2019高考数学二轮复习 大题专项练习(七)参数方程理
高考数学二轮复习考点知识讲解与练习71---参数方程
高考数学二轮复习考点知识讲解与练习第71讲 参数方程考点知识：1.了解参数方程，了解参数的意义；2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．知识梳理1．曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x ，y )都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧x ＝f (t )， y ＝g (t )并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．2．参数方程与普通方程的互化通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎨⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．3．常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹 普通方程 参数方程直线y －y 0＝tan α(x －x 0)⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)圆 x 2＋y 2＝r 2 ⎩⎨⎧ x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝ 1(a ＞b ＞0)⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)1．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围．2．直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)参数方程⎩⎨⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )中的x ，y 都是参数t 的函数．( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M →的数量．( )(3)方程⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．( )(4)已知椭圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为 3.( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)× 解析 (4)当t ＝π3时，点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2cos π3，4sin π3，即M (1,23)，∴OM 的斜率k＝2 3.2．曲线⎩⎨⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上 答案 B解析 由⎩⎨⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ得⎩⎨⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2.所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1,2)，在直线y ＝－2x 上．3．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值是________．答案 3解析 直线l 的普通方程为x －y －a ＝0，椭圆C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，所以椭圆C 的右顶点坐标为(3,0)，若直线l 过点(3,0)，则3－a ＝0，所以a ＝3.4．(2019·北京卷)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋3t ，y ＝2＋4t (t 为参数)，则点(1,0)到直线l 的距离是( )A.15 B ．25 C ．45 D ．65 答案 D解析 由题意可知直线l 的普通方程为4x －3y ＋2＝0，则点(1,0)到直线l 的距离d ＝|4×1－3×0＋2|42＋(－3)2＝65.故选D. 5．已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，若l 与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则直线l 的斜率为________． 答案 ±1515解析 由⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，得y ＝x tan α，设k ＝tan α，得直线的方程为y ＝kx ，由x 2＋y 2－4x ＋3＝0，得(x －2)2＋y 2＝1，圆心为(2,0)，半径为1， ∴圆心到直线y ＝kx 的距离为12－|AB |24＝12＝|2k |k 2＋1，得k ＝±1515. 6．(2019·天津卷)设直线ax －y ＋2＝0和圆⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)相切，则实数a ＝________. 答案 34解析 圆的参数方程消去θ，得(x －2)2＋(y －1)2＝4. ∴圆心(2,1)，半径r ＝2. 又直线ax －y ＋2＝0与圆相切． ∴d ＝|2a －1＋2|a 2＋1＝2，解得a ＝34.考点一 参数方程与普通方程的互化1．下列参数方程与方程y 2＝x 表示同一曲线的是( ) A.⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t2B ．⎩⎨⎧x ＝sin 2t ，y ＝sin tC.⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝|t | D ．⎩⎨⎧x ＝1－cos 2t 1＋cos 2t ，y ＝tan t答案 D解析 对于A ，消去t 后所得方程为x 2＝y ，不符合y 2＝x ；对于B ，消去t 后所得方程为y 2＝x ，但要求0≤x ≤1，也不符合y 2＝x ；对于C ，消去t 得方程为y 2＝|x |，且要求y ≥0，x ∈R ，也不符合y 2＝x ；对于D ，x ＝1－cos 2t 1＋cos 2t ＝2sin 2t 2cos 2t＝tan 2t ＝y 2，符合y 2＝x .故选D.2．把下列参数方程化为普通方程． (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t (t 为参数)；(2)⎩⎨⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ(θ为参数，θ∈[0,2π))．解 (1)由已知得t ＝2x －2，代入y ＝5＋32t 中得y ＝5＋32(2x －2)． 即它的普通方程为3x －y ＋5－3＝0.(2)因为sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以x 2＋y ＝1，即y ＝1－x 2. 又因为|sin θ|≤1，所以其普通方程为y ＝1－x 2(|x |≤1)． 3．将下列参数方程化成普通方程． (1)⎩⎨⎧x ＝t 2－1，y ＝t 2＋1(t 为参数)；(2)⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π. 解 (1)消去参数t ，得y ＝x ＋2，由于t 2≥0，所以普通方程为y ＝x ＋2(x ≥－1)，表示一条射线．(2)消去参数θ，得x 2＋y 2＝1，由于θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，所以x ∈[－1,0]，y ∈[0,1]，所以普通方程为x 2＋y 2＝1(－1≤x ≤0,0≤y ≤1)，表示圆的四分之一．感悟升华 1.化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法．另外，消参时要注意参数的范围． 2．普通方程化为参数方程时，先分清普通方程所表示的曲线类型，结合常见曲线的参数方程直接写出． 