三角形的高线中线角平分线
三角形的高,中线与角平分线
角平分线的计算方法
通过角度计算
给定一个三角形，可以通过测量或计算角度来确定角平分线的长度。
通过边长计算
已知三角形的三边长度，可以通过计算来找到角平分线的长度。
角平分线的应用
确定中点和垂直平分线
角平分线可以用来找到一个三角形内的中点，以及过这个中 点的垂直平分线。
判定定理的应用
角平分线的性质可以用于证明某些几何定理，如等腰三角形 的判定定理。
条垂直于底边的高。
注意事项和难点解析
高的定义
三角形的高是顶点到底边的垂线段。在直角三角形中， 斜边上的高是直角边上的高的2倍。
钝角三角形高的画法
在钝角三角形中，需要先确定钝角所对的边，然后在其 延长线上作高。
等腰三角形高的画法
在等腰三角形中，需要找到底边的中点，然后过该点作 两条相等的高。这两条高与底边形成一个等腰直角三角 形。
THANK YOU.
性质
三角形中线平分三角形的三条边，且三条中线交于一点。该交点称为三角形 的重心，每条中线与三条边的长度乘积相等。
中线的计算方法
方法一
利用几何作图法，通过三角形的顶点和对边中点直接连接得到中线。
方法二
通过三角形的顶点和对边中点的距离公式来计算中线的长度。公式为：$AD = \sqrt{AB^{2} + AC^{2}}$，其中AD为中线长度，AB和AC为三角形的两边长度 。
性质
高是连接顶点和垂足的线段，并且高经过三角形的顶点，且 平行于底边。
高的计算方法
• 方法一：直接作图法 • 确定顶点和对边； • 过顶点作对边的垂线； • 连接顶点和垂足，得到高。 • 方法二：利用中线和角平分线性质作图法 • 作三角形中线或角平分线； • 在中线或角平分线上取一点，连接这个点和相应顶点，得到高。
三角形的高线、中线、角平分线
数学导案授课教师齐晓宁迟源授课班级七年级授课时间2013年3月5日课题三角形的高、中线与角平分线导学目标1、理解并掌握三角形的三条线段的定义、画法以及表示方法；2、理解三角形的三条线段所表示的意义；3、体会转化数学思想。
导学重难点三角形的三条线段的画法以及表示方法导学流程个案补充一、知识互动1、三角形的高线（1）定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作，和之间的线段。
（2）图形：（3）表示方法：①AD是△ABC的BC边上的高线②AD⊥BC于D③∠ADB=∠ADC=90°（4）请画出△ABC另两条边上的高以及△MAN、△DEF的三条高，从高线的位置角度考虑，得出什么结论?2、三角形的中线（1）定义：三角形中，连接一个顶点和它对边的线段。
（2）图形：（3）表示方法：①AE是△ABC的BC边上的中线②BC EC BE 21== （4）请画出△ABC 另两条边上的中线以及△MAN 、△DEF 的三条中线，从中线的位置考虑，你得出什么结论?（5）三角形的三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心。
3、三角形的角平分线（1）定义：三角形的一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段。
（2）图形：（3）表示方法：①AM 是△ABC 的∠BAC 的平分线； ②BAC ∠=∠=∠2121 （4）请画出△ABC 另两条角平分线以及△MAN 、△DEF 的三条角平分线，从角平分线的位置考虑，你得出什么结论?（5）三角形的三条角平分线相交于一点，这个交点叫做三角形的内心。
【注】三角形的高、中线、角平分线都是 ；二垂线是 ； 角平分线是 。
二、例题讲解例1 如图1所示，图中共有 6 个三角形，若BC=CD=DE ，则AC 、AD 分别是 △ABD 、 △ACE 的中线。
图1 图2例2 如图2所示，已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，AB=6cm,AC=8cm ,BC=10cm，∠CAB=90°。
三角形的中线、高线、角平分线
三角形的中线、高线、角平分线【考点精讲】三角形的重要线段定义图形表示法说明三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。
1. AD是△ABC的BC边上的高线。
2. AD⊥BC于D。
3.∠ADB=∠ADC=90°。
三角形有三条高，且它们（或它们的延长线）相交于一点，这个交点叫做三角形的垂心。
三角形的中线三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段。
1. AD是△ABC的BC边上的中线。
2. BD=DC=12BC。
三角形有三条中线，都在三角形的内部，且它们相交于一点，这个交点叫做三角形的重心。
