§3.4 定积分的应用
定积分的应用面积,体积
dx
f (x)
类似地，由0c yd ， 0 x( y) 所围成的图形绕
x
轴
旋转所成的旋转体的体积为：Vx
d
2c
y(
y)dy
。
3．4．4 旋转体的侧面积
设 f ( x) 在[a,b ]上非负，且有连续的导数。求由直线 xa ， xb ， y0 和曲线 y f ( x) 围成的平面图形， 绕 x 轴 旋转一周所形成的旋转体的侧面积。
ytan
x
R
y
o
y
R
x
(二)旋转体的体积
1．设 f ( x) 在[a,b] 上连续，求由直线xa ，xb ，
y0 和曲线 y f ( x) 所围成的图形绕 x 轴旋转
而成的旋转体的体积。
y
dV A( x)dx[ f ( x)]2 dx ， y f (x)
Vx
b
[
f
(
x)]2dx
a
b y2dx.
a
o
a
x xdx b x
2. 设( y) 在[c,d ] 上连续，求由直线 yc ，yd ， x0 和曲线 x( y) 所围成图形绕 y 轴 旋转而成的
旋转体的体积。
y
dV [( y)]2dy 。
Vy
d
[(
y)]2dy
c
d x2dy
c
d
ydy
y
x( y)
c
o
x
例 2．求由 x2 y2 2 和 y x2 所围成的图形分别
设有一立 体 位于平面 xa, xb (ab) 之间，已知它被
过点 ( x, 0, 0) (a xb) 且垂直于 x 轴 的平面所截得的截面面
定积分的应用§1平面图形的面积§2由平行截面面积求体积省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
1
4
A1
[
0
x (
x )]dx , 3
所以A=A1+A2=
32 3
.
A2
9 1
x
x
2
3
dx
28 3
首页 ×
(ii)设平面图形由左、右两条连续曲线ｘ＝g1 (y) ,ｘ＝g2 ( y ) 及上、下两条平行直线ｙ＝ｃ，ｙ＝ｄ(ｃ< d)所围成,
其面积计算公式为
A=
d c
g2
y
g1
y
dy
射线 = i（i=1，2，…，n－1）把扇形提成n个 小扇形.
首页 ×
(ii)因为r( )是连续旳，所以当 T 很小时，在
每一种 i [i1,i ] 上r( )旳值变化也很小.任取
便有 r( ) r(i ),i i ,
i=1，2，…，n.
这时，第i个小扇形旳面积
于是
Ai
1 2
r 2 (i
f1 x dx
(1)
注 当两条直线其中之一或两条缩为点时,仍可用公式(1).
首页 ×
例1 求由抛物线 y2 x 与直线x－2y－3=0所围平面
图形旳面积A.
y x=1
解 先求出抛物线与直线旳
交点P(1,－1)与Q(9,3).
用x=1把图形分为左、 O
x
右两部分,应用公式(1)
分别求得它们旳面积为
)
i ,
A
n i 1
1 2
r 2 (i
)
.
(iii)由定积分旳定义和连续函数旳可积性，当
T →0时，上式右边旳极限即为公式（5）中 旳定积分.
首页 ×
.
上面例1中也可把抛物线方程和直线方程改写成
4.定积分在物理上的应用
§4 定积分在的物理的某些应用学习目标：能够运用定积分解决物理问题学习要点：引力，变力沿直线所做的功学习基础：分部积分法，换元法1 变力沿直线所作的功从物理学知道，如果物体在做直线运动的过程中受到常力F作用，并且力F 的方向与物体运动的方向一致，那么，当物体移动了距离s时,力F 对物体所作的功是如果物体在运动过程中所受到的力是变化的，那么就遇到变力对物体作功的问题，下面通过例1说明如何计算变力所作的功例1 把一个带电量为的点电荷放在轴的原点处，它产生一个电场，并对周围的电荷产生作用力，由物理学知道，如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点为的地方，那么电场对它的作用力的大小为（是常数），如图，当这个单位正电荷在电场中从处沿轴移动到处时，计算电场力对它所做得功.解在上述移动过程中，电场对这个单位正电荷的作用力是不断变化的，取为积分变量，它的变化区间为，在上任取一小区间，当单位正电荷从移动到时，电场力对它所作的功近似于，从而得功元素为于是所求的为例2某水库的闸门形状为等腰梯形，它的两条底边各长10m和6m,高为20m,较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力。
解如图3.9.2 以闸门的长底边的中点为原点且铅直向下作轴,取为积分变量，它的变化范围为 .在上任取一个小区间 ,闸门上相应于该小区间的窄条各点处所受到水的压强近似于 ,这窄条的长度近似为 ,高度为 ,因而这一窄条的一侧所受的水压力近似为就是压力元素，于是所求的压力为例3设有一根长度为、线密度为的均匀细直棒，在其中垂线上距棒单位处有一质量为的质点。
试计算该棒对质点的引力解取坐标系如图3.9.3所示，使棒位于轴上，质点位于轴上，棒的中点为原点，取为积分变量，它的变化区间为。
在上任取一小区间，把细直棒上相应于的一段近似的看成质点，其质量为，与相距，因此可以按照两质点间的引力计算公式求出这段细直棒对质点的引力的大小为从而求出在水平方向分力的近似值，即细直棒对质点的引力在水平方向分力的元素为于是得到引力在水平方向的分力为上式中的负号表示指向轴的负向，又由对称性知，引力在铅直方向分力为平均值内容概述：本节介绍函数的平均值求法学习时数：2学习目标：了解平均值的求法学习要点：函数的算术平均值、函数的加权平均值、函数的均方平均值学习基础：微积分基本定理函数的算术平均值在实际问题中，常常用一组数据的算术平均值来描述这组数据的概貌。
