圆锥曲线综合复习讲义
圆锥曲线综合复习讲义
圆锥曲线综合复习讲义【基础概念填空】 椭圆1．椭圆的定义：平面内与两定点F 1 ，F 2的距离的和__________________的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的_________ , 两焦点之间的距离叫做椭圆的________.2.椭圆的标准方程：椭圆)0b a (1by a x 2222>>=+的中心在______，焦点在_______轴上,焦点的坐标分别是是F 1 ___________，F 2 ____________；椭圆)0b a (1bx a y 2222>>=+的中心在______，焦点在_______轴上,焦点的坐标分别是F 1 ____________，F 2 ____________.3.几个概念：椭圆与对称轴的交点，叫作椭圆的______.a 和b 分别叫做椭圆的______长和______长。
椭圆的焦距是_________. a,b,c 的关系式是_________________。
椭圆的________与________的比称为椭圆的离心率，记作e=_____,e 的范围是_________. 双曲线 1．双曲线的定义：平面内与两定点F 1 ，F 2的距离的差_____________________的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的_________ , 两焦点之间的距离叫做双曲线的________.2.双曲线的标准方程：双曲线0)b 0,1(a by a x 2222>>=-的中心在______，焦点在_______轴上,焦点的坐标是____________；顶点坐标是______________,渐近线方程是_____________.双曲线0)b 0,1(a bx a y 2222>>=-的中心在______，焦点在_______轴上,焦点的坐标是____________；顶点坐标是______________,渐近线方程是_____________. 3.几个概念：双曲线与对称轴的交点，叫作双曲线的_____.a 和b 分别叫做双曲线的________长 和_______长。
高三文科数学圆锥曲线综合复习讲义
高三文科数学圆锥曲线综合复习讲义一、基础知识【理解去记】1.椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长(大于两个定点之间的距离)的点的轨迹，即 |PF i |+|PF 2|=2a (2a>|F i F 2|=2c).第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数 e(0<e<1)的点的轨迹(其中定点不在定直线上)，即|PF | e (0<e<1).d2 .椭圆的方程，如果以椭圆的中心为原点，焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系，由定义可求得它的标准方程，若焦点在x2 2若焦点在y 轴上，列标准方程为： 上21(a>b>0)。
a ba 称半长轴长，b 称半短轴长，c 称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(土a, 0 ), (0, ± b), ( ±ce 称为离心率，且 e 一，由c 2+b 2=a 2知0<e<1.a椭圆有两条对称轴，分别是长轴、短轴。
2y牙1(a>b>0), F 1 (-c, 0), F 2(c, 0)是它的两焦点。
若 P(x, y)是椭圆上的任意一b1)过椭圆上一点 P(x o , y o )的切线方程为：一字 1 ；a b2)斜率为k 的切线方程为y kx 、a 2k 2 b 2 ； 3)过焦点F 2(c, 0)倾斜角为B 的弦的长为l2ab 2 l 2 2 2。
a c cos6 •双曲线的定义，第一定义：满足 ||PF i |-|PF 2||=2a(2a<2c=|F 1F 2|, a>0)的点 P 的轨迹；第二定义：到定点的距离与到定直线距离之比为常数 e(>｛的点的轨迹。
7.双曲线的方程：中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线方程为 3 •椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆:2 x2ab 24 .椭圆的焦半径公式：对于椭圆 点，则 |PR|=a+ex, |PF 2|=a-ex. 5.补充知识点： 几个常用结论：2x~2a2 2x y——12 . 2a b第五步：把所要解决的问题转化为X1+X2、X1X2，然后代入、化简。
圆锥曲线综合.板块八.圆锥曲线综合问题.教师版 普通高中数学复习讲义Word版
【例1】 P 是抛物线22(0)y px p =>上的点，F 是抛物线的焦点，则以||PF 为直径的圆与y 轴位置关系为（ ）Ａ．相交 Ｂ．相离 Ｃ．相切 Ｄ．不确定【考点】圆锥曲线综合问题 【难度】3星 【题型】选择 【关键字】无【解析】利用抛物线的定义，数形结合，如图，过P 作PA 垂直于准线于A ，交y 轴于B ，设PF 的中点为C ，则C 到y 轴的距离为1111||(||||)(||||)||||2222CH OF BP AB BP AP PF =+=+==，即以||PF 为直径的圆C 与y 轴相切．【答案】C ；【例2】 定点(10)N ，，动点A 、B 分别在图中抛物线24y x =及椭圆22143x y +=的实线部分上运动，且AB ∥x 轴，则NAB ∆的周长l 的取值范围是________．A ．223⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．1043⎛⎫⎪⎝⎭， 典例分析板块八.圆锥曲线综合问题C ．51416⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．(24)，【考点】圆锥曲线综合问题 【难度】3星 【题型】选择 【关键字】无【解析】易知N 为椭圆的右焦点，且为抛物线的焦点，记抛物线的准线为m ：1x =-；椭圆的右准线n ：4x =； 过A 作m 的垂线，垂足为A '，过B 作n 的垂线，垂足为B '，则 AN AA '=，12BN e BB =='，于是12BN BB '=， 11114(1)52222l AA AB BB A B BB BB BB '''''''=++=-=---=-， 故只需求出BB '的取值范围即可，显然当B 点为椭圆的长轴的右端点时，有min 422BB '=-=，当B 为椭圆与抛物线的一个交点，即23B x =时，有m a x 210433BB '=-=， 但此时都不再构成三角形，故取不到最值， 从而有11011055242323l ⎛⎫⎛⎫∈-⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，． 【答案】B ；【例3】 已知动圆C 经过点(0,1)F ，并且与直线1y =-相切，若直线34200x y -+=与圆C 有公共点，则圆C 的面积（ ）A ．有最大值为πB ．有最小值为πC ．有最大值为4πD ．有最小值为4π【考点】圆锥曲线综合问题 【难度】4星【题型】选择【关键字】2010年，海淀一模【解析】由抛物线的定义知圆心C 的轨迹为抛物线24x y =，设00(,)C x y ，则204x y =，由【例4】 已知P 是抛物线22y x =上的一个动点，过P 作圆22(3)1x y -+=的切线，切点分别为M 、N ，则MN 的最小值是__________．【考点】圆锥曲线综合问题 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2009年，江南十校联合素质测试【解析】记点(3,0)A ，由A 为该圆的圆心．MN 的最小值对应MAN ∠的最小值，而1cos MAP PA =∠，12MAP MAN =∠∠，故PA 取最小值时有MN 的最小值．