古典概型1
古典概型(1)
A＝A1∪A2∪A12 从而P(A)= P(A1)+P(A2)+ P(A12)
全部基本事件的总数为30，
因为A1中的基本事件的个数为8，
1 2 3 4 1 2 3 4 a b a b
a
b
A2中的基本事件的个数为8， a a 1 3 2 b b A12中的基本事件的个数为2，
4
a
b
b
a
8 8 2 所以P(A)＝ 30 ＋ 30 ＋ 30 ＝0.6
（1）x的取值为2的倍数（记为事件A） （2）x的取值大于3（记为事件B） （3）x的取值为不超过2（记为事件C） 解： （1） 点数 1
2 3 4 5 6
（2） 点数 1
2
3
4
5
6
（3） 点数
1
2
3
4
5
6
例1 从字母a、b、c、d中任意取出 两个不同字母的试验中，有哪些基本 事件？
解：所求的基本事件共有6个： A={a,b}，B={a,c}， C={a,d}，D={b,c}， E={b,d}，F={c,d}，
9 所以检测出不合格产品的概率是：15 ＝0.6
答：检测出不合格产品的概率是0.6.
探究：随着检测听数的增加，查出不合格产品的概率 怎样变化？为什么质检人员都采用抽查的方 法而不采 用逐个检查的方法？ 点拨： 检测的听数和查出不合格产品的概率如下表：
检测听数 概率
1
2
3
4
5 1
6 1
0.333 0.6
则每个基本事件发生的概率
2、若某个随机事件 A 包含 m 个基本
1 P n
m 事件，则事件 A 发生的概率 PA n
事件A包含的基本事件数 即PA 试验的基本事件总数
古典概型1教学设计与教学反思
古典概型1教学设计与教学反思古典概型是概率论中的基础概念之一，广泛应用于教学设计和教学反思。
本文将介绍古典概型的基本概念和教学设计中的应用，并结合实际案例对教学反思进行分析和总结。
一、古典概型的基本概念古典概型是指在具有相同概率的有限个事件中，每个事件发生的可能性都相等。
在数学中，古典概型可以用以下的公式表示：P(E) = S(E)/S，其中P(E)表示事件E发生的概率，S(E)表示事件E 发生的样本空间，S表示总的样本空间。
二、教学设计中的古典概型应用在教学设计中，古典概型可以用来确定教学目标和制定教学计划。
例如，在数学教学中，老师可以通过古典概型来确定学生熟悉程度，从而确定教学内容和难度。
古典概型还可以用于设计教学活动，例如通过抽签或摇骰子等方式进行实验，来帮助学生理解古典概型的概念和应用。
三、教学反思中的古典概型应用在教学反思中，古典概型可以用来评估教学效果和改进教学方法。
通过分析学生在实际学习中的表现和成绩，可以计算古典概型中的事件发生概率，进而评估教学的有效性。
如果学生在某个事件中的成绩普遍较低，可能说明教学内容或方法需要进行调整和改进。
四、案例分析：数学教学中的古典概型应用以数学教学为例，假设某位老师正在教授二年级学生有关颜色的知识。
老师使用了古典概型的方法来设计教学活动和评估学生的学习效果。
首先，老师为学生准备了不同颜色的球，如红、黄、蓝、绿。
然后，老师通过演示和解释，让学生了解每个颜色球出现的概率都是相同的，即古典概型。
接着，老师让学生自己抽取一个球，观察其颜色，并记录下来。
通过多次实验，学生可以得到每种颜色球出现的频率，并计算古典概型中每个事件发生的概率。
最后，老师根据学生的实际表现和计算结果，进行教学反思。
如果学生的计算结果与理论预期相符，说明教学效果较好；如果出现偏差较大或学生理解困难，可能需要调整教学内容或方法。
通过以上案例可以看出，古典概型在教学设计和教学反思中具有重要的应用价值。
古典概型1
作业: p97习题 习题2 作业: p97习题2、3、4、8
补充： 补充： 古典概型解题步骤
(1)阅读题目，判断是不是古典概型 阅读题目， 阅读题目 (2) 用字母表示事件 用字母表示事件A (3)求出基本事件总数 和事件 所包含 求出基本事件总数n和事件 求出基本事件总数 和事件A所包含 的结果数m 的结果数 (4)用公式 用公式P(A)=m/n求出概率并下结论 用公式 求出概率并下结论
谢谢! 谢谢! 再见! 再见!
