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高一数学12月月考习题

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湖北省武汉市2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题含答案

湖北省武汉市2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题含答案

武汉2023级高一12月月考数学试卷（答案在最后）一、单选题1.函数()ln 8f x x x =+-的零点所在的区间为（）A.()4,5 B.()5,6 C.()6,7 D.()7,8【答案】C 【解析】【分析】先判断函数的单调性，再根据零点的存在性定理即可得解.【详解】因为函数ln ,8y x y x ==-在()0,∞+上都是增函数，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，因为()()6ln620,7ln710f f =-<=->，所以()f x 的零点所在的区间为()6,7.故选：C .2.已知函数()()2,21,23x f x x f x x ⎧+<⎪=⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩，则3(1log 5)f -+的值为（）A.115B.53C.15D.23【答案】A 【解析】【分析】根据解析式求解即可.【详解】()()()3log 15333311(1log 5)1log 521log 5log 15315f f f f ⎛⎫-+=-++=+===⎪⎝⎭.故选：A ．3.已知某种食品保鲜时间与储存温度有关，满足函数关系e kx b y +=（y 为保鲜时间，x 为储存温度），若该食品在冰箱中0C ︒的保鲜时间是144小时，在常温20C ︒的保鲜时间是48小时，则该食品在高温40C ︒的保鲜时间是（）A.16小时B.18小时C.20小时D.24小时【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件列出方程组，整体求得20144e 1e 3b k⎧=⎪⎨=⎪⎩，然后整体代入计算即可.【详解】由题意，得20144e 48e bk b +⎧=⎨=⎩，即20144e 1e3bk⎧=⎪⎨=⎪⎩，于是当40(C)x =︒时，()2240201e e e 144163k b k b y +⎛⎫==⋅=⨯= ⎪⎝⎭（小时）.故选：A4.函数()()e e 101x xf x x -+=-的大致图象是（）A.B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据函数的奇偶性证明函数()f x 为偶函数；分别求出1()0,(2)02f f <>，利用排除法，结合选项即可求解.【详解】函数()f x 的定义域为{}1x x ≠±，关于原点对称，e e ()()10(1)x xf x f x x -+-==-，则函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，故排除C ；又1122221e e e e (0,(2)0121010(1)2f f --++=<=>-，故排除AB ，D 符合题意.故选：D.5.幂函数()f x 图象过点22⎛⎫⎪⎝⎭，则()()2y f x f x =+-的定义域为（）A.(0,2) B.(0,2]C.[0,2]D.(2,2)-【答案】A 【解析】【分析】设出幂函数，代入点坐标得到函数解析式，确定函数定义域，得到020x x >⎧⎨->⎩，解得答案.【详解】设幂函数为()af x x =，则()222af ==，故12a =-，()12f x x -=，则()f x 的定义域为()0,∞+，故()()2y f x f x =+-满足020x x >⎧⎨->⎩，解得02x <<.故选：A6.若01a b <<<，b x a =，a y b =，b z b =，则x ，y ，z 的大小关系为（）A.x z y <<B.y x z<< C.y z x<< D.z y x<<【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数x y b =以及幂函数b y x =的单调性比较出,,x y z 之间的大小关系.【详解】因为x y b =在()0,+¥上单调递减，所以ab bb >，即y z >，又因为b y x =在()0,+¥上单调递增，所以b b a b <，即x z <，所以x z y <<，故选：A.【点睛】本题考查根据指数函数、幂函数的单调性比较数值大小，难度一般.注意幂函数y x α=当0α>时在()0+∞，上单调递增.7.“2a >”是“函数()()2log 3a f x ax x a =-+在区间(1,)+∞上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据复合函数的单调性之间的关系由对数函数初步确定a 的范围，再结合基本不等式和充分必要条件判断.【详解】由题设易知0a >，且1a ≠，设23t ax x a =-+，则函数23t ax x a =-+开口向上且对称轴为32x a=，所以23t ax x a =-+在3,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，log a y t =为增函数，所以1a >．要使()f x 在(1,)+∞上单调递增，则(31,,)2a ⎛⎫+∞⊆+∞ ⎪⎝⎭，即312a ≤，所以32a ≤，要使230ax x a -+>对(1,)x ∈+∞恒成立，分离参数a 可得，23311x a x x x>=++，因为12x x +≥=，当且仅当1x =时取等号，但(1,)x ∈+∞，所以3312x x<+所以32a ≥．综上，32a ≥．所以“2a >”是“函数()f x 在(1,)+∞上单调递增”的充分不必要条件，故选：A ．8.设函数()()2321log 1f x x x =-+-，不等式()()3f ax f x ≤+在(]1,2x ∈上恒成立，则实数a 的取值范围是（）A.5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.(],2-∞ C.35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.51,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】设()()1g x f x =+，即()()1g x f x -=，从而可得()322log g x x x =+，进而判断函数()g x 的奇偶性与单调性，从而把问题转化为()()12-≤+g ax g x 在(]1,2x ∈上恒成立，结合函数()g x 的奇偶性与单调性可得12ax x -≤+，即212--≤-≤+x ax x ，参变分离后结合最值即可求解.【详解】设()()1g x f x =+，即()()1g x f x -=，因为()()2321log 1f x x x =-+-，所以()3212log 1f x x x =-+-，所以()322log g x x x =+，定义域为R ，由()()322log g x x x g x -=-+-=，所以函数()y g x =为偶函数，因为当0x >时，()322log g x x x =+为单调递增函数，所以当0x <时，()y g x =为单调递减函数，因为()()3f ax f x ≤+在(]1,2x ∈上恒成立，所以()()12-≤+g ax g x ，根据函数()g x 的奇偶性与单调性得，12ax x -≤+.又因为(]1,2x ∈，所以212--≤-≤+x ax x ，即1311--≤≤+a x x ，即max min1311a x x ⎛⎫⎛⎫--≤≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为函数11y x =--在(]1,2x ∈上单调递增，所以当2x =时，max 1312x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，又因为函数31=+y x 在(]1,2x ∈上单调递减，所以当2x =时，max 3512⎛⎫+= ⎪⎝⎭x ，所以3522a -≤≤.故选：C.二、多选题9.下列命题中正确的是（）A.方程在2102xx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭在区间(0,1)上有且只有1个实根B.若函数2()f x x ax b =++，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭C.如果函数1y x x=+在[,]a b 上单调递增，那么它在[,]b a --上单调递减D.若函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称，则函数()y f x a b =+-为奇函数【答案】ABD 【解析】【分析】分析函数212xy x ⎛⎫ ⎪⎭-⎝=在区间()0,1上的单调性，结合零点存在定理可判断A 选项的正误；利用作差法可判断B 选项的正误；利用奇函数与单调性之间的关系可判断出C 选项的正误；利用函数奇偶性的定义可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，函数112xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()0,1上为减函数，函数22y x =在区间()0,1上为增函数，所以，函数212xy x ⎛⎫ ⎪⎭-⎝=在区间()0,1上为减函数，021002⎛⎫-> ⎪⎝⎭ ，121102⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以，函数212xy x ⎛⎫⎪⎭-⎝=在区间()0,1上有且只有1个零点，即方程在2102xx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭在区间(0,1)上有且只有1个实根，A 选项正确；()()()22212121212112222222f x f x a x x x x x x x ax b x ax b f b +++++++++⎛⎫⎛⎫-=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2222221212121212220444x x x x x x x x x x +-+---===-≤，B 选项正确；对于C 选项，令()1f x x x=+，定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，且()()11f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()1f x x x =+为奇函数，由于该函数在区间[],a b 为增函数，则该函数在区间[],b a --上也为增函数，C 错误；对于D 选项，由函数()y f x =的图象关于点(),a b 对称，则()()2f a x f a x b ++-=，令()()g x f x a b =+-，定义域为R ，且()()()()220g x g x f x a b f x a b b b -+=-+-++-=-=，即()()g x g x -=-，所以，函数()y f x a b =+-为奇函数，D 选项正确.故选：ABD.【点睛】关键点睛:本题第一问的关键是结合函数的单调性和零点存在定理，判断函数的零点个数，从而判断方程根的个数；第二问的关键是计算整理的准确性；第三问的关键是求出函数的奇偶性，由奇函数单调性的特点进行判断；第四问的关键是由对称性写出()()2f a x f a x b ++-=.10.已知x ，y 是正数，且21x y +=，下列叙述正确的是（）A.xy 最大值为18B.224x y +的最小值为12C.()x x y +最大值为14D.22x yxy+最小值为4【答案】AB 【解析】【分析】选项ABC 直接利用基本不等式求解即可；选项D 将原式乘以2x y +后展开，利用基本不等式求解.【详解】对于A ，2112122228x y xy xy +⎛⎫=⋅≤⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当2x y =，即11,42x y ==时等号成立，故A 正确；对于B ，()22242414x y x y xy xy +=+-=-，由选项A 得18xy ≤，则22114141482x y xy +=-≥-⨯=，当且仅当2x y =，即11,42x y ==时等号成立，故B 正确；对于C ，()2221224x x y x y x x y +++⎛⎫⎛⎫+≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当x x y =+，即1,02x y ==时等号成立，又x ，y 是正数，故等号不成立，故C 错误；对于D ，()211119222255222x y y x xy x y x y x y x y ⎛⎫+=+=++≥+ ⎪+=+⎝⎭，当且仅当y x x y =，即13x y ==时等号成立，故D 错误.故选：AB.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.11.已知53a =，85b =，则（）A.a b <B.112a b+> C.11a b a b+<+ D.b aa ab b +<+【答案】ABD 【解析】【分析】根据条件求得,a b 表达式，根据对数性质结合放缩法得A 正确，根据不等式性质得B 正确，通过作差法判断C 错，结合指数函数单调性与放缩法可得D 正确．【详解】解：∵53a =，85b =，∴35log a =，58log b =，因为3344435533535log 3log 54<⇒<⇒<=，又由3344438835858log 5log 84>⇒>⇒>=，所以a b <，选项A 正确；35lo 01g a <=<，580log 1b <=<，则11a >，11b >，所以112a b +>，选项B 正确；因为a b <，01a b <<<，则0b a ->，11ab>，此时111()()10b a a b a b b a a b ab ab -⎛⎫⎛⎫+-+=-+=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11a b a b +>+，故选项C 不正确；由1324a <<和314b <<知()x f x a =与()xg x b =均递减，再由a ，b 的大小关系知b b a b a b a a b b a b a a b b <<⇒<⇒+<+，故选项D 正确.故选：ABD【点睛】本题考查了数值大小比较，关键运用了指对数运算性质，作差法和放缩法．12.已知函数()21,04|ln 1,0x x x f x x x ⎧++<⎪=⎨⎪-⎩，若方程()(R)f x k k =∈有四个不同的零点，它们从小到大依次记为1234,,,x x x x ，则（）A.104k <<B.23e ex << C.121x x +=- D.21234e 04x x x x <<【答案】ACD 【解析】【分析】作出函数()f x 的图象，将零点问题转化为函数图像的交点问题，结合图像即可判断A ；结合对数函数性质可判断B ；结合二次函数图象的性质可判断C ；结合对数函数性质以及基本不等式可判断D.【详解】画出函数()21,04|ln 1,0x x x f x x x ⎧++<⎪=⎨⎪-⎩的图像如下：要使方程()(R)f x k k =∈有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为1234,,,x x x x ，转化为函数()f x 的图象与y k =有四个不同的交点，由图象，得104k <<，故A 正确；当0x <时，21()4f x x x =++，则1212()12x x +=⨯-=-，故C 正确；当0e x <<时，令1()4f x =，即11ln 4x -=，解得34e x =，343e e x ∴<<，故B 错误；∵34ln 1ln 1x x -=-，34e x x <<，∴341ln ln 1x x -=-，即4334ln ln 2ln x x x x ==+，则234e x x =，又120x x <<，22121212121()()()()224x x x x x x x x --+=-⋅-<=-=，∵120x x >，∴21234e 04x x x x <<，故D 正确，故选：ACD ．【点睛】方法点睛：将方程()(R)f x k k =∈有四个不同的零点问题转化为函数()f x 的图象与y k =有四个不同的交点问题，数形结合，结合合基本不等式，即可解决问题.三、填空题13.已知1173a⎛⎫= ⎪⎝⎭，7log 4b =，则a ，b 表示49log 48=______．【答案】12a b +【解析】【分析】先根据指数式与对数式的互化求出a ，再根据对数的运算性质计算即可.【详解】由1173a⎛⎫= ⎪⎝⎭，得1771log log 33a ==，则()()49777771111log 48log 48log 3log 16log 32log 42222a b ==+=+=+.故答案为：12a b +.14.函数()()22log 2log 1f x x x =-+值域为__________.【答案】(],2-∞-【解析】【分析】确定函数定义域为()0,∞+，变换()21log 12f x x x=++，利用均值不等式计算最值得到答案.【详解】函数()()22log 2log 1f x x x =-+的定义域为()0,∞+，()()()2222221log 2log 1log log log 112xf x x x x x x =-+==≤+++21log 24==-，当且仅当1x x =，即1x =时等号成立，故值域为(],2-∞-.故答案为：(],2-∞-.15.已知函数())()()()2ln 4R ,ln log e 5f x x ax a f =++∈=，则()()ln ln2f 的值为__________.【答案】3【解析】【分析】根据条件，构造奇函数())()4lnG x f x x ax =-=+，根据条件，利用换底公式得(ln(ln 2))5f -=，再利用()G x 的奇偶性即可求出结果.2,00,0x x x x x x x ≥⎧+>=+=⎨<⎩0x >恒成立，又())ln 4f x x ax =++，所以())4ln f x x ax -=+，令())()4lnG x f x x ax =-=+，易知()G x 的定义域为R ，又))()22()()ln ln ln 10G x G x x ax x ax x x -+=-++=+-=，所以()G x 为奇函数，又()()21ln log e (ln())(ln(ln 2))5ln 2f f f ==-=，所以(ln(ln 2))(ln(ln 2))4541G f -=--=-=，得到(ln(ln 2))1G =-，又(ln(ln 2))(ln(ln 2))41G f =-=-，所以()()ln ln23f =，故答案为：3.16.对于函数()f x 和()g x ，设(){}0x f x α∈=，(){}0x g x β∈=，若存在α，β，使得7αβ-≤，则称函数()f x 和()g x 互为“零点相伴函数”，若函数()()ln 89f x x x =-+-与()()()222log 1log 3g x x a x =-+⋅+互为“零点相伴函数”，则实数a 的取值范围为______.【答案】151,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】由()f x 的单调性结合()90f =，得9α=，则可得216β≤≤，则由已知可得方程()()222log 1log 30x a x -+⋅+=在区间[2,16]存在实数根，令2log (14)t x t =≤≤，则31a t t +=+，2log (14)t x t =≤≤，则31a t t+=+，然后结合对勾函数的性质可求出结果.【详解】因为()()ln 89f x x x =-+-在(8,)+∞上单调递增，且()90f =，所以9α=，由7αβ-≤，得97β-≤，得216β≤≤，所以由题意可知()()()222log 1log 3g x x a x =-+⋅+在区间[2,16]上存在零点，即方程()()222log 1log 30x a x -+⋅+=在区间[2,16]存在实数根，由()()222log 1log 30x a x -+⋅+=，得()22222log 331log log log x a x x x ++==+，令2log (14)t x t =≤≤，则31a t t+=+，根据对勾函数的性质可知函数3()h t t t =+在上递减，在4]上递增，因为19(1)4,(4)4h h h ===，所以19()4h t ≤≤，所以1914a ≤+≤，解得1514a ≤≤，即实数a的取值范围为151,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为：151,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】关键点点睛：此题考查函数单调性的应用，考查函数与方程的综合应用，解题的关键是准确理解“零点相伴函数”的定义，结合零点的定义和对勾函数的性质可求得答案，考查数学转化思想，属于较难题.四、解答题17.（1）若11223x x -+=，求3317x x x x --+++的值.（2）求值：432lg 4lg 9log 9log 2111lg 0.36lg823++⨯++.【答案】（1）23；（2）3.【解析】【分析】（1）由指数幂的运算性质求得17x x -+=，依次求得2247x x -+=、33322x x -+=，即可得结果；（2）根据对数的运算性质化简求值.【详解】（1）因为11223x x -+=，所以21112229x x x x --⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭，得17x x -+=.所以()2122249x xx x --+=++=，得2247x x -+=.所以()()()3312217471322x x x x x x ---+=+-+=⨯-=，所以33132223777x x x x --+==+++.（2）原式()()223232lg 169lg16lg 9log 3log 2log 3log 2lg10lg 0.6lg 2lg 100.62⨯+=+⨯=+⨯++⨯⨯223lg12log 3log 2213lg12=+⨯=+=.18.已知函数()xf x a b =+（0a >，且1a ≠）的部分图象如图示．（1）求()f x 的解析式；（2）若关于x 的不等式()120xx b m a ⎛⎫+--≤ ⎪⎝⎭在[)1,+∞上有解，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()122x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）[)6,+∞．【解析】【分析】（1）结合图象，利用待定系数法即可得解；（2）将问题转化为24x x m +≤在[)1,+∞有解，结合函数的单调性即可得解.【小问1详解】由图象可知函数()x f x a b =+经过点()1,0-和()0,1-，所以1001a b a b -⎧+=⎨+=-⎩，解得122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以函数()f x 的解析式是()122xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．【小问2详解】由（1）知12a=，24b -=，根据题意知240x x m +-≤，即24x x m +≤在[)1,+∞有解，设()24x x g x =+，则()min g x m ≤，因为2x y =和4x y =在[)1,+∞上都是单调递增函数，所以()g x 在[)1,+∞上是单调递增函数，故()()min 16g x g ==，所以6m ≥，实数m 的取值范围是[)6,+∞．19.已知函数()1421x x f x a a +=-⋅++.（1）若2a =，求不等式()0f x <的解集；（2）若(),0x ∈-∞时，不等式()2f x a <-恒成立，求a 的取值范围.【答案】19.()20,log 3；20.1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【解析】【分析】（1）由题设()()21230x x --<，利用指数函数性质及指对数关系求解集；（2）由题设得()()212210x x a --+<，进而可得221x a <+在(),0x ∈-∞恒成立求参数范围.【小问1详解】当2a =时，可得()()()44232123x x x x f x =-⋅+=--，由()0f x <，得()()21230x x --<，可得123x <<，解得20log 3x <<，因此，当2a =时，不等式()0f x <的解集为()20,log 3；【小问2详解】因为14212x x a a a +-⋅++<-，即422210x x a a -⋅+-<，()()212210x x a --+<，当0x <，则210x -<，可得2210x a -+>，可得221x a <+，而()211,2x +∈，则21a ≤，解得12a ≤，因此，实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；20.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量M 之间的关系为225log 10M v a b -=+（其中a ，b 是常数），据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为65个单位，而其耗氧量为105个单位时，其飞行速度为1m/s .（1）求120202020log a b ++的值；（2）若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于3m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位?【答案】（1）12020（2）345【解析】【分析】（1）根据题意列方程求出,a b 的值，代入120202020log a b ++中可求得结果，（2）由题意得2252log 310M v -=-+≥，解不等式可得答案.【小问1详解】由题意可得,265250log 10a b -=+,化简得20a b +=①,2105251log 10a b -=+,化简得31a b +=②,联立①②,解得2,1a b =-=，所以112020202012020log 2020log 12020a b +-+=+=【小问2详解】由（1）得,2252log 10M v -=-+,根据题意可得,2252log 310M v -=-+≥,即225log 510M -≥，得253210M -≥，解得345M ≥.所以若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于3m/s,则其耗氧量至少要345个单位.21.已知函数()()2log 416(0a f x mx x a =-+>且1)a ≠.（1）若()f x 的值域为R ，求m 的取值范围.（2）试判断是否存在R m ∈，使得()f x 在[]2,4上单调递增，且()f x 在[]2,4上的最大值为1.若存在，求m 的值（用a 表示）；若不存在，请说明理由.【答案】（1）10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）答案见解析【解析】【分析】（1）首先设函数()2416g x mx x =-+的值域为D ，根据对数函数定义域和值域的关系，可得()0,D +∞⊆，讨论m 的取值，结合二次函数的性质，即可求解；（2）分0m <，0m =和0m >三个大类讨论函数的单调性和最值，判断是否存在实数m 的值.【小问1详解】设函数()2416g x mx x =-+的值域为D ，因为()f x 的值域为R ，所以()0,D +∞⊆.当0m =时，()416g x x =-+的值域为R ，符合题意.当0m ≠时，由0Δ16640m m >⎧⎨=-≥⎩，解得104m <≤.综上，m 的取值范围为10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】当0m =时，()416g x x =-+，因为()40g =，所以0m =不符合题意，舍去.当0m <时，()4160g m =<，不符合题意.下面只讨论0m >的情况.若1a >，则()g x 在[]2,4上单调递增，由22m≤，解得m 1≥，此时()()()248160,4log 161a g m f m =-+>==，得116a m =≥，即当16a ≥时，存在16a m =，符合题意，当116a <<时，不存在符合题意的m .若01a <<，则()g x 在[]2,4上单调递减，由24m ≥，解得102m <≤，此时()()()41616160,4log 161a g m f m =-+>==，得16a m =，则当1016201a a ⎧<≤⎪⎨⎪<<⎩，即01a <<时，存在16a m =，符合题意.综上，当16a ≥或01a <<时，存在16a m =，符合题意；当116a <<时，不存在符合题意的m .【点睛】关键点点睛：本题考查对数函数的值域，单调性，最值的综合应用问题，结合对数型复合函数单调性的判断方法，以及二次函数单调性的讨论，可由函数的单调性求函数的最值.22.已知a R ∈，函数()21log f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）若关于x 的方程()()2log 4250f x a x a --+-=⎡⎤⎣⎦的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围；（2）设0a >，若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.【答案】（1）(]{}1,23,4 （2）2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）化简得()1425a a x a x+=-+-，再讨论解集中恰好有一个元素，得到a 的取值范围；（2）由题得()()11f t f t -+≤，即即()2110at a t ++-≥，由二次函数的单调性可得出答案.【小问1详解】由()()2log 4250f x a x a --+-=⎡⎤⎣⎦即()221log log 425a a x a x ⎛⎫+=-+-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭等价于()()4250101425a x a a x a a x a x⎧⎪-+->⎪⎪+>⎨⎪⎪+=-+-⎪⎩,即()()2451010a x a x a x ⎧-+--=⎪⎨+>⎪⎩当4a =时，=1x -，经检验，满足题意.当3a =时，121x x ==-，经检验，满足题意.当3a ≠且4a ≠时，121211,1,.4x x x x x a ==-≠-是原方程的解当且仅当110a x +>，即22;a x >是原方程的解当且仅当210a x +>，即1a >.于是满足题意的(]1,2a ∈.综上，a 的取值范围为(]{}1,23,4 .【小问2详解】当120x x <<时，2212121111,log log a a a a x x x x ⎛⎫⎛⎫+>++>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在()0,∞+上单调递减，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()(),1f t f t +.()()22111log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭即()2110at a t ++-≥对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立.因为0a >，所以函数()211y at a t =++-在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，12t =时，y 有最小值3142a -，由31042a -≥，得23a ≥.。

