第5讲-逆运动学问题

(3.47) . . . . 若已知关节上θ1与θ2是时间的函数,θ1=f1(t),θ2=f2(t), 则可求出 该机器人手部在某一时刻的速度V=f(t), 即手部瞬时速度。反之, . -1 . 给定机器人手部速度,可由V=J(q)q解出相应的关节速度,q=J V, 式中J-1为机器人逆速度雅可比矩阵。
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
关于关节角(θ)的多解(多值) 关于关节角(θ)的多解(多值)问题 (θ)的多解
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比 5.2 工业机器人速度分析 工业机器人速度分析
1. 工业机器人速度雅可比矩阵 工业机器人速度雅可比矩阵 数学上, 雅可比矩阵(Jacobian Matrix)是一个多元函数的偏 导矩阵。假设有六个函数, 每个函数有六个变量, 即
•
正解
– 已知各杆的结构参数和关节变量，求末端执行器的空间位置 已知各杆的结构参数和关节变量， 和姿态，称作机器人运动学正问题；对于移动关节， 和姿态 ， 称作机器人运动学正问题 ； 对于移动关节 ， 取 d为 为 关节变量。 关节变量。
•
逆解
– 已知作业要求时，末端执行器的空间位置和姿态以及各杆的 已知作业要求时， 结构求关节变量 结构求关节变量
2 ）求θ3
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
3 ）求θ2
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
求逆小结 求逆解： 求逆解：
1) 2) 方法：等号两端的矩阵中对应元素相等； 方法：等号两端的矩阵中对应元素相等； 步骤：利用矩阵方程进行递推，每递推一次可解一个或多于 步骤：利用矩阵方程进行递推， 一个的变量公式； 一个的变量公式； 3) 技巧： 技巧：利用三角方程进行置换
写成矩阵为
∂x d x ∂θ1 dy = ∂y ∂θ1
∂x ∂θ 2 d θ1 ⋅ ∂y dθ 2 ∂θ 2
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比 令
∂x ∂θ J = 1 ∂y ∂θ1
∂x ∂θ 2 ∂y ∂θ1
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3转角表示的姿态矩阵
• 用连杆坐标系之间的变换矩阵A确定的T6建立机器人运动学方 用连杆坐标系之间的变换矩阵A确定的T 程的方法.其中n,o,a共 个元素表示手部姿态. 程的方法.其中n,o,a共9个元素表示手部姿态.实际只有三个独 n,o,a 立的.这种方法对坐标变换运算十分方便, 立的.这种方法对坐标变换运算十分方便,但利用它做手部姿态 描述不方便. 描述不方便. • 如何用3个独立参数描述姿态? 这3个独立变量可以取作绕3个 如何用3个独立参数描述姿态? 个独立变量可以取作绕3 轴的转角。 轴的转角。 • 机器人手部位姿的六维列矢量表示: 机器人手部位姿的六维列矢量表示:
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
第五讲
机器人逆运动学及速度分析
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比 5.1 工业机器人的运动学方程简介 • 运动方程
– 末端执行器(对多数机器人常表现为夹持型工具)上的坐标系 末端执行器(对多数机器人常表现为夹持型工具) 也称标架)相对于基础坐标系的位姿矩阵 位姿矩阵T (也称标架)相对于基础坐标系的位姿矩阵Te0，就是操作机的 运动方程。 运动方程。
(3.36)
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比 可写成 将其微分, 得
Y=F(X)
(3.37)
可简写成
∂F 式中, (6×6)矩阵 称为雅可比矩阵。 ∂X
∂F dY = dx ∂X
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比 对于工业机器人速度分析和静力分析中遇到类似的矩阵, 我 们称为机器人的雅可比矩阵, 简称雅可比。 以二自由度平面关节机器人为例,如图3.14所示,机器人的手 部坐标(x,y)相对于关节变量(θ1,θ2)有
以及A 以及A1，A2，A3，A4，A5，A6 求： θ1，θ2，…θ6（代数法） θ 代数法）
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
第5章 机器人逆运动学与速：1 ）求θ1
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
• 用 qi 代替 θi 或 di 表示关节变量 (qi 称作广义关 代替θ 表示关节变量(q 节变量) 节变量) • 一般的递推解题步骤如下： 一般的递推解题步骤如下：
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
PUMA560的位姿逆解。 例：已知T06，求例PUMA560的位姿逆解。即：已知 已知T 求例PUMA560的位姿逆解
对于n自由度机器人,关节变量q=［q1 q2…qn］T,当关节为转 动关节时,qi=θi; 当关节为移动关节时,qi=di,则dq=dq1 dq2…dqn］