例4: 用三中不同颜色给3个矩形随机涂色, 用三中不同颜色给3个矩形随机涂色,每个矩 形只涂一种颜色, 形只涂一种颜色,求: 3个矩形颜色都相同的概率 个矩形颜色都相同的概率; (1) 3个矩形颜色都相同的概率; (2) 3个矩形颜色都不同的概率; 3个矩形颜色都不同的概率 个矩形颜色都不同的概率; (3)至少有两个矩形颜色相同的概率。 (3)至少有两个矩形颜色相同的概率。 至少有两个矩形颜色相同的概率
[P95思考]:你能求出上述第二代的种子 [P95思考]:你能求出上述第二代的种子 思考]: (DD, Dd, dD, dd,)经自花传粉得到的第三 ) 子代为高茎的概率吗? 子代为高茎的概率吗? 有以下可能的基本结果： 有以下可能的基本结果： 可得： ， ， ， ①DD与DD可得：DD，DD，DD，DD 与 可得 可得： ② Dd与Dd可得： DD, Dd, dD, dd 与 可得 可得： ③ dD与dD可得： DD, Dd, dD, dd 与 可得 可得： ④ dd与dd可得： DD, Dd, dD, dd 与 可得 个基本事件， 个显高茎， 共16个基本事件，其中有 个显高茎， 个基本事件 其中有10个显高茎 所以自花传粉第三子代显高茎的概率为 10/16=5/8=62.5%
古典概型1
问题6：在使用古典概型的概率公式时， 应该注意什么？
注意（1）要判断该概率模型是不是古典概型； （2）要找出随机事件A包含的基本事件 的个数和试验中基本事件的总数。
总结求基本事件总数的方法有：1坐标法，2树状图！
五、当堂训练,巩固提高
1、同时抛掷1角与1元的两枚硬币，计算： (1)两枚硬币都出现正面的概率是 0.25 (2)一枚出现正面，一枚出现反面的概率是 0.5
解：所求的基本事件共有6个：
A { a , b} D {b , c }
B {a , c}
C {a , d }
E {b , d }
F {c , d }
变式1：从字母 a , b , c , d 中任意取出三个字母 的试验中，有哪些基本事件？
分析：
A a , b , c
（3）如图，某同学随机地向一靶心 进行射击，这一试验的结果只有有限个： 命中10环、命中9环……命中5环和不中 环。你认为这是古典概型吗？为什么？
例1 从字母a，b，c，d中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基 本事件？ 分析：
b
a c d b d
c
c d
树状图
我们一般用列举法列出所有 基本事件的结果，画树状图是列 举法的基本方法。 分步完成的结果(两步以上) 可以用树状图进行列举。
C a , c , d
B a , b , d
D b , c , d
变式2：从甲、乙、丙三个同学中选出2个 同学去参加数学竞赛，有哪些基本事件？ {甲，乙} {甲，丙} {乙，丙}
变式3：从甲、乙、丙三个同学中选出2个 同学去参加数学竞赛和语文竞赛，有哪些 基本事件？ （甲，乙） （乙，甲） （甲，丙） （丙，甲） （乙，丙） （丙，乙）
3.2古典概型(1)
I
答 共有10个基本事件 , 摸出两只球都是白球的概率为3 / 10.
例 2 豌 豆的高矮性 状的遗传由一对基因决定, 其中决 定高的基因记为 , 决定矮的基因为d , 则杂交所得第一 D 子代的一对基因为 .若第二子代的 , d 基因的遗传是 Dd D 等可能的, 求第二子代为高茎的 概 率 ( 只 要有基因D 则 其就是高茎 只有两个基因全是d 时, 才显现矮茎) . , 分析 由于第二子代的 D, d 基因的 遗 传 是 等可能, 可以 将各种可能的遗传情形都枚举出来 . 称 D 为显性基因 d 为隐性基因 , .
2如图, 上述10个基本事件发生
的可能性相同 , 且只有3个基本事 件是摸到两只白球记为事件A, 即1,2, 1,3, 2,3, 故P A 3 / 10.
1,2 1,4 1,5 1,3 2,3 2,4 2,5 3,4 3,5 4,5
自主检测
Ｐ97 .练习：1
把 " 抽到红心" 记为事件B , 那么事件B 相当于" 抽 到红心1"、抽到红心2 "、抽到红心3 " 这 3 种情况, " " 而" 抽到黑桃 " 相当于" 抽到黑桃4 "、 "黑桃 5 " 这两 种情况,由于是任意抽取的, 可以认为出现这 5 种 情况的可能性都相等 . 当抽到红心1, 2, 3 这 的概率为PB . 5 在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基 本事件 ele mentary event .如在上面的问题中, "抽 到红心1 "即为一个基本事件.在一次试验中, 每个基 本事件发生的可能性都相同, 则称这些基本事件为 等可能事件 .
