江苏省南京市第十二中学2015-2016学年高二数学上学期期终考试模拟卷B

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【数学】2015-2016年高二上数学期末试卷与答案

南京市2015－2016学年度第一学期高二期末调研数学卷2016.01一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．1．命题：“ x ∈Q ，x 2－8＝0”的否定是▲．2．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y 2＝2px 经过点(4，2)，则实数p ＝▲．3．在平面直角坐标系xOy 中，圆x 2＋y 2－6x ＋8y ＋21＝0的半径为▲．4．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程是▲．5．已知p ：0＜m ＜1，q ：椭圆x 2m ＋y 2＝1的焦点在y 轴上，则p 是q 的▲条件（用“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”或“既不充分也不必要”填空）．6．函数f (x )＝x ＋sin x 的图象在点O (0，0)处的切线方程是▲．7．已知实数x ，y≥1，≥0，＋y ≤2，则z ＝x －2y 的最大值是▲．8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以正方形ABCD 的两个顶点A ，B 为焦点，且过点C 、D 的双曲线的离心率是▲．9．函数f (x )＝xex （e 为自然对数的底数）的最大值是▲．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点O (0，0)，A (3，0)，动点P 满足2PO ＝PA ，则点P的轨迹方程是▲．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝4x 上一点P 到点A (3，0)的距离等于它到准线的距离，则PA ＝▲．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝3x ，y ＝0，x ＝t (t ＞0)围成的△OAB 的面积为S (t )，则S (t )在t ＝2时的瞬时变化率是▲．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x ＋y ＋m ＝0和圆M ：x 2＋y 2＝9．若圆M 上存在点P ，使得P 到直线l 的距离为2，则实数m 的取值范围是▲．14．已知函数y ＝x 3－3x 在区间[a ，a ＋1](a ≥0)上的最大值与最小值的差为2，则满足条件的实数a 的所有值是▲．xO y A B CD(第8题)二、解答题：本大题共6小题，共计58分．15．（本题满分8分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C过点(0，2)，其焦点为F1(－5，0)，F2(5，0)．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点P在椭圆C上，且PF1＝4，求△PF1F2的面积．16．（本题满分10分）已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|x2－ax＜0}．（1）若a＝2，求A∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 经过点A (1，0)，B (3，0)，C (0，1)．（1）求圆M 的方程；（2）若直线l ：mx －2y －(2m ＋1)＝0与圆M 交于点P ，Q ，且MP →·MQ →＝0，求实数m 的值．18．（本题满分10分）A 、B 两地相距300km ，汽车从A 地以v km/h 的速度匀速行驶到B 地（速度不超过60km/h ）．已知汽车每小时．．．的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为250元，可变成本（单位：元）与速度v 的立方成正比，比例系数为11000．设全程的运输成本为y 元．（1）求y 关于v 的函数关系；（2）为使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？已知函数f(x)＝ln x．（1）若直线y＝2x＋p(p∈R)是函数y＝f(x)图象的一条切线，求实数p的值．（2）若函数g(x)＝x－mx－2f(x)(m∈R)有两个极值点，求实数m的取值范围．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2m＋8＋y2m＝1(m＞0)的离心率为63．（1）求m的值；（2）设点A为椭圆C的上顶点，问是否存在椭圆C的一条弦AB，使直线AB与圆(x－1)2＋y2＝r2(r＞0)相切，且切点P恰好为线段AB的中点？若存在，求满足条件的所有直线AB的方程和对应的r的值；若不存在，说明理由．南京市2015－2016学年度第一学期高二期末调研数学参考答案及评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）1．∀x ∈Q ，x 2－8≠02．123．24．y ＝±x 5．充要6．y ＝2x7．28．2＋19．1e10．x 2＋y 2＋2x －3＝011．312．2313．[－52，52]14．0和3－1二、解答题（本大题共6小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．解（1）由题意可知，c ＝5，b ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2＝9，……………………2分所以椭圆C 的标准方程为x 29＋y 24＝1．……………………4分（2）方法（一）由（1）可知，F 1F 2＝25，PF 1＋PF 2＝6，又PF 1＝4，所以PF 2＝2，…………………6分所以PF 12＋PF 22＝F 1F 22，所以PF 1⊥PF 2，所以△PF 1F 2的面积为12×PF 1·PF 2＝4．……………………8分方法（二）由（1）可知e ＝53，设P (x 0，y 0)，因为PF 1＝4，所以3＋53x 0＝4，解得x 0＝35，…………………6分代入方程得15＋y 024＝1，解得|y 0|＝45，所以△PF 1F 2的面积为12×25×45＝4．……………………8分16．解（1）当a ＝2时，B ＝{x |0＜x ＜2}．………………………3分所以A ∩B ＝{x |1＜x ＜2}．………………………5分（2）a ＝0时，B ＝∅，a ＜0时，B ＝{x |a ＜x ＜0}，a ＞0时，B ＝{x |0＜x ＜a }．…………7分因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，所以A ⊆B ，所以a ≥3，即实数a 的取值范围为[3，＋∞)．……………………10分17．解（1）方法（一）设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，＋F＋1＝0，D＋F＋9＝0，＋F＋1＝0，…………………………2分＝－4，＝－4，＝3．所以圆M的方程x2＋y2－4x－4y＋3＝0．……………………4分方法（二）线段AC的垂直平分线的方程为y＝x，线段AB的垂直平分线的方程为x＝2，＝x，＝2，解得M(2，2)．……………………2分所以圆M的半径r＝AM＝5，所以圆M的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5．……………………4分（2）因为·＝0，所以∠PMQ＝π2．又由（1）得MP＝MQ＝r＝5，所以点M到直线l的距离d＝102．………………………8分由点到直线的距离公式可知，|2m－4－2m－1|m2＋4＝102，解得m＝±6．………………………10分18．解（1）由题意知y＝(v31000＋250)×300v＝300(v21000＋250v)（0＜v≤60）．……………………4分（2）设f(v)＝v21000＋250v，v＞0，则f′(v)＝v500－250v2，由f′(v)＝0得，v＝50，……………………6分当0＜v＜50时，f′(v)＜0，当50＜v＜60时，f′(v)＞0，…………………8分所以v＝50时，f(v)取得最小值，即y取得最小值．答：为使全程运输成本最小，汽车应以50km/h速度行驶．………………10分19．解（1）方法（一）由题意知f ′(x )＝1x．设切点的坐标为(x 0，ln x 0)，则1x 0＝2，解得x 0＝12，所以切点的坐标为(12，－ln2)，代入直线y ＝2x ＋p ，解得p ＝－1－ln2．……………………4分方法（二）f ′(x )＝1x，设切点的坐标为(x 0，ln x 0)，则切线的方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，即y ＝1x 0·x ＋ln x 0－1，又切线方程为y ＝2x ＋p ，2，ln x 0－1，解得p ＝－1－ln2．…………………4分（2）函数g (x )的定义域为(0，＋∞)，且g ′(x )＝1＋m x 2－2x ＝x 2－2x ＋mx 2．………………6分由题意可知，关于x 的方程x 2－2x ＋m ＝0有两个不相等的正根x 1，x 2，…………………8分＞0，4－4m ＞0，解得0＜m ＜1．即实数m 的取值范围是(0，1)．…………………10分20．解（1）由题意a 2＝m ＋8，b 2＝m ，所以c 2＝a 2－b 2＝8．又椭圆的离心率为63，所以8m ＋8＝23，解得m ＝4．…………………3分（2）由（1）知椭圆C 的方程为x 212＋y 24＝1，所以A (0，2)．假设存在椭圆C 的一条弦AB 满足条件．方法（一）当AB 斜率不存在时，AB 的方程为x ＝0，显然符合题意，此时P (0，0)，r ＝1．……………………4分当AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋2，P (x 0，y 0)，x 2＋3y 2＝12，y ＝kx ＋2，消去y ，整理得，(1＋3k 2)x 2＋12kx ＝0，解得x ＝0或x ＝－12k1＋3k 2，……………………6分所以x 0＝－6k1＋3k 2，y 0＝21＋3k2．由21＋3k 2－0－6k 1＋3k 2－1×k ＝－1，得3k 2＋4k ＋1＝0，解得k ＝－1或k ＝－13．………………………9分所以直线AB ：y ＝－x ＋2，r ＝22，或直线AB ：y ＝－13x ＋2，r ＝102．综上，存在这样的弦AB ．直线AB ：x ＝0，r ＝1；直线AB ：y ＝－x ＋2，r ＝22；直线AB ：y ＝－13x ＋2，r ＝102．……………………10分方法（二）设P (x 0，y 0)，则B (2x 0，2y 0－2)．因为B 在椭圆C 上，所以(2x 0)2＋3(2y 0－2)2＝12，即x 20＋3(y 0－1)2＝3，所以x 20＋3y 20－6y 0＝0．①……………………5分设M (1，0)，则MP ⊥AB ，所以·＝0，即2x 0(x 0－1)＋(2y 0－4)y 0＝0，x 20＋y 20－x 0－2y 0＝0．②…………………7分0＝0，0＝0，0＝0，0＝2，(舍)0＝32，0＝32，0＝32，0＝12．当点P 为(0，0)时，直线AB 方程为x ＝0，r ＝1；当点P 为(32，32)时，直线AB 方程为y ＝－13x ＋2，r ＝102．当点P 为(32，12)时，直线AB 方程为y ＝－x ＋2，r ＝22．综上，存在这样的弦AB ．直线AB ：x ＝0，r ＝1；直线AB ：y ＝－x ＋2，r ＝22；直线AB ：y ＝－13x ＋2，r ＝102．……………………………10分。

