数列求和
数列求和常见的7种方法
数列求和的根本方法和技巧一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和分段求和法〔合并法求和〕 利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个根本方法。
数列是高中代数的重要容，又是学习高等数学的根底. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大局部数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的根本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和利用以下常用求和公式求和是数列求和的最根本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n[例1]3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 nn x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 〔利用常用公式〕＝x x x n --1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(21++=n n S n 〔利用常用公式〕 ∴1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n xn }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=……………………….②〔设制错位〕 ①－②得 nn n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- 〔错位相减〕再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232nn前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………②〔设制错位〕 ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS 〔错位相减〕∴1224-+-=n n n S三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列〔反序〕，再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求证：n nn n n nn C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++ 证明： 设nn n n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ①把①式右边倒转过来得113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-〔反序〕又由mn n m n C C -=可得nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..……..②①+②得 nn n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=-〔反序相加〕 ∴nn n S 2)1(⋅+=[例6] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S ………….①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..②〔反序〕又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得 〔反序相加〕)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5题1 函数〔1〕证明：；〔2〕求的值.解：〔1〕先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边 〔2〕利用第〔1〕小题已经证明的结论可知， 两式相加得：所以.练习、求值：四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，假设将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例7] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n 〔分组〕 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + 〔分组求和〕当1≠a 时，2)13(1111n n aa S nn -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n ＝k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132〔分组〕＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n 〔分组求和〕 ＝2)2()1(2++n n n五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项〔通项〕分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终到达求和的目的. 通项分解〔裂项〕如：〔1〕)()1(n f n f a n -+= 〔2〕n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+〔3〕111)1(1+-=+=n n n n a n 〔4〕)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n 〔5〕])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n(6) nn n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 〔7〕)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=〔8〕n a ==[例9] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设n n n n a n -+=++=111〔裂项〕则 11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n 〔裂项求和〕＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n[例10] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和. 