§2.6距离计算
高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.6 距离的计算 2.6.2 直线到平面的距离、平面到平面的
1.理解直线到平面的距离、平面到平面的距离的概念. 2.通过转化,会利用空间向量解决距离问题.
1.直线到平面的距离
当直线与平面平行时,直线上任一点到该平面的距离,叫直线到
平面的距离.
求直线到平面的距离时,一般转化为点到平面的距离.
说明:如果直线l平行于平面α,即l∥α,求直线l到α的距离可以转化
2.平面到平面的距离 当两平面平行时,一个平面内任一点到另一平面的距离,叫平面 到平面的距离. 求平面到平面的距离时,一般也是转化成点到平面的距离. 说明:如果两个平面α,β互相平行,即α∥β,求α与β之间的距离可以 转化为求平面α上任意一点P到平面β的距离,即点到平面的距离.
3.两条异面直线间的距离 (1)与两异面直线垂直且相交的直线叫作异面直线的公垂线,夹在 两交点之间的线段叫作公垂线段.两异面直线的距离是指公垂线段 的长度. (2)用向量法求异面直线距离的步骤:先求两条异面直线的公垂线 的方向向量,再求两条异面直线上两点的连线段在公垂线的方向向 量上的投影的大小.如图,a,b是两条异面直线,n是a和b的公垂线的 方向向量,点E∈a,F∈b,则异面直线a与b间的距离 d=|������|������������·|������|.
设 F(0,m,0),则������������=(-a,m-a,0),������������=(-a,-a,a).
∵PC⊥CF,∴������������ ⊥ ������������,∴������������ ·������������=(-a)·(-a)+(-a)·(m-a)+0·a
=a2-a(m-a)=0,
∴������������1=(1,1,1)为 AD1和 A1B 的公垂线的方向向量,d=|���������|������1������·������1������|���1| =
高二数学北师大版选修2-1课件2.6 距离的计算
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5 .两条异面直线的距离的求法
剖析 :用向量法求异面直线距离的步骤:先求两条异面直线的公垂线的 方向向量,再求两条异面直线上两点的连线段在公垂线的方向向量上的投 影的大小.如图,a ,b 是两条异面直线,n 是 a 和 b 的公垂线的方向向量,点 E ∈a ,F∈b ,则异面直线 a 与 b 间的距离 d=
(3)空间一点 A 到直线 l 的距离的算法框图:
(4)平行直线间的距离通常转化为求点到直线的距离. 说明 :求点 A 到直线 l 的距离 d ,要过点 A 作直线 l 的垂线段 AA',再在直 线 l 上取垂足 A'以外的任一点 P 和直线 l 的方向向量 s ,构造出 Rt△PA'A,计 算| ������������| 和| ������������· s 0|,利用勾股定理,求出点 A 到直线 l 的距离 d. 【做一做 1】 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a,则点 A1 到对角 线 BC1 所在直线的距离是( ) A. a 答案 :A
§6 距离的计算
1.理解点到直线的距离、点到平面的距离的概念. 2.掌握点到直线的距离公式、点到平面的距离公式,并能求两条直线间 的距离、平行平面间的距离. 3.通过转化,会利用空间向量解决距离问题.
1 .点到直线的距离 (1)因为直线和直线外一点确定一个平面,所以空间点到直线的距离问 题就是空间中某一平面内点到直线的距离问题.
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2 .求点到平面的距离 剖析 :求点 A 到平面 π 的距离 d ,当 A∈π 时,d=0; 当 A∉π 时,设 π 是过点 P 垂直于向量 n 的平面,设 AA'⊥π ,垂足为 A',则点 A 到平面 π 的距离 d 等于 向量 ������������在平面 π 的法向量 n 上的投影的大小|������������· n0| ,即 d=|������������· n0|.
(教师用书)高中数学 2.6 距离的计算课件 北师大版选修2-1
●重点难点 重点：点到直线、点到平面距离公式的推导及应用． 难点：把空间距离转化为向量知识求解． 引导学生探索空间距离的计算公式和计算方法，在探索 中，深化学生对空间距离求法的认识，通过具体例子，让学 生感知求空间距离时，综合法的“难”和向量法的“易”， 体会向量法在研究空间问题中的作用．
三、教学建议 1． 引导学生自主发现问题、 分析问题并解决问题， 比如， 为什么引入空间距离？怎样求空间距离？用向量法去求的优 越性是什么？教学中，要以问题为主线，引导学生体验探索 全过程，在这个过程中，形成并深化对空间距离求法的认识． 2．在教学中，要渗透符号化、模型化、运算化和程序化 的思想． 3．教学中，应把立体几何问题作为学习向量法的载体， 以向量法作为主要教学目标．
【提示】
s → → 向量PA在 s 上的投影为PA· .作 AA′⊥l 于 |s|
→ s A′，则投影PA· 的几何意义是有向线段 PA′的数量． |s|
→ 在 s 上的投影求点 A 到直线 l 的距离？ 2．如何利用PA
【提示】 由勾股定理得， d＝ PA2－PA′2. ∴d＝ s2 → → 2 |PA| －|PA· | . |s|
用向量法求点到直线的距离时，需要注意以下几点： 1．点 P 可以在直线 l 上任意选取，因此可选取易求得坐 标的特殊点． 2．直线 l 的方向向量可任意选取． 3．点到直线的距离公式中 s0 是单位向量，在求得直线 l 的方向向量 s 后，要将其单位化．
已知 ABCD－EFGH 是棱长为 1 的正方体，若 P 在正方 3→ 1 → 2→ → 体内部且满足AP＝4AB＋2AD＋3AE，则 P 到 AB 的距离为 ( 5 A. 6 10 30 C. 6 181 B． 12 5 D． 6 )
2.6《距离的计算》,课件(北师大版选修2-1)
∠ACB=90°,侧棱AA1=2，D，E分别是C1C，A1B的中点，点E在
平面ABD上的射影是△ABD的重心G. (1)求A1B与平面ABD夹角的大小;
(2)求点A1到平面AED的距离.