(优辅资源)江苏省南京市高二数学上学期期终考试模拟卷D1

南京市第十二中学高二数学第一学期期终练习D 卷姓名成绩一、填空题：1．直线013=+-y x 的倾斜角=α ．2．命题“01,2≥-∈∀x R x ”的否定为．3．已知椭圆222125x y m +=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m = ．4．在平面直角坐标系xOy 中，焦点为)0,2(-的抛物线的标准方程为． 5．“a ＝－1”是“直线ax ＋y ＋1＝0与直线x ＋ay ＋2＝0平行”的条件． 6．已知点),1,5(-M 则它关于直线06:=-+y x l 的对称点的坐标为． 7．圆0222:221=-+++y x y x C 与圆0626:222=++-+y x y x C 的公切线有且只有条.8．已知函数 x e y =在点P 处的切线经过原点，则此切线的方程为． 9．函数,cos 2sin )(xxx f -=则)0('f 的值为．10．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝．11．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的左焦点为F 1，顶点为A 1、A 2，P 是双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆的位置关系为．12．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，点A 为右顶点，点B 为上顶点，坐标原点O 到直线AB 的距离为c 530（其中c 为半焦距），则椭圆的离心率e 为． 13．若直线kx y =是曲线x x x y +-=23的切线，则k 的值为．14．已知关于x 的不等式m x x --≤22至少有一个负数解，则实数m 的最小值为．二、解答题：15．已知命题p ：方程2220x ax a +-=在[-1，1]上有解，命题q ：只有一个实数x 0满足不等式02202≤++a ax x ，若命题“q p ∨”是假命题，求实数a 的取值范围。

江苏省南京市鼓楼区2015-2016学年高二上学期期中考试数学理试题精品

高二（上）期中试卷数学（理科）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本试卷共4页，均为非选择题（第1题~第20题，共20题）.本卷满分为160分.考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效.4.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、填空题（514=70⨯分）1.图2226210C x y x y +--+=的周长是＿.2.已知椭圆2212516x y +=上一点P 到椭圆的一个焦点为3，则P 到另一个焦点的距离是＿. 3.已知空间两点()11,2,3P 和()25,4,7P ，则1P，2P 两点间的距离为＿. 4.过点(1,A 且与圆224x y +=相切的直线方程是＿. 5.已知动点P 的坐标(),x y 满足约束条件：4335251.x y x y x --⎧⎪+⎨⎪⎩，，≤≤≥则使目标函数2z x y =+取得最大值时的点P 的坐标是＿.6.圆()224x y y ++=与圆()()22219x y -+-=有＿条公切线.7.顶点在原点、对称轴是坐标轴，且过点()1,2-的抛物线的标准方程为＿. 8.已知方程22151x y k k +=--表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是＿. 9.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点()1,2，则该双曲线的离心率的值为＿.10.右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶高水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽＿米.11.曲线：y y x b =+恰有1个公共点，则b 的取值范围为＿.12.如果直线1y kx =+与圆2240x y kx my +++-=交于M ，N 两点，且M ，N 关于直线0x y +=对称，若(),P a b 为平面区域1000kx y kx my y -+⎧⎪-⎨⎪⎩≥≤≥上的任意一点，则22b a +-的取值范围是＿. 13.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点1F ，2F 是椭圆的左焦点和右焦点，l 是右准线，若椭圆上存在点P ，使1PF 是P 到直线l 的距离的2倍，则该椭圆离心率的取值范围是＿.14.已知：点()1,0E ，点A 在直线1:10l x y -+=上运动，过点A ，E 的直线l 与直线2:10l x y ++=交于点B ，线段AB 的中点M 在一个曲线上运动，则这个曲线的方程是＿. 解答题（90分）15.（14分）（1）已知椭圆的焦点在x 轴上，长轴长为4，焦距为2，求椭圆的标准方程；（2）已知双曲线的渐近线方程为34y x =±，准线方程为165x =±，求该双曲线的标准方程. 16.（14分）已知圆C 的圆心为()2,4，且圆C 经过点()0,4.（1）求圆C 的标准方程；（2）过点()3,1P -作直线l 与圆C 相交于A ，B两点，AB =l 的方程.17.（14分）某企业有甲、乙两种产品，计划每天各生产不少于10吨.已知：每生产1吨甲产品，需煤3吨，电力4kw ；每生产1吨乙产品，需煤10吨，电力5kw ；每天用煤量不得超过300吨，电力不得超过200kw ；甲产品利润为每吨7万元，乙产品利润为每吨12万元，问每天生产甲、乙两种产品各多少吨时，该企业能完成计划，又能使当天的总利润最大？总利润的最大值是多少？18.（16分）已知抛物线212y x ax =-++与直线2y x =. （1）求证：抛物线与直线相交；（2）设直线与抛物线的交点分别为A ，B ，当()1,4a ∈时，求线段AB 长度的取值范围.19.（16分）已知直线l 与圆2:2402C x y x y a ++-+=相交于A ，B 两点，弦AB 的中点为()0,1M .（1）求实数a 的取值范围以及直线l 的方程；（2）已知()0,3N -，若圆C 上存在两个不用的点P ，使P M =，求实数a 的取值范围.20.（16分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，一条准线方程为x =（1）求椭圆C 的方程；（2）设()8,0P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的两个不同的点，连结PN 交于椭圆C 于另一点E ，求证：直线ME 与x 轴相交于定点.。