河南省新乡市原阳县2023-2024学年高一上学期12月月考试题 数学含解析

河南省新乡市原阳县2023-2024学年高一上学期12月月考试题 数学含解析

原阳2023-2024学年上学期高一年级12月月考数学试卷（答案在最后）总分150分时长120分钟命题人审核人一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合U =R ，集合{}1M x x =<，11242xN x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<<⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则{}2x x ≥=（）A.()U M N ðB.U N Mð C.()U M N ð D.U M N⋃ð2.已知21log 3a =，32b -=，ln 23c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c<< B.b a c<< C.b<c<aD.a c b<<3.命题2:210p ax x ++=有实数根，若p ⌝是假命题，则实数a 的取值范围是（）A.{|1}a a <B.{|1}a a ≤ C.{|1}a a > D.以上都不对4.若规定a b ad bc cd=-，则不等式0213x x<<的解集是（）A .(1,1)-B.(C.D.(1)-⋃5.在今年的全国政协、人大两会上，代表们呼吁政府切实关心老百姓看病贵的问题，国家决定对某药品分两次降价，假设平均每次降价的百分率为x .已知该药品的原价是m 元，降价后的价格是y 元，则y 与x 的函数关系是（）A.y ＝m (1－x )2B.y ＝m (1＋x )2C.y ＝2m (1－x )D.y ＝2m (1＋x )6.已知7log 2a =，0.7log 0.2b =，0.20.7c =，则a ，b ，c 的大小关系为A.a c b<< B.a b c<< C.b<c<aD.c<a<b7.某食品加工厂2021年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品，计划从2022年开始每年比上一年获利增加20%，问从哪一年开始这家加工厂年获利超过60万元（lg 20.3010≈，lg30.4771≈）（）A.2026年B.2027年C.2028年D.2029年8.定义在()0,∞+上的函数()f x 满足：()()112212x f x x f x x x --＜0，且(2)4f =，则不等式8()0f x x->的解集为（）A.()2,∞+ B.()0,2 C.()0,4 D.()4,+∞二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.已知函数()2f x x =的值域为[]0,4，则()f x 的定义域可以是（）A.[]0,2 B.[]2,1- C.[]1,2 D.{}2,0,2-10.已知正实数a ，b 满足42a b +=，则（）A.14ab ≤B.2164a b +≥ C.1192a b +≥D.4+≥11.（多选）已知函数()221f x x x =-++的定义域为()2,3-，则函数()f x 的单调递增区间是（）A.(),1-∞- B.()3,1-- C.()0,1 D.()1,312.设()33,0log ,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，若()0f x a -=有三个不同的实数根，则实数a 的取值可以是（）A.12B.1C.1-D.2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，16题第一个空2分，第二个空3分．13.已知奇函数f (x )在区间[3，6]上是增函数，且在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为－1，则f (6)＋f (－3)的值为________．14.若关于x 的不等式2210ax ax +-<的解集为R ，则实数a 的取值范围是__________．15.若正数x ，y 满足40x y xy +-=，则3x y+的最大值为________．16.设函数()()11,022,0xx f x f x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩，()log (1)a g x x =-，（其中1a >），（1）()2021f =________；（2）若函数()f x 与()g x 的图象有3个交点，则实数a 的取值范围为________．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.求下列各式的值．（1）411231322(0.25)(2)[(2)]1)2---⨯-+-；（2）82715lglg lg12.5log 9log 828-+-⋅．18.（1）已知集合{}2120|A x x ax b =++=，{}20|B x x ax b =-+=满足()R {2}A B ⋂=ð，()R {4}A B = ð，求实数a ，b 的值；（2）已知集合{}121|A x a x a =-<<+，函数2lg()y x x =-的定义域为B ，若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围．19.已知函数14()2x x f x m +=--．（1）当0m =时，求函数()f x 的零点；（2）若()f x 有两个零点，求实数m 的取值范围．20.某化工厂每一天中污水污染指数()f x 与时刻x （时）的函数关系为25()log (1)21f x x a a =+-++，[0,24]x ∈，其中a 为污水治理调节参数，且()0,1a ∈．（1）若12a =，求一天中哪个时刻污水污染指数最低；（2）规定每天中()f x 的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过3，则调节参数a 应控制在什么范围内？21.（1）对任意11x -≤≤，函数()2442y x a x a =+-+-的值恒大于0，求实数a 的取值范围；（2）不等式()228x y y x y λ+≥+对于任意的,R x y ∈恒成立，求实数λ的取值范围．22.已知函数()2e ,e ,x x x x m f x x x m ⎧--≤=⎨+>⎩和()2ln ,01ln ,1x x x g x x x x --<≤⎧=⎨+≥⎩有相同的最小值，（e 为自然对数的底数，且e 2.71828= ）（1）求m ；（2）证明：存在直线y b =与函数()y f x =，()y g x =恰好共有三个不同的交点；（3）若（2）中三个交点的横坐标分别为1x ，2x ，3x ()123x x x <<，求1232x x x ++的值．原阳2023-2024学年上学期高一年级12月月考数学试卷总分150分时长120分钟命题人审核人一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合U =R ，集合{}1M x x =<，11242xN x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<<⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则{}2x x ≥=（）A.()U M N ðB.U N Mð C.()U M N ð D.U M N⋃ð【答案】A 【解析】【分析】解指数不等式化简集合N ，再利用集合的交并补运算逐项判断即可.【详解】依题意，21111{|()()(}{|12}222x N x x x -=<<=-<<，而{}1M x x =<，对于A ，{|2}M N x x ⋃=<，因此(){|2}U M N x x =≥ ð，A 是；对于B ，{|1}U M x x =≥ð，因此(){|1}U N M x x =>- ð，B 不是；对于C ，{|11}M N x x ⋂=-<<，因此(){|1U M N x x =≤- ð或1}x ≥，C 不是；对于D ，{|1U N x x =≤-ð或2}x ≥，因此(){|1U M N x x =< ð或2}x ≥，D 不是.故选：A 2.已知21log 3a =，32b -=，ln 23c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c <<B.b a c<< C.b<c<aD.a c b<<【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可.【详解】解：因为221log log 103a =<=，300221-<<=，即01b <<，ln20331c =>=，所以a b c <<.故选：A3.命题2:210p ax x ++=有实数根，若p ⌝是假命题，则实数a 的取值范围是（）A.{|1}a a <B.{|1}a a ≤ C.{|1}a a > D.以上都不对【答案】B 【解析】【分析】p ⌝是假命题，则p 为真命题，即2210ax x ++=有实数根，分类讨论0a =与0a ≠时的情况即可.【详解】当0a =时，即210x +=有实数根，解得12x =，故符合要求；当0a ≠时，即有440a ∆=-≥，解得1a ≤且0a ≠；综上所述，1a ≤.故选：B.4.若规定a b ad bc cd=-，则不等式0213x x<<的解集是（）A.(1,1)-B.(C.D.(1)-⋃【答案】D 【解析】【分析】由题意化简0213x x <<，直接求解即可.【详解】因为a b ad bc cd=-，所以2133x xx =-，所以2032x <-<，即213x <<，解得1x <<或1x <<-，故选：D5.在今年的全国政协、人大两会上，代表们呼吁政府切实关心老百姓看病贵的问题，国家决定对某药品分两次降价，假设平均每次降价的百分率为x .已知该药品的原价是m 元，降价后的价格是y 元，则y 与x 的函数关系是（）A.y ＝m (1－x )2B.y ＝m (1＋x )2C.y ＝2m (1－x )D.y ＝2m (1＋x )【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数模型列式求解．【详解】第一次降价后价格为(1)m x -，第二次降价后价格变为2(1)(1)(1)y m x x m x =--=-．故选：A ．【点睛】本题考查指数函数模型的应用，平行增长率问题．属于基础题．6.已知7log 2a =，0.7log 0.2b =，0.20.7c =，则a ，b ，c 的大小关系为A.a c b << B.a b c<< C.b<c<aD.c<a<b【答案】A 【解析】【分析】771log 2log 2<=，0.70.7log 0.2log 0.71>=，0.20.70.71<<，再比较,,a b c 的大小.【详解】71log 22a =<，0.70.7log 0.2log 0.71b =>=，0.20.70.71c <=<，a c b <<，故选A.【点睛】本题考查了指对数比较大小，属于简单题型，同底的对数，指数可利用单调性比较大小，同指数不同底数，按照幂函数的单调性比较大小，或是和中间值比较大小.7.某食品加工厂2021年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品，计划从2022年开始每年比上一年获利增加20%，问从哪一年开始这家加工厂年获利超过60万元（lg 20.3010≈，lg30.4771≈）（）A.2026年B.2027年C.2028年D.2029年【答案】C 【解析】【分析】依据题意设出解析式，再用对数的相关知识求解即可.【详解】设第n 年获利y 元，则=20 1.2n y n ⨯，是正整数，2022年是第一年，故201.260n ⨯>，解得 1.2lg 3lg 3log 3== 6.03lg1.2lg 32lg 21n >≈+-故7n ≥，即从2028年开始这家加工厂年获利超过60万元.故选：C8.定义在()0,∞+上的函数()f x 满足：()()112212x f x x f x x x --＜0，且(2)4f =，则不等式8()0f x x->的解集为（）A.()2,∞+ B.()0,2 C.()0,4 D.()4,+∞【答案】B 【解析】【分析】根据()()112212x f x x f x x x --＜0，得到()()g x xf x =在()0,∞+上递减，然后由(2)4f =，得到()28=g ，将不等式8()0f x x->转化为()(2)g x g >求解.【详解】因为定义在()0,∞+上的函数()f x 满足：()()112212x f x x f x x x --＜0，所以()()g x xf x =在()0,∞+上递减，因为(2)4f =，所以()28=g ，因为不等式8()0f x x->，所以()80xf x x->，所以()80xf x ->，所以()8xf x >，即()(2)g x g >，所以02x <<，故选：B【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.已知函数()2f x x =的值域为[]0,4，则()f x 的定义域可以是（）A.[]0,2 B.[]2,1- C.[]1,2 D.{}2,0,2-【答案】AB 【解析】【分析】根据2y x =的图象求得正确答案.【详解】画出2y x =的图象如下图所示，由24x =解得2x =±，()2f x x =的图象是函数2y x =的图象的一部分，依题意，()2f x x =的值域为[]0,4，由图可知，()f x 的定义域可以是[]0,2、[]2,1-.故选：AB10.已知正实数a ，b 满足42a b +=，则（）A.14ab ≤B.2164a b +≥ C.1192a b +≥ D.4+≥【答案】ABC 【解析】【分析】利用基本不等式可得A,B,D 正误，利用1的妙用可得C 的正误.【详解】对于A ，因为42a b ≤+=，所以14ab ≤，当且仅当41a b ==，即11,4a b ==时，取到等号，故A 正确；对于B ，2164a b +≥==，当且仅当41a b ==，即11,4a b ==时，取到等号，故B 正确；对于C ，()1111114194552222a b a b a b a b b a ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当2a b =，即21,33a b ==时，取到等号，故C 正确；对于D，244a b +=++，2+≤，当且仅当41a b ==，即11,4a b ==时，取到等号，故D 错误．故选：ABC .11.（多选）已知函数()221f x x x =-++的定义域为()2,3-，则函数()f x 的单调递增区间是（）A.(),1-∞- B.()3,1-- C.()0,1 D.()1,3【答案】BC 【解析】【分析】根据题意求出()f x 的定义域，将()f x 的解析式中绝对值符号去掉，结合二次函数的图象与性质即可判断.【详解】因为函数()221f x x x =-++的定义域为()2,3-，对称轴为直线1x =，开口向下，所以函数()f x 满足23x -<<，所以33x -<<.又()22221,03,2121,30,x x x f x x x x x x ⎧-++≤<=-++=⎨--+-<<⎩且221y x x =--+图象的对称轴为直线=1x -，所以由二次函数的图象与性质可知，函数()f x 的单调递增区间是()3,1--和()0,1.故选BC.【点睛】本题主要考查含绝对值的二次函数的单调性问题，注意数形结合思想的应用，属于提升题.12.设()33,0log ,0xx f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，若()0f x a -=有三个不同的实数根，则实数a 的取值可以是（）A.12B.1C.1-D.2【答案】AB 【解析】【分析】先作出函数的图像，()0f x a -=有三个不同的实数根，化为函数33(0)()log (0)xx f x xx ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩与直线y a =有三个交点，结合图像，即可得出结果.【详解】解：作出函数33(0)()log (0)xx f x xx ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩图像如下：又()0f x a -=有三个不同的实数根，所以函数33(0)()log (0)xx f x xx ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩与直线y a =有三个交点，由图像可得：01a <≤.故选：AB三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，16题第一个空2分，第二个空3分．13.已知奇函数f (x )在区间[3，6]上是增函数，且在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为－1，则f (6)＋f (－3)的值为________．【答案】9【解析】【详解】由已知得，f (6)＝8，f (3)＝－1，因为f (x )是奇函数，所以f (6)＋f (－3)＝f (6)－f (3)＝8－(－1)＝9.答案：9.14.若关于x 的不等式2210ax ax +-<的解集为R ，则实数a 的取值范围是__________．【答案】(]1,0-【解析】【分析】分两种情况0a =和0a ≠，可求出实数a 的取值范围.【详解】 关于x 的不等式2210ax ax +-<的解集为R .当0a =时，原不等式为1<0-，该不等式在R 上恒成立；当0a ≠时，则有2Δ440a a a <⎧⎨=+<⎩，解得10a -<<.综上所述，实数a 的取值范围是(]1,0-.故答案为：(]1,0-15.若正数x ，y 满足40x y xy +-=，则3x y+的最大值为________．【答案】13【解析】【分析】先利用基本不等式中“1”的妙用求得x y +的取值范围，从而求得3x y +的最大值.【详解】因为正数x ，y 满足40x y xy +-=，所以4x y xy +=，即141y x+=，则()14455549x y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=++≥+=+= ⎪⎝⎭，当且仅当4x y y x =且141y x+=，即6,3x y ==时取等号，此时x y +取得最小值9，则3x y +的最大值为13．故答案为：1316.设函数()()11,022,0xx f x f x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩，()log (1)a g x x =-，（其中1a >），（1）()2021f =________；（2）若函数()f x 与()g x 的图象有3个交点，则实数a 的取值范围为________．【答案】①.1②.【解析】【分析】根据题意，推得()2021(1)f f =-，即可求得()2021f 的值，作出函数()y f x =和()y g x =的图象，结合log (41)3a -=和log (61)3a -=，结合图象，即可求得a 的取值范围.【详解】由题意，函数()()11,022,0xx f x f x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩，所以()()()()112021201920171(1)()112f f f f f -=====-=-= ；当02x <≤时，则220x -<-≤，可得()()212(12x f x f x -=-=-；当24x <≤时，则022x <-≤，可得()()412()12x f x f x -=-=-；当46x <≤时，则224x <-≤，可得()()612(12x f x f x -=-=-；当68x <≤时，则426x <-≤，可得()()812(12x f x f x -=-=-，画出函数()y f x =和()y g x =的图象，如图所示，由log (41)3a -=，可得a =log (61)3a -=，可得=a ，由图象可知，若两个函数的图象有3a <≤，所以实数a 的取值范围为.故答案为：1；.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.求下列各式的值．（1）411231322(0.25)(2)[(2)]1)2---⨯-+-；（2）82715lglg lg12.5log 9log 828-+-⋅．【答案】（1）1252-（2）13【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算法则和运算性质，准确化简、运算，即可求解；（2）根据对数的运算法则和对数的换底公式，准确化简、运算，即可求解.【小问1详解】解：根据指数幂的运算法则和运算性质，可得：4112313221125(0.25)(2)[(2)]1)2416(1)22---⨯-+-=-⨯+--.【小问2详解】解：由对数的运算法则和对数的运算性质，可得：1827151525lg 9lg8lg lg lg12.5log 9log 8lg lg lg 28282lg8lg 27-⎛⎫-+-⋅=++-⋅ ⎪⎝⎭18252lg 3221lg()lg1012523lg 3333=⨯⨯-=-=-=.18.（1）已知集合{}2120|A x x ax b =++=，{}20|B x x ax b =-+=满足()R {2}A B ⋂=ð，()R {4}A B = ð，求实数a ，b 的值；（2）已知集合{}121|A x a x a =-<<+，函数2lg()y x x =-的定义域为B ，若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围．【答案】（1）812,77a b ==-；（2）[)1,2,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ 【解析】【分析】（1）根据题目条件得到2,4B A ∈∈，从而得到方程组，求出实数a ，b 的值；（2）先根据对数函数的定义域得到{}|01B x x =<<，分A =∅与A ≠∅两种情况，得到不等式，求出实数a 的取值范围.【详解】（1）()R {2}A B ⋂=ð，(){}R 4A B ⋂=ð，故2,4B A ∈∈，故164120420a b a b ++=⎧⎨-+=⎩，解得87127a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；（2）由题意得20x x ->，解得01x <<，故{}|01B x x =<<，A B ⋂=∅，当A =∅时，121a a -≥+，解得2a ≤-，当A ≠∅时，需满足12111a a a -<+⎧⎨-≥⎩或121210a a a -<+⎧⎨+≤⎩，解得2a ≥或122a -<≤-，综上，实数a 的取值范围是[)1,2,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ .19.已知函数14()2x x f x m +=--．（1）当0m =时，求函数()f x 的零点；（2）若()f x 有两个零点，求实数m 的取值范围．【答案】（1）1（2）(1,0)-【解析】【分析】（1）m=0代入解析式直接求解即可；（2）转化为方程220t t m --=在()0,+∞上有两解，利用二次函数根的分布求解即可【详解】（1）0m =时，()()21422x x xf x +=-=-()22222x x x ⋅=-，令()0f x =可得22x =，即1x =．()f x ∴的零点是1．（2）令2x t =，显然0t >，则()22f x t t m =--．()f x 有两个零点，且2x t =为单调函数，∴方程220t t m --=在()0,+∞上有两解，0440120m m m ->⎧⎪∴+>⎨⎪--<⎩，解得：10m -<<．m ∴的取值范围是()1,0-．【点睛】本题考查函数零点，二次函数零点问题，熟记二次函数的性质是关键，是中档题20.某化工厂每一天中污水污染指数()f x 与时刻x （时）的函数关系为25()log (1)21f x x a a =+-++，[0,24]x ∈，其中a 为污水治理调节参数，且()0,1a ∈．（1）若12a =，求一天中哪个时刻污水污染指数最低；（2）规定每天中()f x 的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过3，则调节参数a 应控制在什么范围内？【答案】（1）一天中早上4点该厂的污水污染指数最低（2）调节参数a 应控制在2(0,]3内.【解析】【分析】（1）12a =时，令()251log 102x +-=，解得x 即可得出；（2）利用换元法()25log 1t x =+，再利用函数的单调性即可得出.【小问1详解】因为12a =，()()251log 1222f x x =+-+≥.当()2f x =时，()251log 102x +-=，即121255x +==，解得4x =.所以一天中早上4点该厂的污水污染指数最低.【小问2详解】设()25log 1t x =+，则当024x ≤≤时，01t ≤≤.设()[]21,0,1g t t a a t =-++∈,则()31,01,1t a t a g t t a a t -++≤≤⎧=⎨++<≤⎩,()g t 在[]0,a 上是减函数，在[],1a 上是增函数，则()()(){}max max 0,1f x g g =,因为()()031,12g a g a =+=+,则有()()0313123g a g a ⎧=+≤⎪⎨=+≤⎪⎩，解得23a ≤，又()0,1a ∈，故调节参数a 应控制在20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦内.21.（1）对任意11x -≤≤，函数()2442y x a x a =+-+-的值恒大于0，求实数a 的取值范围；（2）不等式()228x y y x y λ+≥+对于任意的,R x y ∈恒成立，求实数λ的取值范围．【答案】（1）1a <（2）{|84}λλ-≤≤【解析】【分析】（1）化简后分离参数，求出函数的最小值即可得解；（2）转化为二次不等式恒成立，利用判别式建立不等式求解即可.【详解】（1）由题意，当11x -≤≤时，()24420x a x a +-+->恒成立，则2(2)44x a x x ->-+-，因为11x -≤≤，所以224444222x x x x a x x x-+--+<==---，所以min (2)a x <-，由2y x =-单调递减，知当1x =时，min (2)1x -=，即1a <.（2）因为()228x y y x y λ+≥+对于任意的,R x y ∈成立，所以()2280x y y x y λ+-+≥对于任意的,R x y ∈成立.即()2280x yx y λλ-+-≥恒成立，由二次不等式的性质可得，()222224843(2)0y y y λλλλ∆=+-=+-≤，所以4)80()(λλ+-≤，解得84λ-≤≤.故实数入的取值范围为{|84}λλ-≤≤.22.已知函数()2e ,e ,x x x x m f x x x m ⎧--≤=⎨+>⎩和()2ln ,01ln ,1x x x g x x x x --<≤⎧=⎨+≥⎩有相同的最小值，（e 为自然对数的底数，且e 2.71828= ）（1）求m ；（2）证明：存在直线y b =与函数()y f x =，()y g x =恰好共有三个不同的交点；（3）若（2）中三个交点的横坐标分别为1x ，2x ，3x ()123x x x <<，求1232x x x ++的值．【答案】（1）0.（2）见解析；（3）2.【解析】【分析】（1）根据()f x ，()g x 单调性求出最小值，两个最小值相等求出m 的值.（2）根据函数单调性与图像判断并证明即可.（3）根据三个交点处函数值相等，再由函数式的结构得到三个交点的横坐标分别为1x ，2x ，3x 之间的关系，转化为2x 即可求解.【小问1详解】由()2e ,e ,x x x x m f x x x m⎧--≤=⎨+>⎩，(],x m ∈-∞时()01e x f x '=-<-，(),x m ∈+∞时()e 10x f x '=+>则()f x 在(],m -∞单调递减，在(),m +∞单调递增，所以()f x 最小值()()min 2e mm f x f m ==--；()2ln ,01ln ,1x x x g x x x x --<≤⎧=⎨+≥⎩(]0,1x ∈时，()110g x x '=--<，()1,x ∈+∞时，()110g x x'=+>所以()g x 在(]0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，所以()g x 最小值()()min 11g x g ==；()()min min 2e 1m f x m g x =--==，即2e 1e 10m m m m --=⇒+-=令()=e 1m q m m +-，()=e 10m q m '+>所以()=e 1m q m m +-在定义域上单调递增，因为0(0)e 10q =-=，所以e 10m m +-=解得0m =.【小问2详解】由（1）知0m =，即()2e ,0e ,0x x x x f x x x ⎧--≤=⎨+>⎩；因为()()min min 1f x g x ==，所以当1b >时，考虑()f x b =与()g x b =解的个数，根据()f x ，()g x 单调性作图如下：易知x →-∞时，()f x →+∞；x →+∞时，()f x →+∞；0x +→时，()g x ∞→+；x →+∞时，()g x ∞→+；则()f x b =在区间(),0∞-与()0,∞+各有一个根，()g x b =在区间()0,1与()1,+∞各有一个根，要证：存在直线y b =与函数()y f x =，()y g x =恰好共有三个不同的交点，即证：()()f x g x =在()0,1上有交点.当()0,1x ∈时，令()()()()e 2ln e ln 22x xh x f x g x x x x x x =-=+---=++-1()e 20x h x x'=++>，所以()h x 在()0,1上单调递增，(1)e>0h =，31e 3312(e 320e e h =-+-<，所以存在()00,1x ∈，使()00()f x g x =，即()()f x g x =在()0,1上有交点，得证.所以存在直线y b =与函数()y f x =，()y g x =恰好共有三个不同的交点.【小问3详解】如图y b =与函数()y f x =，()y g x =恰好共有三个不同的交点，三个交点的横坐标分别为1x ，2x ，3x ，()123x x x <<，则有121222332e e 2ln ln x x x x x x x x --+=+==--，因为112ln 122122e 2ln 2e 2eln x x x x x x x x ----⇒--=-=-而()2e x f x x =--单调递减，所以12ln x x =，因为322ln 23323e ln e eln x x x x x x x x +=+⇒+=+，而()e x f x x =+单调递增，所以23ln x x =，又因为2222222e 2ln e ln 22x x x x x x x +=--⇒++=.所以212322e 222ln x x x x x x ++=++=.【点睛】本题考查了导数的应用，利用导数求函数的单调性，函数的零点，利用同构去解决三个交点横坐标之间的数量关系.。