记00(,)P x y ，则22222000000(3)692(2)5P A x y x x x x =-+=-++=-+，故当02x =时，有min PA =，由,AM PM AP MN ⊥⊥知，此时2MN ==；【例5】 已知圆K 过定点(0)(0)A a a >，，圆心K 在抛物线C ：22y ax =上运动，MN 为圆K 在y 轴上截得的弦．⑴试问MN 的长是否随圆心K 的运动而变化？⑵当||OA 是||OM 与||ON 的等差中项时，抛物线C 的准线与圆K 有怎样的位置关系？【考点】圆锥曲线综合问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无【解析】⑴设圆心00()K x y ，，且2002y ax =，圆K 的半径||R AK ==∴||2MN a =为定值， ∴弦MN 的长不随圆心K 的运动而变化．⑵设12(0)(0)M y N y ，，，在圆K ：2222000()()x x y y x a -+-=+上， 令0x =，得2220020y y y y a -+-=， ∴22120y y y a =-．∵||OA 是||OM 与||ON 的等差中项， ∴12||||||||2||2OM ON y y OA a +=+==． 又由⑴，12||||2MN y y a =-=， ∴1212||||||y y y y +=-，∴120≤y y ，因此2200≤y a -，即2020≤ax a -．∴002≤≤ax ．圆心K 到抛物线准线距离02≤ad x a =+，而圆K 半径R a ．且上两式不能同时取等号，故圆K 必与准线相交．【答案】⑴弦MN 的长不随圆心K 的运动而变化．⑵圆K 必与准线相交．【例6】 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限、半径为C 与直线y x =相切于坐标原点O ．椭圆22219x y a +=与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．⑴求圆C 的方程；⑵试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】圆锥曲线综合问题 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2007年，广东高考【解析】⑴设圆心坐标为()，m n (00)，m n <>，则该圆的方程为22()()8x m y n -+-=已知该圆与直线y x =相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则=即4m n -= ① 又圆与直线切于原点，故10m n -=-- ② 联立方程①和②组成方程组解得22m n =-⎧⎨=⎩故圆的方程为22(2)(2)8x y ++-=．⑵210a =，∴225a =，则椭圆的方程为221259x y +=，其焦距4c ==，右焦点为(40)，，那么4OF =．要探求是否存在异于原点的点Q ，使得该点到右焦点F 的距离等于OF 的长度4，我们可以转化为探求以右焦点F 为圆心，半径为4的圆22(4)16x y -+=与⑴所求的圆的交点数．通过联立两圆的方程解得45x =，125y =． 即存在异于原点的点41255，Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得该点到右焦点F 的距离等于OF 的长．或通过圆心距小于半径和得到有两个交点，故Q 存在，且Q 点与原点关于两圆的圆心连线1(4)3y x =--对称，从而求得它的坐标．【答案】⑴22(2)(2)8x y ++-=．⑵存在异于原点的点41255，Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得该点到右焦点F 的距离等于OF 的长．【例7】 设0b >，椭圆方程为222212x y b b+=，抛物线方程为28()x y b =-．如图所示，过点(02)F b +，作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G ．已知抛物线在点G 的切线经过椭圆的右焦点1F ．⑴求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；⑵设A ，B 分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P ，使得ABP ∆为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．【考点】圆锥曲线综合问题【难度】4星 【题型】解答【关键字】2008年，广东高考【解析】⑴在抛物线方程28()x y b =-中令2y b =+，解得216x =，又G 为第一象限内的点，故G 点坐标为(42)b +，，又10)F ，即1(0)F b ，，抛物线在G 点处的切线的斜率为4|14x xy ='==， 故1214GF b k b --==--，解得1b =， 故椭圆方程为2212x y +=，抛物线方程为28(1)x y =-．⑵∵过A 作x 轴的垂线与抛物线只有一个交点P ，∴以PAB ∠为直角的Rt ABP ∆只有一个；同理以PBA ∠为直角的Rt ABP ∆只有一个；若以APB ∠为直角，则P 点必在以AB 为直径的圆上，当且仅当P 点为以AB 为直径的圆与此抛物线的交点．以AB 为直径的圆的方程为222x y +=，联立22228(1)x y x y ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，消去x 得28100y y +-=，解得4y =-±1，故负根舍去，41>，故此根满足，圆与抛物线都关于y 轴对称，故此纵坐标对应两个x ， 即此方程组有两组解，对应满足条件的P 点有两个． 综上所述抛物线上共存在4个点使ABP ∆为直角三角形．【答案】⑴椭圆方程为2212x y +=，抛物线方程为28(1)x y =-．⑵抛物线上共存在4个点使ABP ∆为直角三角形．【例8】 已知：双曲线的顶点坐标()01，，()01-，，离心率e 2=，又抛物线()2:20C x py p =>的焦点与双曲线一个焦点重合．⑴求抛物线C 的方程；⑵已知()0P m ，、()0Q m -，()0m ≠是y 轴上的两点，过P 做直线与抛物线C 交于A 、B 两点，试证：直线QA 、QB 与y 轴所成的锐角相等．⑶在⑵的前提下，若直线AB 的斜率为1，问ABQ △的面积是否有最大值?若有，求出最大值．若没有，说明理由．【考点】圆锥曲线综合问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无【解析】⑴ 由题意，设双曲线方程为22221y x a b -=，则1a =，2ca=解得1a =，2c =所以双曲线两焦点为()02±，，即22p=，故4p =，∴抛物线C 的方程为28x y =；⑵ 设直线AB 方程为y kx m =+代入抛物线C 的方程为28x y =得： ()2880*x kx m --=，264320k m ∆=+>，设()11A x y ，，()22B x y ，，则128x x k +=，128x x m =-要证直线QA 、QB 与y 轴所成的锐角相等，只证明0QA QB k k +=，∵()221212121212188088QA QBx m x my m y m m k k x x x x x x m ++++⎛⎫+=+=+=++= ⎪-⎝⎭，所以原命题成立．⑶ 由⑵知，1k =时，()*化为2880x x m --=，由64320m ∆=+>得2m >-，AB =Q 到AB的距离为d =，12ABQ S AB d ==△令()3224f m m m =+，则()2'68f m m m =+，令()2'680f m m m =+>得：0m >或43m <-，∴()3224f m m m =+在423⎛⎫-- ⎪⎝⎭，和()0+∞，上都是增函数，在43⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，是减函数，所以()3224f m m m =+无最大值． 