黑龙江省嫩江高级中学2017届高三数学一轮复习：题组层级快练(24-25).doc

2017年高考第一轮复习-题组层级快练(24-25) 19一．选择题1.已知△ABC 中,a ＝1,b ＝2,B ＝45°,则A 等于(D) A ．150°B ．90°C ．60° D ．30° 解:由正弦定理，得1sinA ＝2sin45°，得sinA ＝12. 又a<b ，∴A<B ＝45°.∴A ＝30°，故选D. 2.在△ABC 中,A ＝60°,AB ＝2,且△ABC 的面积为32, 则BC 的长为(B) A.32B. 3 C ．2 3 D ．2 解:因为S ＝12AB ·ACsinA ＝12×2×32AC ＝32，所以AC ＝1，所以BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB·ACcos60°＝3. 所以BC ＝ 3.3．在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b ，c ，已知cos2A ＋cos2B ＝2cos2C,则cosC 的最小值为(C) A.32 B.22 C.12 D ．－12解:由cos2A ＋cos2B ＝2cos2C ，得1－2sin 2A ＋1－2sin 2B ＝2(1－2sin 2C)，即sin 2A ＋sin 2B ＝2sin 2C ，由正弦定理可得a 2＋b 2＝2c 2.由余弦定理可得c 2＋2abcosC ＝2c 2，所以cosC ＝c 22ab＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝12，所以cosC 的最小值为12，故选C. 4.在△ABC 中，若sin(A －B)＝1＋2cos(B ＋C)sin(A ＋C)，则△ABC 的形状一定是(D) A.等边三角形 B.不含60°的等腰三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形解:sin(A-B)＝1+2cos(B+C)sin(A+C)＝1-2cosAsinB ， ∴sinAcosB －cosAsinB ＝1－2cosAsinB ，∴sinAcosB ＋cosAsinB ＝1，即sin(A ＋B)＝1，则有A ＋B ＝π2，故三角形为直角三角形．5.已知△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a ＝sinAsinC ＋sinB ，则B ＝(C) A.π6 B.π4C.π3D.3π4解:由sinA ＝a 2R ，sinB ＝b 2R ，sinC ＝c 2R ，代入整理得c －b c －a ＝a c ＋b⇒c 2－b 2＝ac －a 2,所以a 2＋c 2－b 2＝ac,即cosB ＝12，所以B ＝π3,故答案为C.6.在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,若c 2＝(a －b)2＋6,C ＝π3,则△ABC 的面积是(C)A ．3 B.932 C.332D ．3 3解:利用所给条件以及余弦定理整体求解ab 的值，再利用三角形面积公式求解． ∵c 2＝(a －b) 2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2abcos π3＝a 2＋b 2－ab.②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12absinC ＝12×6×32＝332.7.已知钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝(B) A ．5 B. 5 C ．2 D ．1解:由题意可得12AB ·BC ·sinB ＝12，又AB ＝1，BC ＝2，所以sinB ＝22，所以B ＝45°或B＝135°.当B ＝45°时，由余弦定理可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB·BC·cosB ＝1，此时AC ＝AB ＝1，BC ＝2，易得A ＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去．所以B ＝135°.由余弦定理可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB·BC·cosB ＝ 5.故选B.8．设锐角△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的边长分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝2A ，则b 的取值范围为(A)A ．(2，3)B ．(1，3)C ．(2，2)D ．(0，2) 解:由a sinA ＝b sinB ＝bsin2A ，得b ＝2cosA.π2<A ＋B ＝3A<π，从而π6<A<π3.又2A<π2， 所以A<π4，所以π6<A<π4，22<cosA<32，所以2<b< 3.9．在△ABC 中，三边长a ，b ，c 满足a 3＋b 3＝c 3，那么△ABC 的形状为( ) A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.以上均有可能解:由题意可知c>a ，c>b ，即角C 最大，所以a 3＋b 3＝a·a 2＋b·b 2<ca 2＋cb 2，即c 3<ca 2＋cb 2，所以c 2<a 2＋b 2.根据余弦定理，得cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab >0，则0<C<π2，即三角形为锐角三角形．10.设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝(A) A.AD → B.12AD → C.BC →D.12BC → 解析 EB →＋FC →＝12(AB →＋CB →)＋12(AC →＋BC →)＝12(AB →＋AC →)＝AD →，故选A.11.若a,b,a ＋b 为非零向量,且a ＋b 平分a 与b 的夹角,则(C) A ．a ＝b B ．a ＝－bC ．|a|＝|b| D ．以上都不对12如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝(D) A.OH →B.OG →C.EO →D.FO →解:在方格纸上作出OP →＋OQ →，如图所示，则容易看出OP →＋OQ →＝FO →，故选D.13．在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB.若CB →＝a,CA →＝b,|a|＝1,|b|＝2,则CD →＝(B) A.13a ＋23b B.23a ＋13bC.35a ＋45b D.45a ＋35b 解:由内角平分线定理，得|CA||CB|＝|AD||DB|＝2.∴CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝23CB →＋13CA →＝23a ＋13b.14.O 是平面上一定点,A,B,C 是该平面上不共线的三个点,一动点P 满足：OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →),λ∈(0，＋∞)，则直线AP 一定通过△ABC 的( C) A ．