古典概型1,2
人教A版高中数学必修第二册-第十章 -10-1-3古典概型
高中数学 必修第二册 RJ·A
二 古典概型概率的计算 例2 一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑 球，从中摸出2个球.求： (1)样本空间的样本点的总数n；
知识点一 事件的概率
对随机事件发生 可能性大小 的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用 P(A) 表示.
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知识点二 古典概型
一般地，若试验E具有以下特征： (1)有限性：样本空间的样本点只有 有限个 ； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性 相等 . 称试验E为古典概型试验，其数学模型称为 古典概率 模型，简称
(3)摸出2个黑球的概率. 解 样本点总数 n＝6，事件“摸出两个黑球”包含的样本点个数 m＝3，故 P＝36＝12， 即摸出 2 个黑球的概率为12.
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反思感悟
利用古典概型公式计算概率的步骤 (1)确定样本空间的样本点的总数n. (2)确定所求事件A包含的样本点的个数m.
故 P(A)＝366＝16.
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(2)求掷出两个4点的概率； 解 记“掷出两个4点”为事件B，从图中可以看出，事件B包含的样本点只有1个，即(4,4). 故 P(B)＝316.
(3)求点数之和能被3整除的概率. 解 记“点数之和能被3整除”为事件C，则事件C包含的样本点共12个：(1,2)，(2,1)， (1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6). 故 P(C)＝1326＝13.
1-4 等可能概型(古典概型)
n
1
证：从n个不同的元素中取出n1个元素有 n n !( n n )! 种取法；
1 1
n!
(n n1 )! 再从剩下的n-n1个元素中取出n2个元素有 n !(n n n )! 2 1 2
组合分析的两条基本原理
火车2次 火车
成都
汽车3次
重庆
成都
汽车
重庆
火车 飞机 轮船
武汉
共有23=6种方法 共有2+3=5种方法 1.加法原理 若完成一件事有两种方式，第一种方式有n1种方法， 第二种方式有n2种方法，无论通过哪种方法都可以完成这件事，
则完成这件事总共有n1+n2种方法。 2.乘法原理 若完成一件事有两个步骤，第一个步骤有n1种方法，
种分法。
例题7
例7 将15名新生随机地平均分配到三个班级中去，这15名新生中
种取法；„
从最后剩下的n-(n1+n2+„+nk-1)个元素中取出nk个元素有
[n (n1 n2 nk 1 )]! 种取法。 nk ![n (n1 n2 nk )]!
按乘法原理，n个不同的元素，分成k组，每组分别有n1,n2,„,nk 个元素,应该有
[n (n1 n2 nk 1 )]! n! (n n1 )! n! n1!(n n1 )! n2!(n n1 n2 )! nk !0! n1!n2! nk !
P ( A) kA 16 4 , n 36 9
kB 4 1 . n 36 9 5 8 P( A B) P( A) P( B) , P(C ) P( B) 1 P( B) 9 9 P( B)
数学人教版一轮复习课件：第11章第2讲 古典概型
画出树状图如图11-2-1所示.
图 11-2-1
由图12-2-1可知,所有的基本事件共有25个,满足题意的基本事件有10个,故
10
所求概率为
25
=
2
.
5
考法1 古典概型的求法
(2)(排列、组合法)不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10个,
2
从中随机选取两个不同的数,有C10
古典概型,在高考中常与平面向量、集合、函数、数列、解析几何、
命题分 统计等知识交汇命题,命题角度及背景新颖,考查知识全面,能力要
析预测 求较高.本部分内容重点考查数学建模与数学运算素养.
在2022年高考备考过程中要注意古典概型与数学文化、实际
生活密切联系的问题,要加强实际应用问题的训练.
考点帮·必备知识通关
243 331 112
342 241 244 431 233 214 344 142 134
由此可以估计,恰好第三次就停止摸球的概率为
1
9
1
6
2
9
5
18
A. B. C. D.
考法2 随机模拟的应用
解析 由18组随机数得,恰好在第三次停止摸球的有142,112,241,142,共4
4
组,所以恰好第三次就停止摸球的概率约为
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1-2(概率的定义、古典概率)
P( AB) P( A) P( B) P( A B)
P( A) P( B) 1 0.3 —— 最小值
最小值在 P( A B) 1 时取得
P( AB) P( A) 0.6
—— 最大值
最大值在 P( A B) P( B) 时取得
三.几何概率
早在概率论发展初期，人们就认识到， 只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不 够的. 把等可能推广到无限个样本点场合,人们 引入了几何概型. 由此形成了确定概率的另 一方法——几何方法.