三角形的重心在三角形的内部。
三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，连接这1. AD是△AB C的∠BAC的平分线。
2.∠1=∠2=12∠BA C三角形有三条角平分线，都在三角形的内部，且它们相交于一点，这个交点叫做三角形个角的顶点与交点之间的线段。
的内心。
三角形的内心在三角形的内部。
【典例精析】例题1 如图，是甲、乙、丙、丁四位同学画的钝角△ABC 的高BE ，其中画对的是_______。
甲 乙 丙 丁思路导航：根据三角形的高是过一个顶点向对边引垂线，顶点与垂足之间的线段是该三角形的高，对各图形作出判断。
答案：丁点评：这是学生在画图时的一个易错点，通过本题理解画高时的两个注意点：一是过哪个点；二是垂直于哪条边。
这道题是过B 点，垂直于AC 边。
例题 2 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，则这个等腰三角形的底边长是______。
思路导航：根据等腰三角形的性质和已知条件求出腰长和底边长，然后根据三边关系进行讨论，即可得出结论。
答案：设等腰三角形的腰长是x cm ，底边是y cm 。
根据题意，得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+212122x y x x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+122212x y x x ， 解得：⎩⎨⎧==178y x 或⎩⎨⎧==514y x根据三角形的三边关系，知：8，8，17不能组成三角形，应舍去。
三角形的角平分线、中线和高基础知识点拨
三角形的角平分线、中线和高基础知识点拨三角形的角平分线、中线和高是三种重要的线段，在以后的学习中经常用到，为帮助大家理解好这三种重要的线段，总结如下。
一、三角形的角平分线1．定义：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
图1 图2如图1，画∠BAC 的平分线AD ，交对边BC 于点D ，则线段AD 是△ABC 的角平分线。
2．特征：任意一个三角形都有三条角平分线，这三条角平分线交三角形内于一点。
如图2，线段AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条角平分线，则有∠1=∠2，∠3=21∠ABC ，∠ACB=2∠4。
3．提示：三角形的角平分线与一般角的平分线不同，三角形的角平分线是线段，而一般角的平分线是一条射线.二、三角形的中线1．定义：在三角形中，连接一顶点与它对边的中点的线段，叫做这个三角形的中线。
如图3，连接△ABC 的顶点A 和它所对的边BC 的中点D ，所得的线段AD 叫 做△ABC 的边BC 上的中线。
图3 图42．特征：任意一个三角形都有三条中线，这三条中线交于三角形内一点。
如图4，AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线，则有CD=BD ，AF=21AB ，AC=2AE 。
3．提示：三角形的中线是线段，而不是射线，也不是直线。
三、三角形的高1．定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。
简称三角形的高。
如图5，从△ABC的顶点A，向它的对边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得的线段AD叫做△ABC的边BC上的高。
2．特征：任意三角形都有三条高线，锐角三角形的三条高交于三角形内一点，直角三角形的高交于直角顶点，钝角三角形的三条高所在的直线交于三角形外一点。
如图5，锐角△ABC中，三条高AD，BE，CF在三角形的内部，并且它们相交于一点；如图6，直角△ABC中，高AD，BE分别与AC，BC重合，还有一条是斜边是上的高CF；如图7，钝角△ABC 中，钝角边上的两条高AD，CF在三角形外，最大边上的高BE在三角形的内。
三角形的高中线与角平分线
B
C
如图，将三根木条用钉子钉成一个三角形木 架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
不会改变
如图，将四根木条用钉子钉成一个四边形形 木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
会改变
如图，在四边形的木架上再钉一根木条，将 它的一对顶点连接起来，然后再扭动它，它的 形状会改变吗？
不会改变
三角形具有稳定性而 四边形不具有稳定性.