安徽省合肥市2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题含答案

安徽省合肥市2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题含答案

合肥2023级高一年级数学阶段性限时作业（答案在最后）一､单项选择题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.1.已知集合A B ､均是Z 的子集，若A B ⊆，则()Z A B ⋂=ð（）A.∅B.AC.BD.Z Bð【答案】A 【解析】【分析】根据交集，补集和包含关系定义即得.【详解】因为Z A B ⊆⊆，所以()Z A B =∅ ð故选：A .2.23πtan6=（）A. B.3-C.3D.【答案】B 【解析】【分析】根据诱导公式即可求解.【详解】23ππππtan tan 4πtan tan 66663⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选:B.3.不存在函数()f x ，()g x 满足（）A .定义域相同，值域相同，但对应关系不同B.值域相同，对应关系相同，但定义域不同C.定义域相同，对应关系相同，但值域不同D.定义域不同，对应关系不同，但值域相同【答案】C 【解析】【分析】对于ABD ，举例判断，对于C ，由两函数相等的条件分析判断.【详解】对于A ，如2(),[0,1],(),[0,1]f x x x g x x x =∈=∈，满足定义域相同，值域相同，但对应关系不同，所以A 错误，对于B ，如22(),[0,1],(),[1,1]f x x x g x x x =∈=∈-，满足值域相同，对应关系相同，但定义域不同，所以B 错误，对于C ，当两函数的定义域相同，对应关系相同时，这两函数为相同的函数，所以值域必相同，所以不存在函数()f x ，()g x 满足定义域相同，对应关系相同，但值域不同，所以C 正确，对于D ，如2(),[0,1],(),[1,1]f x x x g x x x =∈=∈-，满足定义域不同，对应关系不同，但值域相同，所以D 错误，故选：C4.已知全集U =R，集合{{}12,R x A x y B y y x +====∈∣,∣，则“()U x A B ∈⋃ð”是“{}0x xx ∈≠∣”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据函数的定义域以及指数函数的性质化简集合，即可由交并补运算以及充要条件的定义求解.【详解】由{A xy ==∣可得220x x -≥，解得02x ≤≤，所以{}02,{0},{0U A xx B y y A x x =≤≤=>∴=<∣∣∣ð或(){}2},0U x A B x x >⋃=≠∣ð，故选:C .5.函数()24cos 12xf x x x =+的部分图象大致为（）A.B.C.D.【答案】C【分析】利用奇偶性的定义确定函数为偶函数，再根据余弦函数的性质可求解.【详解】由题可知，()f x 的定义域为{}0xx ≠∣，又因为224cos()4cos ()()11()22x xf x f x x x x x --===-+⋅-+，所以，()f x 为偶函数．当π02x <<时，()0f x >，当π3π22x <<时，()0f x <，当3π5π22x <<时，()0f x >.故选：C ．6.已知函数()()232,1,2,3,3,N a x x f x a x x x ⎧-+=⎪=⎨>∈⎪⎩是减函数，则a 的取值范围是（）A.213172a <<B.213172a ≤<C.283232a << D.283232a ≤<【答案】C 【解析】【分析】根据分段函数单调性，列出各段为减函数的条件，并注意两段分界处的关系，即可求解.【详解】由条件可知，()3230028320282323232234a a a a a a a ⎧⎧⎪-<<<⎪⎪⎪>⇒⇒<<⎨⎨⎪⎪>⎪⎪-+>⎩⎩,故选：C.7.中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+⎪⎝⎭.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道宽度W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N 叫做信噪比.当100SN≥时，公式中真数里的1可以忽略不计.按照香农公式，若将带宽W 变为原来的3倍，信噪比SN从1000提升到16000，则C 大约是原来的（）倍（其中lg50.7≈）A.4.1B.4.2C.4.3D.4.4【解析】【分析】由22123log 160003lg1600034lg27lg5log 1000lg1000C W C W ===+=-即可求解.【详解】解：当1000SN=时，12log 1000C W =，当16000=SN时，223log 16000C W =，则22123log 160003lg1600034lg274lg5740.7 4.2log 1000lg1000C W C W ===+=-≈-⨯=，故C 大约是原来的4.2倍.故选：B.8.已知3log 2a =，ln 3ln 4b =，23c =．则a ，b ，c 的大小关系是（）A.a b c <<B.a c b<< C.c<a<bD.b a c<<【答案】B 【解析】【分析】根据对数函数的性质及对数的运算性质判断即可.【详解】∵2333332log 3log log log 23c a ====，∴c a >，又2344442ln 3log 4log log log 33ln 4c b =====，∴c b <，∴a c b <<．故选：B ．二､多项选择题：本大题共4小题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.9.下列关于单调性的表述中，错误的是（）A.[],x a b ∀∈，若()()0f a f b -<，则函数()f x 在区间[],a b 上单调递增B.x D ∀∈且1x D +∈，若()()10f x f x -+<，则函数()f x 在区间D 上单调递增C.12,x x D ∀∈且12x x <，若()()120f x f x -<，则函数()f x 在区间D 上单调递增D.12,x x D ∀∈，若()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，则函数()f x 在区间D 上单调递增【答案】AB【分析】根据函数单调性的定义逐一判断.【详解】对于A ：仅有两个特殊函数值的大小关系，不满足两个自变量的任意性，故A 错误；对于B ：不满足两个自变量的任意性，故B 错误；对于C ：与单调递增的定义吻合，故C 正确；对于D ：()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，得()()1212f x f x x x ⎧>⎨>⎩，或()()1212f x f x x x ⎧<⎨<⎩，则函数()f x 在区间D 上单调递增，故D 正确，故选:AB .10.已知实数a b c d ､､､，则下列命题中正确的是（）A.若,a b c d ><，则a c b d ->-B.若0a b c >>>，则(1)(1)a b c c +>+C.若a b >，则11a b<D.若0a b c >>>，则()()log 1log 1a b c c +<+【答案】AB 【解析】【分析】利用不等式的性质判断A 、C ；结合指数函数，对数函数的单调性判断B 、D.【详解】对于A :c d c d <⇒->-，又a b >，故由不等式的同向可加性可得a c b d ->-，故A 正确；对于B ：011c c >⇒+>，故(1)x y c =+在R 上单调递增，又0a b >>，故(1)(1)a b c c +>+，故B 正确；对于C ：当0a b >>时，110a b>>，故C 错误；对于D ：()011ln 10c c c >⇒+>⇒+>，故()()()()ln 1ln 111log 1log 1ln ln ln ln b a c c c c aba b+++<+⇔<⇔<，又0a b >>，故ln ln a b >，结合C 可知，D 错误，故选：AB .11.下列说法正确的是（）A.若命题():0,p x ∀∈+∞，1ln x x ->，则p 的否定为：()0,x ∃∈+∞，1ln x x-<B.若不等式220ax x c ++<的解集为{1xx <-∣或2}x >，则2a c +=C.若2320mx x m ++<对[]0,1m ∀∈恒成立，则实数x 的取值范围为()2,1--D.定义在R 上的奇函数()f x ､偶函数()g x 在(],0-∞上单调递减，则()()()()120f g f g -<【答案】BC 【解析】【分析】结合全称量词命题的否定，不等式的解集及函数的单调性与奇偶性依次判断即可.【详解】解：对于A ：量词任意改成存在，结论否定应是小于等于，故A 不正确；对于B ：不等式220ax x c ++<解集为{1xx <-∣或2}x >，则方程220ax x c ++=两根为12-，，且0a <，故21,2-==-ca a，则2,4,2=-=∴+=a c a c ，故B 正确；对于C ：设函数()()223f m x m x =++，则()f m 单调递增，故()0f m <，对[]0,1m ∀∈恒成立，则只需()10f <，即2320,21x x x ++<-<<-，故C 正确；对于D ： 偶函数()g x 在(],0-∞上单调递减，()g x ∴在[)0,∞+上单调递增，()1(2),g g ∴< 奇函数()f x 在(],0-∞上单调递减，()f x ∴在R 上单调递减，()()()1(2),f g f g ∴>D 错误.故选：BC.12.已知0,0a b >>，且33a b +=，则（）A.ab 的最大值为34 B.113a b +的最大值是43C.2219a b +的最小值是8 D.12a b a b+++的最小值是3-【答案】AC 【解析】【分析】利用基本不等式判断AC ；利用基本不等式“1”的妙用判断B ，利用消元法与基本不等式判断D.【详解】对于A ，0,0a b >> ，所以33a b +=≥，34ab ∴≤，当且仅当332a b ==时，等号成立，故A 正确；对于B ，()1111113143223333333b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥⨯+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当33b a a b =，即332a b ==时，等号成立，故B 错误；对于C ，34ab ≤，221964683a b ab ∴+≥≥≥⨯=，当且仅当2219a b =且3a b=，即332a b ==时，等号成立，故C 正确；对于D ，由33a b +=，得33b a =-，由0330a b a >⎧⎨=->⎩，得01a <<，()()11113332233223333a b a a a a a b a a a a ++=++-=+-=+--++---33≥-=，当且仅当()1233a a =--，即32a =±时，等号成立，此时312±>，矛盾，故等号取不到，故D 错误，故选：AC.【点睛】易错点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．三､填空题：本大题共4小题.13.已知幂函数()f x 过点()4,2，则不等式()()30x f x ->的解集为__________.【答案】()3,+∞【解析】【分析】代入法求出()f x =，再利用符号法则求解不等式.【详解】设()af x x =，则24a =，所以12a =，()()()(3030f x x f x x =∴->⇔-，即3030x x x ->⎧⇔>⎨>⎩，∴解集为()3,+∞.故答案为：()3,+∞14.已知函数()f x 是函数()()()11,0xg x a a a -=+>-≠的反函数，则()f x 过定点__________.【答案】()1,0【解析】【分析】首先求出原函数过定点坐标，再根据反函数的性质得解【详解】 函数()f x 是函数()()()11,0x g x a a a -=+>-≠的反函数，又函数()()()11,0xg x a a a -=+>-≠过定点()0,1,所以函数()f x 过定点()1,0.故答案为：()1,015.已知平面直角坐标系xOy ，点P 在半径为2的圆O 上，现点P 从圆O 与y 轴非负半轴的交点A 出发按顺时针方向运动了16圆周，则此时点P 的纵坐标为__________.【答案】1【解析】【分析】根据三角函数的定义可得.【详解】由题意，点P 顺时针转过了60 角，故130,sin 2xOP xOP ∠=∠=，sin 1P y r xOP ∴=∠=.故答案为：1.16.已知函数()f x 的定义域为[)0,∞+，且()[)()[)()[)221,0,1log 3,1,222,2,x x f x x x f x x ∞⎧-∈⎪=-∈⎨⎪-∈+⎩，函数()()122x g x f x -=-在区间[]0,a 内的所有零点为()*Ni x i ∈，若116nii x==∑，则实数a 的取值范围是__________.（121nin i xx x x ==+++∑ ）【答案】[7,9)【解析】【分析】根据函数()f x 的类周期性作出函数()f x 的图象，利用方程与函数之间的关系转化为两个函数交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．【详解】当2x ≥时，()2(2)f x f x =-，则当24x ≤≤时，022x ≤-≤，当23x ≤<时，021x ≤-<，此时2()2(2)2(21)x f x f x -=-=-，当34x ≤<时，122x ≤-<，此时2()2(2)2log (5)f x f x x =-=-，依次类推：作出函数()f x 的图象：()()122x g x f x -=-的零点转化为函数()y f x =与12()2x h x -=的交点的横坐标，作出函数()f x 和12()2(0)x h x x -=>的图象由图象知，当1x =时,()21log 21f ==,()0121h ==，即1x =是函数)(()f x h x =在[0,2]内的唯一一个根，则3x =是函数)(()f x h x =在[2,4]内的唯一一个根，5x =是函数)(()f x h x =在[4,6]内的唯一一个根，7x =是函数)(()f x h x =在[6,8]内的唯一一个根，9x =是函数)(()f x h x =在[8,10]内的唯一一个根，116nii x==∑，135716∴+++=，()()f x h x ∴=在[8,]a 内没有根，则79a ≤<，故实数a 的取值范围是[)7,9故答案为：[)7,9．四､解答题：本大题共6小题，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知函数()y g x =为偶函数，函数()y h x =为奇函数，()()3xg x h x +=对任意实数x 恒成立.（1）计算()3log 2g 、ln3ln9h ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）试探究()2g x 与()h x 的关系，并证明你的结论.【答案】（1）54，3（2）()()2221g x h x =+，证明见解析【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性求函数解析式，进而可得结果；（2）根据（1）中函数解析式分析证明.【小问1详解】由()()3xg x h x +=得()()3xg x h x --+-=，因为()y g x =为偶函数，()y h x =为奇函数，则()()3xg x h x --=，即()()()()33xx g x h x g x h x -⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得()332x x g x -+=，()332x x h x --=，所以()33log 2log 23123352log 2224g -++===，1122ln3133ln9223h h --⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【小问2详解】由（1）可知：()332x x g x -+=，()332x xh x --=，探究结果：()()2221g x hx =+.证明如下：()223322x x g x -+=，()22223333224x x x x h x --⎛⎫-+-==⎪⎝⎭，所以()()2221g x hx =+.18.已知关于x的一元二次不等式2tan 0x θ-+≤的解集中有且只有一个元素，（1）计算sin cos θθ的值；（2）计算33sin cos θθ+的值.【答案】（1）25（2）25±【解析】【分析】（1）由已知，得Δ0=，所以tan 2θ=，再利用弦化切求值；（2）先求出sin cos 5θθ+=±，再因式分解33sin cos θθ+求值即可.【小问1详解】由已知，关于x 的不等式2tan 0x θ-+≤的解集中有且只有一个元素，Δ84tan 0θ∴=-=，则tan 2θ=.222sin cos tan 2sin cos sin cos 1tan 5θθθθθθθθ===++.【小问2详解】29(sin cos )12sin cos 5θθθθ+=+=，sin cos 5θθ∴+=±，33sin cos θθ+()()22sin cos sin cos sin cos θθθθθθ=++-()3sin cos 525θθ=+=±.19.已知函数()21f x ax bx =++．（1）若()10f =，()221f b >+，解关于x 的不等式()0f x ≤；（2）若()011f ≤≤，()122f ≤≤，求()1f -的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）()115f ≤-≤.【解析】【分析】（1）先转化为关于a 的不等式，然后对a 进行分类讨论即可；（2）先求出()1f 和()2f ，再应用待定系数法求出()1f -，最后应用不等式的性质相加即可.【小问1详解】因为()110f a b =++=，所以1b a =--，又因为()242121f a b b =++>+，所以0a >，所以()2010f x ax bx ≤⇒++≤，代入可得()2110ax a x -++≤，即()()()111010ax x a x x a ⎛⎫--≤⇒--≤ ⎪⎝⎭，即()110x x a ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭当1101a a >⇒<<时，不等式的解集为11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；当111a a=⇒=时，不等式的解集为{}1；当111a a <⇒>时，不等式的解集为1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以当01a <<时不等式的解集为11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，当1a =时不等式的解集为{}1，当1a >时不等式的解集为1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；【小问2详解】()()01101110122142120421f a b a b f a b a b ⎧≤≤≤++≤-≤+≤⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨≤≤≤++≤≤+≤⎪⎩⎩⎩，又因为()11f a b -=-+，令()()42a b x a b y a b -=+++，解得31x y =-⎧⎨=⎩，而()0330421a b a b ⎧≤-+≤⎨≤+≤⎩，两式相加可得04a b ≤-≤，所以115a b ≤-+≤，即()115f ≤-≤.20.已知常数R a ∈，函数()21log f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，（1）若3a =，求关于x 的不等式()0f x >的解集；（2）若函数()()2log 425y f x a x a ⎡⎤=--+-⎣⎦至少有一个零点在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内，求实数a 的取值范围；【答案】（1）()1,0,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭（2）6a >【解析】【分析】（1）然后根据对数的单调性进行求解即可.（2）函数()()2log 425y f x a x a ⎡⎤=--+-⎣⎦至少有一个零点在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内，化简为()()24510a x a x -+--=在11,22⎛⎫-⎪⎝⎭上有解，对4a =和4a ≠讨论即可.【小问1详解】当3a =时，函数()21log 3,f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()22112110log 30log 13102x f x x x x x +⎛⎫∴>⇔+>=⇔+>⇔>⇒<- ⎪⎝⎭或0x >，即不等式的解集为()1,0,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.【小问2详解】()()()2221log 4250log log 4250f x a x a a a x a x ⎛⎫⎡⎤⎡⎤--+-=⇔+--+-= ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭()14250a a x a x ⇔+=-+->，即()()24510a x a x -+--=且10a x +>，故()()2log 425y f x a x a ⎡⎤=--+-⎣⎦至少有一个零点在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内，即()()24510a x a x -+--=在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上有解，且10a x +>，当4a =时，=1x -，不符合题意；当4a ≠时，=1x -或14a -，111,22⎛⎫-∉- ⎪⎝⎭，所以,111224a ⎛⎫- ⎪⎝∈⎭-，则40111242a a a -+>⎧⎪⇒⎨-<<⎪-⎩24011421142a a a ->⎧⎪⎪>-⎨-⎪⎪<-⎩22 46,4 6a a a a a a ⎧>⎪⇒⇒>⎨⎪⎩或或综上所述，实数a 的取值范围是6a >.21.()f x 是定义在R 上的函数，满足以下性质：①x ∀、y ∈R ，都有()()()f x y f x f y +=+，②当0x <时，()0f x <．（1）判断()f x 的单调性并加以证明；（2）不等式()22303x x f f a x ⎛⎫++> ⎪+⎝⎭恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）单调递增，证明见解析（2）1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）判断出()f x 在R 上为增函数，令0x y ==，可得出()00f =，令y x =-，可得出()()f x f x -=-，然后任取1x 、2x ∈R 且12x x <，可得出()120f x x -<，利用函数单调性的定义可证得结论成立；（2）将已知不等式变形可得()2233x x f f a x ⎛⎫+>- ⎪+⎝⎭，利用（1）中的结论可得2233x x a x +-<+，整理可得()21330a x x a +++>对任意的x ∈R 恒成立，分10a +=、10a +≠两种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可；在第二种情况下，可得出关于实数a 的不等式组，即可解得实数a 的取值范围.【小问1详解】函数()f x 在R 上为增函数，证明如下：令0x y ==，可得()()020f f =，则()00f =，令y x =-，可得()()()00f x f x f +-==，所以，()()f x f x -=-，任取1x 、2x ∈R 且12x x <，则120x x -<，故()120f x x -<，所以，()()()()()1212120f x x f x f x f x f x -=+-=-<，即()()12f x f x <，因此，函数()f x 在R 上为增函数.【小问2详解】由()22303x x f f a x ⎛⎫++> ⎪+⎝⎭可得()()2233x x f f a f a x ⎛⎫+>-=- ⎪+⎝⎭，所以，2233x x a x +-<+，整理可得()21330a x x a +++>对任意的x ∈R 恒成立，当10a +=时，即1a =-，则有330x ->，解得1x >，不合乎题意；当10a +≠时，则有()10Δ91210a a a +>⎧⎨=-+<⎩，解得12a >.因此，实数a 的取值范围是1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭.22.已知函数()1(1)x f x a a x=->，（1）试判断函数()f x 的单调性（无需证明），若()f x 在[]3,4上的最小值为803，求a 的值；（2）证明：函数()f x 有且仅有一个零点0x ，且()0000log 222a x x x a x -<-.【答案】（1）增函数，3（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用函数的性质判断单调性和求参数即可.（2）先利用零点存在性定理确定范围，再证明即可.【小问1详解】当1a >时，函数x y a =是增函数，又函数1y x=-在[]2,3上也是增函数，()1x f x a x ∴=-在[]2,3上是增函数，（做出判断即可，无需证明）()f x 在[]3,4上的最小值为()8080,333f ∴=，即33180,27,333a a a -=∴=∴=.【小问2详解】()f x 定义域为()(),00,∞∞-⋃+，在()(),00,∞∞-+､上单调递增，当0x <时，()10x f x a x=->，∴函数()f x 在(),0∞-上不存在零点.当0x >时，111,1,1,a f a a a a a ⎛⎫=->∴< ⎪⎝⎭ 函数x y a =是增函数，1a a a ∴<，即10f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，又()()110,f a f x =->在()0,∞+上单调递增，()f x ∴在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在唯一的零点0x ，且01,1x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，此时()0000010,1x x f x ax a x =-=∴=，故要证()0000log 222a x x x a x -<-，即证()020002log 20x a x x a x -+-<，即证()2002log 20a x x -+-<，设()()2log 2g x x =-，则()g x 在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()01g x g a ⎛⎫∴< ⎪⎝⎭，即()01log 2log 2,a a x a ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭ 当1a >时，12a a+>，()0112,log 2log 2log 1a a a a x a a a ⎛⎫∴-<∴-<-<= ⎪⎝⎭，设()22h x x =-，则()h x 在1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，()()011h x h ∴<=-，即()()022*********,2log 22log 2110x a x x x a x x x α-<-∴-+-=-+-<-+=，综上所述，函数()f x 有且仅有一个零点0x ，且()020002log 20x a x x a x -+-<.。