解： ∵211211nn n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴)111(82122+-=+⋅=n n n n b n 〔裂项〕∴ 数列{b n }的前n 项和)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n 〔裂项求和〕＝)111(8+-n ＝ 18+n n [例11] 求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++ 解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S∵n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+〔裂项〕 ∴89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S 〔裂项求和〕 ＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝1cot 1sin 1⋅＝ 1sin 1cos 2 ∴ 原等式成立答案：六、分段求和法〔合并法求和〕针对一些特殊的数列，将*些项合并在一起就具有*种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.解：设S n ＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179° ∵)180cos(cosn n --= 〔找特殊性质项〕∴S n ＝ 〔cos1°+ cos179°〕+〔 cos2°+ cos178°〕+〔cos3°+ cos177°〕+···+〔cos89°+ cos91°〕+ cos90° 〔合并求和〕＝ 0[例13] 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.解：设S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得 ……∵0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a 〔找特殊性质项〕 ∴ S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++〔合并求和〕＝)()()(66261612876321++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++k k k a a a a a a a a a a＝2002200120001999a a a a +++ ＝46362616+++++++k k k k a a a a ＝5[例14] 在各项均为正数的等比数列中，假设103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.解：设1032313log log log a a a S n +⋅⋅⋅++=由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =⇒+=+〔找特殊性质项〕 和对数的运算性质 N M N M a a a ⋅=+log log log 得)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++⋅⋅⋅++++=〔合并求和〕＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅ ＝9log 9log 9log 333+⋅⋅⋅++ ＝10七、利用数列的通项求和先根据数列的构造及特征进展分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项提醒的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.[例15] 求11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和. 解：由于)110(91999991111111-=⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅k k k个个〔找通项及特征〕 ∴ 11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++ ＝)110(91)110(91)110(91)110(91321-+⋅⋅⋅+-+-+-n 〔分组求和〕 ＝)1111(91)10101010(911321 个n n +⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++ ＝9110)110(1091nn ---⋅＝)91010(8111n n --+ [例16] 数列{a n }：∑∞=+-+++=11))(1(,)3)(1(8n n n n a a n n n a 求的值. 解：∵])4)(2(1)3)(1(1)[1(8))(1(1++-+++=-++n n n n n a a n n n 〔找通项及特征〕＝])4)(3(1)4)(2(1[8+++++⋅n n n n 〔设制分组〕＝)4131(8)4121(4+-+++-+⋅n n n n 〔裂项〕∴∑∑∑∞=∞=∞=++-+++-+=-+1111)4131(8)4121(4))(1(n n n n n n n n n a a n 〔分组、裂项求和〕 ＝418)4131(4⋅++⋅ ＝313 提高练习：1．数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+==，⑴设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列； ⑵设数列),2,1(,2 ==n a c n nn ，求证：数列{}n c 是等差数列； 2．设二次方程n a *2-n a +1*+1=0(n ∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．(1)试用n a 表示a 1n +；3．数列{}n a 中，2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122*N n ∈⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵设||||||21n n a a a S +++= ，求n S ；。
数列求和公式七个方法
数列求和公式七个方法数列求和是数学中的一个重要概念，常用于计算数列中各项之和。
