配套K12辽宁省沈阳市东北育才学校2017届高三数学第八次模拟考试试题 文(含解析)

2017届高三第八次模拟考试数学（文科）试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，集合，集合，则A. B. C. D.【答案】B【解析】 ,选B.2. 已知是虚数单位，复数对应于复平面内一点，则A. B. C. D.【答案】A【解析】 ,选A.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为3. 已知等比数列中，公比，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：因为，所以，，故选D.考点：等比数列的性质.4. 设实数，满足约束条件，则目标函数的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部,其中 ,直线过点B 时取最大值4,过点C时取最小值,因此目标函数的取值范围为 ,选C.点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B.C. D.【答案】A【解析】几何体为一个正方体(边长为2)去掉八分之一个球(半径为2),体积为,选A.6. 已知函数（，）的零点构成一个公差为的等差数列，，则的一个单调递增区间是A. B. C. D. .【答案】C【解析】 , ,所以由得,所以选C.7. 运行如图所示的程序框图，输出的和的值分别为A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】循环依次为结束循环,输出选C.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.8. 平面直角坐标系中，已知为坐标原点，点、的坐标分别为、. 若动点满足，其中、，且，则点的轨迹方程为A. B.C. D.【答案】C【解析】设 ,则因此,选C.9. 已知函数（），若函数有三个零点，则实数的取值范围是.A. B. C. D.【答案】D【解析】当时,只有一个零点1,舍去;当时,没有零点,舍去;当时,,选D.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．10. 对四组不同数据进行统计，分别获得以下散点图，如果对它们的相关系数进行比较，下列结论中正确的是（）A. r2＜r4＜0＜r3＜r1B. r4＜r2＜0＜r1＜r3C. r4＜r2＜0＜r3＜r1D. r2＜r4＜0＜r1＜r3【答案】A【解析】试题分析：相关系数r的取值在，r=0时两变量间不相关，r>0两变量正相关，散点图从左往右程递增的趋势，当r=1时，变量x和y完全线性相关，这时散点都全部落在回归直线上，同样r<0两变量负相关，散点图从左往右程递减的趋势，当r=-1时。

变量x和y也是完全线性相关，散点也都严格地分布在一条直线上，但是，当变量x增大时，变量y相应地减少，故本题选A.考点：相关系数r意义与性质.11. 已知双曲线与椭圆的焦点相同，且它们的离心率的乘积等于，则此双曲线的方程为A. B.C. D.【答案】B【解析】 ,焦点在y轴上，所以双曲线的方程为选B.12. 已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣2）=2021，对任意x∈（﹣∞，+∞），都有f'（x）＜2x成立，则不等式f（x）＞x2+2017的解集为A. （﹣2，+∞）B. （﹣2，2）C. （﹣∞，﹣2）D. （﹣∞，+∞）【答案】C【解析】令，则，因此不等式，选C.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. sin15°+cos15°=__..【答案】【解析】14. 已知y=f（x+1）+2是定义域为R的奇函数，则f（0）+f（2）=__．【答案】-4【解析】由题意得令得15. 已知等比数列{a n}满足a1=2，a1+a3+a5=14，则=__．【答案】【解析】设公比为，则（舍负），所以16. 已知四面体的顶点都在同一个球的球面上，，，且，，. 若该三棱锥的体积为，则该球的表面积为_________.【答案】【解析】将四面体补成长方体，如图，则三棱锥的体积为,球的直径为 , 球的表面积为点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．三、解答题：17. 如图，在中，角，，的对边分别为，，，．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，为外一点，，，求四边形面积的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）由，化简得，从而得，即可求解角的大小；（2）在中，由余弦定理得，根据三角形的面积公式、，从而得到四边形的面积，再利用三角函数的图象与性质，即可求解四边形面积的最大值.试题解析：(1)在中，.有，，，则即；，则.（2）在中，，，.又，则为等腰直角三角形，,又，，当时，四边形的面积有最大值，最大值为考点：余弦定理；三角函数的图象与性质.18. 为了解某地区观众对大型综艺活动《中国好声音》的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众收看该节目的场数与所对应的人数表：将收看该节目场次不低于13场的观众称为“歌迷”，已知“歌迷”中有10名女性．（Ⅰ）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料我们能否有95%的把握认为“歌迷”与性别有关？（Ⅱ）将收看该节目所有场次（14场）的观众称为“超级歌迷”，已知“超级歌迷”中有2名女性，若从“超级歌迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．参考公式与数据：，其中【答案】（Ⅰ）表格如解析所示，我们没有95%的把握认为“歌迷”与性别有关；（Ⅱ）【解析】试题分析：（1）先将数据对应填入表格,代入卡方公式计算3.030,再与参考数据比较,确定可能性（2）因为“超级歌迷”有5人，任意选取2人共有10种基本事件(利用枚举法),其中至少有1个是女性的事件有7种,最后利用古典概型概率公式求概率.试题解析：（Ⅰ）由统计表可知，在抽取的100人中，“歌迷”有25人，从而完成2×2列联表如下：将2×2列联表中的数据代入公式计算，得：K2==≈3.030因为3.030＜3.841，所以我们没有95%的把握认为“歌迷”与性别有关．