高中数学选修课件第四章§定积分的简单应用
当n→∞时，积分和的极限存在，则称函数f(x)在[a,b]上 可积，该极限值称为f(x)在[a,b]上的定积分。
积分和
将积分区间[a,b]分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = (b-a)/n，取每个小区间的任意一点ξi，对应的函数值 为f(ξi)，则f(x)在[a,b]上的积分和为Σf(ξi)Δx。
拓展延伸及未来发展趋势
定积分在物理学中的应用
定积分在物理学中有着广泛的应用，如计算变力做功、液体静压力等，需要进一步学习和 掌握。
定积分在经济学中的应用
定积分也可以应用于经济学领域，如计算收益、成本等经济量，为决策提供科学依据。
定积分与计算机技术的结合
随着计算机技术的发展，定积分与计算机技术的结合将越来越紧密，如利用计算机进行定 积分的数值计算、绘制定积分的图形等。这将为定积分的应用提供更广阔的空间和更高效 的手段。
A
一阶导数法
通过求解一阶导数等于零的点来找到函数的极 值点，从而确定最优解。
二阶导数法
通过判断二阶导数的符号来确定函数的凹 凸性，从而确定最优解。
B
C
约束优化方法
在存在约束条件的情况下，通过构造拉格朗 日函数等方法来求解最优解。
数值计算方法
对于难以求解的复杂函数，可以采用数值计 算方法（如牛顿法、梯度下降法等）来逼近 最优解。
几何应用
通过具体案例介绍如何利用定积 分求解平面图形的面积，如求解 由直线和曲线围成的图形面积等
。
物理应用
介绍定积分在物理中的应用，如求 解变力做功、液体静压力等问题中 涉及的面积计算。
经济应用
通过实际案例介绍定积分在经济领 域的应用，如求解由需求曲线和价 格曲线围成的面积所表示的消费者 剩余或生产者剩余等。
定积分知识点总结等价
定积分知识点总结等价在本文中，我们将对定积分的基本概念、性质和求解方法进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和运用定积分。
一、定积分的基本概念定积分可以看作是一个区间上面积的度量，它描述了函数在一定区间上的总体变化情况。
在数学上，定积分可以理解为函数在指定区间内的面积或者是曲线的弧长，在物理上可以表示为质量、能量、熵等的总量。
1.1 定积分的定义设f(x)在区间[a, b]上有定义，且[a, b]是有限闭区间，将[a, b]上的分割记作Δ，记Δ的任一分点为x0, x1, ..., xn，对应的区间为[x0, x1], [x1, x2], ..., [xn-1, xn]。
则对应的分割Δ表示为：Δ = {x0, x1, ..., xn}Δ的长度记作δxi = xi - xi-1，假设Δ长度的最大值为δ = max{δxi}。
我们将区间[a, b]分成n个小区间，当n趋于无穷大时，（也就是每个小区间的长度趋于0），则这个过程称为区间[a, b]的分割，也称之为区间[a, b]的划分。
对于函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，可以用如下的极限形式定义：∫（a->b）f(x)dx = lim（Δ->0）Σ（i=1->n）f(xi*)δxi其中，xi*是区间[xi-1, xi]上的任意一点。
1.2 定积分的几何意义定积分的几何意义是非常直观的，它表示了曲线与坐标轴以及两条直线之间的面积。
当函数f(x)在区间[a, b]上是非负的时候，定积分表示了曲线y=f(x)与x轴以及直线x=a, x=b之间的面积。
当函数f(x)在区间[a, b]上是有正有负的时候，定积分表示了曲线y=f(x)与x轴之间的面积，其中函数f(x)在区间[a, b]上的正值与负值部分面积互相抵消，最终得到曲线与x轴之间的面积。
1.3 定积分的物理意义在物理上，定积分可以用来描述某一物理量在一定的时间或空间范围内的总量。
例如，对于质量密度为ρ(x)的一根杆在区间[a, b]上的质量总量可以表示为：m = ∫（a->b）ρ(x)dx这里ρ(x)dx表示了杆上长度为dx的小段的质量。
定积分的应用(体积、旋转体的侧面积)
1
2
1
4
x2 y2 2
1 1 44 2 ( 2 ) . 3 5 15
3 5 1 x x 2 (2 x 2 x 4 )dx 2( 2 x ) 0 3 5 0
1
1
V y ydy
0
1
2
1
( 2 y )dy
2
2
y
y x
2
则
V 2 y 2 dx 2 ab 2 sin 3t d t
0
a
2 2 ab 1 3 4 ab 2 3
2
4 3 特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积 a . 3
9
r1 ，下底半 径 为 r2 ， 例 3．已知圆台的上底半 径 为
高 为h ，求它的体积。
例1. 求由摆线
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
a (1 cos t ) a (1 cos t ) d t 解: AdA
2
4a
0 sin 2 d t 2 4 8a sin u d u 0
0 2 2 a (1 cos t ) 2 0 2 2 4 t
2
例3. 求双纽线
所围图形面积 .
