辽宁省丹东市2020届高三数学总复习质量测试试题(一)(含解析)
辽宁省丹东市2020届高三数学总复习质量测试试题（一）（含解析）一、选择题：本大题共12个小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合的元素，然后求两个集合的交集.【详解】由解得，故，所以，故选A.【点睛】本小题主要考查集合的交集，考查一元二次不等式的解法，考查集合的研究对象等知识，属于基础题.一元二次不等式的解法首先看二次项系数，若二次项系数为负数，则先变为正数，然后求出一元二次不等式对应一元二次方程的两个根，最后按照大于在两边，小于在中间求得解集.2.若，则复数对应的点位于复平面的（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】对复数进行整理化简，得到复数的实部和虚部，确定对应点在复平面的位置.【详解】在复平面对应的点为位于第一象限故选A项.【点睛】本题考查复数的基本运算和复平面与复数的对应关系,属于简单题.3.设等比数列的前项和为，且，则公比（）A. B. C. 2 D. 3【答案】C【解析】【分析】将已知转化为的形式，解方程求得的值.【详解】依题意，解得，故选C.【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等比数列的基本量，属于基础题.基本元的思想是在等比数列中有个基本量，利用等比数列的通项公式或前项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列，进而求得数列其它的一些量的值.4.已知某超市2020年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：根据该折线图可知，下列说法错误的是（）A. 该超市2020年的12个月中的7月份的收益最高B. 该超市2020年的12个月中的4月份的收益最低C. 该超市2020年1-6月份的总收益低于2020年7-12月份的总收益D. 该超市2020年7-12月份的总收益比2020年1-6月份的总收益增长了90万元【答案】D【解析】【分析】用收入减去支出，求得每月收益，然后对选项逐一分析，由此判断出说法错误的选项.【详解】用收入减去支出，求得每月收益（万元），如下表所示：所以月收益最高，A选项说法正确；月收益最低，B选项说法正确；月总收益万元，月总收益万元，所以前个月收益低于后六个月收益，C选项说法正确，后个月收益比前个月收益增长万元，所以D选项说法错误.故选D.【点睛】本小题主要考查图表分析，考查收益的计算方法，属于基础题.5.的展开式中的系数为（）A. B. -5 C. 5 D.【答案】A【解析】【分析】写出二项式展开式的通项,整理后，令的次数为3,得到项数,再求这一项的系数.【详解】的二项展式式，第项为令,解得,的系数为故选A项.【点睛】本题考查二项式展开式中的某一项的系数，属于简单题.6.我国明代伟大数学家程大位在《算法统综》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明”意思是：九节竹的盛米容积成等差数列，其中的“三升九”指3.9升，则九节竹的中间一节的盛米容积为（）A. 0.9升B. 1升C. 1.1升D. 2.1升【答案】B【解析】【分析】先根据“下头三节三升九，上梢四节贮三升”列方程组，解方程组求得的值，进而求得的值. 【详解】依题意得，故，即，解得，故升.故选B.【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查等差数列通项的性质，属于基础题.7.已知函数，则（）A.是奇函数，且在上单调递增B.是奇函数，且在上单调递减C.是偶函数，且在上单调递增D.是偶函数，且在上单调递减【答案】C【解析】【分析】先利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，然后利用特殊值对单调性进行判断，由此得出正确选项.【详解】函数的定义域为，，故函数为偶函数.，，，故，所以本小题选C.【点睛】本小题主要考查函数奇偶性的判断，考查函数的单调性，属于基础题.8.学校组织学生参加社会调查，某小组共有3名男同学，4名女同学，现从该小组中选出3名同学分别到甲乙丙三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同的安排方法有（）A. 30种 B. 60种 C. 180种 D. 360种【答案】C【解析】【分析】解法一:正向思考,分1男2女和2男1女来进行选取,然后再进行全排;解法二:逆向思考,算出选出3人全是男同学和全是女同学的情况,再用总数减去这两种情况,然后进行全排.【详解】解法一:先选后排,因为选出的同学中男女均有,可以分两种情况,①1男2女,情况有,②2男1女,对选出的情况再进行全排.解法二:用总数减去找所求的反面,即7人里选3人的情况,减去选出的全是男同学和全是女同学的情况,再进行全排,【点睛】本题考查排列组合的知识,采用先选后排,可以分正向和逆向两种方法,属于简单题.9.计算机在数据处理时使用的是二进制，例如十进制数1,2,3,4的二进制数分别表示为1,10,11,100，二进制数…化为十进制数的公式为…，例如二进制数11等于十进制数，又如二进制数101等于十进制数，下图是某同学设计的将二进制数11111化为十进制数的程序框图，则判断框内应填入的条件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】该程序的作用是将二进制转换为十进制，根据转换的方法和步骤，结合流程图可知，判断框内填入的应是进行循环的条件,判断出循环的次数,得到答案.【详解】在将二进制数化为十进制数的程序中循环次数由循环变量决定共有5位，因此要循环4次才能完成整个转换过程退出循环的条件根据程序框图和答案选项,应设为故选A项.【点睛】本题考查根据题目要求准确理解程序框图的含义,填写相应的语句,属于简单题.10.设函数，已知对于内的任意，总存在内的，使得，则的（）A. 最大值为3B. 最小值为3C. 最大值为D. 最小值为【答案】D【解析】【分析】对任意的,总存在使得,得到最大值点和最小值点与之间的关系.再结合周期与最值点之间的关系,求出范围.【详解】因为要满足对任意的,总存在使得，对于则在上的函数值有正值,即可以有正值，要存在使得,则需要有负值.可得一定是大于在上的第一个零点.因此就可以取到最大值,要存在使得,则要可以取到,说明在上取得第一个最小值的点应在的左侧或者恰好落在处所以,即,解得故选D项.【点睛】本题考查三角函数的图像与性质以及量词的理解和使用,有一定的难度,属于中档题.11.已知球表面上的四点满足，，若四面体体积的最大值为，则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据四面体体积的最大值求得四面体高，利用勾股定理列方程，解方程求得球的半径，由此求得球的表面积.【详解】直角三角形的面积为，设四面体的高为，则.由于三角形为直角三角形，斜边，，球心在过中点，且垂直于平面的直线上.设球的半径为，则，解得，故球的表面积为.【点睛】本小题主要考查四面体的体积公式，考查几何体外接球表面积的求法，属于中档题.12.已知是椭圆的右焦点，直线与相交于两点，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直曲联立，构造方程组，解出点坐标，得到长度，再计算出右焦点到直线的距离，得到面积. 【详解】解得，即右焦点到直线的距离为故选C项.【点睛】本题考查直线与椭圆相交时，椭圆弦长的计算，点到直线的距离等，都是基本知识点的运用，属于简单题.二、填空题（将答案填在答题纸上）13.已知向量满足，，则_______．【答案】【解析】【分析】先求得的坐标，再求它的模.【详解】依题意，故.【点睛】本小题主要考查向量的坐标运算，考查向量模的坐标表示，属于基础题.14.一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则这个圆锥的侧面积为______．【答案】【解析】【分析】根据圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，可求出等腰直角三角形的底边长和高，也就是圆锥底面圆的直径和圆锥的高，再算出圆锥的母线长，则圆锥的侧面积等于其展开扇形的面积，得到结果.【详解】因为圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，设圆锥的底面圆半径为，则等腰直角三角形的斜边为，斜边上的高为，所以，得到所以圆锥的母线长，所以圆锥的侧面积等于圆锥沿母线展开的扇形的面积，为【点睛】本题考查立体图形与平面图形的关系，等腰直角三角形的性质，圆锥的侧面积的求法，属于简单题.15.过抛物线的焦点且斜率为1的直线与交于两点，设满足，则______．【答案】2【解析】【分析】通过条件求出的坐标关系，要使，则,构造出关于的方程，解出.【详解】设抛物线的焦点为，且直线斜率为1，所以直线整理得，，即，解得【点睛】本题考查直线和抛物线的关系，设而不求解决的方法解决问题，属于中档题. 16.直线与直线和曲线分别相交于两点，则的最小值_____．【答案】2【解析】【分析】通过图像可以判断出，与的交点在与的交点的左边，求出两点的横坐标，然后做差，得到关于的函数，然后利用导数求出其最小值，【详解】如图，设直线与的交点为,直线与的交点为,则在的左侧，则，所以设，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，取得极小值，也是最小值，故的最小值为【点睛】本题考查函数图像与解析式的结合，数形结合的数学思想，将线段长度表示为函数，利用导数求出函数的最值，综合性比较强，属于难题.三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图，在四边形中，，，的面积为.（1）求；（2）若，，求.【答案】（1）3；（2）．【解析】【分析】（1）根据三角形的面积公式列方程，求得的长，由余弦定理求得的长.（2）先求得，在中利用正弦定理求得的长.【详解】解：（1）由，，得．因为，所以由余弦定理．（2）由（1）知，因为，所以．在△中，由正弦定理得，所以．【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式，考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，属于基础题.18.基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间就风靡全国，带给人们新的出行体验，某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，设月份代码为，市场占有率为，得结果如下表：（1）观察数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明（精确到0.001）；（2）求关于的线性回归方程，并预测该公司2020年4月份的市场占有率；（3）根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购成本分别为1000元/辆和800元/辆的甲、乙两款车型报废年限各不相同，考虑到公司的经济效益，该公司决定先对两款单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频率表如下：经测算，平均每辆单车可以为公司带来收入500元，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且用频率估计每辆单车使用寿命的概率，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，如果你是该公司的负责人，你会选择采购哪款车型？参考数据：，，，回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，.【答案】（1）见解析（2），4月份的市场占有率预报值为23%．（3）见解析【解析】【分析】（1）通过线性回归相关系数的公式，计算得到结果，看是否接近1；（2）利用最小二乘法将回归方程的斜率和截距计算出来，带入2020年4月份代码，得到答案;（3）用频率估计概率，得到每款单车的利润的分布列，算出数学期望，做出判断.【详解】解：（1）由参考数据可得，接近1，所以与之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合．（2）因为，，．