A
∵AD是△ABC的BC上的
C
B
D
高线. ∴AD⊥BC ∠ADB=∠ADC=90°.
三角形 的中线
A
∵ AD是△ABC的BC上
C
B
D
的中线. ∴ BD=CD= ½ BC.
三角形的 角平分线
A
2 1
∵.AD是△ABC的
∠BAC的平分线 ∴ ∠1=∠2= ½ ∠BAC
B
D
C
作业设计：p5 练习题 1 2
A.是边BB′上的中线 C.是∠BAB′的角平分线 A
B.是边BB′上的高 D.以上三种性质合一
B
C
B'
2.如图2所示,D,E分别是△ABC的边AC,BC的中 点,则下列说法不正确的是( D ) A.DE是△BCD的中线 B.BD是△ABC的中线 C.AD=DC,BD=EC D.∠C的对边是DE
A D E
在三角形中，一个内角的角平分线与 它的对边相交，这个角的顶点与交点 之间的线段叫做三角形的角平分线
● 几 1 2 ∵AD是 △ ABC的角平分线 何 ︶ 语 ∴∠ BAD = ∠ CAD = １∠BAC ２ ● 言 B
A
D
C
三角形的三条角平分线相交于一点, 这个交点叫做三角形的内心
9.1.2三角形的高中线角平分线
B
D
∵ AD是△ABC的BC上的 中线. C ∴ BD=CD= ½BC.
A
2 1
三角形一个内角 的平分线与它的 三角形的 对边相交,这个 角平分线 角顶点与交点之 间的线段
B
D
C
∵.AD是△ABC的∠BAC 的平分线 ∴ ∠1=∠2= ½ ∠BAC
学习目标：
1、认识三角形的角平分线、中线、
高这三种线段。 2、会画任意三角形的角平分线、中 线和高。 3、了解三角形的角平分线、中线、 高会相交于一点。
自学提示：（自学教材P75内容）
1、如何画三角形的高?什么是三角形的高？三角形的高有 几条？ 2、如何画三角形的中线?什么是三角形的中线？三角形的 中线有几条？ 3、如何画三角形的角平分线?什么是三角形的角平分线？ 三角形的角平分线与角的平分线有什么不同？ 4、画出一个锐角三角形的中线，高以及角平分线？ 5、如果把锐角三角形换成直角三角形或钝角三角形你能 不能画出它的高，中线以及角平分线？ 6、通过上面的作图，你能否发现三角形的三条高，中线 以及角平分线（或所在直线)的交点与三角形的位置关 系？
如图有一块三角形的菜地，现在要求分成面
积比为2：3：4三块，且图中A处是三块菜地 的共同的水源处。问：怎样分？
A
·
B
··
C
三角形的角平分线
画∠A的平分线AD，交 ∠A所对的边BC于点D， 线段AD叫做ΔABC的 B 角平分线。
●
F●
A
● ●
E
●
●
D
C
画一画 画出ΔABC的另外两条角平分线； 想一想 观察三条角平分线，说说你的发现。
C A D D B C B B
C C
三角形及其角平分线、中线和高线
三角形及其角平分线、中线和高线知识导引1、三角形的有关概念：定义：由不在通一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
外角：三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角。
三角形的中线：连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中点的线段，叫做三角形的中线。
三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。
三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
注意：三角形的中线、高线、角平分线都是线段。
2、三角形的边角关系：边与边的关系：三角形的任意一边大于另外两边之差，并小于另外两边之和。
角与角的关系：三角形的内角和等于180°，外角和等于360°；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，且大于任何一个和它不相邻的内角。
边与角的关系：在一个三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角。
