三角形的角平分线中线高线
初中数学之三角形中线高线角平分线知识点
初中数学之三角形中线高线角平分线知识点三角形是初中数学中一个重要的几何图形，它有很多性质与定理，其中三角形的中线、高线和角平分线是十分重要的知识点。
下面将详细介绍一下这三个概念的定义，性质和应用。
一、中线1.定义：三角形的中线是三角形的一个边上的中点与对立顶点连接而成的线段。
2.性质：（1）任意一条中线上的点到两个对立边的距离相等，即中线上各点到两个对立边的距离相等。
（2）三角形中线的三个交点互相连接，可以在三角形的内部形成三条交叉的线段，这三条线段的交点就是三角形的重心。
重心是三角形内部所有中线的交点，它离三个顶点的距离都相等，也就是说重心到三个顶点的距离相等。
（3）三角形的三条中线互相平分对立顶点的内角，即三角形的三条中线互相平分对立顶点的内角。
（4）三角形三条中线的交点离三个顶点等距离，即三角形的中线互相交于一点，且该点到三个顶点的距离相等。
（5）中线的比例定理：在三角形ABC中，如果D、E、F分别是BC、AC、AB上的中点，那么AD∶DF=1∶2，BE∶DE=1∶2，CF∶EF=1∶23.应用：中线在三角形的性质研究和解题中起到重要的作用，特别是在证明几何定理的过程中，常常会用到三角形的中线性质。
同时，中线还可以用来求三角形的面积，当一个三角形ABC的中线EF垂直于BC且EF等于BC的一半时，EF可以作为底边，AC可以作为高，求三角形ABC的面积。
二、高线1.定义：三角形的高线是从三角形的一个顶点引垂线与对立边相交而成的线段。
2.性质：（1）三角形的三条高线交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心到三角形的三边的距离互不相等。
（2）垂线和对立的边垂直，即垂线和对立的边成为直角。
（3）垂线平分对立的边。
（4）如果三角形的高线重合、重合的部分等于底边长，则该三角形为等腰直角三角形。
（5）如果三角形是等腰三角形，则该三角形的高线也是中线。
3.应用：高线在三角形的研究和解题中有很多应用。
通过高线的性质，可以判断三角形是否是等腰三角形、直角三角形，还可以求解三角形的面积，等等。
数学高线中线角平分线的三条概念
数学高线中线角平分线的三条概念数学中，线是指无限延伸的一维物体，可以用来连接两个点。
平面几何中，线是由点组成的集合，而空间几何中，直线可以看作是不受限制的无限延伸。
高线、中线和角平分线是几何中的三个重要概念，它们在解决几何问题中起到了关键的作用。
下面将分别介绍这三个概念。
一、高线：高线是指从一个点到与其所在平面垂直的直线段的长度。
在三角形中，高线指的是从一个顶点到对边的垂直线段。
一个三角形可以有三条高线，分别从三个顶点到对边。
这些高线交于一个点，被称为三角形的垂心。
垂心是三角形的一个重要特征点，它有很多有趣的性质。
例如，三角形的三条垂线（垂直于三个边并通过垂心的直线）相交于一点，且这个点是三角形外接圆的圆心。
此外，垂心到三个顶点的距离恰好等于它到对边的距离。
垂心还与三角形的其他特征点（如重心、外心和内心）之间存在特殊的关系。
除了三角形，其他多边形（如正方形、长方形和菱形）也有高线的概念。
在任意多边形中，高线指的是从一个顶点到与其所在边垂直的线段。
二、中线：中线是指连接多边形的两个非相邻顶点并通过多边形的重心（或中点）的线段。
在三角形中，中线指的是连接两个顶点和对边中点的线段。
三角形有三条中线，分别连接两个顶点和对边中点。
这些中线交于一个点，称为三角形的重心。
重心具有很多有趣的性质。
例如，三角形的重心到三个顶点的距离恰好等于它到对边的距离的两倍。
重心还与三角形的其他特征点（如垂心、外心和内心）之间存在特殊的关系。
除了三角形，其他多边形也有中线的概念。
在任意多边形中，中线指的是连接两个非相邻顶点并通过多边形的重心的线段。
三、角平分线：在平面几何中，角平分线指的是把一个角分为两个相等的角的线段。
角平分线分为内角平分线和外角平分线两种。
内角平分线指的是从一个角的顶点出发并通过角的内部，将角分为两个相等的角的线段。
对于任意角而言，都存在一条内角平分线。
内角平分线具有许多重要的性质。