，所以关于的线性回归方程为．2020年4月份代码，代入线性回归方程得，于是2020年4月份的市场占有率预报值为23%．（3）用频率估计概率，甲款单车的利润的分布列为（元）．乙款单车的利润的分布列为（元）．以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，故应选择乙款车型．【点睛】本题考查线性相关系数，最小二乘法求线性回归方程，频率估计概率，列分布列求数学期望，属于中档题.19.已知离心率为2的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为.（1）求双曲线的方程；（2）设分别为的左右顶点，为异于一点，直线与分别交轴于两点，求证：以线段为直径的圆经过两个定点.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）根据离心率求得的关系式，利用焦点到渐近线的距离列方程，解方程求得的值，进而求得双曲线方程.（2）设出点的坐标，根据点斜式求得和的方程，进而求得两点的坐标，根据中点坐标和直径长求得圆的方程.令求得两个定点的坐标.【详解】（1）设：，因为离心率为2，所以，．所以的渐近线为，由，得．于是，，故的方程为．（2）设（），因为，，可得直线与方程为，．由题设，所以，，，中点坐标，于是圆的方程为．因为，所以圆的方程可化为．当时，，因此经过两个定点和．【点睛】本小题主要考查双曲线标准方程的求法，考查双曲线的渐近线，考查直线的点斜式方程和圆的标准方程的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.20.如图，直三棱柱中，，，分别为、的中点.（1）证明：平面；（2）已知与平面所成的角为，求二面角的余弦值.【答案】（1）见证明（2）【解析】【分析】解法1：（1）建立空间直角坐标系，利用直线的向量和平面法向量平行证明线面垂直；（2）设，利用与平面所成的角为得到的值，再求出两个面的法向量之间的夹角余弦值，得到二面角的余弦值.解法2：（1）取中点，连接、，易证平面，再证明,可得平面（2）设，利用与平面所成的角为得到的值，再求出两个面的法向量之间的夹角余弦值，得到二面角的余弦值.解法3：（1）同解法2（2）设，利用三棱锥等体积转化，得到到面的距离，利用与平面所成的角为得到与的关系，解出，在两个平面分别找出垂直于交线，得到二面角，求出其余弦值.【详解】解法1：（1）以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系．设，，则，，，，，，，，．因为，，所以，，面，面，于是平面．（2）设平面的法向量，则，，又，，故，取，得．因为与平面所成的角为，，所以，，解得，．由（1）知平面的法向量，，所以二面角的余弦值为．解法2：（1）取中点，连接、,，平面，平面，而平面,平面,平面．为中点，，，，，四边形为平行四边形，．平面．（2）以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系．设，，，则，，．设平面的法向量，则，，又，，故，取，得．因为与平面所成的角为，，所以，，解得，．由（1）知平面的法向量，所以二面角的余弦值为．解法3：（1）同解法2．（2）设，，则，,，，，到平面距离，设到面距离为，由得，即．因为与平面所成的角为，所以，而在直角三角形中，所以，解得．因为平面，平面,所以，平面，平面所以，所以平面，平面,平面所以为二面角的平面角，而,可得四边形是正方形，所以，所以二面角的余弦值为．【点睛】本题考查线面垂直的证明，利用几何关系构造方程求出边的大小，利用空间向量证明线面垂直，求二面角的大小，属于中档题.21.已知设函数.（1）若，求极值；（2）证明：当，时，函数在上存在零点.【答案】（1）取得极大值0，无极小值（2）见证明【解析】【分析】（1）通过求导得到，求出的根，列表求出的单调区间和极值.（2）对进行分类，当时，通过对求导，得到在单调递减，找到其零点，进而得到的单调性，找到，，可证在上存在零点.当时，根据（1）得到的结论，对进行放缩，得到，再由，可证在上存在零点.【详解】（1）当时，，定义域为，由得．当变化时，，的变化情况如下表：故当时，取得极大值，无极小值．（2），．当时，因为，所以，在单调递减．因为，，所以有且仅有一个，使，当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减．所以，而，所以在存在零点．当时，由（1）得，于是，所以．所以．于是．因为，所以所以在存在零点．综上，当，时，函数在上存在零点．【点睛】本题考查利用导数求函数的极值，通过对导函数求导，得到导函数的单调性来判断其正负，得到原函数的增减，再由零点存在定理证明函数存在零点，题目涉及知识点较多，综合程度高，属于难题.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的普通方程为，曲线参数方程为（为参数）；以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为，.（1）求的参数方程和的直角坐标方程；（2）已知是上参数对应的点，为上的点，求中点到直线的距离取得最小值时，点的直角坐标. 【答案】（1）的参数方程为（为参数）；的直角坐标方程为；（2）.【解析】【分析】（1）先将化为标准方程，然后利用圆的参数方程的知识，写出的参数方程.利用倾斜角和斜率的对应关系，求得的直角坐标方程.（2）先求得点的坐标，利用参数表示出出点的坐标，由中点坐标公式求得点坐标，利用点到直线距离公式求得距离的表达式，并利用三角函数的知识求得最小值，并求出点的坐标.【详解】解：（1）化为，所以的参数方程为（为参数）；的直角坐标方程为．（2）由题设，由（1）可设，于是．到直线距离，当时，取最小值，此时点的直角坐标为．【点睛】本小题主要考查直角坐标方程和参数方程互化，考查极坐标方程和直角坐标方程互化，考查中点坐标公式和点到直线的距离公式，属于中档题，解题出破口在于利用参数表示出点的坐标，利用三角函数来求最值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）求的值域；（2）若存在唯一的整数，使得，求的取值范围.【答案】（1）(－，2] ；（2）[1，2)．【解析】【分析】（1）利用零点分段法去绝对值，将表示为分段函数的形式，画出函数图像，根据图像求出函数的最大值，进而求得函数的值域.（2）根据（1）可知，且是不等式的的唯一解，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】解：（1）由f(x)＝，可以画出f(x)图象因此函数f(x)值域为(－，2]．（2）由（1）知，若关于x的不等式f(x)＞a解集非空，则a＜2，且x＝－1是此不等式的解．因为若存在唯一的整数x0，使得f(x0)＞a，由（1）知，解得a≥1．因此a的取值范围为[1，2)．【点睛】本小题主要考查含有两个绝对值的函数值域的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.。
2020届辽宁省丹东市高三总复习阶段测试文科数学试题(附带详细解析)
绝密★启用前 2020届辽宁省丹东市高三总复习阶段测试文科数学试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．复数1i +等于 Ａ．1i + Ｂ．1i -+ Ｃ．1i -- Ｄ.1i - 2．已知集合A ={x |–1<x <2}，B ={x |x >1}，则A ∪B = A ．（–1，1） B ．（1，2） C ．（–1，+∞） D ．（1，+∞） 3．sin75cos75︒︒=（ ） A ．14- B ．C ．14 D 4．从2名男同学，2名女同学共4人中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学中恰好有1名男同学的概率是（ ） A ．34 B ．23 C ．13 D ．14 5．ABC ∆中，D 为BC 的中点，则（ ） A ．2AB AC AD -=u u u r u u u r u u u r B ．2AB AC AD +=u u u r u u u r u u u r C ．AB AC DB DC +=+u u u r u u u r u u u r u u u r D ．AB AC DB DC BC -=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 6．函数()33x x f x -=-是（ ） A ．奇函数，且在R 上是增函数 B ．奇函数，且在R 上是减函数 C ．偶函数，且在()0,∞+上是增函数 D ．偶函数，且在()0,∞+上是减函数 7．已知两个平面α，β相互垂直，l 是它们的交线，则下面结论正确的是（ ）○…………订…………○※※订※※线※※内※※答※※题※※○…………订…………○A．垂直于平面β的平面一定平行于平面αB．垂直于直线l的平面一定平行于平面αC．垂直于平面β的平面一定平行于直线lD．垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直8．已知向量ar，br满足2a=r，1b=r，2a b+=r rar与br的夹角为（）A．30°B．60︒C．120︒D．150︒9．函数()()1f x cosx sinx-＝在[],ππ﹣的图象大致为（）A．B．C．D．10．“()1,x∈+∞”是“x属于函数()()2ln28f x x x=--单调递增区间”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件11．已知当xα=时，函数()sin2cosf x x x=-取得最小值，则cosα=（）A．B．C D12．已知函数()21,0log,0x xf xx x+≤⎧=⎨>⎩，则()1y f f x=+⎡⎤⎣⎦的零点个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题4π⎛⎫…………订………级：___________考号：______…………订………14．已知()f x 为偶函数，当0x <时，()()ln 3f x x x =-+，则()'1f =______ . 15．ABC ∆中，6AC =，2BC AB =，3B π=，则AB =______ . 16．边长为2的等边三角形ABC 的三个顶点A ，B ，C 都在以O 为球心的球面上，若球O 的表面积为883π，则三棱锥O ABC -的体积为_______. 三、解答题17．如图，M 是半圆弧»CD 上异于C ，D 的点，四边形ABCD 是矩形，P 为AM 中点. （1）证明://MC 平面PBD ； （2）若矩形ABCD 所在平面与半圆弧»CD 所在平面垂直，证明:平面AMD ⊥平面BMC . 18．某种产品的质量用其质量指标值来衡量)质量指标值越大表明质量越好,且质量指标值大于或等于102的产品为优质品.现用两种新配方(分别称为A 配方和B 配方)做试验,各生产了100件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果: A 配方的频数分布表: B 配方的频数分布表:（1）分别估计用A 配方、B 配方生产的产品的优质品率; （2）已知用B 配方生产的一件产品的利润(单位:元)与其质量指标值t 的关系为2,942,941024,102t y t t -<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩,估计用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率,并求用B 配方生产的上述100件产品的平均利润.19．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin cos a B A =. （1）求A ；（2）若2b =，3c =，BAC ∠平分线AD 交BC 于点D ，求AD 的长.20．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，满足()()11f x f x -=+．（1）证明：()()4f x f x +=；（2）若()12f =，求式子()()()()12350f f f f +++⋯+的值．21．已知函数()ln xf x ax x =-，曲线()y f x =在1x =处的切线经过点()2,1-.（1）求实数a 的值；（2）证明:()f x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减；（3）设1b >，求()f x 在1,b b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为3πθ=.（1）求1C 的极坐标方程；（2）将曲线2213x y +=上所有点的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的12倍，得到曲线3C ，若2C 与1C 的交点为A （异于坐标原点O ），2C 与3C 的交点为B ，求AB . 23．设函数()232f x x a x a =+++-．（1）当1a =-时，求不等式()3f x ＞的解集； （2）证明：()2f x ≥，并指出等号的成立条件．参考答案1．A【解析】试题分析：()()()21-22+2i ===1+111-2i i i i i i i ++。