3三角形的分类：按角分：三角形可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
按边分：三角形可分为不等边三角形、等腰三角形。
典例精析例1：现有2cm，4cm，5cm，8cm长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为（）A、1个B、2个C、3个D、4个例2：如图，AD是△ABC的角平分线，AE是BC边上的高线，∠B=20°，∠C=40°，求∠DAE 的度数。
例3：如图所示，平面上的六个点A、B、C、D、E、F构成一个封闭的折线图形。
求∠A＋∠B ＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的值。
例3—1：求如图1所示图形中∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E 的大小。
例3—2：如图所示，（∠1＋∠2－∠3）＋（∠4＋∠5－∠6）＋（∠7＋∠8－∠9）=例4：如图所示，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线交于点D ，且∠D=30°，求∠A 的度数。
三角形的高中线与角平分线
三角形高线的证明方法
证明方法一
利用三角形面积公式证明。
证明方法二
利用中线定理证明。
证明方法三
利用直角三角形的性质证明。
03
三角形的角平分线
三角形角平分线的定义
三角形内角平分线
三角形中一个内角的平分线与这个内角的对边相顶点的距离相等。
三角形外角平分线
联系
高线、中线和角平分线都是从三角形的顶点出发，沿三角形的边或射线延伸到对 边或对角的线段，它们的交点位置相同。
作用
三条线段共同支撑着三角形的形状和大小，其中高线和角平分线共同决定着三角 形的垂直和平分关系，而中线和角平分线共同决定着三角形的对称性。
05
三角形的面积公式及应用
三角形面积公式的推导及应用
三角形角平分线的证明方法
三角形内角平分线的证明方法
利用全等三角形的方法，通过在已知点和未知点之间构造一对全等三角形， 利用全等三角形的性质得到对应边相等，从而证明三角形内角平分线定理。
三角形外角平分线的证明方法
利用相似三角形的方法，通过在已知点和未知点之间构造一对相似三角形， 利用相似三角形的性质得到对应边成比例，从而证明三角形外角平分线定理 。
2023
三角形的高中线与角平分 线
目录
• 三角形基本概念与性质 • 三角形的高线 • 三角形的角平分线 • 三角形的高线与角平分线的比较与联系 • 三角形的面积公式及应用 • 特殊三角形的性质及高线与角平分线的应用
01
三角形基本概念与性质
三角形的定义与分类
三角形是由三条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的 图形。
三角形的一个外角平分线与这个角的对边延长线相交，这个交点到这个外角顶点 的距离和交点到对边顶点的距离相等。
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2 1 ∵.AD是△ABC的∠BAC的 平分线 ∴ ∠1=∠2= ½ ∠BAC
DC
①AD是⊿ABE的角平分线 ( ×) ②BE是⊿ABD边AD上的中线 ( ×)
A
③BE是⊿ABC边AC上的中线 ( ×) 1 2 E
④CH是⊿ACD边AD上的高 ( √ ) F H G
B
DC
三角形的高、中线与角平分线都是线段
拓展练习
1、下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC 的高( D )
C AD
F
∴∠_A_B_E_=_∠_C_B_E_= 1 ∠_A_B__C_
2
E
O
∵CF是△ABC的角平分线 B
D
C
∴∠ACB=2_∠_A_C_F__=2_∠_B_C__F_
拓
展
1、在ΔABC中,CD是中线,已知BC-AC=5cm, ΔDBC的周长为25cm,求ΔADC的周长.