【答案】⑴ 抛物线C 的方程为28x y =；⑵ 设直线AB 方程为y kx m =+代入抛物线C 的方程为28x y =得： ()2880*x kx m --=，264320k m ∆=+>，设()11A x y ，，()22B x y ，，则128x x k +=，128x x m =-要证直线QA 、QB 与y 轴所成的锐角相等，只证明0QA QB k k +=，∵()221212121212188088QA QBx m x my m y m m k k x x x x x x m ++++⎛⎫+=+=+=++= ⎪-⎝⎭，所以原命题成立．⑶ ()3224f m m m =+无最大值．【例9】 如图，已知抛物线2:E y x =与圆()222:4M x y r -+=()0r >相交于A 、B 、C 、D 四个点．⑴求r 的取值范围；⑵当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线AC 、BD 的交点P 的坐标．【考点】圆锥曲线综合问题 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2009年，全国高考【解析】⑴将2y x =代入()2224x y r -+=，并化简得227160x x r -+-= ………①E 与M 有四个交点的充要条件是方程①有两个不等的正根1x 、2x ．由此得()()22122127416070160.r x x x x r ⎧∆=--->⎪⎪+=>⎨⎪=->⎪⎩，，解得215164r <<， 又0r >，所以r 的取值范围是4⎫⎪⎪⎝⎭．⑵不妨设E 与M 的四个交点的坐标为：(1A x 、(1B x ，、(2C x ，、(2D x ．则直线AC 、BD 的方程分别为()121y x x=-，()121y x x +=-，解得点P 的坐标为)0．设t ，由t =⑴知702t <<． 由于四边形ABCD 为等腰梯形，因而其面积(2112S x x =⋅⋅-．则(()221212124S x x x x x x ⎡⎤=++⋅+-⎣⎦．将127x x +=t 代入上式，并令()2f t S =，得 ()()()27727202f t t t t ⎛⎫=+⋅-<< ⎪⎝⎭．利用三次均值不等式求解，主要是配凑系数或常数，注意取等号的条件即可． ()()()311727214412872(72)14422323≤t t t f t t t t ++++-⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当且仅当72144t t +=-即76t =时，()f t 有最大值，即四边形ABCD 的面积最大，故所求的点P 的坐标为706⎛⎫⎪⎝⎭，．【答案】⑴r 的取值范围是4⎫⎪⎪⎝⎭． ⑵点P 的坐标为706⎛⎫ ⎪⎝⎭，．【例10】 已知动圆过定点(10)P ，，且与定直线l ：1x =-相切，点C 在l 上．⑴求动圆圆心的轨迹M 的方程；⑵设过点P ，且斜率为M 相交于A 、B 两点．①问：ABC ∆能否为正三角形？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由； ②当ABC ∆为钝角三角形时，求这种点C 的纵坐标的取值范围．【考点】圆锥曲线综合问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】⑴法一：依题意，曲线M 是以点P 为焦点，直线l 为准线的抛物线，所以曲线M 的方程为24y x =． 法二：设()M x y ，，依题意有MP MN =，所以1x + 化简得：24y x =．⑵①由题意得，直线AB的方程为1)y x =-．由21)4y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩消去y 得231030x x -+=，解得13x 1=，23x =． 所以A点坐标为13⎛ ⎝⎭，B点坐标为(3-，，121623AB x x =++=． 假设存在点(1)C y -，，使ABC ∆为正三角形，则BC AB =且AC AB =，即22222216(31)(3116(1)33y y ⎧⎛⎫+++=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎪⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎩（*）上面两式相减得222244(3y y ⎛⎛⎫++=+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得y =y =①，所以方程组（*）无解． 因此，直线l 上不存在点C ，使得ABC ∆是正三角形． ②法一：设(1)C y -，使ABC ∆成钝角三角形，由1)1y x x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩得y = 即当点C的坐标为(1-时，A 、B 、C三点共线，故y ≠又2222128139AC y y y ⎛⎛⎫=--+=-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，2222(31)(28BC y y =+++=++，221625639AB ⎛⎫== ⎪⎝⎭．当CAB ∠为钝角时，222cos 02AB AC BCA AB AC+-=<⋅．即222BC AC AB >+，即22282562899y y y ++>++，即y CAB ∠为钝角． 当222AC BC AB >+，即22282562899y y y +>+++，即y <CBA ∠为钝角． 又222AB AC BC >+，即22256282899y y >+++，即243y +<，20y ⎛< ⎝．该不等式无解，所以ACB ∠不可能为钝角． 因此，当ABC ∆为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是y <y y >≠． 法二：以AB 为直径的圆的方程为2225833x y ⎛⎫⎛⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝⎭．圆心53⎛ ⎝，到直线l ：1x =-的距离为83，所以，以AB 为直径的圆与直线l 相切于点1G ⎛-- ⎝⎭，． 当直线l 上的C 点与G 重合时，ACB ∠为直角，当C 与G 点不重合，且A 、B 、C 三点不共线时，ACB ∠为锐角，即ABC ∆中，ACB ∠不可能是钝角． 因此，要使ABC ∆为钝角三角形，只可能是CAB ∠或CBA ∠为钝角．过点A 且与AB 垂直的直线方程为13y x ⎫=-⎪⎝⎭．令1x =-得y =过点B 且与AB 垂直的直线方程为3)y x +-．令1x =-得y =1)1y x x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，解得y =所以，当点C 的坐标为(1-时，A 、B 、C 三点共线，不构成三角形． 因此，当ABC ∆为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是y <y >（y ≠）． 【答案】⑴24y x =．⑵①直线l 上不存在点C ，使得ABC ∆是正三角形． ②当ABC ∆为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是y <y y >≠．【例11】 学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为22110025x y +=，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、6407，M ⎛⎫⎪⎝⎭为顶点的抛物线的实线部分，降落点为(80)，D ．