辽宁丹东市2020年高三线上教学质量监测(文科)数学试题及答案word
辽宁丹东市2020年高三线上教学质量监测(文科)数学试题一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集U={0, 1, 2, 3, 4},若A={0, 2, 3}, B={2, 3, 4},则()()U U A B ⋂=痧 A.∅ B. {1} C. {0, 2}D. {1, 4} 2.已知i 是虚数单位, a, b ∈R ,则“a=b=1”是“2()2a bi i +=”A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.若AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，(2,4),(1,3AB AC ==u u u r u u u r ),则AD =u u u rA. (3, 7)B. (-3,-7)C. (1, 1)D. (-1,-1)4.一个口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.3，摸出白球的概率是0.2，那么摸出黑球的概率是A.0.4B.0.5C.0.6D.0.955.设2log a e =，b=ln2,123log ,1c =则 A. a<b<c B. b<a<cC. b<c<aD.c<b<a 6.如图所示，是一个空间几何体的三视图，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是A.4πB.7πC.16πD.28π7.已知4cos ,5α=-α∈(-π, 0), 则tan2α= 24.7A 24.7B - 7.24C 7.24D -8.中国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”。
如图，一位古人在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录捕鱼条数，由图可知，这位古人共捕鱼A.89条B.113条C.324条D.445条9.已知m, n 表示两条不同直线, α表示平面，下列说法正确的是A.若m//α, n//α, 则m//nB.若m//α, m ⊥n,则n ⊥αC.若m ⊥α, n ⊂α,则m ⊥nD.若m ⊥α, m ⊥n,则n//α10.将函数cos(2)()22y x ππϕϕ=+-<<的图象向右平移38π个单位长度单位后得函数f(x)图象，若f(x)为偶函数,则A. f(x)在区间[,42ππ-]上单调递减 B. f(x)在区间π[,]42π-匀上单调递增 C. f(x)在区间[,]42ππ上单调递减 D. f(x)在区间[,42ππ]上单调递增 11. 已知直线l: x+ay-1=0是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴,过点A (-4, a)作圆C 的一条切线，切点为B,则|AB|=A.4 .42B C.6 .62D12.函数1在x=1处取得极大值，则实数a 的取值范围为 A. (-∞, -3)B.(-3, +∞)C. (-∞, 3)D. (3, +∞)二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届辽宁省丹东市高三上学期期末教学质量监测数学(文)试题(解析版)
2020届辽宁省丹东市高三上学期期末教学质量监测数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}2230A x x x =--<，{B x y ==，则A B U 等于（ ）A ．(1,3)-B ．[)0,3C ．[0,)+∞D ．(1,)-+∞【答案】D【解析】分别解不等式和求定义域，再求两个集合的并集即可. 【详解】对集合A ，求解不等式2230x x --<， 可得()1,3x ∈-对集合B ，求函数y =可得0x ≥， 故()1,A B ⋃=-+∞. 故选：D. 【点睛】本题考查集合的并运算，涉及二次不等式的求解，函数定义域的求解，属综合基础题. 2．复数z 满足12i z i ⋅=+，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】根据复数的除法运算，求得复数，然后找出其在复平面内对应的点即可. 【详解】因为12i z i ⋅=+，故可得：()()212122i i i z i i i+-+===-- 故其在复平面对应的点的坐标为()2,1- 容易知，其在第四象限. 故选：D. 【点睛】本题考查复数的除法运算，以及复数在复平面内对应的点的求解，属基础题.3．下列命题中真命题的是（ ）A ．命题：若21x =，则1x =或1x =-的逆否命题为：若1x ≠且1x ≠-，则21x ≠B ．“22am bm <”是“a b <”的充要条件C ．若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题D ．对于实数,x y ，:8p x y +≠，:2q x ≠或6y ≠，则p 是q 的必要不充分条件 【答案】A【解析】A. 根据四种命题的结构形式及转化来判断.B.利用特殊值法，当 0m =时，逆命题不成立.C. 若p q ∧为假命题，由结论“一假则假”来判断. D 用等价命题来判断. 【详解】命题：若21x =，则1x =或1x =-的逆否命题为：若1x ≠且1x ≠-，则21x ≠， 故A 正确；若22am bm <，则0m ≠，可得a b <，反之a b <，0m =，22am bm <不成立，故B 错误；若p q ∧为假命题，则p ，q 中至少有一个为假命题，故C 错误；对于实数x ，y ，p ：8x y +≠，q ：2x ≠或6y ≠，由2x =且6y =，可得8x y +=，即p 可得q ，反之由q 推不到p ，则p 是q 的充分不必要条件，故D 错误. 故选：A 【点睛】本题主要考查命题的转化及关系以及逻辑条件，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 4．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足6a ，43a ，5a -成等差数列，则42S S ( ) A ．3 B ．9 C ．10 D ．13【答案】C【解析】设{}n a 的公比为0q >，由645,3,a a a -成等差数列，可得260,0q q q --=>，解得q ，再利用求和公式即可得结果.设各项均为正数的等比数列{}n a 的公比为0q >，Q 满足645,3,a a a -成等差数列，()2465446,6,0a a a a a q q q ∴=-∴=->， 260,0q q q ∴--=>，解得3q =，则()()4124221313131103131a S S a --==+=--，故选C. 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式，属于中档题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a q n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.5．已知抛物线212y x =的焦点与椭圆2212y x m +=的一个焦点重合，则m =（ ）A ．74B ．12764C ．94D ．12964【答案】C【解析】∵ 抛物线212y x =的焦点为1(0)2， ∴2112()24m -== ∴94m = 故选C 6．函数()()23ln 1x f x x+=的大致图象是A ．B ．C ．D ．【解析】利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断. 【详解】由题意可知函数()f x 为奇函数，可排除B 选项； 当x 0<时，()0f x ＜，可排除D 选项； 当x 1=时，()12f ln =，当x 3=时，ln10ln10(3),ln 22727f =>， 即()()1?3f f ＞，可排除C 选项， 故选：A 【点睛】本题考查了函数图象的判断，函数对称性的应用，属于中档题．7．要得到函数3y x =的图象，只需将函数sin 3cos3y x x =+的图象（ ）A ．向右平移34π个单位长度 B ．向右平移2π个单位长度 C ．向左平移个4π单位长度 D ．向左平移个2π单位长度 【答案】C【解析】根据三角函数解析式之间的关系即可得到结论. 【详解】因为sin3cos334y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以将其图象向左平移4π个单位长度，可得()3344y x x x πππ⎡⎤⎛⎫=++=+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选C. 【点睛】该题考查的是有关图象的平移变换问题，涉及到的知识点有辅助角公式，诱导公式，图象的平移变换的原则，属于简单题目.8．《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座阁楼到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个.若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为（ ） A ．1191077B ．160359C ．9581077D ．289359【答案】C【解析】首先明确两类灯球的个数，再利用古典概型及对立事件求出结果． 【详解】设一大二小与一大四小的灯球数分别为,x y ，则360241200x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得120240x y =⎧⎨=⎩，若随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是一大四小的概率为2120236095811077C C -=. 故选C 【点睛】本题以古文化为背景，考查了古典概型公式，考查了对立事件的概念，考查了学生逻辑推理能力及运算能力，属于基础题．9．设2log 3a =，3log 4b =，5log 8c =，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】B【解析】b 和c 的比较，将327lg 64log 4log 64lg 27b ===，525lg 64log 8log 64lg 25c ===转化比较， a 和c 的比较找中间数32， 分别作差比较.，最后得到结论. 【详解】因为327lg 64log 4log 64lg 27b ===，525lg 64log 8log 64lg 25c ===， 又因为lg 640>，0lg 25log 27<<， 所以b c <. 又因为223233log 3log 22-=， 因3232>，故32312>，所以23log 302->即. 32a >又553233log 8log 25-=， 因3285<，故328015<<，所以53log 802-<.即32c < 所以a c > 故a c b >>. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了对数的转化及比较大小，还考查了转化化归运算比较的能力，属于中档题.10．函数()f x 是奇函数，且在∞（0，+）内是增函数，(3)0f -=，则不等式()0xf x <的解集为（ ） A ．∞U （-3,0）（3，+） B ．∞U （-，-3）（0,3） C ．