一道中考探究题引发的思考
从中考开放探究题的角度谈对学生推理能力的培养
从 中考开放探 究题 的角度谈对学生推理 能力的培养
于 军 李世 刚 （ 辽宁省大 连市 第十八 中学 辽 宁大连 １ ０３ １ ６ ９）
摘 要： 中考试题 中频 频 出现 开放探 究试题 ， 已成 为中考 的一个 热点 ， 这类 问题 需要 学 生们通 过 自己 的观察 ， 想 ． 析 ， 联 分 比较 ， 归纳 、 类比 、 概括 ， 模拟 来探 究结 论 或结论 成立 的条 件 ， 对学生 思维 的灵 活性 ， 刘性 发散性 和 独立性 都 有较 高的要 求 ， 深 能够 有效地 考察 学 生的 自主探 究能 力 、 析和 解决 问题 的能 力。 分 本文 从 中考 开放 探 究题 的 角度 对 学生推 理能 力的培 养提 出的独 到的观 点 。 关键 词 ： 推理 能力 探究 中 图分 类 号 ： ４ Ｇ ２ 文 献标 识 码 ： Ａ 文章 编号 ： ６ ２ ３ ９ （ ｏ ０ ０ （ 一０ １ － １ １７ － ７ １２ １）８ｃ ２ ４ ０ ）
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如图ｌ 示。 所 【 理 能 力的 培 养 】 题 的 第（ ） 推 本 ２ 小题 的 理 解 和 解 答都 有 一 定 的 自由 度 ， 学 生 留 给 有 较 大 的 思 维 空 间 。 题 不 能 套 用 固 定 的 解 模 式 ， 需 要 在 这 个 特 定 的 图形 背 景 中采 而 用执 果 素 因的 策略 ， 探究 使 四边 形 ＡＢＦＧ是
２ ， ２． 条 件开放 探究 性 的试题 的教 学 １ 例 ３ （９ ：０ 年兰 州２ 题 ） 次 函 数 ＝ ０ 二 此 类 题 目只 给 出 部 分 条 件 ， 给 出 结 并 论 ， 生 需 从 结 论 出发 ， 向 追 述 ， 析 探 学 逆 分 的 图象 如 图３ 示 ， 所 点 位 于 坐 标 原 点 ， 点 究 使 结 论 成 立 的 条 件 ， 且 满 足 的 条 件 往 并 往不唯一。 ４ ， ， ， ２８ ｙ 的 正半 轴 上 ， …， ０ 在 轴 ０ 点 例 １ （ ９ 青 岛 市２ 题 ） ：Ｏ 年 １ 已知 ： 图 ， 如 在 平行 四边形 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ中 ， Ｅ Ｂ 边上 的 高 ， Ａ 是 Ｃ 将 △ＡＢ 沿 ＢＣ 向平 移 ， 点Ｅ 点 Ｃ 合 ， 于 第 一象 限的 图象 上 ， Ｅ 方 使 与 重 若 ４， ， 得△Ｇ ｃ。１求证 ： Ｅ ＤＧ （ ） Ｂ ６ 。 Ｆ （） Ｂ ＝ 。２若 ＝ ０ ， △ ， ， ｏ ㈣ ０ 都 为 等 边 三 角 … △ ２， ０ ０ ８ 当ＡＢ与 Ｂｃ 足 什 么 数 量 关 系 时 ， 边 形 满 四 形 ， △ ２ ７ ２８ 咖 的边长 ＝ 则 ０ Ｂ ０ ０ ０ ＡＢ Ｇ 菱 形 ？ 明你 的 结 论 Ｆ 是 证
建构思维模型 创新实验手段——一道“测定空气中氧气含量”实验拓展题分析及引发的思考
试题解析建构思维模型创新实验手段------道“测定空气中氧气含量"实验拓展题分析及引发的思考福建省厦门市翔安第一中学(361101)洪兹田陈女婷实验探究题是每年中考化学试题中最受关注的题型。
纵观近年来全国各地的中考化学实验探究题,不难发现实验探究题越来越注重考查学生的实验与探究能力、“问题一证据一结论”间的推理意识和“科学探究与创新意识”等素养。
2019年福建省中考实验探究题(第17题)以教材中“测定空气中氧气的含量”实验为原型进行拓展，考査测定密闭容器中某种气体(02、CO2)的体积分数的实验探究。
该实验探究题注重思维模型建构和实验手段的创新，今后无论是在新课的实验教学,还是在实验的复习备考中，都应引起师生足够重视。
1试题分析1.1试题呈现某兴趣小组开展“测定密闭容器中某种气体的体积分数”的探究实验。
实验1：按图1所示装置，用红磷燃烧的方法测定空气中氧气的体积分数。
图2实验2装置图实验2：按图2所示装置，在集气瓶内壁用水均匀涂附铁粉除氧剂(其中辅助成分不干扰实验),利用铁锈蚀原理测定空气中氧气的体积分数。
(1)实验1中，红磷燃烧的主要现象是______。
红磷熄灭后，集气瓶冷却至室温，打开K,水能倒吸入集气瓶的原因是_____________________________O(2)为提高实验的准确性，以上两个实验都需要注意的事项是______________________(写_点)O(3)实验过程中，连接数字传感器，测得实验1、实验2中氧气的体积分数随时间变化的关系分别如图3、图4所示。
依据图3、图4中的信息，其中________(填“实验1”或“实验2”)的测定方法更准确，判断依据是______________________________o实-651&O52120406080100120140Z/s图3实验1中氧气的体积分数随时间变化的关系【实验25521140on3mio〃2O O图4实验2中氧气的体积分数随时间变化的关系(4)结合你的学习经验，若要寻找红磷或铁粉除氧剂的替代物。
几何解题研究的方法与思考——以一道中考试题为例