高一数学12月月考试题含解析试题

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卜人入州八九几市潮王学校闽侯第HY学二零二零—二零二壹高一12月月考数学试题第一卷〔一共60分〕一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.1.集合，集合，那么〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】∵集合∴集合∵集合∴集合∴应选C2.表示两条不同直线，表示平面，以下说法正确的选项是〔〕A.假设，那么B.假设，那么C.假设，那么D.假设，那么【答案】B【解析】如图,,但相交,错;,但,错;,但,错;故此题选3.扇形的半径为，周长为，那么扇形的圆心角等于〔〕A.1B.3C.D.【答案】A【解析】设扇形的圆心角为，扇形的弧长为∵扇形的半径为，周长为∴扇形的弧长为∴扇形的圆心角为应选A4.执行如下列图的程序框图，假设输入的值是1，那么输出的值是〔〕A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】试题分析：程序执行的数据变化如下：成立，输出考点：程序框图5.一个几何体的三视图如下列图，那么这个几何体的体积是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】由三视图知几何体为直三棱柱消去一个棱锥，其直观图如图：其中，，为侧棱的中点，侧棱长为2∴几何体的体积为应选D点睛：根据三视图判断空间几何体的形状，进而求几何的表〔侧或者底〕面积或者体积，是高考必考内容，处理的关键是准确判断空间几何体的形状.此题中由的三视图可得：该几何体是直三棱柱消去一个棱锥，画出几何体的直观图，求出棱柱与棱锥的体积，相减可得答案.6.三棱柱中，假设三棱锥的体积为，那么四棱锥的体积为〔〕A. B. C.18D.24【答案】A【解析】根据题意三棱柱如下列图：∵∴应选A7.设是轴上的不同两点，点的横坐标为2，，假设直线的方程为，那么直线的方程是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：根据|PA|=|PB|得到点P一定在线段AB的垂直平分线上，根据y=x+1求出点A的坐标为〔-1，0〕，由P的横坐标是2代入y=x+1求得纵坐标为3，那么P〔2，3〕，又因为Q为A与B的中点，所以得到B〔5，0〕，所以直线PB的方程为：化简后为x+y-5=0故答案为A考点：数形结合的数学思想解决实际问题．会根据两点坐标写出直线的一般式方程．8.如图，正三角形三个顶点都在半径为2的球面上，球心到平面的间隔为1，点是线段的中点，过点作球的截面，那么截面面积的最小值是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】设正三角形的中心为，连接，分析知经过点的球的截面，当截面与垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值.连结，因为是正三角形的中心，三点都在球面上,所以平面，结合平面，可得，因为球的半径.球心到平面的间隔为1，得，所以在中，,又因为为的中点，是等边三角形，所以，因为过作球的截面，当截面与垂直时，截面圆的半径最小，此时截面圆的半径，可得截面面积为.应选C.点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)假设球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形〞成为一个球内接长方体，利用求解．9.曲线与直线有两个不同的交点时，实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】A考点：1．直线与圆的位置关系；2．数形结合法10.从个编号中要抽取个号码入样，假设采用系统抽样方法抽取，那么分段间隔应为〔表示的整数局部)〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】从个编号中要抽取个号码入样，按照系统抽样的规那么，为整数时，分段的间隔为，不是整数时，分段的间隔为.应选C11.假设函数是上的减函数，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】∵函数是上的减函数∴∴应选D点睛：此题考察分段函数的单调性，解决此题的关键是熟悉指数函数，一次函数的单调性，确定了两端函数在区间上单调以外，仍需考虑分界点两侧的单调性，需要列出分界点出的不等关系.12.设定义域为的函数，假设关于的方程有7个不同的实数解，那么〔〕A. B. C.或者2D.【答案】B【解析】设，作出函数图象，如下列图：由图象可知：当时，函数图象有2个交点，当时，函数图象有3个交点，当时，函数图象有4个交点，当时，函数图象有两个交点，当，函数图象无交点．要使方程有7个不同的实数解，那么要求对应方程中的两个根或者，且∴∴应选B点睛：利用函数零点的情况求参数值或者取值范围的方法(1)利用零点存在的断定定理构建不等式求解；(2)别离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解；(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.第二卷〔一共90分〕二、填空题〔每一小题5分，总分值是20分，将答案填在答题纸上〕13.设是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，那么__________．【解析】∵是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称∴，，即∴∴，即∴∴故答案为014.点，点坐标满足，求的取值范围是__________．【答案】【解析】设∵点∴∵点坐标满足∴，即把代入到∵∴∴的取值范围是故答案为15.设点是函数的图象上的任意一点，点，那么的最小值为【答案】【解析】∵函数∴，即对应的曲线为圆心在，半径为2的圆的下局部∵点∴点在直线上过圆心作直线的垂线，垂足为，如下列图：∴故答案为16.函数，其中，假设对任意的非零实数，存在唯一的非零实数，使得成立，__________．〔并且写出的取值范围)【答案】【解析】∵函数，其中∴当时，又∵对任意的非零实数，存在唯一的非零实数，使得成立∴函数必须为连续函数，即在附近的左右两侧函数值相等∴∴由题意可知二次函数的对称轴不能在轴的左侧，那么，即∴故答案为点睛：函数的函数值时,首先应该确定自变量在定义域中所在的范围,然后按相应的对应关系求值,同时,要注意各区间上端点值的取舍情况.分段函数是一种重要的函数,它不是几个函数,而是同一个函数在不同范围内的表示方法不同.三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕17.函数.〔1〕假设，求的值；〔2)求的值.【答案】〔1〕1；〔2〕1006.【解析】试题分析：〔1〕由及函数的表达式，直接进展求值即可；〔2〕根据〔1〕的结论，即可算出的值.试题解析：〔1〕.〔2〕.18.的顶点，过点的内角平分线所在直线方程是，过点的中线所在直线的方程是.〔1〕求顶点的坐标；〔2〕求直线的方程；【答案】〔1〕.〔2〕.【解析】试题分析：〔1〕设.因为B点在直线上，所以可得①.又因为A,B两点的中点在直线上，所以可得②.所以由①，②可解得的值，即可求出B点的坐标.〔2〕由于过点的内角平分线所在直线方程为.所以通过求出点A关于平分线的对称点，然后再与点B写出直线方程即为所求的直线BC的方程.试题解析：〔1〕设，那么中点，由，解得，故．6分〔2〕设点关于直线的对称点为，那么，得，即，直线经过点和点，故直线的方程．12分考点：1.直线方程的表示.2.求关于直线的点的对称点.3.线段的中点问题.19.如图是以为直径的圆上的两点，，是上的一点，且，将圆沿折起，使点在平面的射影在上，.〔1〕求证：平面〔2〕求证平面；〔3〕求三棱锥的体积.【答案】〔1〕见解析；〔2〕见解析；〔3〕∴..所以AD⊥平面BCE.〔2〕因为，.有直角三角形的勾股定理可得.在直角三角形BCE 中，又.所以.又BD=3，.所以可得.所以AD∥FE，又因为平面CEF,(3)通过转换顶点三棱锥A-CFD的体积.因为.所以.试题解析：〔1〕证明：依题意：平面∴∴平面．4分〔2〕证明：中，，∴中，，∴．∴．∴在平面外，在平面内，∴平面．8分〔3〕解：由〔2〕知，，且平面∴．12分考点：1.线面垂直.2.线面平行.3.几何体的体积公式.4.图形的翻折问题.20.函数〔，且〕.〔1〕写出函数的定义域，判断奇偶性，并证明；〔2〕当时，解不等式.【答案】〔1〕见解析；〔2〕.【解析】试题分析：〔1〕由题设可得，解得，即可写出函数的定义域，利用函数的奇偶性的定义即可判断奇偶性；〔2〕由及，再结合单调性，可得，即可解不等式.试题解析：〔1〕由题设可得，解得，故函数定义域为从而：故为奇函数.〔2〕由题设可得，即：∵∴为上的减函数∴，解得：故不等式的解集为.21.和定点，由外一点向引切线，切点为，且满足.〔1〕务实数间满足的等量关系；〔2〕求线段长的最小值；〔3〕假设以为圆心所作的与有公一共点，试求半径取最小值时的方程.【答案】〔1〕.〔2〕.〔3〕.【解析】试题分析：〔1〕连，由勾股定理可得，化简可得实数间满足的等量关系；〔2〕由于，根据间的等量关系及二次函数的性质即可求出线段长的最小值；〔3〕解法一：设的半径为，根据题设条件可得，利用二次函数的性质求得的最小值，此时，求得，获得最小值，从而得到圆的方程；解法二：根据的轨迹设出直线，由与有公一共点，欲求半径最小，即为与外切时半径最小，然后可求出半径最小值及垂直直线的方程，即可求出此时圆心的坐标，故而求出方程.试题解析：〔1〕连∵为切点，，由勾股定理有又由，故.即：.化简得实数间满足的等量关系为：.〔2〕由，得..故当时，，即线段长的最小值为.〔3〕解法一：设的半径为∵与有公一共点，的半径为1，∴.即且.而，故当时，.此时，，.得半径取最小值时的方程为.解法二：由题意可得的轨迹方程是，设为直线与有公一共点，半径最小时为与外切〔取小者〕的情形，而这些半径的最小值为圆心到直线的间隔减去1，圆心为过原点与垂直的直线与的交点..又，解方程组，得，即.∴所求圆方程为.22.函数，且.〔1〕试求的值；〔2〕用定义证明函数在上单调递增；〔3〕设关于的方程的两根为，试问是否存在实数，使得不等式对任意的及恒成立？假设存在，求出的取值范围；假设不存在说明理由.【答案】(1)；〔2〕见解析；〔3.【解析】试题分析：〔1〕由，即可求出的值；〔2〕利用单调增函数的定义即可证明；〔3〕化简为，利用韦达定理可得，根据，得出的取值范围，不等式对任意的恒成立等价为在恒成立，令，根据〔2〕求出，即可求出的取值范围.试题解析：(1)∵∴∴〔2〕∵∴设，∴，∵∴∴∴又∵，∴∴∴在上单调递增.〔3〕∵∴∴又∵∴，故只需当，使得恒成立，即在恒成立，也即在恒成立，∴令，由第〔2〕问可知在上单调递增，同理可得在上单调递减.∴∴故的取值集合是.点睛：对于含有多个变量的函数的恒成立问题，解题时要注意分清哪个是主变量，哪个是参数，区分的原那么是给出了税的范围谁就是变量，求谁的范围谁就是参数.解决恒成立问题一般采用别离参数的方法转化为求函数的最值问题处理.。