∞∞U （-，-3）（3，+） D ．U （-3,0）（0,3）【答案】D【解析】易判断f （x ）在（-∞，0）上的单调性及f （x ）图象所过特殊点，作出f （x ）的草图，根据图象可解不等式． 【详解】∵f （x ）在R 上是奇函数，且f （x ）在（0，+∞）上是增函数， ∴f （x ）在（﹣∞，0）上也是增函数， 由f （-3）＝0，得f （﹣3）＝﹣f （3）＝0， 即f （3）＝0，作出f （x ）的草图，如图所示：由图象，得()0xf x <()()0000x x f x f x ><⎧⎧⇔⎨⎨<>⎩⎩或 解得0＜x ＜3或﹣3＜x ＜0，∴xf （x ）＜0的解集为：（﹣3，0）∪（0，3）， 故选：D ． 【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查数形结合思想，灵活作出函数的草图是解题关键．11．直线过抛物线24y x =的焦点且与抛物线交于,两点，若线段,AF BF 的长分别为,m n ，则4m n +的最小值是（ ） A ．10 B ．9C ．8D ．7【答案】B【解析】由题意结合抛物线焦点弦的性质结合均值不等式的结论求解4m n +的最小值即可. 【详解】由抛物线焦点弦的性质可知：1121m n p+==， 则()1144445529m n m n m n m n m n n m n m ⎛⎫+=++=++≥+⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当3,32m n ==时等号成立. 即4m n +的最小值是9. 本题选择B 选项. 【点睛】本题主要考查抛物线焦点弦的性质，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的外接球体积为323π，则h ＝（ ）A．13B．26C．23D．3【答案】C【解析】由三视图知几何体为三棱锥，且底面是等腰直角三角形，三棱锥的一条侧棱与底面垂直，画出其直观图，将其补成直棱柱，根据正视图、俯视图都是等腰直角三角形，通过外接球的体积，求出半径，然后求解棱锥的高h.【详解】由三视图知几何体为三棱锥，且三棱锥的一个侧面与底面垂直，其直观图如图：∵正视图和俯视图都是等腰直角三角形，知棱DB和底面垂直，可以将该棱锥补成直三棱柱，如图所示：可知其球心在上下底面外心连线的中点处，因为底面为直角三角形，所以其外心为斜边的中点，所以GH 的中点即为其外接球的球心，因为该几何体的外接球体积为323π， 所以外接球的体积343233V r ππ=⨯=,2r =， 所以有22()12h r =+，解得23h =． 故选C ． 【点睛】本题考查了由三视图求几何体外接球的问题，解题的关键是根据三视图判断几何体的形状，根据有一条侧棱和底面垂直，将棱锥补成直棱柱来求解，根据题中所给的体积，求得外接球的半径，构造直角三角形，从而求得棱锥的高.二、填空题13．已知向量(1,)a k =v，(9,6)b k =-v ，若//a b v v ，则k =_________．【答案】【解析】试题分析：由于//a b rr，所以()122169860x y x y k k k -=--=--=，解得34k =-．【考点】向量共线坐标表示的应用．14．二项式5的展开式中常数项为__________． 【答案】10-．【解析】试题分析：由二项式定理可知，二项式展开的第1r +项为5552326155(1)(1)r rr r rr rr T C xC x---+=-=-，令55026r -=，则3r =，∴335(1)10A C =-=-．【考点】二项式定理．15．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =，1(1)(1)n n n a n S ++=-，则n S =__________．【答案】12n n- 【解析】化简()()111n n n a n S ++=-得()112n nn S nS ++=，即{}n nS 是等比数列，然后求出n S 的值 【详解】()()111n n n a n S ++=-Q ，11n n n na S nS ++∴+=，()11n n n n n S S S nS ++∴-+=，()112n nn S nS ++∴=，{}n nS ∴是首项为1，公比为2的等比数列，则12n n nS -=，12n n S n-∴=. 【点睛】本题考查了求数列的前n 项的和，结合条件进行化简，构造出新的数列是等比数列，然后求出等比数列的通项公式，继而求出结果16．在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国要在a 、b 、c 三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会国入住，则这样的安排方法共有_________（填具体数字） 【答案】150【解析】根据题意，先确定两种分配方案，一种是按照1、1、3；另一种是1、2、2，然后每一种确定分组方法，最后这两种分别全排列再求和. 【详解】根据题意，分2步进行分析：①五个参会国要在a 、b 、c 三家酒店选择一家，且这三家至少有一个参会国入住， ∴可以把5个国家人分成三组，一种是按照1、1、3；另一种是1、2、2 当按照1、1、3来分时共有3510C =种分组方法；当按照1、2、2来分时共有22532215C C A =种分组方法；则一共有101525+=种分组方法； ②将分好的三组对应三家酒店，有336A =种对应方法；则安排方法共有256150⨯=种.【点睛】本题主要考查了组合中的分组分配问题，还考查了分类，分步的逻辑思维能力，属于中档题.三、解答题17．在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且()()3a b c a b c ab +++-=. （1）求角C 的值；（2）若2c =，且ABC ∆为锐角三角形，求+a b 的取值范围. 【答案】(1) 3C π=.(2) .【解析】（1）根据题意，由余弦定理求得1cos 2C =，即可求解C 角的值； （2）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到4sin 6a b A π⎛⎫+=+⎪⎝⎭，再根据ABC ∆为锐角三角形，求得62A ππ<<，利用三角函数的图象与性质，即可求解.【详解】（1）由题意知()()3a b c a b c ab +++-=，∴222a b c ab +-=，由余弦定理可知，222cos 122a b c C ab +-==，又∵(0,)C π∈，∴3C π=.（2）由正弦定理可知，2sin sin sin 3a b A Bπ===，即,a A b B ==∴sin )a b A B +=+2sin sin 3A A π⎤⎛⎫=+- ⎪⎥⎝⎭⎦2cos A A =+4sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又∵ABC ∆为锐角三角形，∴022032A B A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，即，则2363A πππ<+<，所以4sin 46A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，综上+a b的取值范围为. 【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.18．在某区“创文明城区”(简称“创城”)活动中，教委对本区A ，B ，C ，D 四所高中校按各校人数分层抽样调查，将调查情况进行整理后制成如表：(注：参与率是指：一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值)假设每名高中学生是否参与“创城”活动是相互独立的．(Ⅰ)若该区共2000名高中学生，估计A 学校参与“创城”活动的人数；(Ⅱ)在随机抽查的100名高中学生中，从A ，C 两学校抽出的高中学生中各随机抽取1名学生，求恰有1人参与“创城”活动的概率；(Ⅲ)若将表中的参与率视为概率，从A 学校高中学生中随机抽取3人，求这3人参与“创城”活动人数的分布列及数学期望． 【答案】（Ⅰ）800；（Ⅱ）1350；（Ⅲ）详见解析. 【解析】(Ⅰ)由分层抽样性质估计A 学校参与“创城”活动的人数．(Ⅱ)设事件A 表示“抽取A 校高中学生，且这名学生参与‘创城’活动”，事件C 表示“抽取C 校高中学生，且这名学生参与‘创城’活动”，则所求概率为：()()()()()P P AC AC P A P C P A P C =+=+，由此能求出结果．(Ⅲ)将表中的参与率视为概率，从A 学校高中学生中随机抽取3人，这3人参与“创城”活动人数43,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭～，可求这3人参与“创城”活动人数的分布列及数学期望． 【详解】解：(Ⅰ)该区共2000名高中学生，由分层抽样性质估计A 学校参与“创城”活动的人数为：5040200080010050⨯⨯=． (Ⅱ)设事件A 表示“抽取A 校高中学生，且这名学生参与‘创城’活动”，事件C 表示“抽取C 校高中学生，且这名学生参与‘创城’活动”， 则从A ，C 两学校抽出的高中学生中各随机抽取1名学生，恰有1人参与“创城”活动的概率：()()()()()P P AC AC P A P C P A P C =+=+41191351051050=⨯+⨯=． (Ⅲ)将表中的参与率视为概率，从A 学校高中学生中随机抽取3人，这3人参与“创城”活动人数43,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭～， ()033110()5125P X C ===，()12341121()55125P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()22341482()55125P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()3334643()5125P X C ===，X ∴的分布列为：P112512125481256412543,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭Q ～，()412355E X ∴=⨯=．【点睛】本题考查频数、概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布、相互独立事件概率乘法公式、分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 19．已知四棱锥中P ABCD -，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，E 、M 分别是BC 、PD 上的中点，直线EM 与平面PAD 所成角的正弦值为15，点F 在PC 上移动.（Ⅰ）证明：无论点F 在PC 上如何移动，都有平面AEF ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求点F 恰为PC 的中点时，二面角C AF E --的余弦值. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）155. 【解析】（Ⅰ）推导出AE ⊥P A ，AE ⊥AD ，从而AE ⊥平面P AD ，由此能证明无论点F 在PC 上如何移动，都有平面AEF ⊥平面P AD ．（Ⅱ）以A 为原点，AE 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C ﹣AF ﹣E 的余弦值． 【详解】 （Ⅰ）连接AC∵底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒， ∴ABC ∆是正三角形， ∵E 是BC 中点，∴AE BC ⊥ 又AD BC P ，∴AE AD ⊥∵PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ， ∴PA AE ⊥，又PA AE A ⋂= ∴AE ⊥平面PAD ，又AE ⊂平面AEF ∴平面AEF ⊥平面PAD .