古典概型1
古典概率计算公式
A包含的基本事件的个数 P( A) 基本事件的总数
案例分析
2.同时掷两颗质地均匀的骰子，计算： (1)一共有多少种不同的结果？ (2)其中向上的点数之和是5的结果有多少 种？ (3)向上的点数之和为5的概率是多少？ (4)向上的点数之和超过8的概率是多少？ (5)向上的点数之和为13的概率是多少？
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
3. 5本不同的语文书，4本不同的数学书， 从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学 书的概率为多少？ 语文书编号为1、2、3、4、5， 数学书编号为a、b、c、d。 2 1 1 1 1 3 2 2 3 2 4 3 3 4 4 1 5 2 5 3 5 4 5 5 4 a a a a a b b b b b c c c c c d d d d d
A.试验中所有可能出现的基本事件只有有限个
B.每个基本事件出现的可能性相等
古典概型
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有 限个； (有限性)
(2)每个基本事件出现的可能性相等。 (等可能性) 具有这两个特点的概率模型称为古典概率 模型，简称古典概型
案例分析
1. 判断下列随机试验是否为古典概型， 并说明理由。 是 (1)抛掷两枚质地均匀的硬币；
(2)掷一颗质地均匀的骰子
1点、2点、3点、4点、5点、6 点 (3)从a、b、c、d 4个字母中任意取出2个不 同字母
ab、ac、ad、bc、bd、 cd
①这些可能结果是随机事件吗？它们有何特点？
A.任何两个基本事件是互斥的 B.任何事件（除不可能事件）都可表示成基本 事件的和
②三个试验的共同点是什么？
(2)向一个圆面内随机地投一个点，且该点落 在圆内任意一个地方是等可能的； 不是
古典概型课件1(苏教版必修3)
典型例题解析
解析
首先确定样本空间中的样本点总数为1，然后确定事件“射手在一次射击中不够8环”的样本点个数为1-0.24-0.28-0.19，最后利用概率的定义求解概率。
例题1
从5个红球和3个白球中任取3个球，求取出的3个球中恰有2个红球的概率。
解析
首先确定样本空间中的样本点总数为C(8,3)，然后确定事件“取出的3个球中恰有2个红球”的样本点个数为C(5,2)C(3,1)，最后利用概率的定义求解概率。
P(A|B) = P(A)。
事件独立性判断方法
01
04
05
06
03
02
定义法：若P(AB) = P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立。
等价条件法：以下四个条件等价，可用于判断事件独立性
P(AB) = P(A)P(B)。
P(B|A) = P(B)。
P(A∩B) = P(A)P(B)/P(S)，其中S为样本空间。
伯努利试验定义及性质
二项分布公式及期望方差计算
01
二项分布公式：在$n$重伯努利试验中，事件$A$恰好发生$k$次的概率为
02
$P(X=k)=C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$
03
其中，$X$表示事件$A$发生的次数，$k=0,1,2,ldots,n$。
04
期望与方差计算
05
期望：$E(X)=np$
古典概型中常见错误类型及纠正方法
Part 05
忽视等可能性导致错误
在投掷一枚不均匀的硬币时，认为正面和反面出现的概率相等。
在解决古典概型问题时，必须确保每个样本点出现的可能性相等。对于不均匀硬币，应通过实验或理论计算来确定正面和反面出现的真实概率。
第32课时7.2.1古典概型(1)
第32课时7.2.1古典概型知识网络基本事件⇒等可能事件⇒古典概型⇒计算公式．学习要求1、理解基本事件、等可能事件等概念；正确理解古典概型的特点；2、会用枚举法求解简单的古典概型问题；掌握古典概型的概率计算公式。
【课堂互动】自学评价1、基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件．2、等可能基本事件：若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件。
3、如果一个随机试验满足：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件的发生都是等可能的；那么，我们称这个随机试验的概率模型为古典概型．4、古典概型的概率：如果一次试验的等可能事件有n个，那么，每个等可能基本事件发生的概率都是1n；如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为()mP An=．【精典范例】例1 一个口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，２只黑球，从中一次摸出两个球，(1)共有多少个基本事件？(2)摸出的两个都是白球的概率是多少？【分析】可用枚举法找出所有的等可能基本事件．【解】(1)分别记白球为1,2,3号，黑球4,5号，从中摸出2只球，有如下基本事件（摸到1,2号球用(1,2)表示）：(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3)(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)因此，共有10个基本事件．