【加练半小时】2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习：专题9 平面解析几何 第63练 Word版含解析
(江苏专用)2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.3圆的方程课件理苏教版
由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1. 当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去. 当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0， 化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆.
题型分类
深度剖析
题型一 求圆的方程 例1 (1)(2016· 天津)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0， 5 )在圆 C 上 ， 且 圆 心 到 直 线 2x － y ＝ 0 的 距 离 为 4 5 ， 则 圆 C 的 方 程 为 5 x2＋y2－4x－5＝0 答案 解析 ________________.
答案 解析
根据题意，画出示意图，如图所示，
则圆心C的坐标为(3,4)，半径r＝1，且AB＝2m. 因为∠APB＝90°，连结OP，
1 易知OP＝ AB＝m. 2 要求m的最大值，
即求圆C上的点P到原点O的最大距离.
2 2 3 ＋ 4 因为OC＝ ＝5，所以(OP)max＝OC＋r＝6，即m的最大值为6.
答案
解析
由题意知圆过(4,0)，(0,2)，(0，－2)三点，
(4,0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为y＋1＝－2(x－2)，
3 3 5 令y＝0，解得x＝ ，圆心为 ，0 ，半径为 . 2 2 2 3 2 2 25 所以圆的标准方程为(x－ ) ＋y ＝ . 2 4
故圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，即x2＋y2＋2x－4y＝0.
4.(教材改编)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的
2＋y2－4x－6＝0 x 方程为_________________.
答案
解析
设圆心坐标为C(a,0)，∵点A(－1,1)和B(1,3)在圆C上， ∴CA＝CB，
2018版高考数学理江苏专用大一轮复习讲义教师版文档第
1.椭圆的概念平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合P＝{M|MF1＋MF2＝2a}，F1F2＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若a>c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a<c，则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质【知识拓展】点P (x 0，y 0)和椭圆的关系(1)点P (x 0，y 0)在椭圆内⇔x 20a 2＋y 20b 2<1.(2)点P (x 0，y 0)在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1.(3)点P (x 0，y 0)在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b2>1.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆.( × )(2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距).( √ )(3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆.( × )(4)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆.( √ ) (5)y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆.( × ) (6)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距相等.( √ )1.(教材改编)椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m ＝________.答案 4或8 解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 10－m >m －2>0，(10－m )－(m －2)＝4或⎩⎪⎨⎪⎧m －2>10－m >0，(m －2)－(10－m )＝4，解得m ＝4或m ＝8.2.(2016·苏州检测)在平面直角坐标系xOy 内，动点P 到定点F (－1,0)的距离与P 到定直线x ＝－4的距离的比值为12.则动点P 的轨迹C 的方程为______________.答案 x 24＋y 23＝1解析 设点P (x ，y )，由题意知(x ＋1)2＋y 2|x ＋4|＝12，化简得3x 2＋4y 2＝12，所以动点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 23＝1.3.(2016·全国乙卷改编)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为________.答案 12解析 如图，由题意得，BF ＝a ，OF ＝c ，OB ＝b ， OD ＝14·2b ＝12b .在Rt △FOB 中，OF ·OB ＝BF ·OD ，即cb ＝a ·12b ，解得a ＝2c ，故椭圆离心率e ＝c a ＝12.4.如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是________. 答案 (0,1)解析 将椭圆方程化为x 22＋y 22k ＝1，因为焦点在y 轴上，则2k>2，即k <1，又k >0，所以0<k <1.5.(教材改编)已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为__________________. 答案 ⎝⎛⎭⎫152，1或⎝⎛⎭⎫152，－1 解析 设P (x ，y )，由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以c ＝1，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)，由题意可得点P 到x 轴的距离为1，所以y ＝±1，把y ＝±1代入x 25＋y 24＝1，得x ＝±152，又x >0，所以x ＝152，所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎫152，1或⎝⎛⎭⎫152，－1.题型一 椭圆的定义及标准方程 命题点1 利用定义求轨迹例1 (2016·徐州模拟)如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是________.答案 椭圆解析 由条件知PM ＝PF ， ∴PO ＋PF ＝PO ＋PM ＝OM ＝R >OF . ∴P 点的轨迹是以O ，F 为焦点的椭圆. 命题点2 利用待定系数法求椭圆方程例2 (1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且过点P (3,0)，则椭圆的方程为_________________________________.(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)，P 2(－3，－2)，则椭圆的方程为________________________________________. 答案 (1)x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1(2)x 29＋y 23＝1 解析 (1)若焦点在x 轴上， 设方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0).∵椭圆过P (3,0)，∴32a 2＋02b 2＝1，即a ＝3，又2a ＝3×2b ，∴b ＝1，∴椭圆方程为x 29＋y 2＝1.若焦点在y 轴上，设方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0).∵椭圆过点P (3,0)，∴02a 2＋32b 2＝1，即b ＝3.又2a ＝3×2b ，∴a ＝9，∴椭圆方程为y 281＋x 29＝1.∴所求椭圆的方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.(2)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0且m ≠n ). ∵椭圆经过点P 1，P 2，∴点P 1，P 2的坐标适合椭圆方程.即⎩⎪⎨⎪⎧6m ＋n ＝1，①3m ＋2n ＝1，② ①②两式联立，解得⎩⎨⎧m ＝19，n ＝13.∴所求椭圆方程为x 29＋y 23＝1.命题点3 利用定义解决“焦点三角形”问题例3 已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________. 答案 3解析 设PF 1＝r 1，PF 2＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝2a ，r 21＋r 22＝4c 2， 因为2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 22)＝4a 2－4c 2＝4b 2， 又因为1221219,2PF F S rr b ===△ 所以b ＝3. 引申探究1.在例3中，若增加条件“△PF 1F 2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的方程. 解 由原题得b 2＝a 2－c 2＝9， 又2a ＋2c ＝18，所以a －c ＝1，解得a ＝5， 故椭圆方程为x 225＋y 29＝1.2.在例3中，若将条件“PF 1→⊥PF 2→”“△PF 1F 2的面积为9”分别改为“∠F 1PF 2＝60°”“12PF F S =△，结果如何？解 PF 1＋PF 2＝2a ，又∠F 1PF 2＝60°，所以PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos 60°＝F 1F 22，即(PF 1＋PF 2)2－3PF 1·PF 2＝4c 2， 所以3PF 1·PF 2＝4a 2－4c 2＝4b 2， 所以PF 1·PF 2＝43b 2，又因为12121··sin 602PF F S PF PF =︒△ ＝12·43b 2·32 ＝33b 2＝33， 所以b ＝3.思维升华 (1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a >F 1F 2这一条件.(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a ，b 的方程组.如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式. (3)当P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点F 1，F 2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求PF 1·PF 2；通过整体代入可求其面积等.(1)(2016·盐城模拟)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________________. (2)(2016·镇江模拟)设F 1、F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP→＋OF 2→)·PF 2→＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是______. 