解: 利用对称性 , 则所求面积为 1 2 a cos2 d 2
y
4
a x
a 2 4 cos 2 d (2 )
0
a sin 2
2
o
a2
思考: 用定积分表示该双纽线与圆 r a 2 sin 所围公共部分的面积 . 答案: A 2 0
解：如图选择坐标系，母线 AB 的方程为
3.4定积分的计算(二)、应用
简证： F ( x )是 f ( x )的一个原函数，则 设
b
a
f ( x )dx F (b) F (a )
又 F ( ( t )) f ( (t )) (t )
( t )dt F ( ( t )) F ( ( )) F ( ( )) f ( ( t ))
3,
1
令 若作如下运算： x t , 2xdx dt , dx
2
1 2 t
dt ,
于是
2
1
x dx 1
2
4
1 tdt 1 4 tdt t 3 2 t 2 1
2
3 4 2 1
7 . 3
这显然是错误的，原因在于 x t不是单值的.
3.4.3 定积分的分部积分法
a a
0 f ( x )dx a 2 0 f ( x )dx
当 f ( x ) 为奇函数 当 f ( x ) 为偶函数
例4 解
计算
I
2 x 2
2
4 x 2 dx.
x 2 2
2 2 2
4 x 2 dx
2 2
x 4 x dx 2
a
udv vdu
b b a a
b
a
udv uv vdu 分部积分公式
a a
b
b
例5 解
计算
2
1
x ln xdx .
2
1
1 2 x ln xdx ln xd ( x 2 ) 2 1
1 2 1 2 2 1 x ln x x dx 2 2 1 x 1
同济大学高等数学§3.4.1-2定积分的应用(面积,体积,物理应用)
a2( 32sin 1sin2) 3a2.
2
4
02
例 8.求由两条曲线 r 3cos 和 r 1cos 所围成的
阴影部分的面积。
解：作出它们的草图，
A( 3, )
2 3 r3cos
解方程组
r 3co s
r
1cos
，
o
r 1cos
x
得交点 A( 3, 2
) ，B( 3,
3
2
)
3
。 B( 3, )
y
d
y o
x( y)
x
dA[( y)( y)]dy
d
A c [( y)( y)]dy
例 4.求由抛物线 y2 2x 及直线2x y20 所围图形的面积。
解：解方程组
y22x
2x y20
y
y22x
得交点为( 1 ，1)，(2，-2)。 1
2
取积分变量为 y
o
ydy
y
积 分 区 间 为[2,1].
1x2dx
1
t
2dx
0
0
t
t
t3 0 t3 0 1 t3 t2 t3, 3 33
S1
o
y x2
S2
x1 t
即 S(t) 4 t 3 t 2 1 , (0 t 1).
