【精品】高考数学数列
高考数列必考知识点
高考数列必考知识点数列作为高中数学中的重要知识点之一，在高考中占据着重要的位置。
掌握数列的概念、性质以及常见的数列类型是高考数学取得好成绩的必备知识。
本文将为同学们总结归纳高考数列必考的知识点。
一、数列的概念和性质1. 数列的定义：数列是按照一定顺序排列的由数字组成的序列。
2. 数列的通项公式：数列的通项公式表示数列中第n个数的一般项，常用符号有an或者Un。
3. 数列的首项和公差：对于等差数列，首项表示数列的第一个数，常用符号是a1；公差表示相邻两项之间的差值，常用符号是d。
4. 数列的递推公式：数列的递推公式表示数列中第n+1项与第n项的关系式。
二、等差数列1. 等差数列的定义：等差数列是指数列中相邻两项之差保持不变的数列。
2. 等差数列的通项公式：对于公差为d的等差数列，其通项公式为an = a1 + (n-1)d。
3. 等差数列前n项和：等差数列前n项和的公式为Sn = (a1 + an) *n / 2。
三、等比数列1. 等比数列的定义：等比数列是指数列中相邻两项之比保持不变的数列，且首项不能为0。
2. 等比数列的通项公式：对于公比为q的等比数列，其通项公式为an = a1 * q^(n-1)。
3. 等比数列前n项和：等比数列前n项和的公式为Sn = a1 * (1-q^n) / (1-q)。
四、特殊数列1. 斐波那契数列：斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项之和，首几项为0、1、1、2、3、5、8、13……2. 等差-等比混合数列：等差-等比混合数列是指数列中既存在等差关系又存在等比关系的数列。
五、数列求和问题1. 常用的数列求和方法：对于等差数列或者等比数列，可以通过数列求和公式或者特殊方法进行求和。
2. 数列求和的技巧：对于一些特殊的数列，可以利用数列的性质进行化简，从而简化求和的过程。
六、题目实战演练1. 高考数列选择题：通过对历年高考数学试卷中关于数列的选择题进行分类整理，帮助同学们熟悉数列的考点和解题思路。
数列高考知识点归纳(非常全!) - 含答案
数列高考知识点大扫描第一节等差数列的概念、性质及前n 项和例1．等差数列{a n }中，69121520a a a a +++=，求S 20 [思路]等差数列前n 项和公式11()(1)22n n a a n n n S na d +-==+： 1、 由已知直接求a 1，公差d.2、 利用性质q p n m a a a a q p n m +=+⇒+=+[解题 ] 由69121520a a a a +++=，615912120a a a a a a +=+=+，得1202()20a a +=，12010a a ∴+=，120()201002n a a S +⨯∴==。
[收获] 灵活应用通项性质可使运算过程简化。
练习：1.等差数列{a n }满足121010a a a +++= ，则有（）A 、11010a a +> B 、21000a a +< C 、3990a a += D 、5151a =2.等差数列中,a 3+a 7-a 10=8,a 11-a 4=4,求13S 。
3.等差数列{a n }共10项，123420a a a a +++=，12360n n n n a a a a ---+++=，求S n. [思路] 已知数列前四项和与后四项和，结合通项性质，联想S n 公式推导方法。
[解题] 已知123420a a a a +++=，12360n n n n a a a a ---+++=，又14()80n a a +=，得120n a a +=，1()201010022n n a a n S +⨯∴==⨯=，[收获] 1、重视倒加法的应用，恰当运用通项性质：q p n m a a a a q p n m +=+⇒+=+，快捷准确；1、 求出1n a a +后运用“整体代换”手段巧妙解决问题。
4.等差数列{a n }前n 项和为18 ，若1S =3, 123n n n a a a --++=, 求项数n .第2变已知前n 项和及前m 项和，如何求前n+m 项和[变题2] 在等差数列{a n }中，S n =a,S m =b,(m>n)，求S n+m 的值。
高考数列知识点大全集
高考数列知识点大全集数列作为高考数学中的重要内容之一，涉及到数学的不同时期的各个分支，是一个非常丰富而广泛的知识领域。
在高考中，数列常常以各种形式出现，学生需要熟练掌握数列的相关概念和性质，以便能够灵活运用。
一、数列概述数列是由一列数字按照一定的规律排列形成的一种特殊序列，常用字母表示。
数列有限或无限两种形式，其中无限数列在高考中较为常见，主要有等差数列、等比数列和等差数列。
二、等差数列的性质与应用等差数列是指数列中相邻两项之差保持不变的数列。
等差数列的一些重要性质包括：通项公式、前n项和公式、判断等差数列、等差数列的应用等。