观测点(40)(60)，，，A B 同时跟踪航天器． ⑴求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；⑵试问：当航天器在x 轴上方时，观测点、A B 测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？【考点】圆锥曲线综合问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无【解析】⑴设曲线方程为2647y ax =+， 由题意可知，640647a =⋅+．∴17a =-．∴曲线方程为216477y x =-+．⑵设变轨点为()，C x y ，根据题意可知22211002516477x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，得247360y y --=， 4y =或94y =-（不合题意，舍去）．∴4y =． 得6x =或6x =-（不合题意，舍去）．∴C 点的坐标为(64)，，||||4AC BC ==．因此当观测点，A B 测得，AC BC距离分别为4时，应向航天器发出变轨指令．【答案】⑴216477y x =-+．⑵因此当观测点，A B 测得，AC BC 距离分别为4时，应向航天器发出变轨指令．【考点】圆锥曲线综合问题 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2010年，江西高考【解析】⑴ 因为抛物线2C 经过椭圆1C 的两个焦点()10F c -，，()20F c ，，可得22c b =，⑵ 由题设可知M ，N 关于y 轴对称，设()11M x y -，，()11N x y ，，()10x >， 则由AMN △的垂心为B ，有0BM AN ⋅=① 由于点()11N x y ，在2C 上，故有2211x by b +=，②2⑵若1AM MB =，求直线⑶若坐标原点O 关于直线求椭圆1C 的长轴长的最小值．【考点】圆锥曲线综合问题 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2010年，海淀一模【解析】⑴由题意，抛物线2C 的方程为：24y x =，…………2分⑵设直线AB 的方程为(4)y k x =-，（k 存在且0k ≠）． 联立2(4)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，消去x ，得24160ky y k --=，……3分显然216640k ∆=+>，设1122(,),(,)A x y B x y ，12又1AM MB =，所以由①②③消去12,y y ，得22k =，由2222222222(8)4()(16)0k a b a k a k a b ∆=--+-≥，得 242222216()(16)0a k b a k k b -+-≥，即222216a kb k +≥，【答案】⑴24y x =，【例14】 已知，，A B C 均在椭圆222:1(1)x M y a a+=>上，直线AB 、AC 分别过椭圆的左右焦点1F 、2F ，当120AC F F ⋅=时，有21219AF AF AF ⋅=． ⑴求椭圆M 的方程；⑵设P 是椭圆M 上的任一点，EF 为圆22:(2)1N x y +-=的任一条直径，求PE PF ⋅的最大值．【考点】圆锥曲线综合问题 【难度】4星 【题型】解答【关键字】无【解析】⑴∵120AC F F ⋅=，∴12AC F F ⊥，即12△AF F 为直角三角形，∴1122||cos ||AF F AF AF ∠=．于是22212121221199||||cos 9||||AF AF AF AF F AF AF AF AF ⋅=∠===， ∴12||3||AF AF =．又12||||2AF AF a +=，∴123||||22，aAF a AF ==．在12△Rt AF F 中，2221221||||||AF AF F F =+， 即22234(1)22a a a ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得22a =， 故所求椭圆M 方程为2212x y +=．⑵()()PE PF NE NP NF NP ⋅=-⋅-222()()()1NF NP NF NP NP NF NP =--⋅-=--=- 从而只需求2NP 的最大值．P 是椭圆M 上的任一点，设00()，P x y ，则有220012x y +=，即220022x y =-． 又(02)，N ，所以22222200000(2)22(2)(2)10NP x y y y y =+-=-+-=-++． 而0[11]，y ∈-，所以当01y =-时，2NP 取最大值9， 故PE PF ⋅的最大值为8．【答案】⑴2212x y +=．⑵PE PF ⋅的最大值为8．【例15】 如图，以12A A ，为焦点的双曲线E 与半径为c 的圆O 相交于C ，D ，1C ，1D ，连接1CC 与OB 交于点H ，且有：(323)OH HB =+．其中12A A B ，，是圆O 与坐标轴的交点，c 为双曲线的半焦距． ⑴当1c =时，求双曲线E 的方程；⑵试证：对任意正实数c ，双曲线E 的离心率为常数．⑶连接1A C 与双曲线E 交于F ，是否存在实数λ，使1A F FC λ=恒成立，若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．【考点】圆锥曲线综合问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无【解析】⑴由1c =知(01)B ，，∵(323)OH HB =+，∴0H H x y ==，，即0H ⎛ ⎝⎭，点C 在单位圆上，∴12C ⎛ ⎝⎭． 设双曲线E 的方程为22221(00)x y a b a b-=>>，，由点C 在双曲线E 上，半焦距1c =有： 2222113144a b ab ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得221a b == 所以双曲线E221-=．⑵∵1(0)A c -，，(0)B c ，，由(323)OH HB =+，得02c H C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，． 设双曲线E 的方程为22221(00)x y a b a b-=>>，，C 在双曲线E 上，∴22222223144a b c c c a b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，化简整理得4224360a a b b +-=， 即42630b b a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得23b a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭又222214c b e a a ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭∴1e =，即双曲线E 的离心率是与c 无关的常数．⑶假设存在实数λ，使1A F FC λ=恒成立，1(0)A c -，，2c C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则2211F F c c x y λλλλ-+==++，，即(2)2(1)c F λλ⎛- +⎝⎭． 由点C F ，都在双曲线E 上，得 2222222222223144(2)314(1)4(1)c c ab c c a b λλλλ⎧-=⎪⎪⎨-⎪-=⎪++⎩， 由上边的式子有222222341443e c c e b b --=⇒=，代入下边的式子化简整理得22210e e λλ-++=，即有2212e e λ-=+， 结合⑵的结论可得λ=故存在实数λ=1A F FC λ=恒成立． 【答案】221=．⑵∵1(0)A c -，，(0)B c ，，由(323)OH HB =+，得02c H C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，． 