不定积分的基本公式和运算法则直接积分法
·复习 1 原函数的定义。2 不定积分的定义。3 不定积分的性质。4 不定积分的几何意义。 ·引入在不定积分的定义、性质以及基本公式的基础上,我们进一步来讨论不定积分的计算问题,不定积分的计算方法主要有三种:直接积分法、换元积分法和分部积分法。 ·讲授新课 第二节不定积分的基本公式和运算直接积分法 一基本积分公式 由于求不定积分的运算是求导运算的逆运算,所以有导数的基本公式相应地可以得到积分的基本公式如下:
以上十五个公式是求不定积分的基础,必须熟记,不仅要记右端的结果,还要熟悉左端被积函数的的形式。 求函数的不定积分的方法叫积分法。 例1.求下列不定积分.(1)dx x ?2 1 (2) dx x x ? 解:(1) dx x ? 21 =2121 21x x dx C C x -+-=+=-+-+? (2)dx x x ? =C x dx x +=? 25 235 2 此例表明,对某些分式或根式函数求不定积分时,可先把它们化为x α 的形式,然后应用幂函 数的积分公式求积分。 二 不定积分的基本运算法则
法则1 两个函数代数和的积分,等于各函数积分的代数和,即 dx x g dx x f dx x g x f ???±=±)()()]()([ 法则1对于有限多个函数的和也成立的. 法则2 被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外,即 dx x f k dx x kf ??=)()( (0≠k ) 例2 求3(21)x x e dx +-? 解 3(21)x x e d x +-?=23x dx ?+dx ?-x e dx ? = 4 12 x x x e C +-+。 注 其中每一项的不定积分虽然都应当有一个积分常数,但是这里并不需要在每一项后面加上一个积分常数,因为任意常数之和还是任意常数,所以这里只把它的和C 写在末尾,以后仿此。 注 检验解放的结果是否正确,只把结果求导,看它的导数是否等于被积函数就行了。如上例 由于41()2 x x x e C '+-+=321x x e +-,所以结果是正确的。 三 直接积分法 在求积分的问题中,可以直接按基本积分公式和两个基本性质求出结果(如上例)但有时,被积函数常需要经过适当的恒等变形(包括代数和三角的恒等变形)再利用积分的性质和公式求出结果,这样的积分方法叫直接积分法。 例3 求下列不定积分. (1) 1)(x dx ? (2)dx x x ?+-1 122 解:(1)首先把被积函数 1)()x 化为和式,然后再逐项积分得 1)((1x dx x dx - =+-- ??
定积分的应用练习题
定积分的应用练习题 Final revision by standardization team on December 10, 2020.
题型 1.由已知条件,根据定积分的方法、性质、定义,求面积 2.由已知条件,根据定积分的方法、性质、定义,求体积 内容 一.微元法及其应用 二.平面图形的面积 1.直角坐标系下图形的面积 2.边界曲线为参数方程的图形面积 3. 极坐标系下平面图形的面积 三.立体的体积 1.已知平行截面的立体体积 2.旋转体的体积 四.平面曲线的弦长 五.旋转体的侧面积 六.定积分的应用 1.定积分在经济上的应用 2.定积分在物理上的应用 题型 题型I微元法的应用 题型II求平面图形的面积
题型III 求立体的体积 题型IV 定积分在经济上的应用 题型V 定积分在物理上的应用 自测题六 解答题 4月25日定积分的应用练习题 一.填空题 1. 求由抛物线线x x y 22+=,直线1=x 和x 轴所围图形的面积为__________ 2.抛物线x y 22=把圆822≤+y x 分成两部分,求这两部分面积之比为__________ 3. 由曲线y x y y x 2,422==+及直线4=y 所围成图形的面积为 4.曲线3 3 1x x y - =相应于区间[1,3]上的一段弧的长度为 5. 双纽线θ2sin 32=r 相应于2 2 π θπ ≤ ≤-上的一段弧所围成的图形面积 为 . 6.椭圆)0,0(1sin 1 cos b a t b y t a x ???+=+=所围成的图形的面积为 二.选择题 1. 由曲线22,y x x y ==所围成的平面图形的面积为( ) A . 31 B . 32 C . 21 D . 2 3 2. 心形线)cos 1(θ+=a r 相应于ππ2≤≤x 的一段弧与极轴所围成的平面图形的面积为( ) A . 223a π B . 243a π C . 2 8 3a π D . 23a π 3. 曲线2 x x e e y -+=相应于区间],0[a 上的一段弧线的长度为 ( )