三、等比数列的性质与应用等比数列是指数列中相邻两项之比保持不变的数列。
等比数列的一些重要性质包括：通项公式、前n项和公式、判断等比数列、等比数列的应用等。
四、特殊数列除了等差数列和等比数列，还有一些特殊的数列在高考中也经常出现。
如斐波那契数列、调和数列、几何数列等。
这些数列的性质和应用需要学生有一定的了解和掌握。
五、数列的综合应用在高考中，数列经常与其他数学知识进行综合运用。
比如与函数、方程、不等式等进行结合求解问题，或者与排列组合、概率统计等进行结合求解概率、排列等问题。
这些综合应用的题目要求学生能够将数列的知识和其他数学知识进行有机结合，灵活运用解题思路。
六、数列解题技巧在高考中，数列的题目形式和难度千差万别。
解题时，学生需能够抓住题目的要点，灵活运用相应的解题方法。
例如，通过找规律、构造数列、利用数列性质等方法解题。
熟练掌握这些解题技巧可以帮助学生提高解题效率，提高数列题目的得分率。
七、数列知识的运用高考数列的知识是数学中的一个重要组成部分，它不仅在高考中经常考查，而且在数学和其他学科中也有广泛的应用。
例如，金融、统计、物理等领域都离不开数列的计算和应用。
因此，学生掌握数列的知识不仅是应对高考的需要，也是拓宽知识面、提高综合素养的必备能力。
总结：数列作为高考数学中的一个重要知识点，涵盖了很多内容。
高考数学数列基础知识清单
高考数学数列基础知识清单数列是数学中常见的概念，也是高考数学中的重要内容。
为了帮助同学们更好地掌握数列的基础知识，下面给出了数列相关的定义、性质和常见的求解方法。
同学们可以根据这个清单进行学习和复习，提高对数列的理解和应用能力。
一、数列的定义1. 数列是按照一定顺序排列的一串数。
2. 数列中的每个数称为数列的项，用一般表示为 an，其中 n 是项的位置。
二、等差数列1. 定义：如果一个数列中任意两个相邻的项的差值都相等，那么这个数列称为等差数列。
2. 通项公式：若等差数列的首项为 a₁，公差为 d，则它的通项公式为 an = a₁ + (n-1)d。
3. 前 n 项和公式：若等差数列的首项为 a₁，公差为 d，并且前 n 项和为 Sn，则有 Sn = (a₁ + an) / 2 * n。
三、等比数列1. 定义：如果一个数列中任意两个相邻的项的比值都相等，那么这个数列称为等比数列。
2. 通项公式：若等比数列的首项为 a₁，公比为 q，则它的通项公式为 an = a₁ * q^(n-1)。
3. 前 n 项和公式：若等比数列的首项为 a₁，公比为 q，并且前 n 项和为 Sn，则有 Sn = a₁ * (1-q^n) / (1-q)。
四、斐波那契数列1. 定义：斐波那契数列是一个特殊的数列，它的首两项都为 1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。
2. 通项公式：斐波那契数列的通项公式为 an = an-1 + an-2，其中a₁ = a₂ = 1。
五、常见数列的求解方法1. 已知某个数列的通项公式和要求的项数，可以直接代入公式计算出对应的项。
2. 已知某个数列的前 n 项和和要求的项数，可以利用前 n 项和公式和通项公式求解未知项。
3. 已知某个数列的前 n 项和和通项公式，可以通过解方程组求解出数列的首项和公差（或公比）。
六、数列的应用1. 数列在数学中有广泛的应用，尤其在概率与统计、微积分、离散数学等领域。
高三数学数列题型归纳
高三数学数列题型归纳数列是高中数学中的重要知识点，也是高考数学的常考题型之一。
在高三阶段，学生需要掌握各种数列的定义、性质、求通项公式、求和公式等各种知识点。
为了帮助大家更好地掌握数列的相关知识，本文将就高三数学数列题型的归纳进行探讨。
一、等差数列等差数列是指数列中相邻项之间的差值相等的数列。
等差数列有许多重要的性质，如通项公式、前n项和公式等。
在高考数学中，等差数列是经常出现的题型。
1. 等差数列通项公式：an=a1+(n-1)d其中，a1是等差数列的首项，d是公差，an是等差数列的第n项。
2. 等差数列前n项和公式：Sn=n/2(a1+an)其中，Sn是等差数列的前n项和。
3. 等差数列的性质：（1）等差数列的首项与末项的和等于中间项和的总和。
（2）等差数列的前n项和可以表示为n乘以首项与末项的平均数。
（3）等差数列的项数有限，且每一项和前一项之间的差值相等。
二、等比数列等比数列是指数列中相邻项之间的比值相等的数列。
等比数列同样也有很多重要的性质，如通项公式、前n项和公式等。
1. 等比数列通项公式：an=a1*q^(n-1)其中，a1是等比数列的首项，q是公比，an是等比数列的第n项。
2. 等比数列前n项和公式：Sn=(a1(1-q^n))/(1-q)其中，Sn是等比数列的前n项和。
3. 等比数列的性质：（1）等比数列的前n项和可以表示为首项乘以1-q^n除以1-q。
（2）公比大于1时，等比数列是发散的，公比小于1时，等比数列是收敛的。
