利用导数研究函数的极值最值。我的公开课导学案
导数与函数的极值、最值(经典导学案及练习答案详解)
§3.3导数与函数的极值、最值学习目标1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值．知识梳理1．函数的极值(1)函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．2．函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．常用结论对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值．(×)(2)函数的极小值一定是函数的最小值．(×)(3)函数的极小值一定不是函数的最大值．(√)(4)函数y＝f′(x)的零点是函数y＝f(x)的极值点．(×)教材改编题1．如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 A解析 由题意知只有在x ＝－1处f ′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正．2．函数f (x )＝x 3－ax 2＋2x －1有极值，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－6]∪[6，＋∞)B ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)C ．(－6，6)D ．[－6，6]答案 B解析 f ′(x )＝3x 2－2ax ＋2，由题意知f ′(x )有变号零点，∴Δ＝(－2a )2－4×3×2>0， 解得a >6或a <－ 6.3．若函数f (x )＝13x 3－4x ＋m 在[0,3]上的最大值为4，则m ＝________. 答案 4解析 f ′(x )＝x 2－4，x ∈[0,3]，当x ∈[0,2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2,3]时，f ′(x )>0，所以f (x )在[0,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增．又f (0)＝m ，f (3)＝－3＋m .所以在[0,3]上，f (x )max ＝f (0)＝4，所以m ＝4.题型一 利用导数求函数的极值问题命题点1 根据函数图象判断极值例1 (2022·广州模拟)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(x －1)f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )A ．函数f (x )有极大值f (－3)和f (3)B ．函数f (x )有极小值f (－3)和f (3)C．函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(－3)D．函数f(x)有极小值f(－3)和极大值f(3)答案 D解析由题图知，当x∈(－∞，－3)时，y>0，x－1<0⇒f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－3,1)时，y<0，x－1<0⇒f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(1,3)时，y>0，x－1>0⇒f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(3，＋∞)时，y<0，x－1>0⇒f′(x)<0，f(x)单调递减．所以函数有极小值f(－3)和极大值f(3)．命题点2求已知函数的极值例2已知函数f(x)＝x－1＋ae x(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；(2)求函数f(x)的极值．解(1)因为f(x)＝x－1＋ae x，所以f′(x)＝1－ae x，又因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，所以f′(1)＝0，即1－ae1＝0，所以a＝e.(2)由(1)知f′(x)＝1－ae x，当a≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，因此f(x)无极大值与极小值；当a>0时，令f′(x)>0，则x>ln a，所以f(x)在(ln a，＋∞)上单调递增，令f′(x)<0，则x<ln a，所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，故f(x)在x＝ln a处取得极小值，且f(ln a)＝ln a，但是无极大值，综上，当a≤0时，f(x)无极大值与极小值；当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，但是无极大值．命题点3已知极值(点)求参数例3(1)(2022·大庆模拟)函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＋b等于()A ．－7B ．0C ．－7或0D ．－15或6答案 A 解析 由题意知，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2，可得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，因为f (x )在x ＝1处取得极值10，可得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3， 检验知，当a ＝－3，b ＝3时，可得f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，此时函数f (x )单调递增，函数无极值点，不符合题意；当a ＝4，b ＝－11时，可得f ′(x )＝3x 2＋8x －11＝(3x ＋11)(x －1)，当x <－113或x >1时， f ′(x )>0，f (x )单调递增；当－113<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 当x ＝1时，函数f (x )取得极小值，符合题意．所以a ＋b ＝－7.(2)(2022·南京模拟)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )在区间(0，＋∞)上有两个极值，则实数a 的取值范围为( )A ．(0，e)B.⎝⎛⎭⎫0，1eC.⎝⎛⎭⎫0，12 D.⎝⎛⎭⎫0，13 答案 C解析 f ′(x )＝ln x －ax ＋x ⎝⎛⎭⎫1x －a＝ln x ＋1－2ax ，由题意知ln x ＋1－2ax ＝0在(0，＋∞)上有两个不相等的实根，2a ＝ln x ＋1x， 设g (x )＝ln x ＋1x， 则g ′(x )＝1－(ln x ＋1)x 2＝－ln x x 2.当0<x <1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x >1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，所以g (x )的极大值为g (1)＝1，又当x >1时，g (x )>0，当x →＋∞时，g (x )→0，当x →0时，g (x )→－∞，所以0<2a <1，即0<a <12. 教师备选 1．(2022·榆林模拟)设函数f (x )＝x cos x 的一个极值点为m ，则tan ⎝⎛⎭⎫m ＋π4等于( ) A.m －1m ＋1B.m ＋1m －1C.1－m m ＋1D.m ＋11－m 答案 B解析 由f ′(x )＝cos x －x sin x ＝0，得tan x ＝1x ，所以tan m ＝1m， 故tan ⎝⎛⎭⎫m ＋π4＝1＋tan m 1－tan m ＝m ＋1m －1. 2．已知a ，b ∈R ，若x ＝a 不是函数f (x )＝(x －a )2(x －b )·(e x －1－1)的极小值点，则下列选项符合的是( )A ．1≤b <aB ．b <a ≤1C ．a <1≤bD ．a <b ≤1 答案 B解析 令f (x )＝(x －a )2(x －b )(e x －1－1)＝0，得x 1＝a ，x 2＝b ，x 3＝1.下面利用数轴标根法画出f (x )的草图，借助图象对选项A ，B ，C ，D 逐一分析．对选项A ，若1≤b <a ，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意； 对选项B ，若b <a ≤1，由图可知x ＝a 不是f (x )的极小值点，符合题意； 对选项C ，若a <1≤b ，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意； 对选项D ，若a <b ≤1，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意． 思维升华 根据函数的极值(点)求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)验证：求解后验证根的合理性．跟踪训练1 (1)(2022·长沙模拟)若x ＝1是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，则f (x )的极大值为( )A ．－1B ．－2e －3C ．