考点二 参数方程的应用【例1】 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ (θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t(t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a . 解 (1)a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0. 曲线C 的标准方程是x 29＋y 2＝1，联立方程⎩⎨⎧x ＋4y －3＝0，x29＋y 2＝1，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2125，y ＝2425.则C 与l 交点坐标是(3,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－2125，2425.(2)直线l 的普通方程是x ＋4y －4－a ＝0. 设曲线C 上点P (3cos θ，sin θ)．则P 到l 距离d ＝|3cos θ＋4sin θ－4－a |17＝|5sin (θ＋φ)－4－a |17，其中tan φ＝34.又点C 到直线l 距离的最大值为17， 所以|5sin(θ＋φ)－4－a |的最大值为17. 若a ≥0，则－5－4－a ＝－17，∴a ＝8. 若a <0，则5－4－a ＝17，∴a ＝－16. 综上，实数a 的值为a ＝－16或a ＝8.【例2】(2021·河南省八市重点高中联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos α，y ＝2＋5sin α(α为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2：ρ2＝4ρcos θ－3.(1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)若曲线C 1与C 2交于A ，B 两点，A ，B 的中点为M ，点P (0，－1)，求|PM |·|AB |的值． 解 (1)曲线C 1的普通方程为x 2＋(y －2)2＝5.由ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，得曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＋3＝0. (2)将两圆的方程x 2＋(y －2)2＝5与x 2＋y 2－4x ＋3＝0作差，得直线AB 的方程为x －y －1＝0.点P (0，－1)在直线AB 上，设直线AB 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝－1＋22t (t 为参数)，代入x 2＋y 2－4x ＋3＝0化简得t 2－32t ＋4＝0，显然Δ>0，所以t 1＋t 2＝32，t 1t 2＝4. 因为点M 对应的参数为t 1＋t 22＝322，所以|PM |·|AB |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22·|t 1－t 2| ＝322×(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝322×18－4×4＝3. 感悟升华 1.在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解．2．过定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t为参数)，t 的几何意义是P 0P →的数量，即|t |表示P 0到P 的距离，t 有正负之分．对于形如⎩⎨⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．【训练1】(2021·南昌摸底测试)在直角坐标系中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝cos 2θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝－5＋22t (t 为参数)．(1)求曲线C 和直线l 的普通方程；(2)设P ，Q 分别是直线l 和曲线C 上的动点，求|PQ |的最小值． 解 (1)因为y ＝cos 2θ＝2cos 2θ－1，x ＝cos θ， 所以曲线C ：y ＝2x 2－1(－1≤x ≤1)， 由⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝22t －5得y ＝22x －5，所以直线l 的普通方程为y ＝22x －5.(2)作直线l ′：y ＝22x ＋b 与曲线C 相切，则|PQ |的最小值为直线l 与直线l ′的距离．将l ′与C 的方程联立，消去y ，可得2x 2－22x －(b ＋1)＝0， 则Δ＝8＋8(b ＋1)＝0，解得b ＝－2，故直线l ′：y ＝22x －2， 从而直线l 与直线l ′的距离为|－2－(－5)|(22)2＋1＝1，即|PQ |的最小值为1⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当切点Q 的横坐标为 22时取到最小值.考点三 参数方程与极坐标方程的综合应用【例3】(2022·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos kt ，y ＝sin kt(t为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为4ρcos θ－16ρsin θ＋3＝0. (1)当k ＝1时，C 1是什么曲线？(2)当k ＝4时，求C 1与C 2的公共点的直角坐标． 解 (1)当k ＝1时，C 1：⎩⎨⎧x ＝cos t ，y ＝sin t ，消去参数t 得x 2＋y 2＝1，故曲线C 1是以坐标原点为圆心，1为半径的圆． (2)当k ＝4时，C 1：⎩⎨⎧x ＝cos 4t ，y ＝sin 4t ，消去参数t 得C 1的直角坐标方程为x ＋y ＝1.C 2的直角坐标方程为4x －16y ＋3＝0.由⎩⎨⎧x ＋y ＝1，4x －16y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝14.故C 1与C 2的公共点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，14.感悟升华 1.涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程． 2．数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．【训练2】(2022·全国Ⅱ卷)已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：⎩⎨⎧x ＝4cos 2θ，y ＝4sin 2θ(θ为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t，y ＝t －1t(t 为参数)．(1)将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程． 解 (1)C 1的普通方程为x ＋y ＝4(0≤x ≤4)． 由C 2的参数方程得x 2＝t 2＋1t2＋2，y 2＝t 2＋1t2－2，所以x 2－y 2＝4.故C 2的普通方程为x 2－y 2＝4.(2)由⎩⎨⎧x ＋y ＝4，x 2－y 2＝4得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝32，所以点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32.设所求圆的圆心的直角坐标为(x 0,0)， 由题意得x 20＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－522＋94，解得x 0＝1710. 因此，所求圆的极坐标方程为ρ＝175cos θ.1．(2022·安庆三模)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋3cos α，y ＝3sin α(其中α为参数)，以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＋4cos θ＝0. (1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程； (2)设点A ，B 分别是曲线C 1，C 2上两动点，且∠AOB ＝π2，求△AOB 面积的最大值． 