三、斐波那契数列斐波那契数列的定义是：前两项为1，从第三项起每一项都是前两项之和。
即F(1) = 1，F(2) = 1, F(n) = F(n-1) + F(n-2)（n>=3）。
斐波那契数列在自然界与生活中也有许多出现，如植物分枝的规律、蜂巢的排列方式等等。
因此，斐波那契数列也是高考数学中的常见题型。
1. 斐波那契数列的通项公式：Fn=(1/sqrt(5))*(((1+sqrt(5))/2)^n-((1-sqrt(5))/2)^n)其中，sqrt(5)表示5的平方根。
高考数学数列知识点归纳
高考数学中的数列知识点主要包括以下内容：
1. 数列的定义与性质：
-数列的概念：数列是按照一定规律排列的数的集合。
-项数与前n项和：第n项表示数列中的第n个数，前n项和表示数列前n项的和。
-通项公式与递推公式：通项公式是指可以通过给定的项数n来直接计算某一项的公式，递推公式则是通过前一项或前几项来计算下一项的公式。
2. 常见数列：
-等差数列：数列中的每个数都与其前一个数之差相等。
-等比数列：数列中的每个数都与其前一个数之比相等。
-斐波那契数列：数列中的每个数都是前两个数之和，即第三项开始满足an = an-1 + an-2。
3. 数列的性质和运算：
-数列的有界性：数列可以是有界的（上有界、下有界）、无界的或发散的。
-数列的单调性：数列可以是递增的、递减的或保持不变。
-数列的极限：数列可能有极限（有限或无穷）或不存在极限。
4. 数列的求和：
-等差数列的求和公式：利用等差数列的性质，可以得到等差数列前n项和的通用公式。
-等比数列的求和公式：利用等比数列的性质，可以得到等比数列前n项和的通用公式。
5. 数列的应用：
-常见问题的建模与解决：通过将实际问题转化为数列的形式，利用数列的性质和公式来解决问题。
以上是高考数学中与数列相关的主要知识点。
掌握这些知识点，能够帮助学生在解答数列相关题目时更加熟练和准确。
需要注意的是，除了理论知识，还需要进行大量的练习和实践，以提高对数列概念的理解和应用能力。
高三数学第一轮复习——数列(知识点很全)
数列一、 知识梳理概念1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.2.通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n=.3.递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n na a a ，其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式.4.数列的前n 项和与通项的公式①n na a a S +++= 21； ②⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n .5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 --- ④常数数列:例如:6,6,6,6,……. ⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >.等差数列1.等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d ，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差.2.通项公式与前n 项和公式⑴通项公式d n a a n)1(1-+=，1a 为首项，d 为公差.⑵前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=.3.等差中项如果b A a ,,成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.即：A 是a 与b 的等差中项⇔b a A +=2⇔a ，A ，b 成等差数列.4.等差数列的判定方法 ⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列；⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.5.等差数列的常用性质⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .⑶d m n a a m n)(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a )⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p nm ，则q p n m a a a a +=+；⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列；⑹当项数为)(2+∈N n n ，则nn a a S S nd S S 1,+==-奇偶奇偶；当项数为)(12+∈-N n n ，则nn S S a S S n 1,-==-奇偶偶奇. 