5e －3D ．1 答案 C解析 因为f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1，故可得f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)e x －1＝e x －1[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]，因为x ＝1是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，故可得f ′(1)＝0，即2a ＋2＝0，解得a ＝－1.此时f ′(x )＝e x －1(x 2＋x －2)＝e x －1(x ＋2)(x －1)．令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝1，由f ′(x )>0可得x <－2或x >1；由f ′(x )<0可得－2<x <1，所以f (x )在区间(－∞，－2)上单调递增，在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故f (x )的极大值点为x ＝－2.则f (x )的极大值为f (－2)＝(4＋2－1)e －3＝5e －3.(2)(2022·芜湖模拟)函数f (x )＝ln x ＋12x 2－ax (x >0)在⎣⎡⎦⎤12，3上有且仅有一个极值点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫52，103B.⎣⎡⎭⎫52，103C.⎝⎛⎦⎤52，103D.⎣⎡⎦⎤2，103 答案 B解析 ∵f (x )＝ln x ＋12x 2－ax (x >0)， ∴f ′(x )＝1x＋x －a ， ∵函数f (x )＝ln x ＋12x 2－ax (x >0)在⎣⎡⎦⎤12，3上有且仅有一个极值点， ∴y ＝f ′(x )在⎣⎡⎦⎤12，3上只有一个变号零点．令f ′(x )＝1x ＋x －a ＝0，得a ＝1x＋x . 设g (x )＝1x ＋x ，则g (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减，在[1,3]上单调递增，∴g (x )min ＝g (1)＝2，又g ⎝⎛⎭⎫12＝52，g (3)＝103， ∴当52≤a <103时，y ＝f ′(x )在⎣⎡⎦⎤12，3上只有一个变号零点． ∴实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫52，103.题型二 利用导数求函数最值例4 已知函数g (x )＝a ln x ＋x 2－(a ＋2)x (a ∈R )．(1)若a ＝1，求g (x )在区间[1，e]上的最大值；(2)求g (x )在区间[1，e]上的最小值h (a )．解 (1)∵a ＝1，∴g (x )＝ln x ＋x 2－3x ，∴g ′(x )＝1x ＋2x －3＝(2x －1)(x －1)x， ∵x ∈[1，e]，∴g ′(x )≥0，∴g (x )在[1，e]上单调递增，∴g (x )max ＝g (e)＝e 2－3e ＋1.(2)g (x )的定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝a x ＋2x －(a ＋2)＝2x 2－(a ＋2)x ＋a x＝(2x －a )(x －1)x. ①当a 2≤1，即a ≤2时，g (x )在[1，e]上单调递增，h (a )＝g (1)＝－a －1； ②当1<a 2<e ，即2<a <2e 时，g (x )在⎣⎡⎭⎫1，a 2上单调递减，在⎝⎛⎦⎤a 2，e 上单调递增，h (a )＝g ⎝⎛⎭⎫a 2＝a ln a 2－14a 2－a ； ③当a 2≥e ，即a ≥2e 时，g (x )在[1，e]上单调递减，h (a )＝g (e)＝(1－e)a ＋e 2－2e. 综上，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －a －1，a ≤2，a ln a 2－14a 2－a ，2<a <2e ，(1－e )a ＋e 2－2e ，a ≥2e.教师备选已知函数f (x )＝ln x －ax －2(a ≠0)．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )有最大值M ，且M >a －4，求实数a 的取值范围．解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，由f (x )＝ln x －ax －2(a ≠0)可得f ′(x )＝1x－a ， 当a <0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝1a， 所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时， f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 综上所述，当a <0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． (2)由(1)知，当a <0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无最大值，当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减， 所以当x ＝1a时，f (x )取得最大值， 即f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln 1a －a ×1a－2 ＝ln 1a－3＝－ln a －3， 因此有－ln a －3>a －4，得ln a ＋a －1<0，设g (a )＝ln a ＋a －1，则g ′(a )＝1a＋1>0， 所以g (a )在(0，＋∞)上单调递增，又g (1)＝0，所以g (a )<g (1)，得0<a <1，故实数a 的取值范围是(0,1)．思维升华 (1)求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f (a )，f (b )与f (x )的各极值进行比较得到函数的最值．(2)若所给的闭区间[a ，b ]含参数，则需对函数f (x )求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f (x )的最值．跟踪训练2 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)，设该蓄水池的底面半径为r米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大.解 (1)∵蓄水池的侧面的总成本为100×2πrh ＝200πrh (元)，底面的总成本为160πr 2元，∴蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元．由题意得200πrh ＋160πr 2＝12 000π，∴h ＝15r (300－4r 2)．从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．由h >0，且r >0，可得0<r <5 3.故函数V (r )的定义域为(0,53)．(2)由(1)知V (r )＝π5(300r －4r 3)， 故V ′(r )＝π5(300－12r 2)，令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(舍)．当r ∈(0,5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0,5)上单调递增；当r ∈(5,53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5,53)上单调递减．由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8，即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．课时精练1．若函数f (x )＝x 2＋2xe x 的极大值点与极小值点分别为a ，b ，则a ＋b 等于() A ．－4 B. 2C ．0D ．2答案 C解析 f ′(x )＝2－x 2e x ，当－2<x <2时，f ′(x )>0；当x <－2或x >2时，f ′(x )<0.故f (x )＝x 2＋2x ex 的极大值点与极小值点分别为2，－2， 则a ＝2，b ＝－2，所以a ＋b ＝0.2．如图是函数y ＝f (x )的导函数的图象，下列结论中正确的是( )A ．f (x )在[－2，－1]上单调递增B ．当x ＝3时，f (x )取得最小值C ．当x ＝－1时，f (x )取得极大值D ．f (x )在[－1,2]上单调递增，在[2,4]上单调递减答案 D解析 根据题图知，当x ∈(－2，－1)，x ∈(2,4)时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减；当x ∈(－1,2)，x ∈(4，＋∞)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增．