重庆市2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题含答案

重庆市2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题含答案

重庆高2026级高一上期数学12月月考2023.12（答案在最后）命题人：一、单选题（每题5分，共计40分）1.已知集合{}()2,1,0,1,2,{ln 10}A B x x =--=+>∣，则A B = （）A.{}0,1 B.{}1,2 C.{}2,2- D.{}1,0,1-【答案】B 【解析】【分析】解出集合B ，按照集合的交运算进行运算即可.【详解】因为(){ln 10}{0}B x x x x =+>=>∣∣，{}2,1,0,1,2A =--，所以{}1,2⋂=A B ，故选：B .2.已知函数()f x =，则()f x 的定义域为（）A.()(),11,-∞+∞ B.()[),12,-∞+∞ C.31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D.()3,1,2⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】根据函数的定义域的求法列不等式，由此求得()f x 的定义域.【详解】依题意232321,10,01111x x x x x x x ---≥-≥≥⇒<---或2x ≥，所以()f x 的定义域为()[),12,-∞+∞ .故选：B3.已知函数()())200x x f x x ⎧≤⎪=>，则()()3f f -=（）A.0B.3-C.9D.3【答案】D 【解析】【分析】利用函数()f x 的解析式由内到外逐层计算可得()()3f f -的值.【详解】由已知可得()()2339f -=-=，则()()()393f f f -===.故选：D.4.函数3()ln 9f x x x =+-的零点所在的区间为A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【答案】C 【解析】【详解】试题分析：可以求得，所以函数的零点在区间(2,3)内．故选C ．考点：零点存在性定理．5.为了给地球减负，提高资源利用率，2020年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚，假设某市2020年全年用于垃圾分类的资金为5000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是（参考数据：lg1.20.079≈，lg 2.560.408≈）（）A.2024年B.2025年C.2026年D.2027年【答案】C 【解析】【分析】根据指数增长模型列式求解.【详解】设2020后第x 年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元，则()5000120%12800x+>，即1.2 2.56x >，解得 1.2lg 2.56log 2.56 5.16lg1.2x >=≈，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是2026．故选：C ．6.函数xx e y x⋅=的图象的大致形状是（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据解析式的特征,选择特殊值代入即可判断选项.【详解】函数xx e y x⋅=当1x =时,1y e =>,所以排除C 、D 选项;当=1x -时,110y e-<=-<,所以排除A 选项;所以B 图像正确故选:B【点睛】本题考查了函数图像的应用,根据解析式判断函数图像可结合奇偶性、单调性、特殊值等方法,属于基础题.7.已知函数()()4,2x f x x g x a x=+=+.若[][]121,3,2,3x x ∀∈∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，则实数a 的范围是（）A.4a ≤B.3a ≤ C.0a ≤ D.1a ≤【答案】C 【解析】【分析】先根据基本不等式及函数的单调性求得()()min min ,f x g x ，结合题意知()()min min f x g x ≥，解出即可.【详解】因为()44f x x x =+≥，当且仅当4x x=，且0,x >即2x =时等号成立，所以()min 4f x =，又函数()2xg x a =+在[]2,3上单调递增，所以()2min 24g x a a =+=+，由题意可知()()min min f x g x ≥，即44a ≥+，所以0a ≤，故选：C .8.设函数()y f x =的定义域为12,,D x x D ∀∈，当122x x a +=时，恒有()()122f x f x b +=，则称点(),a b 为函数()y f x =图象的对称中心.利用对称中心的上述定义，研究函数()e e 21x x f x x -=-++，可得到()()()()2023202220222023f f f f -+-+++= （）A.0B.2023C.4046D.4047【答案】D 【解析】【分析】根据题中定义可知()f x 的图象关于点()0,1对称，然后根据对称性即可求值.【详解】因为()e e21xxf x x -=-++，则()()()e e21e e 212xxx x f x f x x x --+-=-+++--+=，故()f x 的图象关于点()0,1对称，所以()()()()2023202220222023f f f f -+-+++ ()2202304047f =⨯+=，故选：D .二、多选题（每题5分，共计20分）9.若2()ln 1(())f x x x R =+∈，则下列命题正确的是（）A.()f x 的图象关于直线0x =对称B.()f x 的图象关于点（0，0）中心对称C.()f x 没有最小值D.()f x 没有最大值【答案】AD 【解析】【分析】由题意得出的奇偶性，从而可判断选项A,B;由211t x =+≥，结合对数函数的单调性可判断选项C,D.【详解】()2(()1)ln f x x f x -=+=，所以为()f x 偶函数.则选项A 正确，选项B 不正确.设211t x =+≥，所以2()ln1ln 0()1f x x =+≥=（当0x =时取得等号）当x →+∞或x →-∞时，t →+∞，则()f x →+∞，所以()f x 没有最大值.所以选项C 不正确，选项D 正确.故选：AD10.下列四个函数中过相同定点的函数有（）A.2y ax a =+-B.1a y x =+C.11(0,1)x y a a a -=+>≠ D.log (2)1(0,1)a y x a a =-+>≠【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数解析式，结合幂指对函数的性质确定各函数所过的定点坐标，即可判断过相同定点的函数.【详解】A ：(1)2y a x =-+必过(1,2)；B ：1a y x =+，由11a =知函数必过(1,2)；C ：11(0,1)x y a a a -=+>≠，由01a =知函数必过(1,2)；D ：log (2)1(0,1)a y x a a =-+>≠，由log 10a =知函数必过(1,1)；∴A 、B 、C 过相同的定点.故选：ABC.11.已知函数()2e 1,()R 68,x x f x x x x λλλ⎧-≤=∈⎨-+->⎩，()()g x f x m =-，则下列说法正确的是（）A.当0λ=时，函数()f x 有3个零点B.当2λ=时，若函数()g x 有三个零点123,,x x x ，则()1236,6ln 2x x x ++∈+C.若函数()f x 恰有2个零点，则[)2,4λ∈D.若存在实数m 使得函数()g x 有3个零点，则(),3λ∈-∞【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，令e 10x -=与2680x x -+-=，解出方程的根，得到零点个数；B 选项，画出()y f x =与y m =的图象，得到要想()g x 有三个零点123,,x x x ，则()0,1m ∈，进而得到236x x +=，()1e 10,1x m -=∈，求出1x 的范围即可；C 选项，求出当0λ<时，函数()f x 零点的个数，即可判断；D 选项，要想存在实数m 使得函数()g x 有3个零点，则要保证268y x x =-+-对称轴左侧部分存在，从而求出λ的范围.【详解】对于A ，当0λ=时，2e 1,0()68,0x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+->⎩，当0x ≤时，令e 10x -=，解得0x =，当0x >时，令2680x x -+-=，解得2x =或4x =，综上，当0λ=时，函数()f x 有3个零点，故A 正确；对于B ，当2λ=时，()2e 1,268,2x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+->⎩，令()()0g x f x m =-=，则()f x m =，如图，画出()y f x =与y m =的图象如下：要想()g x 有三个零点123,,x x x ，则()0,1m ∈，不妨设123x x x <<，则236x x +=，()1e 10,1xm -=∈，故()1e 1,2x∈，则()10,ln 2x ∈，则123(6,6ln 2)x x x ++∈+，故B 正确；对于C ，因为0x =时，e 10x -=，2x =或4时，2680x x -+-=，当0λ<时，e 1x y =-不存在零点，而268y x x =-+-有两个零点，此时函数()f x 恰有2个零点，则当0λ<时，函数()f x 也恰有2个零点，故C 错误；对于D ，画出()y f x =与y m =的图象如下：要想存在实数m 使得函数()g x 有3个零点，则要保证268y x x =-+-对称轴左侧部分存在，故(),3λ∈-∞，故D 正确.故选：ABD.【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[,]a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．12.定义{}11(22x m m x m =-<≤+且)Z m ∈.则下列关于函数(){}3x xf x -=的四个命题正确的是（）A.函数()y f x =的定义域为R ，值域为[)1,+∞B.函数()y f x =是偶函数且在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数：C.函数()y f x =满足：对任意的x ∈R ，都有()()(f x k f x k +=-为常数且Z)k ∈成立；D.函数()32log y f x x =-有2个不同零点.【答案】BCD 【解析】【分析】画出函数{}x x -的草图，根据函数的图象结合函数的性质逐项判断即可.【详解】函数{}x x -的草图如下：由图象可知：{}10,2x x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦且为偶函数，则(){}3x x f x -=为偶函数，且()3f x ⎡∈⎣，故A 错误，B 正确；由图象可知，函数的周期为1,又()y f x =为偶函数，Z k ∈，所以()()()f x k f x f x +==-，故C 正确；对于D ，32log y x =为偶函数，当31,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()32log y f x x =-有一个零点1，且32321log 12=>，故()32log y f x x =-在()0,∞+上有唯一零点，结合函数为偶函数，故()32log y f x x =-共有两个零点，故D 正确，故选：BCD .三、填空题（每题5分，共计20分）13.若幂函数()()215mf x m m x-=--是偶函数，则m =___________.【答案】3【解析】【分析】根据幂函数的定义得251m m --=，解得2m =-或3m =，再结合偶函数性质得3m =.【详解】解：因为函数()()215mf x m m x-=--是幂函数，所以251m m --=，解得2m =-或3m =，当2m =-时，()3f x x =，为奇函数，不满足，舍；当3m =时，()2f x x -=，为偶函数，满足条件.所以3m =.故答案为：314.函数212()log (6)f x x x =--的单调递增区间是________【答案】1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】先求函数定义域，再根据复合函数单调性确定单调增区间.【详解】26032x x x -->∴-<<Q 当122x -<<时，26u x x =--单调递减，而12()log f x u =也单调递减，所以212()log (6)f x x x =--单调递增，故答案为：1,22⎛⎫-⎪⎝⎭【点睛】本题考查复合函数单调性、对数函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.15.已知函数221(0,1)x x y a a a a =+->≠在区间[]1,1-上的最大值是7，则=a __________.【答案】2或12【解析】【分析】设x t a =，把函数化为关于t 的一元二次函数，分离讨论a 的范围，根据函数最大值建立方程，解出即可.【详解】设x t a =，又[]1,1x ∈-，若1a >，则1,t a a⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数222121x x y a a t t =+-=+-()212t =+-，对称轴为1t =-，则t a =，即1x =时，()2max 127y a =+-=，解得2a =或4a =-（舍）；若01a <<时，1,t a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数222121x x y a a t t =+-=+-()212t =+-，对称轴为1t =-，则1t a =，即=1x -时，2max 1127y a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，解得12a =或14a =-（舍）；故答案为：2或12.16.已知函数()22,36,3x x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，若a 、b 、c 、d 、e ()a b c d e <<<<满足()()()()()f a f b f c f d f e ====，则()()()()()M af a bf b cf c df d ef e =++++的取值范围为______.【答案】()0,9【解析】【分析】设()()()()()f a f b f c f d f e t =====，作出函数()f x 的图象，可得01t <<，利用对称性可得2a d b c +=+=，由()()0,1f e ∈可求得56e <<，进而可得出2224M e e =-++，利用二次函数的基本性质可求得M 的取值范围.【详解】作出函数()f x的图象如下图所示：设()()()()()f a f b f c f d f e t =====，当02x <<时，()()222111f x x x x =-=--+≤，由图象可知，当01t <<时，直线y t =与函数()y f x =的图象有五个交点，且点(),a t 、(),d t 关于直线1x =对称，可得2a d +=，同理可得2b c +=，由()()60,1f e e t =-=∈，可求得56e <<，所以，()()()()()()()()()46M af a bf b cf c df d ef e a b c d e f e e e =++++=++++=+-()()222241250,9e e e =-++=--+∈.因此，M 的取值范围是()0,9.故答案为：()0,9.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.四、解答题（共70分）17.设集合{}5122,1214x A x B x m x m ⎧⎫=≤≤=-≤≤+⎨⎬⎩⎭∣.（1）若3m =时，求()R ,A B A B ⋂⋃ð.（2）若A B A ⋃=，求m 的取值范围.【答案】（1）{}|25A B x x ⋂=≤≤；(){R |2A B x x ⋃=<-ð或}2x ≥.（2）()[],21,2∞--⋃-【解析】【分析】（1）解出集合,A B ,按照集合的运算法则进行运算即可；（2）由题意得B A ⊆，分B =∅和B ≠∅两种情况讨论，列出不等式组，解出即可.【小问1详解】因为{}5122254x A xx x ⎧⎫=≤≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭，当3m =时，{}{}12127B xm x m x x =-≤≤+=≤≤∣∣,所以{}|25A B x x ⋂=≤≤，{R |2A x x =<-ð或}5x >，故(){R |2A B x x ⋃=<-ð或}2x ≥.【小问2详解】因为A B A ⋃=，所以B A ⊆,当B =∅时，121m m ->+，解得2m <-；当B ≠∅时，12112215m m m m -≤+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，解得12m -≤≤，综上知，m 的取值范围为()[],21,2∞--⋃-.18.已知log 3,log 2(0a a m n a ==>且1)a ≠.（1）求2m n a +的值；（2）若3log 21m n +=+，解关于x 的不等式：()2160tx at x a -++-<（其中0t ≥）.【答案】（1）12（2）当t =0时，不等式的解集为{}3|x x ＞，当103t ＜＜时，不等式的解集为1{|3}x x t＜＜，当13t =时，不等式的解集为∅，当13t >，不等式的解集为3{|1}x x t ＜＜.【解析】【分析】（1）先把对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解．（2）根据对数的运算性质可求出a 的值，再对t 分情况讨论，分别求出不等式的解集．【小问1详解】log 3log 20a a m n a == ，（＞且1a ≠），32m n a a ∴==，，2222··3212m n m n m n a a a a a +===⨯=（）【小问2详解】33log 3log 2log 6log 21log 6a a a m n +=+=+= ，3a ∴=∴不等式可化为()()23130130tx t x tx x -++⇔--<（）＜当t =0时，不等式为30x -+＜，解得{}3|x x ＞，当103t ＜＜，13t ＞不等式的解集为1{|3}x x t＜＜，当13t =，13t =不等式的解集为∅，当13t >，13t<不等式的解集为3{|1}x x t＜＜综上所述，当t =0时，不等式的解集为{}3|x x ＞，当103t ＜＜时，不等式的解集为1{|3}x x t ＜＜，当13t =时，不等式的解集为∅，当13t >，不等式的解集为3{|1}x x t＜＜.19.已知定义在()1,1-上的奇函数()f x ．在()1,0x ∈-时，()22xxf x -=+．（1）试求()f x 的表达式；（2）若对于()0,1x ∈上的每一个值，不等式()241xxt f x <⋅⋅-恒成立，求实数t 的取值范围．【答案】（1）()()()221,000220,1x x x x x f x x x --⎧+∈-⎪==⎨⎪--∈⎩（2）0t ≥【解析】【分析】（1）依题意可得()00f =，再设()0,1x ∈，根据奇偶性及()1,0x ∈-上的函数解析式，计算可得；（2）依题意参变分离可得4141x x t -+>+，令()4141x x g x -+=+，()0,1x ∈，根据指数函数的性质求出函数的单调性，即可求出函数最小值，从而得解；【小问1详解】解：()f x 是定义在()1,1-上的奇函数，()00f ∴=，因为在()1,0x ∈-时，()22xxf x -=+，设()0,1x ∈，则()1,0x -∈-，则()()()22xxf x f x -=--=-+，故()()()221,000220,1x x x x x f x x x --⎧+∈-⎪==⎨⎪--∈⎩.【小问2详解】解：由题意，()241xxt f x <⋅⋅-可化为()22241xxxxt --<⋅⋅--化简可得4141x x t -+>+，令()41214141x x xg x -+==-+++，()0,1x ∈，因为41x y =+在定义域()0,1上单调递增，2y x=在()2,5上单调递减，所以()g x 在()0,1上单调递减，()()0201041g x g ∴<=-+=+，故0t ≥．20.中国茶文化博大精深，小南在茶艺选修课中了解到，不同类型的茶叶由于在水中溶解性的差别，达到最佳口感时的水温不同．为了方便控制水温，小南联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度为1θC ︒，环境温度是0θC ︒，则经过时间t （单位：分钟）后物体温度θ（单位：C ︒）满足公式：010()kteθθθθ-=+-⋅，其中k 是一个随着物体与空气接触状况而定的正的常数．小南与同学一起通过多次测量求平均值的方法得到200毫升初始温度为98C ︒的水，在10C ︒室温中温度下降到90C ︒温度所需时间约为2分钟．（1）请根据小南的实验结果求出k 的值（精确到0.01），并依照牛顿冷却模型写出冷却时间t （单位：分）与冷却后水温θ（单位：C ︒）的函数关系()t f θ=．（2）小南了解到“永川秀芽”用80C ︒左右的水冲泡口感最佳．在（1）的条件下，200毫升水煮沸后（水温100C ︒）在10C ︒室温下为获得最佳口感大约需要冷却多少分钟再冲泡？（结果保留整数）参考数据：ln 3 1.097≈，ln 7 1.946≈，ln10 2.303≈，ln11 2.398≈【答案】（1）0.05k ≈，1020ln (θθθθ-=-t ；（2）5分钟.【解析】【分析】（1）运用代入法，结合对数的定义、题中所给的数据进行求解即可；（2）运用代入法，结合题中所给的数据进行求解即可.【小问1详解】由题意可知，()290109810ke-=+-，解得：21011ke-=，即102ln 11k -=；11(ln10ln11)(2.303 2.398)0.04950.0522k ∴=-⨯-≈-⨯-=≈.由题意：0.05010()teθθθθ-+-⋅=，即0.05010=teθθθθ---，解得：01010020ln 20ln )t θθθθθθθθ--=-=--((；【小问2详解】当0110=10080θθθ==，，时，1001020ln 20(2ln 3ln 7) 4.968010t -==⨯-≈-(.∴大概需要5分钟冷却再冲泡.21.设函数()f x 的定义域为D ，若存在0x D ∈，使得()()()0011f x f x f +=+，则称0x 为函数()f x 的“旺点”.（1）求函数()23xf x x =+在R 上的“旺点”；（2）若函数()22log 1g ax x=+在()0,∞+上存在“旺点”，求正实数a 的取值范围.【答案】（1）031log 2x =-（2）)32⎡⎣【解析】【分析】（1）利用题中定义，列方程求解即可.（2）根据题意将问题转化为方程()22222log log log 1211a a ax x =++++在()0,∞+上有解，化简可得()222220a x ax a -++-=，讨论二次项系数使方程在()0,x ∈+∞上有解即可.【详解】（1）由题意，有()00100213235x x x x +++=++，化简得0332x =，∴031log 2x =-为所求“旺点”.（2）方程()22222log log log 1211a a ax x =++++在()0,∞+上有解，化简得()222220a x ax a -++-=，记()()22222h x a x ax a =-++-，()0,x ∈+∞，①当20a -=，即2a =时，()42h x x =+在()0,∞+上无根，故舍去；②当20a ->，即2a >时，()h x 的对称轴为02ax a=<-，()0220h a =->，∴()0h x >对一切()0,x ∈+∞恒成立，故舍去；③当20a -<，即02a <<时，()h x 的对称轴为02ax a=>-，故只需()()2442220a a a ∆=---≥，即2640a a --≤，解得32a ≤<；综上所述，正实数a的取值范围为)32⎡⎣.【点睛】本题是一道函数的新定义题目，考查了方程的根以及含参数的一元二次方程的根，考查了学生对新定义题目的理解能力，属于中档题.22.设函数()2,,R f x x ax b a b =-+∈.（1）已知()()f x g x x=在区间[)1,+∞上单调递增，求b 的取值范围；（2）是否存在正整数,a b ，使得()12f x ≤≤在[]0,b 上恒成立？若存在，求出,a b 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）(],1-∞（2）存在2,2a b ==满足条件，理由见解析【解析】【分析】（1）()bg x x a x=+-，分0b ≤，0b >结合函数单调性讨论即可求解；（2）根据题意可知()()min max 12f x f x ⎧≥⎪⎨≤⎪⎩，理由对称轴和[]0,b 的关系进行讨论，分别研究即可求解.【小问1详解】由题可知()()f x bg x x a xx==+-，当0b ≤时，()g x 在()0,∞+上单调递增，从而在[)1,+∞，符合题意；当0b >时，由对勾函数的性质可知：在(上单调递减，在)∞+上单调递增，1≤，即01b <≤，综上可知，b 的取值范围为(],1-∞.【小问2详解】因为()22224a a f x x ax b x b ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭，其对称轴为2a x =，由题知0,0a b >>，当[]0,x b ∈时，()12f x ≤≤在[]0,b 上恒成立，等价于()()min max 12f x f x ⎧≥⎪⎨≤⎪⎩，当2ab >，即20a b >>时，()f x 在[]0,b 上单调递减，所以()()()()2min max102f x f b b ab b f x f b ⎧==-+≥⎪⎨==≤⎪⎩，因为20a b >>，所以22ab b -<-，所以()22221112244f b b ab b b b b b ⎛⎫=-+<-+=--+≤ ⎪⎝⎭，与()1f b ≥矛盾；当02a b <≤，即02a b <≤时，则有()()()()()()2min 2211242224023a a f x f b a a f b b b f b ⎧⎛⎫==-≥⋅⋅⋅⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎛⎫=-+-≤⋅⋅⋅⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪=≤⋅⋅⋅⎪⎪⎩，由()1可得2114a b ≥+>，结合()()23可得12b <≤，由b 为正整数得2b =，又02a b <≤，由()2可得，2122a b ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭，即212a b ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，则012a b <-≤，所以012a b <-≤，结合()1得()22114a b b -≤≤-，此时2114a ≤≤，2a =符合条件，故存在2,2a b ==满足条件.。

