7.1两条直线的位置关系(2) (1)
两条直线的位置关系 (2)
∴a＝1，
故 a＝1 是直线 y＝ax＋1 和直线 y＝(a－2)x－1 垂直的
典 充要条件．
例 探 究 · 提
(2)由 3a－(a－2)a2＝0 得 a(a2－2a－3)＝0，
课
∴a＝－1 或 0 或 3.检验当 a＝0 或－1 时两直线平行，
后 作
当 a＝3 时两直线重合．
业
知
能
【答案】 (1)C (2)D
高 考
主
体
落 实 ·
(2)当m=0时,显然l1不平行于l2;当m≠0时,由m 2 = m8 ≠ n1 得
验 · 明
固
考
基
础
m m 8 2 0, m 4, m 4,
8 1 n m 0, ∴ n 2. 或 n 2
情
即m=4,n≠-2或m=-4,n≠2时,l1∥l2.
体 验
实
·
· 固
－2＝0平行的直线方程是( )
明 考
基
础
A．x－2y－1＝0
B．x－2y＋1＝0
情
C．2x＋y－2＝0
D．x＋2y－1＝0
典
例
课
探
后
究
作
· 提
【变式】若改成垂直，则所求直线方程为（ ）
业
知
能
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2018届文科数学第一轮复习
自 （1）【答案】 A
高 考
主 落 实
【解析】 ∵所求直线与直线 x－2y－2＝0 平行，
典 例
(3)当且仅当m·2+8·m=0,即m=0时,l1⊥l2.
课
探
后
究 · 提
又 8n=-1,∴n=8.
作 业
两条直线的位置关系与点到直线的距离(有答案精品绝对好)
两条直线的位置关系与点到直线的距离(20131126)讲义1．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l 1、l 2，其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，特别地，当直线l 1、l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2的关系为平行．(2)两条直线垂直①如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.②如果l 1、l 2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l 1与l 2的关系为垂直．2．两直线相交交点：直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应．相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组无解；重合⇔方程组有无数个解．3．三种距离公式(1)平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2.特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2.(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. (3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. 4.两条直线的夹角.设直线l 1的斜率为k 1，l 2的斜率为k 2，l 1到l 2的角为α，l 1与l 2的夹角为β，则tan 12121k k k k +-=α，tan 12121k k k k +-=β.一条规律与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)平行、垂直的直线方程的设法：一般地，平行的直线方程设为Ax ＋By ＋m ＝0；垂直的直线方程设为Bx －Ay ＋n ＝0.两个防范(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑．三种对称(1)点关于点的对称 点P (x 0，y 0)关于A (a ，b )的对称点为P ′(2a －x 0,2b －y 0)．(2)点关于直线的对称设点P (x 0，y 0)关于直线y ＝kx ＋b 的对称点P ′(x ′，y ′)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ y ′－y 0x ′－x 0·k ＝－1，y ′＋y 02＝k ·x ′＋x 02＋b ，可求出x ′，y ′.特别说明:P (x 0，y 0)关于直线Ax +By +C =0的对称点是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--+---22002222002222)(,22)(B A BC ABx y B A B A AC ABy x A B . (3)直线关于直线的对称①若已知直线l 1与对称轴l 相交，则交点必在与l 1对称的直线l 2上，然后再求出l 1上任一个已知点P 1关于对称轴l 对称的点P 2，那么经过交点及点P 2的直线就是l 2；②若已知直线l 1与对称轴l 平行，则与l 1对称的直线和l 1分别到直线l 的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离即可求出l 1的对称直线．