所以y ＝f (x )在[－2，－1]上单调递减，在(－1，2)上单调递增，在(2,4)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，故选项A 不正确，选项D 正确；故当x ＝－1时，f (x )取得极小值，选项C 不正确；当x ＝3时，f (x )不是取得最小值，选项B 不正确．3．已知函数f (x )＝2ln x ＋ax 2－3x 在x ＝2处取得极小值，则f (x )的极大值为( )A ．2B ．－52C ．3＋ln 2D ．－2＋2ln 2 答案 B解析 由题意得，f ′(x )＝2x＋2ax －3， ∵f (x )在x ＝2处取得极小值，∴f ′(2)＝4a －2＝0，解得a ＝12， ∴f (x )＝2ln x ＋12x 2－3x ， f ′(x )＝2x ＋x －3＝(x －1)(x －2)x ，∴f (x )在(0,1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，∴f (x )的极大值为f (1)＝12－3＝－52. 4．(2022·重庆联考)函数f (x )＝x ＋2cos x 在[0，π]上的最大值为( )A ．π－2B.π6 C ．2D.π6＋ 3 答案 D解析 由题意得，f ′(x )＝1－2sin x ，∴当0≤sin x ≤12，即x 在⎣⎡⎦⎤0，π6和⎣⎡⎦⎤5π6，π上时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增； 当12<sin x ≤1，即x 在⎝⎛⎭⎫π6，5π6上时， f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴f (x )有极大值f ⎝⎛⎭⎫π6＝π6＋3，有极小值f ⎝⎛⎭⎫5π6＝5π6－3，而端点值f (0)＝2，f (π)＝π－2，则f ⎝⎛⎭⎫π6>f (0)>f (π)>f ⎝⎛⎭⎫5π6， ∴f (x )在[0，π]上的最大值为π6＋ 3. 5．(多选)已知x ＝1和x ＝3是函数f (x )＝ax 3＋bx 2－3x ＋k (a ，b ∈R )的两个极值点，且函数f (x )有且仅有两个不同零点，则k 值为( )A ．－43B.43 C ．－1D ．0 答案 BD解析 f ′(x )＝3ax 2＋2bx －3，依题意1,3是f ′(x )＝0的两个根， 所以⎩⎨⎧ 1＋3＝－2b 3a ，1×3＝－33a，解得a ＝－13，b ＝2. 故f (x )＝－13x 3＋2x 2－3x ＋k . 易求得函数f (x )的极大值为f (3)＝k 和极小值为f (1)＝－43＋k .要使函数f (x )有两个零点，则f (x )极大值k ＝0或f (x )极小值－43＋k ＝0， 所以k ＝0或k ＝43. 6．(多选)已知函数f (x )＝x ＋sin x －x cos x 的定义域为[－2π，2π)，则( )A ．f (x )为奇函数B ．f (x )在[0，π)上单调递增C ．f (x )恰有4个极大值点D ．f (x )有且仅有4个极值点答案 BD解析 因为f (x )的定义域为[－2π，2π)，所以f (x )是非奇非偶函数，故A 错误；因为f (x )＝x ＋sin x －x cos x ，所以f ′(x )＝1＋cos x －(cos x －x sin x )＝1＋x sin x ，当x ∈[0，π)时，f ′(x )>0，则f (x )在[0，π)上单调递增，故B 正确；显然f ′(0)≠0，令f ′(x )＝0，得sin x ＝－1x， 分别作出y ＝sin x ，y ＝－1x在区间[－2π，2π)上的图象，由图可知，这两个函数的图象在区间[－2π，2π)上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故f (x )在区间[－2π，2π)上的极值点的个数为4，且f (x )只有2个极大值点，故C 错误，D 正确．7．(2022· 潍坊模拟)写出一个存在极值的奇函数f (x )＝________.答案 sin x (答案不唯一)解析 正弦函数f (x )＝sin x 为奇函数，且存在极值．8．(2021·新高考全国Ⅰ)函数f (x )＝|2x －1|－2ln x 的最小值为________．答案 1解析 函数f (x )＝|2x －1|－2ln x 的定义域为(0，＋∞)．①当x >12时，f (x )＝2x －1－2ln x ， 所以f ′(x )＝2－2x ＝2(x －1)x，当12<x <1时，f ′(x )<0， 当x >1时，f ′(x )>0，所以f (x )min ＝f (1)＝2－1－2ln 1＝1；②当0<x ≤12时，f (x )＝1－2x －2ln x 在⎝⎛⎦⎤0，12上单调递减， 所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－2ln 12＝2ln 2＝ln 4>ln e ＝1.综上，f (x )min ＝1. 9．已知函数f (x )＝ln x －2x －2x ＋1. (1)求函数f (x )的单调区间；(2)设g (x )＝f (x )－4＋a x ＋1＋2(a ∈R )，若x 1，x 2是函数g (x )的两个极值点，求实数a 的取值范围． 解 (1)由题知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －2(x ＋1)－2(x －1)(x ＋1)2＝(x －1)2x (x ＋1)2≥0对任意x ∈(0，＋∞)恒成立， 当且仅当x ＝1时，f ′(x )＝0，所以f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间．(2)因为g (x )＝f (x )－4＋a x ＋1＋2＝ln x －a x ＋1， 所以g ′(x )＝1x ＋a (x ＋1)2＝x 2＋(2＋a )x ＋1x (x ＋1)2(x >0)． 由题意知x 1，x 2是方程g ′(x )＝0在(0，＋∞)内的两个不同的实数解．令h (x )＝x 2＋(2＋a )x ＋1，又h (0)＝1>0，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧－2－a >0，Δ＝(2＋a )2－4>0，解得a <－4，即实数a 的取值范围为(－∞，－4)． 10．(2022·珠海模拟)已知函数f (x )＝ln x －ax ，x ∈(0，e]，其中e 为自然对数的底数．(1)若x ＝1为f (x )的极值点，求f (x )的单调区间和最大值；(2)是否存在实数a ，使得f (x )的最大值是－3？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 解 (1)∵f (x )＝ln x －ax ，x ∈(0，e]，∴f ′(x )＝1－ax x， 由f ′(1)＝0，得a ＝1.∴f ′(x )＝1－x x， ∴x ∈(0,1)，f ′(x )>0，x ∈(1，＋∞)，f ′(x )<0，∴f (x )的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，e]；f (x )的极大值为f (1)＝－1，也即f (x )的最大值为f (1)＝－1.(2)∵f (x )＝ln x －ax ，∴f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x ， ①当a ≤0时，f (x )在(0，e]上单调递增，∴f (x )的最大值是f (e)＝1－a e ＝－3，解得a ＝4e >0，舍去；②当a >0时，由f ′(x )＝1x －a ＝1－axx ＝0，得x ＝1a ，当0<1a <e ，即a >1e 时，∴x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，e 时，f ′(x )<0，∴f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫0，1a ，单调递减区间是⎝⎛⎭⎫1a ，e ，又f (x )在(0，e]上的最大值为－3，∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝－1－ln a ＝－3，∴a ＝e 2；当e ≤1a ，即0<a ≤1e 时，f (x )在(0，e]上单调递增，∴f (x )max ＝f (e)＝1－a e ＝－3，解得a ＝4e >1e ，舍去．综上，存在a 符合题意，此时a ＝e 2.11．若函数f (x )＝(x 2－a )e x 的两个极值点之积为－3，则f (x )的极大值为() A.6e 3 B ．－2eC ．－2e D.4e 2答案 A解析 因为f (x )＝(x 2－a )e x ，所以f ′(x )＝(x 2＋2x －a )e x ，由f′(x)＝(x2＋2x－a)e x＝0，得x2＋2x－a＝0，由函数f(x)＝(x2－a)e x的两个极值点之积为－3，则由根与系数的关系可知，－a＝－3，即a＝3，所以f(x)＝(x2－3)e x，f′(x)＝(x2＋2x－3)e x，当x<－3或x>1时，f′(x)>0；当－3<x<1时，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，－3)上单调递增，在(－3,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)的极大值为f(－3)＝6 e3.12．函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在区间[－1,2]上的最大值为3，最小值为－29(a>0)，则a，b的值为()A．