解 (1)曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋3cos α，y ＝3sin α(其中α为参数)，转换为普通方程为(x －3)2＋y 2＝9.曲线C 2的极坐标方程为ρ＋4cos θ＝0，转换为直角坐标方程为x 2＋y 2＋4x ＝0.(2)由(1)得，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝6cos θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝－4cos θ，设A (ρ1，θ)，B ⎝⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π2，所以S △ABC ＝12×|ρ1||ρ2|sin π2＝12×6cos θ×4sin θ＝6sin 2θ≤6，当θ＝π4时，△AOB 面积取得最大值6.2．(2021·贵阳质检)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝kt(t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋m ，y ＝mk(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k变化时，P 的轨迹为曲线C . (1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．解 (1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)； 消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1k(x ＋2)．设P (x ，y )，由题设得⎩⎨⎧y ＝k (x －2)，y ＝1k (x ＋2)，消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)，所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)． (2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ) ＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)，联立⎩⎨⎧ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)． 故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5， 所以交点M 的极径为 5.3．(2021·河南名校联盟联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，点P 是曲线C 1上的动点，点Q 在OP 延长线上，且|PQ |＝3|OP |.(1)求点Q 的轨迹C 2的参数方程；(2)以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，射线θ＝π3与曲线C 1，C 2的交点(与原点不重合)分别为A ，B ，求|AB |.解 (1)设P (x P ，y P )，Q (x ，y )，点Q 在OP 延长线上，且|PQ |＝3|OP |， ∴(x ，y )＝OQ →＝4OP →＝(4x P,4y P )， ∴x P ＝x 4，y P ＝y4.∵P 在曲线C 1上，∴⎩⎨⎧x P ＝cos α，y P ＝1＋sin α(α为参数)，∴⎩⎨⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α(α为参数)即为点Q 的轨迹C 2的参数方程．(2)曲线C 1的参数方程⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)可化为x 2＋(y －1)2＝1.点Q 的轨迹C 2的参数方程⎩⎨⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α(α为参数)可化为x 2＋(y －4)2＝16.射线θ＝π3的直角坐标方程为y ＝3x (x >0)． 分别与曲线C 1，C 2联立，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32，⎩⎨⎧x ＝23，y ＝6，∴|AB |＝⎝⎛⎭⎪⎫23－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6－322＝3 3.4．(2022·安庆二模)在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C 的极坐标方程为ρ－4sin θ＝0，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝1＋32t (t 为参数)．(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，M (0,1)，且|MA |>|MB |，求1|MA |－1|MB |的值．解 (1)由直线l 的参数方程消去参数t ，得直线l 的普通方程为y ＝3x ＋1， 将ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入ρ－4sin θ＝0， 得曲线C 的普通方程为x 2＋y 2－4y ＝0.(2)设A ，B 对应的参数为t 1，t 2，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝1＋32t 代入x 2＋y 2－4y ＝0，得t 2－3t －3＝0，所以t 1t 2＝－3，t 1＋t 2＝ 3.由于直线l 过M (0,1)，且|MA |>|MB |， 所以t 1>0，t 2<0.于是|MA |＝|t 1|＝t 1，|MB |＝|t 2|＝－t 2. 故1|MA |－1|MB |＝1t 1＋1t 2＝t 1＋t 2t 1t 2＝－33. 5．(2021·昆明诊断)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋t cos α，y ＝2＋t sin α(其中t 为参数， α∈[0，π))，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)若点P (x ，y )在直线l 上，且x ＋yx －y ＋4＝2，求sin α的值；(2)若α＝π4，求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值． 解 (1)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋t cos α，y ＝2＋t sin α(其中t 为参数，α∈[0，π))，则P (－2＋t cos α，2＋t sin α)，所以x ＋y x －y ＋4＝t sin α＋t cos αt cos α－t sin α＝2，整理得3sin α＝cos α，因为sin 2α＋cos 2α＝1，α∈[0，π)，所以sin α＝1010. (2)曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ.整理得ρ2＝2ρsin θ，转换为直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1.直线l 的参数方程转换为普通方程为x －y ＋4＝0， 所以圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|0－1＋4|2＝322，所以曲线C 上的点到直线l 的最大距离为322＋1.6．(2021·赤峰联考)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2t ，y ＝－t(t为参数)，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝123＋sin 2θ.(1)若a ＝－2，求曲线C 与l 的交点坐标；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为45°的直线，交l 于点A ，且|PA |的最大值为10，求a 的值．