设．渝利铁路通车后，从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了l20千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时．（1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米？（2）专家建议：从安全的角度考虑，实际运行时速要比设计时速减少m%，以便于有充分时间应对突发事件，这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加m小时，求m的值．一元二次方程应用题归类练习参考答案：1、8100×（1﹣x）2=7600 ．2、1585（1+x）2=2180 ．3、C4、解：（1）设平均每次降价的百分率是x，根据题意列方程得，5000（1﹣x）2=4050，解得：x1=10%，x2=1.9（不合题意，舍去）；答：平均每次降价的百分率为10%．（2）方案一的房款是：4050×100×0.98+3600=400500（元）；方案二的房款是：4050×100﹣1.5×100×12×2=401400（元）∵400500元＜401400元．5、解：（1）设2014年购买药品的费用为x万元，根据题意得：30﹣x≤×30，解得：x≥10，则2014年最低投入10万元购买药品；（2）①设2014年社区购买药品的费用为y万元，则购买健身器材的费用为（30﹣y）万元，2015年购买健身器材的费用为（1+50%）（30﹣y）万元，购买药品的费用为（1﹣）y万元，根据题意得：（1+50%）（30﹣y）+（1﹣）y=30，解得：y=16，30﹣y=14，则2014年购买药品的总费用为16万元；②设这个相同的百分数为m，则2015年健身家庭的户数为200（1+m），2015年平均每户健身家庭的药品费用为（1﹣m）万元，依题意得：200（1+m）•（1﹣m）=（1+50%）×14×，解得：m=±，∵m＞0，∴m==50%，∴200（1+m）=300（户），则2015年该社区健身家庭的户数为300户．6、（40﹣x）（20+2x）=1200 ．7、请先填空后再列方程求解：设每件童装降价x 元，那么平均每天就可多售出2x 件，现在一天可售出20+2x 件，每件盈利40﹣x 元．解：设每件童装降价x元，则（40﹣x）（20+2x）=1200即：x2﹣30x+200=0解得：x1=10，x2=20∵要扩大销售量，减少库存∴舍去x1=10答：每件童装应降价20元．8、（1）100+200x （用含x的代数式表示）；（2）根据题意得：（4﹣2﹣x）（100+200x）=300，解得：x=或x=1，∵每天至少售出260斤，∴x=1．答：张阿姨需将每斤的售价降低1元．9、解：（1）设每件衬衫应降价x元，根据题意得（40﹣x）（20+2x）=1200，整理得2x2﹣60x+400=0解得x1=20，x2=10．因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，故每件衬衫应降20元．答：每件衬衫应降价20元．（2）设商场平均每天赢利y元，则y=（20+2x）（40﹣x）=﹣2x2+60x+800=﹣2（x2﹣30x﹣400）=﹣2[（x﹣15）2﹣625]=﹣2（x﹣15）2+1250．∴当x=15时，y取最大值，最大值为1250．答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为1250元．10、解：（1）销售单价（元）x销售量y（件）1000﹣10x销售玩具获得﹣10x2+1300x﹣30000利润w（元）（2）﹣10x2+1300x﹣30000=10000，解之得：x1=50 x2=80，答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润．11、解：（1）设每台B型空气净化器为x元，A型净化器为（x+300）元，由题意得，=，解得：x=1200，经检验x=1200是原方程的根，则x+300=1500，答：每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元；（2）设B型空气净化器的售价为x元，根据题意得；（x﹣1200）（4+）=3200，解得：x=1600，答：如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为1600元．