例1 经过(2,0)A -，(5,3)B -两点的直线的斜率是____________，倾斜角是_______．考向一 两条直线平行与垂直的判定及应用【例2】►(1)已知两条直线y ＝ax －2和y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直，则实数a ＝________.(2)“ab ＝4”是直线2x ＋ay －1＝0与直线bx ＋2y －2＝0平行的( )．A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件例3直线l 过点(1,2)-且与直线2340x y -+=垂直，则l 的方程是（ ）A ．3210x y +-=B ．3270x y ++=C ．2350x y -+=D ．2380x y -+=例4 已知过点(2,)A m -和点(,4)B m 的直线与直线210x y +-=平行，则m 的值为（ ）A ．0B ．8-C ．2D ．10【训练1】 已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，求m 的值，使得：(1)l 1与l 2相交；(2)l 1⊥l 2；(3)l 1∥l 2；(4)l 1，l 2重合．考向二 两直线的交点【例5】►求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程．【训练2】 直线l 被两条直线l 1：4x ＋y ＋3＝0和l 2：3x －5y －5＝0截得的线段的中点为P (－1,2)，求直线l 的方程．考向三 距离公式的应用例6、求点)2,3(P -到下列直线的距离：（1）01y 4x 3=+-；（2）y=6；（3）y 轴。
(完整版)两条直线的位置关系综合练习题及答案(可编辑修改word版)
两条直线的位置关系综合练习题及答案（一）知识梳理：1、两直线的位置关系（1） 平行的判断：①当l 1 , l 2 有斜截式（或点斜式）方程l 1 : y = k 1 x + b 1 , l 2 : y = k 2 x + b 2 ，则 l 1 // l 2 ⇔ k 1 = k 2 , b 1 ≠ b 2 .②当l 1 , l 2 有一般式方程： l 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, l 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ， 则l 1 // l 2 ⇔A 1B 2 - A 2 B 1 = 0,C 1B 2 - C 2 B 1 ≠ 0 .（2） 垂直的判断：①当l 1 , l 2 有斜截式（或点斜式）方程l 1 : y = k 1 x + b 1 , l 2 : y = k 2 x + b 2 ，则 l 1 ⊥ l 2 ⇔ l 1 : y = k 1 x + b 1 , l 2 : y = k 2 x + b 2 .②当l 1 , l 2 有一般式方程： l 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, l 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ，则l 1 ⊥ l 2 ⇔ A 1 A 2 + B 1B 2 = 0 .2、两条直线的交点：若l 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, l 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0⎧ A 1x + B 1 y + C 1 = 0 则l 1 , l 2 的交点为 方程⎨ A x + B y + C 的解.= 0 ⎩ 2 223、点到直线的距离：（1）点到直线的距离公式：点 P (x 0 , y 0 ) 到直线 Ax + By + C = 0 的距离为 d =_.(2)两平行直线间的距离求法：两平行直线： l 1 : Ax + By + C 1 = 0, l 2 : Ax + By + C 2 = 0 ，则距离 d = d =（二）例题讲解：考点 1：直线的平行与垂直关系 例 1、（1）已知直线l 的方程为3x + 4 y -12 = 0 ，求与l 平行且过点(-1, 3) 的直线方程；（2）已知直线l 1 : 2x - 3y +10 = 0, l 2 : 3x + 4 y - 2 = 0 ，求过直线l 1 和l 2 的交点，且与直线l 3 : 3x - 2 y + 4 = 0⎨⎩⎩ ⎩⎪ 垂直的直线l 方程. 