2015-2016年江苏省南京一中高二上学期期中数学试卷及答案(理科)

2015-2016学年江苏省南京一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每题5分，共70分）1．（5分）过点（0，1），且与直线2x+y﹣3=0平行的直线方程是．2．（5分）命题“∃x∈R，x2﹣x＞1”的否定是．3．（5分）已知直线x+2y=0与直线ax﹣y+2=0垂直，则a=．4．（5分）已知椭圆+=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为4，则P到另一焦点距离为．5．（5分）设变量x，y满足，则x+2y的最大值为．6．（5分）下列命题中，真命题是．A．∃x0∈R，e x0≤0 B．∀x∈R，2x＞x2C．a+b=0的充要条件是=﹣1 D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件．7．（5分）直线x+y﹣1=0与圆x2+y2=1相交于A，B两点，则线段AB的长度为．8．（5分）圆C1：x2+y2﹣2x+4y+4=0与圆C2：x2+y2+6x﹣2y﹣15=0的公切线有条．9．（5分）已知点（﹣3，﹣1）和（4，﹣6）在直线3x﹣2y﹣a=0的两侧，则a 的取值范围是．10．（5分）抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为2，则点M的横坐标是．11．（5分）已知双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为．12．（5分）已知圆x2+y2+mx﹣=0与抛物线x2=4y的准线相切，则m的值等于．13．（5分）设f（x）是定义在区间[﹣2，2]上的偶函数，命题p：f（x）在[0，2]上单调递减，命题q：f（1﹣m）≥f（m）．若“¬p或q”为假，则实数m的取值范围是．14．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2为椭圆=1（a＞b＞0）的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点为M，且则该椭圆的离心率为．二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知命题p：关于x的方程x2+ax+1=0有实根；命题q：关于x的函数y=2x2+ax﹣3在（2，+∞）上是增函数，若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．16．（14分）已知直线l经过直线2x+y﹣5=0与x﹣2y=0的交点，（1）若点A（5，0）到l的距离为3，求l的方程；（2）求点A（5，0）到l的距离d的最大值，并求当d最大时直线l的方程．17．（14分）已知圆C的圆心坐标为（2，﹣1），且与x轴相切．（1）求圆C的方程；（2）求过点P（3，2）且与圆C相切的直线方程；（3）求过点Q（4，2）且与圆C相切于点M（2，0）的圆的方程．18．（16分）如图，l1、l2是通过某城市开发区中心O的两条南北和东西走向的街道，连接M、N两地之间的铁路线是圆心在l2上的一段圆弧．若点M在点O 正北方向，且|MO|=3km，点N到l1、l2的距离分别为4km和5km．（1）建立适当坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；（2）若该城市的某中学拟在点O正东方向选址建分校，考虑环境问题，要求校址到点O的距离大于4km，并且铁路线上任意一点到校址的距离不能少于，求该校址距点O的最近距离（注：校址视为一个点）．19．（16分）已知P（x0，y0）（x0≠±a）是椭圆E：上一点，M，N分别是椭圆E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为﹣．（1）求椭圆的离心率；（2）过椭圆E的右焦点且斜率为1的直线交椭圆与A、B两点，O为坐标原点，C为椭圆上一点，满足，求λ的值．20．（16分）一束光线从点F1（﹣1，0）出发，经直线l：2x﹣y+3=0上一点P反射后，恰好穿过点F2（1，0）．（1）求P点的坐标；（2）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆C的方程；（3）设点Q是椭圆C上除长轴两端点外的任意一点，试问在x轴上是否存在两定点A、B，使得直线QA、QB的斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点A、B的坐标；若不存在，请说明理由．2015-2016学年江苏省南京一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每题5分，共70分）1．（5分）过点（0，1），且与直线2x+y﹣3=0平行的直线方程是2x+y﹣1=0．【解答】解：设所求的直线方程为2x+y+c=0，把点（0，1）代入可得，c=﹣1，故所求的直线方程为2x+y﹣1=0，故答案为2x+y﹣1=0．2．（5分）命题“∃x∈R，x2﹣x＞1”的否定是∀x∈R，x2﹣x≤1．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x∈R，x2﹣x＞1“的否定是：∀x∈R，x2﹣x≤1．给答案为：∀x∈R，x2﹣x≤1．3．（5分）已知直线x+2y=0与直线ax﹣y+2=0垂直，则a=2．【解答】解：∵直线x+2y=0与直线ax﹣y+2=0垂直，∴﹣=﹣1，解得a=2．故答案为：2．4．（5分）已知椭圆+=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为4，则P到另一焦点距离为6．【解答】解：由椭圆+=1，得a=5，则2a=10，∵点P到椭圆一焦点的距离为4，∴由定义得点P到另一焦点的距离为2a﹣4=10﹣4=6．故答案为：6．5．（5分）设变量x，y满足，则x+2y的最大值为2．【解答】解：由约束条件，得如图所示的三角形区域，由可得顶点A（0，1），令z=x+2y，平移直线z=x+2y，直线z=x+2y过点A（0，1）时，z取得最大值为2；故答案为：2．6．（5分）下列命题中，真命题是D．A．∃x0∈R，e x0≤0 B．∀x∈R，2x＞x2C．a+b=0的充要条件是=﹣1 D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件．【解答】解：A．由∀x∈R，可得e x＞0．因此∃x0∈R，e x0≤0 是假命题．B．∀x∈R，2x＞x2，是假命题，例如取x=2，4时，2x=x2．C．=﹣1⇒a+b=0，反之不成立，例如取b=0时，因此a+b=0是=﹣1的必要不充分条件，是假命题．D．a＞1，b＞1⇒ab＞1，反之不成立，例如取a=4，b=．∴a＞1，b＞1是ab ＞1的充分条件．是真命题．故答案为：D．7．（5分）直线x+y﹣1=0与圆x2+y2=1相交于A，B两点，则线段AB的长度为．【解答】解：因为直线x+y﹣1=0与圆x2+y2=1相交于A，B两点，圆的圆心（0，0），半径为1，所以==，则线段AB的长度为．故答案为：．8．（5分）圆C1：x2+y2﹣2x+4y+4=0与圆C2：x2+y2+6x﹣2y﹣15=0的公切线有2条．【解答】解：圆C1：x2+y2﹣2x+4y+4=0，转化为：（x﹣1）2+（y+2）2=1，所以圆C1是以（1，﹣2）为圆心1为半径的圆．圆C2：x2+y2+6x﹣2y﹣15=0，转化为：（x+3）2+（y﹣1）2=25，所以圆C2是以（﹣3，1）为圆心5为半径的圆．故圆心距为d=，故：4＜d＜6，所以两圆相交．故两元的公切线有2条．故答案为：29．（5分）已知点（﹣3，﹣1）和（4，﹣6）在直线3x﹣2y﹣a=0的两侧，则a 的取值范围是﹣7＜a＜24．【解答】解：因为点（﹣3，﹣1）和点（4，﹣6）在直线3x﹣2y﹣a=0的两侧，所以，（﹣3×3+2×1﹣a）[3×4+2×6﹣a]＜0，即：（a+7）（a﹣24）＜0，解得﹣7＜a＜24故答案为：﹣7＜a＜24．10．（5分）抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为2，则点M的横坐标是1．【解答】解：抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1，∵抛物线y2=4x上点到焦点的距离等于2，∴根据抛物线点到焦点的距离等于点到准线的距离，∴可得所求点的横坐标为1．故答案为：111．（5分）已知双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为．