答案 (1)x 264＋y 248＝1 (2)1解析 (1)设圆M 的半径为r ，则MC 1＋MC 2＝(13－r )＋(3＋r )＝16>8＝C 1C 2， 所以M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆， 且 2a ＝16,2c ＝8，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.(2)∵(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝(OP →＋F 1O →)·PF 2→＝F 1P →·PF 2→＝0， ∴PF 1⊥PF 2，∠F 1PF 2＝90°. 设PF 1＝m ，PF 2＝n ，则m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝12,2mn ＝4，121= 1.2F PF S mn ∴=△题型二 椭圆的几何性质例4 (1)已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的左，右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是________.(2)(2016·全国丙卷改编)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为椭圆C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为________. 答案 (1)2 (2)13解析 (1)设P (x 0，y 0)，则PF 1→＝(－1－x 0，－y 0)， PF 2→＝(1－x 0，－y 0)，∴PF 1→＋PF 2→＝(－2x 0，－2y 0)， ∴|PF 1→＋PF 2→|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20＝2－y 20＋2.∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1， ∴当y 20＝1时，|PF 1→＋PF 2→|取最小值2.(2)设M (－c ，m )，则E ⎝⎛⎭⎫0，am a －c ，OE 的中点为D ，则D ⎝⎛⎭⎫0，am2(a －c )，又B ，D ，M 三点共线，所以m 2(a －c )＝m a ＋c，a ＝3c ，e ＝13.思维升华 (1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧 ①注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x ，y 的范围，离心率的范围等不等关系. ②利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系. (2)求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a ，b ，c 的等式或不等式，利用a 2＝b 2＋c 2消去b ，即可求得离心率或离心率的范围.(2016·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________.答案63解析 联立方程组⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝b2，解得B ，C 两点坐标为B ⎝⎛⎭⎫－32a ，b 2，C ⎝⎛⎫32a ，b 2，又F (c,0)，则FB →＝⎝⎛⎭⎫－32a －c ，b 2，FC →＝⎝⎛⎭⎫3a 2－c ，b 2，又由∠BFC ＝90°，可得FB →·FC →＝0，代入坐标可得 c 2－34a 2＋b 24＝0，①又因为b 2＝a 2－c 2.代入①式可化简为c 2a 2＝23，则椭圆离心率为e ＝c a ＝23＝63. 题型三 直线与椭圆例5 (2016·天津)设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a >3)的右焦点为F ，右顶点为A .已知1OF ＋1OA ＝3eF A ，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若BF ⊥HF ，且∠MOA ≤∠MAO ，求直线l 的斜率的取值范围. 解 (1)设F (c,0)，由1OF ＋1OA ＝3eF A ，即1c ＋1a ＝3c a (a －c )，可得a 2－c 2＝3c 2. 又a 2－c 2＝b 2＝3，所以c 2＝1，因此a 2＝4. 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的斜率为k (k ≠0)， 则直线l 的方程为y ＝k (x －2).设B (x B ，y B )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x －2)消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0， 解得x ＝2或x ＝8k 2－64k 2＋3.由题意，得x B ＝8k 2－64k 2＋3，从而y B ＝－12k4k 2＋3.由(1)知，F (1,0)，设H (0，y H )，有FH →＝(－1，y H )，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9－4k24k 2＋3，12k 4k 2＋3.由BF ⊥HF ，得BF →·FH →＝0，所以4k 2－94k 2＋3＋12ky H 4k 2＋3＝0，解得y H ＝9－4k 212k .因此直线MH 的方程为y ＝－1k x ＋9－4k212k.设M (x M ，y M )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y ＝－1k x ＋9－4k 212k 消去y ，解得x M ＝20k 2＋912(k 2＋1).在△MAO 中，∠MOA ≤∠MAO ⇔MA ≤MO ，即(x M －2)2＋y 2M ≤x 2M ＋y 2M ，化简得x M ≥1，即20k 2＋912(k 2＋1)≥1，解得k ≤－64或k ≥64. 所以直线l 的斜率的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－64∪⎣⎡⎭⎫64，＋∞. 思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单.(2)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋1k2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2](k 为直线斜率).提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.如图，已知椭圆O ：x 24＋y 2＝1的右焦点为F ，B ，C 分别为椭圆O 的上，下顶点，P 是直线l ：y ＝－2上的一个动点(与y 轴交点除外)，直线PC 交椭圆O 于另一点M.(1)当直线PM 过椭圆的右焦点F 时，求△FBM 的面积； (2)①记直线BM ，BP 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值； ②求PB →·PM →的取值范围.(1)解 由题意知B (0,1)，C (0，－1)，焦点F (3，0)，当直线PM 过椭圆O 的右焦点F 时，直线PM 的方程为x 3＋y －1＝1，即y ＝33x －1.联立⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝33x －1，解得⎩⎨⎧x ＝837，y ＝17或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1(舍去)，即点M 的坐标为(837，17).连结BF ，则直线BF 的方程为x 3＋y1＝1， 即x ＋3y －3＝0.又BF ＝a ＝2， 点M 到直线BF 的距离为d ＝|837＋3×17－3|12＋(3)2＝2372＝37， 故△FBM 的面积为S △MBF ＝12·BF ·d ＝12×2×37＝37.(2)方法一 ①证明 设P (m ，－2)，且m ≠0，则直线PM 的斜率为k ＝－1－(－2)0－m ＝－1m ，则直线PM 的方程为y ＝－1mx －1.联立⎩⎨⎧y ＝－1mx －1，x24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4m 2)x 2＋8mx ＝0，解得点M 的坐标为(－8mm 2＋4，4－m 2m 2＋4)，所以k 1＝4－m 2m 2＋4－1－8m m 2＋4＝－2m 2－8m ＝14m ，k 2＝1－(－2)0－m＝－3m ，所以k 1·k 2＝－3m ·14m ＝－34为定值.②解 由①知，PB →＝(－m,3)， PM →＝(－8m m 2＋4－m ，4－m 2m 2＋4＋2)＝(－m 3－12m m 2＋4，m 2＋12m 2＋4)，所以PB →·PM →＝(－m,3)·(－m 3＋12m m 2＋4，m 2＋12m 2＋4)＝(m 2＋12)(m 2＋3)m 2＋4.令m 2＋4＝t >4， 则PB →·PM →＝(t ＋8)(t －1)t＝t 2＋7t －8t ＝t －8t＋7.因为y ＝t －8t ＋7在t ∈(4，＋∞)上单调递增，所以PB →·PM →＝t －8t ＋7>4－84＋7＝9，故PB →·PM →的取值范围为(9，＋∞).方法二 ①证明 设点M 的坐标为(x 0，y 0)(x 0≠0)， 则直线PM 的方程为y ＝y 0＋1x 0x －1，令y ＝－2，得点P 的坐标为(－x 0y 0＋1，－2)，所以k 1＝y 0－1x 0，k 2＝－2－1－x 0y 0＋1＝3(y 0＋1)x 0，所以k 1·k 2＝y 0－1x 0·3(y 0＋1)x 0＝3(y 20－1)x 20＝3(y 20－1)4(1－y 20)＝－34为定值. ②解 由①知，PB →＝(x 0y 0＋1，3)，PM →＝(x 0＋x 0y 0＋1，y 0＋2)，所以PB →·PM →＝x 0y 0＋1(x 0＋x 0y 0＋1)＋3(y 0＋2)＝x 20(y 0＋2)(y 0＋1)2＋3(y 0＋2) ＝4(1－y 20)(y 0＋2)(y 0＋1)2＋3(y 0＋2)＝(7－y 0)(y 0＋2)y 0＋1.令t ＝y 0＋1∈(0,2)，则PB →·PM →＝(8－t )(t ＋1)t ＝－t ＋8t ＋7.因为y ＝－t ＋8t ＋7在t ∈(0,2)上单调递减，所以PB →·PM →＝－t ＋8t ＋7>－2＋82＋7＝9，故PB →·PM →的取值范围为(9，＋∞).8.高考中求椭圆的离心率问题考点分析 离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b 用a ，c 表示，转化为关于离心率e 的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法.典例1 (2015·福建改编)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点.若AF ＋BF ＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是__________.解析 左焦点F 0，连结F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形.∵AF ＋BF ＝4， ∴AF ＋AF 0＝4， ∴a ＝2.设M (0，b )，则4b 5≥45，∴1≤b ＜2.离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝ a 2－b 2a 2＝ 4－b 24∈⎝⎛⎦⎤0，32. 答案 ⎝⎛⎦⎤0，32典例2 (14分)(2016·浙江)如图，设椭圆x 2a2＋y 2＝1(a ＞1).