设双曲线E 的方程为22221(00)x y a b a b-=>>，，C 在双曲线E 上，∴22222223144a b c c c a b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，化简整理得4224360a a b b +-=， 即42630b b a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得23b a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭又222214c b e a a ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭∴1e =，即双曲线E 的离心率是与c 无关的常数．⑶存在实数λ=1A F FC λ=恒成立．【例16】在平面直角坐标系xOy中，点P到点(30)F，的距离的4倍与它到直线2x=的距离的3倍之和记为d，当点P运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和．⑴求点P的轨迹C；⑵设过点F的直线l与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值．【考点】圆锥曲线综合问题【难度】4星【题型】解答【关键字】2009年，湖南理科【解析】⑴设点P的坐标为()x y，，则32d x=-．由题设，18d x=+，即3218x x-=+．……………①当2x>时，由①162x-，……………②化简得2213627x y+=．当2x≤时，由①3x+，……③化简得212y x=．故点P的轨迹C是由椭圆221:13627x yC+=在直线2x=的右侧部分与抛物线22:12C y x=在直线2x=的左侧部分（包括它与直线2x=的交点）所组成的曲线，参见图．⑵如图所示，易知直线2x=与1C，2C的交点都是(2A，，(2B-，，直线AF BF，的斜率分别为AF BF k k =-= 当点P 在1C 上时，由②知1||62PF x =- ……………④当点P 在2C 上时，由③知||3PF x =+ ……………⑤若直线l 的斜率k 存在，则直线l 的方程为(3)y k x =-①当≤AF kk ，或≥BF k k，即≤k -或≥k 时，直线l 与轨迹C 的两个交点11()M x y ，，22()N x y ，都在1C 上，此时由④知1211||6||622MF x NF x =-=-，从而121||||||12()2MN MF NF x x =+=-+将(3)y k x =-代入1C ，得2222(34)24361080k x k x k +-+-=， 则12x x ，是这个方程的两根，所以21222434k x x k +=+，于是2212||1234k MNk =-+因为当≤k -≥k 224≥k ， 所以2221212100||1212334114≤k MN k k =-=-++，当且仅当k =±②当k -<<时，直线l 与轨迹C 的两个交点11()M x y ，，22()N x y ，分别在12C C ，上，不妨设点M 在1C 上，点N 在2C 上，则由④⑤知，121||6||32MF x NF x =-=+，，设直线AF 与椭圆1C 的另一交点为00()E x y ，，则0122x x x <<， 10211||66||||332||22MF x x EF NF x AF =-<-==+<+=，所以||||||||||||MN MF NF EF AF AE =+<+=． 而点A E ，都在1C上，且AE k =-由①的情况知100||11AE =，故100||11MN <． 若直线l 的斜率不存在，则123x x ==，此时121100||12()9211MN x x =-+=<综上所述，线段MN 长度的最大值为10011． 【答案】⑴点P 的轨迹C 是由椭圆 221:13627x y C +=在直线2x =的右侧部分与抛物线22:12C y x =在直线2x =的左侧部分（包括它与直线2x =的交点）所组成的曲线，参见图．⑵线段MN 长度的最大值为10011．【例17】 设0p >是一常数，过点(20)Q p ，的直线与抛物线22y px =交于相异两点A 、B ，以线段AB 为直径作圆H （H 为圆心）． ⑴试证：抛物线顶点在圆H 的圆周上； ⑵求圆H 的面积最小时直线AB 的方程．【考点】圆锥曲线综合问题【难度】4星【题型】解答【关键字】无【解析】⑴由题意，直线AB 斜率不为0，故可设直线方程为：2ky x p =-．又设()A A A x y ，，()B B B x y ，，则其坐标满足222ky x p y px =-⎧⎨=⎩． 消去x 得22240y pky p --=，由此得224A B A By y pk y y p +=⎧⎪⎨=-⎪⎩． ∴22224()(42)()4(2)A B A B A B A B x x p k y y k p y y x x p p ⎧+=++=+⎪⎨==⎪⎩， 因此0A B A B OA OB x x y y ⋅=+=，即OA OB ⊥． 故O 必在圆H 的圆周上．⑵又由题意圆心()H H H x y ，是AB 的中点，故2(2)22A B H A B H x x x k p y y y kp +⎧==+⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，已证OH 是圆H的半径，且OH ===． 从而当0k =时，圆H 的半径2p 为最小值，亦使圆H 的面积最小． 此时，直线AB 的方程为：2x p =．【答案】⑴由题意，直线AB 斜率不为0，故可设直线方程为：2ky x p =-．又设()A A A x y ，，()B B B x y ，，则其坐标满足222ky x p y px =-⎧⎨=⎩．消去x 得22240y pky p --=，由此得224A B A By y pk y y p +=⎧⎪⎨=-⎪⎩． ∴22224()(42)()4(2)A B A B A B A B x x p k y y k p y y x x p p ⎧+=++=+⎪⎨==⎪⎩， 因此0A B A B OA OB x x y y ⋅=+=，即OA OB ⊥． 故O 必在圆H 的圆周上． ⑵直线AB 的方程为：2x p =．。
第三章 圆锥曲线复习讲义(精心整理、好用、经典)
圆锥曲线复习讲义－学生版【基础知识】 一.椭圆与双曲线椭 圆双 曲 线定义 1212||||2(2||)PF PF a a F F +=>1212||||||2(2||)PF PF a a F F -=<方程22221x y a b += 22221x y b a+= 22221x y a b -= 22221y x a b -= 图形焦点 (,0)F c ± (0,)F c ±(,0)F c ± (0,)F c ±焦距 C F F 221=对称轴关于x .y 轴对称，关于原点成中心对称顶点长轴：(-a ,0),(a ,0) 短轴：(0,-b ),(0,b )长轴：(-b ,0),(b ,0) 短轴：(0,-a ),(0,a )实轴：(-a ,0),(a ,0) 虚轴：(0,-b ),(0,b )实轴：(-b ,0),(b ,0)虚轴：(0,-a ),(0,a )轴 长轴长2a ，短轴长2b实轴长2a ，虚轴长2b离心率 22222221(01)c c a b b e e a a a a-====-<< 22222221(1)c c a b be e a a a a+====+>渐进线无xab y ±= x ba y ±= a ,b ,c 2220c b a b a +=>>，2220b a c a c +=>>，M MPK K 1A A 2F F O yx二．抛物线的性质标准方程22(0)y px p => 22(0)y px p =->22(0)x py p => 22(0)x py p =-> 图形焦点坐标 (,0)2p(,0)2p-(0,)2p (0,)2p -准线方程 2p x =-2p x = 2p y =-2p y =范围 0x ≥ 0x ≤0y ≥ 0y ≤离心率1e = 1e = 1e = 1e = 三、弦长公式： ||14)(1||1||2212212212A k x x x x k x x k AB ∆⋅+=-+⋅+=-+= 其中,∆,A 分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去 y 后所得关于x 的一元二次方程 的判别式和2x 的系数求弦长步骤：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x 的一元二次方程,02=++C Bx Ax 设),(11y x A ，),(22y x B ，由韦达定理求出AB x x -=+21，ACx x =21；（3）代入弦长公式计算。