分析：ΔDBC的周长是DB+CD+BC
小结: ①任何三角形都有三条中线，并且都在
三角形的内部交于一点。 ②三角形的中线是一条线段。 ③三角形的任意一条中线把这个
三角形分成了两个面积相等的三角形。
我来分地
如图有一块三角形的菜地，现在要求分成面 积比为2：3：4三块，且图中A处是三块菜地 的共同的水源处。问：怎样分？
A
·
· · B
C
三角形的角平分线
D
BC B
B C
CA
B (A)
(B)
AD (C)
D
A
(D)
2、 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角 形的一个顶点，那么这个三角形是（ B ）
A.锐角三角形 C.钝角三角形
B.直角三角形 D.锐角三角形
本 课小结
三角形的 重要线段
概念
图形
表示法
三角形 的高线
从三角形的一个 顶点向它的对边 所在的直线作垂 线,顶点和垂足 B 之间的线段
三角形 的中线
三角形中,连结
一个顶点和它对
边中的
线段
B
三角形一个内角
三角形的 角平分线
的平分线与它的 对边相交,这个 角顶点与交点之
间的线段
B
A
∵AD是△ABC的BC上的高线. ∴AD⊥BC D C ∠ADB=∠ADC=90°.
A
∵ AD是△ABC的BC上的 中线. D C ∴ BD=CD= ½BC.
D
C
三角形的高
(2)A怎样画三角A形的高线？（画法）A
G
F
B
E
CB
D
F
CB
CD E
三角形的高
小结: ①锐角三角形、直角三角形、钝角三角
形都有高线，三角形的三条高线所在直 线相交于一点。 ②锐角三角形的高线交于三角形的内部 一点。直角三角形高线交于直角顶点。 钝角三角形高线交于三角形外部一点。 ③三角形的高是线段，而垂线是直线。
ΔADC的周长是AD+CD+AC
而CD是中线 所以DB=AD 而BC-AC=5
A
所以ΔDBC的周长比ΔADC 的周长大5cm
D
所以ΔADC的周长是20cm
B
C
现在做中考题
如图,在⊿ABC中, ∠1=∠2,G为AD中点,延
长BG交AC于E,F为AB上一点,CF⊥AD于H,判
断下列说法那些是正确的,哪些是错误的.
如右图
A
∵D是BC的中点
∴BD=DC 而△ABD的面积=
—21
BD×AE
△ADC的面积= —12 DC×AE B E D
C
故△ABD的面积= △ADC的面积
也就是说： 三角形的任意一条中线把这个三角形分 成了两个面积相等的三角形。
三角形的中线
请同学们自己任意画一个三角形，然后画出它的中线。 想一想可以画几条？他们有什么特点？
学习目标：
1、认识三角形的角平分线、中线、 高这三种线段。
2、会画任意三角形的角平分线、中 线和高。
3、了解三角形的角平分线、中线、 高会相交于一点。
相关知识回顾
1.垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有
一个角是直角时，就说这两条直线互 相垂直，其中一条直线叫做另一条直 线的垂线。
2.线段中点的定义：把一条线段分成两条相等的
线段的点。
3.角平分线的定义：一条射线把一个角分成两个
相等的角，这条射线叫做这 个角的平分线。
三角形的高
⑴ 什么是三角形的高？（定义）A
如右图，从△ABC的顶点A向它所对 的边BC所在直线画垂线，垂足为D, 所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高.
从三角形一个顶点向它的 B 对边所在的直线做垂线， 顶点和垂足间的线段叫做 三角形的高线，简称三角 形的高
画∠A的平分线AD，交
∠A所对的边BC于点D，
线段AD叫做ΔABC的
●
角平分线。
B
A
F ●
●
●E
●
●
D
C
画一画 画出ΔABC的另外两条角平分线； 想一想 观察三条角平分线，说说你的发现。
对于其它的任意三角形是不是也有同样的结果？
三角形的三条角平分线在三角形的内部交于 一点
角平分线的理解
A
∵BE是△ABC的角平分线
练一练
1、下列各个图形中，哪一个图形中AD是△ABC 的
高( D )
C
AD C
B (A)
B D
A (B)
CB
AD D)
三角形的中线
A
什么是三角形的中线?
如左图，连接△ABC的顶点和它
所对的边BC的中点D，所得线段
.
AD叫做△ABC的边BC上的中线。
B
D
C
定义：在三角形中，连结 一个顶点和它的对 边中点的线段叫做三角形的中线。