(1)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)；(2)若任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围. 规范解答解 (1)设直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段为AM ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2a 2＋y 2＝1，得(1＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx ＝0， 故x 1＝0，x 2＝－2a 2k 1＋a 2k 2，因此AM ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2a 2|k |1＋a 2k2·1＋k 2. [6分](2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足AP ＝AQ .记直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2， 且k 1，k 2＞0，k 1≠k 2.[8分]由(1)知AP ＝2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21，AQ ＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22， 故2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22，所以(k 21－k 22)[1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22]＝0.由k 1≠k 2，k 1，k 2＞0，得1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22＝0，因此⎝⎛⎭⎫1k 21＋1⎝⎛⎭⎫1k 22＋1＝1＋a 2(a 2－2)， ①因为①式关于k 1，k 2的方程有解的充要条件是1＋a 2(a 2－2)＞1，所以a ＞ 2. [12分] 因此，任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a ≤2， 由e ＝c a ＝a 2－1a ，得0<e ≤22.所以离心率的取值范围是(0，22].[14分]1.(2016·苏北四市联考)已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为____________. 答案 x 24＋y 23＝1解析 依题意，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1,0)，所以c ＝1，又离心率e ＝c a ＝12，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.2.(2016·苏北四市一模)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点A 、B 1、B 2、F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点.若直线AB 2与直线B 1F 的交点恰在直线x ＝a 2c 上，则椭圆的离心率为________. 答案 12解析 由题意知直线AB 2：－x a ＋y b ＝1，直线B 1F ：x c －y b ＝1，联立解得x ＝2aca －c ，若交点在椭圆的右准线上，则2ac a －c ＝a 2c，即2c 2＋ac －a 2＝0，所以2e 2＋e －1＝0，解得e ＝12.3.(2017·青岛月考)已知A 1，A 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右顶点，P 是椭圆C上异于A 1，A 2的任意一点，若直线P A 1，P A 2的斜率的乘积为－49，则椭圆C 的离心率为________.答案53解析 设P (x 0，y 0)，则y 0x 0＋a ·y 0x 0－a＝－49，化简得x 20a 2＋y 204a29＝1，则b 2a 2＝49，e ＝ 1－(b a )2＝1－49＝53. 4.(2016·南昌模拟)已知椭圆：y 29＋x 2＝1，过点P (12，12)的直线与椭圆相交于A ，B 两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为________________. 答案 9x ＋y －5＝0解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为A ，B 在椭圆y 29＋x 2＝1上，所以⎩⎨⎧y 219＋x 21＝1，y 229＋x 22＝1，两式相减，得y 21－y 229＋x 21－x 22＝0， 即(y 1－y 2)(y 1＋y 2)9＋(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝0，又弦AB 被点P (12，12)平分，所以x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1，将其代入上式，得y 1－y 29＋x 1－x 2＝0，得y 1－y 2x 1－x 2＝－9， 即直线AB 的斜率为－9，所以直线AB 的方程为 y －12＝－9(x －12)， 即9x ＋y －5＝0.5.(2016·宿迁模拟)已知F 1、F 2是椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点，P 为椭圆上一动点，则使PF 1·PF 2取得最大值的点P 为__________. 答案 (0,1)或(0，－1)解析 由椭圆定义得PF 1＋PF 2＝2a ＝4， ∴PF 1·PF 2≤(PF 1＋PF 22)2＝4，当且仅当PF 1＝PF 2＝2，即P (0，－1)或(0,1)时，PF 1·PF 2取得最大值.*6.(2016·苏州质检)设A 1，A 2为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右顶点，若在椭圆上存在异于A 1，A 2的点P ，使得PO →·P A 2→＝0，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率e 的取值范围是____________. 答案 (22，1) 解析 A 1(－a,0)，A 2(a,0)，设P (x ，y )，则PO →＝(－x ，－y )，P A 2→＝(a －x ，－y )， ∵PO →·P A 2→＝0，∴(a －x )(－x )＋(－y )(－y )＝0， ∴y 2＝ax －x 2>0，∴0<x <a . 将y 2＝ax －x 2代入x 2a 2＋y 2b2＝1，整理得(b 2－a 2)x 2＋a 3x －a 2b 2＝0，其在(0，a )上有解， 令f (x )＝(b 2－a 2)x 2＋a 3x －a 2b 2， ∵f (0)＝－a 2b 2<0，f (a )＝0， 如图，Δ＝(a 3)2－4(b 2－a 2)·(－a 2b 2) ＝a 2(a 4－4a 2b 2＋4b 4) ＝a 2(a 2－2b 2)2≥0，∴对称轴满足0<－a 32(b 2－a 2)<a ，即0<a 32(a 2－b 2)<a ，∴a 22c 2<1，∴c 2a 2>12. 又0<c a <1，∴22<c a<1.7.若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点在x 轴上，过点(2,1)作圆x 2＋y 2＝4的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为________________. 答案 x 220＋y 216＝1解析 设切点坐标为(m ，n )， 则n －1m －2·nm＝－1，即m 2＋n 2－n －2m ＝0.∵m 2＋n 2＝4，∴2m ＋n －4＝0， 即直线AB 的方程为2x ＋y －4＝0.∵直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点， ∴2c －4＝0，b －4＝0，解得c ＝2，b ＝4， ∴a 2＝b 2＋c 2＝20， ∴椭圆方程为x 220＋y 216＝1.8.已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则PM ＋PN 的最小值为________. 答案 7解析 由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且PF 1＋PF 2＝10，从而PM ＋PN 的最小值为PF 1＋PF 2－1－2＝7.9.(2017·连云港质检)椭圆x 24＋y 2＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一动点，若∠F 1PF 2为钝角，则点P 的横坐标的取值范围是________________. 答案 (－263，263)解析 设椭圆上一点P 的坐标为(x ，y )， 则F 1P →＝(x ＋3，y )，F 2P →＝(x －3，y ). ∵∠F 1PF 2为钝角，∴F 1P →·F 2P →<0， 即x 2－3＋y 2<0，①∵y 2＝1－x 24，代入①，得x 2－3＋1－x 24<0，34x 2<2，∴x 2<83. 解得－263<x <263，∴x ∈(－263，263).10.已知过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A (－a ，0)作直线l 交y 轴于点P ，交椭圆于点Q ，若△AOP 是等腰三角形，且PQ →＝2QA →，则椭圆的离心率为________. 答案255解析 ∵△AOP 是等腰三角形，A (－a,0)，∴P (0，a ). 设Q (x 0，y 0)，∵PQ →＝2QA →，∴(x 0，y 0－a )＝2(－a －x 0，－y 0).∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2a －2x 0，y 0－a ＝－2y 0，解得⎩⎨⎧x 0＝－23a ，y 0＝a3，代入椭圆方程化简，可得b 2a 2＝15，∴e ＝1－b 2a 2＝255. 11.(2016·南京模拟)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，右顶点，上顶点分别为A ，B ，且AB ＝52BF . (1)求椭圆C 的离心率；(2)若斜率为2的直线l 过点(0,2)，且l 交椭圆C 于P ，Q 两点，OP ⊥OQ ，求直线l 的方程及椭圆C 的方程.解 (1)由已知AB ＝52BF ， 即a 2＋b 2＝52a ， 4a 2＋4b 2＝5a 2,4a 2＋4(a 2－c 2)＝5a 2， ∴e ＝c a ＝32.(2)由(1)知a 2＝4b 2，∴椭圆C ：x 24b 2＋y 2b2＝1.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线l 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，x 24b 2＋y 2b 2＝1消去y ， 得x 2＋4(2x ＋2)2－4b 2＝0， 即17x 2＋32x ＋16－4b 2＝0.Δ＝322＋16×17(b 2－4)>0，解得b >21717.x 1＋x 2＝－3217，x 1x 2＝16－4b 217.∵OP ⊥OQ ，∴OP →·OQ →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，x 1x 2＋(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝0， 5x 1x 2＋4(x 1＋x 2)＋4＝0. 从而5(16－4b 2)17－12817＋4＝0，解得b ＝1，满足b >21717.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.12.