易错笔记：解：（1）设与直线l 平行的直线l 1 的方程为3x + 4 y + C = 0 ，则点(-1, 3) 在直线3x + 4 y + C = 0 上，将点(-1, 3) 代入直线3x + 4 y + C = 0 的方程即可得： 3⨯(-1) + 4 ⨯ 3 + C = 0 ，∴ C = -9 ，∴所求直线方程为：3x + 4 y - 9 = 0 .（2）设与直线l 3 : 3x - 2 y + 4 = 0 垂直的直线l 方程为： 2x + 3y + C = 0 ，⎧2x - 3y +10 = 0 方程 ⎩3x + 4 y - 2 = 0 ⎧x = -2的解为： ⎨ y = 2 ， ∴直线l 1 : 2x - 3y +10 = 0, l 2 : 3x + 4 y - 2 = 0 的交点是(-2, 2) ， ∴直线l 过直线l 1 : 2x - 3y +10 = 0, l 2 : 3x + 4 y - 2 = 0 的交点(-2, 2) ， ∴ 2 ⨯(-2) + 3⨯ 2 + C = 0 ，∴ C = -2 ，∴直线l 方程为： 2x + 3y - 2 = 0 . 考点 2：直线的交点问题例 2、已知直线方程为(2 + m ) x + (1- 2m ) y + 4 - 3m = 0 ， (1) 求证：无论 m 取何值，此直线必过定点；(2) 过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这定点平分，求这条直线方程.解：(1)设直线方程为(2 + m ) x + (1- 2m ) y + 4 - 3m = 0 过定点( A , B ) ，∴ ⎧2 A + B = -4 ，∴ ⎧ A = -1 ， ⎨ A - 2B = 3 ⎨B = -2 ∴直线方程为(2 + m ) x + (1- 2m ) y + 4 - 3m = 0 过定点(-1, -2) .(2) 由题意知，直线l 在 x 轴上的截距 a ≠ 0 ，在 y 轴上的截距b ≠ 0 ，∴设直线 l 的方程为： x + y= 1，∴直线 l 在 x 轴上的交点坐标为 M (a , 0) ，直线 l 在 y 轴上的交点坐标为a b N (0, b ) ，直线l 夹在两坐标轴间的线段被点(-1, -2) 平分， ∴点(-1, -2) 是线段 MN 的中点，⎧ a + 0 = -1 ∴ ⎪ 2 ，∴ a = -2, b = -4 ， ⎨ 0 + b= -2 ⎩⎪ 2∴直线l 的方程为： x + y -2 -4易错笔记：= 1，即2x + y + 4 = 0 .⎩ ⎩ （三）练习巩固：一、选择题1、直线 3x + y +1 = 0 和直线 6x + 2 y +1 = 0 的位置关系是B ）A ．重合B ．平行C ．垂直D ．相交但不垂直2、点(2,1) 到直线 3x - 4 y + 2 = 0 的距离是（A ）A. 45B. 54C.25D. 2543、如果直线 x + 2ay - 1 = 0 与直线(3a - 1)x - ay - 1 = 0 平行，则 a 等于（A ）1 1 A ．0B ．C ．0 或 1D ．0 或661 解： 1⋅(-a ) - 2a (3a -1) = 0 ①，且 2a (-1) - (-a ) ≠ 0 ②，由①得： a = 0 或 a =，由②得： a ≠ 0 ，∴6a = 0 .4、若三条直线 2x + 3y + 8 = 0, x - y -1 = 0 和 x + ky = 0 相交于一点，则 k =（B ）A．-2B． - 12⎧2x + 3y + 8 = 0C ．2D ．1 2⎧x = -1 解： 方程⎨x - y -1 = 0 的解为： ⎨ y = -2 ，∴直线2x + 3y + 8 = 0, x - y -1 = 0 的交点是(-1, -2) ，三条直线2x + 3y + 8 = 0, x - y -1 = 0 和 x + ky = 0 相交于一点(-1, -2) ， ∴直线 x + ky = 0 过点(-1, -2) ，∴ -1+ k (-2) = 0 ，∴ k = - 1，故选 B .25、已知点 M (4, 2) 与 M (2, 4) 关于直线 l 对称，则直线 l 的方程为 （D ）A． x + y + 6 = 0 B． x + y - 6 = 0 C． x + y = 0 D． x - y = 06、已知直线 3x + 4 y - 3 = 0 与直线6x + my +14 = 0 平行，则它们间的距离是 （D ）17 17 A.B ．C ．8D ．2105解： 直线3x + 4 y - 3 = 0 与直线6x +my +14 = 0 平行，⎨⎪4 ⨯14 -(-3)m≠ 0∴⎧⎪3m - 4 ⨯6 = 0⎩，∴m = 8 ，∴直线6x +my +14 = 0 的方程为6x + 8 y +14 = 0 ，即3x + 4 y + 7 = 0 ，∴直线3x + 4 y - 3 = 0 与直线3x + 4 y + 7 = 0 之间的距离d === 2 .