定积分方法和应用
例3 求由曲线及轴所围图形的面积。 解画草图,曲线与的交 点是,取为积分变量, 时,, 时,, 所以, 例4求由圆与直线及曲线所围图形的面积。 解画草图,取为积分变量,
例5 求抛物线与其在点处的法线所围成图形的面积。 解先求出法线方程,画出草图,再求出法线与抛物线的两个交点 ,所以, 例6 求曲线的一条切线,使得该切线与直线及曲线所围成的图形的面积 A 为最小。 解(1)关键是找出目标函数,即所围面积与切点 坐标间的函数关系。设为曲线上 任一点,则此点处的切线方程 为 , 于是所求面积
= (2)下面求 A 的最小值: 令得。又当,时;当时,。 故当时,A 取极小值,也是最小值,从而得到切线方程 参数方程的情形 按直角坐标情形分析,参数方程相当于积分时把积分变量做了变换。不用记公式。 由连续曲线,轴及直线、 所围图形的面积为 其中 例7求摆线的一拱与轴所围成的平面图形的面积。
解如图,对应与图中摆线的一拱,的变化范围为,参数t 的变化范围为。故所求面积为
= 2. 极坐标情形 设曲线的极坐标方程为 连续,由曲线及射线 所围曲边扇形 的面积 为 (记住) 例8 求双纽线所围成的平面图形的面积。
解由于双纽线的图形和极轴与极点都对称,因此只需求出区间上部分面积再 4 倍即可 1. 平行截面面积已知的立体体积 设空间立体被垂直于轴的平面所截,截面面积为,且立体在 之间,则体积元素,立体体积 例9 一平面经过半径为的圆柱体的底圆中心,并与底面成交角,计算这平面截圆柱体所得立体的体积。 解取这平面与圆柱体的底面的交线
§定积分的应用习题与答案
第六章 定积分的应用 (A ) 1、求由下列各曲线所围成的图形的面积 1)221x y = 与822=+y x (两部分都要计算) 2)x y 1= 与直线x y =及2=x 3)x e y =,x e y -=与直线1=x 4)θρcos 2a = 5)t a x 3cos =,t a y 3sin = 1、求由摆线()t t a x sin -=,()t a y cos 1-=的一拱()π20≤≤t 与横轴所围成的图形的 面积
2、求对数螺线θρae =()πθπ≤≤-及射线πθ=所围成的图形的面积 3、求由曲线x y sin =和它在2π =x 处的切线以及直线π=x 所围成的图形的面积和它绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积 4、由3x y =,2=x ,0=y 所围成的图形,分别绕x 轴及y 轴旋转,计算所得两旋转体 的体积 5、计算底面是半径为R 的圆,而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形 的立体体积 6、计算曲线()x y -= 33 3上对应于31≤≤x 的一段弧的长度 7、计算星形线t a x 3cos =,t a y 3sin =的全长
8、由实验知道,弹簧在拉伸过程中,需要的力→F (单位:N )与伸长量S (单位:cm ) 成正比,即:kS =→F (k 是比例常数),如果把弹簧原长拉伸6cm , 计算所作的功 9、一物体按规律3ct x =作直线运动,介质的阻力与速度的平方成正比,计算物体由0 =x 移到a x =时,克服介质阻力所作的功 10、 设一锥形储水池,深15m ,口径20m ,盛满水,将水吸尽,问要作多少功? 11、 有一等腰梯形闸门,它的两条底边各长10cm 和6cm ,高为20cm ,较长的底边 与水面相齐,计算闸门的一侧所受的水压力 12、 设有一长度为λ,线密度为u 的均匀的直棒,在与棒的一端垂直距离为a 单位处 有一质量为m 的质点M ,试求这细棒对质点M 的引力 (B) 1、设由抛物线()022>=p px y 与直线p y x 2 3=+ 所围成的平面图形为D 1) 求D 的面积S ;2)将D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积