【解题提示】建立空间直角坐标系，利用向量运算进行 证明.
【解析】(1)连接BG，GE，则BG是BE在平面ABD上的射影，即 ∠A1BG是A1B与平面ABD所成的角.如图所示建立空间直角坐标 系，坐标原点为C，射线CA，CB，CC1分别为x轴,y轴，z轴的
ABCD折成直二面角A—BD—C，E是CD的中点，则异面直线AE、 BC间的距离为（ ）
（A） 2 （B） 3 （C） 3 （D）1 2 【解题提示】正确的比较两个图形. 【解析】选D.CE为公垂线段.E为CD中点，CE=1.
4.如图，ABCD—EFGH是边长为1的正方体，若P在正方体内部且
满足 则P到AB的距离为( )
2 a,d2= 3 a,d3=a. 2 3
答案：d2＜d1＜d3
6.棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1 到平面MBD的距离是_________.
【解析】以D为原点,DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立 空间直角坐标系. 则A1(a,0,a),A(a,0,0),M(a,0, B(a,a,0),D(0,0,0).
学习目标定位
基础自主学习
典例精析导悟
课堂基础达标
知能提升作业
一、选择题（每题4分，共16分） 1.(2010·商丘高二检测)平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，向量 AB，AD，AA1两两夹角均为60°,且|AB|=1，|AD|=2，|AA1|=3， 则|AC1|=（ ）
距离的计算公式
距离的计算公式
距离的计算公式取决于所考虑的空间和度量单位。
在二维空间中，两点A(x1, y1)和B(x2, y2)之间的距离可以用欧几里得距离公式计算：
d = √[(x2-x1)² + (y2-y1)²]
在三维空间中，两点C(x1, y1, z1)和D(x2, y2, z2)之间的距离可以用三维空间的欧几里得距离公式计算：
d = √[(x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²]
需要注意的是，以上计算公式适用于平直空间。
在弯曲的空间中，如球面空间，需要使用其他的距离公式进行计算。
另外，还有一些其他的距离度量方式，如曼哈顿距离、切比雪夫距离等，具体使用哪种距离度量方式需要根据问题的具体情况和需求来选择。
距离公式高中数学
距离公式高中数学距离公式是高中数学中的重要内容之一，它在几何和代数中都有广泛的应用。
通过距离公式，我们可以计算出两点之间的距离，从而帮助我们解决各种实际问题。
在二维平面上，如果给定两个点的坐标，我们可以利用距离公式求出它们之间的距离。
距离公式的表达式为d = √((x2-x1)² + (y2-y1)²)，其中(x1, y1)和(x2, y2)分别表示两个点的坐标，d表示它们之间的距离。
这个公式的推导过程可以通过勾股定理来解释。
以直角三角形为例，假设有一个直角三角形ABC，其中∠C为直角。
我们可以将顶点C作为坐标原点，将AC边和BC边分别与x轴和y 轴对齐。
此时，点A的坐标可以表示为(x1, y1)，点B的坐标可以表示为(x2, y2)。
根据勾股定理，AC边的长度为√((x1-0)² + (y1-0)²)，BC边的长度为√((x2-0)² + (y2-0)²)。
因此，AB边的长度就是点A和点B之间的距离，即d = √((x2-x1)² + (y2-y1)²)。
除了在二维平面上计算距离，距离公式也可以应用于三维空间。
在三维空间中，我们需要给定两个点的空间坐标，即(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)，用类似的方式计算它们之间的距离。
距离公式的表达式为d = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²)。
利用距离公式，我们可以解决各种实际问题。
例如，在地理学中，我们可以利用距离公式计算出两个城市之间的直线距离，从而帮助规划旅行路线或者估算车辆的行驶里程。
在物理学中，距离公式可以用于计算两个物体之间的距离，从而帮助我们研究物体的运动轨迹和相互作用。
在工程学中，距离公式可以应用于建筑设计、道路规划等方面，从而提高工程项目的效率和准确性。
除了二维和三维空间，距离公式还可以推广到更高维的情况。
2.6距离的计算 教案(北师大版选修2-1)
§6距离的计算●三维目标1．知识与技能(1)理解立体几何中点到直线的距离、点到平面的距离的概念．(2)掌握各种距离的计算方法．2．过程与方法(1)通过空间中距离的计算，培养学生运用算法化思想解决问题的能力．(2)通过对空间几何图形的探究，使学生会恰当地建立空间直角坐标系．3．情感、态度与价值观学生经历对空间图形的研究从“定性推理”到“定量计算”的转化过程，从而提高分析问题、解决问题的能力．●重点难点重点：点到直线、点到平面距离公式的推导及应用．难点：把空间距离转化为向量知识求解．引导学生探索空间距离的计算公式和计算方法，在探索中，深化学生对空间距离求法的认识，通过具体例子，让学生感知求空间距离时，综合法的“难”和向量法的“易”，体会向量法在研究空间问题中的作用．三、教学建议1．引导学生自主发现问题、分析问题并解决问题，比如，为什么引入空间距离？怎样求空间距离？用向量法去求的优越性是什么？教学中，要以问题为主线，引导学生体验探索全过程，在这个过程中，形成并深化对空间距离求法的认识．2．在教学中，要渗透符号化、模型化、运算化和程序化的思想．3．教学中，应把立体几何问题作为学习向量法的载体，以向量法作为主要教学目标．●教学流程设置情境引入课题――→探索空间距离的定义――→探索空间距离的计算公式――→应用通过例子，深化对空间距离的认识――→比较比较综合法的“难”，向量法的“易”――→尝试通过练习进行反馈矫正――→小结提炼思想方法：数形结合、化归转化，形成整体认识1．