【解答】解：∵双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，∴，解得，a=2∴双曲线的方程为故答案为：12．（5分）已知圆x2+y2+mx﹣=0与抛物线x2=4y的准线相切，则m的值等于±．【解答】解：抛物线x2=4y的准线为y=﹣1，圆的圆心O（﹣，0），半径r=，∵圆与抛物线x2=4y的准线相切，∴圆心O（﹣，0）到准线为y=﹣1的距离d=r，∴，解得m=，故答案为：．13．（5分）设f（x）是定义在区间[﹣2，2]上的偶函数，命题p：f（x）在[0，2]上单调递减，命题q：f（1﹣m）≥f（m）．若“¬p或q”为假，则实数m的取值范围是．【解答】解：“¬p或q”为假，则命题p为真命题，命题q为假命题故f（x）在[0，2]上单调递减，又∵f（x）是定义在区间[﹣2，2]上的偶函数，∴f（x）在[﹣2，0]上单调递增若f（1﹣m）≥f（m）为假命题则解得﹣1≤m＜故答案为[﹣1，）14．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2为椭圆=1（a＞b＞0）的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点为M，且则该椭圆的离心率为．【解答】解：直线A1B2的方程为y=+b，直线B1F的方程为y=x﹣b，联立方程组，解得T（，）．∵，∴M（，），把M代入椭圆方程得：+=a2b2，即4c2+（a+c）2=9（a﹣c）2，化简得：2a2+c2﹣5ac=0，∴e2﹣5e+2=0，解得e=或e=（舍去）．故答案为：．二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知命题p：关于x的方程x2+ax+1=0有实根；命题q：关于x的函数y=2x2+ax﹣3在（2，+∞）上是增函数，若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：命题p：关于x的方程x2+ax+1=0有实根；则△=a2﹣4≥0，解得a ≥2或a≤﹣2．命题q：关于x的函数y=2x2+ax﹣3在（2，+∞）上是增函数，∴≤2，解得a ≥﹣2．若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，则命题p与q必然一真一假，∴，或，解得a＜﹣2，或﹣2＜a＜2．∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，2）．16．（14分）已知直线l经过直线2x+y﹣5=0与x﹣2y=0的交点，（1）若点A（5，0）到l的距离为3，求l的方程；（2）求点A（5，0）到l的距离d的最大值，并求当d最大时直线l的方程．【解答】解：（1）经过两已知直线交点的直线系方程为（2x+y﹣5）+λ（x﹣2y）=0，即（2+λ）x+（1﹣2λ）y﹣5=0，∵点A（5，0）到l的距离为3，∴，解得：．故直线的方程为：x=2或4x﹣3y﹣5=0．（2））由解得，交点P（2，1），如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤|PA|，（当l⊥PA时等号成立）．∴d max=|PA|=．①当直线l为x=2时，直线的方程为y=0．②当直线l为4x﹣3y﹣5=0时，直线的方程为y=﹣，整理得：3x+4y﹣5=0．故直线的方程为：y=0或3x+4y﹣5=0．17．（14分）已知圆C的圆心坐标为（2，﹣1），且与x轴相切．（1）求圆C的方程；（2）求过点P（3，2）且与圆C相切的直线方程；（3）求过点Q（4，2）且与圆C相切于点M（2，0）的圆的方程．【解答】解：（1）因为圆C的圆心坐标为（2，﹣1），且与x轴相切．所以圆的半径为1，所以所求圆的方程为：（x﹣2）2+（y+1）2=1；（2）①切线的斜率存在时，设过点P（3，2）且与圆C相切的直线方程为y﹣2=k （x﹣3），即kx﹣y﹣3k+2=0，则：，解得：k=所求的直线方程为：4x﹣3y﹣6=0．②当直线的斜率不存在时，x=3也是圆的切线，所以所求直线方程为：4x﹣3y﹣6=0或x=3．（3）过点Q（4，2）且与圆C相切于点M（2，0）的圆的方程，则：圆心的在直线x=2上，设圆心的坐标为：（2，a），由于，解得：a=2．故圆的方程为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4．18．（16分）如图，l1、l2是通过某城市开发区中心O的两条南北和东西走向的街道，连接M、N两地之间的铁路线是圆心在l2上的一段圆弧．若点M在点O 正北方向，且|MO|=3km，点N到l1、l2的距离分别为4km和5km．（1）建立适当坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；（2）若该城市的某中学拟在点O正东方向选址建分校，考虑环境问题，要求校址到点O的距离大于4km，并且铁路线上任意一点到校址的距离不能少于，求该校址距点O的最近距离（注：校址视为一个点）．【解答】解：（1）分别以l2、l1为x轴，y轴建立如图坐标系．据题意得M（0，3），N（4，5），∴，MN中点为（2，4），∴线段MN的垂直平分线方程为：y﹣4=﹣2（x﹣2）），故圆心A的坐标为（4，0），半径，（5分）∴弧的方程为：（x﹣4）2+y2=25（0≤x≤4，5≥y≥3）．（8分）（2）设校址选在B（a，0）（a＞4），则，对0≤x≤4恒成立．即，对0≤x≤4恒成立．整理得：（8﹣2a）x+a2﹣17≥0，对0≤x≤4恒成立（﹡）．（10分）令f（x）=（8﹣2a）x+a2﹣17．∵a＞4，∴8﹣2a＜0，∴f（x）在[0，4]上为减函数，（12分）∴要使（﹡）恒成立，当且仅当，即，解得a≥5，（14分）即校址选在距O最近5km的地方．（16分）19．（16分）已知P（x0，y0）（x0≠±a）是椭圆E：上一点，M，N分别是椭圆E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为﹣．（1）求椭圆的离心率；（2）过椭圆E的右焦点且斜率为1的直线交椭圆与A、B两点，O为坐标原点，C为椭圆上一点，满足，求λ的值．【解答】解：（1）∵P（x0，y0）（x0≠a）是椭圆E：上一点，∴，∵M，N分别是椭圆E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率的乘积等于﹣，∴，∴a2=5b2，c2=4b2，得e==；（2）联立方程组，得6x2+10cx+15b2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，再设C（x3，y3），由，得x3=λx1+x2，y3=λy1+y2，由于C为椭圆上的点，即，则（λx1+x2）2+5（λy1+y2）2=5b2，整理得：=5b2 ①，由于A（x1，y1），B（x2，y2）在椭圆上，即，，又x1x2+5y1y2=x1x2+5（x1+c）（x2+c）=6x1x2+5c（x1+x2）+5c2=6•+5c（﹣）+5c2==，代入①得，即，解得：λ=0，或λ=﹣．20．（16分）一束光线从点F1（﹣1，0）出发，经直线l：2x﹣y+3=0上一点P反射后，恰好穿过点F2（1，0）．（1）求P点的坐标；（2）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆C的方程；（3）设点Q是椭圆C上除长轴两端点外的任意一点，试问在x轴上是否存在两定点A、B，使得直线QA、QB的斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点A、B的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设F1关于l的对称点为F（m，n），则且，解得，，即．由，解得．（2）因为PF1=PF，根据椭圆定义，得2a=PF1+PF2=PF+PF2=FF2=，所以a=．又c=1，所以b=1．所以椭圆C的方程为．（3）假设存在两定点为A（s，0），B（t，0），使得对于椭圆上任意一点Q（x，y）（除长轴两端点）都有k Qt•k Qs=k（k为定值），即•，将代入并整理得（*）．由题意，（*）式对任意x∈（﹣，）恒成立，所以，解之得或．所以有且只有两定点（，0），（﹣，0），使得k Qt•k Qs为定值﹣．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；xyB CAO2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ．（1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