T反映关节空间的微小运动。由X=X(q)可知,
dX=J(q)dq
其中J(q)是(6×n)的偏导数矩阵. ( 是 × 的偏导数矩阵 (X=[x,y,z,φx,φy,φz]T 的偏导数矩阵. dX=[dx,dy,dz,δφx,δφy,δφz] dX=[dx,dy,dz,δφx,δφy,δφz T ), 称为n自由度机器人速 度雅可比矩阵。
用绕基础坐标轴的转角为参数的导航角表示法 x-y-zRPY
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
用绕动坐标轴转角为参数的欧拉角表示法 z-y-x欧拉角设定法
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
用绕动坐标轴转角为参数的欧拉角表示法
则式(3.41)可简写为
dX=J d = dθ
dθ1 dx 其中, dX = , dθ = dy dθ 2
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比 由此可求得
− l1s1 − l2 s12 J = l1c1 + l2 c12
− l2 s12 l2 c12
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5.1.2 反向运动学及实例
• 位姿逆解法可分为3类： 位姿逆解法可分为3
–代数法 代数法 –几何法 几何法 –数值解法。 数值解法。 数值解法
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若已知末杆某一特定的位姿矩阵T 若已知末杆某一特定的位姿矩阵 06：
• 方法步骤
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关于关节角(θ)的多解(多值) 关于关节角(θ)的多解(多值)问题 (θ)的多解
• 代数法和几何法进行位姿逆解时， 代数法和几何法进行位姿逆解时，关节角的解都是多解 (多值的)的。 多值的) • • 如用几何法，这种多值可以方便地由解图直接判定。 如用几何法，这种多值可以方便地由解图直接判定。 为达到目标点，操作机的上臂( 和下臂( 为达到目标点，操作机的上臂(杆2)和下臂(杆3)可有两 种位形关系。对于下臂，可在基座右面， 种位形关系。对于下臂，可在基座右面，转到基座的左 面。这样，到达目标点，就可有4种不同的位形。 这样，到达目标点，就可有4种不同的位形。
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比 逆速度雅可比J-1出现奇异解的情况如下: ① 工作域边界上的奇异: 机器人手臂全部伸开或全部折 回时,叫奇异形位。该位置产生的解称为工作域边界上的奇异。 ② 工作域内部奇异: 机器人两个或多个关节轴线重合引 起的奇异。当出现奇异形位时,会产生退化现象, 即在某空间 某个方向(或子域)上, 不管机器人关节速度怎样选择, 手部也 不可能动。
• 三次旋转变换后的得到 的姿态矩阵如何？ 的姿态矩阵如何？
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比 工业机器人速度分析 2. 工业机器人速度分析 把式(3.44)两边各除以dt, 得
dX dq = J (q) dt dt
或
(3.45) (3.46)
V=J(q) q
其中: V——机器人末端在操作空间中的广义速度,V=X;
J(q)——速度雅可比矩阵;
q——机器人关节在关节空间中的关节速度。
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比 若 把 J(q) 矩 阵 的 第 1 列 与 第 2 列 矢 量 记 为 J1 、 J2, 则 有 V=J1θ1+J2θ2,说明机器人速度雅可比的每一列表示其它关节不 动而某一关节运动时产生的端点速度。 二自由度手部速度为
x = l1 cos θ1 + l2 cos θ12 y = l1 sin θ1 + l2 sin θ12
即
x = x(θ1 , θ 2 ) y = y (θ1 , θ 2 )
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比 求微分有
∂x ∂x dx = ∂θ d θ1 + ∂θ dθ 2 1 2 dy = ∂y d θ + ∂y dθ 1 2 ∂θ1 ∂θ 2
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比 5.1.1 工业机器人的运动学方程简介 工业机器人的运动学方程简介
• 这两个问题， 这两个问题 ， 是机器人应用中 极为重要的问题， 极为重要的问题 ， 是对机器人 进行位置控制的关键。 进行位置控制的关键。
•
由于末端执行器类型复杂， 由于末端执行器类型复杂 ， 为 了便于研究， 了便于研究 ， 下面以末杆的位 姿矩阵T 取代T 作为研究对象。 姿矩阵T0n 取代T0e 作为研究对象。
X=[x,y,z,φx,φy,φz]T
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
用绕基础坐标轴的转角为参数的导航角表示法 x-y-zRPY
φ——滚转角 滚转角(roll)； 滚转角 ； θ——俯仰角 俯仰角(pith)； 俯仰角 ； 偏摆角(yaw) ψ——偏摆角 偏摆角
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比