（2）上述10个基本事件法上的可能性是相同的，且只有3个基本事件是摸到两个白球（记为事件A），即(1,2),(1,3),(2,3,)，故3()10P A=∴共有10个基本事件，摸到两个白球的概率为310；例 2 豌豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定，其中决定高的基因记为D，决定矮的基因记为d，则杂交所得第一子代的一对基因为Dd，若第二子代的,D d基因的遗传是等可能的，求第二子代为高茎的概率（只要有基因D则其就是高茎，只有两个基因全是d时，才显现矮茎）．分析：由于第二子代的,D d基因的遗传是等可能的，可以将各种可能的遗传情形都枚举出来．【解】Dd与Dd的搭配方式共有４中：,,,DD Dd dD dd，其中只有第四种表现为矮茎，故第二子代为高茎的概率为30.754=答：第二子代为高茎的概率为0.75．思考：第三代高茎的概率呢？例3 一次抛掷两枚均匀硬币．（1）写出所有的等可能基本事件；（2）求出现两个正面的概率；【解】（1）所有的等可能基本事件为：甲正乙正，甲正乙反，甲反乙正，甲反乙反共四个．（2）由于这里四个基本事件是等可能发生的，故属古典概型．14,14n m P==∴=，．例4 掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率．【分析】掷骰子有6个基本事件，具有有限性和等可能性，因此是古典概型．【解】这个试验的基本事件共有6个，即（出现1点）、（出现2点）……、（出现6点）所以基本事件数n=6，事件A=（掷得奇数点）=（出现1点，出现3点，出现5点），其包含的基本事件数m=3，所以，P（A）=nm=63=21=0.5．【小结】利用古典概型的计算公式时应注意两点：（1）所有的基本事件必须是互斥的；（2）m为事件A所包含的基本事件数，求m值时，要做到不重不漏．例5 从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率． 【解】每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即（a 1，a 2）和（a 1，b 1），（a 2，a 1），（a 2，b 1），（b 1，a 1），（b 1，a 2）．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品，用A 表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件，则A=[（a 1，b 1），（a 2，b 1），（b 1，a 1），（b 1，a 2）]，事件A 由4个基本事件组成，因而，P （A ）=64=32． 追踪训练1、在40根纤维中，有12根的长度超过30mm ，从中任取一根，取到长度超过30mm 的纤维的概率是（ B ）A ．4030 B ．4012 C ．3012 D ．以上都不对2、盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是（ C ） A ．51 B ．41 C ．54 D ． 101 3. 判断下列命题正确与否.(1)掷两枚硬币,可能出现“两个正面”,“两个反面”,“一正一反”3种结果;(2)某袋中装有大小均匀的三个红球,两个黑球,一个白球,那么每种颜色的球被摸到的可能性相同;(3)从-4,-3,-2,-1,0,1,2中任取一数,取到的数小于0与不小于0的可能性相同;(4)分别从3名男同学,4名女同学中各选一名作代表,那么每个同学当选的可能性相同. 解：四个命题均不正确.(1)应为4种结果,还有一种是”一反一正”;(2)摸到红球的概率为12,摸到黑球的概率为13,摸到白球的概率为16;(3)取到小于0的数字的概率为47,取到不小于0的数字的概率为37;(4)男同学当选的概率为13,女同学当选的概率为14. 4、有甲,乙,丙三位同学分别写了一张新年贺卡然后放在一起,现在三人均从中抽取一张. （1）求这三位同学恰好都抽到别人的贺卡的概率.（2）求这三位同学恰好都抽到自己写的贺卡的概率.解：(1)其中恰好都抽到别人的贺卡有②③①,③①②两种情况,故其概率为12163P ==. (2)恰好都抽到自己的贺卡的概率是216P =.。
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2．若抛掷一枚骰子，它落地时向上的点数 为3的概率是多少？ 为什么？
归纳：
由以上问题得到，对于某些随机事件，也可 以不通过大量重复实验，而只通过对实验中可能 出现的结果来分析计算概率。
那么，对于哪些随机事件，我们可以通过分 析其结果求其概率呢？
1．从事件发生与否的角度可将事件分为哪几类？
必然事件、不可能事件、随机事件
2．概率是怎样定义的？
一般地，如果随机事件A在n次试验中发生了m次，当试
验的次数n很大时，我们可以将事件A发生的频率 作为
事件A发生的概率的近似值，
即
P( A) m ,(其中P(A)为事件A发生的概率)
3、概率的性质：n 0≤P（A）≤1；
解: (1)分别记白球1,2,3号，红球为4,5号,从中摸出2只球, 有如下基本事件（摸到1，2号球用（1，2）表示）： （1，2）（1，3）（1，4）（1，5） （2，3）（2，4）（2，5） （3，4）（3，5） （4，5） 故共有10个基本事件
(2)记摸到2只白球的事件为事件A， 即（1，2）（1，3）（2，3）故 P(A)= 3/10
3