等比数列1.等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数)0(≠q q ，这个数列叫做等比数列，常数q 称为等比数列的公比. 2.通项公式与前n 项和公式⑴通项公式：11-=n nq a a ，1a 为首项，q 为公比 .⑵前n 项和公式：①当1=q时，1na S n =②当1≠q 时，qqa a q q a S n n n --=--=11)1(11.3.等比中项如果b G a ,,成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项. 即：G 是a 与b 的等差中项⇔a ，A ，b 成等差数列⇒b a G ⋅=2.4.等比数列的判定方法 ⑴定义法：q a a nn =+1（+∈N n ，0≠q 是常数）⇔{}n a 是等比数列； ⑵中项法：221++⋅=n n n a a a (+∈N n )且0≠n a ⇔{}n a 是等比数列.5.等比数列的常用性质⑴数列{}n a 是等比数列，则数列{}n pa 、{}n pa （0≠q 是常数）都是等比数列；⑵在等比数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等比数列，公比为kq .⑶),(+-∈⋅=N m n q a a m n m n⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p nm ，则q p n m a a a a ⋅=⋅；⑸若等比数列{}n a 的前n 项和n S ，则k S 、k k S S -2、k k S S 23-、k k S S 34-是等比数列.二、典型例题A 、求值类的计算题（多关于等差等比数列） 1）根据基本量求解（方程的思想） 1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，63,6,994=-==nS a a ，求n ；2、等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ．3、设{}n a 是公比为正数的等比数列，若16,151==a a ，求数列{}n a 前7项的和.4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数.2）根据数列的性质求解（整体思想） 1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ；2、设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{}n a 的前n 项和，327++=n n T S nn，则=55b a . 3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S Sa a 则（ ）4、等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若231n n S n T n =+,则n na b =（ ） 5、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(,m n n S m S m n ≠==，则=+n m S .6、在正项等比数列{}n a 中，153537225a a a a a a ++=，则35a a +=_______。
高考数学数列
高考数学数列
在高考数学中，数列是一个重要的概念。
数列是按一定规律排列的一组数字的集合，其中每个数字称为数列的项。
数列中的规律可以是等差、等比或其他。
等差数列是指数列中的任意两项之差都相等的数列。
例如，2，4，6，8，10就是一个等差数列，其中公差为2。
等差数列的
通项公式为an=a1+(n-1)d，其中an表示第n项，a1表示第一项，d表示公差。
等比数列是指数列中的任意两项之比都相等的数列。
例如，2，4，8，16，32就是一个等比数列，其中公比为2。
等比数列的通项公式为an=a1*r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示第一项，r表示公比。
数列在数学中被广泛应用，不仅仅只是高考中的一个考点，还涉及到数学领域的许多概念和定理。
掌握数列的相关知识和解题方法，对于高考数学的学习和应试非常重要。
在解题过程中，我们常常需要根据所给的数列求出数列的某一项或某几项，或者根据数列的性质推导出数列的通项公式。
同时，还需要运用数列的性质和定理解决与数列相关的各类问题。
除了等差数列和等比数列，还有斐波那契数列、调和数列等等。
这些数列在高考数学中也常常出现，需要我们对不同的数列有所了解和掌握。