圆锥曲线的综合问题讲义解析
圆锥曲线的综合问题讲义解析【课前双基巩固】 知识聚焦1.(1)没有 一个 两个(2)对称轴 渐近线 Δ>0 Δ=0 Δ<0 2.|y 1-y 2| 对点演练1.√2303[解析] 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由{2x -y +1=0,x 24+y 28=1消去y ,化简可得6x 2+4x-7=0,所以x 1+x 2=-23,x 1x 2=-76,所以|AB|=√1+k 2·√(x1+x 2)2-4x 1x 2=√1+22×√(-23)2-4×(-76)=√2303.2.54 [解析] 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 122-y 12=1,x 222-y 22=1,两式相减,得x 12-x 222=y 12-y 22,即k=y 2-y 1x 2-x 1=x 2+x 12(y 2+y 1),又线段AB 的中点恰好为点P (5,2),所以k=54.3.√3x-y-√3=0 [解析] 抛物线C :y 2=4x 的焦点为F (1,0),设直线l 的方程为y=k (x-1),与抛物线方程联立,得k 2x 2-(2k 2+4)x+k 2=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=2k 2+4k 2,所以|AB|=x 1+x 2+2=2k 2+4k 2+2=163,解得k 2=3,又直线l 的倾斜角为锐角,所以k=√3,所以直线l 的方程为y=√3(x-1),即√3x-y-√3=0.4.(1+√2,+∞) [解析] 由题设条件可知△ABF 2为等腰三角形,只要∠AF 2B 为钝角即可,所以有b 2a>2c ,即b 2>2ac ,所以c 2-a 2>2ac ,即e 2-2e-1>0,所以e>1+√2.5.1或-1 [解析] 由{x 2-y 2=1,y =k(x -√2),得(1-k 2)x 2+2√2k 2x-2k 2-1=0.当1-k 2=0,即k=±1时,方程只有一根,所以直线与双曲线仅有一个公共点;当1-k 2≠0,即k ≠±1时,要满足题意只需Δ=(2√2k 2)2-4(1-k 2)(-2k 2-1)=0,此时无解.所以若直线l :y=k (x-√2)与双曲线x 2-y 2=1仅有一个公共点,则实数k 的值为1或-1.6.[2-2 √2,2+2 √2] [解析] 由椭圆方程得y 2=1-x 22,所以x 2+y 2+2x=12x 2+2x+1=12(x+2)2-1.由x 22+y 2=1,得|x|≤√2,所以当x=√2时,x 2+y 2+2x 有最大值2+2 √2;当x=-√2时,x 2+y 2+2x 有最小值2-2 √2.所以x 2+y 2+2x ∈[2-2 √2,2+2 √2].第1课时 直线与圆锥曲线的位置关系【课堂考点探究】例1 [思路点拨] (1)由4a=8,得a=2,再由2×12×2c×b=2√3,b 2+c 2=4,e<√22,可求得b=√3,c=1,即可得椭圆的方程.(2)分类讨论:当y 0=0时,可求得x 0=±2,即可求得直线与曲线的交点; 当y 0≠0时,直线l 的方程可化为y=12−3x 0x 4y 0,代入椭圆方程,再由点P (x 0,y 0)为曲线C 上一点,解得x=x 0,代入直线方程,得y=y 0,故直线l 与曲线C 有且只有一个交点P.解:(1)依题意,设椭圆C 的方程为x 2a +y 2b =1(a>b>0),焦距为2c , 由题设条件知4a=8,得a=2,又2×12×2c×b=2√3,b 2+c 2=a 2=4,所以b=√3,c=1或b=1,c=√3(经检验不合题意舍去),故椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)证明:当y 0=0时,由x 024+y 023=1,可得x 0=±2,当x 0=2,y 0=0时,直线l 的方程为x=2,直线l 与曲线C 有且只有一个交点(2,0). 当x 0=-2,y 0=0时,直线l 的方程为x=-2,直线l 与曲线C 有且只有一个交点 (-2,0). 当y 0≠0时,直线l 的方程为y=12−3x 0x 4y 0,联立{y =12−3x 0x4y 0,x 24+y 23=1,消去y ,得(4y 02+3x 02)x 2-24x 0x+48-16y 02=0.①由点P (x 0,y 0)为曲线C 上一点,得x 024+y 023=1,可得4y 02+3x 02=12.于是方程①可以化简为x 2-2x 0x+x 02=0,解得x=x 0,将x=x 0代入方程y=12−3x 0x 4y 0,可得y=y 0,故直线l 与曲线C 有且只有一个交点P (x 0,y 0).综上,直线l 与曲线C 有且只有一个交点,且交点为P (x 0,y 0).变式题 C [解析] 设|F 1F 2|=2c (c>0),△PF 1F 2的内切圆分别与PF 1,F 1F 2,PF 2切于点G ,H ,I ,则|PG |=|PI |,|F 1G|=|F 1H|,|F 2H|=|F 2I|.由双曲线的定义知2a=|PF 1|-|PF 2|=|F 1G|-|F 2I|=|F 1H|-|F 2H|,又|F 1H|+|F 2H|=|F 1F 2|=2c ,故|F 1H|=c+a ,|F 2H|=c-a ,所以H (a ,0),即a=2.若直线l 与双曲线的右支交于A ,B 两点,则当l ⊥x 轴时,|AB|有最小值为2b 2a=b 2(通径长);若直线l 与双曲线的两支分别交于A ,B 两点,则当l ⊥y 轴时,|AB|有最小值为2a.于是,由题意得b 2>2a=4,即b>2,c=√a 2+b 2>2√2,所以双曲线的离心率e=ca >√2.故选C. 例2 [思路点拨] (1)根据题意列出方程组求得a ,b ,c 的值,即可求得椭圆的标准方程;(2)设出直线l 的方程,联立直线与椭圆的方程,同时利用弦长公式求四边形OACB 的面积S ,设OC⃗⃗⃗⃗⃗ =λOM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0),结合点到直线的距离公式得到关于λ的方程,解方程即可求得最终结果,注意直线斜率不存在的情况.解:(1)由题意得{ ca =√22,√1+3=c,a 2=b 2+c 2,解得{a =√2,b =1,c =1,故椭圆K 的方程为x 22+y 2=1. (2)由(1)知F 2(1,0),由于直线AB 的倾斜角不能为零,所以设直线AB 的方程为my=x-1, 与x 22+y 2=1联立,可得(m 2+2)y 2+2my-1=0.设M (x 0,y 0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1+y 2=-2m m 2+2,可得y 0=-m m 2+2,x 0=my 0+1=2m 2+2.设C (x ,y ),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0),所以x=λx 0,y=λy 0. 因为C 在K 上,故λ2x 022+y 02=1,得m 2+2=λ2.① 设h 1为点O 到直线AB 的距离,h 2为点C 到直线AB 的距离,则h1h 2=|OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1λ-1,得h 2=(λ-1)h 1.