P( AB ) P( A) P( AB) 0.7 0.1 0.6 (2) P( A B) P( A) P( B) P( AB) 0.8
(1)
(3) P( A B) P( A B) 0.2
例2 设A , B满足 P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7, 在 何条件下， P(AB) 取得最大(小)值？最大(小) 值是多少？ 解 P( A B) P( A) P( B) P( AB)
P ( Ai ) P ( Ai )
i 1 i 1 n n 1 i j n
P( A A )
i j
1 i j k n
P( A A A )
i j k
„ ( 1)
n1
P ( A1 A2 „ An )
例1 小王参加“智力大冲浪”游戏, 他能 答出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2, 两类问题都能答出的概率为0.1. 求小王 (1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率 (2) 至少有一类问题能答出的概率 (3) 两类问题都答不出的概率 解 事件A , B分别表示“能答出甲,乙类问题”
高三数学一轮复习 第十一章 第2课时 古典概型课件
3．概率的一般加法公式 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－ P(A∩B) 公式使用中要注意： (1)公式的作用是求 A∪B 的概率，当 A∩B＝∅时， A、B 互斥，此时 P(A∩B)＝0，∴P(A∪B)＝P(A) ＋P(B)； (2)要计算 P(A∪B)，需要求 P(A)、P(B)，更重要 的是把握事件 A∩B，并求其概率；
(3)记“至少摸出 1 个黑球”为事件 B，则事 件 B 包含的基本事件为 ab，ac，ad，ae，bc， bd，be，共 7 个基本事件． 所以 P(B)＝170＝0.7. 答：至少摸出 1 个黑球的概率为 0.7.
求较复杂的古典概型概率
对于较复杂事件的概率，关键是理解题目的 实际含义，把实际问题转化为概率模型，用 分析法、列表法求出基本事件的总数，必要 时将所求事件转化成彼此互斥的事件的和， 或者先去求对立事件的概率，进而再用互斥 事件的概率加法公式或对立事件的概率公式 求出所求事件的概率．
(3)该公式可以看作一个方程，知三可求一．
从近两年的高考试题来看，古典概型是高考 的热点，可在选择题、填空题中单独考查， 也可在解答题中与统计或随机变量的分布列 一起考查，属容易或中档题．以考查基本概 念、基本运算为主．
(本小题满分12分)(2010·天津卷)有编号为A1， A2，…，A10的10个零件，测量其直径(单位： cm)，得到下面数据：
解析： 由集合 P＝{x|x(x2＋10x＋24)＝0} 可得 P＝{－6，－4,0}， 由 Q＝{y|y＝2n－1,1≤n≤2，n∈N*}，可得 Q ＝{1,3}， M＝P∪Q＝{－6，－4,0,1,3}． 因为点 A(x′，y′)的坐标 x′∈M，y′∈M， 所以满足条件的 A 点共有 5×5＝25 个． (1)正 好在第 三象限的 点有 (－ 6，－ 6)， (－ 4， －6)，(－6，－4)，(－4，－4)4 个点．
1-3古典概型
例4 某接待站在某一周曾接待过12次来访者，已知
所有这12次接待都是在周二和周四进行的。问
是否可以推断接待时间是有规定的。
解 假设接待站的接待时间没有规定，而来访者 在一周的任一天去接待站是等可能的，那么， 12次来访都是在周二、周四的概率为
212 P 12 0.0000003 7
这样小概率的事件在一次试验中就发生了， 人们有比较大的把握怀疑假设的正确性.即认为 其接待时间是有规定的。
称此概率为古典概率. 这种确定概率的方法 称为古典方法 . 这样就把求概率问题转化为计数问题 . 排列组合是计算古典概率的重要工具 .
设有 k个不同的球, 每个球等可 例2（分房模型） 能地落入 N 个盒子中（ k） , 设每个盒子容球数无限, N 求下列事件的概率:
（1）A={ k 个球放入k个不同的盒子中}；
小概率原理 —— ( 即实际推断原理 ) 一次试验中小概率事件一般是不 会发生的. 若在一次试验中居然发生了, 则可怀疑该事件并非小概率事件.
§1.3 古典概型
定义1 若随机试验满足下述两个条件： (1) 它的样本空间只有有限多个样本点； (2) 每个样本点出现的可能性相同.
称这种试验为 有穷等可能随机试验 或古典概型.
定义2 设试验E是古典概型, 其样本空间S由n 个样本点组成 , 事件A由k个样本点组成 . 则定 义事件A的概率为： A包含的样本点数 P(A)＝k/n＝ S中的样本点总数
房
许多表面上提法不同的问题实质上属于同一 类型：
有n个旅客，乘火车途经N个车站，设每 个人在每站下车的概率为1/ N(N ≥ n) ，求指 定的n个站各有一人下车的概率.