a＝2，b＝－29 B．a＝3，b＝2C．a＝2，b＝3 D．以上都不对答案 C解析函数f(x)的导数f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，因为a>0，所以由f′(x)<0，计算得出0<x<4，此时函数单调递减，由f′(x)>0，计算得出x>4或x<0，此时函数单调递增，即函数在[－1,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减，即函数在x＝0处取得极大值同时也是最大值，则f(0)＝b＝3，则f(x)＝ax3－6ax2＋3，f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3，则f(－1)>f(2)，即函数的最小值为f(2)＝－16a＋3＝－29，计算得出a＝2，b＝3.13．(2021·全国乙卷)设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则() A．a<b B．a>bC．ab<a2D．ab>a2答案 D解析当a>0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图1所示，观察可知b>a.图1当a <0时，根据题意画出函数f (x )的大致图象，如图2所示，观察可知a >b .图2综上，可知必有ab >a 2成立．14．(2022·河南多校联考)已知函数f (x )＝2ln x ，g (x )＝x ＋2，若f (x 1)＝g (x 2)，则x 1－x 2的最小值为______．答案 4－2ln 2解析 设f (x 1)＝g (x 2)＝t ，即2ln x 1＝t ，x 2＋2＝t ，解得x 1＝2e t ，x 2＝t －2，所以x 1－x 2＝2e t －t ＋2，令h (t )＝2e t －t ＋2，则h ′(t )＝21e 2t －1， 令h ′(t )＝0，解得t ＝2ln 2，当t <2ln 2时，h ′(t )<0，当t >2ln 2时，h ′(t )>0，所以h (t )在(－∞，2ln 2)上单调递减，在(2ln 2，＋∞)上单调递增，所以h (t )的最小值为h (2ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2＝4－2ln 2，所以x 1－x 2的最小值为4－2ln 2.15．(多选)已知函数f (x )＝x ln x ＋x 2，x 0是函数f (x )的极值点，以下几个结论中正确的是( )A ．0<x 0<1eB ．x 0>1eC ．f (x 0)＋2x 0<0D ．f (x 0)＋2x 0>0答案 AD解析 函数f (x )＝x ln x ＋x 2(x >0)，∴f ′(x )＝ln x ＋1＋2x ，∵x 0是函数f (x )的极值点，∴f ′(x 0)＝0，即ln x 0＋1＋2x 0＝0，∴f ′⎝⎛⎭⎫1e ＝2e >0，当x >1e时，f ′(x )>0， ∵当x →0时，f ′(x )→－∞，∴0<x 0<1e，即A 正确，B 不正确； f (x 0)＋2x 0＝x 0ln x 0＋x 20＋2x 0＝x 0(ln x 0＋x 0＋2)＝x 0(1－x 0)>0，即D 正确，C 不正确．16．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a ln x (a >0)．(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，x 1<x 2，不等式f (x 1)≥mx 2恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝2x －2＋a x ＝2x 2－2x ＋a x，x >0， 一元二次方程2x 2－2x ＋a ＝0的Δ＝4(1－2a )，①当a ≥12时，f ′(x )≥0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②当0<a <12时，令f ′(x )＝0， 得x 1＝1－1－2a 2>0，x 2＝1＋1－2a 2>0， 所以当0<x <1－1－2a 2时， f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当1－1－2a 2<x <1＋1－2a 2时， f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x >1＋1－2a 2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 综上所述，当a ≥12时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，当0<a <12时，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－2a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－2a 2，＋∞. (2)由(1)知，0<a <12，x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝a 2，则0<x 1<12<x 2， 由f (x 1)≥mx 2恒成立，得x 21－2x 1＋a ln x 1≥mx 2，即(1－x 2)2－2(1－x 2)＋2(1－x 2)x 2ln(1－x 2)≥mx 2，即m ≤x 2－1x 2＋2(1－x 2)ln(1－x 2)， 记h (x )＝x －1x＋2(1－x )ln(1－x )， 1>x >12， 则h ′(x )＝1x 2－2ln(1－x )－1>0⎝⎛⎭⎫1>x >12， 故h (x )在⎝⎛⎭⎫12，1上单调递增，h ⎝⎛⎭⎫12＝－32－ln 2， 故m ≤－32－ln 2.。
《3.3.2利用导数研究函数的极值》导学案(新部编)1
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《3.3.2利用导数研究函数的极值》导学案学习目标1、能够区分极值与最值两个不同的概念；2、掌握求可导函数的极值与最值的步骤.学习重难点利用导数研究函数的极值与最值自主学习(一)旧知识复习：函数的单调性与导数的关系：在某个区间()b a ,内，如果 ，那么函数()x f y =在这个区间为增函数；如果 ，那么函数()x f y =在这个区间为减函数．如果在某个区间内恒有 ，则()x f 为常函数.(二)基本概念：1、函数的极值：已知函数()x f y =，设0x 是定义域()b a ,内任一点，如果对0x 附近的 ，都有 ，则称函数()x f 在点0x 处取极大值，记作()0x f y =极大.并把 称为函数()x f 的一个极大值点.如果对0x 附近的 ，都有 ，则称函数()x f 在点0x 处取极小值，记作()0x f y =极小.并把 称为函数()x f 的一个极小值点.极大值与极小值统称为 .极大值点与极小值点统称为 .函数()x f 的最大(小)值是函数在 的最大(小)的值.2、求函数()x f y =极值的如下方法：第1步： ；第2步： ；第3步： .3、最大值与最小值：假设函数()x f y =在闭区间[]b a ,上的图象是一条 的曲线，则该函数在[]b a , 最大值与最小值，函数的最值必在 或取得.4、求函数()x f y =在[]b a ,的最大(小)值步骤：第1步： ；第2步： .(三)基本练习：1、求下列函数的极值：⑴59313+-=x x y ； ⑵2ln y x x =.2、函数1()sin sin 33f x a x x =+在3x π=处具有极值，求a 的值并求出它的极值.3、已知函数()d cx ax x f ++=3()0≠a 是R 上的奇函数，当1=x 时，()x f 取得极值2-.求()x f 的单调区间和极大值.4、求()44313+-=x x x f 在[]3,0的最大值与最小值.5、已知函数()a x x x x f +++-=9323.⑴求()x f 的单调递减区间；⑵若()x f 在区间[]2,2-上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.(四)问题讨论：问题1：如何理解函数的极值点？问题2：如何理解求函数的极值？问题3：函数的极值与最值有何区别与联系？问题4：如何求函数的最值？问题5：在求函数的极值(最值)如何书写解题格式？(五)例题解析例 已知函数31()4 4.3f x x x =-+ (1)求函数的极值；(2)求函数在区间[-3，4]上的最大值和最小值.(六)课后作业：1、求下列函数的极值：⑴672+-=x x y ； ⑵3443x x y -=； ⑶x x y sin 2+=，()π∈2,0x .2、说明函数x y lg =，()0≠+=a b ax y 在()+∞,0为什么没有极值.3、试找出函数()1343++-=x x x f 的极大值点和极小值点.4、求函数3224+-=x x y 在区间[]2,2-上的最大值与最小值.5、在边长为90cm 的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？6、求下列函数在所给区间上的最大值与最小值：⑴3x x y -=，[]2,0∈x ；⑵5933+-=x x y ，[]2,2-∈x ； ⑶()2422-=x x y ，[]2,2-∈x ；⑷155345++-=x x x y ，[]2,1-∈x .。
高中数学《函数极值,最值与导数》导学案