定积分的应用练习题,DOC
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题型III 求立体的体积 题型IV 定积分在经济上的应用 题型V 定积分在物理上的应用 自测题六 解答题 4月25日定积分的应用练习题 一.填空题 1. 求由抛物线线x x y 22+=,直线1=x 和x 轴所围图形的面积为__________ 2.抛物线x y 22=把圆822≤+y x 分成两部分,求这两部分面积之比为__________ 3. 由曲线y x y y x 2,422==+及直线4=y 所围成图形的面积为 4.曲线3 3 1x x y - =相应于区间[1,3]上的一段弧的长度为 5. 双纽线θ2sin 32=r 相应于2 2 π θπ ≤ ≤- 上的一段弧所围成的图形面积为 . 6.椭圆)0,0(1sin 1cos b a t b y t a x ???+=+=所围成的图形的面积为 二.选择题 1. 由曲线22,y x x y ==所围成的平面图形的面积为( ) A . 31 B . 32 C . 21 D . 2 3 2. 心形线)cos 1(θ+=a r 相应于ππ2≤≤x 的一段弧与极轴所围成的平面图形的面积为( ) A . 223a π B . 243a π C . 2 8 3a π D . 23a π 3. 曲线2 x x e e y -+=相应于区间],0[a 上的一段弧线的长度为 ( ) A . 2 a a e e -+ B . 2a a e e -- C . 12++-a a e e D .12-+-a a e e 4. 由曲线2,0,===y x e y x 所围成的曲边梯形的面积为( )。
专升本高等数学 第五章定积分及其应用
第五章 定积分 【考试要求】 1.理解定积分的概念和几何意义,了解可积的条件. 2.掌握定积分的基本性质. 3.理解变上限的定积分是变上限的函数,掌握变上限定积分求导数的方法. 4.掌握牛顿——莱布尼茨公式. 5.掌握定积分的换元积分法与分部积分法. 6.理解无穷区间广义积分的概念,掌握其计算方法. 7.掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积. 【考试内容】 一、定积分的相关概念 1.定积分的定义 设函数 ()f x 在[,]a b 上有界,在[,]a b 中任意插入若干个分点 0121n n a x x x x x b -=<<<<<=, 把区间[,]a b 分成n 个小区间01[,]x x ,12[,]x x ,,1[,]n n x x -, 各个小区间的长度依次为1 10x x x ?=-,221x x x ?=-,,1n n n x x x -?=-.在 每个小区间1[,]i i x x -上任取一点i ξ (1i i i x x ξ-≤≤) ,作函数值()i f ξ与小区间长度i x ?的乘积()i i f x ξ? (1,2, ,i n =),并作出和1 ()n i i i S f x ξ==?∑. 记 12max{,,,}n x x x λ=???,如果不论对[,]a b 怎样划分,也不论在小区间 1[,]i i x x -上点i ξ怎样选取,只要当0λ→时,和S 总趋于确定的极限I ,那么称这个极 限I 为函数 ()f x 在区间[,]a b 上的定积分(简称积分),记作 ()b a f x dx ?,即