几何解题研究的方法与思考——以一道中考试题为例胡坚波收稿日期：2020-09-23作者简介：胡坚波（1981—），男，中学一级教师，主要从事初中数学课堂教学研究.摘要：解题教学是必不可少的一种课堂教学形式，教师解题研究的能力直接影响到学生对问题理解的深度.教师只有掌握了解题研究的一般方法，才能在课堂中引导学生抓住问题的本质，从而优化解法，并进一步带领学生发现问题、提出问题、解决问题，进而得到一般性的结论，最终提高学生的解题能力、培养学生的数学学科核心素养.文章以2020年中考浙江杭州卷第14题的研究为例，谈谈几何解题研究的一般方法．关键词：中考试题；解题研究；一般方法中考试题的命制往往有其意义，一道看似不起眼的试题，其中很可能蕴含着丰富的内容.如果继续探究下去，或许就能发现试题背后隐藏的深意，从而体现解题的育人价值.本文以2020年中考浙江杭州卷第14题为例，谈谈应该怎样进行几何解题的研究.题目（2020年浙江·杭州卷）如图1，已知AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点B ，连接AC ，OC.若sin ∠BAC =13，则tan ∠BOC 的值为.COAB图1作为填空题的第4道题，试题本身不难，主要考查了三角函数的相关知识.不妨设BC =1，则AC =3.解得AB =22，OB =2.则tan ∠BOC作为填空题，此题的求解到这里就结束了，但是作为解题研究，现在才刚刚开始.一、获得研究对象研究图形要抓住图形的本质，为了更容易抓住本质，几何研究要做减法，即去掉非关键因素.此题中，可以隐去圆，那么题目条件等价于“如图2，∠ABM =90°，点C 在射线BM 上，O 是AB 的中点”.观察图形的结构，不难发现，若点C 的位置确定了，则整个图形的形状就随之确定，即∠BOC ，∠BAC ，∠ACO ，∠BCO 的度数也随之确定.原试题就是在确定的条件下进行的定量研究，而研究图形变化过程中的规律性也是几何研究的常见问题.在图2中，当点C 的位置变化时，∠BOC ，∠BAC ，∠ACO ，∠BCO 的大小也随之改变.当点C 从点B 向射线BM 的方向移动时，容易发现∠BOC 和∠BAC 的度数变大，∠OCB 的度数变小，但无法很快确定∠ACO 的变化情况.接下来，我们进一步探究∠ACO 的变化情况.CO ABM 图2··56二、借助技术获得初步猜想几何问题的研究一般要经历画图、测量、计算、猜想、证明的过程.几何画板软件为我们画图、测量、计算提供了很好的辅助.利用几何画板软件对复杂的问题进行初步研究、获得猜想，是常见的研究起点.利用几何画板软件，发现当点C 从点B 向射线BM 的方向移动时，∠ACO 的度数先变大后变小，且∠ACO 取到的最大值约为19.47°（如图3）.进一步计算，发现此时sin ∠ACO ≈0.33.∠OCA =19.47°∠CAO =35.58°sin∠OCA =0.33M ABCO图3猜想：如图3，当∠ABM =90°，点O 是AB 的中点时，射线BM 上存在点C ，使得∠ACO 取到最大值，此时sin ∠ACO ＝13.三、从“数”的角度验证猜想通过利用几何画板软件进行探究，发现点C 的位置决定了∠ACO 的大小，而点C 的位置可以用BC 的长度来刻画，所以继续探究的思路是用BC 的长度表示sin ∠ACO.为了研究方便，不妨设AB =2，BC =x ，根据勾股定理，得OC 2=1+x 2，AC 2=4+x 2.因为S △ACO =12AC ·OC ·sin ∠ACO =12AO ·BC ，所以sin ∠ACO =x x 4+5x 2+4=14因为x 2＋4x 2≥4，所以当x 2=4x 2，即x =2时，x 2＋4x 2的最小值为4.所以得到sin ∠ACO ≤13，即当BC =2时，sin ∠ACO 取最大值13，猜想得证.四、从“形”的角度验证猜想前面我们从“数”的角度验证了猜想，接下来我们从“形”的角度来思考.抓住变化过程中不变的关系是研究几何问题的常用方法.进一步观察图形，我们发现当点C 的位置发生改变时，∠ACO 所对的边AO 的长度始终没有发生变化.即角度在变，角度所对的边不变.这让我们联想到了圆中同弦所对的角.构造过A ，C ，O 三点的⊙D.如图4，若⊙D 与射线BM 相交，设另一个交点为点E.在线段CE 上任意取一点F （除点C ，E 外），连接AF ，OF ，根据圆内角大于同弧所对的圆周角，可得∠AFO ＞∠ACO.故可知此时∠ACO 的度数并没有取得最大值.图4图5如图5，若⊙D 与射线BM 相切于点C ，在射线BM 上任意取一点G （除点C 外），连接AG ，OG ，根据圆外角小于同弧所对的圆周角，可得∠AGO ＜∠ACO.故此时∠ACO 取到最大值，于是得到第一个有价值的结论.结论1：∠ACO 取到最大值的充要条件是过A ，C ，O 三点的⊙D 与射线BM 相切.接下来，求此时∠ACO 的正弦值及BC 的长.可以沿用前面的解题思路，分别求出线段AO ，OC ，AC ，BC 的长度，再利用△ACO 的面积求解.解法1：如图6，连接DC ，AD ，作DH ⊥AO.H O ABCDM图6不妨设AO =BO =1，则AH =OH =12，BH =32.因为⊙D 与射线BM 相切于点C ，所以DC ⊥BC.因为∠B =90°.··57所以四边形BCDH为矩形.所以AD=DC=BH=32.在Rt△ADH中，由勾股定理，得DH=2.所以BC=DH=2.由勾股定理，得OC=3，AC=6.由S△ACO=12AC·OC·sin∠ACO=12AO·BC，代入解得sin∠ACO=13.显然，求解过程还是有些复杂，不妨进一步思考，此图形还有什么特殊性可以应用？从圆的视角看，⊙D与射线BM相切，∠ACO为圆周角，解法豁然开朗.