（3，1）（（33，，22）） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6）
4
（（44，，11）） （4，2） （4，3） （4，4）（4，5） （4，6）
5
（5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6）
6
（6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）
从表中可以看出同时掷两个骰子的结果共有36种。
（2）在上面的结果中， （3）由于所有36种结果是等可 向上的点数之和为5的 能的，其中向上点数之和为5的 结果有4种，分别为： 结果（记为事件A）有4种，则
（1，4）,（2，3）, （3，2）,（4，1）。
P（A）＝
A所包含的基本事件的个数 基本事件的总数
我们将满足（1）（2）两个条件的随机试验的概率
模型称为古典概率模型，简称古典概型。
古典概型的概率
个，如那果么一每次一试个验基的本等事可件能的基概本率事都件是共1有。n
n
如果某个事件A包含了其中m个基本事件， 那么事件A的概率
P( A) m n
例1、 一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球， 2只红球，从中一次摸出两只球. (1)共有多少基本事件 (2)摸出的两只球都是白球的概率是多少？
2号骰子 1号骰子
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
（1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6）
（2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6）
（3，1） （(33,，2)2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6）
（(44,，1)1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6）
P(Ω)＝1，P(φ)=0.
1、问题：对于随机事件，是否只能通过 大量重复的实验才能求其概率呢？
大量重复试验的工作量大，且试验数据不 稳定，且有些时候试验带有破坏性。
1．考察抛硬币的实验，在实验之前你也可以 想到抛一枚硬币，正面向上的概率为 1 ?
2
原因:（1）抛一枚硬币，可能出现的 结果只有两种；
＝
4 36
＝
1 9
为什么要把两个骰子标上记号？如果不标记号 会出现什么情况？你能解释其中的原因吗？
如果不标上记号，类似于（3，6）和（6，3）的结果 将没有区别。
为什么要把两个骰子标上记号？如果不3，6）和（6，3）的结果 将没有区别。
用A来表示“两数都是奇数”这一事件，则 A={(13)，(15)，(3,5)}
∴m=3
∴P(A)= 3 10
偶数呢？一个是奇数，一个是偶数呢？
变1.一个口袋内装有大小相同的5个红球和3个 黄球，从中一次摸出两个球。
⑴问共有多少个基本事件； ⑵求摸出两个球都是红球的概率；
⑶求摸出的两个球都是黄球的概率； ⑷求摸出的两个球一红一黄的概率。
共有36个不同的结果，其中至少有一个5点或6点的结果有
20个.
所以至少有一个5点或6点的概率为： P
例2.同时掷两个骰子，计算： （1）一共有多少种不同的结果？ （2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？ （3）向上的点数之和是5的概率是多少？
2号骰子 1号骰子
1
2
3
4
5
6
1
（1，1）（1，2） （1，3）（（1，1，44）） （1，5） （1，6）
2
（2，1） （2，2）（（22，，33）） （2，4）（2，5） （2，6）
（5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6）
（6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）
P（A）＝
A所包含的基本事件的个数 基本事件的总数
＝
2 21
例3.同时抛掷两枚骰子，求至少有一个5点或6点的概率． 解法1：同时投掷两枚骰子，可能结果如下表：
求古典概型的步骤：
• （1）判断是否为等可能性事件；
• （2）计算所有基本事件的总结果数n． • （3）计算事件A所包含的结果数m．
• （4）计算 P( A) m n
练习、从1，2, 3，4, 5五个数字中，任取两数， 求两数都是奇数的概率.
解：试验的基本事件有
(12) , (13), (14) ,(15) ,(23), (24), (25), (34) ,(35) ,(45)
（3）所取的2个球中都是红球的概率是 ？ （4）取出的两个球一白一红的概率是?
解：（3）则基本事件仍为10个，其中两个球都是
红球的事件包括1个基本事件，所以，所求事件的
概率为 1
10
解：（4）则基本事件仍为10个，其中取出的两个
球一白一红的的事件包括6个基本事件，所以，所
求事件的概率为
6 3 10 5
（1）对于每次实验，只可能出现有限个不同 的实验结果
（2）所有不同的实验结果，它们出现的可能 性是相等的
在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为 基本事件. 每一个基本事件发生的可能性都相同则称这些 基本事件为等可能基本事件.
通过以上两个例子进行归纳： (1)所有的基本事件只有有限个。 (2)每个基本事件的发生都是等可能的。