[推荐学习]高二数学上学期期终考试模拟卷B

南京市第十二中学高二数学第一学期期终练习B 卷姓名成绩一、填空题：1．命题“∃x ∈R，x 2+ax +1<0” 的否定是 . 2．抛物线24y x =-的准线方程为 .3．“1>a 且1>b ”是“1>ab ”成立的条件．（填充分不必要，必要不充分，充要条件或既不充分也不必要）4．命题“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是_________________________.5．直线20x y λ-+=与圆22240x y x y ++-=相切，则实数λ的值为 . 6．已知条件p ：2|1|>+x ，条件q ：a x >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围可以是 .7．已知双曲线22:1916x y C -=的左、右焦点分别为12,F F ，P 为C 的右支上一点，且212PF F F =，则12PF F ∆的面积等于 .8．已知实数x , y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤≥+-03002y x y x ，则目标函数y x z -=2的范围 .9．函数)2ln()(2x x x f -=的单调递增区间是 .10．设椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=︒，则椭圆C 的离心率为 .11．在平面直角坐标系xOy 中，设点P 为圆C ：22(1)4x y -+=上的任意一点，点Q (2a ，3a -) (a ∈R )，则线段PQ 长度的最小值为 .12．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24y x =的焦点为F ，点P 在抛物线上，且位于x 轴上方．若点P 到坐标原点O的距离为F 、O 、P 三点的圆的方程是 .13．已知函数210()0x x f x a x ⎧+>⎪=≤ 在点（1,2）处的切线与()f x 的图像有三个公共点，则a 的取值范围是 .14．已知函数()f x 的定义域为R, (2)3f =,且()f x 在R 上的导函数满足'()10f x -<，则不等式22()1f x x <+的解集为 . 二、解答题：15．已知:(2)()0,p x x m -+≤2:(1)0.q x m x m +--≤ （1）若3m =，命题“p 且q ”为真，，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.16．如图所示，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AC ＝1，CB ＝2，侧棱AA 1＝1，侧面AA 1B 1B 的两条对角线交点为D ，B 1C 1的中点为M .(1)求证CD ⊥平面BDM ；(2)求面B 1BD 与面CBD 所成二面角的余弦值．17．已知椭圆E ：)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率23=e ，并且经过定点)213(，P.（1）求椭圆E 的方程；（2）设,A B 为椭圆E 的左右顶点，P 为直线4=x l ：上的一动点(点P 不在x 轴上），连AP 交椭圆于C 点，连PB 并延长交椭圆于D 点，试问是否存在λ，使得BCD ACD S S ∆∆=λ成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.18．已知椭圆E 的长轴的一个端点是抛物线2y =的焦点，离心率是3（1）求椭圆E 的方程；（2）过点C （—1，0），斜率为k 的动直线与椭圆E 相交于A 、B 两点，请问x 轴上是否存在点M ，使⋅为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。

南京市高二上数学期末近年汇编.doc

南京市2015-2016学年度第一学期高二期末调研数学卷(文科)2016.01注意事项：1.本试卷共4页，包括填空题(第1题〜笫14题)、解答题(笫15题〜笫20题)两部分.本试卷满分为100分，考试时间为100分钟.2.答题前，请务必将口己的姓名、学校、班级、学号写在答题R的密封线内.试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内.考试结束后，交回答题卡.• • •一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分.请把答案填写在弩题卡根座仅覃上1.命题''Hxv2, / >4”的否定是』.2.抛物线y = F的准线方程为』.2 23.椭圆話〒=1的左准线方程是 _.兀+ 14.记函数/⑴=「一的导函数为/(x),贝IJ广(2)的值为 _•✓V卜+y—4W0,5.已知实数x, y满足约束条件详0, 贝1很=讥+3)，的最大值为 _.“0,6.“兀>0”是“x>2”成立的▲条件(在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选出一•种).7.设直线厶：«X—3y+l=0, /2： (a—2)兀+3y=0,若1\丄g,贝U实数a的值是▲・8.函数/(A)=^V—cosx在区间[0,兀1上的最小值是▲.9 •已知曲线y = \nx在点P处的切线经过原点，则此切线的方程为_________ ・10.若直线6x+8y-12=0与圆(x~3)2+^~2)2=4相交于M, N两点，则线段MN的长为11.已知双Illi线2，—”=2 (方>0)的-•条渐近线的方程为)=3兀，贝ijb的值是丄.12.已知g(x) = x3-x2-x-l,如果存在x p x2e[0,2],使得g(AggnM,则满足该不等式的最大整数M二_.13.已知OA： «? +),,2 =], O B：(兀+ 3)2+(y —4)2 =16, P 是平面内一动点，过P 作。