(2015·安徽)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足BM ＝2MA ，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程.解 (1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫23a ，13b ， 又k OM ＝510，从而b 2a ＝510， 进而得a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB 的方程为x 5b ＋yb＝1，点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫52b ，－12b .设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1，72， 则线段NS 的中点T 的坐标为⎝⎛⎭⎫54b ＋x 12，－14b ＋74.又点T 在直线AB 上，且k NS ·k AB ＝－1，从而有⎩⎪⎨⎪⎧54b ＋x 125b＋－14b ＋74b ＝1，72＋12b x 1－52b ＝ 5.解得b ＝3.所以a ＝35，故椭圆E 的方程为x 245＋y 29＝1.13.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，O 为坐标原点，M 为椭圆上任意一点.过F ，B ，A 三点的圆的圆心坐标为(p ，q ). (1)当p ＋q ≤0时，求椭圆的离心率的取值范围；(2)若点D (b ＋1,0)，在(1)的条件下，当椭圆的离心率最小时，(MF →＋OD →)·MO →的最小值为72，求椭圆的方程.解 (1)设椭圆半焦距为c .由题意AF ，AB 的中垂线方程分别为x ＝a －c 2，y －b 2＝a b (x －a2)，于是圆心坐标为(a －c 2，b 2－ac2b ).所以p ＋q ＝a －c 2＋b 2－ac2b≤0，整理得ab －bc ＋b 2－ac ≤0，即(a ＋b )(b －c )≤0， 所以b ≤c ，于是b 2≤c 2，即a 2＝b 2＋c 2≤2c 2. 所以e 2＝c 2a 2≥12，即22≤e <1.(2)当e ＝22时，a ＝2b ＝2c ， 此时椭圆的方程为x 22c 2＋y 2c 2＝1，设M (x ，y )，则－2c ≤x ≤2c ，MF →＝(－c －x ，－y )，OD →＝(b ＋1,0)，MO →＝(－x ，－y )， 所以(MF →＋OD →)·MO →＝12x 2－x ＋c 2＝12(x －1)2＋c 2－12.当c ≥22时，上式的最小值为c 2－12，即c 2－12＝72，得c ＝2； 当0<c <22时，上式的最小值为12(2c )2－2c ＋c 2， 即12(2c )2－2c ＋c 2＝72， 解得c ＝2＋304，不合题意，舍去. 综上所述，椭圆的方程为x 28＋y 24＝1.。
江苏专用高考数学一轮复习加练半小时专题9平面解析几何第77练抛物线理含解析
江苏专用高考数学一轮复习加练半小时专题9平面解析几何第77练抛物线理含解析[基础保分练]1．(2018·无锡模拟)若抛物线y 2＝2px (p >0)上的点A (2，m )到焦点的距离为6，则p ＝________.2．已知抛物线y 2＝4x 上的任意一点P ，记点P 到y 轴的距离为d ，又定点A (4,5)，则PA ＋d 的最小值为________．3．(2019·淮安质检)若定义图形与图形之间的距离为一个图形上的任意一点与另一个图形上的任意一点的距离中的最小者，则直线x ＋y ＋5＝0与抛物线y 2＝2x 的距离等于________． 4．已知直线y ＝k (x ＋3)(k >0)与抛物线C ：y 2＝12x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若FA ＝3FB ，则k 的值等于________．5．(2018·扬州质检)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且满足NF ＝32MN ，则∠NMF ＝________. 6．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ，P 是抛物线C 上的点，且PF ⊥x 轴．若以AF 为直径的圆截直线AP 所得的弦长为2，则实数p 的值为________． 7．已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF为等边三角形，则p ＝________.8．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知AB ＝42，DE ＝25，则C 的焦点到准线的距离为________．9．已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则AC ＋BD 的最小值为________．10．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线C 相交于点M (点M 位于第一象限)，与它的准线相交于点N ，且点N 的纵坐标为4，FM ∶MN ＝1∶3，则实数p ＝________.[能力提升练]1．汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处，已知灯口的直径是24cm ，灯深10cm ，那么灯泡与反射镜顶点(即截得抛物线顶点)间的距离是________cm.2．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是________．3．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >2)的焦点为F ，准线为l ，过点F 斜率为3的直线l ′与抛物线C 交于点M (M 在x 轴的上方)，过M 作MN ⊥l 于点N ，连结NF 交抛物线C 于点Q ，则NQQF＝________.4．设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以F 为圆心，FA 为半径的圆交l 于B ，D 两点，若∠ABD ＝90°，且△ABF 的面积为93，则此抛物线的方程为________________．5．已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，M 是抛物线C 上一点，若FM 的延长线交x 轴的正半轴于点N ，交抛物线C 的准线l 于点T ，且FM →＝MN →，则NT ＝________.6．设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，过AB 的中点M 作y 轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点P ，若PF ＝32，则直线l 的方程为________________．答案精析基础保分练1．8 2.34－1 3.924 4.32 5.π66．2 2解析 由题意知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，0， P ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，直线AP ：y ＝p －0p 2－⎝⎛⎭⎪⎫－p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋p 2＝x ＋p 2，圆心O (0,0)到直线AP 的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 22＝2p 4，由题意以AF 为直径的圆截直线AP 所得的弦长为2，则2⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 42＝2， ∴p ＝2 2. 7．6解析 抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，准线方程为y ＝－p 2，准线方程与双曲线方程联立可得，x 23－p 212＝1，解得x ＝±3＋p 24，因为△ABF 为等边三角形， 所以32AB ＝p ， 即32·23＋p 24＝p ，解得p ＝6.8．4解析 不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，则圆的方程可设为x 2＋y 2＝r 2(r >0)，如图，又可设A (x 0,22)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5， 点A (x 0,22)在抛物线y 2＝2px 上， ∴8＝2px 0，①点A (x 0,22)在圆x 2＋y 2＝r 2上， ∴x 20＋8＝r 2，②点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22＝r 2， ③联立①②③，解得p ＝4，即C 的焦点到准线的距离为p ＝4. 9．2解析 由题意知F (1,0)，AC ＋BD ＝AF ＋FB －2＝AB －2，即AC ＋BD 取得最小值时，当且仅当AB 取得最小值．依抛物线定义知，当AB 为通径，即AB ＝2p ＝4时为最小值，所以AC ＋BD 的最小值为2. 10. 2解析 设准线与x 轴交于点A ， 过点M 作MB ⊥AN ，垂足为B . 设MN ＝3m ，FM ＝BM ＝m ， 由题意得△MNB ∽△FNA ， ∴NB AN ＝BM AF， ∴22m 4＝mp，∴p ＝ 2. 能力提升练 1．3.6 2.2 3．2解析 由抛物线定义可得MF ＝MN ，又斜率为3的直线l ′的倾斜角为π3，MN ⊥l ，所以∠NMF ＝π3，即△MNF 为正三角形， 作QQ ′⊥l ，则∠NQQ ′＝π3，NQ QF ＝NQ QQ ′＝1cosπ3＝2. 4．y 2＝6x解析 ∵以F 为圆心，FA 为半径的圆交l 于B ，D 两点，∠ABD ＝90°， 由抛物线的定义，可得AB ＝AF ＝BF ， ∴△ABF 是等边三角形， ∴∠FBD ＝30°， ∵△ABF 的面积为93＝34BF 2， ∴BF ＝6，F 到准线的距离为BF sin30°＝3＝p ，此抛物线的方程为y 2＝6x ，故答案为y 2＝6x . 5．3解析 画出图形如图所示．由题意得抛物线的焦点F (0,1)，准线为y ＝－1.设抛物线的准线与y 轴的交点为E ，过M 作准线的垂线，垂足为Q ，交x 轴于点P . 由题意得△NPM ∽△NOF ， 又FM →＝MN →，即M 为FN 的中点， ∴MP ＝12OF ＝12，∴MQ ＝12＋1＝32，∴MF ＝MN ＝32.又TM TF ＝TN ＋FM TN ＋2FM ＝MQFE ，即TN ＋32TN ＋3＝322＝34， 解得TN ＝3. 6.2x －y －2＝0解析 ∵抛物线方程为y 2＝4x ， ∴抛物线焦点为F (1，0)，准线为l ：x ＝－1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵P 在第一象限， ∴直线AB 的斜率k >0，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线方程消去y ， 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， x 1,2＝2k 2＋4±2k 2＋42－4k42k2，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1，∵过AB 的中点M 作准线的垂线与抛物线交于点P ， 设P 点的坐标为(x 0，y 0)， 可得y 0＝12(y 1＋y 2)，∵y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝k ·2k 2＋4k 2－2k ＝4k，得到y 0＝2k ，∴x 0＝1k2，可得P ⎝⎛⎭⎪⎫1k 2，2k， ∵PF ＝32，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 22＋4k 2＝32，解得k 2＝2， ∴k ＝2，直线方程为y ＝2(x －1)， 即2x －y －2＝0， 故答案为2x －y －2＝0.。