数列求和公式有多种方法，下面将介绍七种常见的求和公式方法。
方法一：等差数列求和公式等差数列是指数列中每一项与前一项之差都相等的数列。
等差数列求和公式是通过将数列项数n代入公式中，计算数列中各项之和Sn。
等差数列求和公式为Sn=n(a1+an)/2，其中Sn表示数列的和，a1表示首项，an表示末项，n表示项数。
方法二：等比数列求和公式等比数列是指数列中每一项与前一项之比都相等的数列。
等比数列求和公式是通过将数列项数n代入公式中，计算数列中各项之和Sn。
等比数列求和公式为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，其中Sn表示数列的和，a1表示首项，q表示公比，n表示项数。
方法三：斐波那契数列求和公式斐波那契数列是指数列中每一项都是前两项之和的数列。
斐波那契数列求和公式是通过将数列项数n代入公式中，计算数列中各项之和Sn。
斐波那契数列求和公式为Sn=f(n+2)-1，其中Sn表示数列的和，f表示斐波那契数列。
方法四：调和数列求和公式调和数列是指数列中每一项的倒数是一个调和级数的一项。
调和数列求和公式是通过将数列项数n代入公式中，计算数列中各项之和Sn。
调和数列求和公式为Sn=1+1/2+1/3+...+1/n，即Sn=Hn，其中Hn表示调和级数的n项和。
方法五：等差数列求和差分公式通过差分公式，我们可以得到等差数列的求和公式。
差分公式是指数列中相邻两项之差等于同一个常数d。
等差数列求和差分公式为Sn=[(a1+an)/2]n，其中Sn表示数列的和，a1表示首项，an表示末项，n表示项数。
方法六：等比数列求和差分公式通过差分公式，我们可以得到等比数列的求和公式。
差分公式是指数列中相邻两项之比等于同一个常数q。
等比数列求和差分公式为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，其中Sn表示数列的和，a1表示首项，q表示公比，n表示项数。
方法七：等差数列求和公式（倍差法）倍差法是一种基于等差数列的求和方法。
数列求和的常见方法
数列求和的常见方法数列求和是高中数学中重要的概念之一，常见的数列求和方法有多种，包括等差数列求和公式、等比数列求和公式、Telescoping Series（直线和数列）等。
在本文中，我将介绍这些常见的数列求和方法，并给出相应的例子以加深理解。
一、等差数列求和公式等差数列是指一个数列中每个数与它的前一个数的差都相等的数列。
数列求和公式是指利用数列的首项、末项和项数等信息，直接求得数列的和的公式。
等差数列的求和公式为：Sn = （a1 + an）n/2，其中Sn表示数列前n项和，a1表示首项，an表示末项，n表示项数。
例1：求等差数列1，4，7，...，97的和。
解：这是一个等差数列，首项a1 = 1，末项an = 97，项数n =（an - a1）/d + 1 = （97 - 1）/3 + 1 = 33、代入公式Sn = （a1 + an）n/2，得到S33 = （1 + 97）× 33/2 = 1617二、等比数列求和公式等比数列是指一个数列中每个数与它前一个数的比都相等的数列。
数列求和公式是指利用数列的首项、末项和项数等信息，直接求得数列的和的公式。
等比数列的求和公式为：Sn=a1×（1-q^n）/（1-q），其中Sn表示数列前n项和，a1表示首项，q表示公比。
例2：求等比数列2，4，8，...，1024的和。
解：这是一个等比数列，首项a1 = 2，末项an = 1024，q = an/a1= 1024/2 = 512、项数n = logq(an/a1) + 1 = log512((1024/2)/2) +1 = 10。
代入公式Sn = a1 ×（1 - q^n）/（1 - q），得到S10 =2 ×（1 - 512^10）/（1 - 512） = 2046三、Telescoping Series（直线和数列）Telescoping Series是一种特殊的数列，其中每个项都可以通过其前一项和下一项抵消，最终只剩下首项和末项。
数列求和7种方法(方法全-例子多)
数列求和的基本方法和技巧一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。
一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n5、 213)]1(21[+==∑=n n k S nk n [例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 nn x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）＝x x x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f题1.等比数列的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－１，则＝题2．若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2+cn ，则a = ,b = ,c =.解： 原式=答案：二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n xn }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 nn n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=--∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232nn前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………② （设制错位） ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S练习题1 已知 ，求数列｛a n ｝的前n 项和S n .答案：练习题2 的前n 项和为____答案：三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求证：n nn n n nn C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++ 证明： 设nn n n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ①把①式右边倒转过来得113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=- （反序）又由mn n m n C C -=可得nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..