解 (1)曲线C 的极坐标方程为ρ2＝123＋sin 2θ，整理得3ρ2＋ρ2sin 2θ＝12，转换为直角坐标方程为x 24＋y 23＝1.当a ＝－2时，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋2t ，y ＝－t (t 为参数)，转换为直角坐标方程为x ＋2y ＋2＝0.联立⎩⎨⎧x 24＋y 23＝1，x ＋2y ＋2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝0，或⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－32，所以交点坐标为(－2,0)和⎝⎛⎭⎪⎫1，－32.(2)l 的直角坐标方程为x ＋2y －a ＝0，故曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到直线的距离d ＝|2cos θ＋23sin θ－a |5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4sin⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6－a5，则|PA|＝dsin 45°＝2d＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪4sin⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6－a5，当a≥0时，|PA|的最大值为2|－4－a|5＝10，解得a＝1.当a<0时，|PA|的最大值为2|4－a|5＝10，解得a＝－1.故a＝1或－1.。
2019届高考数学二轮复习高考大题专项练七极坐标与参数方程A理
七极坐标与参数方程（A ）在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴） 中,圆C 的方程为p =2： sin 0 .（1）求圆C 的圆心到直线I 的距离； （2） 设圆C 与直线I 交于点A,B,若点P 的坐标为（3, •）,求|PA|+|PB|.2. （2018 •乐山二模）已知圆C 的极坐标方程为p =2cos 0 ,直线I 的参数方程为 1苗 x = - + —t 2 21 1 J2 n y = — + —t ———I 2 2 （t 为参数），点A 的极坐标为（2 /! ）,设直线l 与圆C 交于点P,Q 两点.（1）写出圆C 的直角坐标方程； （2） 求 |AP| • |AQ| 的值.3. （2018 •上饶三模）已知直线I 过点P （1,0）,且倾斜角为a ,以坐标原点为极点,x 轴的正半 轴为极轴建立坐标系，圆C 的极坐标方程为p =4cos 0 .（1）求圆C 的直角坐标方程及直线 I 的参数方程；1 1⑵ 若直线I 与圆C 交于A,B 两点，求的最大值和最小值4. （2018 •洛阳一模）在极坐标系中，已知圆C 的圆心C （・，；），半径r= •.（1）求圆C 的极坐标方程；—fx = 2 + teas a r ⑵若％€ [0,；）,直线I 的参数方程为 厂八：（t 为参数）,直线I 交圆C 于A,B 两点, 求弦长|AB|的取值范围 1.（2018 •抚州质检）在直角坐标系 xOy 中,直线I的参数方程为 为参数）,1. 解:⑴ 因为C: p =2 sin 0 ,所以C: p 2=2 p sin 0 ,所以C:x2+y2-2 •. y=0,即圆C的标准方程为x2+(y- . )2=5.直线l的普通方程为x+y- • -3=0.|0 + 75-^-3| 3^2所以，圆C的圆心到直线I的距离为d= ；= .宀(y-Q"⑵联立ly二-咒+护+王r x =j t r x =^2,解得；；=•「「或「1所以|PA|+|PB|= ：•....+F - 一；'~~=3 ..2. 解:⑴ 圆C的极坐标方程为p =2cos 0即p 2=2p cos 0 ,即(x-1) 2+y2=1,表示以C(1,0)为圆心、半径等于1的圆•1晶x = - +—t T2 21 I 1 1——y =—+—t⑵因为点A的直角坐标为C),所以点A在直线I 2 2 (t为参数)上.把直线的参数方程代入曲线C的方程可得1-虧｝t2+ t- =0.I 1由韦达定理可得11 • t2=- <0,根据参数的几何意义可得|AP| • |AQ|=|t 1 • t2|=.I因此|AP| • |AQ|的值为.2 2 23. 解:⑴ 由p =4cos 0 ,得p =4 p cos 0 ,即x +y =4x,所以圆C的直角坐标方程为(x-2) 2+y2=4,直线l过点P(1,0),且倾斜角为a ,pc = 1 + icosa t所以直线l的参数方程为；丁…"(t为参数).pc = 1 4- tcosa,⑵将代入(x-2) 2+y2=4,得t -2tcos a -3=0, △ =(2cos a ) +12>0,设A,B两点对应的参数分别为t i,t 2,1 1 \AB\l f i~ ^1 + t2)2- + 3则「!|+ ；；= ；「；•：： =「= =因为cos a€ [-1,1],1 1 4 普所以；'^r,，;的最大值为，最小值为：.n4. 解:(1)因为C(. J)的直角坐标为(1,1),所以圆C的直角坐标方程为(x-1) 2+(y-1) 2=3.化为极坐标方程是p 2-2 p (cos 0 +sin 0 )-1=0.pt = 2 + lcasa t(2)将..丁- ■?■ :代入圆C的直角坐标方程(x-1) 2+(y-1) 2=3,2 2得(1+tcos a ) +(1+tsin a ) =3,即12+2t(cos a +sin a )-仁0.所以11+t 2=-2(cos a +sin a ),t 1 • t 2=-1.所以|AB|=|t 1-t 2|=」■ ''' - - ' -'=2,亠’w .n n因为a€ [0,；),所以 2 a € [0,),所以2 w |AB|<2 •.即弦长|AB|的取值范围是[2 •• ,2 ••).。
2019高考数学专项精练-参数方程
2019高考数学专项精练-参数方程[时间：35分钟分值：80分]基础热身1、参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin t ＋1，y ＝2sin t －1(t 为参数)的普通方程为________、2、在直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θθ∈[0，π]，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2在极坐标系中的方程为ρ＝bsin θ－cos θ.假设曲线C 1与C 2有两个不同的交点，那么实数b 的取值范围是________、3、曲线C 的极坐标方程是ρ＝2sin θ，设直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35t ＋2，y ＝45t(t为参数)、设直线l 与x 轴的交点是M ，而N 为曲线C 上一动点，那么|MN |的最大值是________、4、直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t sin40°－5，y ＝－t cos40°＋2(t 为参数)的倾斜角为________、 能力提升5、设直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝1＋3t(t 为参数)，直线l 2的方程为y ＝3x ＋4，那么l 1与l 2的距离为________、6、[2017·济南模拟]曲线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2＋1t 2，y ＝t ＋1t(t 是参数，t ≠0)，它的普通方程是________、7、设极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合、曲线C 1的极坐标方程是：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝m ，曲线C 2参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，假设两曲线有公共点，那么实数m 的取值范围是________、8、[2017·南京模拟]直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆ρ＝2cos θ相切，那么此直线的倾斜角α＝________.9、a ，b ，c 成等差数列，那么直线ax －by ＋c ＝0被曲线⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋3sin θ(θ为参数)截得线段的长度的最大值为________、10、曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(参数θ∈[0,2π))，那么该曲线上的点与定点A (－1，－1)的距离的最小值是________、11、[2017·湖南卷]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)、在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，那么C 1与C 2的交点个数为________、12、(13分)曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)、 (1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)假设C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t(t 为参数)距离的最小值、难点突破13、(12分)[2017·福建卷]在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)、(1)在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值、课时作业(六十五)【基础热身】1、y ＝2x －3(0≤x ≤2)[解析]消去参数sin t ，得y ＝2x －3.因为sin t ∈[－1,1]，所以x ∈[0,2]，所以普通方程为y ＝2x －3(0≤x ≤2)、2、1≤b <2[解析]曲线C 1为半圆x 2＋y 2＝1(0≤y ≤1)，曲线C 2的直角坐标方程为x －y ＋b ＝0.结合图形知，当直线与半圆相切时，2＝1，即b ＝2(b ＝－2舍去)，当直线经过点(－1,0)时，直线与半圆有两个交点，此时b ＝1.故当1≤b <2时，曲线C 1与C 2有两个不同的交点、3.5＋1[解析]曲线C 的直角坐标方程为：x 2＋y 2－2y ＝0，直线的普通方程为y ＝－43(x －2)，令y ＝0得x ＝2，即M 点的坐标为(2,0)、又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(0,1)，半径r ＝1，那么|MC |＝5，|MN |≤|MC |＋r ＝5＋1.4、130°[解析]将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t sin40°－5，y ＝－t cos40°＋2(t 为参数)化为普通方程，得y －2x ＋5＝－cos40°sin40°，即y －2＝－sin50°cos50°(x ＋5)，所以y ＝－tan50°(x ＋5)＋2，即y ＝tan130°(x ＋5)＋2，所以直线的倾斜角为130°.【能力提升】 5.3105[解析]由题知直线l 1的普通方程为3x －y －2＝0，故l 1与l 2的距离为|4＋2|10＝3105.6、y 2＝x ＋2(x ≥2)[解析]因为y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2＝t 2＋1t 2＋2＝x ＋2，而x ＝t 2＋1t 2≥2t 2·1t 2＝2.7、[－1,3][解析]将两曲线方程化为直角坐标方程，得C 1：x －3y －2m ＝0，C 2：(x －2)2＋y 2＝4.因为两曲线有公共点，所以|2－2m |2≤2，即－1≤m ≤3， 故m ∈[－1,3]、 8.π6或5π6[解析]直线与圆的普通方程分别是y ＝tan α·(x ＋1)，(x －1)2＋y 2＝1，由直线与圆相切，得|2tan α|1＋tan 2α＝1，所以tan 2α＝13.因为α∈[0，π)，那么α＝π6或5π6. 9、4[解析]因为a ，b ，c 成等差数列，所以a －2b ＋c ＝0，即直线ax －by ＋c ＝0恒过定点P (1,2)，曲线⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋3sin θ的普通方程是椭圆x 24＋y －223＝1，因此点P (1,2)是椭圆的一个焦点，所以直线ax －by ＋c ＝0被曲线⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋3sin θ(θ为参数)截得线段的长度的最大值为4.10.5－1[解析]将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ化为普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，它表示圆，圆心为C (1,0)，半径为r ＝1，所以|CA |＝－1－12＋－12＝5，那么圆上的点与定点A (－1，－1)的距离的最小值是|CA |－r ＝5－1.11、2[解析]曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α，化为普通方程：x 24＋y 23＝1①，曲线C 2的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，化为普通方程：x －y ＋1＝0②. 联立①，②得7x 2＋8x －8＝0，此时Δ＝82－4×7×(－8)>0.故C 1与C 2的交点个数为2. 12、[解答](1)C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，C 2：x 264＋y 29＝1.C 1为圆心是(－4,3)，半径是1的圆；C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆、(2)当t ＝π2时，P (－4,4)，又Q (8cos θ，3sin θ)，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋4cos θ，2＋32sin θ. C 3为直线x －2y －7＝0，M 到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|＝5⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ＋α－135其中cos α＝45，sin α＝35. 从而d 的最小值为855. 【难点突破】13、[解答](1)把极坐标系下的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2化为直角坐标，得P (0,4)、因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上、 (2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)， 从而点Q 到直线l 的距离为d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋42 ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋2 2.由此得，当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2。
高考数学二轮复习第2部分专题篇素养提升文理专题7选修部分第1讲选修44坐标系与参数方程课件新人教版
典例3 (2020·南平三模)在平面直角坐标系 xOy 中，以原点
O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为
ρ＝1－c2os
θ，直线
l1
的参数方程为xy＝＝ttcsions
α α
(t 为参数)，π2＜α＜π，点 A
为直线 l1 与曲线 C 在第二象限的交点，过 O 点的直线 l2 与直线 l1 互相垂 直，点 B 为直线 l2 与曲线 C 在第三象限的交点．
19
1．(2020·中原区校级模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为 极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1：ρ＝4sin θ，曲线 C2：ρ ＝4cos θ.