【加练半小时】2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习：专题9 平面解析几何 第56练 Word版含解析
2．(2016·南通中学检测)已知直线方程为3x＋3y＋1＝0，则直线的倾斜角为________．3．直线x sin π7＋y cos π7＝0的倾斜角α是________．4．(2016·豫西五校联考)曲线y＝x3－x＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为______________．5．直线x cosα＋3y＋2＝0的倾斜角的范围是____________________．6．直线x sinα－y＋1＝0的倾斜角的变化范围是________________________．7．(2016·济南一模)已知y＝|x|与y＝kx－1有且只有一个交点，则实数k的取值范围是______________．8．直线ax＋2y＋6＝0与直线x＋(a－1)y＋(a2－1)＝0平行，则a＝____________. 9．直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)两点，那么直线l的倾斜角α的取值范围是____________________．10．经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连结A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角α的取值范围分别为______________，____________________.11．(2016·镇江模拟)已知直线l的倾斜角α∈0°，45°]∪(135°，180°)，则直线l的斜率的取值范围是________．12．已知A(－1,2)，B(2，m)，且直线AB的倾斜角α是钝角，则m的取值范围是________．13．已知两点A(0,1)，B(1,0)，若直线y＝k(x＋1)与线段AB总有公共点，则k的取值范围是________．14．若过定点M(－1,0)，且斜率为k的直线与圆x2＋4x＋y2－5＝0在第一象限内有交点，则k的取值范围是________．答案精析1.π32.150°3.6π74.0，π2)∪34π，π)5.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π 解析 设直线的倾斜角为θ，依题意知k ＝－33cos α，∵cos α∈－1,1]，∴k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33， 即tan θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33. 又θ∈0，π)，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π. 6．0，π4]∪34π，π)解析 由x sin α－y ＋1＝0，得y ＝x sin α＋1.设直线的倾斜角为θ，则tan θ＝sin α，∵－1≤sin α≤1，∴－1≤tan θ≤1.又∵0≤θ＜π，∴0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π.∴倾斜角θ的变化范围为0，π4]∪34π，π)．7．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析 y ＝|x |的图象如图所示，直线y ＝kx －1过定点(0，－1)，由图可知，当－1≤k ≤1时，没有交点；当k ＜－1或k ＞1时，仅有一个交点．8．－1解析 由条件得a (a －1)＝2，解得a ＝－1或2.当a ＝2时，两直线重合，故a ＝－1.9．0，π4]∪(π2，π)解析 直线l 的斜率为k ＝m 2－11－2＝1－m 2≤1，又直线l 的倾斜角为α，则有tan α≤1，即tan α＜0或0≤tan α≤1，所以π2＜α＜π或0≤α≤π4.10．－1,1] 0，π4]∪3π4，π)解析如图所示，结合图形：为使l 与线段AB 总有公共点，则k P A ≤k ≤k PB ，而k PB ＞0，k P A ＜0，故k ＜0时，倾斜角α为钝角，k ＝0时，α＝0，k ＞0时，α为锐角． 又k P A ＝－2－(－1)1－0＝－1， k PB ＝－1－10－2＝1，∴－1≤k ≤1. 又当0≤k ≤1时，0≤α≤π4；当－1≤k ＜0时，3π4≤α＜π.故倾斜角α的取值范围为α∈0，π4]∪3π4，π)．11．(－1,1]解析 由直线l 的倾斜角α∈0°，45°]∪(135°，180°)，可得0≤k ≤1或－1＜k ＜0，即－1＜k ≤1.12．(－∞，2)解析 k ＝2－m －1－2＝m －23＜0，m ＜2. 13．0,1]解析 y ＝k (x ＋1)是过定点P (－1,0)的直线，k PB ＝0，k P A ＝1－00－(－1)＝1. ∴k 的取值范围是0,1]．14．(0，5)解析圆x2＋4x＋y2－5＝0与y轴正半轴交于点A(0，5)，与x轴正半轴交于点B(1,0)．∵k AM＝50＋1＝5，k BM＝0，∴k的取值范围是(0，5)．。
精选江苏专用2018版高考数学专题复习专题9平面解析几何第62练椭圆的几何性质练习理
（江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题9 平面解析几何 第62练 椭圆的几何性质练习 理1．设椭圆C ：a 2＋b2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．2．(2016·衡水模拟)已知椭圆C 的中心为O ，两焦点为F 1，F 2，M 是椭圆C 上的一点，且满足|MF 1→|＝2|MO →|＝2|MF 2→|，则椭圆C 的离心率e ＝________.3．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，左，右焦点分别是F 1，F 2，B 是短轴的一个端点，若3BF 1→＝BA →＋2BF 2→，则椭圆的离心率为________．4．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的短轴的两个端点分别为A ，B ，点C 为椭圆上异于A ，B 的一点，直线AC 与直线BC 的斜率之积为－14，则椭圆的离心率为________．5．(2016·镇江模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在椭圆x 225＋y 29＝1上，点P 满足AP→＝(λ－1)OA →(λ∈R )，且OA →·OP →＝72，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为________． 6．(2016·济南3月模拟)在椭圆x 216＋y 29＝1内，过点M (1,1)且被该点平分的弦所在的直线方程为____________________．7．设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，离心率为12，M 是椭圆上一点且MF 2与x 轴垂直，则直线MF 1的斜率为________．8．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连结AF ，BF ，若AB ＝10，AF ＝6，cos∠ABF ＝45，则椭圆C 的离心率e ＝________.9．(2017·上海六校3月联考)已知点F 为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，点P 为椭圆C 上任意一点，点Q 的坐标为(4,3)，则PQ ＋PF 取最大值时，点P 的坐标为________．10．(2016·镇江模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，过右焦点F 且斜率为k (k ＞0)的直线与C 相交于A ，B 两点，若AF →＝3FB →，则k ＝________.11．(2016·连云港二模)已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的任意一点，若∠PF 1F 2＝α，∠PF 2F 1＝β，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则此椭圆的离心率为________．12．设椭圆中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点，若ED →＝6DF →，则k 的值为________．13．(2017·黑龙江哈六中上学期期末)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若椭圆上存在点P ，使asin∠PF 1F 2＝csin∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率的取值范围为____________．14．椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线PA 2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1的斜率的取值范围是________．答案精析 1.33解析 由题意知sin 30°＝PF 2PF 1＝12， ∴PF 1＝2PF 2.又∵PF 1＋PF 2＝2a ， ∴PF 2＝2a3.∴tan 30°＝PF 2F 1F 2＝2a 32c ＝33. ∴c a ＝33. 2.63解析不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由椭圆定义，得|MF 1→|＋|MF 2→|＝2a ，再结合条件可知|MO →|＝|MF 2→|＝2a 3.如图，过M 作MN ⊥OF 2于N ，则|ON →|＝c2，|MN →|2＝|MO →|2－c24.设|MF 2→|＝x ，则|MF 1→|＝2x .在Rt△MF 1N 中，4x 2＝94c 2＋x 2－c 24，即3x 2＝2c 2，而x 2＝4a 29，所以43a 2＝2c 2，即e 2＝c 2a 2＝23，所以e ＝63. 3.15解析 不妨设B (0，b )，则BF 1→＝(－c ，－b )，BA →＝(－a ，－b )，BF 2→＝(c ，－b )，由条件可得－3c ＝－a ＋2c ， ∴a ＝5c ，故e ＝15.4.32解析 设C (x 0，y 0)，A (0，b )，B (0，－b )，则x 20a 2＋y 20b 2＝1.故x 20＝a 2×(1－y 20b 2)＝a 2×b 2－y 20b2，又k AC ·k BC ＝y 0－b x 0×y 0＋b x 0＝y 20－b 2x 20＝－14，故a 2＝4b 2，c 2＝a 2－b 2＝3b 2，因此e ＝c 2a 2＝ 3b 24b2＝32. 5．15解析 AP →＝OP →－OA →＝(λ－1)OA →，即OP →＝λOA →，则O ，P ，A 三点共线．又OA →·OP →＝72，所以OA →与OP →同向，所以|OA →||OP →|＝72.设OP 与x 轴的夹角为θ，点A 的坐标为(x，y )，点B 为点A在x 轴上的投影，则OP 在x 轴上的投影长度为|OP →|·cos θ＝|OP →|·|OB →||OA →|＝72|OB →||OA →|2＝72×|x |x 2＋y 2＝72·|x |1625x 2＋9＝72·11625|x |＋9|x |≤72·12× 16×925＝15，当且仅当|x |＝154时，等号成立．故线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为15. 6．9x ＋16y －25＝0解析 设弦的两个端点的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则有x 2116＋y 219＝1，x 2216＋y 229＝1，两式相减得x 1－x 2x 1＋x 216＋y 1－y 2y 1＋y 29＝0.