…….. ②①+②得 nn n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=- （反序相加）∴ nn n S 2)1(⋅+=[例6] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..② （反序） 又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得 （反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5题1 已知函数 （1）证明：；（2）求的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边 （2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，两式相加得：所以.练习、求值：四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例7] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组） 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S n n -+--=＝2)13(11n n a a a n-+---[例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴ ∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n ＝k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和） ＝2)2()1(2++n n n五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+= （2）n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n（5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n(6) nnn n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 （7）)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=（8）n a ==[例9] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设n n n n a n -+=++=111（裂项）则 11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n （裂项求和）＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n[例10] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和. 解： ∵ 211211nn n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴ )111(82122+-=+⋅=n n n n b n （裂项）∴ 数列{b n }的前n 项和)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n （裂项求和） ＝)111(8+-n ＝ 18+n n [例11] 求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++ 解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S∵n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （裂项）∴89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项求和） ＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝1cot 1sin 1⋅＝ 1sin 1cos 2∴ 原等式成立练习题1.答案：.练习题2。
数列求和的七种基本方法
数列求和的七种基本方法数列求和是数学中常见的问题之一，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍数列求和的七种基本方法，包括等差数列求和、等比数列求和、算术平方平均数列求和、等差等比混合数列求和、调和数列求和、几何级数求和和级数求和。
通过了解和掌握这些方法，相信读者能更好地解决数列求和问题。
一、等差数列求和等差数列是指一个数列中的每两个相邻的项之差都相等。
求和等差数列的公式为：Sn = n(a1+an)/2，其中Sn是数列的和，n是项数，a1是第一个数，an是最后一个数。
二、等比数列求和等比数列是指一个数列中的每两个相邻的项之比都相等。
求和等比数列的公式为：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，其中Sn是数列的和，a1是第一个数，q是公比，n是项数。
三、算术平方平均数列求和算术平方平均数列是指一个数列中的每两个相邻的项的算术平方平均数都相等。
求和算术平方平均数列的公式为：Sn=n(2a1+(n-1)d)/2，其中Sn是数列的和，n是项数，a1是第一个数，d是公差。
四、等差等比混合数列求和等差等比混合数列是指一个数列中的每两个相邻的项之比和差都相等。
求和等差等比混合数列的公式为：Sn = (a1+an)/2*n+(q^n-1)/(q-1)，其中Sn是数列的和，n是项数，a1是第一个数，an是最后一个数，q是公比。
五、调和数列求和调和数列是指一个数列中的每一项的倒数都与它的序号之比都相等。
求和调和数列的公式为：Sn=Hn/a，其中Sn是数列的和，Hn是调和数列的第n项，a是常数。
六、几何级数求和几何级数是指一个数列中的每个数都与前一项的比值都相等。
求和几何级数的公式为：Sn=a*(1-q^n)/(1-q)，其中Sn是数列的和，a是第一个数，q是比值，n是项数。
七、级数求和级数是无穷多个数连加的结果，求和级数的公式为：Sn=a/(1-r)，其中Sn是级数的和，a是第一个数，r是比值。
这七种基本的数列求和方法能够解决大部分数列求和问题。
数列求和的8种常用方法
数列求和的8种常用方法数列求和是数学中非常常见的问题，它的解法有很多种。
下面我将介绍8种常用的方法来求解数列的和，让我们一起来看看吧。
一、等差数列求和公式对于等差数列$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_n$表示第n个数，$a_1$表示第一个数，d表示公差，我们可以利用等差数列求和公式求解：$S = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$其中S表示数列的和，n表示数列的项数。