例如，一条内角平分线将角分为两个相等的角。
三角形的中线、高线、角平分线
三角形的中线、高线、角平分线【考点精讲】三角形的重要线段定义图形表示法说明三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。
1. AD是△ABC的BC边上的高线。
2. AD⊥BC于D。
3.∠ADB=∠ADC=90°。
三角形有三条高，且它们（或它们的延长线）相交于一点，这个交点叫做三角形的垂心。
三角形的中线三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段。
1. AD是△ABC的BC边上的中线。
2. BD=DC=12BC。
三角形有三条中线，都在三角形的内部，且它们相交于一点，这个交点叫做三角形的重心。
三角形的重心在三角形的内部。
三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，连接这1. AD是△AB C的∠BAC的平分线。
2.∠1=∠2=12∠BA C三角形有三条角平分线，都在三角形的内部，且它们相交于一点，这个交点叫做三角形个角的顶点与交点之间的线段。
的内心。
三角形的内心在三角形的内部。
【典例精析】例题1 如图，是甲、乙、丙、丁四位同学画的钝角△ABC 的高BE ，其中画对的是_______。
甲 乙 丙 丁思路导航：根据三角形的高是过一个顶点向对边引垂线，顶点与垂足之间的线段是该三角形的高，对各图形作出判断。
答案：丁点评：这是学生在画图时的一个易错点，通过本题理解画高时的两个注意点：一是过哪个点；二是垂直于哪条边。
这道题是过B 点，垂直于AC 边。
例题 2 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，则这个等腰三角形的底边长是______。
思路导航：根据等腰三角形的性质和已知条件求出腰长和底边长，然后根据三边关系进行讨论，即可得出结论。
答案：设等腰三角形的腰长是x cm ，底边是y cm 。
根据题意，得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+212122x y x x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+122212x y x x ， 解得：⎩⎨⎧==178y x 或⎩⎨⎧==514y x根据三角形的三边关系，知：8，8，17不能组成三角形，应舍去。
三角形的高、中线、角平分线
三角形的高、中线与角平分线教材分析：本节内容着重介绍了三角形的三种特殊线段，已学过的过直线外一点作已知直线的垂线、线段的中点、角的平分线等知识是学习本节新知识的基础，其中三角形的高学生从小学起已开始接触，教材从学生已有认知出发，从高入手，利用图形，给高作了具体定义，使学生了解三角形的高为线段，进而引出三角形的另外几种特殊线段——中线、角平分线。
通过本节内容学习，可使学生掌握三角形的高、中线、角平分线与垂线、角平分线的联系与区别。
通过学习作图、观察与探究，会发现三角形的三条高所在的直线、三条角平分线、三条中线都各自交于一点，这为三角形的重心及以后三角形的内心、外心等知识的学习打下一定的基础，另外，本节内容也是日后学习等腰三角形等特殊三角形的垫脚石。
故学好本节内容是十分必要的。
因此，对三角的高、中线、角平分线定义的理解及画法的掌握是本节教学的重点，而三角形的高由于三角形的形状改变而使其位置呈现多样性，学生难以掌握，故在各类三角形中作出它们是本课的难点。
教法：1、情境创设法：通过复习相关知识走进课堂，更能贴近学生实际，以激发学生对学习本节内容的求知欲，培养他们运用所学知识解决问题的能力。
2、加强学生学习的主动性与探究性在课堂中要充分调动学生自主学习的潜能，让他们自由探究中发现，从而发展他们的创新能力，让他们感受到成功的喜悦。
学生在画一画、折一折、何三个探究活动中体验数学知识的形成过程。
当学生在探究过程中遇到困难时，才取消组建的交流与合作，充分发挥学生的团队作用，以更好地激发学生的积极思维，得到更大的收获。