1 ()lim ()n b i i a i f x dx I f x λξ→===?∑? , 其中 ()f x 叫做被积函数,()f x dx 叫做被积表达式,x 叫做积分变量,a 叫做积分下限, b 叫做积分上限,[,]a b 叫做积分区间. 说明:定积分的值只与被积函数及积分区间有关,而与积分变量的记法无关,也就是说 ()()()b b b a a a f x dx f t dt f u du ==? ??. 2.定积分存在的充分条件(可积的条件) (1)设 ()f x 在区间[,]a b 上连续,则()f x 在[,]a b 上可积. (2)设 ()f x 在区间[,]a b 上有界,且只有有限个间断点,则()f x 在区间[,]a b 上可积. 说明:由以上两个充分条件可知,函数()f x 在区间[,]a b 上连续,则()f x 在[,]a b 上 一定可积;若 ()f x 在[,]a b 上可积,则()f x 在区间[,]a b 上不一定连续,故函数() f x 在区间[,]a b 上连续是 ()f x 在[,]a b 上可积的充分非必要条件. 3.定积分的几何意义 在区间[,]a b 上函数 ()0f x ≥时,定积分()b a f x dx ?在几何上表示由曲线 ()y f x =、两条直线x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形的面积. 在区间[,]a b 上 ()0f x ≤时,由曲线()y f x =、两条直线x a =、x b =与x 轴 所围成的曲边梯形位于x 轴的下方,定积分()b a f x dx ? 在几何上表示上述曲边梯形面积的 负值. 在区间[,]a b 上 ()f x 既取得正值又取得负值时,函数()f x 的图形某些部分在x 轴 的上方,而其他部分在x 轴的下方,此时定积分 ()b a f x dx ? 表示x 轴上方图形的面积减去 x 轴下方面积所得之差. 二、定积分的性质
不定积分计算的各种方法论文.doc
不定积分计算的各种方法 广东石油化工学院高州师范学院312数学(1)班梁多彬 【摘要】本论文将要介绍常见的不定积分的各种计算方法以及某些特殊不定积分的求解方法,如:直接积分法(公式法)、分部积分法、换元积分法(第一换元积分法和第二换元积分法)、以及一些特殊函数的积分技巧与方法(有理函数的不定积分以及简单无理函数与三角函数的不定积分),并将结合例题探讨快捷方便的解题方法。 【关键词】不定积分直接积分法分部积分法换元积分法有理函数不定积分简单无理函数与三角函数有理式的不定积分 一、引言 不定积分是《数学分析》中的一个重要内容,它是定积分、广义积分,瑕积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的基础,掌握不定积分的计算方法对于学习这些后续内容具有重要意义。不定积分的解法不像微分运算有一定的法则,它需要根据不同的题型特点采用不同的解法,因此积分运算比起微分运算来,方法更多样,技巧性更强。下面将不定积分的各种计算方法分类归纳,以便于更好的掌握、运用。 二、不定积分的概念 定义:函数f(x)在区间I的所有的原函数()()R F∈ x C C +称为函数f(x)的不 ? 定积分,表为
?+=C x F dx x f )()( ()()('x f x F =,C 为积分常数), 其中∫称为积分符号,x 称为积分变量,f(x)称为被积函数,f(x)dx 称为被积表达式,C 称为积分常数。 在这里要特别注意:一个函数的不定积分既不是一个数,也不是一个函数,而是一个函数族。列如: at at =??? ? ??' 221,而?+=C at atdt 221; () x x cos sin ' =,而?+=C x xdx sin cos ; 2 ' 331x x =??? ? ??,而?+=C x dx x 3231. 这也就是说: ()?)(d x f dx 和?dx x f )(' 是不相等的,即前者的结果是一个函数, 而后者是无穷多个函数,所以,在书写计算结果时一定不能忘记积分常数。 三、不定积分的计算方法 1.直接积分法 既然积分运算是微分运算的逆运算,那么自然地可以从导数公式得到相应的积分公式,并且我们把一些基本的积分公式列成一个表,这个表通常叫作基本积分表: (1)、?+=C ax adx ,其中a 是常数. ?+=C x dx . (2)、?++= +C x dx 11 1 x ααα,其中α是常数,且α≠-1. (3)、? +=C x x dx ln ,x ≠0. (4)、C a a dx a x x +=?ln 1 ,其中a>0,且a ≠1.