直线3x + 4 y - 3 = 0 与直线6x + 8 y+14 = 0 的距离等于直线3x + 4 y - 3 = 0 与直线3x + 4 y + 7 = 0 之间的距离，∴直线3x + 4 y - 3 = 0 与直线6x +my +14 = 0 的距离d === 2 ，故选D.二、填空题7、如果三条直线l1: mx +y +3 = 0, l2: x -y -2 = 0, l3: 2x -y + 2 = 0 不能成为一个三角形三边所在的直线，那么m 的一个值是.8、过点(2, 3)且平行于直线2x +y - 5 = 0 的方程为2x +y - 7 = 0.过点(2, 3)且垂直于直线3x + 4 y- 3 = 0 的方程为4x - 3y +1 = 0 .分析：设与直线 2x +y - 5 = 0 平行的直线方程为： 2x +y +C = 0 ，则点(2, 3)在直线 2x +y +C = 0 上， 将点(2, 3)代入直线 2x +y +C = 0 的方程即可得： 2 ⨯ 2 + 3 +C = 0 ，∴C =-7 ，∴所求直线方程为： 2x +y - 7 = 0 .分析：设垂直于直线3x + 4 y - 3 = 0 的方程为： 4x -3y +C = 0 ，则点(2, 3)在直线4x -3y +C = 0 上，将点(2, 3) 代入直线4x - 3y +C = 0 的方程即可得： 4 ⨯ 2 - 3⨯ 3 +C = 0 ，∴C = 1，∴所求直线方程为： 4x - 3y +1 = 0 .9、已知直线l1的斜率为3，直线l2经过点A(1, 2)，B (2, a)，若直线l1 // l2，a =_ 3 _；若l1⊥l2，则a =5.3当直线l1 // l2 时： 直线l1 的斜率：k1 = 3 ，且直线l1 // l2 ，∴直线l2 的斜率k2 =k1 = 3 ，直线l 经过点A(1, 2)，B (2, a)，∴直线l 的斜率k=y2-y1 =a - 2=a - 2 = 3 ，222x -x 2 -12 1∴a = 5 .当直线l1 ⊥l2 时，设直线l1 的斜率为k1 ，直线l2 的斜率为k2 ，则直线l 的斜率：k = 3 ， 直线l ⊥l ，∴k ⋅k =-1 ，∴直线l 的斜率k =-1=-1，1 1 12 1 2 2 21又 直线l 经过点A(1, 2)，B (2, a)，∴直线l 的斜率k=y2-y1 =a - 2=a - 2 =-1，222x -x 2 -1 32 1∴a =5.310、设直线l1: 3x + 4 y- 2 = 0, l2: 2x +y + 2 = 0, l3: 3x - 4 y+ 2 = 0 ，则直线l1 与l2 的交点到l3 的距离为12 .5k 3Ax 0 + By 0 + C A 2 + B 2 3⨯(-2) - 4 ⨯ 2 + 2 32 + (-4)2Ax 0 + By 0 + CA 2 +B 2k + 2 k 2 + (-1)22 ⎩ ⎩ 1⎩⎩2 ⎧3x + 4 y - 2 = 0 解： 方程⎨2x + y + 2 = 0 ⎧x = -2的解为： ⎨ y = 2 ，∴直线2x + 3y + 8 = 0, x - y -1 = 0 的交点是(-2, 2) ，∴点(-2, 2) 到直线l 3 的距离为：d = = = 12.511、过点 A (-1, 2) ，且与原点距离等于2的直线方程为 x - y + 3 = 0 或7x - y + 9 = 0 ．2解 ： 设 所 求 直 线 的 斜 率 为 k ， 则 直 线 过 点 kx - y + k + 2 = 0 ，A (-1, 2) ， ∴方 程 为 y - 2 = k ⎡⎣ x - (-1)⎤⎦ = k ( x +1) ， 即 ∴直 线 到 原 点 的 距 离 为 ： d ==== ，2(k + 2)2 2⎛⎫22= ⎪ = 1 ，∴ k 2 + 8k + 7 = 0 ，∴ k = 1 或 k = 7 ， k + (-1)⎝ 2 ⎭ 2∴所求直线的方程为： x - y + 3 = 0 或7x - y + 9 = 0 ．三、解答题12、已知直线l 1 : x + my + 6 = 0, l 2 : (m - 2) x + 3y + 2m = 0 ，求m 的值，使得 (1) l 1 和l 2 相交；（2） l 1 ⊥ l 2 垂直；(3) l 1 // l 2 ； (4) l 1 和l 2 重合. 解：(1) l 1 和l 2 相交，∴ m (m - 2) -1⨯ 3 ≠ 0 ，∴ m ≠ -1． (2) l 1 ⊥ l 2 垂直，∴ 1⋅(m - 2) + m ⨯ 3 = 0 ，∴ m = 2.