数学选修2-2导学案
二、认识新知 （一）、导数与极值
问题：如图表示跳水运动员，高度h 随时间t 变化的函
数
的图象
结论：
由图象我们知道，)(t h 在a t =处有极大值，此时：
函数)(t h 在a 处0)(='a h ，在a t =的附近 当 0>t 时,函数h(t)单调递增，0)(>'t h ; 当 0<t 时,函数h(t)单调递减, 0)(<'t h 。
2
() 4.9 6.510h t t t =-++
思考：
【问题】：对于任意的一般函数)(x f ，如果在某一点处有 极值，在该点处，导数有什么规律？ 请大家观察下列图象回答一下问题：
问题1：函数)(x f y =在点b a ,的函数值与这些点附近的点 的函数值有什么关系？
问题2：函数)(x f y =在点b a ,处的导数是多少？ 问题3：在点b a ,处函数)(x f y =的导数有什么规律？
结论：
1、在点a 处函数)(x f y =有极小值，此时： ①:点a 附近的点的函数值都大于)(a f ②：0)(='a f
③：在a 点的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f。
《利用导数研究函数的极值》 导学案
《利用导数研究函数的极值》导学案一、学习目标1、理解函数极值的概念，能够区分极值与最值。
2、掌握利用导数求函数极值的方法和步骤。
3、能够运用导数解决与函数极值相关的实际问题。
二、学习重难点1、重点（1）函数极值的概念。
（2）利用导数求函数极值的方法。
2、难点（1）导数为零的点与极值点的关系。
（2）如何根据导数的符号变化确定函数的极值。
三、知识回顾1、导数的定义：函数＼（y ＝ f(x)＼）在＼（x ＝ x_0\）处的导数＼（f'（x_0)＼）等于＼（＼lim_{＼Delta x ＼to 0} ＼frac{f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)｝｛＼Delta x} ＼）。
2、导数的几何意义：函数＼（y ＝ f(x)＼）在＼（x ＝ x_0\）处的导数＼（f'（x_0)＼）表示曲线＼（y ＝ f(x)＼）在点＼（（x_0, f(x_0)）＼）处的切线斜率。
3、基本初等函数的导数公式：（1）＼（（C)＇＝ 0\）（＼（C\）为常数）（2）＼（（x^n)＇＝ nx^｛n 1}＼）（＼（n ＼in Q\））（3）＼（（＼sin x)＇＝＼cos x\）（4）＼（（＼cos x)＇＝＼sin x\）（5）＼（（e^x)＇＝ e^x\）（6）＼（（＼ln x)＇＝＼frac{1}｛x}＼）（7）＼（（＼log_a x)＇＝＼frac{1}｛x\ln a}＼）（＼（a ＞ 0\）且＼（a ＼neq 1\））四、新课导入在我们的日常生活和实际问题中，经常需要研究函数的最大值和最小值。
例如，在生产中，为了降低成本，提高效益，需要找到生产函数的最优产量；在销售中，为了获得最大利润，需要确定最佳的销售价格和销售量。
而函数的极值是研究函数最值的重要工具。
那么，如何利用导数来研究函数的极值呢？五、知识讲解1、函数极值的定义设函数＼（f(x)＼）在点＼（x_0\）附近有定义，如果对＼（x_0\）附近的所有点＼（x\），都有＼（f(x) ＜ f(x_0)＼），则称＼（f(x_0)＼）是函数＼（f(x)＼）的一个极大值；如果对＼（x_0\）附近的所有点＼（x\），都有＼（f(x) ＞ f(x_0)＼），则称＼（f(x_0)＼）是函数＼（f(x)＼）的一个极小值。
《3.3.2利用导数研究函数的极值》导学案(新部编)2
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《3.3.2利用导数研究函数的极值》导学案【学习目标】1.理解极值、最值的概念；2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3.掌握求可导函数的极值与最值的步骤.【学习过程】一、基础知识回顾：1. 求函数的单调区间的方法： (1)求导数)x (f y '='； (2)解方程0)x (f ='；(3)使不等式0)x (f >'成立的区间就是递增区间，使0)x (f <'成立的区间就是递减区间.2. 求函数)(x f y =的极值的方法：(1)求导数)x (f y '='； (2)求方程＿＿＿＿＿＿＿＿的根(临界点)；(3)如果在根0x 附近的左侧)x (f '____0，右侧)x (f '____0，那么)x (f 0是)(x f y =的极大值；如果在根0x 附近的左侧)x (f '____0，右侧)x (f '____0，那么)x (f 0是)(x f y =的极小值3．在区间 []b a ,上求函数 )(x f y =的最大值与最小值 的步骤：(1)求函数 )(x f y =在),(b a 内的导数 ； (2)求函数 )(x f y =在),(b a 内的极值 ；(3)将函数)(x f y =在),(b a 内的各极值与端点处的函数值)(),(b f a f 作比较， 其中最大的一个为最大值 ，最小的一个为最小值二、例题分析：(一)基础题型例1．(08福建文)如果函数()y f x =的图像如右图，那么导函数,()y f x =的图像可能是( )ab y )(x f y ?=O例2. 曲线x x y ln 22-= 的单调减区间是( )A .]1,0(；B .),1[+∞；C .]1,(-∞及]1,0( ；D . )0,1[-及]1,0(； 例3. (09辽宁卷文)若函数2()1x a f x x +=+在1x =处取极值，则a = 例4. 函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点 _个 例5．若1)2(33)(23++++=x a ax x x f 有极值，则a 的取值范围是 . 例6．(07江苏)已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则M m -= .(二)典型题型例7.(2008北京文)已知函数32()3(0),()()2f x x ax bx c b g x f x =+++≠=-且是奇函数.(Ⅰ)求,a c 的值； (Ⅱ)求函数()f x 的单调区间.变式1.(2009北京文)设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠. (Ⅰ)若曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切，求,a b 的值；(Ⅱ)求函数()f x 的单调区间与极值点.(Ⅲ)若1b =-且()f x 在1x =-处取得极值，直线y =m 与()y f x =的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围.思考:若是有1个不同的交点呢？ 2个不同的交点呢？。
利用导数研究函数的最值(导学案用)
海林林业一中 高二数学学案 教师 ：张海宇探究函数“恒成立”问题（导学案）一、学习目标从近年来的高考试题来看，利用导数研究函数“恒成立”问题成为命题的热点，掌握好函数恒成立问题的方法有两种：一是最值法，一是分离参数法。
根据学生的认知水平和导数在函数中的应用在新课程理念下的要求,确定教学目标如下：◆知识目标：理解利用函数求最值的方法，并能应用这两种常见方法求函数最值。
◆能力目标：通过最值法和分离参数法的学习，从而提高学生分析问题解决问题的能力， 进一步培养学生逻辑推理能力。
◆情感目标：培养学生学习数学的兴趣，体会分类讨论思想方法和构造新函数思想方法。
二 、教学重、难点重 点：学习利用导数研究函数的最值方法；难 点：利用导数求函数最值的具体应用；三、课前预习利用导数可以研究函数的哪些性质？四、课堂探究 一、已知函数x x x g x x f 2)(,ln )(-== ，若对所有的[,)x e ∈+∞都有()x f x a x a ≥-成立，求实数a 的取值范围.二轮复习 班级 姓名 自评得分二、〖探究提升——洛必达法则的应用〗(2010年全国新课标理)设函数2()1x f x e x a x =---。
（1） 若0a =，求()f x 的单调区间；（2） 若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围三、〖应用反馈〗1、已知函数2()(1)x f x x e a x =--.当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围.2、已知函数x x x f ln )(=。
若对所有1≥x都有1)(-≥ax x f ，求实数a 的取值范围。
五、〖课堂小结〗请同学们相互交流一下，回顾本节课你学到了哪些知识？。
教学设计6：3.3.2 利用导数研究函数的极值