12、解：（1）设该公司生产销售每件商品的成本为z元，依题意得：150（1﹣12%）=（1+10%）z，解得：z=120，答：该公司生产销售每件商品的成本为120元；（2）由题意得（﹣2x+24）[150（1+x%）﹣120]=660，整理得：x2+8x﹣20=0，解得：x1=2，x2=﹣10，此时，商品定价为每件135元或153元，日销售利润为660元；（3）根据题意得：1≤a≤6．13、（2x+6）（2x+8）=80 ．14、（80+2x）（50+2x）=5400 ．15、解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m，由题意得x（25﹣2x+1）=80，化简，得x2﹣13x+40=0，解得：x1=5，x2=8，当x=5时，26﹣2x=16＞12（舍去），当x=8时，26﹣2x=10＜12，答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m．16、解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=6，AD=BC=2，∠A=∠B=∠C=∠D=90°．∵CQ=1cm，AP=2cm，∴AB=6﹣2=4cm．∴S==5cm2．答：四边形BCQP面积是5cm2；（2）如图1，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ=90°，∵∠B=∠C=90°，∴四边形BCQE是矩形，∴QE=BC=2cm，BE=CQ=t．∵AP=2t，∴PE=6﹣2t﹣t=6﹣3t．在Rt△PQE中，由勾股定理，得（6﹣3t）2+4=9，解得：t=．如图2，作PE⊥CD于E，∴∠PEQ=90°．∵∠B=∠C=90°，∴四边形BCQE是矩形，∴PE=BC=2cm，BP=CE=6﹣2t．∵CQ=t，∴QE=t﹣（6﹣2t）=3t﹣6在Rt△PEQ中，由勾股定理，得（3t﹣6）2+4=9，解得：t=．综上所述：t=或；（3）如图3，当PQ=DQ时，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ=90°，∵∠B=∠C=90°，∴四边形BCQE是矩形，∴QE=BC=2cm，BE=CQ=t．∵AP=2t，∴PE=6﹣2t﹣t=6﹣3t．DQ=6﹣t．∵PQ=DQ，∴PQ=6﹣t．在Rt△PQE中，由勾股定理，得（6﹣3t）2+4=（6﹣t）2，解得：t=．如图4，当PD=PQ时，作PE⊥DQ于E，∴DE=QE=DQ，∠PED=90°．∵∠B=∠C=90°，∴四边形BCQE是矩形，∴PE=BC=2cm．∵DQ=6﹣t，∴DE=．∴2t=，解得：t=；如图5，当PD=QD时，∵AP=2t，CQ=t，∴DQ=6﹣t，∴PD=6﹣t．在Rt△APD中，由勾股定理，得4+4t2=（6﹣t）2，解得t1=，t2=（舍去）．综上所述：t=，，，．故答案为：，，，．17、解：（1）经过秒时，AP=cm，BQ=cm，∵△ABC是边长为3cm的等边三角形，∴AB=BC=3cm，∠B=60°，∴BP=3﹣=cm，∴△PBQ的面积=BP•BQ•sin∠B=×××=；（2）设经过t秒△PBQ是直角三角形，则AP=tcm，BQ=tcm，△ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°，∴BP=（3﹣t）cm，△PBQ中，BP=（3﹣t）cm，BQ=tcm，若△PBQ是直角三角形，则∠BQP=90°或∠BPQ=90°，当∠BQP=90°时，BQ=BP，即t=（3﹣t），t=1（秒），当∠BPQ=90°时，BP=BQ，3﹣t=t，t=2（秒），答：当t=1秒或t=2秒时，△PBQ是直角三角形．