南通市如皋市2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题

南通市如皋市2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题

江苏省如皋市2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分）1.已知集合{}ln32,e A -=-，{}12B x x =-≤，则A B = （）A.{}2,3- B.12,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C.13⎧⎫⎨⎬⎩⎭D.{}32.若角α终点上一点()3,P a -，且4sin 5α=，则=a （）A.4-B.3-C.4D.4±3.已知2log 0.3a =，0.32b =，sin 2c =，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c<< B.b c a<< C.c a b<< D.a c b<<4.已知函数()πsin 1cos 2f x x x ⎡⎤⎛⎫=++⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，[]0,πx ∈，则()f x 的最大值为（）A.2B.14C.0D.45.将πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到()y g x =的图象，则()g x 的一个对称中心为（）A.5π,04⎛⎫⎪⎝⎭ B.π,08⎛⎫⎪⎝⎭C.π,04⎛⎫-⎪⎝⎭D.π,016⎛⎫-⎪⎝⎭6.已知函数()24f x x ax =-+在()1,2上有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是（）A.[)8,10 B.()8,10 C.[)4,5 D.()4,57.已知()()π2sin 03⎛⎫=+> ⎪⎝⎭f x x ωω在2π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围是（）A.(]0,4 B.10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D.(]0,18.已知定义在()0,∞+上的函数()f x ，满足()()()1f xy f x f y +=+，且102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()102f =（）A.1B.10C.11D.1024二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）9.下列代数式的值为1的是（）A.29- B.636log 2log 9+C.25π4πsincos63⎛⎫+- ⎪⎝⎭D.10.下列命题正确的有（）A.存在正实数,M N ，使得()222log log log M N M N +=+B.对任意的角α，都有()cos πcos αα+=C.tan tan αβ=是α与β终边在同一条直线上的充要条件D.函数()f x 为奇函数是函数()2f x 为奇函数的充要条件11.已知实数a ，b 满足21a b >+，则下列不等关系一定正确的是（）A .2a b> B.21a b >+ C.1a b >- D.221a b b >-+12.已知()()11,2,1,x f x f x x -≤≤=->⎪⎩则下列结论正确的是（）A.()122f = B.()f x 的最大值为2C.()f x 的增区间为[]()21,2N k k k -∈ D.()()()212N ff k k -=∈三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上）13.已知扇形的面积为4，半径为2，则扇形的圆心角为__________弧度.14.已知幂函数()223mm f x x --=（其中，m ∈Z ）为偶函数，且()f x 在()0,∞+上单调递减，则m 的值为_______.15.希罗平均数（Heroniammean ）是两个非负实数的一种平均，若a ，b 是两个非负实数，则它们的希罗平均数H =，记2a b A +=，G =，则A ，G ，H 从小到大的关系为_________.（用“≤”连接）16.已知sin cos 5αα+=，则44sin cos αα+=________，若()π,0α∈-，则tan α=________.四、解答题（本大题共6小题，共计70分。

高一12月月考数学试题(含答案)

高一12月月考数学试题(含答案)

高一12月月考数学试题(含答案)数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．） 1.⎪⎭⎫ ⎝⎛-π 623sin 的值等于 . 2．设α角属于第二象限，且2cos 2cos αα-=，则2α角属于第 象限.3.4tan 3cos 2sin 的值的符号为 .4.在函数x y sin =、x y sin =、2sin(2)3y x π=+、2cos(2)3y x π=+中，最小正周期为π的函数有 个.5.已知点P(θcos ，θsin )在第三象限，则角θ的终边落在第______象限．6.设k = 80cos ，则= 100tan ____________ .7.已知()sin 1f x ax b x =++，若(5)7f =，则(5)f -=8.函数y =||xx sin sin +x x cos cos ||+||x x tan tan 的值域是 . 9.如果 αα α α cos 5sin 3cos 2sin +-= - 5，那么αtan 的值为 . 10.如果ααcos sin +=43，那么ααcos sin -的值为 .11.若(cos )cos3f x x =，那么(sin30)f ︒的值为 . 12.若集合|,3A x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，{}|22B x x =-≤≤，则集合B A 为 ．13.函数y=2sin(2x+6π)(x ∈[-π,0］)的单调递减区间是 .14.已知sin θ＝1－a 1＋a ，cos θ＝3a －11＋a ，若θ是第二象限角，则实数a 的值是________．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知角α的终边经过点P (4a ，- 3a )(a ≠0)，求 2sin α + cos α的值；16.（14分） 已知扇形的周长为30，当它的半径R 和圆心角α各取何值时，扇形的面积最大？并求出扇形面积的最大值．17．（15分）已知2tan =α，求下列各式的值：（1）ααααcos 9sin 4cos 3sin 2--；（2）αααα2222cos 9sin 4cos 3sin 2--；（3）αααα22cos 5cos sin 3sin 4--.18．（15分）已知)62sin()(π+-=x x f 求：（1）函数的最小正周期；（2）函数的单调增区间；（3）若63ππ≤≤-x ，求函数的值域。

重庆市中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题(含答案)

重庆市中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题(含答案)

重庆市2023—2024学年度上期高2026级月考数学试题（答案在最后）（满分150分考试时间120分钟）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α等于（）A.513B.－513C.512D.－512【答案】B 【解析】【分析】根据同角三角函数平方关系式以及三角函数值在各象限的符号即可解出．【详解】由条件知α是第四象限角，所以sin 0α<，即sin α＝＝＝513-.故选：B ．【点睛】本题主要考查同角三角函数平方关系式以及三角函数值在各象限的符号的应用，属于容易题．2.函数()22xf x x =+的零点所在的区间为（）A.()0,1 B.()1,0-C.()1,2 D.()2,3【答案】B 【解析】【分析】根据函数解析式，判断()1f -、()0f 等函数值的符号，由零点存在性定理即可确定零点所在的区间.【详解】()3102f -=-<，()010f =>，且函数为增函数，由函数零点存在定理，()f x 的零点所在的区间是()1,0-．故选：B .3.直角坐标平面上将函数1()2x f x a +=-（0a >，1a ≠）的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则所得新函数()g x 的图像恒过定点（）A.(2,0)-B.(0,1)C.(2,1)- D.(0,1)-【答案】A 【解析】【分析】先求出()f x 的图像所过定点，再将定点按题中要求平移，从而得解.【详解】因为1()2x f x a +=-（0a >，1a ≠）,令10x +=，得=1x -，021y a =-=-，所以()f x 的图像过定点()1,1--，将定点()1,1--向左平移1个单位，再向上平移1个单位，得()2,0-，所以()g x 的图像恒过定点()2,0-.故选：A.4.扇面书画在中国传统绘画中由来已久．最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》．扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐的成为主流如图，该折扇扇面画的外弧长为24，内弧长为10，且该扇面所在扇形的圆心角约为120°，则该扇面画的面积约为（）（π3≈）A.185B.180C.119D.120【答案】C 【解析】【分析】首先由弧长和圆心角求出外弧半径与内弧半径，再根据扇形面积公式12S lr =，用大扇形面积减去小扇形面积，即可求得答案．【详解】设外弧长为1l ，外弧半径为1r ，内弧长为2l ，内弧半径为2r ，该扇面所在扇形的圆心角为α,∵扇形的弧长为l r α=，∴1136πl r α==，2215πl r α==，∵扇形的面积为12S lr =，∴该扇面画的面积为1122111361153572410119222π2ππS l r l r =-=⨯⨯-⨯⨯=≈，故选：C ．5.若不等式20ax bx c ++>的解集为{|25}x x <<，则不等式20cx bx a ++>的（）A.1125x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭∣ B.12x x ⎧<-⎨⎩∣或15x ⎫>-⎬⎭C.1152xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣ D.15xx ⎧<⎨⎩∣或12x ⎫>⎬⎭【答案】C 【解析】【分析】依题意可得2x =、5x =为方程20ax bx c ++=的两根且a<0，利用韦达定理得到7b a =-、10c a =，则不等式20cx bx a ++>化为210710x x -+<，解得即可.【详解】解：因为不等式20ax bx c ++>的解集为{|25}x x <<，所以2x =、5x =为方程20ax bx c ++=的两根且a<0，所以2525b a c a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，所以7b a =-、10c a =，所以不等式20cx bx a ++>，即为20710ax ax a -+>，即210710x x -+<，即()()21510x x --<，解得1152x <<，即不等式20cx bx a ++>的解集为1152xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣；故选：C6.有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%.有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾将以此增长率持续增长.请预测，从（）年开始，快递业产生的包装垃圾将超过4000万吨.（参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈）A.2018 B.2019C.2020D.2021【答案】D 【解析】【分析】根据题意得340040002n⎛⎫⨯> ⎪⎝⎭，再利用对数函数的性质解之即可得解.【详解】设快递行业产生的包装垃圾为y 万吨，n 表示从2015年开始增加的年份的数量，由题意可得()3400150%4002nny ⎛⎫=⨯+=⨯ ⎪⎝⎭，由于第n 年快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨，即340040002n⎛⎫⨯> ⎪⎝⎭，即3102n⎛⎫> ⎪⎝⎭，两边取对数得3lg 12n >，即115.67863lg 3lg 2lg 2n >=≈-，又*N n ∈，因此从2021年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨，故选：D ．7.若关于x 的不等式23(2)30x a x -+->在区间1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有解，则a 的取值范围是（）A.510,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B.(,10)-∞-C.(,2)-∞- D.5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】不等式23(2)30x a x -+->在区间1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有解，转化为max 323a x x ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭，求出33y x x =-的最大值可得答案.【详解】因为1,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以由不等式23(2)30x a x -+->得233323x a x x x-+<=-，不等式23(2)30x a x -+->在区间1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有解，只需max 323a x x ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭，因为33y x x =-在1,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以y 的最大值为393222y =⨯-=，可得922a +<，解得52a <.故选：D .8.已知函数()f x 在[)1,-+∞是增函数，(1)=-y f x 关于y 轴对称，(1)(21)0f m f m --+<成立，则实数m 的取值范围是（）A.(,2)(0,)-∞-+∞B.(2,0)-C.22,3⎛⎫--⎪⎝⎭ D.2(,2),3⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】令()()1g x f x =-，由题意得到()g x 的性质，从而将问题转化为()()22g m g m <+，从而利用()g x 的奇偶性与单调性即可得解.【详解】令()()1g x f x =-，因为()f x 在[)1,-+∞是增函数，(1)=-y f x 关于y 轴对称，所以()g x 在[)0,∞+是增函数，且在R 上是偶函数，又()()(1),22(21)g m f m g m f m =-+=+，所以由(1)(21)0f m f m --+<，得()()220g m g m -+<，即()()22g m g m <+，则()()22g m g m <+，所以22m m <+，两边平方得()2222m m <+，解得2m <-或23m >-.故选：D.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9.下列说法正确的是（）A.“a b >"是“|||a b >∣”的充分不必要条件B.命题“()23,,9x x ∞∃∈-+ ”的否定是“()23,,9"x x ∞∀∈-+>C.设,x y ∈R ，则“2x 且2y ”是“4x y + ”的必要不充分条件D.“1m "是“关于x 的方程220x x m -+=有实根”的充要条件【答案】BD 【解析】【分析】根据充分条件、要条件的定义，命题的否定的定义判断各选项．【详解】对于A ，例如0,1a b ==-满足a b >，但a b <，所以A 错误；对于B ，特称命题的否定为全称命题，命题“()23,,9x x ∞∃∈-+ ”的否定是“()23,,9"x x ∞∀∈-+>，所以B 正确；对于C ，例如2,1x y ==满足224x y + ，但2y <，所以C 不正确；对于D ，方程220x x m -+=有实根Δ4401m m ⇔=-⇔≤ ，所以D 正确．故选：BD ．10.下列对应关系是从A 到B 的函数的是（）A.Z A =，Z B =，2:f x y x →=B.R A =，{}0B x x =>，:||f x y x →=C.Z A =，Z B =，:f x y →=D.{}11A x x =-≤≤，{1}B =，:1f x y →=【答案】AD 【解析】【分析】根据函数定义进行判断即可．【详解】根据函数定义，集合A 中的每一个元素，对应集合B 中唯一元素．对于A ，符合函数的定义，是从A 到B 的函数，故A 正确；对于B ，A 中有元素0，在对应关系下0y =，不在集合B 中，不是函数，故B 错误；对于C ，A 中元素0x <时，B 中没有元素与之对应，不是函数，故C 错误；对于D ，A 中任意元素，在对应关系下1y =，都在集合B 中，是从A 到B 的函数，故D 正确；故选：AD ．