总而言之，数列在高考数学中占据着重要的地位，学生在备考过程中要牢固掌握数列的定义、概念和相关定理。
通过大量的习题练习和解题训练，提高对数列的理解和运用能力，从而在高考数学中取得好成绩。
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十、数列一、选择题1．（天津理4）已知{}n a 为等差数列，其公差为-2,且7a 是3a 与9a 的等比中项,nS 为{}n a 的前n 项和，*n N ∈，则10S 的值为A ．-110B ．-90C ．90D ．110【答案】D2．（四川理8）数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈．若则32b =-，1012b =，则8a =A ．0B ．3C ．8D ．11【答案】B【解析】由已知知128,28,n n n b n a a n +=--=-由叠加法21328781()()()642024603a a a a a a a a -+-++-=-+-+-++++=⇒==3．(四川理11）已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足()3(2)f x f x =+，当[)0,2x ∈时，2()2f x x x =-+．设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为(*)n a n N ∈，且{}n a 的前n 项和为n S ，则lim n n S →∞=A ．3B ．52C ．2D ．32【答案】D【解析】由题意1(2)()3f x f x +=，在[22,2]n n -上，2111()111331,()1,2,(),3,()()()lim 1333213nn n n nn f x n f x n f x a S S --=======⇒=⇒=-4．(上海理18）设{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A 是边长为1,i i a a +的矩形面积（1,2,i =），则{}n A 为等比数列的充要条件为A ．{}n a 是等比数列。
B ．1321,,,,n a a a -或242,,,,n a a a 是等比数列。
C ．1321,,,,n a a a -和242,,,,n a a a 均是等比数列。
D ．1321,,,,n a a a -和242,,,,n a a a 均是等比数列，且公比相同。
【答案】D5．（全国大纲理4）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】D6．（江西理5)已知数列｛n a ｝的前n 项和n S 满足：n m n m S S S ++=,且1a =1．那么10a = A ．1 B ．9 C ．10 D ．55 【答案】A7．（福建理10）已知函数f （x ）=e+x,对于曲线y=f （x ）上横坐标成等差数列的三个点A ，B ，C,给出以下判断： ①△ABC 一定是钝角三角形 ②△ABC 可能是直角三角形 ③△ABC 可能是等腰三角形 ④△ABC 不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是 A ．①③ B ．①④ C ．②③D ．②④ 【答案】B 二、填空题8．（湖南理12)设n S 是等差数列{}n a ()n N *∈，的前n 项和，且141,7a a ==，则9S =． 【答案】259．（重庆理11）在等差数列{}n a 中，3737a a +=，则2468a a a a +++=__________ 【答案】7410．(北京理11）在等比数列{a n ｝中，a 1=12，a 4=-4,则公比q=______________；12...n a a a +++=____________。
—2【答案】2121--n11．（安徽理14)已知ABC ∆的一个内角为120o ，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为_______________。
【答案】31512．（湖北理13)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升。
【答案】676613．（广东理11）等差数列n a 前9项的和等于前4项的和．若141,0k a a a =+=，则k=____________． 【答案】1014．(江苏13）设7211a a a ≤≤≤≤ ，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a 成公差为1的等差数列,则q 的最小值是________【答案】33 三、解答题15．(江苏20）设Ｍ部分为正整数组成的集合,数列1}{1=a a n 的首项,前n 项和为n S ，已知对任意整数k ∈M ，当整数)(2,k n k n k n S S S S k n +=+>-+时都成立 (1）设52,2},1{a a M 求==的值；（2）设}{},4,3{n a M 求数列=的通项公式本小题考查数列的通项与前n 项和的关系、等差数列的基本性质等基础知识,考查考生分析探究及逻辑推理的能力，满分16分。