二、等比数列求和公式对于等比数列$a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}$，其中$a_n$表示第n个数，$a_1$表示第一个数，q表示公比，我们可以利用等比数列求和公式求解：$S = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$，其中q≠1或者当q=1时，$S=a_1n$其中S表示数列的和，n表示数列的项数。
三、几何级数求和公式对于几何级数$s_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$，其中$a_1$表示第一个数，q表示公比，我们可以利用几何级数求和公式求解：$S = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$，其中q≠1四、等差数列-等比数列混合求和公式对于等差数列-等比数列混合数列$s_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$，其中$a_n = a_1 + (n-1)d$，$a_1$表示第一个数，d表示公差，我们可以利用等差数列-等比数列混合求和公式求解：$S = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1} + \frac{n(n-1)d}{2}q^{(n-2)}$，其中q≠1五、反比例数列求和公式对于反比例数列$s_n = \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_n}$，其中$a_1$表示第一个数，我们可以利用反比例数列求和公式求解：$S = \frac{n}{a_1}$六、算术-几何级数求和公式对于算术-几何级数$s_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$，其中$a_n = a_1 + (n-1)d$，$a_1$表示第一个数，d表示公差$S = \frac{a_1}{1-q} + \frac{d}{(1-q)^2}$，其中q≠1七、差分数列求和公式对于差分数列$s_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$，其中$a_n = a_1+ (n-1)d$，$a_1$表示第一个数，d表示公差，我们可以利用差分数列求和公式求解：$S = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$其中S表示数列的和，n表示数列的项数。
数列求和公式大全
数列求和公式大全数列求和是数学中的一个重要概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
数列求和的公式种类繁多，不同的数列有不同的求和方法。
本文将为大家介绍一些常见的数列求和公式，希望能够帮助大家更好地理解和运用数列求和的知识。
1.等差数列求和公式。
等差数列是数学中最基本的数列之一，它的通项公式为an=a1+(n-1)d。
对于等差数列的求和公式，我们有以下结论：Sn=n/2(a1+an)。
其中，Sn表示前n项和，a1表示首项，an表示末项，n表示项数。
这个公式是等差数列求和的基本公式，可以帮助我们快速求解等差数列的和。
2.等比数列求和公式。
与等差数列类似，等比数列也有其特定的求和公式。
对于公比不等于1的等比数列，其前n项和的公式为：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
其中，Sn表示前n项和，a1表示首项，q表示公比，n表示项数。
这个公式是等比数列求和的基本公式，同样可以帮助我们快速求解等比数列的和。
3.调和数列求和公式。
调和数列是数学中的一个重要概念，其通项公式为an=1/n。
对于调和数列的求和公式，我们有以下结论：Sn=Hn。
其中，Sn表示前n项和，Hn表示调和数。
调和数列的求和公式非常简单，直接就是调和数本身，这也是调和数列的一个特点。
4.斐波那契数列求和公式。
斐波那契数列是数学中的一个经典数列，其通项公式为an=an-1+an-2。
对于斐波那契数列的求和公式，我们有以下结论：Sn=Fn+2-1。
其中，Sn表示前n项和，Fn表示第n个斐波那契数。
斐波那契数列的求和公式可以通过斐波那契数的性质推导得出，是一个非常有趣的结论。
5.等差-等比混合数列求和公式。
在实际问题中，我们经常会遇到一些既是等差数列又是等比数列的混合数列，对于这种数列的求和，我们有以下结论：Sn=a1n+d(n(n-1)/2)+(a1qn-anq)/(1-q)。
其中，Sn表示前n项和，a1表示首项，d表示公差，q表示公比，an表示第n 项。
数列求和7种方法
1、2、3、5、一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法n(a1 a n) “ n(n - 1)dna1 d2等差数列求和公式:等比数列求和公式:S nS n=^n(n 1)2nS n 八k3k 4［例1］已知log 3 x解：由log3x* a1 (1 -q.1-qa i —^n qi -q(q =1)、& 八k2n(n 1)(2n 1)-1 2 3，求x x x 'I Xn项和.log 23-1=log 3 -log3 2 =log 2 31x =—2由等比数列求和公式得S n = x x2x3(利用常用公式)［例2］设S= 1+2+3+…+n, n€ N,求f (n)解: 由等差数列求和公式得S n•••当题1.等比数列S nf(n) ,n 32)S n 1x(1 x n)1 -xSn1 1齐-班)_ 1丄1一1 —歹2(n 32)Sm的最大值.1」n(n1), S22n 34n 641= -(n 1)( n 2)2(利用常用公式)1n 34 64(、n 8 )250n J n— 8、n ——，即 n= 8 时，f (n)(8max1502 2J 的前n项和 S n= 2n- 1,则Ll'i 〔4—1练习题1 已知 1 f ，求数列｛ a n ｝的前n 项和S. 答案爲二〃2" _ 1$ _ 22心二泌-2"+1 答案： -1 3 5 加-1■ ■ ' '■■'・' ______ ■ ■ ■练习题2 221V2"的前n 项和为 ____题 2.若 12+22+…+(n -1) 2=an 3+bn 2+cn ,贝H a = , b = , c = __________(卑T)用•(沏-1) 2h-划+罔 1 1J 解: 原式= •」 . 