（Ⅱ）由（Ⅰ）得，AE ，AD ，AP 两两垂直，以AE ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，∵AE ⊥平面PAD ，∴AME ∠就是EM 与平面PAD 所成的角， 在Rt AME ∆中，sin 5AME ∠=，即2AE AM =， 设2AB a =，则AE =，得AM =，又2AD AB a ==，设2PA b =，则()0,,M a b ，所以AM =， 从而b a =，∴2PA AD a ==， 则()0,0,0A，),,0Ba -，),,0Ca ，()0,2,0D a ，()0,0,2P a ，),0,0E，,2a F a ⎫⎪⎪⎝⎭，所以),0,0AE =u u u v，,,22a AF a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u v，(),3,0BD a u u u v=，设(),,n x y z v是平面AEF 一个法向量，则00n AE n AF ⎧⋅=⇒⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v022ayaz ⎧=++=⎩取z a =，得()0,2,n a a =-v又BD ⊥平面ACF ，∴(),3,0BD a u u u v=是平面ACF 的一个法向量，∴cos ,n BD n BD n BDu u u v v u u u v vu u uv v ⋅==⋅25=- ∴二面角C AF E --.【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，M 是椭圆C 的上顶点，1F ，F2是椭圆C 的焦点，12MF F ∆的周长是6． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过动点P （1，t ）作直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|PA|=|PB|，过P 作直线l ，使l 与直线AB 垂直，证明：直线l 恒过定点，并求此定点的坐标．【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）详见解析. 【解析】（Ⅰ）由题得到关于a,b,c 的方程组，解方程组即得椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）当直线AB 斜率存在，设AB 的直线方程为()1y t k x -=-，进一步求出直线的方程为114y x k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以直线l 恒过定点1,04⎛⎫⎪⎝⎭.当直线AB 斜率不存在时，直线AB 的方程为1x =，此时直线l 为x 轴，也过1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭.综上所述直线l 恒过点1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【详解】解：（Ⅰ）由于M 是椭圆C 的上顶点，由题意得226a c +=， 又椭圆离心率为12，即12c a =， 解得2a =，1c =，又2223b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程22143x y +=．（Ⅱ）当直线AB 斜率存在，设AB 的直线方程为()1y t k x -=-，联立()2234121x y y t k x ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩，得()()()2223484120k x k t k x t k ++-+--=，由题意，>0∆， 设()()1122,,,A x y B x y ，则()122834-+=-+k t k x x k ，因为PA PB =，所以P 是AB 的中点．即1212x x +=，得()28234--=+k t k k ， 340kt += ①又l AB ⊥，l 的斜率为1k-， 直线l 的方程为()11y t x k-=-- ② 把①代入②可得：114y x k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭所以直线l 恒过定点1,04⎛⎫⎪⎝⎭. 当直线AB 斜率不存在时，直线AB 的方程为1x =， 此时直线l 为x 轴，也过1,04⎛⎫⎪⎝⎭. 综上所述直线l 恒过点1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查椭圆中直线的定点问题，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 21．已知函数2()8ln ().f x x x a x a R =-+∈（1）当1x =时，()f x 取得极值，求a 的值并判断1x =是极大值点还是极小值点； （2）当函数()f x 有两个极值点1212,(),x x x x <且11x ≠时，总有21111ln (43)1a x t x x x >+--成立，求t 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）6a =，1x =为极大值点（Ⅱ）1t ≤-.【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，求出a 的值，得到函数的单调区间，求出函数的极值点即可；（Ⅱ）求出函数极值点，问题转化为111x x -[2lnx 1211(1)t x x -+]＞0，根据0＜x 1＜1时，111x x -＞0.1＜x 1＜2时，111x x -＜0．即h （x ）＝2lnx 2(1)t x x-+（0＜x ＜2），通过讨论t 的范围求出函数的单调性，从而确定t 的范围即可． 【详解】（Ⅰ）()228(0)x x a f x x x-+=>'，()10f '=，则6a =从而()()()213(0)x x f x x x--=>'，所以()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 为增函数； ()1,3x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数，所以1x =为极大值点.（Ⅱ）函数()f x 的定义域为()0,+∞，有两个极值点1x ，212()x x x <，则()2280t x x x a =-+=在()0,+∞上有两个不等的正实根，所以08a <<，由12121242x x a x x x x +=⎧⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩可得()1110224x a x x <<⎧⎨=-⎩ 从而问题转化为在102x <<，且11x ≠时()21111ln 431a x t x x x >+--成立.即证()()111211124ln 431x x x t x x x ->+--成立.即证()11112ln 11x x t x x >+- 即证()11112ln 101x xt x x -+>-亦即证()21111112ln 01t x x x x x ⎡⎤-⎢⎥+>-⎢⎥⎣⎦. ①令()()212ln (02)t x h x x x x-=+<<则()222(02)txx th x x x++<<'= 1)当0t ≥时，()0h x '>，则()h x 在()0,2上为增函数且()10h =，①式在()1,2上不成立.2)当0t <时，244t ∆=-若0∆≤，即1t ≤-时，()0h x '≤，所以()h x 在()0,2上为减函数且()10h =，111x x -、()211112ln t x x x -+在区间()0,1及()1,2上同号，故①式成立. 若0∆>，即10t -<<时，22y tx x t =++的对称轴11x t=->，令1min ,2a t ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，则1x a <<时，()0h x >，不合题意. 综上可知：1t ≤-满足题意. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,2sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），已知点(4,0)Q ，点P 是曲线1C 上任意一点，点M 为PQ 的中点，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求点M 的轨迹2C 的极坐标方程；（2）已知直线l ：y kx =与曲线2C 交于,A B 两点，若3OA AB =u u u v u u u v，求k 的值. 【答案】（1）24cos 30ρρθ-+=；（2）k =【解析】（1）设()2cos ,2sin P θθ，(),M x y ，且()4,0Q ，由M 为PQ 的中点，得x=2cos θ+，y= sin θ，整理得()2221x y -+=，化为极坐标即可；（2）把直线l ：y kx =化成极坐标方程为θα=，设()1,A ρα，()2,B ρα，因为3OA AB =u u u v u u u v ，得43OA OB =u u u v u u u v，即1243ρρ=， 联立2430,,cos ρρθθα⎧-+=⎨=⎩，得7cos 8α=，代入2221tan 1cos k αα==-即可. 【详解】（1）设()2cos ,2sin P θθ，(),M x y .且点()4,0Q ，由点M 为PQ 的中点，所以2cos 42,22sin ,2x cos y sin θθθθ+⎧==+⎪⎪⎨⎪==⎪⎩整理得()2221x y -+=.即22430x y x +-+=， 化为极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=.（2）设直线l ：y kx =的极坐标方程为θα=.设()1,A ρα，()2,B ρα，因为3OA AB =u u u v u u u v，所以43OA OB =u u u v u u u v，即1243ρρ=.联立2430,,cos ρρθθα⎧-+=⎨=⎩整理得24cos 30ραρ-⋅+=.则1212124,3,43,cos ρραρρρρ+=⎧⎪=⎨⎪=⎩解得7cos 8α=.所以222115tan 1cos 49k αα==-=，则k =±【点睛】本题考查了相关点代入法求轨迹的方法，极坐标方程的应用，属于中档题. 23．已知函数()121f x ax x =++- （1）当1a =时，求不等式()3f x >的解集； （2）若02a <<，且对任意x ∈R ，3()2f x a≥恒成立，求a 的最小值． 【答案】（1）(,1)(1,)-∞-+∞U ；（2）1．【解析】(1) 当1a =时，求出分段函数()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，然后可以选择数形结合求解或选择解不等式组；(2)当02a <<时，化简分段函数得()()()()12,,11 12122,,212,2a x x a f x ax x a x x a a x x ⎧-+<-⎪⎪⎪=++-=-+-≤≤⎨⎪⎪+>⎪⎩可以得到函数()f x 在1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在11,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，然后利用最值分析法，即可求出参数a 的最小值.【详解】（1）当1a =时，()121f x x x =++-，即()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩， 解法一：作函数()121f x x x =++-的图象，它与直线3y =的交点为()()1,3,1,3A B -，所以，()3f x >的解集的解集为()(),11,-∞-⋃+∞．解法2：原不等式()3f x >等价于133x x <-⎧⎨->⎩ 或11223x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪-+>⎩ 或1233x x ⎧>⎪⎨⎪>⎩，解得：1x <-或无解或1x >，所以，()3f x >的解集为()(),11,-∞-⋃+∞．（2）1102,,20,202a a a a <<∴-+-<Q ． 则()()()()12,,1112122,,212,2a x x a f x ax x a x x a a x x ⎧-+<-⎪⎪⎪=++-=-+-≤≤⎨⎪⎪+>⎪⎩所以函数()f x 在1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在11,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． 所以当12x =时，()f x 取得最小值，()min 1122a f x f ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭． 因为对x R ∀∈，()32f x a ≥恒成立， 所以()min 3122a f x a=+≥． 又因为0a >，所以2230a a +-≥， 解得1a ≥ （3a ≤-不合题意）．所以a 的最小值为1．【点睛】本题第一问考查通过利用绝对值不等式的关系转化成分段函数进行求解的题目，求解的过程既可用数形结合，也可以用不等式组求解，属于简单题；第二问考查含参绝对值不等式求解参数的最值问题，因为本题的参数不容易分离，所以，选择最值分析法进行讨论求解，难度属于中等.。