旅客
车站
许多表面上提法不同的问题实质上属于同一 类型：
古典概型的几类基本问题（1）
古典概型中的几类基本问题1 引言]1[：一是明确分辨问题的性质，即是对于古典概型问题的求解，首先要做到这三方面的工作67不是古典概型问题；二是掌握古典概型的公式；三是根据公式要求，确定n（基本事件总数）和k（有利事件总数）的值17]2[，这是解题的关键一步，计算方法灵活多变，没有一个固定的模式，但古典概型的种种解法大体上都是围绕n和k展开的．抛硬币、掷骰子、摸球、取数等随机试验，在概率问题的研究中有着十分重要的意义．一方面，这些模型是人们从大量的随机现象中筛选出来的理想化的概率模型，它们的内容生动形象，结构清楚明确，富有直观性和典型性，便于深入浅出地反映事物的本质，揭示事物的规律．另一方面，这种模式化的解决，常常归结为某种简单的模型．因此，有目的地考察并掌握若干常见的概率模型，有助于我们举一反三，触类旁通，丰富解题的技能和技巧，不断提高解题能力．通过对相关资料的查询及老师的指导，本文主要讨论古典概率的三类基本问题：摸球问题、质点入盒问题、随机取数问题，给出它们的一般解法，指出其典型意义，并介绍其推广应用．2 摸球模型摸球模型是指从n个可分辨的球中按照不同的要求（例如是否放回、是否计序等）一个一个地m≤）个，从而得到不同的样本空间，然后在各自的样本空间中计算事件的概率．一从中取出m（n]3[：般说来，根据摸球的方式不同，可分为四种情况来讨论，得如下表一的四种不同的样本空间26表一其中mnm m n H C =-+1表示从n 个不同元素中取m 个元素进行元素的可重复的组合时其不同的组合个数，对各种情况先举例及推广应用：2.1 有放回且有计序摸球如果摸球是从n 个可分辨的球按有放回且计序的方式一个一个地从中取出m 个，这时样本空间的基本事件，总数应按相异元素允许重复的排列公式计算，因而有m n 个,此种情形是我们经常遇到的，下面来看个例子．例1 用1、2两个数字组成3个数，组成多少个数？思考方法 在数字排序的问题中，百位、十位、个位这三个位置上必须找出一个数字，至于每个是否均有位置，则不作要求，所以这是个有放回且计序的摸球问题，从而在各个位置上可以是1、2的任一个．依乘法原理不同的组合数有823==m n 个．2.2 有放回且无计序摸球从n 个相异元素每次取出允许重复的m 个元素，不计次序并成一组，叫做从n 个相异元素允许重复的m 元组合，其所有组合的个数为m n m m n H C =-+1，通过下面的这个例子我们也可以看出它的典型性．例2 匣内装颜色分别为红、白、黑的三个球，有放回不按序选取，问匣内任取两个不同颜色的球的概率为多少？思考方法 作为有放回不按序摸球问题，设A 表示从匣内有放回不计序选取两个不同颜色的球的事件．由题设可知，样本空间的基本事件总数为624212323===-+C C H ，事件A 所含的基本事件数为323=C ,故所求概率为21)(2323==H C A P ．2.3 无放回且计序摸球如果摸球是无放回且计序摸球，这时样本空间的基本事件总数等于从n 个不同元素中取出m 个元素的所有不同排列的个数为mn A ，或是n 个互异元素的全排列!n P n =，这种情形也是摸球模型的重要类型．例3 袋中有α个白球，β个黑球，从中陆续取出)3(3βα+≤个球，求这3个球依次为黑白黑的概率．思考方法 每一个样本点对应着βα+个球中依次取出三个球的一种取法，需要考虑先后顺序，属于排列问题．用A 表示事件“取出3个球依次为黑白黑”，从βα+个球中依次任取三个，有3βα+P种取法，此即样本点总数．对于有利事件，第一个和第三个黑球可在β个黑球中依次取得，有2βP 种取法；第二个白球可在α个白球中取得，有1αP 种取法．因此，A 所包含的样本点总数为12αβP P，于是312)(φααβ+=PP P A P ．2.4 无放回且不计序问题如果摸球是无放回且不计序，其样本空间的基本事件总数是从不同元素中取出若干个元素的所有不同的组合个数．例4 袋中有α个白球，β个黑球，问：从中不放回取出n m +（βα≤≤∈n m N n m ，，、）个球，试求所取出的球恰有m 个白球的概率．思考方法：这些同类球都不加区别，即不计序，又抽取后部返回，因而本例属无放回且不计序的摸球模型，其基本事件总数为nm C ++βα，此事件A 为“取出n m +个球中恰有m 个白球”，而事件A 所包含的样本点数，相当于从α个白球中取出m 个，从另外m -+βα个球中任取n 个取法种数共nm m C C -+βαα，所以nm nmm C C C A P ++-+=βαβαα)(．前面我们对摸球模型的各种类型进行了归纳，如果把白球、黑球换成产品中的正品、次品，或换成甲物、乙物，这样的人、那样的人……就可以得到形形色色的摸球问题．