(1)求曲线 C1 与 C2 的直角坐标方程； (2)若直线 C3 的极坐标方程为 θ＝π3(ρ∈R)，设 C3 与 C1 和 C2 的交点 分别为 M，N，求|MN|.
25
典例2 (2020·河南模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C
的
参
数
方
程
为
x＝2cos α y＝ 3sin α
(α
为参数)，直线
l 的参数方程为
x＝1＋tcos α y＝tsin α
(t 为参数)．
(1)求曲线 C 和直线 l 的一般方程；
(2)已知点 P(1,0)，直线 l 和曲线 C 交于 A，B 两点，若|PA|·|PB|＝152，
14
典例1 (2020·沙坪坝区校级模拟)在平面直角坐标系 xOy 中， 以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标
方程为
ρ＝2acosθ，曲线
C2
的极坐标方程为
2019届高考数学(理)二轮复习高考大题专项练七极坐标与参数方程A含答案
设 A,B 两点对应的参数分别为 t1,t2,
11
则|������������|+|������������|=
=
=
因为 cos α∈[-1,1],
11
4
23
所以|������������|+|������������|的最大值为3,最小值为 3 .
2 ������������������2������ + 3
3
2 A 的极坐标为( 2 , ),设直线 l 与圆 C 交于点 P,Q 两点. (1)写出圆 C 的直角坐标方程; (2)求|AP|·|AQ|的值.
3.(2018·上饶三模)已知直线 l 过点 P(1,0),且倾斜角为 α,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立坐 标系,圆 C 的极坐标方程为 ρ=4cos θ. (1)求圆 C 的直角坐标方程及直线 l 的参数方程;
1
1.解:(1)因为 C:ρ=2 5sin θ,所以 C:ρ2=2 5ρsin θ, 所以 C:x2+y2-2 5y=0, 即圆 C 的标准方程为 x2+(y- 5)2=5. 直线 l 的普通方程为 x+y- 5-3=0.
所以,圆 C 的圆心到直线 l 的距离为 d=
{������2 + (������ ‒ 5)2 = 5,
1 (2)若直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,求 +|������������|的最大值和最小值.
4.(2018·洛阳一模)在极坐标系中,已知圆 C 的圆心 C( 2, ),半径 r= 3. (1)求圆 C 的极坐标方程;
(2)若 α∈[0, ),直线 l 的参数方程为 取值范围.