解法2：利用圆周角定理，可以转化到圆心角进行求解，可得∠ADH=∠ACO.所以sin∠ACO=sin∠ADH=AHAD=13.利用圆幂定理，可得BC2=BO·BA.解得BC=2.解法2抓住了问题的本质，解法也更优化、更简洁.“数”和“形”两种思考方法都能验证猜想，可见这也是我们解决几何问题的一般思路.对比两种思路，从“数”的角度思考，往往需要设未知变量，再利用勾股定理、相似、面积关系、三角函数等，列出未知变量与所求量之间的关系，然后用代数的方法求解；从“形”的角度思考，往往需要根据图形的结构，抓住图形中不变的关系，构建出几何模型，再根据图形性质求解.用“数”的方法容易想到，但计算较复杂；用“形”的方法比较直观，计算也相对简单，但是要弄清楚几何模型结构有一定的难度，需要的知识综合度高，也需要一定的逻辑推理.数形结合的思想方法在教学中有其育人价值，在解题教学中我们应让学生经历基本的活动经验，这样才能培养学生必需的基本数学思想.五、追本溯源其实，本问题在数学史中已经存在，称为“米勒问题”.德国数学家米勒于1471年提出“塑像问题”：有一个高a米的塑像立在一个高b米的底座上，一个人朝它走去（人的高度忽略不计），问此人应站在离塑像底座多远的地方，才能使塑像看上去最大（即视角最大）？根据题意画出图形，如图7，AO为雕像，BO为底座，点C表示人，求∠ACO最大时，BC的长.ABO图7这与我们研究的问题非常相似，只是点O的位置不再是中点，这为我们进一步研究问题提供了思路，即可以改变图形的条件，使之更具一般性，进而获得一般性的结论，这是我们进一步研究几何问题的方向.六、改变条件进一步探究1.改变点O的位置受“米勒问题”的启发，我们可以改变点O的位置，使之一般化，为了研究的连贯性，不妨设AB=2，AO=n（0＜n＜2），这样点O在线段AB上就具有一般性了，本质上与“米勒问题”是等价的.因为结论1与点O在线段AB上的位置无关，所以结论1仍成立.如图8，当⊙D与射线BM相切于点C时，∠ACO取得最大值.此时，易得AH=n2，DC=BH=2－n2.所以AD=DC= 2－n2，sin∠ACO=sin∠ADH=AH AD=n4-n.根据圆幂定理，得BC=BO·BA=4-2n.显然当n=1，即点O是AB的中点时，sin∠ACO的最大值为13，此时BC=2.但是这只是其中的一种特殊情况，于是得到第二个有价值的结论.HOA BCDM图8··58结论2：如图8，设∠ABM =90°，AB =2，点O 是线段AB 上一点，AO =n （0＜n ＜2），则在射线BM 上存在点C ，使得∠ACO 取到最大值，且此时sin∠ACO =n 4-n，BC =4-2n.2.改变∠ABM 的大小此题条件里动点C 所在的射线BM 与AB 垂直，显然条件中的位置比较特殊.若从这个角度改变条件，当射线BM 与AB 不垂直，即∠ABM ≠90°时，相当于“米勒问题”中的雕像及底座与地面不垂直时，那么结论2是否仍成立？因为∠ABM ≠90°，所以四边形DCBH 不再是矩形，即DC ≠BH.求半径的解法相应会有所改变，猜想sin ∠ACO 的值与∠ABM 的度数有关.因为结论1与∠ABM 的大小无关，所以结论1仍然成立.∠ACO 取到最大值时，过A ，C ，O 三点的⊙D 与射线BM 相切，故圆幂定理仍然适用，所以BC =BO ·BA =4-2n.所以可得第三个有意义的结论.结论3：设∠ABM =α（0°＜α＜180°），AB =2，点O 是线段AB 上一点，AO =n （0＜n ＜2），则射线BM 上存在点C ，使得∠ACO 取到最大值，且此时BC =4-2n ，sin ∠ACO 的值与∠ABM 的度数无关.接下来，求sin ∠ACO.因为∠ABM 有锐角和钝角两种情况，所以要分两种情形分类进行研究.情形1：如图9，当0°＜α＜90°时，⊙D 与射线BM相切于点C.根据前面的猜想sin ∠ACO 会与α有关，为了将α用上，所以考虑作垂线构造直角三角形.作DH ⊥AO 于点H ，BE ⊥AB 交DC 的延长线于点E ，作DF ⊥BE 于点F.M O AB CD EF GH图9易证∠CBE =∠EDF =90°-α，DF =BH =2-n 2.所以DE =DF cos ()90°－α=4-n 2sin α，CE =BC ·tan ()90°－α=4-2n ·tan ()90°－α，AD =DC =DE -CE =4-n 2sin α-4-2n ·tan ()90°－αsin∠ACO =sin∠ADH =AH AD =n sin α4-n -24-2n cos α.情形2：如图10，当90°＜α＜180°时，⊙D 与射线BM 相切于点C.同样作DH ⊥AO 于点H ，作BE ⊥AB 交DC 于点E ，作DF ⊥BE 交BE 的延长线于点F.H A B CDOEF M图10易证∠CBE =∠EDF =α-90°，DF =BH =2-n 2.所以DE =DF cos ()α－90°=4-n 2sin α，CE =BC ·tan ()α-90°=4-2n ·tan ()α-90°，AD =DC =DE +CE =4-n 2sin α＋4-2n ·tan()α-90°sin∠ACO =sin∠ADH =AH AD 发现两种情形最后结果的表达式是一致的，而把α=90°代入，得sin∠ACO =n 4-n.与之前的计算结果一致，可见角度在变，结果的表达式不变，得到了变化过程中不变关系的本质，于是得到了问题的一般性结论.结论4：设∠ABM =α（0°<α<180°），AB =2，点O 是线段AB 上一点，AO =n （0＜n ＜2），则射线BM 上存在点C ，使得∠ACO 取到最大值，且此时BC =4-2n ，sin∠ACO =3.