又由点到直线的距离公式得h 1=√1+m 2=√λ2-1,而|AB |=√1+m 2·√(y 1+y 2)2-4y 1y 2=2√2(1+m 2)m 2+2=2√2(λ2-1)λ2, 所以S=12|AB |(h 1+h 2)=√2(λ2-1)λ2·√λ2-1=√2√λ2-1λ. 由题意知,S=2√3=√3,所以√2√λ2-1λ=√3,得λ=√3.将λ=√3代入①式,得m=±1,所以直线l 的斜率为±1.变式题 解:(1)根据题意可设抛物线C 的标准方程为x 2=2py (p>0).∵|P 1P 2|=4,∴2p=4,∴p=2, ∴抛物线C 的标准方程为x 2=4y. (2)由(1)可知,F (0,1),∴l :y=kx+1, 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),联立{x 2=4y,y =kx +1,消去y ,得x 2-4kx-4=0,∴x 1+x 2=4k ,∴y 1+y 2=k (x 1+x 2)+2=4k 2+2, ∴|MN|=y 1+y 2+p=4k 2+4.又∵点Q (0,3)到直线l 的距离为d=√1+k 2,∴|AB|=2√8−d 2=4√2k 2+12, ∴√1+k 2|AB|=2√2k 2+1,令√2k 2+1=t (t ∈(1,√3]),则k 2=12(t 2-1),∴√1+k 2|AB|=t 2+12t=12t+1t , 又∵t+1t ∈2,4√33,∴|MN|√1+k 2|AB|的取值范围为1,2√33.例3 [思路点拨] 思路一,首先设出直线方程,代入椭圆方程化为关于x 的一元二次方程,然后结合韦达定理可求得直线的斜率,进而求得直线l 的方程;思路二,利用“点差法”求解. x+2y-4=0 [解析] 方法一:易知直线l 的斜率存在.由题意可设l 的方程为y-1=k (x-2),即y=kx-2k+1.联立{y =kx -2k +1,x 216+y 24=1,整理得(1+4k 2)x 2-8(2k 2-k )x+16k 2-16k-12=0(*).设直线l 与椭圆的交点分别为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1+x 2=8(2k 2-k)1+4k 2.因为AB 的中点为M (2,1), 所以8(2k 2-k)1+4k 2=4,解得k=-12.所以所求l 的方程为y-1=-12(x-2),即x+2y-4=0.方法二: 设直线l 与椭圆的交点分别为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),易知x 1≠x 2,则由{x 1216+y 124=1,x 2216+y 224=1,得(x 1-x 2)(x 1+x 2)16+(y 1-y 2)(y 1+y 2)4=0,即(x 1+x 2)+4(y 1+y 2)·y 1-y 2x 1-x 2=0(*).又x 1+x 2=4,y 1+y 2=2,代入(*),得4+4×2×y 1-y 2x 1-x 2=0,所以y 1-y2x 1-x 2=-12,故直线l 的方程为x+2y-4=0.例4 [思路点拨] 首先利用“点差法”求出直线方程,然后联立直线方程与抛物线方程求得交点坐标,进而可求得△ABF 的面积.2 [解析] 易知F (1,0),点M (2,2)是抛物线内的点,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),易知x 1≠x 2,则{y 12=4x 1,y 22=4x 2,两式相减可得y 12-y 22=4(x 1-x 2),化简得到(y 1+y 2)×y 1-y 2x 1-x 2=4,解得k=y 1-y2x 1-x 2=1,所以直线AB 的方程是y-2=x-2,即y=x ,与y 2=4x 联立,可得{x 1=0,y 1=0,{x 2=4,y 2=4,所以S △ABF =12×1×4=2.例5 [思路点拨] 首先根据条件得出直线PQ 的垂直平分线方程,并代入双曲线方程得到关于x 的一元二次方程,结合韦达定理求得中点M 的坐标,然后利用中点在抛物线上,也在直线y=x+b 上可求得b 的值.A [解析] 因为点P ,Q 关于直线y=x+b 对称,所以PQ 的垂直平分线为y=x+b ,所以直线PQ 的斜率为-1.设直线PQ 的方程为y=-x+m ,由{y =−x +m,x 22-y 23=1,得x 2+4mx-2m 2-6=0,所以x P +x Q =-4m ,所以x M =-2m ,所以M (-2m ,3m ).因为PQ 的中点M 在抛物线y 2=9x 上,所以9m 2=9×(-2m ),解得m=0或m=-2,又PQ 的中点M 也在直线y=x+b 上,所以b=5m ,所以b=0或-10,故选A. 强化演练1.6 [解析] 由抛物线y 2=4x 得p=2,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),因为线段AB 的中点M 的横坐标为2,所以x 1+x 2=2×2=4,因为直线AB 过焦点,所以|AB |=x 1+x 2+p=4+2=6.2.2x+2y-3=0 [解析] 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),代入椭圆方程有x 122+y 12=1,x 222+y 22=1,两式相减得(x 2-x 1)(x 2+x 1)2=-(y 2+y 1)(y 2-y 1),即(x 2-x 1)×22=-(y 2-y 1),所以k AB =y 2-y 1x 2-x 1=-1,所以直线l 的方程为y-12=-(x-1),即2x+2y-3=0.3.B [解析] 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),双曲线方程为x 2a2-y 2b 2=1(a>0,b>0),将y=x-1代入双曲线方程,整理得(b 2-a 2)x 2+2a 2x-a 2-a 2b 2=0,得x 1+x 2=2a 2a -b ,则x 1+x 22=a 2a -b =-23.又c 2=a 2+b 2=7,所以a 2=2,b 2=5,所以双曲线的方程是x 22-y 25=1,故选B.4.x 28+y 24=1 [解析] 抛物线y 2=8x 的焦点为(2,0),∴c=2,设椭圆方程为x 2a2+y 2b2=1(a>0,b>0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),代入椭圆方程后两式相减,得(x 1+x 2)(x 1-x 2)a 2+(y 1+y 2)(y 1-y 2)b 2=0,由中点M (1,1)及斜率为-12可得a 2b=2.∵a 2-b 2=c 2=4,∴a 2=8,b 2=4,∴椭圆C 的方程为x 28+y 24=1.5.(-2√1313,2√1313) [解析] 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)是椭圆上关于直线y=4x+m 对称的相异的两点,AB的中点为M (x 0,y 0),则x 124+y 123=1,x 224+y 223=1,由“点差法”得y 0=3x 0,代入y 0=4x 0+m ,解得M 点坐标为(-m ,-3m ).而M 是AB 的中点,∴M 点在椭圆内部,∴m 24+9m 23<1,解得-2√1313<m<2√1313. 第2课时 最值﹑范围﹑证明问题【课堂考点探究】例1 [思路点拨] (1)由顶点坐标及椭圆的离心率,即可求得a 和c 的值,进而可求得椭圆方程; (2)分类讨论,当斜率为0时,即可求得m 的值,设直线l 的方程,代入椭圆方程,利用根与系数的关系及弦长公式即可求得m 的表达式,利用导数求得函数的单调性及最值,即可求得m 的最大值.解:(1)因为椭圆C :x 2a2+y 2b 2=1(a>b>0)的顶点坐标为(±√6,0),且离心率为√306, 所以a=√6,且√a 2-b 2a =√306,解得b=1.故椭圆C 的方程为x 26+y 2=1.