如图，已知向量s 是直线l 的方向向量，点P 在直线l 上，点A 是空间中一点，则向量P A →在s 上的投影是什么？其几何意义是什么？【提示】 向量P A →在s 上的投影为P A →·s |s |.作AA ′⊥l 于A ′，则投影P A →·s|s |的几何意义是有向线段P A ′的数量．2．如何利用P A →在s 上的投影求点A 到直线l 的距离？ 【提示】 由勾股定理得， d ＝P A 2－P A ′2.∴d ＝|P A →|2－|P A →·s |s ||2.利用向量求点A 到直线l 的距离步骤： (1)找到直线l 的方向向量s ； (2)在直线l 上任取一点P ； (3)计算点P 到点A 的距离|P A →|； (4)计算P A →在向量s 上的投影P A →·s 0； (5)计算点A 到直线l 的距离d ＝|P A →|2－|P A →·s 0|2.如图，已知向量n 是平面π的法向量，点P 在平面π内，点A 是空间中一点，试用向量P A →在n 上的投影表示点A 到平面π的距离．【提示】 d ＝|P A →·n|n ||.利用向量求点A 到平面π的距离步骤： (1)找到平面π的法向量n ； (2)在平面π内任取一点P ； (3)计算P A →在向量n 上的投影P A →·n 0； (4)计算点A到平面π的距离d＝|PA→·n 0|.11111分别是AB ，CC 1的中点，求点D 1到直线GF 的距离．【思路探究】 建系⇒求D 1、F 、G 坐标⇒GF →、GD 1→的坐标⇒求GD 1→在GF →上的投影⇒利用公式求解【自主解答】 以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D 1(0,0,2)，F (1,1,0)，G (0,2,1)， 于是有GF →＝(1，－1，－1)， GD 1→＝(0，－2,1)，所以GF →·GD 1→|GF →|＝2－13＝13，|GD 1→|＝5，所以点D 1到直线GF 的距离d ＝|GD 1→|2－|GD 1→·GF →|GF →||2＝5－13＝423.用向量法求点到直线的距离时，需要注意以下几点：1．点P 可以在直线l 上任意选取，因此可选取易求得坐标的特殊点． 2．直线l 的方向向量可任意选取．3．点到直线的距离公式中s 0是单位向量，在求得直线l 的方向向量s 后，要将其单位化．已知ABCD －EFGH 是棱长为1的正方体，若P 在正方体内部且满足AP →＝34AB →＋12AD→＋23AE →，则P 到AB 的距离为( ) A.56 B ．18112 C.10306 D ．56【解析】 建立如图所示空间直角坐标系，则 AP →＝34(1,0,0)＋12(0,1,0)＋23(0,0,1)＝(34，12，23)．又∵AB →＝(1,0,0)，∴AP →在AB →上的投影为AP →·AB →|AB →|＝34，∴点P 到AB 的距离为|AP →|2－|AP →·AB →|AB →||2＝56.【答案】 A图2－6－1如图2－6－1直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱AA 1＝3，底面△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝1，求点B 1到平面A 1BC 的距离．【思路探究】 建坐标系确定向量A 1B →的坐标形式找出平面A 1BC 的 一个法向量为n 代入d ＝ |A 1B 1→·n |n ||求解【自主解答】 如图建立空间直角坐标系，由已知得直棱柱各顶点坐标如下：A (1,0,0)，B (0，1,0)，C (0,0,0)，A 1(1,0，3)，B 1(0,1，3)，C 1(0,0，3)∴A 1B →＝(－1,1，－3)，A 1C →＝(－1,0，－3)，B 1A 1→＝(1，－1,0)． 设平面A 1BC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·A 1B →＝0n ·A 1C →＝0⇒⎩⎨⎧－x ＋y －3z ＝0－x －3z ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ＝0z ＝1即n ＝(－3，0,1)，所以，点B 1到平面A 1BC 的距离d ＝|n ·A 1B 1→||n |＝32.1．本题是一个基本的点面距离的求解问题，要从几何角度作出表示这个距离的线段有很大的困难，利用向量方法求解较为容易．2．求点到平面的距离的步骤可简化为： (1)求平面的法向量；(2)求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离．图2－6－2如图2－6－2所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为1，求点A 1到平面AD 1C 的距离．【解】 以D 为原点建立空间直角坐标系，则AA 1→＝(0,0,1)，AC →＝(－1,1,0)，AD 1→＝(－1,0,1)，设平面AD 1C 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，则⎩⎨⎧n ·AD 1→＝0，n ·AC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋1＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1， ∴n ＝(1,1,1)，∴d ＝|AA 1→·n ||n |＝13＝33.图2－6－3如图2－6－3所示，在已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面为直角梯形，AB ∥CD ，且∠ADC ＝90°，AD ＝1，CD ＝3，BC ＝2，AA 1＝2，E 是CC 1的中点．求A 1B 1与平面ABE 的距离．