当射线BM 改为直线BM 时，相当于“米勒问题”中人可以站到雕像的背面进行观察.如图11，当点C 在直线BM 上移动时，由前面的研究可知，当点C 在射线BM 1和BM 2上时，分别有一个点C 1和点C 2，使得∠AC 1O 和∠AC 2O 在各自的射线上取到最大值，那么∠AC 1O 和∠AC 2O 哪个更大一些呢？显然，当BM ⊥AB 时，BC 1=··59BC 2，由对称性可知∠AC 1O =∠AC 2O.当BM 与AB 不垂直时，不妨设∠ABC 1=α（0°<α<90°），则∠ABC 2=180°-α.根据结论4，可以得到sin ∠AC 1O =sin ∠AC 2O =因为0<cos α<1，所以sin ∠AC 1O ＞sin ∠AC 2O.所以∠AC 1O ＞∠AC 2O.得到结论5.M 2OAB MC 1C 2M 1图11结论5：如图11，当点C 在直线BM 上时，设AB =2，点O 是线段AB 上一点，AO =n （0＜n ＜2），如果直线BM 与线段AB 所成的较小的夹角为∠ABM 1（0°＜∠ABM 1≤90°），则点C 一定在射线BM 1上，使得∠ACO 取到最大值，且此时BC =4-2n ，sin∠ACO =七、解后思考回顾整个研究过程，通过图形的变化将一个确定的图形变为不确定的图形，从而获得研究对象.而对于变化中规律的研究，入手比较难，这时信息技术为化解难点提供了帮助.借助几何画板软件，不仅能方便地展示图形变化的过程，而且可以通过教师有意识地控制帮助学生观察影响变化的要素及其关系，从而获得初步的猜想.接着，从“数”和“形”两个角度验证了该猜想，进一步体会到几何问题在“数”和“形”上的统一，体会到数形结合思想在解题中的重要作用.在引出“米勒问题”后，通过进一步改变条件——点的位置变化、角度的大小变化、射线变为直线等，发现了在条件变化过程中不变的结论.通过这样的解题教学研究可以让学生进一步体会到研究几何问题的一般方法——从简单到复杂，从特殊到一般.整个研究过程，具备学习素材的真实性，问题的开放性，学习过程的探索性，学习手段的操作性，探索过程的动态化、可视化，学习体验的形象化、可表达，学习结果的创造性.这些都有利于在今后的学习中，提高学生发现问题和解决问题的能力，进而实现几何解题教学的育人价值.参考文献：［1］王红权.“高考真题分析”习题课的教学实践与思考［J ］.中小学数学（高中版），2015（4）：20-23.［2］章建跃.研究三角形的数学思维方式［J ］.数学通报，2019，58（4）：1-10.··60。
层层递进,深入探究——以一道浙江中考题为例
4020213层层递进,深入探究—–以一道浙江中考题为例浙江省杭州市杭州外国语学校(310023)傅旭丹摘要笔者以2020年杭州市的中考题为例,与学生一起探究了题目的多种解法,比对优劣,并在此基础上做了一些拓展变式.在剖析解法的过程中,凸显问题的本质,并引导学生提出新的问题,提高学习兴趣.关键词辅助线;解析法;待定系数法2020年杭州市的中考第23题跟2019年一样仍然是圆的综合题型,难度较大,需要学生有一定的数学积累以及技巧性的处理.笔者与学生一起,在课堂上探究本题的多种解法时作了几个变式拓展,记下与同行分享.1原题呈现(2020杭州市中考)如图1,已知AC,BD为⊙O的两条直径,连接AB,BC,OE⊥AB于点E,点F 是半径OC的中点,连接EF.(1)设⊙O的半径为1,若∠BAC=30◦,求线段EF的长.图1(2)连接BF,DF,设OB与EF交于点P,1⃝求证:P E=P F.2⃝若DF=EF,求∠BAC的度数.由于第一小题比较容易,笔者着重探究第二小题两问的解法与变式.参考答案:1⃝作F G⊥AB于点G,与BO交于点H,连接EH.通过证明OE与F H平行且相等可得四边形OEHF是平行四边形,故P E=P F.2⃝由于F G平行于OE、BC,F为OC中点,故F G既是高线又是中线,所以EF=F B=DF;又O是BD的中点,因此F O⊥BD,于是∠BAC=45◦.2解法探究这是一道平面几何综合题,命题者将辅助线、特殊三角形和圆的基本性质完美地结合在一起,比以往中考题更加灵活.参考答案看起来简洁明了,似乎难度并不大.但学生不一定能马上想到辅助线,进入既定“轨道”.笔者引导学生一起思考并补充,整理了几种不同解决方案.方案一:1⃝如图2,取OA中点I,连接IE.由I、E分别是OA、AB的中点可得IE平行于OB;再由O是IF的中点可知,P平分EF,即P E=P F.2⃝过点F作F G⊥AB于点图2G,做法与参考答案一样.以上最后一问的解法,关键在于证明EF=BF.由此笔者整理了以下两种通过构造全等三角形来证明线段相等的方案.图3图4方案二:1⃝如图3,过F作F G//AB,连接CD.因为F是OC的中点,故F G=12DC=12AB.由垂径定理可知, BE=12AB=F G,再由F G//BE得∆F GP与∆EBP全等,故P E=P F.2⃝通过SAS可证明∆AEF =∆GF B,得到EF= F B以后同参考答案.方案三:1⃝同以上任何一种.2⃝如图4,通过SAS可证明∆EOF =∆BMF,得到EF=F B以后同参考答案.事实上,不管是哪种解决方案,学生必须先能结合所学知识找到合适的辅助线,这对很多初中生来说非常困难,此时解析法很有可能可以帮上大忙.由题意可知,四边形ABCD是矩形,所以如图5建图52021341立平面直角坐标系.于是有以下方案.