又x 1＋x 2＝y 1＋y 2＝2，因此x 1－x 216＋y 1－y 29＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－916，所求直线的斜率是－916，弦所在的直线方程是y －1＝－916(x －1)，即9x ＋16y －25＝0. 7．±34解析 由离心率为12可得c 2a 2＝14，可得a 2－b 2a 2＝14，即b ＝32a ，因为MF 2与x 轴垂直，故点M的横坐标为c ，故c 2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±b 2a ＝±34a ，则M (c ，±34a )，直线MF 1的斜率为kMF 1＝±3a 8c ＝±38×2＝±34.8.57解析 设椭圆的右焦点为F 1，在△ABF 中，由余弦定理可解得BF ＝8，所以△ABF 为直角三角形，且∠AFB ＝90°，又因为斜边AB 的中点为O ，所以OF ＝c ＝5，连结AF 1，因为A ，B 关于原点对称，所以BF ＝AF 1＝8，所以2a ＝14，a ＝7，所以离心率e ＝57.9．(0，－1)解析 设椭圆的右焦点为E ，PQ ＋PF ＝PQ ＋2a －PE ＝PQ －PE ＋2 2. 当P 为线段QE 的延长线与椭圆的交点时，PQ ＋PF 取最大值，此时，直线PQ 的方程为y ＝x －1， QE 的延长线与椭圆交于点(0，－1)，即点P 的坐标为(0，－1)． 10. 2解析 由椭圆C 的离心率为32，得c ＝32a ，b 2＝a 24，∴椭圆C ：x 2a 2＋4y 2a 2＝1，F (32a,0)．设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )， ∵AF →＝3FB →， ∴(32a －x A ，－y A )＝3(x B －32a ，y B )． ∴32a －x A ＝3(x B －32a )，－y A ＝3y B ， 即x A ＋3x B ＝23a ，y A ＋3y B ＝0. 将A ，B 的坐标代入椭圆C 的方程相减得 9x 2B －x 2Aa2＝8，x B ＋x Ax B －x Aa2＝8，∴3x B －x A ＝433a ，∴x A ＝33a ，x B ＝539a ， ∴y A ＝－66a ，y B ＝618a ， ∴k ＝y B －y A x B －x A ＝618a ＋66a 539a －33a＝ 2. 11.57解析 cos α＝55⇒sin α＝255，所以sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝35·55±45·255＝11525或－55(舍去)．设PF 1＝r 1，PF 2＝r 2，由正弦定理得r 111525＝r 2255＝2c 35⇒r 1＋r 221525＝2c 35⇒e ＝c a ＝57.12.23或38解析 依题设，得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k ＞0)．如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1＜x 2.则x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4， 故x 2＝－x 1＝21＋4k2.由ED →＝6DF →，知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)， 可得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k2. 由D 在AB 上，知x 0＋2kx 0＝2， 得x 0＝21＋2k ，所以21＋2k ＝1071＋4k 2，化简，得24k 2－25k ＋6＝0，解得k ＝23或k ＝38.13．(2－1,1)解析 由a sin∠PF 1F 2＝csin∠PF 2F 1，得c a ＝sin∠PF 2F 1sin∠PF 1F 2. 又由正弦定理得sin∠PF 2F 1sin∠PF 1F 2＝PF 1PF 2，所以PF 1PF 2＝c a ， 即PF 1＝c aPF 2.又由椭圆定义得PF 1＋PF 2＝2a ， 所以PF 2＝2a 2a ＋c ，PF 1＝2aca ＋c ，因为PF 2是△PF 1F 2的一边，所以有2c －2ac a ＋c ＜2a 2a ＋c ＜2c ＋2aca ＋c ，即c 2＋2ac －a 2＞0，所以e 2＋2e －1＞0(0＜e ＜1)，解得椭圆离心率的取值范围为(2－1,1)．14．[38，34]解析 由题意可得，A 1(－2,0)，A 2(2,0)， 当PA 2的斜率为－2时，直线PA 2的方程为y ＝－2(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得19x 2－64x ＋52＝0， 解得x ＝2或x ＝2619.由PA 2的斜率存在可得点P ⎝⎛⎭⎪⎫2619，2419，此时直线PA 1的斜率k ＝38.同理，当直线PA 2的斜率为－1时， 直线PA 2的方程为y ＝－(x －2)， 代入椭圆方程，消去y 化简得 7x 2－16x ＋4＝0， 解得x ＝2或x ＝27.由PA 2的斜率存在可得点P ⎝⎛⎭⎪⎫27，127， 此时直线PA 1的斜率k ＝34.数形结合可知，直线PA 1的斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34.。
2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习：专题9 平面解析几何 第57练 Word版含解析
1221则直线l2的方程为________________．2．过点P(1,2)作直线l，若点A(2,3)，B(4，－5)到它的距离相等，则直线l的方程是________________．3．(2016·如东高级中学期中)已知直线l过直线x－y＋2＝0和2x＋y＋1＝0的交点，且与直线x－3y＋2＝0垂直，则直线l的方程为______________．4．过点(1,2)的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积最小时，直线l的方程是________________．5．光线沿直线y＝2x＋1的方向射到直线y＝x上被反射后光线所在的直线方程是________________．6．(2016·无锡模拟)在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位，沿y轴正方向平移5个单位，得到直线l1，再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位，沿y轴负方向平移2个单位，又与直线l重合，则直线l与直线l1的距离是________．7．已知点P(a，b)，Q(b，a)(a，b∈R)关于直线l对称，则直线l的方程为________________．8．(2016·常州模拟)在△ABC中，点A(3,2)，B(－1,5)，点C在直线3x－y＋3＝0上，若△ABC的面积为10，则点C的坐标为____________．9．直线ax＋by－1＝0(ab≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积为____________．10．(2016·福州模拟)若直线ax＋by＝ab(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则该直线在x轴，y 轴上的截距之和的最小值为________．11．(2016·苏州模拟)已知两条直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0都过点A(2,1)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程是______________________．12．在直线方程y＝kx＋b中，当x∈－3,4]时，恰好y∈－8,13]，则此直线方程为__________________．13．设直线l经过点(－1,1)，则当点(2，－1)与直线l的距离最远时，直线l的方程为__________________．14．设直线l的方程为(a＋1)x＋y－2－a＝0(a∈R)．(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为__________________________．(2)若a＞－1，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，O为坐标原点，则△OMN的面积取最小值时，直线l对应的方程为________________．答案精析1．3x ＋4y －3＝02．4x ＋y －6＝0或3x ＋2y －7＝03．3x ＋y ＋2＝0 4.2x ＋y －4＝05．y ＝x 2－12解析 在直线y ＝2x ＋1上取点(0,1)，(1,3)，关于直线y ＝x 的对称点(1,0)，(3,1)，过这两点的直线为y －01－0＝x －13－1，即y ＝x 2－12. 6.115解析 设直线l ：ax ＋by ＋c ＝0，依题意可得l 1：a (x －3)＋b (y －5)＋c ＝0，再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位，沿y 轴负方向平移2个单位得直线l ：a (x －4)＋b (y －3)＋c ＝0，故a ＝－34b ，则直线l 与直线l 1的距离d ＝|－3a －5b ＋c ＋4a ＋3b －c |a 2＋b 2＝|a －2b |a 2＋b 2＝|－34b －2b |(－34b )2＋b 2＝115. 7．x －y ＝0 解析 由题意知，k PQ ＝－1，故直线l 的斜率k ＝1，又直线l 过线段PQ 的中点M (a ＋b 2，a ＋b2)，故直线l 的方程为y －a ＋b 2＝x －a ＋b 2，即x －y ＝0.8．(－1,0)或(53，8)解析 设点C 到直线AB 的距离为h ，由题意知AB ＝(－1－3)2＋(5－2)2＝5，∴S △ABC ＝12AB ·h ＝52h ＝10，∴h ＝4，即点C 到直线AB 的距离为4.易求得直线AB 的方程为3x ＋4y －17＝0.设点C 的坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3x 0－y 0＋3＝0，|3x 0＋4y 0－17|5＝4，解得⎩⎨⎧ x 0＝－1，y 0＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝53，y 0＝8，即点C 的坐标为(－1,0)或(53，8)．9.12|ab |解析 令x ＝0，得y ＝1b ，令y ＝0，得x ＝1a ，S ＝12|1a ||1b |＝12|ab |.10．4解析 ∵直线ax ＋by ＝ab (a ＞0，b ＞0)过点(1,1)，∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.11．2x ＋y ＋1＝0解析 ∵点A (2,1)在直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0上，∴2a 1＋b 1＋1＝0.由此可知，点P 1(a 1，b 1)的坐标满足2x ＋y ＋1＝0.∵点A (2,1)在直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0上，∴2a 2＋b 2＋1＝0.由此可知，点P 2(a 2，b 2)的坐标也满足2x ＋y ＋1＝0.∴过两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)的直线方程是2x ＋y ＋1＝0. 12．3x －y ＋1＝0或3x ＋y －4＝0解析 方程y ＝kx ＋b ，即一次函数y ＝kx ＋b ，由一次函数单调性可知：当k ＞0时，函数为增函数，∴⎩⎨⎧ －3k ＋b ＝－8，4k ＋b ＝13，解得⎩⎨⎧ k ＝3，b ＝1.当k ＜0时，函数为减函数，∴⎩⎨⎧ 4k ＋b ＝－8，－3k ＋b ＝13，解得⎩⎨⎧ k ＝－3，b ＝4.∴此直线方程为3x －y ＋1＝0或3x ＋y －4＝0.13．3x －2y ＋5＝014．(1)x －y ＝0或x ＋y －2＝0(2)x ＋y －2＝0解析 (1)当直线l 经过坐标原点时，由该直线在两坐标轴上的截距相等可得a ＋2＝0，解得a ＝－2. 此时直线l 的方程为－x ＋y ＝0，即x －y ＝0；当直线l 不经过坐标原点，即a ≠－2且a ≠－1时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得2＋aa ＋1＝2＋a ，解得a ＝0，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.所以直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0.(2)由直线方程可得M (2＋aa ＋1，0)，N (0,2＋a )，因为a ＞－1，所以S △OMN ＝12×2＋aa ＋1×(2＋a )＝12×[(a ＋1)＋1]2a ＋1＝12(a＋1)＋1a＋1＋2]≥122(a＋1)·1a＋1＋2]＝2.当且仅当a＋1＝1a＋1，即a＝0时等号成立．此时直线l的方程为x＋y－2＝0.。