【思路探究】 求A 1B 1与平面ABE 的距离，因为直线A 1B 1平行于平面ABE ，所以直线A1B 1上任意一点到平面ABE 的距离相等，所以A 1B 1与平面ABE 的距离等于点A 1到平面ABE 的距离，从而转化为点到平面的距离求解．【自主解答】 如图所示，以D 为原点，以DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A 1(1,0,2)，A (1,0,0)，E (0，3，1)， 过C 作AB 的垂线交AB 于F ， 易得BF ＝3，∴B (1,23，0)，∴AB →＝(0,23，0)，BE →＝(－1，－3，1)． 设平面ABE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎨⎧n ·AB →＝0，n ·BE →＝0得⎩⎨⎧23y ＝0，－x －3y ＋z ＝0，∴y ＝0，x ＝z ，不妨取n ＝(1,0,1)． ∵直线A 1B 1∥平面ABE ，∴直线A 1B 1到平面ABE 的距离等于点A 1到平面ABE 的距离． ∵AA 1→＝(0,0,2)，∴A 1B 1到平面ABE 的距离为|AA 1→·n |n ||＝22＝ 2.求直线与平面的距离，在直线与平面平行的条件下，往往转化为点到平面的距离求解，且这个点要适当选取，以求解最为简单为准则，求直线到平面的距离的题目不多，因线面距可用点面距求解，但在求点到平面的距离时有时用直线到平面的距离过渡．四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DA ＝2，F ，E 分别为AD ，PC 的中点．(1)证明：DE ∥平面PFB ； (2)求点E 到平面PFB 的距离．【解】 证明：(1)以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．则P (0,0,2)，F (1,0,0)，B (2,2,0)，E (0,1,1)，FP →＝(－1,0,2)，FB →＝(1,2,0)，DE →＝(0,1,1)， ∴DE →＝12FP →＋12FB →.∴DE →∥平面PFB ．又∵D ∉平面PFB ，∴DE ∥平面PFB ．(2)∵DE ∥平面PFB ，∴E 到平面PFB 的距离等于D 到平面PFB 的距离．设平面PFB的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·FB →＝0，n ·FP →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0，－x ＋2z ＝0， 令x ＝2，得y ＝－1，z ＝1.∴n ＝(2，－1,1)，FD →＝(－1,0,0)．∴D 到平面PFB 的距离为d ＝|FD →·n ||n |＝26＝63.利用向量求点到平面的距离的常见错误在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝4，AB ＝2，以AC 为直径的球面交PD 于点M ，交PC 于点N ，求点N 到平面ACM 的距离．【错因分析】 (1)不知条件AC 为直径的球面交PD 于点M ，交PC 于N 点如何使用． (2)不知道转化，求点N 的坐标，增加了运算量．(3)求点到平面的距离公式d ＝|P A →·n 0|中n0是单位法向量而不是法向量．【防范措施】 (1)认真分析图形性质；(2)进行合理转化；(3)掌握好公式，尤其是公式中各个量的几何意义．【正解】 分别以AB 、AD 、AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，P (0,0,4)，B (2,0,0)，C (2,4,0)，D (0,4,0)，M (0,2,2)，∴A C →＝(2,4,0)，AM →＝(0,2,2)，设平面ACM 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，由n ⊥A C →，n⊥AM →，可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4y ＝0，2y ＋2z ＝0，令z ＝1，则n ＝(2，－1,1)． 由已知得，AN ⊥NC ，在Rt △P AC 中，P A 2＝PN ·PC ，所以PN ＝83，则NC ＝PC －PN ＝103，NC PC ＝59. 所以所求距离为点P 到平面ACM 距离的59，又点P 到平面ACM 的距离为|A P →·n n |＝263.所以点N 到平面ACM 的距离为10627.空间距离包括：点到点、点到线、点到面、线到线、线到面、面到面之间的距离．其中以点到面的距离最为重要，其他距离，如线到面、面到面的距离均可转化为点到面的距离.1．已知直线l 过定点A (2,3,1)，且方向向量为n ＝(0,1,1)，则点P (4,3,2)到l 的距离为( ) A.322 B ．22 C.102D ． 2【解析】 P A →＝(－2,0，－1)，|P A →|＝5，P A →·n |n |＝－12，则点P 到直线l 的距离d ＝|P A →|2－|P A →·n|n ||2＝5－12＝322. 【答案】 A图2－6－42．如图2－6－4所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面ABC 1D 1的距离是( )A.12 B ．24 C.22 D ．32【解析】 建立如图所示坐标系，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)， O (12，12，1)， 则DA 1→＝(1,0,1)， A 1O →＝(－12，12，0)，由题意知DA 1→为平面ABC 1D 1的法向量，∴O 到平面ABC 1D 1的距离为 d ＝|DA 1→·A 1O →||DA 1→|＝122＝24.【答案】 B3．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝6，BC ＝4，BB 1＝3，则点B 1到平面A 1BC 1的距离为________．