3、运用多媒体等作为教辅工具，增强学生的直观感受，扫除学生从形象思维难以跨越到抽象思维的障碍，突出重点，突破难点。
学法：1、本节重点是三角形的三种重要线段，难点是对三角形的角平分线、中线、高的准确理解、作图与正确运用，而突破难点的关键是运用好数形结合的数学思想从画图入手，从大量的活动入手获得三种线段的直观形象，进一步架起数与形之间的桥梁，加强知识间的相互联系。
三角形的角平分线、中线和高基础知识点拨
三角形的角平分线、中线和高基础知识点拨三角形的角平分线、中线和高是三种重要的线段，在以后的学习中经常用到，为帮助大家理解好这三种重要的线段，总结如下。
一、三角形的角平分线1．定义：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
图1 图2如图1，画∠BAC 的平分线AD ，交对边BC 于点D ，则线段AD 是△ABC 的角平分线。
2．特征：任意一个三角形都有三条角平分线，这三条角平分线交三角形内于一点。
如图2，线段AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条角平分线，则有∠1=∠2，∠3=21∠ABC ，∠ACB=2∠4。
3．提示：三角形的角平分线与一般角的平分线不同，三角形的角平分线是线段，而一般角的平分线是一条射线.二、三角形的中线1．定义：在三角形中，连接一顶点与它对边的中点的线段，叫做这个三角形的中线。
如图3，连接△ABC 的顶点A 和它所对的边BC 的中点D ，所得的线段AD 叫 做△ABC 的边BC 上的中线。
图3 图42．特征：任意一个三角形都有三条中线，这三条中线交于三角形内一点。
如图4，AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线，则有CD=BD ，AF=21AB ，AC=2AE 。
3．提示：三角形的中线是线段，而不是射线，也不是直线。
三、三角形的高1．定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。
简称三角形的高。
如图5，从△ABC的顶点A，向它的对边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得的线段AD叫做△ABC的边BC上的高。
2．特征：任意三角形都有三条高线，锐角三角形的三条高交于三角形内一点，直角三角形的高交于直角顶点，钝角三角形的三条高所在的直线交于三角形外一点。
如图5，锐角△ABC中，三条高AD，BE，CF在三角形的内部，并且它们相交于一点；如图6，直角△ABC中，高AD，BE分别与AC，BC重合，还有一条是斜边是上的高CF；如图7，钝角△ABC 中，钝角边上的两条高AD，CF在三角形外，最大边上的高BE在三角形的内。
三角形的高、中线与角平分线(ppt课件)
复习提问
1.什么叫线段的中点？
把一条线段分成两条相等的线段的点叫线段的中点
A
B
2.什么叫角平分线？
一条射线把一个角分成两个相等的角,这条射线叫做
这个角的平分线
B
O
A
复习提问 3.你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗?
放、靠、过、画.
01
01
01
23
23
23
0
1 0 2 1 03 21 3 2
3
探究新知
B
C
探究新知
3.钝角三角形的三条高
(1)你能画出钝角三角形的三条高吗？
AF
(2)AC边上的高是__B_F__； BC边上的高是__A__D_；
DB
C
AB边上的高是__C_E__；
E
(3)钝角三角形的三条高交于一点吗?
钝角三角形的三条高不相交于一点.
O
(4)它们所在的直线交于一点吗?
钝角三角形的三条高所在直线交于一点.
三角形的中线
B
D
C
定义：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中 点，所得线段叫做三角形的这条边上的中线.
三角形中线的符号语言：
∵AD是△ABC的中线
∴BD=CD =12 BC
探究新知
思考2.如图，在△ABC中，还能画出几条中 线呢？你发现了什么特征？
还能画出2条，3条中线交于一点.
