古典概型

中恰有一件次品”这一事件，则A={(a1，b1)，(a2， b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}.
4 2 事件A由4个基本事件组成，因而P(A)= ＝ . 6 3
2.(2016·衡水模拟)某艺校在一天的6节课中随机安排 语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各 1节，
则在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术
【特别提醒】 1.古典概型中的基本事件都是互斥的.
2.任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事
件概率的和.
【小题快练】 链接教材 练一练
1.(必修3P134A组T5改编)一个盒子里装有标号为1，2，
3，4的4张卡片，随机地抽取2张，则取出的2张卡片上 的数字之和为奇数的概率是(
A. 1 4 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3
3 A. 10 1 B. 5 1 C. 10
)
1 D. 20
(2)(2015·天津高考)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的
运动员人数分别为27，9，18，先采用分层抽样的方法
从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛. ①求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数. ②将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2， A3，A4，A5，A6，从这6名运动员中随机抽取2名参加双 打比赛.
6 2
(2)从该小组同学中任选2人，其所有可能的结果组成 的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，
C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共
10个.
由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的 出现是等可能的.选到的2人身高都在1.70以上且体重
(i)用所给编号列出所有可能的结果； (ii)设A为事件“编号为A5，A6的两名运动员至少有一
人被抽到”，求事件A发生的概率.
【解题导引】(1)用排列组合求出所有结果，并分析其 中的勾股数，根据古典概型求解.
(2)①根据分层抽样的每层抽样比相同，直接求解；②
(i)用列举法列出基本事件；(ii)用列举法求出A包含 的基本事件数，利用古典概型的概率公式计算.
有公共点，即满足
2a a 2 b2
即满足a2≤b2的数组(a，b) 2，
有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，„，(6，6)，共 6+5+4+3+2+1=21种，因此所求的概率等于
7 答案： 12
21 7 . 36 12
考向一
古典概型简单应用问题
【典例1】(1)(2015·全国卷Ⅰ)如果3个正整数可作为 一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾 股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个 数构成一组勾股数的概率为(
体重指标
19.2
25.1
18.5
23.3
20.9
(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到 的2人身高都在1.78以下的概率.
(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在
1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的概率. 【解题导引】根据求古典概型概率的步骤求解.
【规范解答】(1)从身高低于1.80的同学中任选2人，
【规范解答】(1)选C.从1，2，3，4，5中任取3个不同
5 4 3 =10(种)，其中只有(3，4，5)一组 的数有 C3 5 3 2 1
勾股数，所以3个数构成一组勾股数的概率为 1 .
10
(2)①应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员 人数为3，1，2. ②(i)从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛，所 有可能的结果为 A1 ,A 2 ,A1,A3 ,A1,A 4 ,A1,A 5 ,
其中(3，4，5)，(6，8，10)为勾股数，共2种，所以3 个数构成一组勾股数的概率为 P 2 1 .
120 60
【规律方法】 1.应用古典概型求某事件的步骤
第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出
所求事件A； 第二步，分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所
包含的基本事件个数m；
其所有可能的结果组成的基本事件有(A，B)，(A，C)，
(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6个. 由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出 现是等可能的.选到的2人身高都在1.78以下的事件有 (A，B)，(A，C)，(B，C)，共3个.因此选到的2人身高
都在1.78以下的概率为P= 3 1 .
A1,A6 ,A2 ,A3,A2 ,A 4,A 2 ,A5 ,A 2 ,A6 ,A3,A 4 ,
A3 ,A5 ,A3 ,A6 ,A4 ,A5 ,A 4 ,A6 ,A5 ,A6 , 共15种.
(ii)编号为A5，A6的两名运动员至少有一人被抽到的 结果为 A1,A5 ,A1,A6 , A 2 ,A5 ,A 2 ,A 6 , A3 ,A5 ,
2.(必修3P145复习参考题A组T5改编)盒中装有形状、 大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个.