方案四:1⃝设B (c,0),D (0,d ),则C (c,d ),E (c 2,0),F (3c 4,3d 4).利用待定系数法可求得直线EF 与BD 的解析式分别为y =3d c x −3d 2,y =−d c x +d .联立求出交点为P (5c 8,3d 8),再利用两点间距离公式可得P E =P F .2⃝由EF =DF 得√116c 2+916d 2=√916c 2+116d 2,因此c =d ,于是∠BAC =45◦.相比之下,解析法在求证第一个结论时计算显得有些繁琐,但很快能得到第二个结论.解题过程中对学生的思维要求相对较低,不失为一种好的方案.众所周知,历年中考数学压轴题有以下设计特点:知识点多、覆盖面广、条件隐蔽、关系复杂、思路难觅、解法灵活.一般情况我们能从多个角度来解题,涉及的知识点和方法有所不同.本题就有以上优秀压轴题应有的所有气质,不得不说命题人很高明.教师平时多给学生讲解此类问题,探究一题多解,可以在解题过程中复习巩固各项知识点,提高学生解题兴趣并提升思维品质.3变式拓展在探究一题多解的同时,笔者让学生思考能否将本题做改编.可以固定题中直径AC 的位置,BD 在转动,由于F 位置不变,E 在改变,所以DF 与EF 的长度都随着BD 发生变化.于是笔者打算探究一下DF 与EF 的长度之比.接着方案四的解析法,由于EF =√116c 2+916d 2,DF =√916c 2+116d 2,当d =0时,λ=DFEF =√9c 2+d 2c 2+9d 2= 9−80(c d )2+9,因为c d 0,λ∈[13,3);当d =0时,λ=3.综上所述,λ∈[13,3].本题最后一问就是当λ=1时求∠BAC 的度数,那么λ取其它值时∠BAC 是几度呢?变式1已知AC,BD 为⊙O 的两条直径,连接AB,BC ,OE ⊥AB 于点E ,点F 是半径OC 的中点,连接EF,BF,DF ,设OB 与EF 交于点P ,若DF =2EF ,求∠BAC 的度数.(答案:tan ∠BAC =√77)变式2已知AC,BD 为⊙O 的两条直径,连接AB,BC ,OE ⊥AB 于点E ,点F 是半径OC 的中点,连接EF,BF,DF ,设OB 与EF 交于点P ,若∠BAC =60◦,求DF :EF .(答案:√217)以上两个问题用几何法解起来比较困难,解析法通过将已知条件转化为点的坐标之间的关系,能轻松解决.事实上,图形当中还有两条动线段DE 与CE (DE =CE ).我们同样可以探究DE 与EF 的长度比值对∠BAC 的影响.当d =0时,κ=DE EF =√4c 2+16d 2c 2+9d 2= 4−20(c d )2+9,因为c d 0,κ∈[43,2);当d =0时,κ=2.综上所述,κ∈[43,2].于是笔者给出以下两个变式,读者可以自行计算.变式3已知AC,BD 为⊙O 的两条直径,连接AB,BC ,OE ⊥AB 于点E ,点F 是半径OC 的中点,连接EF,BF,DF ,设OB 与EF 交于点P ,若DF =√2EF ,求∠BAC 的度数.(答案:45◦)变式4已知AC,BD 为⊙O 的两条直径,连接AB,BC ,OE ⊥AB 于点E ,点F 是半径OC 的中点,连接EF,BF,DF ,设OB 与EF 交于点P ,若∠BAC =60◦,求DE :EF .(答案:√917)做完以上变式,学生继续挖掘原题中可以变化的条件,提出如果将F 变为线段OC 的三等分点,我们是否可以做相应的探究呢?图6图7图8如图6,F,G 是OC 的三等分点,E,H 是AB 的三等分点.找到线段OA 的三等分点I,J ,连接IE,JH .根据平行线分线段成比例定理不难证明F P :P E =2:1,GQ :QH =1:2.与F 为OC 的中点时同理,我们可以证明图中EF =F B ,于是当DF =EF 时∠BAC =45◦.事实上,若DG =GH ,∠BAC 大小不变.这些探究学生自己能完成,如果探究到此为止,那么也就跟原题大同小异并没有什么新意.笔者发现图中GH 与GB 长度也相等,那么GH 和EF 的长度有何关系呢?变式5已知AC,BD 为⊙O 的两条直径,连接AB,BC .E,H 是AB 的三等分点,点F,G 是半径OC 的三等分点,连接EF,BF,DF ,GH ,GB ,设OB 与EF 、GH 分别交于点P 、Q .(1)求证:F P :P E =2:1,GQ :QH =1:2.(2)若DF =EF ,求∠BAC 的度数.(3)若GH =EF ,求∠BAC 的度数.关于第三问,当GH =EF 时,BF =BG .过B 作BK ⊥OC 于点K ,则K 为F G 的中点.设CK =a ,则4220213“十字”模型及其应用江苏省南京市板桥中学(210039)纪明亮摘要本文研究了利用“十字”模型解决一类含有“垂直”条件的几何问题,正确处理条件中的“垂直”是解题的关键,根据“十字”模型做辅助线巧妙构建图形,将原问题化归到“正方形”或“矩形”中,利用垂直得到三角形全等或相似,最终解决问题.关键词垂直;“十字”模型;构建图形;化归几何是初中数学的重点和难点,有的时候为一道几何题苦思冥想很久还是无法解答,有时为一道几何题能巧妙的作出一种辅助线使问题解决而感到欣喜若狂,那么几何题究竟为何这样难以驾驭?其实几何题看似变幻莫测,但每道题都是有章可循的,可从中抽象出基本模型,抓住基本模型就可以抓住几何题的本质,方能以不变应万变,“十字”模型就是一类重要的几何模型,但此种几何模型的研究并不多,本文对“十字”模型做了一些思考和研究,并将思考和研究的结果与大家分享.1模型分析(1)正方形中“十字”模型1如图1,在正方形ABCD中,E、F、G、H分别为AB、CD、BC、AD上的点,若EF⊥GH于点O,结论: EF=GH.