11.已知函数21()21x x f x -=+，下面说法正确的有（）A.()f x 的图象关于y 轴对称B.()f x 的图象关于原点对称C.()f x 的值域为()1,1-D.12,x x R ∀∈，且12x x ≠，()()12120f x f x x x -<-恒成立【答案】BC 【解析】【分析】判断()f x 的奇偶性即可判断选项AB ，求()f x 的值域可判断C ，证明()f x 的单调性可判断选项D ，即可得正确选项.【详解】21()21x x f x -=+的定义域为R 关于原点对称,()()2122112()()2112212x x x x x x x xf x f x --------====-+++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点对称，故选项A 不正确，选项B 正确；212122()1212121x x x x xf x +--===-+++，因为20x >，所以211x +>，所以10121x <<+，22021x--<<+，所以211121x -<-<+，可得()f x 的值域为()1,1-，故选项C 正确；设任意的12x x <，则()()()121221121222()()1121212121212222221x x x x x x x x f x f x 骣琪-=---=-=琪++++++桫-，因为1210x +>，2210x +>，12220x x -<，所以()()()121222202121x x x x -<++，即12())0(f x f x -<，所以()()12120f x f x x x ->-，故选项D 不正确；故选：BC【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法（1）取值：设12,x x 是该区间内的任意两个值，且12x x <；（2）作差变形：即作差，即作差12()()f x f x -，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差12()()f x f x -的符号；（4）下结论：判断，根据定义作出结论.即取值---作差----变形----定号----下结论.12.已知0a >，0b >，下列命题中正确的是（）A.若2a b +=，则lg lg 0a b +≤B.若20ab a b --=，则29a b +≥C.若2a b +=，则1122a b ab +-≥D.若111123a b +=++，则14ab a b ++≥+【答案】ACD 【解析】【分析】利用已知的等式，将其进行变形，利用基本不等式对选项逐一分析判断即可．【详解】对于A ，因为0a >，0b >，所以2a b =+ ，故1ab ，当且仅a b =时取等号，此时()lg lg lg lg10a b ab +== ，故选项A 正确；对于B ，因为20ab a b --=，所以2ab a b =+ ，当且仅当2a b =时取等号，所以228a b ab ，解得8ab ，则28a b + ，故选项B 错误；对于C ，因为2a b +=，所以2111524244(2)a b b a a a b ab b ab b a +-=+-=+≥+，当且仅当552b -==时取等号，故选项C 正确；对于D ，因为111123a b +=++，所以27ab a b =++，所以271b a b +=-，因为0a >，0b >，所以1b >，所以41418237373(1)141461411b ab a b a b b b b b +++=++=++=-++=-- ，当且仅当1b =+时取等号，故14ab a b +++ ，故选项D 正确．故选：ACD ．三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知角θ的终边经过点1(,22-那么tan θ的值是_______.【答案】33-【解析】【分析】直接利用三角函数的定义求解即可.【详解】因为角θ的终边经过点1(,),22-所以θ为第二象限角，tan 0θ∴<，由三角函数的定义可得12tan 32θ==-，故答案为3-.【点睛】本题主要考查任意角的正切函数值,意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.14.已知幂函数()f x 满足以下条件：①()f x 是奇函数；②()f x 在(0,)+∞是增函数；③(2)3f >.写出一个满足条件①②③的函数()f x 的一个解析式()f x =______.【答案】3x 【解析】【分析】分别由幂函数，奇函数，增函数定义验证以及(2)3f >验证即可.【详解】因为3()f x x =，定义域为R ，关于原点对称；又()()33()f x x x f x -=-=-=-，所以()f x 是奇函数；因为30>所以()3f x x =为()0,+∞上的增函数；()32283f ==>；故答案为：3x 15.计算7log 2334log lg 25lg 47log 8log +-+⋅______.【答案】2【解析】【分析】利用对数的运算法则与换底公式计算即可得解.【详解】7log 234log lg25lg47log 8log ++-+⋅21333231log 27(lg 25lg 4)log 2l 22og 3=++⋅-+33321log 3lg1003213log 2log 26+⨯=+-312222=+-+2=.故答案为：2.16.设函数2343,0()1log ,0x x x f x x x ⎧++≤=⎨+>⎩，给出下列四个结论：①对0t ∀>，方程()f x t =都有3个实数根；②0(0,)x ∃∈+∞，使得()()00f x f x -=；③若互不相等的实数123,,x x x 满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是35(,5]9-.其中所有正确结论的序号是______.【答案】②③【解析】【分析】分析并作出函数()f x 的图象，再利用图象判断各个命题得解.【详解】当0x ≤时，()f x 的图象是开口向上、对称轴为直线2x =-的抛物线243y x x =++在y 轴及左侧部分，当0x >时，()f x 的图象是对数函数3log y x =的图象向上平移1个单位而得，如图，对于①，观察图象知，当3t >时，方程()f x t =只有2个实数根，①错误；对于②，当00x >时，使得有00()()f x f x -=成立，即24+3y x x =-与31+log y x =有交点，而24+3(0)y x x x =->的图象与函数()f x (0)x <的图象关于y 轴对称，显然24+3(0)y x x x =->的图象与函数31+log y x =的图象有公共点，②正确；对于③，不妨设互不相等的实数123,,x x x 且123x x x <<，当满足123()()()f x f x f x ==时，由图可知1222+=-x x ，即124x x +=-，当0x >，()1f x =-，即31+log 1x =-时，19x =，当0x >，()3f x =，即31+log 3x =时，9x =，因此3199x <≤，所以1325359x x x -<++≤，③正确，所以所有正确结论的序号是②③.故答案为：②③四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（1）已知实数x ，y 满足21x -≤≤-，23y ≤≤，求32x y -的取值范围;（2）已知实数1x >，求21x x +-的最小值.【答案】（1）[12,7]--；（2） 1.【解析】【分析】（1）由不等式的性质求解；（2）由基本不等式求最小值．【详解】（1）因为21x -≤≤-，所以633x -≤≤-，因为23y ≤≤，所以624y -≤-≤-，所以12327x y -≤-≤-，所以32x y -的取值范围是[12,7].--（2）1x >，则10x ->，所以22(1)111x x x x +=-++--11≥=当且仅当211x x -=-，即1x =时，等号成立，所以21x x +-的最小值为 1.18.已知函数()24,02,012,0x x f x x x x ⎧->⎪==⎨⎪+<⎩.（1）求函数()f x 的零点；（2）当43x -≤<时，求()f x 的值域.【答案】（1）1,22-（2）[)7,4-【解析】【分析】（1）根据题中所给的函数解析式，结合零点的定义分情况运算求解；（2）分情况求得函数在相应区间上的值域，取并集得结果.【小问1详解】当0x <时，令()120=+=f x x ，可得12x =-；当0x =时，可得()(0)20==≠f x f ，不合题意；当0x >时，令2()40==-f x x ，可得2x =或2x =-（舍去）；综上可得，函数()f x 的零点为1,22-．【小问2详解】当40x -≤<时，()12f x x =+，可得7121-≤+<x ，即()71-≤<f x ；当0x =时，()(0)2f x f ==；当03x <<时，2()4f x x =-，可得2544-<-<x ，即5()4f x -<<；综上可得，当43x -≤<时，求函数()f x 的值域为[)7,4-．19.已知函数()()0,1x f x a a a =>≠.（1）若()12f -=，求()()22f f +-的值.（2）若函数()f x 在[]1,1-上的最大值与最小值的差为83，求实数a 的值.【答案】（1）174；（2）3或13.【解析】【分析】（1）由题意可得12a =，解得12a =，再代入求解即可.（2）讨论1a >和01a <<，运用指数函数的单调性，可得a 的方程，解方程即可得到所求值．【详解】（1）因为()x f x a =，()12f -=，所以12a =，解得12a =，当12a =时，()12x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()22111722224f f -⎛⎫⎛⎫+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（2）①当1a >时，()x f x a =在[]1,1-上单调递增，所以()()()()1max min 8113f x f x f f a a--=--=-=，化简得23830a a --=，解得3a =或13a =-（舍去）.②当01a <<时，()x f x a =在[]1,1-上单调递减，所以()()()()1max min 8113f x f x f f aa --=--=-=，化简得23830a a +-=.解得13a =或3a =-（舍去）.综上可得实数a 的值为3或13.【点睛】方法点睛：分类讨论思想的常见类型1、问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；2、问题中的条件是分类给出的；3、解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；4、涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.20.已知集合{}2log (1)2A x x =+<，{}48x B x =>，{}22(21)0,C x x a x a a x A =-+++=∈.（1）计算A B ⋂；（2）若集合C 是单元素集，求实数a 的取值范围.【答案】（1）332xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣（2）23a ≤<或21a -<≤-【解析】【分析】（1）利用对数函数、指数函数的单调性求出集合,A B ，再由集合的交运算即可求解.（2）解方程求得集合C ，再利用单元素集的定义列出不等式组即可求解.【小问1详解】由2log (1)2x +<得()222log 1log 2x +<，又函数2log y x =在()0,∞+上单调递增，则2012x <+<，即13x -<<，则{13}A xx =-<<∣，由48x >，得2322x >，故32x >，则32B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭∣，所以332A B xx ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭ ∣.【小问2详解】解22(21)0x a x a a -+++=，得1x a =或21x a =+，所以{C x x a ==或}1,x a x A =+∈，因为集合C 是单元素集，{13}A xx =-<<∣，1a a <+，所以1313a a -<<⎧⎨+≥⎩或1113a a ≤-⎧⎨-<+<⎩，解得23a ≤<或21a -<≤-，所以实数a 的取值范围为23a ≤<或21a -<≤-.21.已知函数()f x 的定义域是()0,∞+，当1x >时，()0f x >，且()()x f f x f y y ⎛⎫=-⎪⎝⎭.（1）求()1f 的值，并证明()f x 在定义域上是增函数；（2）若112f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的值，解不等式1(1)2f x f x ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭.【答案】（1）()10f =，证明见解析；（2）10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.【解析】【分析】（1）令1y =，可得(1)0f =，利用增函数的定义可证()f x 在()0,∞+上是增函数；（2）利用赋值法求出(4)2f =，将不等式1(1)2f x f x ⎛⎫++≥⎪⎝⎭化为1(4)x f f x +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，根据()f x 的单调性可解得结果.【详解】（1）令1y =，则()()()1f x f x f =-，得(1)0f =，任取210x x >>，则211x x >，210x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()()22110x f x f x f x ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，故()f x 在()0,∞+上是增函数；（2）在()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中，令1x =，2y =，则1((1)(2)2f f f =-，即10(2)f -=-得()21f =，再令2x =，4y =，则2((2)(4)4f f f =-，即11(4)f -=-，得()42f =，∵0x >，∴11(1)(4)2x f x f f f x x +⎛⎫⎛⎫++=≥=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由()f x 在()0,∞+上递增得14x x +≥且0x >，得103x <≤.所以不等式1(1)2f x f x ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭的解集为1(0,3.【点睛】关键点点睛：在()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中，通过赋值法求出(4)2f =是解题关键.22.已知函数()41()log 412x f x x =+-，x R ∈.（1）证明：()f x 为偶函数；（2）若函数()f x 的图象与直线12y x a =+没有公共点，求a 的取值范围；（3）若函数[]()22()421,0,log 3xf x xg x m x +=+⋅-∈，是否存在m ，使()g x 最小值为0.若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）(,0)-∞；（3）存在，1m =-.【解析】【分析】（1）证明函数的奇偶性，用定义证明；（2）根据函数()f x 的图象与直线12y x a =+没有公共点，用分离参数法；（3）复合函数问题，用换元法，令2x t =，讨论2()g t t mt =+即可.【详解】解：（1）证明：因为x ∈R ，又()()4411()()log 41log 4122x x f x f x x x ---=++-++4444141log log 4log 104141x x x x x x --⎛⎫++=+=⨯== ⎪++⎝⎭，即()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数.（2）原题意等价于方程()411log 4122+-=+x x x a 无解，即方程()4log 41=+-x a x 无解.令()4()log 41x h x x =+-，因为()444411()log 41log log 144x xx x h x x +⎛⎫=+-==+ ⎪⎝⎭，显然1114x+>，于是()0h x >，即函数()h x 的值域是(0,)+∞.因此当0a ≤时满足题意.所以a 的取值范围是(,0)-∞.（3）由题意1()2()42142f x x x x x g x m m +=+⋅-=+⨯，[]20,log 3x ∈.令2x t =，则[1,3]t ∈.则2()g t t mt =+，[1,3]t ∈.①当2m ≥-时，12m -≤，min ()10g x m =+=，解得1m =-；②当62m -<<-时，132m <-<2min ()04m g x =-=，解得0m =（舍去）；③当6m ≤-时，32m -≥min ()930g x m =+=，解得3m =-（舍去）.综上，存在1m =-，使得()g x 最小值为0.【点睛】方法点睛：（1）对函数奇偶性的证明用定义：()()f x f x =-或()()f x f x =-；。