2015-2016年江苏省南京市江浦、六合两校联考高二上学期期中数学试卷及参考答案

2015-2016学年江苏省南京市江浦、六合两校联考高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上）1．（5分）命题“∃x∈（0，），tanx＞sinx”的否定是．2．（5分）圆x2+y2﹣4x+6y=0的圆心坐标．3．（5分）设P是椭圆上的点．若F1、F2是椭圆的两个焦点，则PF1+PF2=．4．（5分）已知抛物线的焦点坐标是（0，﹣3），则抛物线的标准方程是．5．（5分）已知命题“若a＞b，则ac2＞bc2”及它的逆命题、否命题、逆否命题，在这四个命题中假命题有个．6．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是．7．（5分）已知双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则其离心率为．8．（5分）5＜k＜6是方程为的曲线表示椭圆时的条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）9．（5分）已知椭圆与双曲线有相同的焦距，则实数a=．10．（5分）设椭圆（a＞b＞0）的两焦点为F1，F2．若椭圆上存在点Q，使∠F1QF2=120°，椭圆离心率e的取值范围为．11．（5分）若点A（1，0）和点B（5，0）到直线l的距离依次为1和2，则这样的直线有条．12．（5分）设点P是双曲线上一点，焦点F（2，0），点A（3，2），使4|PA|+2|PF|有最小值时，则点P的坐标是．13．（5分）AB是抛物线y=x2的一条弦，若AB的中点到x轴的距离为1，则弦AB的长度的最大值为．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，过点P（﹣5，a）作圆x2+y2﹣2ax+2y﹣1=0的两条切线，切点分别为M（x1，y1），N（x2，y2），且+=0，则实数a的值为．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知命题p：|4﹣x|≤6，q：x2﹣2x+1﹣a2≥0（a＞0），若非p是q 的充分不必要条件，求a的取值范围．16．（14分）（1）已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5、3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程．（2）已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点（4，﹣）．求双曲线方程．17．（14分）已知圆满足：①截y轴所得的弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l：x﹣2y=0的距离为．求该圆的方程．18．（16分）船上两根高5m的桅杆相距10m，一条30m长的绳子两端系在桅杆的顶上，并按如图所示的方式绷紧，假设绳子位于两根桅杆所在的平面内，求绳子与甲板接触点P到桅杆AB的距离．19．（16分）已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短轴长为2，动点M（2，t）（t＞0）在椭圆的准线上．（Ⅰ）求椭圆的标准方程：（Ⅱ）求以OM为直径且被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2的圆的方程；（Ⅲ）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．20．（16分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），过左焦点F1（﹣1，0）的直线与椭圆C交于M、N两点，且△F2MN的周长为8；过点P（4，0）且不与x轴垂直的直线l与椭圆C相交于A、B两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求•的取值范围；（Ⅲ）若B点关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点．2015-2016学年江苏省南京市江浦、六合两校联考高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上）1．（5分）命题“∃x∈（0，），tanx＞sinx”的否定是，tanx ≤sinx．【解答】解：∵命题“∃x∈（0，），tanx＞sinx”是特称命题∴命题的否定为：∀x∈（0，），tanx≤sinx．故答案为：∀x∈（0，），tanx≤sinx．2．（5分）圆x2+y2﹣4x+6y=0的圆心坐标（2，﹣3）．【解答】解：将圆x2+y2﹣4x+6y=0化成标准方程，得（x﹣2）2+（y+3）2=13∴圆表示以C（2，﹣3）为圆心，半径r=的圆故答案为：（2，﹣3）3．（5分）设P是椭圆上的点．若F1、F2是椭圆的两个焦点，则PF1+PF2= 10．【解答】解：椭圆中a2=25，a=5，2a=10∵P是椭圆上的点，F1、F2是椭圆的两个焦点，∴根据椭圆的定义，PF1+PF2=2a=10故答案为：104．（5分）已知抛物线的焦点坐标是（0，﹣3），则抛物线的标准方程是x2=﹣12y．【解答】解：因为抛物线的焦点坐标是（0，﹣3），所以抛物线开口向下，且p=6，则抛物线的标准方程x2=﹣12y，故答案为：x2=﹣12y．5．（5分）已知命题“若a＞b，则ac2＞bc2”及它的逆命题、否命题、逆否命题，在这四个命题中假命题有2个．【解答】解：若a＞b，c2=0，则ac2=bc2，∴原命题若a＞b，则ac2＞bc2为假；∵逆否命题与原命题等价，∴逆否命题也为假．原命题的逆命题是：若ac2＞bc2，则c2≠0且c2＞0，则a＞b，∴逆命题为真；又∵逆命题与否命题等价，∴否命题也为真；综上，四个命题中，真命题的个数为2，故答案为：2个．6．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是[﹣，6] ．【解答】解：∵变量x，y满足约束条件，目标函数为：z=3x﹣y，直线4x﹣y+1=0与x+2y﹣2=0交于点A（0，1），直线2x+y﹣4=0与x+2y﹣2=0交于点B（2，0），直线4x﹣y+1=0与2x+y﹣4=0交于点C（，3），分析可知z在点C处取得最小值，z min=3×﹣1=﹣，z在点B处取得最大值，z max=3×2﹣0=6，∴﹣≤z≤6，故答案为[﹣，6]；7．（5分）已知双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则其离心率为2或．【解答】解：∵双曲线的两条渐近线的夹角为60°，且渐近线关于x、y轴对称，若夹角在x轴上，则双曲线的两条渐近线的倾斜角为30°，150°，斜率为若夹角在y轴上，则双曲线的两条渐近线的倾斜角为60°，120°，斜率为①若双曲线的焦点在x轴上，则或∵c2=a2+b2∴或∴或e2﹣1=3∴e=或e=2②若双曲线的焦点在y轴上，则或∵c2=a2+b2∴或∴或e2﹣1=3∴e=或e=2综上所述，离心率为2或故答案为2或8．（5分）5＜k＜6是方程为的曲线表示椭圆时的必要不充分条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）【解答】解：方程的曲线表示椭圆⇔（k﹣5）（6﹣k）＞0，k﹣5＞0，k﹣5≠6﹣k，⇔5＜k＜6，且k≠5.5．∴5＜k＜6是方程为的曲线表示椭圆时的必要不充分条件．故答案为：必要不充分．9．（5分）已知椭圆与双曲线有相同的焦距，则实数a=1．【解答】解：由题意可得a＞0，即有焦点在x轴上，可得椭圆的半焦距为，双曲线的半焦距为，由题意可得=，解得a=1．故答案为：1．10．（5分）设椭圆（a＞b＞0）的两焦点为F1，F2．若椭圆上存在点Q，使∠F1QF2=120°，椭圆离心率e的取值范围为[，1）．【解答】解：如图，当Q是椭圆的上下顶点时∠F1QF2最大；∴120°≤∠F1QF2＜180°；∴60°≤∠F1QO＜90°；∴sin60°≤sin∠F1QF2＜sin90°；∵|F1Q|=a，|F1O|=c；∴；∴椭圆离心率e的取值范围为．故答案为：[，1]．11．（5分）若点A（1，0）和点B（5，0）到直线l的距离依次为1和2，则这样的直线有4条．【解答】解：分别以A，B为圆心，以1和2为半径作圆，则符合条件的直线为两圆的公切线，显然两圆外离，故两圆共有4条公切线，∴满足条件的直线l共有4条．故答案为：4．12．（5分）设点P是双曲线上一点，焦点F（2，0），点A（3，2），使4|PA|+2|PF|有最小值时，则点P的坐标是．【解答】解：∵双曲线中，a=1，b=，∴c=2，可得双曲线的离心率e=2，右准线方程为x=，设右准线为l，过P作PM⊥l于M点，连结PF，由双曲线的第二定义，可得|PM|=|PF|．∴|PA|+|PF|=|PA|+|PM|，运动点P，可得当P、A、M三点共线时，|PA|+|PM|=|AM|达到最小值．此时经过P、A、M三点的直线与x轴平行，设P（m，2），代入双曲线方程得m=，得点P（，2）．∴满足使4|PA|+2|PF|=4（|PA|+|PF|）有最小值的点P坐标为．故答案为：．13．（5分）AB是抛物线y=x2的一条弦，若AB的中点到x轴的距离为1，则弦AB的长度的最大值为．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则抛物线y=x2的准线方程为y=﹣，∴|AB|≤y1+y2+，∵弦AB的中点到x轴的距离是1，∴y1+y2=2，∴|AB|≤．故答案为：．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，过点P（﹣5，a）作圆x2+y2﹣2ax+2y﹣1=0的两条切线，切点分别为M（x1，y1），N（x2，y2），且+=0，则实数a的值为3或﹣2．【解答】解：设MN中点为Q（x0，y0），T（1，0），圆心R（a，﹣1），根据对称性，MN⊥PR，===，∵k MN=，+=0∴k MN•k TQ=﹣1，∴MN⊥TQ，∴P，Q，R，T共线，∴k PT=k RT，即，∴a2﹣a﹣6=0，∴a=3或﹣2．故答案为：3或﹣2．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知命题p：|4﹣x|≤6，q：x2﹣2x+1﹣a2≥0（a＞0），若非p是q 的充分不必要条件，求a的取值范围．【解答】解：¬p：|4﹣x|＞6，x＞10，或x＜﹣2，A={x|x＞10，或x＜﹣2}q：x2﹣2x+1﹣a2≥0，x≥1+a，或x≤1﹣a，记B={x|x≥1+a，或x≤1﹣a}而¬p⇒q，∴A⊂B，即，∴0＜a≤3．16．（14分）（1）已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5、3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程．（2）已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点（4，﹣）．求双曲线方程．【解答】解：（1）设所求的椭圆方程为+=1（a＞b＞0）或+=1（a＞b ＞0），…（2分）由已知条件得，解得a=4，c=2，b2=12．…（5分）故所求椭圆方程为+=1或+=1．…（7分）（2）∵e=，∴设双曲线方程为x2﹣y2=λ．…（2分）又∵双曲线过（4，﹣）点，∴λ=16﹣10=6，…（5分）∴双曲线方程为x2﹣y2=6．…（7分）17．（14分）已知圆满足：①截y轴所得的弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l：x﹣2y=0的距离为．求该圆的方程．【解答】解：设所求圆心为P（a，b），半径为r，则圆心到x轴，y轴的距离分别为|b|、|a|，因圆P截y轴得弦长为2，由勾股定理得r2=a2+1，又圆被x轴分成两段圆弧的弧长的比为3：1，∴劣弧所对的圆心角为90°，故r=b，即r2=2b2，∴2b2﹣a2=1①，又∵P（a，b）到直线x﹣2y=0的距离为，即=，即a﹣2b=±1．②解①②组成的方程组得：或，于是即r2=2b2=2，∴所求的圆的方程为（x+1）2+（y+1）2=2或（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．18．（16分）船上两根高5m的桅杆相距10m，一条30m长的绳子两端系在桅杆的顶上，并按如图所示的方式绷紧，假设绳子位于两根桅杆所在的平面内，求绳子与甲板接触点P到桅杆AB的距离．【解答】解：以两根桅杆的顶端A，C所在直线为x轴，线段AC的垂直平分线为y轴，建立如图所示直角坐标系，…（2分）则P点在以A，C为焦点的椭圆上，依题意，此椭圆的方程为，…（8分）因为P点纵坐标为﹣5，代入椭圆方程可解得…（12分）所以P到桅杆AB的距离为m．…（14分）答：绳子与甲板接触点P到桅杆AB的距离为m．…（16分）19．（16分）已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短轴长为2，动点M（2，t）（t＞0）在椭圆的准线上．（Ⅰ）求椭圆的标准方程：（Ⅱ）求以OM为直径且被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2的圆的方程；（Ⅲ）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．【解答】解：（Ⅰ）又由点M在准线上，得=2故=2，∴c=1，从而a=所以椭圆方程为+y2=1；（Ⅱ）以OM为直径的圆的方程为x（x﹣2）+y（y﹣t）=0即（x﹣1）2+=+1，其圆心为（1，），半径r=因为以OM为直径的圆被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2所以圆心到直线3x﹣4y﹣5=0的距离d==所以=，解得t=4所求圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5（Ⅲ）设N（x0，y0），则=（x0﹣1，y0），=（2，t），=（x0﹣2，y0﹣t），=（x0，y0），∵，∴2（x0﹣1）+ty0=0，∴2x0+ty0=2，又∵，∴x0（x0﹣2）+y0（y0﹣t）=0，∴x02+y02=2x0+ty0=2，所以||==为定值．20．（16分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），过左焦点F1（﹣1，0）的直线与椭圆C交于M、N两点，且△F2MN的周长为8；过点P（4，0）且不与x轴垂直的直线l与椭圆C相交于A、B两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求•的取值范围；（Ⅲ）若B点关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得c=1，△F2MN的周长为8，由椭圆的定义可得4a=8，可得a=2，即有b==，则椭圆的方程为+=1；（Ⅱ）解：由题意知直线AB的斜率存在，设直线PB的方程为y=k（x﹣4），由代入椭圆的方程得：（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0由△=（﹣32k2）2﹣4（4k2+3）（64k2﹣12）＞0得：k2＜，设A（x1，y1），B （x2，y2），则x1+x2=，x1x2=①，∴y1y2=k2（x1﹣4）（x2﹣4）=k2x1x2﹣4k2（x1+x2）+16k2，∴•=x1x2+y1y2=（1+k2）•﹣4k2•+16k2=25﹣，∵0≤k2＜，∴﹣29≤﹣＜﹣，∴•∈[﹣4，），∴•的取值范围是[﹣4，）．（Ⅲ）证明：∵B、E两点关于x轴对称，∴E（x2，﹣y2），直线AE的方程为y﹣y1=（x﹣x1），令y=0得：x=x1﹣，又y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4），∴x=，由将①代入得：x=1，∴直线AE与x轴交于定点（1，0）．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