⎧⎪m (m - 2) -1⨯ 3 = 0 (1) (3) l 1 // l 2 ，∴ ⎨ ，⎪2m ⋅ m - 3⨯ 6 ≠ 0 (2) 由（1）得： m = 3 或 m = -1，由（2）得： m ≠ ±3 ，∴ m = -1.⎧⎪m (m - 2) -1⨯ 3 = 0 (1)(4) l 1 和l 2 重合，∴ ⎨⎪2m ⋅ m - 3⨯ 6 = 0 (2) ，由（1）得： m = 3 或 m = -1，由（2）得： m = 3 或 m = -3 ， ∴当 m = 3 ，或 m = -3 ，或 m = -1时， l 1 和l 2 重合.13、已知直线l 过点(1, 2) ，且与 x ， y 轴正半轴分别交于点 A 、 B（1） 、求∆AOB 面积为 4 时直线l 的方程；（2）、在（1）的前提之下，求边 AB 上的高所在的直线方程.解：（1）、由题意知，直线l 在 x 轴上的截距 a > 0 ，在 y 轴上的截距b > 0 ，∴设直线l 的方程为： x + y= 1， 直线l 过点(1, 2) ， a bk ⋅ 0 -1⋅ 0 + k + 2k 2 + (-1)2y B(1,2)OAx∴ 1 + 2 = 1①， ∆AOB 面积为 4，∴ a b a b = 1 ab = 4 ②，由①、②得： a = 2 ， b = 4 ， 2∴直线l 的方程为： x + y= 1，即2x + y - 4 = 0 .2 4（2）、设边 AB 上的高所在的直线为l 1 ，斜率为 k 1 ，直线l 1 过原点O (0, 0) ，直线l 的方程为： 2x + y - 4 = 0 ，∴边 AB 所在的直线方程为： 2x + y - 4 = 0 ，斜率为斜率 k = -2 ， l ⊥ l 1 ，∴ k ⋅ k 1 = -1 ，∴ k 1 = -1 = -1 = 1， 直线l 过原点O (0, 0) ， k -2 2 1∴直线l 的方程为： y - 0 = 1( x - 0) ，即 x - 2 y = 0 .综上所述：边 AB 上的高所在的直线方程为： x - 2 y = 0 .121 2。
七年级数学下册-：两条直线的位置关系---课件-(15张PPT)
【例3】直线AB，CD相交于点O，已知∠AOC＝75°，OE把
∠BOD分成两部分，且∠BOE∶∠EOD＝2∶3，求∠AOE.
解：设∠BOE=2x，则∠EOD=3x，
∵∠AOC=75°
(已知)
∴∠BOD=∠AOC=75°，（对顶角相等）
∴2x+3x=75°,解得x=15°，
∴∠BOE=2x=30°，
∵∠AOE+∠BOD=180°（平角的定义）
∴∠AOE=180°－∠BOD=180°－30°=150°.（等式的基本性质）
【例4】如图，已知∠AOB=145°，∠AOC=∠BOD=90°． （1）写出与∠COD互余的角；
D
解:(1)∵∠AOC=∠BOD=90°， A
C
∠COD+∠AOD=90°，
∠COD+∠BOC=90°
∴与∠COD互余的角是∠AOD和∠BOC； O
B
【例4】如图，已知∠AOB=145°，∠AOC=∠BOD=90°． （2）求∠COD的度数；
D
解:(2)如图，
C A
∵∠AOB=145°，∠AOC=∠BOD=90°，
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC
=145°-90°
O
B
=55°
∴∠COD=∠BOD-∠BOC
解：如图，
∵∠DOF＝50°，
（已知）
∴∠COE＝∠DOF＝50°.
（对顶角相等）
∵∠AOC＝65°
（已知）
∠BOE＋∠COE＋∠AOC＝180°，（平角的定义）
∴∠BOE＝180°－∠COE－∠AOC
＝180°－50°－65°
＝65°.
（等式的基本性质）
【例2】已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大10°,求这个角 的度数.
(名师整理)最新北师大版数学七年级下册第2章第1节《两条直线的位置关系——对顶角、余角和补角》精品课件
× ）×
√
×
四、余角和补角的性质
打台球时，选择适当的方向，用白球击打红球，反弹后的 红球会直接入袋，此时∠1=∠2，将图2-2抽象成图2-3，ON与DC 交于点O，∠DON=∠CON=900，∠1=∠2。
D
O
C
1
2
34
图2—2
A
N
图2-3
小组合作交流，解决下列问题：在图2—3中 问题1：哪些角互为补角？哪些角互为余角？ 问题2：∠3与∠4有什么关系？为什么？ 问题3：∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？
A
证明： ∵∠1 +∠AOC =180° (平角定义)
∠2 +∠AOC =180°(平角定义) ∴∠1 =180°-∠AOC ∴∠2 =180°-∠AOC ∴∠1 = ∠2 (等式性质)
C
）2 1（ O
B D
算一算
(3)如图，已知∠DOE=90°，AB是经过点O的一条直线。如果 ∠AOC=700，那么∠BOF等于多少度?为什么?