如果能灵活地将这些实际问题与前面的模型类型对号入座，我们就能解决有关的实际问题，为我们的生活带来方便和乐趣，例如灯泡厂检验合格率等这些产品抽样问题；还有可以把全班学生分成两组，求每组中男女生人数相对等的概率；从一副扑克牌中任取6张，求得3张红色的和3张黑色的概率；在安排值班的问题中，也可以按照无放回模型进行分析；在买彩票的过程中，可以把双色球、D 3、36选7等玩法的中奖概率求出，增加自己中奖机会．这样不仅把古典概率的知识应用在了生活中，给生活带来方便，同时也使数学给自己带来了乐趣，激发了对数学应用的动力．3 质点入盒模型该模型是指有n 个可分辨的盒子，m （n m <）个质点，按照质点是否可分辨，每盒可容纳质点的多少等不同情况，把m 个质点放入n 个可分辨的盒子，从而形成不同的样本空间，然后在各自样本空间计算事件的概率，与摸球模型类似，这里也可分四种情况讨论，清晰地可见这种模型的具体分类情况，如表二)37(]3[p ：表二3.1 每盒能容纳任意多个质点且质点可分辨质点需要分辨的问题就是排列问题，盒子能容纳任意多个质点的问题就是重复排列问题． 例1 有5个不同的质点，每个都同样以101的概率落入10个盒子，事件A ={指定的一个盒子中恰有3个质点}的概率．思考方法：由题意知，盒子容纳质点的数目不限，又质点可分辨，故为重复排列问题，其基本事件总数为510=mn ．在指定的一个盒子中恰有3个质点，共有35C 种选法，余下的2个质点可任意放入余下的9个盒中，共有29种不同选法，因而事件A 所包含的基本事件总数为3529C ，故所求概率为008.010*******109)(5352===C A P ． 3.2 每盒可容纳任意多个质点且质点不需分辨m 个质点随机进入n 个盒中，质点不需分辨属组合问题，又每盒能容纳任意多个质点，该组合为元素允许重复的组合，样本空间中含有m n m m n H C =-+1个样本点，即其基本事件总数为mm n C 1-+．例2 将例1中“5个不同的质点”换为“5个相同的质点”．思考方法：质点不需分辨属组合问题，又每个盒子容纳的质点不限，故该组合为元素可重复的组合，其基本事件总数为200251451510510===-+C C H ，因3个质点有35C 种选法，其余两质点可能落入两个盒中，有29C 种选法；也可能落入一个盒中，有19C 种选法，故有224.0)()(514192935=+=C C C C A P ． 3.3 每盒最多可容纳一质点且质点需分辨 这样的问题是属于元素不允许重复的排列问题．例3 将3个不同质点投入5个盒中，每个质点都以51的概率进入每一个盒中，且限定每盒最多只容纳一质点，求：事件A ={指定的一个盒子为空}的概率．思考方法 因质点互异，且每盒最多只容纳一质点，故属元素不允许重复的排列问题，因而其基本事件总数为6035=A ，事件A 所含的基本事件为2434=A ，故4.06024)(35434===A A A P ．3.4 每盒最多只容纳一质点且质点不需分辨 例4 将将3个相同质点投入5个盒中，每个质点都以51的概率进入每一个盒中，且限定每盒最多只容纳一质点，求：事件A ={指定的一个盒子为空}的概率．思考方法：质点不需分辨，属组合问题，又每盒最多只容纳一个质点，该组合为元素不允许重复的组合，因而其基本事件总数为1035=C ，事件A 所包含的基本事件总数为434=C ，故4.0104)(3534===C C A P ．质点入盒模型概括了很多的古典概型问题．如果把盒子看作365天，可研究n 个人的生日问题；如果把盒子看作每周的7天，又可研究值班的安排问题；如果把质点看作人，盒子看作房子，又可研究住房分配问题；如果把粒子看作质点，盒子看作空间的小区域，又可研究统计物理的Boltzmann Maxwell -统计模型；如果把信看作质点，盒子看作邮筒，又可研究投信问题；如果把骰子（硬币）看作质点，骰子（硬币）上的六点（正面和反面）看作)2(6个盒子，又可研究骰子（硬币）问题；如果将旅客视为质点，各个车站看作盒子，又可研究旅客下车问题等．不难看出质点入盒模型可以用来描述很多直观，背景完全不同但实质都完全一样的随机试验，应透过表面抓住本质，把相关问题与相应的模型联系起来，加以转化，这样问题就不难解决了．4 随机取数模型与前面的两种模型相比，此模型分类情况较简单些，分为有放回地随机取数和无放回地随机取数两种情况)44(]3[p ．4.1 有放回地随机取数取出的数字还原时，其样本空间的基本事件总数可按从n 个不同数字里取出m 个的重复排列计算问题．例1 从，，21…10这十个数中任取一个，假定各个数都以同样的概率被取中，然后还原，先后取出7个数，试求下列各事件的概率：)1(1A :7个数全不相同；)2(2A :不含9和2；)3(3A :8至少出现三次；)4(4A :5至少出现两次；)5(6A :取到的最大数恰为6．思考方法 本题所及的随机试验，就取样方法来说，属于返回取样．