B
重心：三角形的三条中线相交于一点，三 角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
重心
A
O C
D
探究新知
1.如图，有一块三角形的菜地，现要求分成面积比为1：1：2
三块，且图中A处是三块菜地的共同水源处，应该怎么分？
三角形及其角平分线、中线和高线
三角形及其角平分线、中线和高线知识导引1、三角形的有关概念：定义：由不在通一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
外角：三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角。
三角形的中线：连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中点的线段，叫做三角形的中线。
三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。
三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
注意：三角形的中线、高线、角平分线都是线段。
2、三角形的边角关系：边与边的关系：三角形的任意一边大于另外两边之差，并小于另外两边之和。
角与角的关系：三角形的内角和等于180°，外角和等于360°；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，且大于任何一个和它不相邻的内角。
边与角的关系：在一个三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角。
3三角形的分类：按角分：三角形可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
按边分：三角形可分为不等边三角形、等腰三角形。
典例精析例1：现有2cm，4cm，5cm，8cm长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为（）A、1个B、2个C、3个D、4个例2：如图，AD是△ABC的角平分线，AE是BC边上的高线，∠B=20°，∠C=40°，求∠DAE 的度数。
例3：如图所示，平面上的六个点A、B、C、D、E、F构成一个封闭的折线图形。
求∠A＋∠B ＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的值。
例3—1：求如图1所示图形中∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E 的大小。
例3—2：如图所示，（∠1＋∠2－∠3）＋（∠4＋∠5－∠6）＋（∠7＋∠8－∠9）=例4：如图所示，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线交于点D ，且∠D=30°，求∠A 的度数。
13.1.3三角形的角平分线、中线和高线
任意画一个三角形，你能画出它的 一个角的平分线吗？
A
B
D
C
A
三角形的角平分线
B
D C
三角形中，一个角的平分线与这个角 的对边相交，顶点与交点之间的线段 叫做三角形的角平分线。
∵AD是 △ ABC的角平分线
1 ∴∠ BAD = ∠ CAD = — ∠BAC 反之也成立 2
任意画出一个三角形，并画出它所有的角平分线，你 有什么发现？并与同学交流。
④三角形的三条高线的交点，叫做三角形的垂心。
本
三角形的 重要线段 概念
课 小 结
图形 表示法
三角形 的高线
从三角形的一个 顶点向它的对边 所在的直线作垂 线,顶点和垂足之 间的线段 三角形中,连结一 个顶点和它对边 中的 线段 三角形一个内角 的平分线与它的 对边相交,这个角 顶点与交点之间 的线段
5、如图，AD是△ABC的角平分线， DE∥AC, DE交AB于E， DF∥AB ，DF交AC 于F，图中∠ADE与∠ADF有什么关系？为 什么？
A
E
B D
F C
张大爷有一块三角形的菜园， 想把它分成形状也是三角形的两块 给他的两个儿子，应该怎样分才公 平呢？
A
B
C
本节课 你学到了什 么？
任意画出一个三角形，并画出它所有的 中线，你有什么发现？并与同学交流。
O O O
●
●
●
三角形中线的性质: 一个三角形有三条中线，它们都在三角形的内 部，并且相交于一点.
交点O叫做三角形的重心
如图在△ABC中，AD是BC 边上的中线
猜想:△ABD的面积和△ADC的面积有什么 关系？试说明。 A
B D
E
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§5.1.3三角形的高、中线与角平分线
1、[教学目标]
基于上述对教材地位与作用的分析，结合学生已有的认知水平的年龄特征，制定本节如下的教学目标：
（1）知识与技能目标：通过观察、画、折等实践操作、想像、推理、交流等过程，认识三角形的高线、角平分线、中线；会画出任意三角形的高线、角平分线、中线，通过画图、折纸了解三角形的三条高线、三条角平分线、三条中线会交于一点．
（2）过程与方法目标：经历画、折等实践操作活动过程，发展学生的空间观念，推理能力及创新精神．学会用数学知识解决实际问题能力，发展应用和自主探究意识，并培养学生的动手实践能力．
（3）情感与态度目标：通过对问题的解决，使学生有成就感，培养学生的合作精神，树立学好数学的信心．
2、教学重点：
能够正确地画出三角形的“高”、“角平分线”和“中线”，并理解它们概念的含义、联系和区别．
3、教学难点：在钝角三角形中作高，理解高所在直线交于一点．
[教学过程]
本节课按照“创设情境，引入新课”——“合作交流，探求新知”——“拓展创新，挑战自我”——“课堂小结，感悟反思”——“走出课堂，应用数学”的流程展开．
（每一个同学准备一个锐角三角形的纸片）
你能画出这个三角形的三条高吗？你能用折纸的方法得到它们吗？从这三条高中你发现了什么？（这三条高之间有
（可以反过来画好高后，找哪条边上高）
=
如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶
边上高的是（）
．
你能画出三角形的所有中线吗？观察你们所作的图形，你又有哪些发现？与同伴交流．（分组合作交流）
CD= , AF=
，按图所示的方法折叠，
和∠2两部分．观察
1．三角形角平分线定义：
三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形
（准备三个三角形）
你能分别画出或折出这三个三角形的角平分线。