（3）过P作PM⊥BC于M，△BPM中，sin∠B=，∴PM=PB•sin∠B=（3﹣t），∴S△PBQ=BQ•PM=•t•（3﹣t），∴y=S△ABC﹣S△PBQ=×32×﹣×t×（3﹣t）=t2﹣t+，∴y与t的关系式为y=t2﹣t+，假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的，则S四边形APQC=S△ABC，∴t2﹣t+=××32×，∴t2﹣3t+3=0，∵（﹣3）2﹣4×1×3＜0，∴方程无解，∴无论t取何值，四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的．18、解：（1）如果P、Q分别从A、B同时出发3秒，那么AP=3cm，BQ=6cm，则BP=3cm．四边形APQC的面积=△ABC的面积﹣△PBQ的面积=×6×8﹣×6×3=24﹣9=15（cm2）．故答案为15cm2；（2）设经过x秒钟，S△PBQ=8cm2，BP=6﹣x，BQ=2x，∵∠B=90°，∴BP×BQ=8，∴×（6﹣x）×2x=8，∴x1=2，x2=4，答：如果点P、Q分别从A、B同时出发，经过2或4秒钟，S△PBQ=8cm2；（3）设经过y秒后，以P、Q、B三点为顶点的三角形与△ABC相似：①若△PBQ～△ABC，则有=，即=，解得：y=；②若△QBP～△ABC，则有=，即=，解得：y=．答：经过或秒后，以P、Q、B三点为顶点的三角形与△ABC相似．19、解：（1）由题意，得AP=6cm，BQ=12cm，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=12cm，∴BP=12﹣6=6cm．（2）∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=12cm，∠A=∠B=∠C=60°，当∠PQB=90°时，∴∠BPQ=30°，∴BP=2BQ．∵BP=12﹣x，BQ=2x，∴12﹣x=2×2x，解得x=，当∠QPB=90°时，∴∠PQB=30°，∴BQ=2PB，∴2x=2（12﹣x），解得x=6．答：6秒或秒时，△BPQ是直角三角形；（3）作QD⊥AB于D，∴∠QDB=90°，∴∠DQB=30°，∴DB=BQ=x，在Rt△DBQ中，由勾股定理，得DQ=x，∴=10，解得x1=10，x2=2，∵x=10时，2x＞12，故舍去，∴x=2．答：经过2秒△BPQ的面积等于10cm2．；（4）∵△BPQ的面积==﹣x2+6x，∴当x==6时，△BPQ的面积最大，此时最大值为﹣×62+6×6=18．故答案为：6cm、12cm．20、x（x﹣1）=1640 ．21、解：设个位数字为x，则十位数字为12﹣x，由题意得：x（12﹣x）=32；22、解：（1）设原时速为xkm/h，通车后里程为ykm，则有：，解得：，答：渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是1600千米；（2）由题意可得出：（80+120）（1﹣m%）（8+m）=1600，解得：m1=20，m2=0（不合题意舍去），答：m的值为20．。
湘教版九年级上册数学第2章 一元二次方程 阶段综合训练
7. 若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的 2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是( )
B
C．(x＋5)(x＋6) D．(x－5)(x－6)
5．用配方法解方程x2＋px＋q＝0，配方后所得的方程是( ) A
A.x＋p22＝p2－4 4q C.x＋p42＝p2－4 4q
B.x＋p22＝p2－2 2q D.x＋p42＝p2－2 2q
6. 若关于x的一元二次方程a(x＋m)2＋b＝0(a，b，m均为常数，a≠0)的解是x1
12．一个等腰三角形的底边长是7，腰长a满足a2－10a＋21＝0，则此等腰三角形 的周长是_________． 21
【点拨】∵a2－10a＋21＝0， ∴a＝3或a＝7. 当a＝3时，3＋3＜7，故不能组成三角形，故a＝3舍去； 当a＝7时，7＋7＞7，故能组成三角形，∴腰长为7. ∴三角形的周长为7＋7＋7＝21.
x(x＋12)＝864
9．将方程(2x＋1)2＋(3x－2)－(2x－3)(x＋1)＝10化为一般形式是____________ ． x2＋4x－4＝0
【点拨】(2x＋1)2＋(3x－2)－(2x－3)(x＋1)＝10，即4x2＋4x＋1＋3x－2－2x2＋x ＋3＝10，∴x2＋4x－4＝0.