江苏省南京市第十二中学高二数学上学期期终考试模拟卷

南京市第十二中学高二数学第一学期期终练习B 卷姓名成绩一、填空题：1．命题“∃x ∈R，x 2+ax +1<0” 的否定是 . 2．抛物线24y x =-的准线方程为 .3．“1>a 且1>b ”是“1>ab ”成立的条件．（填充分不必要，必要不充分，充要条件或既不充分也不必要）4．命题“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是_________________________. 5．直线20x y λ-+=与圆22240x y x y ++-=相切，则实数λ的值为 . 6．已知条件p ：2|1|>+x ，条件q ：a x >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围可以是 .7．已知双曲线22:1916x y C -=的左、右焦点分别为12,F F ，P 为C 的右支上一点，且212PF F F =，则12PF F ∆的面积等于 .8．已知实数x , y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤≥+-03002y x y x ，则目标函数y x z -=2的范围 .9．函数)2ln()(2x x x f -=的单调递增区间是 .10．设椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=︒，则椭圆C 的离心率为 .11．在平面直角坐标系xOy 中，设点P 为圆C ：22(1)4x y -+=上的任意一点，点Q (2a ，3a -) (a ∈R )，则线段PQ 长度的最小值为 .12．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24y x =的焦点为F ，点P 在抛物线上，且位于x 轴上方．若点P 到坐标原点O的距离为F 、O 、P 三点的圆的方程是 .13．已知函数2210()40x x f x x x a x ⎧+>⎪=⎨--+≤⎪⎩ 在点（1,2）处的切线与()f x 的图像有三个公共点，则a 的取值范围是 .14．已知函数()f x 的定义域为R, (2)3f =,且()f x 在R 上的导函数满足'()10f x -<，则不等式22()1f x x <+的解集为 . 二、解答题：15．已知:(2)()0,p x x m -+≤2:(1)0.q x m x m +--≤ （1）若3m =，命题“p 且q ”为真，，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.16．如图所示，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AC ＝1，CB ＝2，侧棱AA 1＝1，侧面AA 1B 1B 的两条对角线交点为D ，B 1C 1的中点为M .(1)求证CD ⊥平面BDM ；(2)求面B 1BD 与面CBD 所成二面角的余弦值．17．已知椭圆E ：)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率23=e ，并且经过定点)213(，P .（1）求椭圆E 的方程；（2）设,A B 为椭圆E 的左右顶点，P 为直线4=x l ：上的一动点(点P 不在x 轴上），连AP 交椭圆于C 点，连PB 并延长交椭圆于D 点，试问是否存在λ，使得BCD ACD S S ∆∆=λ成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.18．已知椭圆E 的长轴的一个端点是抛物线245y x =的焦点，离心率是63（1）求椭圆E 的方程；（2）过点C （—1，0），斜率为k 的动直线与椭圆E 相交于A 、B 两点，请问x 轴上是否存在点M ，使MB MA ⋅为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。