3.3.2 利用导数研究函数的极值●三维目标1.知识与技能了解函数极值的概念，会从几何直观理解函数的极值与其导数的关系，并会灵活应用；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．2．过程与方法通过对具体问题的观察、分析来增强学生数形结合的思维意识，提高学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力，及灵活运用类比、归纳、化归等数学方法的能力．3．情感、态度与价值观通过设立问题情境，激发学生的学习动机和好奇心理，使其主动参与交流活动．通过对问题的提出、思考、解决培养学生自信、自立、自强的优良心理品质．通过教师对例题的讲解培养学生良好的学习习惯及科学的学习态度．●重点、难点重点：函数的极值的判断方法及求函数极值的步骤．难点：函数在某点取得极值必要条件和充分条件．观察图象特征、自主探究、小组合作总结归纳出求极值方法步骤，并了解极值存在的充分条件和必要条件，从而突破重点、难点．●教学建议本节课力在突出“以学生为主体”的教学理念．以问题探究为主要形式，依照学生的认知规律，采用自主学习与合作探究相结合的模式．教师在整堂课中引导着学生探索出函数的极值与导数的关系．对于检验学生学习的效果，采用问题和练习的形式给予检查和纠正．本着“学生是教学活动出发点，也是教学活动的落脚点”的教学思想，在整个教学活动中，不断激发学生的学习兴趣，让学生真正的参与到知识的成长过程．主要从以下几个方面对学生进行指导：(1)引导学生观察图象，产生认知冲突．极值好像是最值，又不是最值．(2)激发探究欲望．学生产生疑问之后，指导学生思考怎样解决问题，培养学生的分析和解决问题的能力．(3)指导学生合作探究，小组讨论并得出结论．知识：极值点与极值问题导思函数y＝f(x)的图象如图所示．1．函数在x＝a点的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系？答：函数在点x＝a的函数值比它在点x＝a附近的其他点的函数值都小.2．f ′(a )为多少？在点x ＝a 附近，函数的导数的符号有什么规律？ 答：f ′(a )＝0，在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0. 3．函数在x ＝b 点处的情况呢？答：函数在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0，且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0.1．极小值点与极小值函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0.则把点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值．2．极大值点与极大值函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0.则把点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．问题导思函数的极大值一定大于极小值吗？答：不一定，极值刻画的是函数的局部性质，反映了函数在某一点附近的大小情况，极大值可能比极小值还小.课堂互动探究 类型一：求函数的极值例1：求下列函数的极值点和极值． (1)f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋3；(2)f (x )＝3x＋3ln x .【解析】 原函数――→求导导函数―→f ′(x )＝0的点x 0 ――→判断两侧符号极值 解：(1)f ′(x )＝x 2－2x －3.令f ′(x )＝0，得x 1＝3，x 2＝－1，如下表所示：∴f (x )极大值＝143，f (x )极小值＝－6.(2)函数f (x )＝3x ＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－3x 2＋3x ＝3(x －1)x 2，令f ′(x )＝0得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：因此当x ＝1规律方法：1．求函数的极值首先要求函数的定义域，然后求f ′(x )＝0的实数根，当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然．2．函数极值和极值点的求解步骤： ①确定函数的定义域； ②求方程f ′(x )＝0的根；③用方程f ′(x )＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格； ④由f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根左右的符号，来判断f (x )在这个根处取极值的情况． 变式训练：求函数y ＝2x ＋8x的极值．解：函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． y ′＝2－8x 2，令y ′＝0，得x ＝±2.当x 变化时，y ′、y 的变化情况如下表：极大值当x ＝2时，y 极小值＝8.类型2：由函数的极值求参数例2：已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝1与x ＝－23时都取得极值，且f (－1)＝32，求a 、b 、c 的值．【解析】 (1)函数在x ＝1和x ＝－23时都取得极值，说明f ′(1)与f ′(－32)的结果怎样？(2)你能由已知条件列出方程组求解a 、b 、c 吗？解：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，令f ′(x )＝0，由题设知x ＝1与x ＝－23为f ′(x )＝0的解．∴⎩⎨⎧1－23＝－23a ，1×(－23)＝b3.解得a ＝－12，b ＝－2.∴f ′(x )＝3x 2－x －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表知，函数在x ＝1与－23处取得极值．∴a ＝－12，b ＝－2.∴f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，由f (－1)＝－1－12＋2＋c ＝32，得c ＝1.规律方法：已知函数的极值情况，逆向应用来确定参数或求解析式时应注意两点： (1)常根据极值点处导数为0和极值两条件列出方程组，用待定系数法求解． (2)因为导数值为0不一定此点就是极值点，故利用上述方程组解出的解必须验证．变式训练：已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1和x ＝3处有极值，求a 、b 的值． 解：由f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2，得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b . 又f (x )在x ＝－1和x ＝3处有极值， ∴f ′(－1)＝3＋b －6a ＝0，① f ′(3)＝27＋18a ＋b ＝0.②联立①②，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－9.∴f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x ＋1)(x －3)． 当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下：∴a ＝－1，b ＝－9符合题意. 类型3：函数极值的综合应用例3：已知函数f (x )＝x 3－3ax －1(a ≠0)．若函数f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．【解析】 (1)能否由已知条件求出a 值，确定f (x )？(2)直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同交点的含义是什么？如何用数形结合求出m 的范围？解：∵f (x )在x ＝－1处取得极值，∴f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0，∴a ＝1. ∴f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3， 由f ′(x )＝0解得x 1＝－1，x 2＝1. 当x ＜－1时，f ′(x )＞0； 当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0； 当x ＞1时，f ′(x )＞0.∴由f (x )的单调性可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝1，在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3.∵直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点， 又f (－3)＝－19＜－3，f (3)＝17＞1，结合f (x )的单调性可知，m 的取值范围是(－3,1)．规律方法：1．解答本题的关键是运用数形结合的思想将函数的图象与其极值建立起关系．2．极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用与逆用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想在解题中的应用．在解题过程中，熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键．变式训练：已知a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.(1)求函数f(x)的极值，并画出其图象(草图)；(2)当a为何值时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根？解：(1)由f(x)＝－x3＋3x＋a，得f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：极大值为f(1)＝a＋2.由单调性、极值可画出函数f(x)的大致图象，如图所示，这里，极大值a＋2大于极小值a－2.(2)结合图象，当极大值a＋2＝0时，有极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰有两个实数根，所以a＝－2满足条件；当极小值a－2＝0时，有极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，所以a＝2满足条件．综上，当a＝±2时，方程恰有两个实数根．课堂小结：1．极值是一个局部概念．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内是最大或最小．极值是不唯一的，极大值与极小值之间也无确定的大小关系．2．极大值点可以看成是函数的单调递增区间与单调递减区间的分界点，极小值点可以看成是函数的单调递减区间与单调递增区间的分界点．3．可导函数f(x)求极值的一般步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格；(4)检查f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.。