解：(1）由题设知,当1112,2()n n n n S S S S +-≥-=+时， 即111()()2n n n n S S S S S +----=，从而112222,2,2,2(2)2 2.n n n a a a a n a a n n +-===≥=+-=-又故当时所以5a 的值为8.(2）由题设知，当{3,4},22n k n k n k k M n k S S S +-∈=>+=+且时,S 11122n k n k n k S S S S +++-++=+且，两式相减得11111112,n k n k n n k n k n n k a a a a a a a +++-++++-++-+=-=-即所以当63368,,,,,n n n n n n a a a a a --++≥时成等差数列，且6226,,,n n n n a a a a --++也成等差数列从而当8n ≥时，33662.n n n n n a a a a a +-+-=+=+（＊）且662222,8,2n n n n n n n a a a a n a a a +-+-+-+=+≥=+所以当时，即223113.9,,,,n n n n n n n n a a a a n a a a a +---++-=-≥于是当时成等差数列， 从而3311n n n n a a a a +-+-+=+，故由(＊)式知11112,.n n n n n n n a a a a a a a +-+-=+-=-即 当9n ≥时,设1.n n d a a +=-当28,68m m ≤≤+≥时，从而由（*）式知6122m m m a a a ++=+ 故71132.m m m a a a +++=+从而76113122()()m m m m m m a a a a a a +++++-=-+-，于是12.m m a a d d d +-=-=因此，1n n a a d +-=对任意2n ≥都成立，又由22({3,4})n k n k k k S S S S k +-+-=∈可知34()()2,92162n k n n n k k S S S S S d S d S +----===故且，解得42173,,.222d a d a d a ===从而因此,数列{}n a 为等差数列，由11 2.a d ==知所以数列{}n a 的通项公式为2 1.n a n =-16．（安徽理18） 在数1和100之间插入n 个实数，使得这2n +个数构成递增的等比数列，将这2n +个数的乘积记作n T ,再令,lg n n a T =1n ≥.（Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1tan tan ,n n n b a a +=求数列{}n b 的前n 项和n S 。
本题考查等比和等差数列,指数和对数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力. 解：（I ）设221,,,+n l l l 构成等比数列，其中,100,121==+n t t 则,2121++⋅⋅⋅⋅=n n n t t t t T ① ,1221t t t t T n n n ⋅⋅⋅⋅=++ ②①×②并利用得),21(1022131+≤≤==+-+n i t t t t n i n .1,2lg ,10)()()()()2(2122112212≥+==∴=⋅⋅⋅⋅=+++++n n T a t t t t t t t t T n n n n n n n n（II ）由题意和（I ）中计算结果，知.1),3tan()2tan(≥+⋅+=n n n b n另一方面，利用,tan )1tan(1tan )1tan())1tan((1tan k k kk k k ⋅++-+=-+=得.11tan tan )1tan(tan )1tan(--+=⋅+kk k k所以∑∑+==⋅+==231tan )1tan(n k nk k n kk b S.1tan 3tan )3tan()11tan tan )1tan((23n n kk n k --+=--+=∑+= 17．（北京理20）若数列12,,...,(2)n n A a a a n =≥满足111(1,2,...,1)n a a k n +-==-，数列n A 为E 数列,记()n S A =12...n a a a +++． （Ⅰ）写出一个满足10s a a ==，且()s S A >0的E 数列n A ；（Ⅱ）若112a =，n=2000，证明：E 数列n A 是递增数列的充要条件是n a =2011；（Ⅲ）对任意给定的整数n （n≥2）,是否存在首项为0的E 数列n A ，使得()n S A=0？如果存在，写出一个满足条件的E 数列n A ；如果不存在,说明理由.解：(Ⅰ）0，1，2，1，0是一具满足条件的E 数列A 5.(答案不唯一，0，1,0，1，0也是一个满足条件的E 的数列A 5) （Ⅱ)必要性:因为E 数列A 5是递增数列,所以)1999,,2,1(11 ==-+k a a k k .所以A 5是首项为12，公差为1的等差数列。