10．若关于x的一元二次方程2x2＋(2k＋1)x＝4k－1的二次项系数、一次项系数、 常数项的和是0，则k＝______． 2
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2.1～2.2
一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分) 1．下列方程中是一元二次方程的是( )
A ．2x ＋1＝0 B. y 2
＋x ＝1 C. x 2
－7＝0 D. 1x
＋x 2＝1
2．将方程3x (x －1)＝5(x ＋2)化为一元二次方程的一般形式，正确的是( )
A ．4x 2－4x ＋5＝0
B ．3x 2
－8x －10＝0
C ．4x 2＋4x －5＝0
D ．3x 2
＋8x ＋10＝0
3．用配方法解一元二次方程x 2
－4x －1＝0，配方后得到的方程是( )
A ．(x －2)2＝1
B ．(x －2)2
＝4
C ．(x －2)2＝5
D ．(x －2)2
＝3
4．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是( ) A ．由(2x －2)(3x －4)＝0，得2x －2＝0或3x －4＝0 B ．由(x ＋3)(x －1)＝1，得x ＋3＝0或x －1＝1 C ．由(x －2)(x －3)＝2×3，得x －2＝2或x －3＝3 D ．由x (x ＋2)＝0，得x ＋2＝0
5．方程x (x ＋2)＝－x －2的根为( ) A ．－2 B ．－2或－1 C ．－1 D ．－2或1
6．已知代数式x 2
＋6x ＋5与x －1的值相等，则x 的值为( ) A ．1 B ．－1或－5 C ．2或3 D ．－2或－3
7．某商品的原价为100元，连续两次涨价后的售价为120元，设平均每次的增长率都为x ，则平均增长率x 应满足的方程是( )
A ．120(1＋x )2
＝100
B ．100(1＋x )2
＝120
C ．100(1＋2x )2
＝120
D ．100(1＋x 2)2
＝120
8．已知2是关于x 的方程x 2
－2mx ＋3m ＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，则等腰三角形ABC 的周长为( )
A ．10
B ．14
C ．10或14
D ．8或10
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分) 9．方程(x －3)(x －9)＝0的根是________．
10．将x 2＋6x ＋3配方成(x ＋m )2
＋n 的形式，则m ＝________．
11．若方程(m ＋2)x |m |
＋3mx ＋1＝0是关于x 的一元二次方程，则m ＝________．
12．若方程ax 2
＝b (ab ＞0)的两个根分别是m －4与3m －8，则b a
＝________． 13．已知关于x 的一元二次方程2x 2
－3kx ＋4＝0的一个根是1，则k ＝________．
14．如果分式x 2－7x －8
x ＋1
的值为零，那么x ＝________．
15．解一元二次方程x 2
＋2x －3＝0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程：________．
16．关于x 的方程a (x ＋m )2
＋b ＝0的解是x 1＝－2，x 2＝1(a ，m ，b 均为常数，a ≠0)，
则方程a (x ＋m ＋3)2
＋b ＝0的解是________．
三、解答题(本大题共4小题，共52分) 17．(24分)按要求解下列方程：
(1)应用平方根的意义：(x －1)2
－1＝0；
(2)因式分解法：(3＋x )2
＝x ＋3；
(3)配方法：2x 2
＋12x ＋8＝0；
(4)公式法：－3x 2
－4x ＋7＝0.
18．(8分)在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为a △b ＝a 2－b 2
，根据这个规则：
(1)求4△3的值；
(2)求(x ＋2)△5＝0中x 的值．
19．(10分)已知M ＝5x 2＋3，N ＝4x 2
＋4x . (1)求当M ＝N 时x 的值；
(2)当1＜x ＜5
2
时，试比较M ，N 的大小．
20．(10分)小李用换元的数学思想求方程(x 2＋1)2＋4(x 2＋1)－5＝0的解，他将x 2
＋1
看作一个整体，设x2＋1＝y(y＞0)，那么原方程可化为y2＋4y－5＝0，解得y1＝1，y2＝－5(不合题意，舍去)．当y＝1时，x2＋1＝1，∴x2＝0，∴x1＝x2＝0.故原方程的解为x1＝x2＝0.请利用这样的数学思想解答下面的问题：
在△ABC中，∠C＝90°，两条直角边的长分别为a，b，斜边的长为c，且(a2＋b2)(a2＋b2＋1)＝12，求斜边的长c.
详解详析
1．C
2．B [解析] 方程3x (x －1)＝5(x ＋2)去括号得：3x 2－3x ＝5x ＋10，移项得：3x 2
－3x
－5x －10＝0，合并同类项得：3x 2
－8x －10＝0.故选B.
3．C
4．A [解析] 用因式分解法解方程时，方程的右边为0，才可以达到将一元二次方程化为两个一次方程的目的．因此选项B ，C 错误，选项D 漏了一个一次方程，应该是x ＝0或x ＋2＝0.选项A 正确．
5．B [解析] 移项，得x (x ＋2)＋(x ＋2)＝0，提公因式，得(x ＋2)(x ＋1)＝0，解得x 1
＝－2，x 2＝－1.