小关系是________∠_2，=∠理3由：______同_角__的__补__角__相. 等
1 23
作业：
如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOE＝∠COF＝90 。 ∠AOF与∠DOE、∠BOF与∠COE有怎样的大小关系？为什 么？
E F
D
A
0
B
C
学习了本课后，你有哪些收获和感想？ 告诉大家好吗？
4.不相交的两条直线一定是平行线吗？.
相交
平行
大家来找茬
1.判断下面说法同一是平否面内正确:
（1）不相交的两条直线叫做平行线。 （ ×）
（2）在同一平面内，不相交的两条线段
北师大版七年级数学下册2.1《两条直线的位置关系(第2课时)》习题含答案
2.1《两条直线的位置关系（第二课时）》习题含答案一、选择题1.如图，直线AB 和直线CD 相较于点O ，E 是∠AOD 内一点，已知OE ⊥AB,∠BOD =40°，则∠COE 的度数是（ ） A.120 ° B.140 ° C.150° D.130°2.OA ⊥OB ，OC ⊥OD,则下列叙述正确的是（ ） A.∠AOC =∠AOD B.∠AOD =∠BODC.∠AOC =∠BODD.以上都不对3．如图，∠BAC =90°，AD ⊥BC ，则下列的结论中正确的个数是（ ） ①点B 到AC 的垂线段是线段AB ；②线段AC 是点C 到AB 的垂线段； ③线段AD 是点D 到BC 的垂线段；④线段BD 是点B 到AD 的垂线段．A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个4．如图，把水渠中的水引到水池C ，先过C 点向渠岸AB 画垂线，垂足为D ，再沿垂线CD 开沟才能使沟最短，其依据是（ ） A. 垂线最短 B.过一点确定一条直线与已知直线垂盲 C.垂线段最短 D.以上说法都不对5.P 为直线l 外一点，点A,B,C 为直线l 上三点，PA=5cm,PB=4cm,PC=2cm ，则P 到直线l 的距离（ ）A.2cmB.小于2cmC.不大于2cmD.4cm6．如图，已知0A ⊥m ，OB ⊥m ，所以OA 与OB 重合，其理由是（ ） A.过两点只有一条直线 B.过一点只能作一条垂线C.平面内，过一点只有一条直线与已知直线垂直D.垂线段最短7.画一条线段的垂线，垂足在（ ） A. 线段上 B. 线段的端点 C. 线段的延长线上 D. 以上都有可能1题图2题图3题图4题图6题图8.下列说法正确的是( )A.平面内过直线l 上一点做l 的垂线不止一条B.直线l 的垂线有无数条C.如果两条线段不相交，那么这两条线段就不能互相垂直D.以上说法都不对 二、填空题9.如图，直线a ⊥b ，∠1=50°，则∠2= 度．10.如图，点A ，B ，C 在一条直线上，已知∠1=53°，∠2=37°，则CD 与CE 的位置关系是 _________ ．11.如图，已知BA ⊥BD ，CB ⊥CD ，AB=8，BC=6，则点A 到BD 的距离为_________ ，点B 到CD 的距离为_________ .12．如图，两条直线AB ，CD 相交于点O ，OE 平分∠BOC ，OF ⊥CD ，∠COE =65°，∠AOF 等于_________ .9题图10题图11题图 12题图13.如图，∠ADB =90°，用“＜”连接AB ，AC ，AD ，结果是 _________ ．三、解答题14.如图，OA ⊥OB ，OB 平分∠MON ，若∠AON =120°，求∠AOM 的度数．15.如图，直线AB ，CD 相交于O 点，OM ⊥AB 于O ． （1）若∠1=∠2，求∠NOD ；（2）若∠BOC =4∠1，求∠AOC 与∠MOD ．16.如图，直线AB ，CD 相交于O 点，OE ⊥CD ，OF ⊥AB ，∠DOF =65°,求∠BOE 和∠AOC 的度数？17.如图，点O 为直线AB 上一点，OC 为一射线，OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOC ． （1）若∠BOC =50°，试探究OE ，0F 的位置关系； （2）若∠BOC 为任意角α（0°＜α＜180°），（1）中OE ，OF 的位置关系是否仍成立？请说明理由．由此你发现什么规律？18.如图，直线AB ，CD 相交于O 点，Q 是CD 上的一点. (1) .过点Q 画直线AB 的垂线，垂足为E; (2) .过点O 画直线CD 的垂线.19.如图，一辆汽车在直线形公路AB 上由A 向B 行驶，M ，N 是分别位于公路AB 两侧的两所学校．（1）汽车在公路上行驶时，噪声会对两所学校教学都造成影响，当汽车行驶到何处时，分别对两所学校影响最大？请在图上标出来．