(t 为参数),直线 l 交圆 C 于 A,B 两点,求弦长|AB|的
极坐标与参数方程、不等式专题(理科)之2019高考真题分专题
2019极坐标与参数方程、不等式专题(理)1.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221141t x t ty t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为． （1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）求C 上的点到l 距离的最小值．2.在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P .（1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程.2cos sin 110ρθθ+=3. 如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧，曲线2M 是弧 ，曲线3M 是弧. （1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标.4.已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明： （1）222111a b c a b c++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++．5.已知()|||2|().f x x a x x x a =-+--（1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集；（2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围.6.设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=.（1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-.。
2019高考数学(文科)二轮复习解答题通关练7坐标系与参数方程含答案
7.坐标系与参数方程1.在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：Error!(α为参数)，在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos ＝－1.22(θ＋π4)(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)过点M (－1,0)且与直线l 平行的直线l 1交C 于A ，B 两点，求点M 到A ，B 两点的距离之积.解 (1)曲线C 化为普通方程为＋y 2＝1，x 23由ρcos ＝－1，得ρcos θ－ρsin θ＝－2，22(θ＋π4)所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.(2)直线l 1的参数方程为Error!(t 为参数)，代入＋y 2＝1化简得，2t 2－t －2＝0，x 232设A ，B 两点所对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝－1，所以|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝1.2.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线C 1：Error!(t 是参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 2：ρ＝8sin θ.(1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)判断直线C 1与曲线C 2的位置关系，若相交，求出弦长.解 (1)由C 1：Error!(t 是参数)消去t 得x ＋y －3＝0，所以直线C 1的普通方程为x ＋y －3＝0.把ρ＝8sin θ的两边同时乘ρ，得ρ2＝8ρsin θ，因为x 2＋y 2＝ρ2，y ＝ρsin θ，所以x 2＋y 2＝8y ，即x 2＋(y －4)2＝16，所以曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －4)2＝16.(2)由(1)知，曲线C 2：x 2＋(y －4)2＝16是圆心坐标为(0,4)，半径为4的圆，所以圆心(0,4)到直线x ＋y －3＝0的距离d ＝＝<4，|0＋4－3|222所以直线C 1与曲线C 2相交，其弦长为2＝.42－(22)2623.(2018·河北省武邑中学期中)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为Error!(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ，曲线C 3的极坐标方程为θ＝(ρ>0).π6(1)求曲线C 1的极坐标方程和C 3的直角坐标方程；(2)设C 3分别交C 1，C 2于点P ，Q ，求△C 1PQ 的面积.解 (1)曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，所以C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＝0，即ρ＝4cos θ.曲线C 3的直角坐标方程为y ＝x (x >0).33(2)依题意，设点P ，Q 的坐标分别为，，(ρ1，π6)(ρ2，π6)将θ＝代入ρ＝4cos θ，得ρ1＝2，π63将θ＝代入ρ＝2sin θ，得ρ2＝1，π6所以＝＝2－1，依题意得，点C 1到曲线θ＝的距离为d ＝sin ＝1，|PQ ||ρ1－ρ2|3π6|OC 1|π6所以S △C 1PQ ＝·d ＝＝－.12|PQ |12(23－1)3124.已知曲线C 1的参数方程是Error!(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝4sin θ.(1)求曲线C 1与C 2交点的平面直角坐标；(2)A ，B 两点分别在曲线C 1与C 2上，当|AB |最大时，求△AOB 的面积(O 为坐标原点).解 (1)由Error!得Error!所以(x ＋2)2＋y 2＝4，又由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，得x 2＋y 2＝4y ，把两式作差得，y ＝－x ，代入x 2＋y 2＝4y 得交点坐标为(0,0)，(－2,2).(2)如图，由平面几何知识可知，当A ，C 1，C 2，B 依次排列且共线时，|AB |最大，此时|AB |＝2＋4，O 到AB 的距离为，2212222∴△OAB的面积为S＝(2＋4)·＝2＋2.。
2019年高考数学(理科)二轮复习专题能力训练 含答案22