所以a 2000=12+（2000—1）×1=2011. 充分性，由于a 2000—a 1000≤1，a 2000—a 1000≤1 …… a 2-a 1≤1所以a 2000—a≤19999，即a 2000≤a 1+1999.又因为a 1=12，a 2000=2011, 所以a 2000=a 1+1999.故n n n A k a a 即),1999,,2,1(011 =>=-+是递增数列。
综上,结论得证。
(Ⅲ）令.1),1,,2,1(011±=-=>=-=+A k k k c n k a a c 则 因为2111112c c a a c a a ++=++= ……,1211+++++=n n c c c a a所以13211)3()2()1()(-++-+-+-+=n n c c n c n c n na A S)].1()2)(1()1)(1[(2)1(121--++--+----=n c n c n c n n 因为).1,,1(1,1-=-±=n k c c k k 为偶数所以 所以)1()2)(1()1)(1*21n c n c n c -++--+-- 为偶数,所以要使2)1(,0)(-=n n A S n 必须使为偶数, 即4整除*)(144),1(N m m n m n n n ∈+==-或亦即.当,1,0,*)(14241414-===∈+=--+k k k n a a a A E N m m n 的项满足数列时14=k a ),,2,1(m k =时,有;0)(,01==n A S a;0)(,0,0),,,2,1(11144=====+n k k A S a a m k a 有时 当n A E N m m n 数列时,*)(14∈+=的项满足，,1,0243314-===---k k k a a a当)1(,)(3424-∈+=+=m n N m m n m n 时或不能被4整除,此时不存在E 数列A n ，使得.0)(,01==n A S a18．（福建理16）已知等比数列｛a n }的公比q=3,前3项和S 3=133.（I ）求数列｛a n ｝的通项公式；（II)若函数()sin(2)(0,0)f x A x A p ϕϕπ=+><<<在6x π=处取得最大值，且最大值为a 3，求函数f （x)的解析式. 本小题主要考查等比数列、三角函数等基础知识,考查运算求解能力，考查函数与方程思想，满分13分.解:(I ）由313(13)13133,,3133a q S -===-得 解得11.3a =所以12133.3n n n a --=⨯=（II ）由（I ）可知233, 3.n n a a -==所以 因为函数()f x 的最大值为3，所以A=3. 因为当6x π=时()f x 取得最大值，所以sin(2) 1.6πϕ⨯+=又0,.6πϕπϕ<<=故所以函数()f x 的解析式为()3sin(2)6f x x π=+ 19．(广东理20）设b>0，数列{}n a 满足a 1=b ，11(2)22n n n nba a n a n --=≥+-．(1)求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n ，11 1.2n n n b a ++≤+解：(1）由11111210,0,.22n n n n n nba n n a b a a n a b b a ----=>=>=++-知令11,n n n A A a b ==， 当1122,n n n A A b b -≥=+时 2112111222n n n n A b b b b ----=++++21211222.n n n n b b b b ---=++++①当2b ≠时，12(1)2,2(2)1nn n n n b b b A b b b ⎛⎫- ⎪-⎝⎭==--②当2,.2n nb A ==时(2),222,2n n nn nb b b a b b ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩(2)当2b ≠时，（欲证1111(2)21,(1)2222n n n n n nn n nn n nb b b b b a nb b b ++++--=≤+≤+--只需证） 11111212(2)(2)(22)2n nn n n n n n n b b b b b b ++++----+=++++-112222*********n n n n n n n n n b b b b b +-+---+=+++++++21212222()222n n n n n n n n b b b b b b b --=+++++++12(222)222n n n n n n b n b n b +>+++=⋅=⋅， 11(2) 1.22n n n n n n nb b b a b ++-∴=<+-当112,2 1.2n n n bb a ++===+时综上所述11 1.2n n n b a ++≤+20．