也就是说，把某数取出后还原，下次仍有同样的可能再取到这个数．注意到这一特点，运用上面介绍的思想方法，此题就不难得解．解 依题设，样本空间就是10个相异元素允许重复的7元排列．所以，样本点总数为710．)1(事件1A ，要求所取的7个数是互不相同的，考虑到各个数取出时有先后顺序之分，所以有利场合相当于从10个相异元素里每次取出7个相异元素的排列．因此，1A 所包含的样本点数为710P ．于是06048.010)(77101≈=P A P ．)2(事件2A ，先后取出的7个数中不含9和2，所以，这7个数只能从108765,3,41，，，，，这8个数中取得．注意到试验属于有返回取样，则2A 的有利场合，相当于8个互异元素允许重复的7元排列．于是2A 所包含的样本点数为78，有2097.0108)(772≈=A P ．)3(事件3A 中出现的三次8，可以是7次取数的任意三次，有37C 种选法；其余的4次，每次可以去剩下的9个数中的任一个，共有49种取法．因此0230.0109)(74373≈=C A P ． )4(事件4A 是六个两两互不相容事件“5恰好出现k 次”)65432(，，，，=k 的和，因此，1497.0109C )P(A 727774≈=∑=-k kk ． 也可以考虑4A 的逆事件．这里4A 是事件“5恰好出现一次或一次也不出现”．显然8503.01099)(776174≈+=C A P 所以，1497.08503.01)(-1)P(A 44=-==A P)5(事件5A 的有利场合，就是6个相异元素)654321(，，，，，允许重复的最大数恰好为6的7元排列．这种排列可以分为6出现1次，1次，2次，3次，4次，5次，6次，7次等7类，显然，它们的排列数依次为6175C ,5275C ,4375C ,3475C ,2575C ,567C ,0775C ．于是0202.0105)(771775≈=∑=-k kk CA P事件5A 的有利场合的有利场合数也可以这样来考虑：最大数字不大于6的7元重复排列，有76种，它可以分为两类，一类是最大数恰好是6的7元重复排列；一类是最大数小于6的7元重复排列．注意到第二类重复排列有75种，则第一类重复排列有76-75种．于是0202.01056)(7775≈-=A P ．4.2 无放回地随机取数如取出的数字不还原，其样本空间的事件总数要根据取数是计序或不计序，按不重复的排列或组合计算．例2 从，，10…9这十个数中任取三个不同的数字，试求下列事件的概率：)1(1A :三个数字中不含0或5；)2(2A :三个数字中不含0和5．解 所取三个数不计序，本例属元素不允许重复的组合问题，其基本事件总数为35C n =．)1(有利于1A 的基本事件总数为381C m =,于是所求概率为157)(310381==C C A P ．)2(在所给的十个数字中任取3个不含0的数字共有39C 个，同样任取3个不含5的数字共有39C 个．这些个数中均包含既不含0又不含5的3个数字的个数38C ．于是这样的3个不同数字被算了两次，即多算了一次，造成了重复．因而有利于事件2A 的基本事件数3839392C C C m -+=,故所求概率为1514)2()(31038392=-=C C C A P ． 随机取数模型作为典型的古典概型，解题的思想方法对于同类问题具有指导意义．但绝不能把它作为现成的公式乱套，有些问题表面看机构相仿，实质上差别较大，须斟酌题意灵活运用．随机取数模型在日常生活也可应用在通讯公司计算电话号码，单位票据编号完全不同的概率等实际问题中．作为古典概型在事件生活中的应用，现例举一综合例子：我们在庙会，公园里都可以看到玩这种游戏的，袋中有3种颜色的相同玻璃球，各有3个球，大家可以免费参加摸球游戏，每次从袋中摸出3个球，奖罚规则如下：摸出的3个球若：(1)颜色只有一种奖励玩家5元；(2)有两种颜色的情况罚玩家1元；(3)有三种颜色的情况奖励玩家2元．面对这种情形，我们大多数人都会对其产生诱惑，会高兴地“免费”试试身手，但我们学习完古典概型的知识后，可以看到这种游戏背后的真相．对于(1)、 (2)、)3(其概率利用古典概型的知识可得为843)1(3913==C C P ,8454)2(3913231223==C C C C C P ,8427)3(39131313==C C C C P ．直观地说，就是在84次的摸球中，第一种情况有3次，老板赢得155*3=元，第二种情况有54次，玩家输去541*54=元，第三种情况有27次，老板赢得542*27=元，最终老板赢得15541554=-+元，这个看似比较公平的游戏还是被老板赚了，所以以后大家遇到这种情形就需要考虑了．总之，通过以上几种古典概型问题的分析过程可得，这类问题是一个既有法、有时又无定法的问题．