古典概型

基本事件与复合事件
基本事件——不可再分的事件。又叫 样本点。常表示为 ω1 , ω 2 , ω 3 L 复合事件——由两个或两个以上基本 事件构成。 注：基本事件的个数取决于试验及试 验的目的。
样本空间与事件的集合论定义
样本空间： 样本空间 ——随机试验的全部样本点（基本事 件）组成的集合叫做样本空间。即
Ω = {ω1 , ω 2 , ω3 , L}
随机事件的集合论定义——事件就是 样本空间的子集。 注：全集是必然事件，空集是不可能 事件。
互斥事件与对立事件
互不相容事件——不可能同时发 互不相容事件 生的两个事件。 对立事件——不可能同时发生且 对立事件 必有一个要发生的两个事件。
注：两个对立事件的概率之和为1
思考题2答案：
无放回选取可看作同时选取，不用考虑顺序。有放 回则需要考虑选取的先后顺序。 (1)两张标签上的数字为相邻整数的事件为（1,2） (2,3)(3,4)(4,5),事件数为4。标签的选取是无放回的 事件为（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（2，3） （2，4）（2，5）（3，4）（3，5）（4，5）。事 2 4 2 5 3 4 3 5 4 5 件总数为10。故概率为4/10=2/5 (2)两张标签上的数字为相邻整数的事件为（1,2）（2， 1）(2,3)（3,2）(3,4)(4,3)(4,5)(5,4),事件数为8。 标签的选取是有放回的事件为（1，1）（1，2）（1， 3）（1，4）（1，5）（2，1）（2，3）（2，4） （2，5）...（5，5）。事件总数为25。故概率为8/25
思考题：
7、在60件产品中有30件是一等品，20件是二等品， 10件是三等品。从中任取3件，计算： （1）3件都是一等品的概率； （2）2件是一等品、1件是二等品的概率； （3）一等品、二等品、三等品各有一件的概率。 8、甲、乙二人参加普法知识问答，共有10个不同的 题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙两人依次 各抽一题：（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率 是多少？ （2）甲、乙两人中至少有一人抽到选择题 的概率是多少？
【典型例题3】（掷骰子问题）：将一个 骰子先后抛掷2次，观察向上的点数。
（1）共有多少种不同的结果? （2）两数之和是3的倍数的结果有多少种？ （3）两数之和是3的倍数的概率是多少？
【典型例题3】（掷骰子问题）：将一个 骰子先后抛掷2次，观察向上的点数。
变式1：两数之和不低于10的的概率是多 少？ 变式２：点数之和为质数的概率为多少？ 变式３：点数之和为多少时，概率最大且 概率是多少？
3 b
/ C
3 a + b
【典型例题6】（取数问题）：
从1，2，…，9共9个数字中任取一个，取 后放回，先后取出5个数字，求下列事件的 概率： 1）A=“最后取出的数字是奇数”； 2）B=“5个数字全不相同”； 3）C=“1恰好出现2次”； 4）D=“1至少出现2次“。
【典型例题7】（分房问题）：
思考题：
3、先后抛掷3枚均匀的一分、二分、五 分硬币.(1)出现“2枚正面,1枚反面”的概率 是多少？ 4、一个口袋里装有 3 个白球和 3 个黑 球 ， 球除颜色外完全相同 , 从中摸出 2 个 球 ， 则 1 个是白球 、1 个是黑球的概率是 多少？
思考题：
5、一个正方体，它的表面涂满了红色，在它的 每个面上切两刀，可得27个小正方体，从中任取 一个它恰有一个面涂有红色的概率是多少？ 6、袋中有红、白色球各一个，每次任取一个， 有放回地抽三次，计算下列事件的概率： （1）三次颜色恰有两次同色； （2）三次颜色全相同； （3）三次抽取的球中红色球出现的次数多于白 色球出现的次数。
排列数、组合数公式
m 排列数 An = n ( n − 1)( n − 2 ) L ( n − m + 1)
m n
A
n! = ( n − m )!
组合数
C
m n
= A
m n
/ m!
C
m n
n! = m ! ( n − m )!