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19．某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线2()1(0)f x ax a =->的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M 、N ，交曲线于点P ，设(,())P t f t （1）将OMN ∆（O 为坐标原点）的面积S 表示成t 的函数()S t ；（2）若在12t =处，()S t 取得最小值，求此时a 的值及()S t 的最小值.20．已知a R ∈，函数()ln()(1)f x x x a x =-+-.（1）若()f x 在x e =-处取得极值，求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在区间21[,]e e ---上的最大值()g a .南京市第十二中学高二数学第一学期期终练习B 卷姓名成绩一、填空题：1．命题“∃x ∈R，x 2+ax +1<0” 的否定是 ▲ ．【答】2,10x R x ax ∀∈++≥2．抛物线24y x =-的准线方程为 .3．“1>a 且1>b ”是“1>ab ”成立的条件．（填充分不必要，必要不充分，充要条件或既不充分也不必要）4．命题“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是_________________________.5．直线20x y λ-+=与圆22240x y x y ++-=相切，则实数λ的值为_____▲______． 6．已知条件p ：2|1|>+x ，条件q ：a x >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围可以是___[)1,+∞___.7．已知双曲线22:1916x y C -=的左、右焦点分别为12,F F ，P 为C 的右支上一点，且212PF F F =，则12PF F ∆的面积等于____48__．8．已知实数x , y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤≥+-03002y x y x ，则目标函数y x z -=2的范围 [-2,6]9．函数)2ln()(2x x x f -=的单调递增区间是_____()+∞,2____.10．设椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=︒，则椭圆C 的离心率为11．在平面直角坐标系xOy 中，设点P 为圆C ：22(1)4x y -+=上的任意一点，点Q (2a ，3a -) (a ∈R )，则线段PQ 长度的最小值为．12．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24y x =的焦点为F ，点P 在抛物线上，且位于x 轴上方．若点P 到坐标原点O 的距离为，则过F 、O 、P 三点的圆的方程是221725()()222x y -+-= ．13．已知函数210()0x x f x a x ⎧+>⎪=≤ 在点（1,2）处的切线与()f x 的图像有三个公共点，则a的取值范围是(48]--- ；14．已知函数()f x 的定义域为R, (2)3f =,且()f x 在R 上的导函数满足'()10f x -<，则不等式22()1f x x <+的解集为(),-∞+∞二、解答题：15．已知:(2)()0,p x x m -+≤2:(1)0.q x m x m +--≤（1）若3m =，命题“p 且q ”为真，，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围. 解（1）[]1,2x ∈- （2）[]1,2m ∈16．如图所示，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AC ＝1，CB ＝2，侧棱AA 1＝1，侧面AA 1B 1B 的两条对角线交点为D ，B 1C 1的中点为M .(1)求证CD ⊥平面BDM ；(2)求面B 1BD 与面CBD 所成二面角的余弦值．解：如图，以C 为原点建立空间直角坐标系． (1)证明：B (2，0,0)，B 1(2，1,0)，A 1(0,1,1)，D ⎝⎛⎭⎪⎫22，12，12，M ⎝⎛⎭⎪⎫22，1，0，∴＝⎝⎛⎭⎪⎫22，12，12，＝(2，－1，－1)，＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，－12，则＝0，∴CD ⊥A 1B ，CD ⊥DM ，因为A 1B 、DM 为平面BDM 内两条相交直线，所以CD ⊥平面BDM . (2)设BD 中点为G ，连结B 1G ，则G ⎝ ⎛⎭⎪⎫324，14，14，＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，12，12，＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－24，－34，14，∴＝0.∴BD ⊥B 1G ，又CD ⊥BD ，∴的夹角θ等于所求二面角的平面角，cos θ＝＝－33，所以所求二面角的余弦值为－33.17．已知椭圆E ：)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率23=e ，并且经过定点)213(，P .（1）求椭圆E 的方程；（2）设,A B 为椭圆E 的左右顶点，P 为直线4=xl ：上的一动点(点P 不在x 轴上），连AP交椭圆于C 点，连PB 并延长交椭圆于D 点，试问是否存在λ，使得BCD ACD S S ∆∆=λ成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）2214x y +=;（2）存在，3λ=. （2）存在，3λ=。

设00(4,)(0)P y y ≠，又(2,0)A -，则06AP y k = 故直线AP 的方程为：0(2)6y y x =+，代入方程（1）并整理得： 2222000(9)44360y x y x y +++-=。

2020429A C C y x x x y +=-+=-+ 即20201829C y x y -=+，02069C y y y ∴=+ 同理可解得：2002200222,11D Dy y x y y y --==++ 02023C D CD C D y y y k x x y -∴==-- 故直线CD 的方程为()CD C C y k x x y =-+，即200(3)2(1)0y y y x -+-+= 直线CD 恒过定点E (1,0).∴sin 33sin 1ACD BCD CD AE AEC AE S S CD EB BEC EB λ∆⋅⋅∠=====⋅⋅∠.18．已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线2y =的焦点，离心率是3（1）求椭圆E 的方程；（2）过点C （—1，0），斜率为k 的动直线与椭圆E 相交于A 、B 两点，请问x 轴上是否存在点M ，使⋅为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。

【答案】（1）5322=+y x ；（2）73m =-，存在点)0,37(-M 满足题意（2）假设存在点M 符合题意，设AB ：),1(+=x k y 代入53:22=+y x E 得：0536)13(2222=-+++k x k x k)0,(),,(),,(2211m M y x B y x A 设则1353,136********+-=+-=+k k x x k k x x19．某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线2()1(0)f x ax a =->的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M 、N ，交曲线于点P ，设(,())P t f t （1）将OMN ∆（O 为坐标原点）的面积S 表示成t 的函数()S t ；（2）若在12t =处，()S t 取得最小值，求此时a 的值及()S t 的最小值. 17．解：（1）2y ax '=-，切线的斜率为2at -， ∴切线l 的方程为2(1)2()y at at x t --=--令0,y =得22221121222at at at at x t at at at --++=+== 21(,0)2at M at+∴,………3分令0t =,得2222121,(0,1)y at at at N at =-+=+∴+…MON ∴∆的面积222211(1)()(1)224at at S t at at at ++=⋅+= …6分(2) 2422222321(1)(31)()44a t at at at S t at at +-+-'== 0,0a t >> ,由()0S t '=,得2310,at t -==得8分当2310,at t ->>即时, ()0S t '>当2310,0at t -<<<即时, ()0S t '<,()t S t ∴=当有最小值已知在12t =处, ()S t 取得最小值,14,23a =∴=………12分故当41,32a t ==时,2min 41(1)1234()()4123432S t S +⋅===⋅⋅20．已知a R ∈，函数()ln()(1)f x x x a x =-+-.（1）若()f x 在x e =-处取得极值，求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在区间21[,]e e ---上的最大值()g a .解：（1）()ln()f x x a '=-+ ，由题意知x e =-时，()0f x '=，即：()10f e a '-=+=， ∴1a =- ……… 3分∴ ()ln()2f x x x x =--， ()ln()1f x x '=-- 令()ln()10f x x '=--=，可得x e =- 令()ln()10f x x '=-->，可得x e <- 令()ln()10f x x '=--<，可得0e x -<< ∴ ()f x 在(,)e -∞-上是增函数，在(,0)e -上是减函数，…… 6分（2）()ln()f x x a '=-+，∵21[,]x e e -∈--， ∴ 12[,]x e e --∈， ∴ ln()[1,2]x -∈-， ……………… 7分① 若1a ≥，则()ln()0f x x a '=-+≥恒成立，此时()f x 在21[,]e e ---上是增函数，11max ()()(2)f x f e a e --=-=- ……………… 9分② 若2a ≤-，则()ln()0f x x a '=-+≤恒成立，此时()f x 在21[,]e e ---上是减函数，22max ()()(1)f x f e a e =-=-+ …………… 11分③ 若21a -<<，则令()ln()0f x x a '=-+=可得ax e-=-∵()ln()f x x a '=-+是减函数，∴当a x e -<-时()0f x '>，当ax e ->-时()0f x '<∴()f x 在(,)e -∞- 21[,]e e ---上左增右减，∴max ()()a a f x f e e --=-=， ………………………………… 13分综上：12(2)1()(1)221aa e a g a a e a e a --⎧-≥⎪=-+≤-⎨⎪-<<⎩。