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南涧县民族中学2016——2017学年上学期12月月考高一数学试题班级 姓名 学号本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

注:所有题目在答题卡上做答 第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合}3,2,1{=A ，},12|{A x x y y B ∈-==，则AB =（ ）（A ）}3,1{ （B ）}2,1{ （C ）}3,2{（D ）}3,2,1{2. 函数f (x )＝1－2x＋1x ＋3的定义域为( )．（A ）(－3,0] （B ）(－3,1] （C ）(－∞，－3)∪(－3,0] （D ）(－∞，－3)∪(－3,1]3. 若«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»为第四象限角，则«Skip Record If...»的值等于（ ）（A ）«Skip Record If...» （B ）«Skip Record If...» （C ）«Skip Record If...» （D ）«Skip Record If...»4.)945sin(o-的值为( ) （A ）－22 （B ） 22 （C ）－32 （D ）.325. 若sin α·tan α＜0，且cos αtan α＜0，则角α是( )．（A ）第一象限角 （B ）第二象限角 （C ）第三象限角 （D ）第四象限角 6. 设«Skip Record If...»则（ ）（A ）«Skip Record If...» （B ） «Skip Record If...» （C ） «Skip Record If...» （D ）«Skip Record If...»7.设函数«Skip Record If...»，若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...» ( ) （A ）«Skip Record If...» （B ）«Skip Record If...» （C ）«Skip Record If...» (D)«SkipRecord If...»8.若方程ln x ＋x －5＝0在区间(a ，b )(a ，b ∈Z ，且b －a ＝1)上有一实根，则a 的值为( ) （A ）5 （B ）4 （C ）3（C ）29. 已知A 为锐角，n Am A =-=+cos 11lg,)cos 1lg(，则A sin lg 的值是( )（A ）m ＋1n（B ）m －n （C ）)1(21nm + （D ）)(21n m -10. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()2f x x x =-,则()y f x =在R 上的解析式为 （ ）（A ） ()(2)f x x x =-+ （B ）()||(2)f x x x =- （C ）()(||2)f x x x =- （D ） ()||(||2)f x x x =-11. 函数2()1log f x x =+与1()2x g x -+=在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）12. 已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有)6()6(x f x f -=+ππ，则)6(πf 等于( )．（A ）2或0 （B ）－2或2 （C ） 0 （D ）－2或0第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每个小题5分，共20分）13.已知«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»________.14.幂函数()f x 的图象过点43,27)（，则()f x 的解析式是_____________. 15．已知31)3sin(=+θπ,且θ是第二象限角，则θtan = . 16.定义在R 上的奇函数f (x )，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则不等式f (x )＜－1的解集是________．三、解答题 (本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.（本小题满分10） 已知R x x x f ∈+-=,23)26sin()(π(1)求函数f (x )的最大值及取得最大值时自变量x 的集合； (2)求函数f (x )的单调减区间；18. （本小题满分12分） 计算 (1)5log 3333322log 2log log 859-+- (2) 12log 6log 225.01681064.033214331 -+++⎪⎭⎫⎝⎛---19. （本小题满分12分）已知1222)(+-+⋅=x x a a x f )(R x ∈，若)(x f 满足0)()(=+-x f x f ，（1）求实数a 的值及)3(f ；（2）判断函数的单调性，并加以证明。

20. （本小题满分12分）求值；(1)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°) (2)设)0sin 21()2(sin )23cos(sin 1)4cos()3cos()sin(2)(222≠++-+++-+-+=ααπαπααπαπαπαf ，求)623(π-f21. （本小题满分12分）已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15.(1)求sin A cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形；（3）求A tan 的值.22. （本小题满分12分）已知«Skip Record If...»R，函数«Skip Record If...»=.«Skip Record If...»（1）当«Skip Record If...»时，解不等式«Skip Record If...»>1；=0的解集中（2）若关于«Skip Record If...»的方程«Skip Record If...»+«Skip Record If...»恰有一个元素，求«Skip Record If...»的值；，函数«Skip （3）设«Skip Record If...»>0，若对任意«Skip Record If...»«Skip Record If...»Record If...»在区间«Skip Record If...»上的最大值与最小值的差不超过1，求«Skip Record If...»的取值范围.-高一数学试题考答案与评分标准一、选择题：本大题共12小题。

每小题5分，共60分。

题号 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 答案 AADACCDCDDDB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

(13) 10 (14)43 (15) 42- (16) )21,0()2,(⋃-∞∈x三、解答题 (本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.（本小题满分10分） 解 ：（1）23)62sin()(+--=πx x f ，此时：25)(max =x f ， 取得最大值自变量所对应的集合是}Zk k x x ∈⎩⎨⎧-=,6|ππ（5分）（2）)(x f 单调减区间是)](3,6[Z k k k ∈+-ππππ（10分）（说明：本题只有结果，过程酌情加减分）18.（本小题满分12分）5log 3333332log 2log 329)log 25-+-解：原试＝（－log＝33332log 2log 23)3log 23-+-（5－2log ＝333log 23log 23-+-+2=-1（6分） 原式=1334343313[(0.4)]1(2)0.5log 36log 12(0.4)180.5log 3 2.5180.5111---+++-=-+++=-+++=（12分）19. （本小题满分12分） （1）53)2(,1==f a （6分）（2）)(x f 为增函数（12分） （说明：本题只有结果，过程酌情加减分）20. （本小题满分12分）(1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°sin1 050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos (2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°) ＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°) ＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝32×32＋12×12＝1.（6分） (2)∵f (α)＝－2sin α－cos α＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α1＋2sin αsin α1＋2sin α＝1tan α， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋π6 ＝1tanπ6＝ 3.（12分）21．（本小题满分12分）(1)∵sin A ＋cos A ＝15，①∴两边平方得1＋2sin A cos A ＝125，∴sin A cos A ＝－1225，（3分）(2)由sin A cos A ＝－1225＜0，且0＜A ＜π，可知cos A ＜0，∴A 为钝角，∴△ABC 是钝角三角形．（6分） (3)∵(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1＋2425＝4925，又sin A ＞0，cos A ＜0，∴sin A －cos A ＞0， ∴sin A －cos A ＝75，②∴由①，②可得sin A ＝45，cos A ＝－35，∴tan A ＝sin A cos A ＝45－35＝－43.（12分）22. （本小题满分12分） 解 （1）由«Skip Record If...»，得«Skip Record If...»，解得«Skip Record If...»．（3分）（2）有且仅有一解，«Skip Record If...»有且仅有一解，等价于«Skip Record If...»有且仅有一解．等价于«Skip Record If...»当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，符合题意；．当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»综上，«Skip Record If...»或．（7分）«Skip Record If...»（12分）。

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