证明:如图1,过点E、G分别作EN⊥CD、GM⊥AD 于N、M,则∠ENF=∠GMH=90◦,EN⊥GM于点P,EN=GM则∠EP G=90◦.由EF⊥GH于点O,则∠EOG=90◦.由∠EP G+∠NEF=∠MGH+∠EOG,则∠NEF=∠MGH,故∆EF N =∆GHM(ASA),则EF=GH.图1图2AK=3a,由射影定理可得BK=√3a,于是tan∠BAC=√33,故∠BAC=30◦.更一般地,我们有如下结论.推论如图8,已知AC,BD为⊙O的两条直径,连接AB,BC.E1,E2,···,E n−1是AB的n等分点,点F1,F2,···,F n−1是半径OC的n等分点,设OB与E1F1,E2F2,···E n−1F n−1分别交于点P1,P2,···,P n−1.则有以下结论:1⃝F i P i:P i E i=(n−i):i,其中i=1,2,···,n−1.2⃝若DF=E i F i(i=1,2,···n−1),则∠BAC= 45◦.3⃝n为奇数时,若对于某个i=1,2,···,n−12,有E iF i=E n−i F n−i,则∠BAC=30◦;n为偶数时,若对于某个i=1,2,···,n2−1,有E i F i=E n−i F n−i,则∠BAC=30◦.4一点反思对于一线教师来说,中考、高考题是不可多得的宝贵资源,如何用好这个资源是我们永恒的课题.真题是考试的精华所在,它将考试范围内的知识点以题目的形式展现出来,这也是命题专家智慧的结晶.真题充分体现该题命题思路和意图,教师应该带领学生通过分析题目的关键要点,了解相关内容的意义,学会从命题者的角度分析问题,寻找解决问题的切入口,培养“题感”.要在课堂上讲好一道题,教师需引导学生从多方面思考问题,找到多种解题方法,从而尽可能全面地复习所学知识点.比如用几何法解本题时,要求学生有非常强的应变能力,灵活度大.此时看看能否建立直角坐标系,将平面几何问题转化为点、线段、角度的计算问题,思维上的要求就低了很多.同时,也可以让学生尝试改编题目,自己编、自己解,这种体验非常有意思.学生提出将中点改成三等分点后,相应问题的探究其实跟之前大同小异.学生可以再次理清求证思路,加深理解.教师在此基础上,可以适当开拓新的问题,这样不仅可以激发学生的解题兴趣,也更有解题的成就感,提高思维的灵活度.另一方面,教师也能在教学活动中积累“功力”,提升专业素养.。
动中找静细分类 静态分析看变化——关于动态探究题的解法思考
合 时 ， 方 形 ＡＢＣＤ 与 正 方 形 ＥＦ 正 ＧＨ 重 叠 部 分 的 面 积 就
是 正 方形 Ｅ Ｇ 的 面积 ， ｙ ｌ ＦＨ 即 ＝ 。④ ５正 方 形 Ａ ＣＤ 沿 － １ Ｂ
动找静细分 类
关于动态探究题的解法思考
江 苏 省 高 邮 市 南 海 中学 倪满跃
动 态 探 究 题 是 近 年 来 各 地 中考 的 热 点 同 时 也 是 难
Ｊ
Ｊ ｌ
点， 主要 以 中 档 题 与综 合 题 形 式 出现 ， 时 也 会 以选 择 有
题形 式 出现 。
静 细 分类 ， 态 分 析 看变 化 ” 静 ．
例 ２２１ （ ０ ０年 重 庆 市 潼 南 县 ） 图 ， 边 形 ＡＢＣＤ 是 如 四
边 长 为 １的 正 方 形 ， 四 边 形 Ｅ ＧＨ 是 边 长 为 ２的 正 方 Ｆ
ｙ ０ ② 当 正 方形 Ａ Ｃ 沿 Ｆ Ｈ 方 向 平 移 ，使 点 Ｆ在 ＝； Ｂ Ｄ —
Ｂ、 之 间 时 ， 正 方 形 Ａ Ｄ ＢｅＤ 与 正 方 形 Ｅ ＧＨ 重 叠 部 分 Ｆ
的 面 积 为 ｙ 且 Ｙ 逐 渐 增 大接 近 于 １ ③ 当点 Ｂ ＝ １ｘ 值 。
，
与 点 Ｄ 重 合 、 Ｂ、 在 Ｆ Ｈ 之 间 ， 点 Ｄ 、 以及 点 Ｄ 与 点 Ｈ 重
形 ， Ｄ 与 点 Ｆ重 合 ， Ｂ， Ｆ ， 在 同一 条 直 线 上 ， 点 点 Ｄ（ ）Ｈ
１ ■＿＼ ＼
一
１
中考材料探究题的解题思路和方法(很实用)
答 ：
（重庆市2011年）为了展示公民道德建设的丰硕成 果，发挥道德模范的榜样作用，今年5月，中共重 庆市委宣传部、市文明办等联合举办了“第三届重 庆市道德模范评选”活动，你所在的学校也参与了 这次活动。 （1）请研读下面三则材料，分别概括他们能成 为道德模范候选人的理由。（3分） 材料一：刘兴勇，在妻子生下女儿因病撒手人寰 后，他就担负起了家庭的全部重担，不仅要照顾襁 褓中的女儿，还要赡养年迈的父母，伺候智障的妻 哥。这样的日子，他已坚持了二十多年。 材料二：刘安容，一名普通的护林员。几十年来， 月收入仅30元的他顶风冒雨，巡视在山高坡陡的林 场。每天10余公里的跋涉，总里程10余万公里的
材料三：在“挑战者”号航天飞机第10次发射升空爆炸、 七名宇航员全部遇难后，时任美国总统的里根发表了电视 讲话。他说：“英雄之所以称之为英雄，并不在于我们赞 赏的语言，而在于他们始终以高度的事业心、自尊心和锲 而不舍地对神奇而美妙的宇宙进行探索的责任感，去实践 真正的生活以至献出生命。”（《真正的英雄》） 学校开展了一系列有关“责任”话题的大讨论。其中 有一个问题：面对责任，为何有人敢于担当，而有人却退 缩逃避呢？请你根据上面的三则材料，探究其原因。 。 第三则材料是里根对遇难宇航员的评价。请你从“责任” 的角度，对前面一、二则材料中张丽莉老师或者队长季莫 什丘克的行为表现，也作出简要的评价。（50字以内） （2分） 答 ： 。 学校为了加强“敢于面对，勇于担当”精神的宣传，拟