（湖北理19)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足:1a a =(0)a ≠，1n n a rS +=(n ∈N ＊，,1)r R r ∈≠-．(Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)若存在k ∈N *，使得1k S +，k S ，2k S +成等差数列，是判断：对于任意的m ∈N *，且2m ≥，1m a +，m a ,2m a +是否成等差数列，并证明你的结论．本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，同时考查推理论证能力，以及特殊与一般的思想.（满分13分） 解:（I ）由已知1,n n a rS +=可得21n n a rS ++=，两式相减可得2111(),n n n n n a a r S S ra ++++-=-=即21(1),n n a r a ++=+又21,a ra ra ==所以r=0时， 数列{}n a 为：a ，0，…，0，…；当0,1r r ≠≠-时，由已知0,0n a a ≠≠所以(*n N ∈），于是由21(1),n n a r a ++=+可得211()n n a r n N a *++=+∈，23,,,n a a a ∴+成等比数列，∴≥当n 2时，2(1).n n a r r a -=+综上，数列{}n a 的通项公式为21,(1),2nn n a n a r r a n -=⎧=⎨+≥⎩ （II ）对于任意的*m N ∈，且122,,,m m m m a a a ++≥成等差数列,证明如下: 当r=0时，由（I ）知，,1,0,2m a n a n =⎧=⎨≥⎩∴对于任意的*m N ∈，且122,,,m m m m a a a ++≥成等差数列，当0r ≠，1r ≠-时，21211,.k k k k k k S S a a S a +++++=+++若存在*k N ∈,使得112,,k k S S S ++成等差数列，则122k k k S S S +++=，1221222,2,k k k k k k S a a S a a ++++∴++==-即由（I ）知，23,,,,m a a a 的公比12r +=-，于是对于任意的*m N ∈，且122,2,4,m m m m m a a a a ++≥=-=从而12122,,,m m m m m m a a a a a a ++++∴+=即成等差数列，综上,对于任意的*m N ∈，且122,,,m m m m a a a ++≥成等差数列. 21．(辽宁理17）已知等差数列{a n ｝满足a 2=0,a 6+a 8=—10 （I ）求数列｛a n }的通项公式；(II ）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n a 的前n 项和． 解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得110,21210,a d a d +=⎧⎨+=-⎩ 解得11,1.a d =⎧⎨=-⎩故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =-………………5分（II ）设数列1{}2n n n a n S -的前项和为,即2111,122n n n a a S a S -=+++=故,12.2242n n n S a a a =+++所以，当1n >时， 1211111222211121()2422121(1)22n n n n n nn n n n S a a a a a a n n ------=+++--=-+++--=---.2nn所以1.2n n n S -= 综上，数列11{}.22n n n n a n n S --=的前项和………………12分22．(全国大纲理20）设数列{}n a 满足10a =且1111.11n n a a +-=--(Ⅰ）求{}n a 的通项公式;（Ⅱ）设1, 1.nn n k n k b b S ===<∑记S 证明：解:（I)由题设1111,11n n a a +-=--即1{}1n a -是公差为1的等差数列。