【解析】 如图所示建立空间直角坐标系， 则A 1(4,0,3)，B 1(4,6,3)，B (4,6,0)，C 1(0,6,3)， A 1C 1→＝(－4,6,0)，A 1B →＝(0,6，－3)， BC 1→＝(－4,0,3)，A 1B 1→＝(0,6,0)，设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎨⎧n ·A 1C 1→＝0，n ·A 1B →＝0，解得n ＝(1，23，43)．∴d ＝|A 1B 1→·n ||n |＝122929.【答案】 1229294．已知棱长为1的正方体AC 1，E 、F 分别是B 1C 1、C 1D 1的中点． (1)求证：E 、F 、D 、B 共面； (2)求点A 1到平面的DBEF 的距离．【解】 如图，建立空间直角坐标系D －xyz .则知A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，D (0,0,0)，E (12，1,1)，F (0，12，1)．(1)证明：由BD →＝(－1，－1,0)，EF →＝(－12，－12，0)，得EF →＝12B D →，E F →∥BD →，∴EF ∥DB ，∴E 、F 、D 、B 共面．(2)设n ＝(x ，y ，z )是平面DBEF 的法向量． 由n ⊥DB →，n ⊥DF →，DB →＝(1,1,0)，DF →＝(0，12，1)得⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝x ＋y ＝0，n ·DF →＝12y ＋z ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－y ，z ＝－12y . 令y ＝1，得n ＝(－1,1，－12)，又DA 1→＝(1,0,1)，则A 1到平面DBEF 的距离d ＝|n ·DA 1→||n |＝1.一、选择题1．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则点A 1与对角线BC 1所在直线间的距离是( )A.62a B ．a C.2aD ．a 2【解析】 如图建立空间直角坐标系，则A 1(a,0，a )，B (a ，a,0)，C 1(0，a ，a )． ∴A 1B →＝(0，a ，－a )，|A 1B →|＝2a ， BC 1→＝(－a,0，a )，|BC 1→|＝2a . 点A 1到BC 1的距离d ＝ 错误!2) ＝2a 2－a 22＝62a .【答案】 A 2.图2－6－5如图2－6－5已知ABC －A 1B 1C 1是各条棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧棱CC 1的中点，点C 1到平面AB 1D 的距离为( )A.24a B ．28a C.324a D ．22a 【解析】 ∵ABB 1A 1为正方形，∴A 1B ⊥AB 1，又平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1， ∴A 1B ⊥面AB 1D ，∴A 1B →是平面AB 1D 的一个法向量，由于C 1D ＝CD ，所以C 1到平面AB 1D 的距离等于C 到平面AB 1D 的距离， 设点C 到平面AB 1D 的距离为d ，则d ＝|AC →·A 1B →||A 1B →|＝|AC →·(A 1A →＋AB →)|2a＝|AC →·A 1A →＋AC →·AB →|2a ＝|0＋a ×a ×cos 60°|2a＝24a . 【答案】 A3．正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4，E ，F 分别为棱AB ，CD 的中点，EF ∩BD ＝G .则三棱锥B 1－EFD 1的体积V 等于( )A.66 B ．1633 C.163D ．16 【解析】 以D 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则B 1(22，22，4)，D 1(0,0,4)，E (22，2，0)，F (2，22，0)，∴D 1E →＝(22，2，－4)，D 1F →＝(2，22，－4)，D 1B 1→＝(22，22，0)，∴cos<D 1E →，D 1F →>＝D 1E →·D 1F→|D 1E |·|D 1F |＝2426·26＝1213， ∴sin<D 1E →，D 1F →>＝513，所以S △D 1EF ＝12|D E →|·|DF |·sin<D E →，D F →>＝12×26×26×513＝5，又∵平面D 1EF 的法向量为n ＝(1,1，342)，∴点B 1到平面D 1EF 的距离d ＝|D 1B 1→·n ||n |＝165，∴VB 1－EFD 1＝13·S △EFD 1·d ＝13×5×165＝163.【答案】 C4．△ABC 的顶点分别为A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AC 边上的高BD 等于( )A ．5B ．41C ．4D ．2 5【解析】 设AD →＝λAC →，D (x ，y ，z )．则(x －1，y ＋1，z －2)＝λ(0,4，－3)． ∴x ＝1，y ＝4λ－1，z ＝2－3λ， ∴BD →＝(－4,4λ＋5，－3λ)． ∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0，∴λ＝－45，∴BD →＝(－4，95，125)，∴|BD →|＝16＋8125＋14425＝5.【答案】 A5．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则平面AB 1D 1与平面BDC 1的距离为( ) A.2a B ．3a C.23a D ．