3、列宁17岁就开始革命活动。
4、毛泽东26岁主编《湘江评论》。
5、徐特立48岁留法，克服困难，学会法语。
分析：以上几则材料的共性是讲伟人们在 事业上的成就。细分析1-4则材料有一个共性， 即他们在青年时代就出成果，而材料5就不 同了。据此，我们可以得出结论：
由中考化学实验探究题引发的教学反思
［ 出问题］ 提 该公司 生产 的融雪剂 到底含 有什么物质呢７
学 生自己提。让他 们 自己从实验中寻找答案 。 这样效果会很好 。 这既体现现 代 学生 的特点， 又能培养学生 的能力 。同时， 借助实验可 以强化学生对 基础 知识的理解， 提高实验 能力
四 、 系 现 实 生活 联
新 课 程 标 准 的 理 念 是 由 过 分 注 重 学 科 系 统 知 识 的化 学 课 程 向 贴近 社
一、ຫໍສະໝຸດ 上 好 实验 课 统的灌输式教学 。 就像现在市场上销售的感冒药一感冒胶囊， 换成的氨酚烷胺 那敏胶囊， 从外观名称看 ， 好象是新药 ， 实际仍然是 以前的老药。 而新课程理念 提倡的是学生参与合作 ， 师生互动， 探究创新的教学模式 这就要求我们改变 传统的讲授灌输式教学 ， 变成师生先一 同进行原理学习， 然后由学生 自己寻找
化 学实验既是化学学科 的基础和灵魂 ， 又是理解知识 的重 要方式 ， 同时
也 是 中考 考 察 的 重 点 内容 近 年 来 ， 学 实 验 探 究 题 已成 为 中考 化 学 学 科 的 化
［ Ｊ 板
Ｃ ２＋ １ ＝ Ｈ Ｃ ３ Ｏ ｔ ２＝ ２０
△
重要题 型之一 实验探 究题 既考 察了学生对基础知识和 基本技能 的掌握情
交 流
由中考化学 实验探 究题 引发 的教 学反 思
河北省肥 乡县 常耳寨 中学 马增 兰
摘 要： 化学 实 验探 究题 已成为 中考化 学学科 的重要题 型之 一。 实验探 究题既考察 了学生对基 础知识 和基本技 能的掌握情况 ， 又考察了学生分析问题 、
中考语文材料探究题的解题思路和方法
各提一条建议。
根据下列三则材料，完成题目。（6分） （2017镇江中考）
【材料一】类似脑残、 “矮矬穷”这样不雅的词语，经由互联网
传播，已经渗透进民众的日常生活里。随着手机、平板电脑等语言
传播设备的普及，网民接受新词且被新词浸染的速度异常快。同传
统媒体对新词有筛选和冷却的过程相比，新媒体则显得原始而粗放
倚天屠龙抽宝剑
—— 中考材料探究题的解题思路和方法 ——
磨剑
——宝剑锋从磨砺出， 梅花香自苦寒来。
研究下面三则材料，写出探究结果。
材料一、某小学在校园环境文化的营造中，充分利用书香长廊、 橱窗、墙壁、黑板报等空间，以多种艺术表现形式，渗透国学经典 文化元素，让孩子在耳濡目染中快乐成长。
求 材料二、某学校提倡快乐学习国学。校园内众多的楹联、教学楼
得多。
（摘自《光明日报》）
【材料二】作家池莉在接受采访时曾表示：当一个耄耋老人、一个
公务员、一个银行职员、一个汉绣的绣花徒，上来都称呼我为“亲”
时，我何止被惊呆，简直是崩溃。（摘自《文汇报》）
【材料三】2月21日为“国际母语日” ，这个国际性纪念日旨在促
进语言和文化的多样性。在各种新兴表达令人眼花缭乱、各种网络
新词专横地横扫一切个人表达的当下，联合国教科文组织于1999年
设立的这个节日，显得前瞻而又意义非凡。（摘自《文汇报》）
（1）根据材料说说传统媒体少有不雅之词的原因。
（2）“点赞”一词现在使用频率极高。根据材料，指出这种表达
的缺陷。
（3）在个人言论都有机会发表的今天，请你就如何维护汉语的纯
洁性，对社会和个人各提一条建议。
结果表明，第四组仅用了其他三组所用时间的一半，婴儿就安安稳
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一道中考探究题引发的思考
作者：陈军
来源：《中学物理·初中》2014年第11期
笔者在中考二轮复习的过程中，复习到探究题专题的时候，和学生一起深入研究探究题的解题技巧和注意事项时发现，2013年扬州市中考题值得我们在教学过程中深究，从而提升教师专题复习的效率，在提升学生探究能力的同时提升学生解决探究题的能力.
原题（2013年扬州市）小华骑自行车下坡时，想到从斜面下滑物体的快慢与哪些因素有关？回家后她找来了小车、秒表、刻度尺和充当斜面的木板进行探究，如图1所示.首先对影响小车下滑快慢的因素作出以下猜想：猜想一：与小车的质量有关；猜想二：与斜面的高度有关；猜想三：与斜面的长度有关.
（1）根据所学知识，断定猜想二是正确的，依据是
（2）为了验证猜想一，小华设计的方案是在小车内放置不同数量的钩码，分别从斜面的顶端由静止释放，测出下滑的时间.小华测量的结果如表1所示，她怀疑第三次测量错误，于是重新测量并进行了修正.你认为小华第三次测量时间偏小的原因，除了秒表的使用和小车开始的位置不符合设计的要求外，还有一种在操作上存在的问题可能是
（3）为了验证猜想三，小华设计的方案是将小车分别从距斜面底端不同距离处由静止释放，测出下滑的时间.她通过测量发现下滑的时间不同，于是得出猜想三是正确的.请对小华这一探究作出评价，指出她存在的两个主要问题是①
（4）接着小华又作出：“小车下滑的快慢还与斜面倾角有关”的猜想，你认为她
（需/不需）要对这一猜想进行探究.如需要，说出方案；如不需要，说出原因：
仔细深入分析此题，在我们的教学过程中，可以通过本题的解题训练和解题分析，从而促使学生以下几个探究能力和应试技巧的提升.