答案：_ _ 1 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法， 这种方法主要用于求数列｛a n • b n ｝的前n项和，其中｛ a n ｝、｛ b n ｝分别是等差数列和等比数列 • ［例 3］求和：S n =1 3x 5x 2 7x 3（2n -1）x nJL.............. ①解：由题可知，｛ （2 n-L ）x n J ｝的通项是等差数列｛2n — 1｝的通项与等比数列｛x n」｝的通项之积设xS n =1x 3x 2 5x 3 • 7x 4心……爲（2n- 1）x n..................... .②（设制错位） ①—②得（1 -x ）^ =1 2x 2x 2 2x 3 • 2x 4「一 2x nJ -（2 n-1）x n（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n J1 — X(1 _x)S n=1 2x(2n _ 1)x nS n =(2n - 1)x n 1 -(2n 1)x n (1 x)(1-x)2［例4］求数列2, 42 , 63 ,，前n 项的和.2 2 2 2解：由题可知,出｝的通项是等差数列｛2n ｝的通项与等比数列｛2n｝的通项之积设S nWn2n①•②1 2 2 ①-②得（一評匸歹F IF-/n（设制错位） （错位相减）S n 1^_2nJ2n-4 -答案:— 、反序相加法求和 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序） 数列相加，就可以得到 n 个（a 1 a n ）. ［例 5］求证：c ： 3C ： 5C ； （2n 1）C ： =（n 1）2n ，再把它与原证明：设 S n =C n ■ 3C 15C^. . (2n . 1)C ： .............. ..①把①式右边倒转过来得S n =(2n 1)C ： (2 n-1)C ：「3C ： C ：又由o m 二可得1n 1 nS n -(2n 1)C n (2n- 1)C n 3C n - C n .......... . ……..②① + ②得 2S n =(2n+2)(C ： +C ： + …y +C ：) = 2(n +1) 2n5 =(n 1) 2n［例 6］求 sin 1 sin 2 sin 3 飞in 88 sin 89 的值 （反序）（反序相加）(2) 2 ' 2 ' 2 ' 2 ••• 2 " 解：设 S = sin 1 sin 2 sin 3 亠 亠 sin 88 sin 89 .................... ① 将①式右边反序得 2 0 2。
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装 订 线
庆云第一中学课堂导学案
（设计者：李玉銮 审核者：邢连成）
年级 高二 学科 数学 编号 B （5）—1 日期 2012-9-4 班级 姓名
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等差数列前n 项和（二）
一、学习目标
1、 理解等差数列前n 项和的性质；
2、 会用等差数列前n 项和的性质解决相应的问题。
二、自学指导：分析探究等差数列前n 项和的主要性质：
1、 等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，那么数列232,,k k k k k S S S S S --，…()k N +∈是什么
数列？其公差等于什么？
2、 若在等差数列{}n a 中，10,0a d ><，则n S 存在最大值还是最小值? 若在等差数列{}n a 中，
10,0a d <>，则n S 存在最大值还是最小值？
3、 若等差数列的项数为2()n n N +
∈项，则21()n n n S n a a +=+（1,n n a a +为中间两项），且S S nd -=偶奇，
1n n S a S a +=
奇偶
；若等差数列的项数为21()n n N +-∈项，则21(21)n n S n a -=-，且
n S S a -=奇偶，
1
S n S n =
-奇偶
【其中,(1)n n S na S n a ==-奇偶】。
4、 两等差数列{},{}n n a b 中的,n n a b 与前n 项和,n n S T 之间的关系：2121
n n n
n a S b T --=。
三、自我检测（要求：书写规范，步骤完整，限时１5分钟。
）
1.一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和。
2、设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为,n n S T ，且n n
S T 243
n n +=+，求
77
a b
3、若等差数列共有12+n 项()*N n ∈，且奇数项的和为44，偶数项的和为33，
则项数为 （ ）
A. 5
B. 7
C. 9
D. 11
三、当堂训练（要求：书写规范，步骤完整，限时１2分钟。
）
1、已知等差数列{}n a 满足099321=++++a a a a ，则 （ ）
A. 0991>+a a
B. 0991<+a a
C. 0991=+a a
D. 5050=a
2、若{}n a 是等差数列，则123a a a ++，456a a a ++，789a a a ++， ，32313n n n a a a --++是（ ） A.一定不是等差数列 B. 一定是递增数列 C.一定是等差数列 D. 一定是递减数列
3、在等差数列中，已知公差d =
2
1且a 1 + a 3 + a 5 + … + a 99 = 60则a 2 + a 4 + a 6+ … + a 100
的值为（ ） A 85 B 145 C 110 D 90
4、在等差数列{}n a 中，已知1254=+a a ，那么它的前8项之和8S 等于 （ ）
A. 12
B. 24
C. 36
D. 48
5、设等差数列的项数n 为奇数，则奇数项的和与偶数项的和的比为（ ） A
n
n 1- B
n
n 12+ C
n
n 212+ D
1
1-+n n
6、在等差数列{a n }中，S 4 =1, S 8 = 4,则a 17 + a 18 + a 19 + a 20 的值为（ ）
A 7
B 8
C 9
D 4
7、 若｛a n ｝是等差数列，a 3,a 10是方程x 2-3x-5=0的两根，则a 5+a 8= . 8、 在等差数列{}n a 中，78,1521321=++=++--n n n a a a a a a ，155=n S ，则=n 。
9、设等差数列{a n }，{b n }的前n
项和分别为,n n S T ，且
n n
S T 71427
n n +=
+，则
1111
a b =_________________________.
11、数列{a n }前n 项和S n =2n 2 + 3n + 1,则数列{a n }的通项公式是_________
12、设等差数列{}n a 的第10项为23，第25项为22-，求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n a。