33a【解析】 由正方体的性质易得平面AB 1D 1∥平面BDC 1，则两平面间的距离可转化为点B 到平面AB 1D 1的距离．明显，A 1C ⊥平面AB 1D 1，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则平面AB 1D 1的一个法向量为n ＝(1，－1,1)，A (a,0,0)，B (a ，a,0)，BA →＝(0，－a,0)，则两平面间的距离d ＝|BA →·n |n ||＝a 3＝33a .【答案】 D 二、填空题6．若平面α∥平面β，直线l α，且平面α与β之间的距离为d ，下面给出了四个命题： ①β内有且仅有一条直线与l 的距离等于d ； ②β内所有直线与l 的距离等于d ； ③β内无数条直线与l 的距离等于d ； ④β内所有的直线与α的距离都等于D ．其中正确的命题的序号为________． 【解析】 由面面平行的性质可知③④正确． 【答案】 ③④7．设A (2,3,1)，B (4,1,2)，C (6,3,7)，D (－5，－4,8)，则点D 到平面ABC 的距离为________．【解析】 设平面ABC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，∵n ·A B →＝0，n ·A C →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ (x ，y ，z )·(2，－2，1)＝0，(x ，y ，z )·(4，0，6)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y ＋z ＝0，4x ＋6z ＝0， ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32z y ＝－z令z ＝－2，则n ＝(3,2，－2)． 又A D →＝(－7，－7,7)，∴点D 到平面ABC 的距离为d ＝|A D →·n|n ||＝|3×(－7)＋2×(－7)－2×732＋22＋(－2)2|＝4917＝491717.【答案】4917178．设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则点D 1到平面A 1BD 的距离是________．【解析】 如图建立空间直角坐标系，则D 1(0,0,2)，A 1(2,0,2)，D (0,0,0)，B (2,2,0)， ∴D 1A 1→＝(2,0,0)，DA 1→＝(2,0,2)，DB →＝(2,2,0)， 设平面A 1BD 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·DA 1→＝2x ＋2z ＝0，n ·DB →＝2x ＋2y ＝0，令x ＝1，则n ＝(1，－1，－1)，∴点D 1到平面A 1BD 的距离d ＝|D 1A 1→·n ||n |＝23＝233.【答案】233三、解答题9．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点E 是AD 1的中点，求点E 到直线BD 的距离．【解】 建立如图所示的空间直角坐标系．设EF ⊥BD ，F 为垂足，由于F 的位置未确定，设DF →＝λDB →(λ∈R )，则F (λ，λ，0)．∵DE →＝(12，0，12)，∴EF →＝DF →－DE →＝(λ－12，λ，－12)．∵EF →⊥DB →，DB →＝(1,1,0)， ∴EF →·DB →＝0，即(λ－12)＋λ＝0.∴λ＝14.∴EF →＝(－14，14，－12)．∴|EF →|＝64，故点E 到直线BD 的距离为64.10．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为BB 1，CD 的中点，试求点F 到平面A 1D 1E 的距离．【解】 取AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．如图，则A 1(0,0,1)，E (1,0，12)，D (0,1,0)，F (12，1,0)，D 1(0,1,1)．∴A 1E →＝(1,0，－12)，A 1D 1＝(0,1,0)．设平面A 1D 1E 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )．则⎩⎨⎧n ·A 1E →＝0，n ·A 1D 1→＝0，，即⎩⎪⎨⎪⎧x －12z ＝0，y ＝0.令z ＝2，则x ＝1. ∴n ＝(1,0,2)． 又A 1F →＝(12，1，－1)，∴点F 到平面A 1D 1E 的距离 d ＝|A 1F →·n ||n |＝|12－2|5＝3510.11．如图2－6－6已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是底面边长为1的正四棱柱，O 1为A 1C 1与B 1D 1的交点．(1)设AB 1与底面A 1B 1C 1D 1所成角的大小为α，二面角A －B 1D 1－A 1的大小为β.求证：tan β＝2tan α；(2)若点C 到平面AB 1D 1的距离为43，求正四棱柱ABCD－A 1B 1C 1D 1的高．图2－6－6【解】 设正四棱柱的高为h . (1)证明：连AO 1， ∵AA 1⊥底面A 1B 1C 1D 1，∴∠AB 1A 1是AB 1与底面A 1B 1C 1D 1所成角， ∴∠AB 1A 1＝α.∵在等腰△AB 1D 1中，AO 1⊥B 1D 1. 又A 1C 1⊥B 1D 1，∴∠AO 1A 1是二面角A －B 1D 1－A 1的一个平面角， ∴∠AO 1A 1＝β.在Rt △AB 1A 1中，tan α＝AA 1A 1B 1＝h ；在Rt △AO 1A 1中，tan β＝AA 1A 1O 1＝2h .∴tan β＝2tan α.(2)如图建立空间直角坐标系，有A (0,0，h )，B 1(1,0,0)，D 1(0,1,0)，C (1,1，h )，则AB 1→＝(1,0，－h )，AD 1→＝(0,1，－h )，AC →＝(1,1,0)．