6．D [解析] ∵代数式x 2＋6x ＋5与x －1的值相等，∴x 2＋6x ＋5＝x －1，整理得x 2
＋5x ＋6＝0，解得x ＝－2或x ＝－3.
7．B [解析] 依题意得两次涨价后商品的售价为100(1＋x )2
元，
∴可列方程100(1＋x )2
＝120.故选B.
8．B [解析] ∵2是关于x 的方程x 2－2mx ＋3m ＝0的一个根，∴22
－4m ＋3m ＝0，解得m ＝4，∴x 2－8x ＋12＝0，解得x 1＝2，x 2＝6.①当6是腰长时，2是底边长，此时等腰三角形ABC 的周长＝6＋6＋2＝14；②当6是底边长时，2是腰长，2＋2＜6，不能构成三角形．所以等腰三角形ABC 的周长是14.故选B.
9．x 1＝3，x 2＝9 [解析] (x －3)(x －9)＝0，x －3＝0，x －9＝0，x 1＝3，x 2＝9.
10．3 [解析] x 2＋6x ＋3＝x 2＋6x ＋9－6＝(x ＋3)2－6＝(x ＋m )2
＋n ，则m ＝3.
11．2 [解析] 由题意得||m ＝2且m ＋2≠0，所以m ＝2. 12．1 [解析] ∵x 2
＝b a ，∴x ＝±
b a
， ∴方程的两个根互为相反数， ∴m －4＋3m －8＝0，解得m ＝3，
∴一元二次方程ax 2
＝b 的两个根分别是1与－1， ∴
b a ＝1，∴b
a
＝1. 故答案为1.
13．2 [解析] 依题意，得2×12
－3k ×1＋4＝0，即2－3k ＋4＝0，解得k ＝2. 14．8
15．答案不唯一，如x －1＝0或x ＋3＝0
[解析] 由x 2
＋2x －3＝0，得(x －1)(x ＋3)＝0，所以x －1＝0或x ＋3＝0.
16．x 1＝－5，x 2＝－2 [解析] ∵方程a (x ＋m )2
＋b ＝0的解是x 1＝－2，x 2＝1，∴方程a (x ＋m ＋3)2＋b ＝0中，x ＋3＝－2或x ＋3＝1，解得x ＝－5或x ＝－2.
17．(1)x 1＝2，x 2＝0 (2)x 1＝－3，x 2＝－2
(3)x 1＝－3＋5，x 2＝－3－ 5
(4)x 1＝1，x 2＝－7
3
18．解：(1)4△3＝42
－32
＝16－9＝7.
(2)由题意得(x ＋2)△5＝(x ＋2)2－52
＝0，
(x ＋2)2
＝25，两边直接开平方得x ＋2＝±5，x ＋2＝5，x ＋2＝－5，解得x 1＝3，x 2＝－7.
19．解：(1)根据题意得5x 2＋3＝4x 2
＋4x ，
整理得x 2
－4x ＋3＝0， (x －1)(x －3)＝0， x －1＝0或x －3＝0， 所以x 1＝1，x 2＝3.
(2)M －N ＝5x 2＋3－(4x 2＋4x )＝x 2
－4x ＋3＝(x －1)(x －3)． ∵1＜x ＜5
2
，∴x －1＞0，x －3＜0，
∴M －N ＝(x －1)(x －3)＜0，∴M ＜N .
20．解：设a 2＋b 2＝x (x ＞0)，则方程(a 2＋b 2)(a 2＋b 2
＋1)＝12可化为x (x ＋1)＝12，
即x 2
＋x －12＝0，
解得x 1＝3，x 2＝－4＜0(不合题意，舍去)，
∴a 2＋b 2
＝3. ∵∠C ＝90°，
∴a 2
＋b 2
＝c 2
，∴c 2
＝3，∴c ＝3(负值已舍去)． 答：斜边的长c 为 3.。