(加练半小时)2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习：专题9_平面解析几何_第64练_(有解析)
1．x 轴上，若曲线C 经过点P (1,3)，则其焦点到准线的距离为________．2．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP→＝4FQ →，则QF ＝____________. 3．已知抛物线C ：y 2＝4x ，顶点为O ，动直线l ：y ＝k (x ＋1)与抛物线C 交于A ，B 两点，则OA →·OB →的值为________．4．(2016·长春一模)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A 、B 两点，则AFBF ＝________.5．(2016·无锡模拟)如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A ，B ，C ，若BC ＝2BF ，且AF ＝3，则抛物线的方程是______________．6．(2016·黑龙江哈尔滨三中一模)直线l 与抛物线C ：y 2＝2x 交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若直线OA ，OB 的斜率k 1，k 2满足k 1k 2＝23，则l 过定点________．7．(2016·常州模拟)如图，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 为抛物线C 上的点，以F 为圆心，p2为半径的圆与直线AF 在第一象限的交点为B ，∠AFO ＝120°，A 在y 轴上的投影为N ，则∠ONB ＝________.8．已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为________．9．(2016·福建质检)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点作倾斜角为30°的直线l与抛物线交于P，Q两点，分别过P，Q两点作PP1，QQ1垂直于抛线物的准线于P1，Q1，若PQ＝2，则四边形PP1Q1Q 的面积是________．10．(2016·镇江模拟)已知过拋物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O是坐标原点，AF＝2，则BF＝______，△OAB的面积是________．11．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．12．(2016·石家庄质量检测二)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B 两点，M为抛物线C的准线与x轴的交点．若tan∠AMB＝22，则AB＝________.13．过抛物线y2＝4x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若AB＝8，AF＜BF，则BF＝________. 14．(2016·扬州中学月考)已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，△ABC的三个顶点都在抛物线上，并且△ABC的重心是抛物线的焦点，BC边所在的直线方程为4x＋y－20＝0，则抛物线的方程为__________．答案精析1.92 2.3 3.5 4.13解析 设抛物线的准线为l ：x ＝－p2，设FB ＝m ，F A ＝n ，过A ，B 两点向准线l 作垂线AC ，BD ， 由抛物线定义知AC ＝F A ＝n ，BD ＝FB ＝m ， 过B 作BE ⊥AC ，E 为垂足， AE ＝CE －AC ＝BD －AC ＝m －n ， AB ＝F A ＋FB ＝n ＋m .在Rt △ABE 中，∠BAE ＝60°， cos60°＝AE AB ＝m －n m ＋n ＝12，即m ＝3n . 故AF BF ＝n m ＝m3m ＝13. 5．y 2＝3x解析 分别过点A ，B 作准线的垂线AE ，BD ，分别交准线于点E ，D ，则BF ＝BD ， ∵BC ＝2BF ，∴BC ＝2BD ， ∴∠BCD ＝30°，又AE ＝AF ＝3，∴AC ＝6， 即点F 是AC 的中点， 根据题意得p ＝32， ∴抛物线的方程是y 2＝3x . 6．(－3,0)解析 设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，由⎩⎨⎧y 2＝2x ，y ＝kx ＋b ，得k 2x 2＋(2kb －2)x ＋b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2kb －2k 2，x 1x 2＝b 2k 2.由k 1k 2＝y 1y 2x 1x 2＝23，得2x 1x 2－3y 1y 2＝2x 1x 2－3(kx 1＋b )·(kx 2＋b )＝(2－3k 2)x 1x 2－3kb (x 1＋x 2)－3b 2＝0，代入可得b ＝3k ，所以y ＝kx ＋3k ＝k (x ＋3)，所以直线l 一定过点(－3,0)． 7．30°解析 因为点A 到抛物线C 的准线的距离为AN ＋p 2，点A 到焦点F 的距离为AB ＋p2，所以AN ＝AB ，因为∠AFO ＝120°，所以∠BAN ＝60°，所以在△ABN 中，∠ANB ＝∠ABN ＝60°，则∠ONB ＝30°. 8．2解析 由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过点A 作AA 1⊥l 于点A 1，过点B 作BB 1⊥l 于点B 1，设弦AB 的中点为M ，过点M 作MM 1⊥l 于点M 1，则MM 1＝AA 1＋BB 12.因为AB ≤AF ＋BF (F 为抛物线的焦点)，即AF ＋BF ≥6，所以AA 1＋BB 1≥6,2MM 1≥6，MM 1≥3，故点M 到x 轴的距离d ≥2. 9．1解析 由题意得，四边形PP 1Q 1Q 为直角梯形，PP 1＋QQ 1＝PQ ＝2，P 1Q 1＝PQ ·sin30°＝1，∴S ＝PP 1＋QQ 12·P 1Q 1＝1. 10．2 2解析 设A (x 0，y 0)，由抛物线定义知x 0＋1＝2， ∴x 0＝1，则直线AB ⊥x 轴， ∴BF ＝AF ＝2，AB ＝4.故△OAB 的面积S ＝12AB ·OF ＝12×4×1＝2. 11．2 6解析 如图所示，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)．由题意将点A (2，－2)代入x 2＝－2py ， 得p ＝1，故x 2＝－2y .设B (x ，－3)，代入x 2＝－2y 中，得x ＝6， 故水面宽为26米．12．8解析 根据对称性，如图所示，不妨设l ：x ＝my ＋1(m ＞0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，得y 2－4my －4＝0，∴y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，x 1x 2＝y 214·y 224＝1，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2＝4m 2＋2. ∵tan ∠AMB ＝tan(∠AMF ＋∠BMF )， ∴y 1x 1＋1＋－y 2x 2＋11－y 1x 1＋1·－y 2x 2＋1＝22，即y 1(my 2＋2)－y 2(my 1＋2)(my 1＋2)(my 2＋2)＋y 1y 2＝22， 解得y 1－y 2＝42m 2， ∴4m 2＋1＝42m 2， 解得m 2＝1(负值舍去)，∴AB ＝AF ＋BF ＝x 1＋1＋x 2＋1＝4m 2＋4＝8.13．4＋2 2解析 由y 2＝4x ，得焦点F (1,0)．又AB ＝8，故AB 的斜率存在(否则AB ＝4)．设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝k (x －1)代入y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，故x 1＋x 2＝2＋4k 2，由AB ＝AF ＋BF ＝x 1＋x 2＋2＝8，得x 1＋x 2＝2＋4k 2＝6，即k 2＝1，则x 2－6x ＋1＝0，又AF ＜BF ，所以x 1＝3－22，x 2＝3＋22，故BF ＝x 2＋1＝3＋22＋1＝4＋2 2. 14．y 2＝16x解析 设抛物线的方程为y 2＝2px ， 由⎩⎨⎧4x ＋y －20＝0，y 2＝2px ， 可得2y 2＋py －20p ＝0， 由Δ＞0，得p ＞0或p ＜－160， 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－p2，所以x 1＋x 2＝5－y 14＋5－y 24 ＝10－14(y 1＋y 2)＝10＋p8，设A (x 3，y 3)，由三角形重心为F (p2，0)， 可得x 1＋x 2＋x 33＝p 2，y 1＋y 2＋y 33＝0， 所以x 3＝11p 8－10，y 3＝p2， 因为A 在抛物线上， 所以(p 2)2＝2p (118p －10)，从而p ＝8，所以所求抛物线的方程为 y 2＝16x .。
江苏专用2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.8曲线与方程课件理
2.(2016· 苏州模拟)方程(2x＋3y－1)( x－3－1)＝0 表示的曲线是
一条直线和一条射线 ______________________.
答案
解析
2x＋3y－1＝0， 原方程可化为 或 x－3－1＝0， x－3≥0
即2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4，
2.求动点的轨迹方程的基本步骤
任意
x,y
所求方程
知识拓展 1.“ 曲线 C 是方程 f(x ， y) ＝ 0 的曲线 ” 是 “ 曲线 C 上的点的坐标都是方 程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件. 2.曲线的交点与方程组的关系： (1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组 成的方程组的实数解； (2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线 就没有交点.
思维升华
“相关点法”的基本步骤 (1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1).
(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式
x1＝fx，y， y1＝gx，y.
(3) 代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹
方程.
跟踪训练3
设直线x－y＝4a与抛物线y2＝4ax交于两点A，B(a为定值)，
直径的圆内切于圆O，记点B的轨迹为Γ.
(1)求曲线Γ的方程； 解答
几何画板展示
(2)直线AB交圆O于C，D两点，当B为CD的中点时，求直线AB的方程.