求解这类问题通常有两条基本思路：一条是直接法，对有附加条件的特殊元素或排列中的特殊位置应先处理，直接求出满足题设条件的种数；另一条是间接法，先撇开附加条件求出一个总数，再扣除不合要求的种数．在这两个过程中，均以排列、组合等知识点作为出发点，考虑一切可能出现的结果，既不能将它们遗漏，也不要重复．综合知识间的内在联系，运用多种多样、灵活多变的解题技巧把抽象的内容知识延伸至实际问题中，提高解决实际问题的能力．因此，在解答概率题时没有一个固定的模式，需要扎实的基础知识和灵活的技能技巧，为解决实际问题服务，把古典概型的知识应用在日常生活中．参考文献：[1] 赵振威等．怎样解概率题[M]．北京师范大学出版社，1986 [2] 魏宗舒等．概率论与数理统计教程[M ]．高等教育出版社，1983[3] 毛纲源．概率论与数理统计解题方法技巧归纳[M]．华中科技大学出版社，1999 [4] 汪仁宫．概率论引论[M]．北京大学出版社，2005 [5] 周惠新．概率方法的妙用[J]．高等数学研究，2005 [6] 文建新．如何分析计算古典概型习题[J]．武当学刊，1996 [7] 曹晓阳．关于古典概率的几种解法[J]．自然科学版，2005．09[8] A. Kolmogorov-Smirnov .Test for Classical Probability Models [J]．自然期刊，2010。
古典概型1
）：一个口袋内装有大小相同的 个红球和3个黄球 例1（摸球问题）：一个口袋内装有大小相同的 个红球和 个黄球， （摸球问题）：一个口袋内装有大小相同的5个红球和 个黄球， 从中一次摸出两个球。 从中一次摸出两个球。 ⑴问共有多少个基本事件； 问共有多少个基本事件； 分别对红球编号为1、 、 、 、 号 对黄球编号6、 、 解： ⑴分别对红球编号为 、2、3、4、5号，对黄球编号 、7、 8号，从中任取两球，有如下等可能基本事件，枚举如下： 号 从中任取两球，有如下等可能基本事件，枚举如下：
m 15 = n 28
）、（1， ）、（ ）、（1， ）、（ ）、（1， ）、（ ）、（1， ）、（ ）、（1， ）、（ ）、（1， ） （1，2）、（ ，3）、（ ，4）、（ ，5）、（ ，6）、（ ，7）、（ ，8） ， ）、（ ）、（2， ）、（ ）、（2， ）、（ ）、（2， ）、（ ）、（2， ）、（ ）、（2， ） （2，3）、（ ，4）、（ ，5）、（ ，6）、（ ，7）、（ ，8） ， ）、（ ）、（3， ）、（ ）、（3， ）、（ ）、（3， ）、（ ）、（3， ） （3，4）、（ ，5）、（ ，6）、（ ，7）、（ ，8） ， ）、（ ）、（4， ）、（ ）、（4， ）、（ ）、（4， ） （4，5）、（ ，6）、（ ，7）、（ ，8） ， ）、（ ）、（5， ）、（ ）、（5， ） （5，6）、（ ，7）、（ ，8） ， ）、（ （6，7）、（ ，8） ， ）、（6， ） ）、（ （7，8） ， ）
例题讲解：
例1（摸球问题）：一个口袋内装有大小相同的 摸球问题）：一个口袋内装有大小相同的 ）： 个红球和3个黄球，从中一次摸出两个球。 5个红球和3个黄球，从中一次摸出两个球。 ⑴问共有多少个基本事件； 问共有多少个基本事件； ⑵求摸出两个球都是红球的概率； 求摸出两个球都是红球的概率； ⑶求摸出的两个球都是黄球的概率； 求摸出的两个球都是黄球的概率； ⑷求摸出的两个球一红一黄的概率。 求摸出的两个球一红一黄的概率。
高中数学必修3课件：3.2.1 古典概型
第三章 概率
想一想 “在区间[0,10]上任取一个数,这个数恰为2的概率是多少”？这 个概率模型属于古典概型吗？ 提示：不是．因为在区间[0,10]上任取一个数，其试验结果有 无限个，故其基本事件有无限个，所以不是古典概型．
栏目 导引
第三章 概率
做一做 2.投掷一枚骰子，恰好数字6正面向上的概率是________． 解析：由于骰子每一个面向上的可能性相等，故数字 6 正面向 上的概率是16. 答案：16
栏目 导引
第三章 概率
【解】 从 7 人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各 1 名， 其一切可能的结果组成的 12 个基本事件为： (A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)， (A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)， (A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)． C1 恰被选中有 6 个基本事件： (A1，B1，C1)，(A1，B2，C1)，(A2，B1，C1)，(A2，B2，C1)， (A3，B1，C1)，(A3，B2，C1)， 因而 P(M)＝162＝12.