最新定积分的简单应用测试题
一、选择题 1. 如图所示,阴影部分的面积为() 2. 如图所示,阴影部分的面积是() 面积(如图)是( A. 2(x2—1)dx '0 B . | 2(x2—1)dx| ■ 0 C. 2|x2 —1|dx D. '(x2—1)dx + 2(x2—1)dx J c J ▲ 0 1 4.设f(x)在[a, b]上连续,则曲线f(x)与直线x= a, x= b, y= 0 围成图形的面积为() A. b f(x)dx B. | b f(x)dx| 'a ' a 精品文档 A. b f(x)dx 'a C. b[f(x) —g(x)]dx 'a B. b g(x)dx 'a D. b[g(x)—f(x)]dx -a C.32 肿5 D.35 3.由曲线y= x2—1、直线x= 0、x= 2和x轴围成的封闭图形的
C. b |f(x)|dx 'a D .以上都不对 5. 16 曲线y =1—w 与x 轴所围图形的面积是() D.5 1 2 比较积分值0 e x dx 和 1 2 1 — U x dx 大于 0e x dx 2 1 C . U x dx 等于 0 7.由曲线y = x 2, y = x 3围成的封闭图形面积为( ) B.1 D. 12 6. 1 x >e dx fe"dx 的大小() 1 2 , 1 B . o e xdx 小于 ° 1 2 1 - D . o e x dx 和°e Xjx 不能比较 e dx A-12 Cl 8.求 1 /dx 的解( ) C . -1 9.求 12 x 2dx 的解( ) A.* C .- 3 10 .过原点的直线I 与抛物线y =x 2— 2ax (a>0)所围成的图形面 积 为9a 3,则直线I 的方程为( ) A . y = iax B . y = ax C . y = — ax D . y = — 5ax
高数 定积分的应用
第六章定积分的应用 教学目的 1、理解元素法的基本思想; 2、掌握用定积分表达和计算一些几何量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、 旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积)。 3、掌握用定积分表达和计算一些物理量(变力做功、引力、压力和函数的平均 值等)。 教学重点: 1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面 面积为已知的立体体积。 2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。 教学难点: 1、截面面积为已知的立体体积。 2、引力。 §6.1 定积分的元素法 回忆曲边梯形的面积: 设y=f (x)≥0 (x∈[a,b]).如果说积分, ?=b a dx x f A) ( 是以[a,b]为底的曲边梯形的面积,则积分上限函数 ?=x a dt t f x A)( ) ( 就是以[a,x]为底的曲边梯形的面积.而微分dA(x)=f (x)dx表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值?A≈f (x)dx, f (x)dx称为曲边梯形的面积元素. 以[a,b]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式,以
[a , b ]为积分区间的定积分: ?=b a dx x f A )( . 一般情况下, 为求某一量U , 先将此量分布在某一区间[a , b ]上, 分布在[a , x ]上的量用函数U (x )表示, 再求这一量的元素dU (x ), 设dU (x )=u (x )dx , 然后以u (x )dx 为被积表达式, 以[a , b ]为积分区间求定积分即得 ?=b a dx x f U )(. 用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法). §6. 2 定积分在几何上的应用 一、平面图形的面积 1.直角坐标情形 设平面图形由上下两条曲线y =f 上(x )与y =f 下(x )及左右两条直线x =a 与x =b 所围成, 则面积元素为[f 上(x )- f 下(x )]dx , 于是平面图形的面积为 dx x f x f S b a ?-=)]()([下上. 类似地, 由左右两条曲线x =?左(y )与x =?右(y )及上下两条直线y =d 与y =c 所围成设平面图形的面积为 ?-=d c dy y y S )]()([左右??. 例1 计算抛物线y 2=x 、y =x 2所围成的图形的面积.