辽宁省丹东市2020届高三文科数学(一)答案
从字母 a，b，c，d，e 中任取两个不同字母，所有可能的情形有 10 种： (a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)． 其中取到字母 a 的情形有 4 种：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)．
由题设边形 ABCD 是直角梯形，其中 AB＝5，BC＝5，CD＝3，CA＝1， CA 在直线 y
＝1 上，将四边形 ABCD 绕直线 y＝1 旋转一周，所得到几何体是底面半径为 3，母线为 5
的圆柱内去掉一个底面半径为 3 母线为 5 的圆锥余下部分，其的表面积为 π32＋2π×3×5＋
π×3×5＝54π．
sinω(x＋1)cosω(x＋1)＝12sin2ω(x＋1)＝12sinπ4(x＋1)
当 x∈[0，1]时，π4(x＋1)∈[π4，π2]；当 x∈[1，2]时，π4(x＋1)∈[π2，34π]．
所以函数 y＝12sinπ4(x＋1)在区间[0，2]上先单调递增，后单调递减函数，选 C． 11．解：
由 a(1＋0.033)n≥2a，得 nln(1＋0.033)≥ln2，有 n≥ ln(1＋ln20.033)，由题设的近似等式
100×700.033≈21.212．所以 n≥21.212，至少需经 22 年．
15．解：
设 C 的准线与 x 轴相交于点 E，过 A 作 C 的准线的垂线，
垂足为 A1．因为 A，F，B 三点共线，由题设 F 为 AB 的中点， 所以|AF|＝|AA1|＝2|EF|＝12． 16．解：
2020届辽宁省丹东市高三上学期期末教学质量监测数学(理)试题(PDF版)
由已知得 O(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，－2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2 3)，→ AP ＝(0，2，2 3)．
则 A＝
．
页
2第
15．设 F 为双曲线 C：ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆 x2＋y2＝a2
交于 P，Q 两点，若|PQ|＝|OF|，则 C 的渐近线方程为
．
16．已知正三棱柱 ABC－A1B1C1 的六个顶点都在球 O 的表面上，AB＝3，异面直线 AC1 与 BC 所成角的余
100 110 120 130 140 150 需求量 X(t)
000 000
（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作
000 000
为需求量取该区间中点值的概率，例如：若 X∈[100，110)，则取 X＝105，且 X＝105 的概率等于需求量落
入[100，110）的概率．求利润 T 的数学期望．
D．56π
A．如果 m⊥α，n∥α，那么 m⊥n．
B．如果 α∥β，m α，那么 m∥β．
C．如果 m⊥n，m⊥α，n∥β，那么 α⊥β． D．如果 α 内有两条相交直线与 β 平行，那么 α∥β． 9．甲乙两队进行排球决赛，赛制为 5 局 3 胜制，若甲乙两队水平相当，则最后甲队以 3:1 获胜的概率为
面 CDE，于是 CD⊥PA．
所以∠CDE 是二面角 M－PA－C 的平面角．
D
因为二面角 M－PA－C 为 30°，所以∠CDE＝30°．
在正三角形 PAC 中，CD＝2 3，所以 CE＝C2D＝ 3．
所以 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值为PC3
2020年辽宁省丹东市高考数学一模试卷(理科)(有答案解析)
2020年辽宁省丹东市高考数学一模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x∈N|（x-2）（x-4）≤0}，B={x|x≤3），则A∩B=（）A. B. C. D.2.若i•z=（1+2i）2，则复数z对应的点位于复平面的（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.设等比数列{a n}的前n项和为S n，且S2=3a1，则公比q=（）A. B. C. 2 D. 34.已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：根据该折线图可知，下列说法错误的是（）A. 该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高B. 该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低C. 该超市2018年1～6月分的总收益低于2018年7～12月份的总收益D. 该超市2018年7～12月分的总收益比2018年1～6月份的总收益增长了90万元5.（x-）5的展开式中x3的系数为（）A. B. -5 C. 5 D.6.我国明代伟大数学家程大位在《算法统综》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明，”意思是：九节竹的盛米容积成等差数列，其中的“三升九”指3.9升，则九节竹的中间一节的盛米容积为（）A. 0.9升B. 1升C. 1.1升D. 2.1升7.已知函数f（x）=ln，则（）A. 是奇函数,且在上单调递增B. 是奇函数,且在上单调递减C. 是偶函数,且在上单调递增D. 是偶函数,且在上单调递减8.学校组织学生参加社会调查，某小组共有3名男同学，4名女同学，现从该小组中选出3名同学分别到甲乙丙三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同的安排方法有（）A. 30种B. 60种C. 180种D. 360种9.计算机在数据处理时使用的是二进制，例如十进制数1，2，3，4的二进制数分别表示为1，10，11，100．二进制数…dcba化为十进制数的公式为…dcba=a•20+b•21+c•22+d．•23+…例如二进制数11等于十进制数1•20+1•21=3，又如二进制数101等于十进制数1•20+0•21+1•22=5．如图是某同学设计的将二进制数11111化为十进制数的程序框图，则判断框内应填入的条件是（）A. i≤5B. i＞5C. i≤4D. i＞410.设函数f（x）=sinωx（ω＞0），已知对于[0，]内的任意x1，总存在[0，]内的x2，使得f（x1）+f（x2）=0，则ω的（）A. 最大值为3B. 最小值为3C. 最大值为D. 最小值为11.已知球O表面上的四点A，B，C，D满足AC=BC=，∠ACB=90°，若四面体ABCD体积的最大值为，则球O的表面积为（）A. B. C. π D.12.已知是椭圆的右焦点，直线与相交于两点，则的面积为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，满足=（1，-1），+=（3，1），则||=______．14.一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则这个圆锥的侧面积为______．15.过抛物线C：y2=4x的焦点且斜率为1的直线与C交于A，B两点，设M（-1，m）满足∠AMB=90°，则m=______．16.直线y=m与直线y=2x+3和曲线y=ln2x分别相交于A，B两点，则|AB|的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在四边形ABCD中，∠B=，AB=，△ABC的面积为．（1）求AC；（2）若BC⊥CD，∠D=，求AD．18.基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验，某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，设月份代码为x，市场占有率为y（%），得结果如表年月2018.102018.112018.122019.12019.22019.3x123456y111316152021（）观察数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明（精确到0.001）：（2）求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2019年4月份的市场占有率；（3）根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购成本分别为1000元/辆和800元/辆的甲，乙两款车型报年限各不相同．考虑到公司的经济效益，该公司决定先对两款单车各车型1年2年3年4年总计报废年限甲款10304020100乙款15403510100经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入500元，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且用频率估计每单车使用寿命的概率，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据．如果你是该公司的负责人，你会选择采购哪款车型？参考数据（x i）2=17.5，（y i）2=76，（x i）（y i）=35，≈36.5参考公式：相关系数r=回归方程=x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=，=19.已知离心率为2的双曲线C的一个焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为．（1）求双曲线C的方程；（2）设A1，A2分别为C的左右顶点，P为C上异于A1，A2一点，直线A1P与A2P分别交y轴于M，N两点，求证：以线段MN为直径的圆D经过两个定点．20.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC，D，E分别为AA1、B1C的中点．（1）正明：DE⊥平面BCC1B1；（2）已知B1C与平面BCD所成的角为30°，求二面角D-BC-B1的余弦值．21.己知设函数f（x）=ln（x+2）-（x+1）e ax．（1）若a=0，求f（x）极值；（2）证明：当a＞-1，a≠0时，函数f（x）在（-1，+∞）上存在零点．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的普通方程为x2+y2-4x+2y+4=0，曲线C2参数方程为（α为参数）；以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ=，ρ∈R．（1）求C1的参数方程为和l的直角坐标方程；（2）已知P是C2上参数α=对应的点，Q为C1上的点，求PQ中点M到直线l的距离取最小值时，点Q的直角坐标．23.已知函数f（x）=|x-1|-|2x+2|．（1）求f（x）值域；（2）若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＞a，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题考查了交集的运算，属于基础题．求出A中不等式的解集确定出A与B，求出A与B的交集．解析：解：由A中不等式：（x-2）（x-4）≤0，解得：2≤x≤4，又x∈N，则A={2，3，4}，由B中不等式知：x≤3，∴A∩B={2，3}．