1 语言表达能力
学生将自己已有的知识，结合探究过程中的现象、数据、细节等情况进行分析，最终用自己的语言清楚地表达自己的观点，这是物理教学过程中应该渗透给学生的一项基本技能.在笔纸考查制度的现状下，这种能力的考查显得更为重要，因为这种能力能很好地反应学生对知识与技能的掌握情况和表达情况，比如在此题的第一小问，就是重点考查学生根据语言表达能力，学生的生活经验和已学物理知识都能清晰地获知猜想二是正确的，但是关键是如何用自己的语言表达清晰，在此就提出了三点要求：（1）找准关键点，即高度的变化；（2）明确关系量，即高度的变化导致重力势能的变化，而重力势能的变化直接导致动能的变化，随即导致运
动快慢的变化；（3）表达要精准，即要表达出关键点的变化又要切入关键点是如何导致探究量的变化，从而表达出彼此的因果关系.
2 审题分析能力
学生的审题分析能力应该属于物理素养中的信息采集能力，在这里的第二小问中，学生要通过文字信息的采集和表格数据的采集进行审题分析，即学生的物理技能向应试技能的转变，这里审题的关键点应该落在“操作”这两个字上，学生要通过对题目的分析获知本题对操作的注意点，即从顶端由静止下滑，顶端是操作的位置要求，静止是操作的动作要求，而需要测量的是时间，由表格数据分析，第三次测量数据和其他几组数据的差异很小，这也再次激发学生分析，在秒表的使用过程中，0.5 s的差异可能会因为测量者本身的反应和按秒表的时间延误而产生的.因此，学生通过审题分析，可以获知三种情况可能导致测量数据的偏差，即没有从顶端下滑、没有由静止下滑、按秒表时的误差这三个原因.而学生再进一步分析文本信息，直接可以排除两种，从而获知可能是没有让小车由静止下滑而引起的.
3 实验评估能力
实验评估是探究过程的最后一个环节，而评估的对象却是整个实验探究过程，比如探究过程中猜想是否合理，实验设计是否科学，表格设计是否规范等等.因此，实验评估的是学生综合探究能力提升和反馈的关键环节.在本题的第三小问中，就充分考查了学生如何评估探究实验过程中的实验设计环节.在实验的设计的过程中，学生要分三步完成思考：
首先，明确探究问题.通过阅读题目，明确本实验要探究的问题是什么，就本题而言就是锁定探究物体下滑的科目与哪些因素有关，此处就是猜想的三个影响因素.
其次，思考如何探究.明确探究问题后，就要思考如何去探究，锁定相应的探究方法.初中阶段常见的探究方法有控制变量法、等效替代法、类比法、实验推理法等等.明确好探究方法后，再去思考如何正确使用探究方法，避免使用过程的错误.以控制变量法的使用为例，本题的操作过程是“将小车分别从距斜面底端不同距离处由静止释放”，设计过程中已经注重了变量的改变，即改变斜面到低端的距离，而此时学生需要分析的就是，是否真正做到变量的变和不变，或者在改变一个量的过程中，是否有新的变量产生，学生会发现斜面到低端距离改变的过程中，小车下滑的高度也发生了改变，即控制变量法过程中出现了多个变量.
再次，思考如何判断.探究结论的获取必须通过实验现象或实验数据来反馈，作为设计者而言，要预设相应的现象和探究问题之间的关系.初中物理中，最常见的判断方法就是转换法，比如第三小问中，题目原先设计的判断方法就是通过时间的长短来反映下滑的运动快慢.而判断方法中，学生发现，该实验设计仍然通过时间的长短来判断下滑的运动快慢，而通过时间的长短来判断运动快慢的前提是相同路程，本题在实验设计时已经把路程改变了，因而从时间的长短角度是无法判断运动快慢的，从而发现在本实验的判断过程中，由于没有考虑新变量带来的影响，而导致判断方法错误.
由此可见，本题的考查充分考虑到学生在评估过程中，对各个实验环节的分析能力，并结合学生自我的实验设计能力来判断本题设计方案过程中存在的具体问题，从实验评估的角度提升学生自己的探究能力.
4 综合应用能力
对学生而言，本题的第四小问是对新猜想正确与否的判断，从整个实验探究过程来分析，猜想与假设的这个过程应该不是难点，因为猜想与假设的过程一般要求学生结合提出的问题和题目中所描述的情景等信息进行合理的猜想，而这里的第四小问是在三个猜想完成后再提出的新猜想，这时就提升了这一问的思维深度.因为此时的猜想是建立在已经完成的基础之上，这时的猜想不仅要科学合理，还不能与前面的猜想重复.实验再次猜想小车下滑的快慢可能与斜面倾角θ有关，这时就要求学生综合分析题目的情景，可获知如图2所示的实验情景，结合学生数学中已经学习的三角函数知识，经过分析发现θ的变化，其本质就是h或者是s的变化，即斜面倾角θ的变化取决于已经探究过的s和h的变化.类似这样的问题，不仅要求学生会分析实验情景，还要结合学生已学的数学知识来分析θ是否与已经探究的物理量之间存在必然的联系.由此可见，学生在二轮专题复习过程中，需要提升的不仅仅是物理探究能力，还要提升物理知识与规律间的综合应用，物理学科与其他学科的巧妙结合，从而提升学生的综合应用能力，即通过物理学科的学习，提升学生的综合素养.
总之，中考复习是义务教育的全面提升阶段，在这个提升的过程中，提升学生素养的主要途径是解题训练，而训练的过程中，我们仍然要以学生的能力发展为中心，在提升学生综合能力的过程中，渗透应试技能的提升，让学生最大限度地提升自己的综合素养.。