若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的
概率为________.
2 =10(种)取法，2个 【解析】从5个球中任取2个球有C5
3 1 =6(种)，故所求概率为 6 球颜色不同的取法有 C1 . 3C2 10 5
课的概率为
3 答案： 5
72 216 144 3 P . 6 A6 5
考向二
应用古典概型计算较复杂事件的概率问题
【典例2】(2016·杭州模拟)某小组共有A，B，C，D，E 五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：
千克/米2)如表所示：
A 身高 1.69 B 1.73 C 1.75 D 1.79 E 1.82
【变式训练】(2015·山东高考)某中学调查了某班全部 45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如表
(单位：人) 参加书法社团 未参加书法社团
参加演讲社团 未参加演讲社团 8 2 5 30
(1)从该班任选1名同学，求该同学至少参加上述一个 社团的概率.
(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，
1 =50种，所以恰好1个 恰好1个白球，1个红球共有 C1 C 10 5
白球，1个红球的概率为 50 10 .
105 21
4.(2015·江苏高考)袋中有形状、大小都相同的4只球， 其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出
2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.
【解析】设4只球分别为白、红、黄1、黄2，从中一次 随机摸出2只球，所有基本事件为(白，红)、(白，黄 1)、(白，黄2)、(红，黄1)、(红，黄2)、(黄1，黄2)， 共6个，颜色不同的有(白，红)、(白，黄1)、(白，
黄2)、(红，黄1)、(红，黄2)，共5个，所以2只球颜
5 色不同的概率为 . 6 5 答案： 6
5.(2016·绍兴模拟)将一颗骰子先后投掷两次分别得到 点数a，b，则直线ax+by=0与圆(x-2)2+y2=2有公共点
的概率为________.
【解析】依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点
数所形成的数组(a，b)有(1，1)，(1，2)，(1，3)，„， (6，6)，共36种，其中满足直线ax+by=0与圆(x-2)2+y2=2
课的概率为______(用数字作答).
【解析】当每两节文化课之间都有一节艺术课时，共
3 =72种排法； 有 2A3 A 3 3
2 1 2 2 3 当有两节文化课排在一起时，共有C3 C3A 2 A 2 A3=216种排法； 4 当三节文化课排在一起时，共有A3 =144种排法. A 3 4
所以在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术
3 答案： 5
感悟考题
试一试
3.(2015·广东高考)袋中共有15个除了颜色外完全相
同的球，其中有10个白球，5个红球.从袋中任取2个
球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为 (
A.1 11 B. 21 10 C. 21 5 D. 21
)
2 =105种，其中 【解析】选C.从袋中任取2个球共有 C15
有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2， B3.现从这5名男同学和3名女同学中各任选1人，求A1
被选中且B1未被选中的概率.
【解析】(1)记“该同学至少参加上述一个社团为事件 A ”，
则P(A)= 8 2 5 1 .
1 所以该同学至少参加上述一个社团的概率为 . 3 45 3
)
【解析】选D.从盒中装有数字1，2，3，4的4张卡片中 随机抽取2张，有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，
(2，4)，(3，4)共6种，取出的2张卡片上的数字之和
为奇数的取法有(1，2)，(1，4)，(2，3)，(3，4)共 4种，故取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是
4 2 . 6 3
(2)从5名男同学和3名女同学中各随机选1人的所有基 本事件有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，
(A2，B2)，(B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，
(A4，B1)，(A4，B2)，(A4，B3)，(A5，B1)，(A5，B2)， (A5，B3)共15个，其中A1被选中且B1未被选中的有
第五节
古典概型
【教学要求】
【知识梳理】 1.基本事件的特点
互斥 的. (1)任何两个基本事件是_____
基本事件 (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成_________ 的和.
2.古典概型 (1)
(2)概率计算公式：
A包含的基本事件的个数 P(A)=________________. 基本事件的总数