故选D．2.答案：A解析：解：依题意，i•z=（1+2i）2，所以z=（-i）（1+2i）2=4+3i，所以复数z对应的点位于复平面的第一象限．故选：A．i•z=（1+2i）2，所以z=（-i）（1+2i）2=4+3i，即可得到结论．本题考查了复数的代数形式的运算，复数的几何意义，属于基础题．3.答案：C解析：解：∴S2=a1+a2=a1+a1q=3a1，又∵a1≠0∴1+q=3，∴q=2．故选：C．将原式转化成用a1和q表达的算式，即可得到结果．本题考查了等比数列的前n项和，为基础题．4.答案：D解析：解：该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高，故A正确，该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低，故B正确，该超市2018年1～6月分的总收益为20+30+20+10+30+30=140万元，2018年7～12月份的总收益60+40+30+30+50+30=240万元，故C正确，由240-140=100，故D错误，故选：D．根据折线统计图即可判断．本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．5.答案：A解析：解：（x-）5的展开式中的通项公式为C5r（-）r x5-2r，令5-2r=3，解得r=1，则（x-）5的展开式中x3的系数为C51（-）=-，故选：A．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得展开式中x3的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．6.答案：B解析：解：解：设从下至上各节容积分别为a1，a2，…，a9，则{a n}是等差数列，设公差为d，由题意得．解得a1=1.4，d=-0.1，a5=a1+4d=1.4-0.4=1升．故选：B．设从下至上各节容积分别为a1，a2，…，a9，则{a n}是等差数列，设公差为d，由题意利用等差数列通项公式列出方程组，由此能求出中间两节的容积．本题考查等差数列在生产生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．属于基础题．7.答案：C解析：【分析】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握函数奇偶性、单调性的定义，属于基础题．根据题意，求出函数的定义域，分析可得f（-x）=f（x），即可得函数f（x）为偶函数，设t=，y=ln t，结合复合函数单调性的判断方法分析可得函数的单调性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）=ln，其定义域为R，有f（-x）=ln=ln=f（x），则函数f（x）为偶函数，设t=，则y=ln t，对于t=，则导数t′=，当x＞0时，t′＞0，即函数t=在区间（0，+∞）上为增函数，又由y=ln t在区间（0，+∞）上为增函数，根据复合函数单调性判断原则，则函数f（x）=ln在（0，+∞）上为增函数，故选：C．8.答案：C解析：【分析】本题考查利用排列组合解决实际问题，考查分类求满足条件的组合数，是一个基础题.满足条件的事件是选出的3位同学中男女都有，包括两种情况，①一男两女，②一女两男，用组合数写出事件数，分别到A，B，C三地进行社会调查，利用乘法原理可得结论．【解答】解：由题意，满足条件的事件是选出的3位同学中男女都有，包括两种情况，一是一男两女，二是一女两男，共有C31C42+C32C41=30，分别到A，B，C三地进行社会调查，有A33=6，故共有30×6=180种．故选：C．9.答案：D解析：解：11111=1×20+1×21+1×22+1×23+1×24=1+2+4+8+16=31，i=1时，S=2+1=3，i=2时，S=2×3+1=7，i=3时，S=2×7+1=15，i=4时，S=2×15+1=31，此时i=5，满足条件，输出S=31，即i=4不满足条件．，i=5满足条件．即判断条件为i＞4，故选：D．先求出二进制对应的十进制数为31，结合程序框图进行模拟运算即可得到结论．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用条件进行模拟运算是解决本题的关键．10.答案：D解析：【分析】本题考查三角函数的零点的存在性的讨论，正弦函数的图象的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于中档题．首先根据函数的零点的存在性，要存在x2使得f（x1）+f（x2）=0，则f（x2）为负值．进一步利用函数的周期性求出结果．【解答】解：对于[0，]内的任意x1，总存在[0，]内的x2，使得f（x1）+f（x2）=0，对于f（x）=sinωx（ω＞0），则在[0，]上的函数值有正值，即f（x1）可以有正值，要存在x2使得f（x1）+f（x2）=0，则f（x2）为负值．所以一定是大于f（x）=sinωx（ω＞0）在x∈（0，+∞）上的第一个零点，因此f（x1）就可以取到最大值．要存在f（x2）使得f（x1）+f（x2）=0，则f（x2）就可以取到-1．说明f（x）在x＞0上取得第一个最小值的点应在的左侧或者恰好落在处，所以，即，解得．故选：D．11.答案：A解析：【分析】本题考查多面体外接球表面积与体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．由题意画出图形，可知当平面ABD与平面ABC垂直时，四面体ABCD体积最大，求出D到底面ABC 的距离，设外接球半径为r，再由勾股定理列式求得r，则答案可求．【解答】解：如图，当平面ABD与平面ABC垂直时，四面体ABCD体积最大，由AC=BC=，∠ACB=90°，得，即DG=2，设四面体ABCD的外接球半径为r，则r2=（2-r）2+12，解得r=．∴球O的表面积为．故选：A．12.答案：C解析：【分析】本题考查直线与椭圆方程的应用，考查转化思想的应用，是基本知识的考查．联立直线与椭圆方程，求出M，N的坐标，求出MN，然后求解三角形的面积．【解答】解：联立直线与椭圆方程：解得或，即，∴，右焦点到直线的距离为，∴．故选：C．13.答案：解析：解：；∴．故答案为：．根据条件即可求出的坐标，从而得出．考查向量的数乘运算，向量坐标的减法运算，根据向量坐标求向量长度的方法．14.答案：解析：解：如图，根据题意，三角形SAB为等腰直角三角形且面积为1，所以，所以圆锥的母线长l=SB=，所以圆锥的底面半径r=l×sin45°=1，所以圆锥的侧面积为S侧=π×l×r=π，故答案为：．根据题意，求出圆锥底面半径和圆锥的母线长，即可得到圆锥的侧面积．本题考查了圆锥的侧面积，考查了圆锥的轴截面的应用．属于基础题．15.答案：2解析：【分析】本题主要考查了直线与圆锥曲线的相交关系的应用问题，也考查了根与系数应用问题，是中档题．求出过A，B两点的直线方程，与抛物线方程联立，消去y得关于x的方程，利用根与系数的关系求得x1+x2，x1x2，y1+y2，y1y2，利用∠AMB=90°，向量的数量积为0，代入整理可求m的值．【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），则过A，B两点的直线方程为y=x-1，联立，可得x2-6x+1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=6，x1x2=1，∴y1+y2=x1+x2-2=4，y1y2=（x1-1）（x2-1）=x1x2-（x1+x2）+1=-4，又M（-1，m），∴=（x1+1，y1-m)，=（x2+1，y2-m），∵∠AMB=90°，∴•=0；∴（x1+1）（x2+1）+（y1-m）（y2-m）=0，整理可得，x1x2+（x1+x2）+y1y2-m（y1+y2）+m2+1=0，∴1+6-4-4m+m2+1=0，即m2-4m+4=0，解得m=2．故答案为2．16.答案：2解析：【分析】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、曲线的交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．由直线y=2x+3=m，y=ln2x=m，分别解得x．可得|AB|=e m-=f（m），m∈R．【解答】解：由直线y=2x+3=m，y=ln2x=m，分别解得：x=，x=e m．∴|AB|=e m-=f（m），m∈R．f′（m）=e m-，令f′（m）=e m-=0，解得m=0．∴函数f（m）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．可得：m=0时，函数f（m）取得极小值即最小值．∴|AB|的最小值=f（0）=-=2．故答案为：2．17.答案：解：（1）由题意可得：AB•BC•sin B=，∠B=，可得：BC=，因为AB=，所以由余弦定理可得：AC==3．（2）由（1）知∠ACB=，因为BC⊥CD，所以∠ACD=．在△ACD中，由正弦定理得=，所以AD=．解析：本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．（1）由题意利用三角形的面积公式可求BC的值，进而根据余弦定理可得AC的值；（2）由（1）知∠ACB=，可求∠ACD=，在△ACD中，由正弦定理可求AD的值．18.答案：解：（1）由参考数据可得，接近1，∴y与x之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合；（2）∵，，．，∴y关于x的线性回归方程为．2019年4月份代码x=7，代入线性回归方程得，于是2019年4月份的市场占有率预报值为23%；（3）用频率估计概率，甲款单车的利润X的分布列为X-50005001000P0.10.30.40.2（）（元）．YY-3002007001200P0.150.40.350.1（）（元）．以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，故应选择乙款车型．解析：（1）由相关系数公式求得y与x之间相关系数，由相关系数接近1可得y与x之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合；（2）由已知分别求出与的值，可得线性回归方程；（3）分别列出甲款单车的利润X与乙款单车的利润Y的分布列，求得期望，比较大小得结论．本题考查线性相关系数及线性回归方程的求法，考查离散型随机变量的分布列与期望，考查计算能力，是中档题．19.答案：解：（1）设C：，因为离心率为2，所以c=2a，．所以C的渐近线为，由，得c=2．于是a=1，，故C的方程为．（2）设P（x0，y0）（x0≠±1），因为A1（-1，0），A2（1，0），可得直线A1P与A2P方程为，．由题设，所以，，，MN中点坐标，于是圆D的方程为．因为，所以圆D的方程可化为．当y=0时，，因此D经过两个定点和．解析：本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和圆的方程的求法和特点，考查化简变形能力和运算能力，属于中档题．（1）设出双曲线的方程，运用离心率公式和点到直线的距离公式，解得a，b，c，即可得到所求双曲线方程；（2）设出P的坐标，可得直线线A1P与A2P方程，求得M，N的坐标和中点坐标和长度，可得圆D 的方程，令y=0，可得所求定点坐标.20.答案：（1）证明：以A为坐标原点，射线AB,AC,AA1分别为x，y,z轴，建立如图所示的直角坐标系A-xyz．设AB=1，AD=a，则B（1，0，0），C（0，1，0），B1（1，0，2a），D（0，0，a），，，，．∵，，∴DE⊥BC，DE⊥B1C，又BC∩B1C=C，，∴DE⊥平面BCC1B1；（2）解：设平面BCD的法向量=（x0，y0，z0），则，又，故，取x0=1，得．∵B1C与平面BCD所成的角为30°，，∴|cos＜＞|=，解得，∴．由（1）知平面BCB1的法向量，∴cos＜＞==．∴二面角D-BC-B1的余弦值为．解析：本题考查线面垂直的判定，考查空间角的求法，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．（1）以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A-xyz．