（2）当汽车从A 向B 行驶时，在哪一段上对两学校影响越来越大？在哪一段上对两学校影响越来越小？在哪一段上对M 学校影响逐渐减小而对N 学校影响逐渐增大？2.1《两条直线的位置关系（第二课时）》习题答案二、填空题9.40°10.垂直11.8；6.12.40°13.AD＜AC＜AB三、解答题14.解:∵OA⊥OB∴∠AOB=90°∵∠AON=120∴∠BON=120°-90°=30°∵OB平分∠MON∴∠MOB=∠NOB=30°,∴∠AOM=90°-30°=60°15.解:(1)∵OM⊥AB,∴∠1+∠AOC=90°又∠1=∠2∴∠2+∠AOC=90°,∴∠NOD=180°-(∠2+∠AOC)=180°-90=90°(2)由已知∠BOC=4∠1,即90°+∠1=4∠1,可得∠1=30°所以∠AOC=90°-30°=60°,由对顶角相等得∠BOD=60°故∠MOD=90°+60°=150°16.解:(1)∵OF ⊥AB,∴∠BOF =90° ∵∠DOF =65°,∴∠BOD =∠BOF -∠DOF =90°-65=25° ∵OE ⊥CD, ∴∠DOE =90°,那么∠BOE =∠DOE -∠BOD =90°-25°=65°(2)直线AB 与CD 相交于点O,∠AOC 与∠BOD 是对顶角 即∠AOC =∠BOD =25° 17.解:(1)OE ⊥OF ∵∠BOC =50°,∴∠AOC =180°-50°=130 ∵OE 平分∠AOC ,OF 平分∠BOC ∴∠EOC =21∠AOC =65°,∠COF =21∠COB =25° ∴∠EOF =65°+25°=90° ∴OE ⊥OF(2)∵∠BOC =a ∴∠AOC =180-a∵OE 平分∠AOC ,OF 平分∠BOC ∴∠EOC =21∠AOC =90°-21a, ∠COF =21∠COB =21a ∴∠EOF =90°-21a+21a=90° ∴OE ⊥OF规律：邻补角的角平分线互相垂直 18.解：(1)直线QE是所求的直线(2)直线OF是所求的直线19.解：（1）作MC⊥AB于C，ND⊥AB于D，所以在C处对M学校的影响最大，在D处对N学校影响最大；（2）由A向C行驶时，对两学校影响逐渐增大；由D向B行驶时，对两学校的影响逐渐减少；由C向D行驶时，对M学校的影响减小，对N学校的影响增大。
两直线的位置关系
两直线的位置关系直线是几何学中最简单和基础的图形之一，它在我们的日常生活和各个领域都有广泛的应用。
当两条直线在二维平面上相交时，它们可以有不同的位置关系，比如相交、平行或重合等。
本文将探讨两直线的位置关系，并通过具体例子加以说明。
1. 直线相交当两条直线在二维平面上相交时，它们的交点可以通过求解方程组得到。
两条直线的方程一般为一次函数的形式：y = ax + b假设有两条直线分别为L1和L2，它们的方程分别为y1 = a1x + b1和y2 = a2x + b2。
当a1 ≠ a2时，两线相交于唯一的一点P(x, y)。
此时直线L1和L2在P点处的斜率不相等，它们在该点的切线不重合。
例如，考虑以下两个方程：y = 2x + 1y = -3x + 5这是一组相交直线的例子。
它们分别代表了斜率为2和-3的直线，它们的交点为P(2, 5)。
2. 直线平行当两条直线的斜率相等但截距不等时，它们是平行的。
在二维平面上，平行的直线永远不会相交。
例如，考虑以下两个方程：y = 3x + 2y = 3x - 4这是一组平行直线的例子。
它们具有相同的斜率3，但截距不同，因此它们永远不会相交。
3. 直线重合当两条直线具有相同的斜率和截距时，它们是重合的。
在二维平面上，重合的直线代表了同一条直线。
例如，考虑以下两个方程：y = 2x + 3y = 2x + 3这是一组重合直线的例子。
它们具有相同的斜率2和截距3，因此表示同一条直线。
4. 直线相互垂直当两条直线的斜率乘积等于-1时，它们是相互垂直的。
在二维平面上，相互垂直的直线通过它们的交点形成一个直角。
例如，考虑以下两个方程：y = 2x + 1y = -1/2x + 3这是一组相互垂直的直线的例子。
它们的斜率分别为2和-1/2，它们的斜率乘积为-1，因此它们相互垂直。
总结：通过以上例子，我们可以看出，两条直线的位置关系取决于它们的斜率和截距。
当斜率和截距都相等时，直线重合；当斜率相等但截距不等时，直线平行；当斜率不相等时，直线相交。
北师大版数学七年级下册第二章1两条直线的位置关系(共76张PPT)
图2-1-5 注意 (1)垂线是直线,垂线段特指一条线段,点到直线的距离是指垂线段 的长度. (2)求点到直线的距离时,要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段,然后 计算或度量垂线段的长度,在实际问题中要应用其“最近性”解决问题.