19选修1-1利用导数研究函数的极值和最值(教案教学设计导学案)(20210930014831)
个性化教课指导教课设计学生姓名上课时间2017 年月日年级高二学科教师姓名数学课题利用导数研究函数的极值和最值1、认识函数极值的观点，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，掌握函数极教课目的值的判断及求法．并掌握函数在某一点获得极值的条件．2、理解函数最值的观点，认识其与函数极值的差别与联系，会求某闭区间上函数的最值．教课过程教师活动学生活动1.已知函数 f(x)＝x3＋ x－ 16，直线 l 为曲线 y＝ f(x)的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．2．设 f(x) ＝x3＋ax2＋ bx＋ 1 的导数 f′ (x)知足 f′ (1) ＝ 2a，f′ (2) ＝－ b，此中常数a， b∈R.求曲线 y＝ f(x)在点 (1， f(1))处的切线方程．3.已知函数f(x)＝ (ax2＋ bx＋ c)e x在 [0,1]上单一递减且知足f(0)＝ 1，f(1)＝ 0，求 a 的取值范围．[问题 1]求以下函数的极值：(1) f(x)＝1 x3－ x2－ 3x＋3； (2)f(x)＝ln x.3 x[问题 2] 已知函数f(x)＝ x3－ 3ax2＋ 2bx 在点 x＝ 1 处的极小值为－1，试确立 a，b 的值，并求 f(x)的单一区间．[ 问题 3]已知 a 为实数，函数f(x)＝－ x3＋ 3x＋ a.(1)求函数 f(x) 的极值，并画出其图象 (草图 )；(2)当 a 为什么值时，方程 f(x)＝ 0 恰巧有两个实数根？[ 问题 4]求以下各函数的最值：(1) f(x)＝－ x3＋ 3x， x∈[ －3，3] ；(2) f(x)＝ x2－54x(x＜ 0＝．[ 问题 5]已知函数f(x)＝ 2x3－ 6x2＋ a 在[－ 2,2]上有最小值－ 37，求 a 的值，并求f(x)在[－ 2,2] 上的最大值．[ 问题 6]设函数 f(x) ＝tx2＋ 2t2x＋ t－ 1(x∈ R，t>0) ．(1) 求 f(x)的最小值 h(t)；(2) 若 h( t)<－ 2t＋ m 对 t∈ (0,2) 恒建立，务实数m 的取值范围．知识点一．函数极值的观点函数y＝ f (x)的图象如下图．思虑 1函数在x＝a点的函数值与这点邻近的函数值有什么大小关系？【分析】函数在点x＝ a 的函数值比它在点x＝ a 邻近的其余点的函数值都小．思虑 2为多少？在点x＝ a 邻近，函数的导数的符号有什么规律？【分析】＝ 0，在点 x＝a 邻近的左边 <0，右边 >0．思虑 3函数在x＝b点处的状况呢？【分析】函数在点x＝b 的函数值 f (b)比它在点x＝ b 邻近其余点的函数值都大，＝0，且在点 x＝b 邻近的左边 >0 ，右边<0．概括总结：（ 1）极小值点与极小值函数 y＝ f (x)在点 x＝ a 的函数值 f (a)比它在点x＝ a 邻近其余点的函数值都小，＝0；并且在点 x＝ a 邻近的左边 <0，右边 >0．则把点 a 叫做函数y＝ f (x)的极小值点， f (a)叫做函数y＝ f (x)的极小值．（ 2）极大值点与极大值函数 y＝ f (x)在点 x＝ b 的函数值 f (b)比它在点x＝ b 邻近其余点的函数值都大，＝0；并且在点 x＝ b 邻近的左边 >0，右边 <0．则把点 b 叫做函数y＝ f (x)的极大值点， f (b)叫做函数y ＝ f (x)的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．知识点二求函数 y＝ f (x)极值的方法解方程＝ 0，当＝ 0 时，（ 1）假如在 x0邻近的左边> 0，右边< 0，那么 f (x0)是极大值．（ 2）假如在 x0邻近的左边< 0，右边> 0，那么 f ( x0)是极小值．知识点三函数的最值思虑 1如图，察看区间[a，b]上函数 f ( x)的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？【分析】 f (x1)、 f (x3 )、 f (x5)是极小值， f (x2)， f (x4)是极大值．思虑 2 在上图中，你能找出 f (x) 在区间 [a，b] 上的最大值与最小值吗？【分析】函数 f (x)在 [ ，]上的最小值是 f (xa b3)，最大值是f (b)．概括总结：假如在区间 [a， b] 上函数 y＝ f (x)的图象是一条连续不停的曲线，则该函数在[a，b]上必定能够获得最大值和最小值，并且函数的最值必在极值点或__区间端点__获得．知识点四“最值”与“极值”的差别和联系（1）“最值”是整体观点，是比较整个定义域内的函数值得出的，拥有绝对性；而“极值”是个局部观点，是比较极值点邻近函数值得出的，拥有相对性．（2）从个数上看，函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不只一个，也可能一个都没有．（3）极值只好在定义域内部获得，而最值能够在区间的端点处获得，有极值未必有最值，有最值未必有极值；极值有可能成为最值，特别数函数的连续函数的最值只需不在端点处获得必然是极值．知识点五求函数 y＝ f (x)在 [a， b]上的最值的步骤:（ 1）求函数 y＝ f (x)在 (a， b)内的极值．（2）将函数 y＝ f (x) 的各极值与 __端点处 ___的函数值 f (a) ，f ( b)进行比较，此中最大的一个是 ___最大值 ___，最小的一个是 ___最小值 __．【典例分析】【例 1】求以下函数的极值：(1) f(x)＝－ x3＋ 12x＋ 6；2x－2.(2) f(x)＝x2＋1【例 2】已知函数 f(x) ＝ x3＋ax2＋bx＋ c，且当 x＝－ 1 时获得极大值 7，当 x＝ 3 时获得极小值，试求函数 f( x)的极小值，并求 a， b， c 的值．【例 3】 a 为什么值时，方程 x3－ 3x2－ a＝ 0 恰有一个实根、两个不等实根、三个不等实根？有没有可能无实根？1【例 4】求函数f(x)＝3x3－ 4x＋4 在 [0,3] 上的极值及最大值与最小值．【例 5】若 f(x)＝ ax3－ 6ax2＋ b， x∈ [ － 1,2] 的最大值是3，最小值是－ 29，求 a， b 的值．【例 6】设函数f(x)＝ 2x3＋ 3ax2＋3bx＋ 8c 在 x＝ 1 及 x＝2 时获得极值．(1)求 a， b 的值；(2)若对于随意的 x∈ [0,3] ，都有 f(x)＜ c2建立，求 c 的取值范围．1．以下四个函数中，能在x＝ 0 处获得极值的是()①y＝ x3；② y＝x2＋1；③ y＝cos x－ 1；④ y＝ 2xA ．①②B ．②③C．③④ D ．①③2．已知函数f(x)的定义域为 (a， b)，导函数f′ (x)在 (a， b)上的图象如下图，则函数f( x) 在 (a， b)上的极大值点的个数为()A ．1 B．2 C．3 D ．43．函数 y＝ 3x3－ 9x＋ 5 的极大值为 ________．4．已知函数 f(x)＝ x3＋ ax2＋ 3x－9，若 f(x) 在 x＝－ 3 时获得极值，则a＝ ________.5．求以下函数的极值：(1) f(x)＝ x3－ 12x；1(2) f(x)＝ sin x＋2x， x∈ (0,2 π)．6．函数 f( x)＝ x3－3x(|x|＜1)()A．有最大值，但无最小值B．有最大值，也有最小值C．无最大值，但有最小值D．既无最大值，也无最小值π7．函数 y＝ x－ sin x， x∈2，π的最大值是 ()πA ．π－ 1 B.2－1C．π D ．π＋ 18．函数 y＝e xx在 [0,2] 上的最大值为________．9．已知函数y＝－ x2－ 2x＋3 在区间 [a,2]上的最大值为154，则 a＝________.10．已知 a 为实数， f(x) ＝(x2－ 4)(x－ a)．(1)求导数 f′ (x) ；(2)若 f′ (－ 1)＝0，求 f(x)在 [ －2,2] 上的最大值和最小值．知识点一求函数极值的步骤：①求方程f′ (x)＝ 0 在函数定义域内的全部根；②用 f′ (x)＝ 0 的根将定义域分红若干小区间，列表；③由 f′ (x)在各个小区间内的符号，判断f′ (x)＝0 的根处的极值状况．