求出与平面BCC1B1中两个不共线的向量的坐标，由数量积为0证明向量垂直，得到DE垂直于平面内两相交直线，可得DE⊥平面BCC1B1；（2）由B1C与平面BCD所成的角为30°，求出平面BCD的一个法向量，再结合（1）求出平面BCB1的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值解得二面角D-BC-B1的余弦值．21.答案：解：（1）函数f（x）=ln（x+2）-（x+1）e ax．当a=0时，f（x）=ln（x+2）-（x+1），定义域为（-2，+∞），由，得x=-1．当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x（-2，-1）-1（-1，+∞）f′（x）+0-f（x）↗极大值↘故当时，（）取得极大值，无极小值．（2）证明：，x＞-2．①当a＞0时，因为x＞-1，所以，f'（x）在（-1，+∞）单调递减．因为f'（-1）=1-e-a＞0，，所以存在x1∈（-1，0），使g'（x1）=0，当-1＜x＜x1时，f'（x）＞0，当x＞x1时，f'（x）＜0，所以f（x）在（-1，x1）单调递增，在（x1，+∞）单调递减．所以f（x0）＞f（-1）=0，而f（0）=ln2-1＜0，所以f（x）在（-1，+∞）存在零点．②当-1＜a＜0时，由（1）得ln（x+2）≤（x+1），于是e x≥x+1，所以e-ax≥-ax+1＞-a（x+1）．所以f（x）=e ax[e-ax ln（x+2）-（x+1）]＞-e ax（x+1）[a ln（x+2）+1）]．于是．因为f（0）=ln2-1＜0，所以所以f（x）在存在零点．综上，当a＞-1，a≠0时，函数f（x）在（-1，+∞）上存在零点．解析：（1）将a=0代入函数，求函数的导数，利用函数的单调性可判断函数的极值，可求的f（x）极值；（2）当a＞-1，a≠0时，求函数的导数，分类讨a的范围，利用函数的单调性结合极值的大小，可证明函数f（x）在（-1，+∞）上存在零点．本题考查了导数的综合应用，考查函数的极值，零点问题，属于中档题．22.答案：解：（1）C1化为（x-2）2+（y+1）2=1，所以C1的参数方程为（β为参数）；l的直角坐标方程为x-y=0；（2）由题设P（0，1），由（1）可设Q（2+cosβ，-1+sinβ），则．M到直线l距离，当时，d取最小值，此时点Q的直角坐标为．解析：本题考查了简单曲线的极坐标方程，属于中档题．（1）C1化为（x-2）2+（y+1）2=1，所以C1的参数方程为（β为参数）；l的直角坐标方程为x-y=0；（2）利用参数方程设Q坐标，用中点公式得M的坐标，由点到直线距离公式以及三角函数性质求得最小值以及取最小值的条件可得．23.答案：解：（1）由f（x）=，可以画出f（x）图象因此函数f（x）值域为（-∞，2]．（2）由（1）知，若关于x的不等式f（x）＞a解集非空，则a＜2，且x=-1是此不等式的解．因为若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＞a，由（1）知，解得a≥1．因此a的取值范围为[1，2）．解析：本题考查函数的应用，函数的图象的画法，考查数形结合以及计算能力，属于中档题．（1）去掉绝对值符号，得到分段函数，然后画出函数的图象，求解函数的值域．（2）结合函数的图象，存在唯一的整数x0，使得f（x0）＞a，则a＜2，列出不等式，求解即可．。
辽宁省丹东市2022届高三总复习质量测试(一)数学试题+答案解析(附后)
辽宁省丹东市2022届高三总复习质量测试（一）数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )A. B.C.D.2.如果，那么在复平面内，复数z 所对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.直线l 过抛物线C ：的焦点，且与C 交于A ，B 两点，若使的直线l 有且仅有1条，则( )A.B.C. 1D. 24.碾子是我国古代用人力或畜力把高粱、谷子、稻子等谷物脱壳或把米碾碎成碴子或面粉的石制农业生产工具，由碾盘、碾滚、碾柱和碾架等组成．通过碾架把碾滚的轴固定在经过碾盘圆圆心且垂直于碾盘面的碾柱上，推动碾架，让碾滚绕碾柱在碾盘面上转动3周，碾滚恰好自转了8圈，把碾滚看成高为h ，底面圆的直径为d 的圆柱，则h 与d 之比约为( )A. B. C. D.5.函数的最小正周期为( )A. B. C.D.6.“”是“点在圆C ：外部”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分且必要条件D. 既不充分也不必要条件7.已知，若，则( )A.B.C.D.8.设若函数的最小值为，则实数a的取值范围为( )A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.如果关于x的不等式的解集为，那么下列数值中，b可取到的数为( )A. B. 0 C. 1 D. 210.事件A与B互斥，若，，则( )A. B.C. D.11.设，，，，为函数的导函数，已知为偶函数，则( )A. 的最小值为2B. 为奇函数C. 在R内为增函数D. 在内为增函数12.如图，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，将沿AE向上翻折到，连结PC，PD，在翻折过程中，A. 四棱锥的体积最大值为B. PD中点F的轨迹长度为C. EP，CD与平面PAD所成角的正弦值之比为D. 三棱锥的外接球半径有最小值，没有最大值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【数学】辽宁省丹东市2020届高三上学期期末教学质量监测 数学(理)试题
丹东市2019~2020学年度上学期期末教学质量监测高三理科数学本试卷共22题，共150分，共4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A ＝{|2－2－3＜0}，B ＝{ |－2＜0}，则A ∩B ＝A ．(－1，2)B ．(2，3)C ．(－3，－1)D ．(－∞，2)2．复数＝3－i 1＋i的模||＝A ．1B ． 2C ．2D ． 53．某商家统计了去年P ，Q 两种产品的月销售额（单位：万元），绘制了月销售额的雷达图，图中A 点表示P 产品2月份销售额约为20万元，B 点表示Q 产品9月份销售额约为25万元．根据图中信息，下面统计结论错误．．的是 A ．P 产品的销售额极差较大 B ．P 产品销售额的中位数较大 C ．Q 产品的销售额平均值较大 D ．Q 产品的销售额波动较小4．(1＋22 )(1＋)4的展开式中3的系数为A ．12B ．16C ．20D ．2425 30 20 15 10 5 01月2月3月4月5月6月7月8月9月10月月 11月月 12月月 P 产品的销售额/万元 Q 产品的销售额/万元AB5．设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．b ＜a ＜cD ．c ＜b ＜a6．若sin α＝2cos α，则cos 2α＋sin2α＝A ．125B ．95C ．1D ．457．已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π68．设α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，下列命题错误．．的是 A ．如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n ． B ．如果α∥β，m α，那么m ∥β． C ．如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β．D ．如果α内有两条相交直线与β平行，那么α∥β．9．甲乙两队进行排球决赛，赛制为5局3胜制，若甲乙两队水平相当，则最后甲队以31获胜的概率为A ．316B ．14C ．38D ．1210．下列函数中，其图象与函数y ＝lg 的图象关于点(1，0)对称的是A ．y ＝lg(1－)B ．y ＝lg(2－)C ．y ＝log 0.1(1－)D ．y ＝log 0.1(2－)11．关于函数f ()＝|sin|＋sin||有下述四个结论：①f ()是偶函数②f ()在区间(－π2，0)单调递减③f ()在[－π，π]有4个零点 ④f ()的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①③④D ．①④12．抛物线C ：y 2＝2p (p ＞0)的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线与C 交于A ，B 两点，若|AB |＝8，则p ＝A ．12B ．1C ．2D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年辽宁省丹东市高考数学一模试卷(一)(有答案解析)
解析：解：设切点坐标为（m，n） y'|x=m=aem+1=2，2m-n+1=0，n=aem+m， 解得，m=0，n=1， 切点（0，1） 而切点（0，1）又在曲线 y=aex+x 上 ∴a=1， 故选：B． 先设出切点坐标，根据导数的几何意义求出在切点处的导数，再根据切点既在曲线 y=aex+x 的图象上又在直线 2x-y+1=0 上，从而求出切点横坐标，即可求出 a 的值． 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，考查数形结合 思想、化归与转化思想，属于基本知识的考查．
20. 已知离心率为 2 的双曲线 C 的一个焦点 F（c，0）到一条渐近线的距离为 ． （1）求双曲线 C 的方程； （2）设 A1，A2 分别为 C 的左右顶点，P 为 C 上异于 A1，A2 一点，直线 A1P 与 A2P 分别交 y 轴于 M，N 两点，求证：以线段 MN 为直径的圆 D 经过两个定点．
线 l 的极坐标方程为 θ= ，ρ∈R． （1）求 C1 的参数方程为和 l 的直角坐标方程； （2）已知 P 是 C2 上参数 α= 对应的点，Q 为 C1 上的点，求 PQ 中点 M 到直线 l 的 距离取最小值时，点 Q 的直角坐标．
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23. 已知函数 f（x）=|x-1|-|2x+2|． （1）求 f（x）值域； （2）若存在唯一的整数 x0，使得 f（x0）＞a，求 a 的取值范围．
大棚面积（亩）x 4.5
5.0
5.5 6.0
6.5
7.0
7.5
年利润（万元）y 6
7
7.4 8.1
8.9
9.6
11.1
2020届辽宁省丹东市高三上学期期末教学质量监测数学(文)试题
（1）讨论函数 的单调性；
（2）设 ，证明：曲线 没有经过坐标原点的切线.
22．在平面直角坐标系 中，倾斜角为 的直线 过点 .以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）写出直线 的参数方程和曲线 的直角坐标方程；
（2）若直线 与 交于 ， 两点，且 ，求倾斜角 的值.
【分析】
利用复数的除法运算，求得复数 ，即可求解复数的模.
【详解】
由题意 ，所以 ，
故选:D.
【点睛】
本题考查了复数的四则运算及复数模的计算，其中根据复数的除法运算求得复数 ，再利用复数模的公式求模是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力.
3．A
【解析】
【分析】
将圆的一般方程化为普通方程,找到圆心.利用点到直线距离公式即可求解.
A． 产品的销售额极差较大B． 产品销售额的中位数较大
C． 产品的销售额平均值较大D． 产品的销售额波动较小
5．设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（）
A． B． C． D．
6．若 ，则Байду номын сангаас（）
A． B． C．1D．
7．已知非零向量 满足 ，且 ，则 与 的夹角为
A． B． C． D．
8．从分别写有 的 张卡片中随机抽取 张，放回后再随机抽取 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）
2020届辽宁省丹东市高三上学期期末教学质量监测数学（文）试题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
四
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息