1 两条直线的位置关系
例4 在图2-1-6所示的各图中,分别过点P作AB的垂线.
点拨 除了互补的两个角和为180°外,由平角的定义也可以得到和为180°.
1 两条直线的位置关系
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题型二 垂线性质在生活中的应用
例2 如图2-1-9所示,平原上有A,B,C,D四个村庄,为解决当地缺水问题,政 府准备投资修建一个蓄水池.
图2-1-9 (1)不考虑其他因素,请你画图确定蓄水池H的位置,使它到四个村庄距离之 和最小; (2)计划把河水引入蓄水池H中,怎样开渠使水渠最短?并说明理由.
1 两条直线的位置关系
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知识点三 余角和补角 1.如果两个角的和是90°,那么称这两个角互为余角. 2.如果两个角的和是180°,那么称这两个角互为补角. 3.余角、补角的性质:同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等. 注意 (1)互余、互补都是指两个角之间的关系.当∠1+∠2+∠3=90°时,不 能说∠1、∠2、∠3互余;当∠1+∠2+∠3=180°时,也不能说∠1、∠2、 ∠3互补.(2)互余的两个角都是锐角,而互补的两个角可能是一个锐角一个 钝角,也可能都是直角.(3)互余和互补都是反映两个角的数量关系,而不是 位置关系.
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②必须强调“平面内”,否则,在空间里,经过一点与已知直线垂直的直线 有无数条. (2)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短,简称:垂线段 最短.
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做一做，想一想
在下面两个图中，分别过点P作l的垂线，你 能作出来吗？每个图中你能作几条？
P
P
l
l
一重二移三过四画
P
Байду номын сангаас
P
从图中，你得到了什么结论？说说看！
垂线的性质：平面内，过一点有且只 有一条直线与已知直线垂直。
P
B
C
D
E
F
l
垂线段的性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段 中，垂线段最短。简称为：“垂线段最短”。
如果直线AB与直线CD垂直， 那么可记作：AB⊥CD（或CD⊥AB） 如果用l、m表示这两条直线，
那么直线l与直线m垂直， 可记作：l⊥m（或m ⊥ l） A C
l
O
mB
D
把互相垂直的两条直线的交点叫做垂足（如图中的O点）。
如图：
（1）因为 ∠BOC=90°(已知) （2）因为 AB⊥CD (已知) 所以 AB⊥CD (依据 垂直定义 )
7.1 两条直线的位置关系（2）
请同学们观察下列图片，图中的线段所在的直线呈现的位置关系是什么？
7、1 两条直线的位置关系（2）
2、1两条直线的位置关系（2)
垂直定义：两条直线相交成四个角， 如果有一个角是直角，那么称这两 条直线互相垂直。 两条线段互相垂直是指这两条线 段所在的直线互相垂直。
垂直的表示法
所以 ∠BOC= 900 (依据 垂直定义 )
找出图中互相垂直的线段：
D C
A B O
（图1）
AO ⊥ CO；BO ⊥DO
（图2）
CD⊥BC；CD ⊥ CE；CD ⊥ BE AC⊥BC；AC ⊥ CE；AC ⊥ BE AD⊥BC；AD ⊥ CE；AD ⊥ BE
小试身手
你能借助三角尺画出两条互相垂直的直线吗？
M
A 线段MP的长度叫做点M到直线AB的距离。
Q P N
B
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。