设平面AB 1D 1的法向量为n ＝(u ，v ，w )． ∵n ⊥AB 1→，n ⊥AD 1→， ∴n ·AB 1→＝0，n ·AD 1→＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧u ·1＋v ·0＋w ·(－h )＝0，u ·0＋v ·1＋w ·(－h )＝0， 得u ＝h w ，v ＝h w ，∴n ＝(h w ，h w ，w )． 令w ＝1，得n ＝(h ，h,1)． 由点C 到平面AB 1D 1的距离为 d ＝|n ·AC →||n |＝h ＋h ＋0h 2＋h 2＋1＝43，解得高h ＝2.(教师用书独具)在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M ，N ，R 分别为OA ，BC ，AD 的中点，求：直线MN 与平面OCD 的距离，平面MNR 与平面OCD 的距离．【思路探究】 由题意得到MN ∥平面OCD ，平面MNR ∥平面OCD ，将线面距离、面面距离转化为点到面的距离求解．【自主解答】 因为M ，R 分别为AO ，AD 的中点，所以MR ∥OD ．在正方形ABCD 中，N ，R 分别为BC ，AD 的中点，所以NR ∥CD ．又MR ∩NR ＝R ，所以平面MNR ∥平面OCD ．又MN 平面MNR ，所以MN ∥平面OCD ．所以直线MN 与平面OCD 的距离，平面MNR 与平面OCD 的距离都等于点N 到平面OCD 的距离．以点A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则O (0,0,2)，C (2,2,0)，D (0，2,0)，N (2,1,0)．所以NC →＝(0,1,0)，OD →＝(0,2，－2)，CD →＝(－2,0,0)．设平面OCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·OD →＝2y －2z ＝0，n ·CD →＝－2x ＝0，，令z ＝1，得n ＝(0,1,1)．所以点N 到平面OCD 的距离d ＝|NC →·n |n ||＝22.所以直线MN 与平面OCD 的距离，平面MNR 与平面OCD 的距离都等于22.求线面距离或面面距离前，应先判断线面或面面的位置关系，只有直线(平面)与平面平行时，才能将线面(面面)距离转化为点到面的距离求解．如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，EB 1＝1，D 、F 、G 分别为CC 1、B 1C 1、A 1C 1的中点，EF 与B 1D 相交于点H .(1)求证：B 1D ⊥平面ABD ；(2)求证：平面EGF ∥平面ABD ；(3)求平面EGF 与平面ABD 的距离．【解】(1)证明：如图所示，建立空间直角坐标系，设A 1(a,0,0)，则C 1(0,2,0)，F (0,1,0)，E (0,0,1)，A (a,0,4)，B (0,0,4)，D (0,2,2，)，G (a 2，1,0)． ∴B 1D →＝(0,2,2)，A B →＝(－a,0,0)，B D →＝(0,2，－2)，∴B 1D →·A B →＝0＋0＋0＝0，B 1D →·B D →＝0＋4－4＝0.∴B 1D ⊥AB ，B 1D ⊥BD ．又AB ∩BD ＝B ，∴B 1D ⊥平面ABD ．(2)证明：∵A B →＝(－a,0,0)，B D →＝(0,2，－2)， G F →＝(－a 2，0,0)，E F →＝(0,1，－1)． ∴GF ∥AB ，EF ∥BD ．又GF ∩EF ＝F ，AB ∩BD ＝B ，∴平面EGF ∥平面ABD ．(3)由(1)、(2)知DH 为平面EFG 与平面ABD 的公垂线段．设B 1H →＝λB 1D →＝(0,2λ，2λ)，则E H →＝(0,2λ，2λ－1)，E F →＝(0,1，－1)． ∵E H →与E F →共线，∴2λ1＝2λ－1－1，即λ＝14， ∴B 1H →＝(0，12，12)，∴H D →＝(0，32，32)， ∴|H D →|＝322. 因此，平面EGF 与平面ABD 的距离为322.。
§2.6.1空间点到直线的距离
§2.6.1空间点到直线的距离教学目标1. 进一步熟练求直线方向向量的方法；2. 掌握向量运算在几何中如何求点到直线的距离和两平行直线间距离的计算方法；3. 熟练掌握向量方法在实际问题中的作用.教学重点:点到直线的距离公式的应用. 教学重点:点到直线的距离公式的推导.教学过程一、课前准备复习1：向量的模:2a a a =⋅=2a2a a a a⇒=⋅=222a (,,)x y z a x y z=⇒=++或 复习2：单位向量: 0a a a a=向量的单位向量0222(,,)(,,)x y z a x y z a x y z=⇒=++或复习3：a b 向量在向量方向上的投影0cos ,a b a a b ⋅=〈〉复习4：平面上点到直线距离: A(x 0,y 0) l: Ax+By+C=0 0022Ax By Cd A B++=+二、※ 学习探究探究任务一：空间中点到直线的距离的求法:S2222''d A A P AP A P AP A s ==-=-⋅探究任务二：空间一点到直线的距离的算法框图:例 1:如图,在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A'B'C'D' , AB=1, BC=2, A A ' =3 . 求点B 到直线A'C 的距离.