(2)表格给出了当 x 变化时 y′，y 的变化状况，表格直观清楚，简单看出详细的变化状况，并且能判断出是极大值仍是极小值，最后得出函数的极大值、极小值．知识点二已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，经过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，联合已知求出参数，从而使问题得以解决．知识点三相关恒建立问题，一般是转变为求函数的最值问题．求解时第一要确立函数，看哪一个变量的范围已知，以已知范围的变量为自变量确立函数．一般地，若不等式 a≥ f(x)恒建立，则 a 的取值范围是a≥ f(x) max；若不等式a≤ f(x)恒建立，则 a 的取值范围是 a≤ f(x)min.【典例 1】若 a≠ 0，试求函数f(x) ＝－2ax3－ x2＋ a2x2＋ 2ax 的单一区间与极值．3[变式 1] 设函数 f(x)＝－13x3＋x2＋( m2－1)x(x∈R)，此中m>0，求函数的单一区间与极值．[典例 2] 已知函数 f(x)＝ ax4ln x＋ bx4－ c(x>0)在 x＝ 1 处获得极值－ 3－ c，此中 a， b，c 为常数．若对随意x>0 ，不等式f(x)≥－ 2c2恒建立，求 c 的取值范围．[变式 2]已知函数 f(x)＝ ax4ln x＋ bx4－ c(x>0) 在 x＝ 1 处获得极值－ 3－ c，此中 a， b，c 为常数．若对 x>0，方程 f(x) ＝－ 2c2有解，求 c 的取值范围．1．函数 f( x)＝ 2－ x2－ x3的极值状况是()A ．有极大值，没有极小值B ．有极小值，没有极大值C．既无极大值也无极小值D ．既有极大值又有极小值2．函数f( x)＝ ax3＋bx 在x＝ 1 处有极值－2，则a， b 的值分别为( )A 1 3B 1,3C．－ 1,3 D．－ 1，－ 33．设函数f(x) ＝xe x，则 ()A ． x＝ 1 为 f(x) 的极大值点B ． x＝ 1 为 f(x) 的极小值点C． x＝－ 1 为 f(x) 的极大值点D ． x＝－ 1 为 f(x)的极小值点4．已知 f( x)＝ x3＋ax2＋( a＋ 6)x＋ 1 有极大值和极小值，则 a 的取值范围为 ()A ． (－ 1,2)B ． (－ 3,6)C． (－∞，－ 1)∪ (2，＋∞ )D ． (－∞，－ 3)∪ (6，＋∞ )5．对于函数 f(x)＝ x3－ 3x2，给出命题：①f( x)是增函数，无极值；② f( x)是减函数，无极值；③ f( x)的单一递加区间为 (－∞， 0) ，(2，＋∞ )，单一递减区间为 (0,2)；④f(0) ＝ 0 是极大值， f(2)＝－ 4 是极小值．此中正确的命题有( )A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个6．已知函数 f(x)＝ ax3＋ bx2＋ c，其导数 f′ (x)的图象如下图，则函数的极小值是________．a＋ ln x7．函数 f( x)＝(a∈ R)的极大值为 ________．x8．已知函数f(x)＝ x4＋ 9x＋ 5，则 f(x)的图象在 (－ 1,3)内与 x 轴的交点的个数为________．9．以下说法正确的选项是()A．函数在其定义域内如有最值与极值，则其极大值即是最大值，极小值即是最小值B．闭区间上的连续函数必定有最值，也必定有极值C．若函数在其定义域上有最值，则必定有极值；反之，如有极值，则必定有最值D．若函数在给定区间上有最值，则有且仅有一个最大值、一个最小值，但如有极值，则可有多个极值10．函数 f(x)＝ 2x－A ．无最值cos x 在 (－∞，＋∞ )上( B．有极值)C．有最大值 D ．有最小值11．函数1f(x)＝ 2 x＋ x，x∈(0,5] 的最小值为( )A ．2B ．317C. 41 D．2 2＋212．函数 f(x)＝ x3－x2－x＋ a 在区间 [0,2] 上的最大值是3，则 a 的值为 ()A ．3B ．1C． 2 D．－113．已知函数f( x)， g(x)均为 [a， b] 上的可导函数，在[a， b]上连续且f′ (x)<g′ (x)，则 f(x) － g(x)的最大值为( )A ． f(a)－ g(a) C． f(a)－ g(b)B ．f(b)－D ．f(b)－g( b)g( a)a1．已知函数 f(x)＝x2＋ 2ln x，若当 a＞0 时，f(x)≥ 2 恒建立，则实数 a 的取值范围是________．2．已知函数f(x)＝ x3＋ ax2＋ 2，且 f(x)的导函数f′ (x)的图象对于直线x＝ 1 对称．(1)求导函数 f′ (x)及实数 a 的值；(2)求函数 y＝ f(x)在[ － 1,2]上的最大值和最小值．3．设 f(x)＝ ln x， g(x)＝ f(x)＋ f′ (x)．(1)求 g( x)的单一区间和最小值；1(2) 求 a 的取值范围，使得g(a)－ g(x)＜a对随意 x＞ 0 恒建立．4．已知函数f(x)＝ x3－ 3ax－ 1， a≠ 0.(1)求 f(x)的单一区间；(2) 若 f(x)在 x＝－ 1 处获得极值，直线y＝ m 与 y＝ f(x)的图象有三个不一样的交点，求m 的取值范围．5．已知函数f(x)＝ e x(ax＋ b) －x2－ 4x，曲线 y＝ f(x)在点 (0， f(0)) 处的切线方程为y＝4x＋ 4.(1)求 a， b 的值；(2)议论 f(x)的单一性，并求 f(x)的极大值．。
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1. (选修2 2P319练习1改编)函数y=x2-4x+3在R上有极值,该值的大小为.
2. (选修1 1P80习题8改编)函数y=x3-3x+9的极小值是.
3. (选修1 1P76习题2改编)函数f(x)=x3+3x2+4x-a的极值点有个.
(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)若|a|>1,求f(x)在闭区间[0,|2a|]上的最小值.
课
堂
小
结
检
测
反
馈
1.函数f(x)=x3-3x+1,x∈[0,2]的最大值为.
2.已知函数f(x)的导函数为f'(x)=x2-x,则使得函数f(x)取得极大值的x=.
3.设函数f(x)= +ln x,则函数f(x)的极小值点为x=.
课
题
第19课时利用导数研究函数的极值、最值
主备人
审核
学
习
目
标
1.理解极值、最值的定义，理解极值与最值之间的关系。
2.利用导数求函数极值、最值的一般步骤。
学习
重点
1.理解极值、最值的定义，理解极值与最值之间的关系。
2.利用导数求函数极值、最值的一般步骤。
学习
难点
利用导数求函数极值、最值的一般步骤。
学习
(2)若函数f(x)有极大值28,求函数f(x)在[-3,3]上的最小值.
练习巩固
1.函数y=x3-3x2+5,x∈[-2,3]的值域为.
2.已知函数f(x)= x2+lnx,则f(x)在区间[1,e]上的最大值是.
3. (2013·浙江卷)已知a∈R,函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax.
方法
自主学习，小组合作学习
学生活动过程展示
教师活动与札记
自主先学
小组讨论
交流展示
质疑拓展
自主先学
小组讨论
交流展示
质疑拓展
自主先学
小组讨论交Leabharlann 展示质疑拓展自主先学
小组讨论
交流展示
质疑拓展
1.函数的极值
如果在函数y=f(x)的定义域I内存在x0,使得在x0附近的所有点x,都有,则称函数y=f(x)在点x=x0处取得极大值,记作;如果在x0附近的所有点x,都有,则称函数y=f(x)在点x=x0处取得极小值,记作.
4. (2013·湖北卷改编)已知函数f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点,则实数a的取值范围是.
学
与
教
反
思
2.求函数极值的步骤:
(1)求导数f'(x);
(2)求方程f'(x)=0的所有实数根;
(3)观察在每个根xn附近,从左到右,导函数f'(x)的符号如何变化:如果f'(x)的符号由正变负,则f(xn)是极大值;如果f'(x)的符号由负变正,则f(xn)是极小值;如果f'(x)的符号在xn的两侧附近相同,则xn不是函数f(x)的极值点.
(2013·重庆卷)设函数f(x)=a(x-5)2+6lnx,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6).
(1)确定a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间与极值.
题型二结合导数研究函数的最值
已知函数f(x)=ax3+bx+c在x=2处取得极值为c-16.
(1)求实数a,b的值;
4. (选修1 1P80习题8改编)已知函数y=2x3-3x2-12x+a在区间[0,2]上的最大值为5,则a的值为.
5. (选修1 1P90习题7改编)已知函数y=3x3-9x+a有两个零点,则a=.
题型一、结合导数研究函数的极值
求下列函数的极值:
(1) f(x)=2x3-6x2+1;
(2) f(x)= .
3.函数的最值
如果在函数f(x)的定义域I内存在x0,使得对于任意的x∈I,都有,则称f(x0)为函数的最大值,记作ymax=;如果在函数f(x)的定义域I内存在x0,使得对于任意的x∈I,都有,则称f(x0)为函数的最小值,记作ymin=.
4.求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最值的步骤:
(1)求函数f(x)在区间[a,b]上的极值;