专题能力训练22坐标系与参数方程(选修4—4)能力突破训练1.在直角坐标系xOy中,已知曲线C的参数方程是(α为参数),若以O为极点,x轴的非负半轴为极轴,则曲线C的极坐标方程可写为.2.已知曲线C的参数方程为(t为参数),C在点(1,1)处的切线为l,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l的极坐标方程为.3.已知两曲线参数方程分别为C1:(0≤θ<π)和C2:(t∈R),它们的交点坐标为.4.若直线(t为参数)与圆(φ为参数)相切,则此直线的倾斜角α=.5.以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线的极坐标方程为θ=(ρ∈R),它与曲线(α为参数)相交于两点A和B,则|AB|=.6.若直线l:(t为参数)与圆C:ρ=2cos θ相切,则k=.7.已知圆C1的参数方程为(φ为参数),以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆C2的极坐标方程为ρ=2cos.(1)圆C1的参数方程化为普通方程为,圆C2的极坐标方程化为直角坐标方程为;(2)圆C1,C2的公共弦长为.8.在极坐标系中,点到直线ρsin-=1的距离是.思维提升训练9.已知曲线C1的参数方程是(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2,则C1与C2交点的直角坐标为.10.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为-(t为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴)中,圆C的方程为ρ=2sin θ.(1)圆C的直角坐标方程为;(2)设圆C与直线l交于点A,B,若点P的坐标为(2,),则|PA|+|PB|=.11.已知曲线C的极坐标方程是ρ=1,以极点为原点,极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为(t为参数).(1)直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程分别为;(2)设曲线C经过伸缩变换得到曲线C',设曲线C'上任意一点为M(x,y),则x+2y的最小值为.12.已知圆C的极坐标方程为ρ=2cos θ,直线l的参数方程为(t为参数),点A的极坐标为,设直线l与圆C交于点P,Q.(1)圆C的直角坐标方程为;(2)|AP|·|AQ|=.##专题能力训练22坐标系与参数方程(选修4—4)能力突破训练1.ρ=2sin θ解析依题意知,曲线C:x2+(y-1)2=1,即x2+y2-2y=0,所以(ρcos θ)2+(ρsin θ)2-2ρsin θ=0.化简得ρ=2sin θ.2.ρsin解析∵曲线C的参数方程为(t为参数),∴其普通方程为x2+y2=2.又∵点(1,1)在曲线C上,∴切线l的斜率k=-1.故l的方程为x+y-2=0,化为极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=2,即ρsin3解析消去参数θ得曲线方程C1为+y2=1(0≤y≤1),表示椭圆的一部分.消去参数t得曲线方程C2为y2=x,表示抛物线,可得两曲线有一个交点,联立两方程,解得故交点坐标为4或解析由题意得直线y=x tan α,圆:(x-4)2+y2=4.如图,sin α=,∴α=或5解析∵极坐标方程θ=(ρ∈R)对应的平面直角坐标方程为y=x,曲线(α为参数)的平面直角坐标方程为(x-1)2+(y-2)2=4,圆心(1,2),r=2,∴圆心到直线y=x的距离d=,|AB|=2-=2-6.-7.(1)x2+y2=1-=1(2)解析(1)由得x2+y2=1.又∵ρ=2cos=cos θ-sin θ,∴ρ2=ρcos θ-sin θ.∴x2+y2-x+y=0,即-=1.(2)由圆心距d=-=1<2,得两圆相交.由-得A(1,0),B--∴|AB|=8.1解析ρsin-=-=1,因为在极坐标系中ρcos θ=x,ρsin θ=y,所以直线可化为x-y+2=0.同理点可化为(,1),所以点到直线距离为d=-=1.思维提升训练9.(,1)解析由曲线C1的参数方程得y=x(x≥0),①曲线C2的极坐标方程为ρ=2,可得方程x2+y2=4,②由①②联立解得故C1与C2交点的直角坐标为(,1).10.(1)x2+(y-)2=3(2)2解析(1)由ρ=2sin θ,得x2+(y-)2=3,故圆C的直角坐标方程为x2+(y-)2=3.(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得-=3,即t2-2t+1=0.由于Δ>0,故可设t1,t2是上述方程的两实根.所以t1+t2=2故由上式及t的几何意义,得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=211.(1)y=x-2,x2+y2=1(2)-解析(1)由题意得直线l的普通方程为y-2=(x-1),圆C的直角坐标方程为x2+y2=1.(2)易得曲线C':+y2=1.令则x+2y=3cos θ+2sin θ=sin(θ+φ)其中,故x+2y的最小值为-12.(1)(x-1)2+y2=1(2)解析(1)由ρ=2cos θ,得ρ2=2ρcos θ.∵ρ2=x2+y2,ρcos θ=x,∴x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1.∴圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1.(2)由点A的极坐标,得点A的直角坐标为将代入(x-1)2+y2=1,消去x,y整理得t2--t-=0.设t1,t2为方程t2--t-=0的两个根,则t1t2=-,所以|AP|·|AQ|=|t1t2|=。
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大题专项练习(七) 参数方程
1．[2018·揭阳三中月考]在直角坐标系xOy 中，半圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝1＋cos φ，y ＝sin φ(φ为参数，0≤φ≤π)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C 的极坐标方程；
(2)直线l 的极坐标方程是ρ(sin θ＋3cos θ)＝53，射线OM ：θ＝π3
与半圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．
2．[2018·全国卷Ⅱ]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2cos θ，y ＝4sin θ (θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．
(1)求C 和l 的直角坐标方程；
(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．
3．[2018·黑龙江哈尔滨三中第三次模拟]已知圆锥曲线C ：⎩⎨⎧ x ＝22cos α，
y ＝6sin α
(α为参数)和定点A (0，6)，F 1，F 2是此圆锥曲线的左，右焦点．
(1)以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF 2的极坐标方程；
(2)经过点F 1且与直线AF 2垂直的直线交此圆锥曲线于M ，N 两点，求||MF 1|－|NF 1||的值．
4．[2018·甘肃天水第四次模拟]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为
⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3－22t y ＝1＋22t (t 为参数)，以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立坐标系，曲线
C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫θ－π6. (1)求直线l 的极坐标方程；
(2)若直线θ＝π3
(ρ>0)与直线l 交于点P ，与曲线C 交于点Q (Q 与原点O 不重合)，求|OQ ||OP |
的值． 5．[2018·广东惠阳模拟]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝3cos θy ＝sin θ(θ为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐
标方程为ρsin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 的普通方程和l 的直角坐标方程；
(2)设点P 在曲线C 上，求点P 到l 距离的最小值．
6．[2018·厦门外国语学校适应性考试]在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2，正三角形ABC 的顶点都在C 1上，且A ，B ，C 依逆时针次序排列，点A 的坐标为(2,0)．
(1)求点B ，C 的直角坐标；
(2)设P 是圆C 2：x 2＋(y ＋3)2＝1上的任意一点，求|PB |2＋|PC |2的取值范围．。