第三章 概率
1．基本事件 (1)定义：在一次试验中，所有可能出现的基本结果中不能 再分的最简单的___随__机____事件称为该次试验的基本事件． (2)特点：一是任何两个基本事件是_互__斥___的；二是任何事 件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的__和___．
栏目 导引
第三章 概率
做一做 1.袋中有红、白色球各一个，每次任取一个，有放回地抽三 次，所有的基本事件数是________． 解析：所有的基本事件有(红红红)(红红白)(红白红)(白红红)( 红白白)(白红白)(白白红)(白白白)，共8个． 答案：8
概率2 古典概型
由于事件A比较复杂，可考虑它的对立事件,即“输入由0,3,2,5组成的
一个四位数字,恰是密码”显然它只有一种结果四个数字0,3,2,5随机编
排顺序 所有可能结果可用树状图表示,如图7-10。
2
3 5
5 3
0
3 5
例5 某网站登录密码由四位数字组成.某同学注册时将自己生日的四 个数字0,3,2,5重新编排了一个顺序作为密码.由于长时间末登录该网站， 他忘记了密码.若登录时随机输入由0,3,2,5组成的一个四位数字,则该 同学不能顺利登录的概率是多少?
解:用事件A表示“输入由0,3,2,5组成的的一个四位数字,但不是密码”.
牌是红心”，试探究P(A),P(B)与P(A∪B)的关系。
将上述探究的结果填入表7-2(课本P200).
E
E5
E12
A与B的关系
P(A)
P(B)
P(A∪B)
P(A)+P(B)
知识探究·素养培育 探究点一互斥事件的概率加法公式
[问题1] 在集合{1,2,3,4,5,6,7}中随机取一个数, (1)设事件A表示“取到数字1”,事件B表示“取到数字2或3”,求 P(A),P(B),P(A∪B); (2)设事件A表示“取到数字1或2”,事件B表示“取到数字2或3”,求 P(A),P(B),P(A∪B).
例3 口袋里共有4个球,其中有2个是白球,2个是黑球,这4个球除颜色 外完全相同.4个人按顺序依次从中摸出一个球(不放回),试计算第二个 人摸到白球的概率. 解法4:进一步简化，只考虑第二个人摸球的情况.
考察试验E11:4个人按顺序依次从中摸出一 个球，只记录第二个人摸
出球的情况. 把2个白球、2个黑球分别编上序号1,2，记摸到1,2号白球的结果分别
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5 4 2 5 98 9 98
(2)至少一名女生的概率 5 4 2 4 3 13
18
选3人 (1) 2男1女的概率
5 4 4 3 10 98 7 21
4 3 5 3 4 3 2 17 98 7 42
(2)女生比男生多的概率 (3)至少一男一女的概率
（2）所有不同的实验结果，它们出现的 可能性是相等的
古典概型
在一次试验中可能出现的每一个基本结果 称为基本事件. 每一个基本事件发生的可能性都相同则称 这些基本事件为等可能基本事件.