外心 B ．内心C ．重心 D ．垂心解:取BC 中点D. OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，AP →＝2λAD →.∴A ，P ，D 三点共线，∴AP 一定通过△ABC 的重心，C 正确．15．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C)的充要条件是AP →＝λ(AB →＋AD →)，则λ的取值范围是(A)A.λ∈(0,1)B.λ∈(－1,0)C.λ∈(0,22) D.λ∈(－22,0) 解:如图所示，∵点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C)，∴AP →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →)．由AP →与AC →同向知，λ>0.又|AP →|<|AC →|，∴|AP →||AC →|＝λ<1，∴λ∈(0，1)．反之亦然． 二填空题16.在△ABC 中，若A ＝60°,AC ＝2,BC ＝3,则AB 等于:1解:∵A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，设AB ＝x ，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC·ABcosA ，化简得x 2－2x ＋1＝0，∴x ＝1，即AB ＝1.17．已知O 为△ABC 内一点，且OA →＋OC →＋2OB →＝0，则△AOC 与△ABC 的面积之比是________．1∶2解析 如图所示，取AC 中点D. ∴OA →＋OC →＝2OD →.∴OD →＝BO →. ∴O 为BD 中点，∴面积比为高之比．18．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等差数列，且A －C ＝90°，则cosB ＝34解:∵a,b,c 成等差数列∴2b ＝a ＋c.∴2sinB ＝sinA ＋sinC. ∵A －C ＝90°，∴2sinB ＝sin(90°＋C)＋sinC. ∴2sinB ＝cosC ＋sinC.∴2sinB ＝2sin(C ＋45°)． ①∵A ＋B ＋C ＝180°且A －C ＝90°，∴C ＝45°－B2，代入①式中，2sinB ＝2sin(90°－B2)．∴2sinB ＝2cos B 2.∴4sin B 2cos B 2＝2cos B 2.∴sin B 2＝24.∴cosB ＝1－2sin 2B 2＝1－14＝34.19．对于△ABC ，有如下命题：①若sin2A ＝sin2B ，则△ABC 为等腰三角形；②若sinA ＝cosB ，则△ABC 为直角三角形；③若sin 2A ＋sin 2B ＋cos 2C<1，则△ABC 为钝角三角形．其中正确命题的序号是________．(把你认为所有正确的都填上)③ 解:①sin2A ＝sin2B ，∴A ＝B ⇒△ABC 是等腰三角形，或2A ＋2B ＝π⇒A ＋B ＝π2，即△ABC 是直角三角形．故①不对．②sinA ＝cosB ，∴A －B ＝π2或A ＋B ＝π2.∴△ABC 不一定是直角三角形．③sin 2A ＋sin 2B<1－cos 2C ＝sin 2C ，∴a 2＋b 2<c 2. ∴△ABC 为钝角三角形．20.如图所示,已知∠B ＝30°,∠AOB ＝90°,点C 在AB 上，OC ⊥AB ，用OA →和OB →来表示向量OC →，则OC →等于:34OA →＋14OB →解析 OC →＝OA →＋AC →＝OA →＋14AB →＝OA →＋14(OB →－OA →)＝34OA →＋14OB →.三．解答题21．已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sinAsinC. (1)若a ＝b ，求cosB ；(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积． 解:(1)由题设及正弦定理可得b 2＝2ac. 又a ＝b ，可得b ＝2c ，a ＝2c. 由余弦定理可得cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14.(2)由(1)知b 2＝2ac.因为B ＝90°，由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2.故a 2＋c 2＝2ac ，得c ＝a ＝ 2.所以△ABC 的面积为1.22．已知△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(sinB ，1－cosB)与向量n ＝(2，0)的夹角θ的余弦值为12.(1)求角B 的大小； (2)若b ＝3，求a ＋c 的取值范围． 解:(1)∵m ＝(sinB,1－cosB),n ＝(2,0),∴m ·n ＝2sinB ， |m|＝sin 2B ＋（1－cosB ）2＝2－2cosB ＝2|sin B2|.∵0<B<π，∴0<B 2<π2.∴sin B2>0.∴|m|＝2sin B 2∵|n|＝2∴cos θ＝m·n |m|·|n|＝2sinB 4sinB 2＝cos B 2＝12.∴B 2＝π3，∴B ＝23π. (2)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2accos 23π＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c)2－ac≥(a ＋c)2－(a ＋c 2)2＝34(a ＋c)2，当且仅当a ＝c时，取等号．∴(a ＋c)2≤4，即a ＋c≤2. 又a ＋c>b ＝3，∴a ＋c ∈(3，2]． 23.如图所示,已知点G 是△ABO 的重心. (1)求GA →＋GB →＋GO →；(2)若PQ 过△ABO 的重心G,且OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝ma ，OQ →＝nb,求证:1m ＋1n ＝3.解:(1)如图所示，延长OG 交AB 于M 点， 则M 是AB 的中点． ∴GA →＋GB →＝2GM →.∵G 是△ABO 的重心，∴GO →＝－2GM →. ∴GA →＋GB →＋GO →＝0. (2)∵M 是AB 边的中点，∴OM →＝12(OA →＋OB →)＝12(a ＋b)．又∵G 是△ABO 的重心，∴OG →＝23OM →＝13(a ＋b)．∴PG →＝OG →－OP →＝13(a ＋b)－ma ＝(13－m)a ＋13b.而PQ →＝OQ →－OP →＝nb －ma ，∵P ，G ，Q 三点共线， ∴有且只有一个实数λ，使得PG →＝λPQ →. ∴(13－m)a ＋13b ＝λnb －λma.∴(13－m ＋λm)a ＋(13－λn)b ＝0.∵a 与b 不共线， ∴⎩⎨⎧13-m+λm=0，13-λn=0.消去λ，得1m ＋1n ＝3.。