解: AB=1,BC=2,AA '=3∴A '(0,0,3), C(1,2,0), B(1,0,0)(1)计算直线A 'C 的方向向量'(1,2,3)A C =-(2) 找到直线A 'C 上一点C( 1,2,0);(3)求点B(1,0,0) 到直线A 'C 上一点C(1,2,0)的向量(0,2,0)B C =;(4)求BC 在'A C 上的投影''4;14A C BC A C⋅=(5)求点B 到直线A 'C 的距离在直线l 上任取一点P计算向量PA确定直线l 的方向向量s计算PA在向量s上的投影0PA s ⋅ 计算点A 到直线l 的距离d2'2'162354147A C d BCBC A C=-⋅=-=试试:已知点A(1,-1,2),直线L 过原点O,且平行于向量(0,2,1)..求点A 到直线L 的距离d解:(1)(1,1,2)A O =--(2)L AO向量在直线的方向向量上的投影 222(0,2,1)0(1,1,2)05021--⋅==++(3)点A 到直线L 的距离22(5)1156d AO=-=-=例2: 如图,在单位正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中, M 是AB 1上的点, 且AM=113AB , 求点M 到直线BD 的距离MN.解:(1)A(0,0,0),B 1(1,0,1),向量11111(1,0,1),(,0,)333A B A M A B ===(2)M(11(,0,)33到直线AB 的距离13M E =(3)E(1(,0,0)3,2(1,0,0),(,0,0)3B B E =- ,(1,1,0)BD =- 2(1)010023(4)32BD BE BD BE BD--+⨯+⨯⋅==在方向向量上的投影为(5)点E 到直线BD 的距离EN=2222()33BD-=(6)点M 到直线BD 的距离MN=2222123()()333M EEN+=+=. 三、总结提升※ 课堂小结1.空间点到直线的距离公式2222''d AA PA PAPA PA s ==-=-⋅※ 知识拓展用向量法求距离的方法是立体几何中常用的方法.课堂评价A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 在棱长为1的正方体''''ABC D A B C D -中，点A 到直线BC 的距离是 ；2. 在棱长为1的正方体''''ABC D A B C D -中，点A 到直线B'C'的距离是 ；3. 在棱长为1的正方体''''ABC D A B C D -中，点A 到直线BD'的距离是 ；4. 在棱长为1的正方体''''ABC D A B C D -中，平行直线'A B 和CD'间的距离是 ；5. 在棱长为1的正方体''''ABC D A B C D -中，点O 是底面''''A B C D 中心，则点O 到直线AD'的距离是 .课后作业P 51 习题2---6 A 组:第2题教后反思:。
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班级： 姓名： 组长评价： 教师评价：
1
§2.6距离计算
学习目标：1、掌握向量法求距离的一般步骤
2、学会注意各种距离间的相互转化
重点难点：1、重点：求距离的一般步骤 2、难点：点到平面的距离的求法
学法指导：自学，小组讨论交流，师生点评提高。
知识链接：.
1.点到这个平面的距离：该点与它在平面上的 间的距离叫做该点到这个平面的距离.
2.直线与平面的距离：直线与平面平行，那么直线上 到平面的距离叫做这条直线与平面的距
离.
3.两个平面的距离：两个平面平行，它们的 的长度叫做这两个平面的距离.
4.异面直线的距离：两条异面直线的 的长度叫做这两条异面直线的距离.
试一试：
1.点面距离的向量公式
平面α的法向量为n ，点P 是平面α外一点，点M 为平面α内任意一点，则点P 到平面α的距离d
就是 ，即d= .
2.线面、面面距离的向量公式
平面α∥直线l ，平面α的法向量为n ，点M ∈α、P ∈l ，平面α与直线l 间的距离d 就是
，即d = .
平面α∥β，平面α的法向量为n
，点M ∈α、P ∈β，平面α与平面β的距离d 就是 ，即d = .
3.异面直线的距离的向量公式
设向量n
与两异面直线a 、b 都垂直，M ∈a 、P ∈b ，则两异面直线a 、b 间的距离d 就是
，即d = .
典型例题：
1.一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都为2，且它们彼此的夹角都是60°，求该晶体的对角线的长。
2.设A （2，3，1），B （4，1，2），C （6，3，７），D （－５，－4，8），求D 到平面ABC 的距离.
3. 在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是AA 1的中点，则点A 1到平面MBD 的距离是
4.如图，在棱长为a 的正方体ABCD —A 1
B 1
C 1
D 1中，M 、O 、O 1分别是A 1B 、AC 、A 1C 1的中点，且OH ⊥O 1B ，垂
足为H . （1）求证：MO ∥平面BB 1C 1C ；
（2）分别求MO 与OH 的长；
（3）MO 与
OH 是否为异面直线A 1B 与AC 的公垂线?为什么?求这两条异面直线间的距离.
A M 1D 图111
A
A
B
B
C C M
H
O
O
班级： 姓名： 组长评价： 教师评价：
2
目标检测：
1.如图，已知两条异面直线所成的角为θ，在直线a 、b 上分别取E 、F ，已知A ’E =m ，AF =n ，EF =l ，求公垂线A A ′的长d .
2. 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离.
3. 如图所求，已知四边形ABCD
、EADM 和MDCF 都是边长为a 的正方形，点P 、Q 分别是ED 和AC 的中点. 求：（1）P 点到平面EFB 的距离；（2）异面直线PM 与FQ 的距离.
作业布置： 我的疑惑：
B
C
D E F
M P
Q
A
B
C C 1
E
A 1
B 1
1111013.4,,2,90,ABC A B C AA ABC AC BC BCA E AB CE AB -=∆==∠=例已知：直三棱柱的侧棱底面中为的中点。
求与的距离。
4。