通过以上两个例子进行归纳：
(1)所有的基本事件只有有限个。
(2)每个基本事件的发生都是等可能的。
我们将满足（1）（2）两个条件的 随机试验的概率模型成为古典概型。
2
例：组数问 从1，2，3，4，5个数中抽取三个数 （无重复数字） ，组成三位数 （1）总数？
60
36 (概率) （2）奇数？ （3）被5整除？ 12 (概率)
3 5 2 5
1 5
（4）被3整除？ 24 (概率)
例1 一只口袋内装有大小相同的5只球， 其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出 两只球. (1)共有多少基本事件 10个 3
“有序”用“点坐标”表示
3 5
发现：“一次摸出两只”和“先摸出 一只，再摸出一只”，计算概率是一 样的
发现：“一次摸出两只”和“先摸出一 只，再摸出一只”，计算概率是一样的
我们的对策：有顺序的分两次摸球， 即第二种方案 或者利用乘法原理解决
练习：从6只黑球3只白球中摸出2只 (1)摸出2只黑球的概率是多少 6 5 5
应用： 掷一颗质地均匀的骰子，观察掷出的点数， （1）写出所有的基本事件
1 （2）求掷得奇数点的概率。 2
例：排队问题 （1）甲，乙，丙，丁4人排成一列，有多少 种排法？
4×3×2×1=24
（2）甲在排头的排法有几种？ (概率) 1 3×2×1=6
4
（3）甲在排头或队尾的排法有几种？ (概率) 1 （3×2×1）+ （3×2×1） =12
9 3 24 8 8 1 24 3 6 1 24 4
(4)恰有两人抽到自己写的贺卡的概率
练习2：
抛四枚硬币
（1）写出基本事件
1 16
树形图
（2）4正，3正1反，2正2反概率
4 1 16 4
6 3 16 8
（3）反面多的概率
4 1 5 16 16
练习3：5男4女，求 选2人 (1)一男一女的概率
2．若抛掷一枚骰子，它落地时向上的点 数为3的概率是多少？ 为什么？
归纳： 由以上两问题得到，对于某些随机
事件，也可以不通过大量重复实验，而只通 过对一次实验中可能出现的结果的分析来计 算概率。 那么，对于哪些随机事件，我们可 以通过分析其结果而求其概率？
（1）对于每次实验，只可能出现有限个 不同的实验结果
5 4 4 3 4 3 5 3 5 98 7 6
练习4：4人排一排，甲乙相邻的概率是多少？ 练习5：甲乙丙3人传球，由甲开始
12 1 24 2
(1)4次后回到甲的概率
(2)4次后传到乙的概率 (3)4次后传到丙的概率
6 3 16 8 5 16
5 16
练习6：甲乙丙3人在一周内被安排值班1次， 任意安排（可多人在同一天值班），求3人 7 6 5 30 在不同的3天值班的概率
变：一次抛掷2个骰子
再次强调：看成有顺序的
练习: (1)点数之和为多少时，概率最大且概 率是多少？ (2)点数之和为4的倍数的概率是多少？
(3)掷3个骰子，点数之和为6的概率是 5 多少？ 108
1 4
例3： 用三种不同的颜色给图中的3个矩形 随机涂色,每个矩形只能涂一种颜色,求 1 (1)3个矩形的颜色都相同的概率;
10
(2)摸出两只球都是白球的概率是多少 (3)摸出两只球是一黑一白的概率是多少
“无序”用 表示
3 5
变 一只口袋内装有大小相同的5只球， 其中3只白球，2只黑球，从中先摸出一 只球，再摸出一只球. (1)共有多少基本事件 20个 3
10
(2)摸出两只球都是白球的概率是多少 (3)摸出两只球是一黑一白的概率是多少
777 49
练习7：生日问题 一年按365天计算，甲和乙2名同学在同一 天过生日的概率为多少？ 365 1
365 365 365
班上至少有两人同一天生日的概率是多少？
事实上，当人数为50人时，概率为96.5%；59 人时概率为99.1%；47人时概率为94.8%；35人时 概率为80.5%；23人时概率刚好超过50%
求古典概型的步骤：
由于以上这些都是历史上最早研究的概率模型， 对上述的数学模型我们称为古典概型 。
3．古典概型的概率 如果一次试验的等可能基本事件共有n 1 个，那么每一个基本事件的概率都是 。
n
如果某个事件A包含了其中m个等可能基本 m 事件，那么事件A的概率 P ( A)
n
注意：等可能 例如：一对夫妇生两个小孩，一男一女 的概率
98 12
(2)摸出一黑一白的概率是多少
6 3 2 1 98 2
例2 掷骰子问题：将一个骰子先后抛掷2 次，观察向上的点数。问: (1)共有多少种不同的结果? 36种
1 (2)掷出两个5的概率是多少？36
1 (3)掷出一个1一个3的概率是多少？18
1 (4)两数之和是3的倍数的概率是多少？ 3
问题：对于随机事件，可以通 过大量重复的实验求其概率
但是否只能通过大量重复的实验才 能求其概率呢？
1．考察抛硬币的实验，为什么在实验之 前你也可以想到抛一枚硬币，正面向上的 1 概率为 2 原因:（1）抛一枚硬币，可能出现的 结果只有两种； （2）硬币是均匀的，所以出现这两种 结果的可能性是均等的。
9
(2)3个矩形的颜色都不同的概率；
2 9
(3)3个矩形有两个颜色相同，另一个不同的概率
2 3
课本P103 练习 1~6
练习1：甲乙丙丁4人分别写了一张新年贺 卡，然后放在一起，现每人从中抽取一张
1 (1)4人恰好都抽到自己写的贺卡的概率 24
(2)4人恰好都抽到别人写的贺卡的概率 (3)恰有1人抽到自己写的贺卡的概率