3
3
S(t)4t2 2t2t (2t1)
令 S(t)0 ，得 t 0 ，t 1 。 2
∵ S(0) 1 ，S(1) 1 ， S(1) 2 ，
（一）平行截面面积为已知的立体的体积
设有一 立 体 位于平面 xa, xb (ab) 之间，已知它被
过点 ( x, 0, 0) (a xb) 且垂直于 x 轴 的平面所截得的截面面
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bx
y d
x = ψ ( y)
V y = π ∫ ϕ ( y ) − ψ ( y ) d y c
2 2
d
c o
x = ϕ ( y)
x
三、平行截面面积为已知的立体的体积
平行截面的面积为 A( x ) ( a ≤ x ≤ b ) 的立体的体积为
V = ∫ A( x )d x
a
b
y x x+dx b
y = g( x )
y
y = f ( x)
A=∫
[ f ( x ) − g ( x )] d x a
b
o y
a
bx
2.由曲线 x = ϕ ( y ), x = ψ ( y ) (ϕ ( y ) ≥ ψ ( y ) ) ， d 由曲线 直线 y = c , y = d (c < d ) 所围图形的面积为
a
y = f ( x)
dy
dx
o ax
x + dx
x = x(t ) 2. 以曲线弧 曲线弧 为曲边， 轴为底边的 (α < t < β ) 为曲边， x 轴为底边的 y = y( t )
bx
轴旋转所形成的旋转体的侧面积为 曲边梯形绕 x 轴旋转所形成的旋转体的侧面积为
A = 2π ∫ y( t ) [ x′( t )]2 + [ y′( t )]2 d t
4.由曲线 ρ = ρ1 (θ ), ρ = ρ 2 (θ ) ( ρ1 (θ ) ≥ ρ 2 (θ ) ) 及 由曲线 射线θ = α ,θ = β (α < β ) 所围图形的面积为
β
ρ = ρ1 (θ )
A=∫
α
1 ρ 2 (θ ) ρ 2 (θ ) dθ − 2 1 2
θ =β
α
β
六、变力沿直线所作的功
变力 F ( x ) (a < x < b ) 沿 x 轴从 x = a 到 x = b 所作的功为
b
W = ∫ F ( x )d x
a
七、液体的静压力
如图所示平面薄板一侧所受的液体静压力为
F = ∫ ρ gx[ f ( x ) − g ( x )]d x
a
b
o a
y = g( x )
y = f ( x)
Vx = π ∫ f 2 ( x ) − g 2 ( x ) d x a
b a
b
y = g( x )
o
a
V y = 2π ∫ x [ f ( x ) − g ( x )] d x
2.由曲线 x = ϕ ( y ), x = ψ ( y ) (ϕ ( y ) ≥ ψ ( y )) ， 由曲线 所围平 图形绕 直线 y = c , y = d (c < d ) 所围平面图形绕 坐标轴旋转所形成的旋转体的体积为 d Vx = 2π ∫ y [ϕ ( y ) − ψ ( y )] d y
ρ = ρ 2 (θ )
o
θ =α
二、旋转体的体积
1.由曲线 y = f ( x ), y = g ( x ) ( f ( x ) ≥ g ( x )) ， y 由曲线 所围平面图形绕 平面图形 直线 x = a , x = b (a < b标轴旋转所形成的旋转体的体积为
第三讲
§3.1 §3.2 §3.3 §3.4
一元函数积分学
不定积分 定积分 反常积分 定积分的应用
§3.4 定积分的应用
▲内容要点
一、平面图形的面积
1.由曲线 y = f ( x ), y = g ( x ) ( f ( x ) ≥ g ( x ) ) ， 由曲线 直线 x = a , x = b (a < b ) 所围图形的面积为
∇
y
y = f ( x)
x+dx
x
b
x
x = ψ ( y)
A = ∫ [ϕ ( y ) − ψ ( y )] d y
d c
c o
x = ϕ ( y)
x
3.由曲线 y = f ( x ) ，及直线 x = a , x = b (a < b ) 所围图形的 由曲线 面积为
y
b a
A = ∫ f ( x) d x
y = f ( x)
o
a
b x
o
a
x
四、平面曲线的弧长
1. 曲线弧 y = f ( x ) ( a < x < b ) 的长度为 曲线弧
y
2
s=∫
b
a
1 + ( y′ ) d x = ∫
2
b
a
1 + [ f ′( x )] d x
ds
dx
y = f ( x)
dy
x = x(t ) 2. 曲线弧 曲线弧 (α < t < β ) 的长度为 y = y( t )
弧微分三角形
五、旋转体的侧面积
1. 以曲线弧 y = f ( x ) ( a < x < b ) 为曲边， x 轴为底边的 为曲边， 轴为底边的 曲线弧 轴旋转所形成的旋转体的侧面积为 曲边梯形绕 x 轴旋转所形成的旋转体的侧面积为 y b A = 2π ∫ f ( x ) 1 + [ f ′( x )]2 d x ds
o a x
x +dx b x
s=∫
β
α
[ x′( t )]2 + [ y′( t )]2 d t
2. 曲线弧 ρ = ρ (θ ) (α < θ < β ) 的长度为 曲线弧
s=∫
β
α
[ ρ (θ )]2 + [ ρ ′(θ )]2 dθ
2 2
ds dx
dy
【注】 d s = (d x ) + (d y )