解答
几何画板展示
→ → 因为 B 为 CD 的中点，所以 OB⊥CD，则OB⊥AB. → 设 B(x0，y0)，则AB＝(x0－ 3，y0)，
所以 x0(x0－ 3)＋y2 0＝0. 2 x0 2 2 2 又 4 ＋y0＝1，解得 x0＝ ，y0＝± . 3 3 2 则 kOB＝± 2 ，kAB＝∓ 2， 则直线 AB 的方程为 y＝± 2(x－ 3)，
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1．(2016·泰州一模)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2－y 2＝1的实轴长为________．2．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C 的方程是________________．3．(2016·南京模拟)设P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若PF 1＝3，则PF 2＝________. 4．(2016·江南十校联考)已知l 是双曲线C ：x 22－y 24＝1的一条渐近线，P 是l 上的一点，F 1，F 2分别是C 的左，右焦点，若PF 1→·PF 2→＝0，则点P 到x 轴的距离为________． 5．已知双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(4,3)，则此双曲线的方程为________________．6．(2016·杭州第一次质检)设双曲线x 24－y 23＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交双曲线左支于A ，B 两点，则BF 2＋AF 2的最小值为________． 7．设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，P 是C 上一点．若PF 1＋PF 2＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为________． 8．(2016·苏、常、锡、镇联考)已知圆O 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，圆O 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0都内切于动圆，则动圆圆心的轨迹方程是____________________________．9．(2016·南通一模)已知双曲线x 2－y 22＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点M 在双曲线上且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到x 轴的距离d ＝________.10．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(b ＞a ＞0)的右顶点A 作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C ，若A ，B ，C 三点的横坐标成等比数列，则双曲线的离心率为________．11．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率是2，则b 2＋13a 的最小值是________． 12．(2016·安徽江南十校联考)以椭圆x 29＋y 25＝1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C ，其左，右焦点分别是F 1，F 2，已知点M 的坐标为(2,1)，双曲线C 上的点P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)满足PF 1→·MF 1→|PF 1→|＝F 2F 1→·MF 1→|F 2F 1→|，则S △PMF 1－S △PMF 2＝________.13．(2016·扬州二模)圆x 2＋y 2＝4与y 轴交于点A ，B ，以A ，B 为焦点，坐标轴为对称轴的双曲线与圆在y 轴左边的交点分别为C ，D ，当梯形ABCD 的周长最大时，此双曲线的方程为________________．14．(2016·淮北一模)称离心率为e ＝5＋12的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)为黄金双曲线，如图是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0，c ＝a 2＋b 2)的图象，给出以下几个说法：①双曲线x 2－2y 25＋1＝1是黄金双曲线；②若b 2＝ac ，则该双曲线是黄金双曲线；③若F 1，F 2为左，右焦点，A 1，A 2为左，右顶点，B 1(0，b )，B 2(0，－b )，且∠F 1B 1A 2＝90°，则该双曲线是黄金双曲线；④若MN 经过右焦点F 2，且MN ⊥F 1F 2，∠MON ＝90°，则该双曲线是黄金双曲线．其中正确命题的序号为________．答案精析1．22 2.x 24－y 25＝1 3.7 4.2 5.y 29－x 216＝1解析 由题意可知c ＝32＋42＝5，∴a 2＋b 2＝c 2＝25，①又点(4,3)在y ＝a b x 上，故a b ＝34，② 由①②解得a ＝3，b ＝4， ∴双曲线的方程为y 29－x 216＝1. 6．11解析 由双曲线定义可得AF 2－AF 1＝2a ＝4，BF 2－BF 1＝2a ＝4，两式相加可得AF 2＋BF 2＝AB ＋8，由于AB 为经过双曲线的左焦点与左支相交的弦，而AB min ＝2b 2a ＝3，故AF 2＋BF 2＝AB ＋8≥3＋8＝11. 7. 3解析 不妨设点P 在双曲线C 的右支上，由双曲线定义知PF 1－PF 2＝2a ， 又因为PF 1＋PF 2＝6a ， 所以PF 1＝4a ，PF 2＝2a ，因为PF 1＞PF 2，所以∠PF 1F 2为最小内角，因此∠PF 1F 2＝30°，在△PF 1F 2中，由余弦定理可知，PF 22＝PF 21＋F 1F 22－2PF 1·F 1F 2·cos30°， 即4a 2＝16a 2＋4c 2－83ac ，所以c 2－23ac ＋3a 2＝0，两边同除以a 2，得e 2－23e ＋3＝0，解得e ＝ 3. 8.x 294－y 2914＝1(x ≥32) 解析 圆O 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0， 即为(x －5)2＋y 2＝16，所以圆O 2的圆心为O 2(5,0)，半径r 2＝4，而圆O 1：(x ＋5)2＋y 2＝1的圆心为O 1(－5,0)，半径r 1＝1，设所求动圆圆心M 的坐标为(x ，y )，半径为r ，则r ＝O 1M ＋1且r ＝O 2M ＋4， 所以O 1M －O 2M ＝3，所以动点M 到定点O 1及O 2的距离的差为3，且O 1O 2＝10＞3， 所以点M 的轨迹为双曲线的右支， 且实轴长2a ＝3，焦距2c ＝10， 即所求动圆圆心的轨迹方程为 x 294－y 2914＝1(x ≥32)． 9.233解析 根据题意可知 S △F 1MF 2＝12|F 1F 2→|·d ＝12|MF 1→|·|MF 2→|， 利用条件及双曲线定义得 ⎩⎨⎧||MF 1→|－|MF 2→||＝2，|MF 1→|2＋|MF 2→|2＝12，解方程组可得|MF 1→|·|MF 2→|＝4， 所以所求的距离d ＝423＝233. 10.10解析 由题意可知，经过右顶点A 的直线方程为y ＝－x ＋a ，联立⎩⎨⎧y ＝ba x ，y ＝－x ＋a ，解得x ＝a 2a ＋b.联立⎩⎨⎧y ＝－ba x ，y ＝－x ＋a ，解得x ＝a 2a －b.因为b ＞a ＞0，所以a 2a －b ＜0，且a 2a ＋b ＞0，又点B 的横坐标为等比中项，所以点B 的横坐标为a 2a －b ，则a ·a 2a ＋b ＝(a 2a －b )2，解得b ＝3a ，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝a 2＋b 2a＝10. 11.233解析 c a ＝2⇒c 2a 2＝4⇒a 2＋b 2＝4a 2⇒3a 2＝b 2，则b 2＋13a ＝3a 2＋13a ＝a ＋13a≥2a ·13a＝233，当且仅当a ＝13a ，即a ＝33时，b 2＋13a 取得最小值233. 12．2解析 双曲线方程为x 24－y 25＝1， PF 1－PF 2＝4，由PF 1→·MF 1→|PF 1→|＝F 2F 1→·MF 1→|F 2F 1→|，可得F 1P →·F 1M →|MF 1→||F 1P →|＝F 1F 2→·F 1M→|MF 1→||F 1F 2→|，得F 1M 平分∠PF 1F 2.又结合平面几何知识可得， △F 1PF 2的内心在直线x ＝2上， 所以点M (2,1)就是△F 1PF 2的内心， 故S △PMF 1－S △PMF 2 ＝12(PF 1－PF 2)×1 ＝12×4×1＝2. 13.y 24－23－x 223＝1解析 设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，C (x ′，y ′)(x ′＜0，y ′＞0)， BC ＝t (0＜t ＜22)． 如图，连结AC ， ∵AB 为直径， ∴∠ACB ＝90°， 作CE ⊥AB 于E ， 则BC 2＝BE ·BA ， ∴t 2＝4(2－y ′)， 即y ′＝2－14t 2.∴梯形的周长l ＝4＋2t ＋2y ′ ＝－12t 2＋2t ＋8＝－12(t －2)2＋10， ∴当t ＝2时，l 最大． 此时，BC ＝2，AC ＝23，又点C 在双曲线的上支上，且A ，B 为焦点， ∴AC －BC ＝2a ，即2a ＝23－2， ∴a ＝3－1， ∴b 2＝23，∴所求方程为y 24－23－x 223＝1.14．①②③④解析①双曲线x2－2y25＋1＝1，a2＝1，c2＝1＋5＋12＝5＋32，∴e＝ca ＝5＋32＝5＋12，∴命题①正确；②若b2＝ac，c2－a2＝ac，∴e＝5＋1 2，∴命题②正确；③B1F21＝b2＋c2，B1A2＝c，由∠F1B1A2＝90°，得b2＋c2＋c2＝(a＋c)2，即b2＝ac，e＝5＋1 2，∴命题③正确；④若MN经过右焦点F2，且MN⊥F1F2，∠MON＝90°，则c＝b 2a ，即b2＝ac，e＝5＋1 2，∴命题④正确．综上，正确命题的序号为①②③④.。