（Ⅱ）由统计表可知，“超级歌迷”有5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为Ω={（a1， a2），（a1， a3），（a2， a3），（a1， b1），（a1， b2），（a2， b1），（a2，b2），（a3， b1），（a3， b2），（b1， b2）}其中a i表示男性，i=1，2，3，b i表示女性，i=1，2．Ω由10个等可能的基本事件组成．用A表示“任选2人中，至少有1个是女性”这一事件，则A={（a1， b1），（a1， b2），（a2， b1），（a2， b2），（a3， b1），（a3， b2），（b1， b2） }，事件A由7个基本事件组成．∴P（A）=19. 如图，是圆的直径，点在圆上，矩形所在的平面垂直于圆所在的平面，．（1）证明：平面⊥平面；（2）当三棱锥的体积最大时，求点到平面的距离．【答案】（1）证明过程见解析；（2）h=【解析】试题分析：（1）先根据平几知识得BC⊥AC，CD⊥BC，再利用线面垂直判定定理得BC⊥平面ACD，即有DE⊥平面ACD，最后根据面面垂直判定定理得平面⊥平面；（2）先根据DE⊥平面ACD，表示三棱锥的体积，再根据基本不等式得体积最大时满足的条件：，最后利用等体积求高，即可得点到平面的距离．试题解析：（1）∵AB是直径，∴BC⊥AC又四边形DCBE为矩形，CD⊥DE，BC∥DE，∴CD⊥BC．∵CD∩AC=C，∴BC⊥平面ACD，∴DE⊥平面ACD又DE⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面ACD（2）由（1）知V C﹣ADE=V E﹣ACD====，当且仅当AC=BC=2时等号成立∴当AC=BC=2三棱锥C﹣ADE体积最大为：此时，AD==3，=3，设点C到平面ADE的距离为h，则∴h=20. 已知椭圆：过点，为椭圆的半焦距，且，过点作两条互相垂直的直线，与椭圆分别交于另两点，．（1）求椭圆的方程；（2）若直线的斜率为，求的面积；（3）若线段的中点在轴上，求直线的方程．【答案】（1）；（2）；（3）或．【解析】试题分析：（1）根据条件列出的方程组，结合即可求得椭圆方程；（2）设方程为，整理方程组，由韦达定理求出点坐标，用用代替，得点坐标，把将代入，得，，的面积即可求出；（3）设，，代入椭圆方程整理可得，其中，所以，分和两种情况，根据，求出的坐标，求得直线方程．试题解析：（1）因为椭圆：，过点，为椭圆的半焦距，且，所以，且，所以，解得，，所以椭圆方程为．（2）设方程为，由整理得，因为，解得，当时，用代替，得，将代入，得，．因为，所以，，所以的面积为．（3）设，，则两式相减得，因为线段的中点在轴上，所以，从而可得，若，则，∵，所以，得．又因为，所以解得，所以，或，，所以直线方程为．若，则，因为，所以，得，又因为，所以解得或，经检验：满足条件，不满足条件．综上，直线的方程为或．考点：椭圆的标准方程和直线与椭圆的位置关系.【方法点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程和直线与椭圆的位置关系，考查了考生分析问题和利用所学知识解决问题的能力及运算能力，属于难题.求方程通常列待定系数的方程组求解；（2）中，给出了直线与椭圆的一个交点坐标，根据韦达定理求出另一个交点的坐标，从而求的面积；（3）中根据两点坐标满足方程及中点在轴上，求的，通过讨论求出直线方程.21. 已知函数在上是减函数，在上是增函数，函数在上有三个零点．（1）求的值；（2）若1是其中一个零点，求的取值范围；（3）若，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g(x)相切？请说明理由.【答案】(1) b=0；(2) (,+∞)；⑶过点（2，5）可作2条曲线y=g(x)的切线【解析】试题分析：（1）由题意得，即得b=0.（2）由f(1)=0，得c=1−a，所以f(2)= 3a−7，根据在上有三个零点可得的取值范围，代入可得的取值范围；（3）先设切点，根据导数几何意义可求切线方程，转化研究方程解的个数，令h(x)=，则利用导数可得函数先减后增，结合零点存在定理可得函数有两个零点，即可作2条切线试题解析：(1)∵f(x)=−x3+ax2+bx+c，∴f′(x)=−3x2+2ax+b，∵f(x)在(−∞,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数，∴当x=0时,f(x)取到极小值,即.∴b=0.(2)由(1)知f(x)=−x3+ax2+c，∵1是函数f(x)的一个零点,即f(1)=0，∴c=1−a，∵f′(x)=−3x2+2ax=0的两个根分别为x1=0,x2=，f(x)在(0,1)上是增函数,且函数f(x)在R上有三个零点，∴x2=>1,解得，∴f(2)=−8+4a+(1−a)=3a−7>，∴f(2)的取值范围是(,+∞).⑶=2x+ln x，设过点（2，5）与曲线g (x)的切线的切点坐标为∴，即∴，令h(x)=，∴==0，∴∴h(x)在（0，2）上单调递减，在（2，）上单调递增又，h(2)=ln2-1<0，∴h(x)与x轴有两个交点，∴过点（2，5）可作2条曲线y=g(x)的切线.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程为（为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．（Ⅰ）求圆的直角坐标方程；（Ⅱ）若是直线与圆面的公共点，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）利用极坐标与直角坐标方程的互化的方法，可得圆的直角方程；（2）将代入得，又直线过，圆的半径为，可结论．试题解析：（1）因为圆的极坐标方程为，所以，又，所以．所以圆的直角坐标方程为：．（2）设，由圆的方程，所以圆的圆心是，半径是2．将，代入，得，又直线过，圆的半径是2，由题意有：．所以，即的取值范围是考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化；直线参数方程的应用．23. 选修4-5：不等式选讲已知（是常数，）．（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）如果函数恰有两点不同的零点，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）当时，得函数，去掉绝对值号，得到不等式组，即可得到不等式的解集；（2）由，得，分别作出，的图象，借助图象，即可得到结论.试题解析：（1）当时，，则原不等式等价于或，解得或，则原不等式的解集为；（2）由，得，令，做出它们的图象，可以知道，当时，这两个不同的图像有两个不同的交点，所以函数恰有两个不同的零点时，的取值范围是.考点：绝对值不等式.。