说明：
1、古典概率称呼的由来 2、基本事件数的两种求法：列举法、 计算法。 当基本事件数不大时， 注：当基本事件数不大时，可用列举 当基本事件数较大时， 法；当基本事件数较大时，要用计算 法。
古典概率的定义
具有下列两个特征的随机试验称为古典概型： 古典概型： 古典概型 (i) 有限性 ：基本事件的个数是有限的； (ii) 等可能性：每个基本事件出现的概率相 同。 注：古典概型又叫有限等概型中，规定事件A的概率为
A 包含的基本事件数 A包含的基本事件数 m m P ( A) = = n 基本事件总数 n
【典型例题1】：判断以下两个随机试验 的概率模型是不是古典概型
1）向一个圆内随机地投射一个点。 ） 2）随机地向一靶心进行射击，射击 ） 环数以整数计算。
【典型例题2】：抛掷两枚均匀的硬币，
1）A=“正面都向上”的概率是多少？ 2）B=“一枚正面向上、一枚反面向上” 的概率是多少？ 解：这是一个古典概型，共有四种等可能 的结果：（正，正），（正，反），（反， 正），（反，反）.A包含其中的一种，B 包含其中的两种，所以 P(A)=1/4, P(B)=2/4=1/2
【典型例题4】（德.梅耳问题）：
1.一只骰子掷4次，求A=“至少得到一次六点” 的概率； 2.一双骰子掷24次，求B=“至少得到一次双 六”的概率。 分析：间接求法——先求对立事件的概率。
P( A) = 1 − (5 / 6) ≈ 0.51.P(B) = 1 − (35/ 36) ≈ 0.49
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【典型例题5】（摸球问题）：
袋中有a只黑球，b只白球，从中依次无放回地 摸三次，每次摸一球，求下列事件的概率： （1）A=“仅第二次摸得黑球”； （2）B= “三次中有一次摸得黑球”； （3）C= “至少有一次摸得黑球” 解:（1） P ( A ) = a . A b2 / A a3 + b （2) P ( B ) = a . C b2 / C a3 + b (3) P ( C ) = 1 − C
求古典概型的步骤： 求古典概型的步骤：
（1）判断是否为古典概型； ）判断是否为古典概型； （2）求所有基本事件的总结果数 ． ）求所有基本事件的总结果数n． 所包含的结果数m． （3）求事件 所包含的结果数 ． ）求事件A所包含的结果数 （4）计算 ）计算P(A)=m/n．
计算古典概型的两个原理：
加法原理：完成一件事有n类办法，用第1类办 法完成有m1种方法，用第2类办法完成有m2 种方法，…，用第n类办法完成有mn种方法， 那么，完成这件工作总共有m1+m2+…+mn 种方法． 乘法原理:完成一件工作共需n个步骤：完成第 1个步骤有m1种方法，完成第2个步骤有m2种 方法，…，完成第n个步骤有mn种方法，那么， 完成这一件工作共有m1·m2·…·mn种方法．
概率统计——古典概型
刘卫岭
郑州师范学院数学系
引言：
“统计与概率”作为一个独立的领域贯穿 于义务教育数学课程的始终，这在基础教 育数学课程改革中尚属首次。 研究表明：教师在“统计与概率”教学中， 备课难度较大， 广大小学教师的“统计 与概率”知识亟待提高。
预备知识
什么是随机事件？ 随机试验的每一种可能的结果叫随机 事件，简称事件。通常用A,B,C…表示。 随机事件的结构： 随机事件=试验的条件+某一种结果 注：必然事件和不可能事件不是事件，但 为了问题的讨论，我们把它们算作事件。
思考：互不相容事件和对立事件的关系？
设袋中有红、白、黄各一球，有放回地 抽三次，每次抽一球，试说明下列事件是否 相容？如不相容，还要说明是否对立？ 1、A=“三次抽取，颜色全不同”，B=“三 次抽取，颜色不全同”； 2、A=“三次抽取，颜色全同”，B=“三次 抽取，颜色不全同”； 3、A=“三次抽取，无红色球也无黄色球”， B=“三次抽取，无白色球”；
有6个房间安排4个旅游者住，每人可以住任一个 房间，且进住各个房间是等可能的，试求下列各事 件的概率： （1） 事件A：指定的4个房间各有一人； （2） 事件B: 恰有4个房间各有一人； （3） 事件C:指定的某个房间中有两人； （4） 事件D: 第一号房间有一人，第二号房间有 三人。
思考题：
1、小红、小明、小芳在一起做游戏时，需要确定 做游戏的先后顺序，他们约定用“剪刀、石头、布” 的方式确定。问在同一回合中三人都出布的概率是 多大？三人战平的概率是多少？ 2、一个盒中装有标号为:1,2,3,4,5,的五张标签, 随机地选取两张标签 ,根据下列条件求两张标签上 的数字为相邻整数的概率 (1)标签的选取是无放回的 ； (2)标签的选取是有放回的 。