(2)因为|MN |=4√33>2,所以直线MN 的斜率存在.又因为直线MN 在y 轴上的截距为m ,所以可设直线MN 的方程为y=kx+m , 代入椭圆方程x 26+y 2=1,得(1+6k 2)x 2+12kmx+6(m 2-1)=0,因为Δ=(12km )2-24(1+6k 2)(m 2-1)=24(1+6k 2-m 2)>0,所以m 2<1+6k 2.设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),由根与系数的关系得x 1+x 2=-12km1+6k 2,x 1x 2=6(m 2-1)1+6k 2,则|MN |=√1+k 2|x 1-x 2|=√1+k 2√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√1+k 2√(-12km 1+6k 2)2-24(m 2-1)1+6k 2.因为|MN |=4√33, 所以√1+k 2√(-12km 1+6k 2)2-24(m 2-1)1+6k 2=4√33, 整理得m 2=-18k 4+39k 2+79(1+k 2).令k 2+1=t ≥1,则k 2=t-1, 所以m 2=-18t 2+75t -509t=1975-18t+50t≤75−2×309=53,等号成立的条件是t=53,此时k 2=23,m 2=53,满足m 2<1+6k 2,符合题意.故m 的最大值为√153. 变式题 解:(1)曲线C 上的点满足|PF 1|+|PF 2|=2√2>|F 1F 2|=2,∴曲线C 是以F 1,F 2为焦点的椭圆,且a=√2,c=1,b=1,∴曲线C 的方程是x 22+y 2=1.(2)∵F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λF 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μa ,∴M ,N ,F 2三点共线,且直线MN 的斜率为√3,∴直线MN 的方程为y=√3(x-1), 与椭圆方程联立得7x 2-12x+4=0,设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),∴|MN |=2√(x 1+x 2)2-4x 1x 2 =8√27. 设P (√2cos θ,sin θ),∴P 到直线MN 的距离d=|√6cosθ-sinθ-√3|2=|√7sin(θ-φ)+√3|2,∴d max =√7+√32, ∴S △MNP 的最大值为12|MN|·d max =2√14+2√67. 例2 [思路点拨] (1)首先根据抛物线的准线方程可求得a 的值,然后根据椭圆的离心率结合a 2=b 2+c 2可求得b 的值,由此求得椭圆C 1和抛物线C 2的方程;(2)由题意知直线的斜率一定存在,由此设直线l :y=kx+2,代入椭圆的方程,消去y 得到关于x 的一元二次方程,然后利用判别式大于零及根与系数的关系,利用“O 在以线段PQ 为直径的圆的外部”等价于“OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ >0”建立不等式,求得k 的取值范围.解:(1)由题意得a 4=12,∴a=2,故抛物线C 2的方程为x 2=-2y.又e=c a =√32,∴c=√3,∴b=1,从而椭圆C 1的方程为x 24+y 2=1.(2)显然直线x=0不满足题设条件,故可设直线l :y=kx+2,P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2). 由{x 24+y 2=1,y =kx +2,得(1+4k 2)x 2+16kx+12=0. ∵Δ=(16k )2-4×12(1+4k 2)>0,∴k∈-∞,-√32∪√32,+∞,x 1+x 2=-16k1+4k 2,x 1x 2=121+4k 2,根据题意,得0°<∠POQ<90°,即OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ >0,∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+2)(kx 2+2)=(1+k 2)x 1x 2+2k (x 1+x 2)+4=12(1+k 2)1+4k 2+2k×-16k 1+4k 2+4=16−4k 21+4k 2>0,解得-2<k<2.综上得k ∈-2,-√32∪√32,2.变式题 解:(1) 由题知F p2,0,|FA |=3+2√2+p 2,|FD|=√2|FA|=3√2+4+√22p ,则D 3√2+4+√22p+p2,0,FD 的中点坐标为3√22+2+(2+√2)p4,0,则3√22+2+(2+√2)p4=3+2√2,解得p=2,故C 的方程为y 2=4x.(2)证明:依题可设直线AB 的方程为x=my+x 0(m ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则E (x 2,-y 2).由{y 2=4x,x =my +x 0消去x ,得y 2-4my-4x 0=0,因为x 0≥12,所以Δ=16m 2+16x 0>0, y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4x 0.设P 的坐标为(x P ,0),则PE ⃗⃗⃗⃗ =(x 2-x P ,-y 2),PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1-x P ,y 1). 由题知PE ⃗⃗⃗⃗ ∥PA⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以(x 2-x P )y 1+y 2(x 1-x P )=0, 即x 2y 1+y 2x 1=y 22y 1+y 12y 24=y 1y 2(y 1+y 2)4=(y 1+y 2)x P ,显然y 1+y 2=4m ≠0,所以x P =y 1y 24=-x 0,即证得点P 的坐标为(-x 0,0).由题知△EPB 为等腰直角三角形,所以k AP =1,即y 1+y2x 1-x 2=1,即y 1+y 214(y 12-y 22)=1,所以y 1-y 2=4,所以(y 1+y 2)2-4y 1y 2=16,即16m 2+16x 0=16,则m 2=1-x 0,x 0<1. 又因为x 0≥12,所以12≤x 0<1.d=002=2=2−x ,令√2−x 0=t ∈1,√62,则x 0=2-t 2,d=2(2−t 2)t=4t-2t ,易知f (t )=4t-2t 在1,√62上是减函数,所以d∈√63,2.例3 [思路点拨] (1)设经过焦点的直线AB 的方程为y=k x-p2(k ≠0),联立直线的方程和抛物线的方程,利用韦达定理以及斜率之积等于-p 求出p 的值,由此求得抛物线方程;(2)利用(1)求得M 点的坐标,利用直线OM 的方程求出D 点的坐标,两者横坐标的比值大于2,得证.解:(1)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线AB (不垂直于x 轴)的方程可设为y=k x-p2(k ≠0). ∵直线AB 过点F 且与抛物线C 交于A ,B 两点,∴y 12=2px 1,y 22=2px 2.∵直线OA 与OB 的斜率之积为-p ,∴y 1y 2x 1x 2=-p ,∴(y 1y 2x 1x 2)2=p 2,得x 1x 2=4.由{y =k (x -p2),y 2=2px,得k 2x 2-(k 2p+2p )x+k 2p 24=0,其中Δ=(k 2p+2p )2-k 2p 2k 2>0,∴x 1+x 2=k 2p+2p k 2,x 1x 2=p 24,∴p=4,∴抛物线C 的方程为y 2=8x.(2)证明:设M (x 0,y 0),D (x 3,y 3),∵M 为线段AB 的中点, ∴x 0=12(x 1+x 2)=k 2p+2p 2k 2=2(k 2+2)k 2,y 0=k (x 0-2)=4k,∴直线OD 的斜率k OD =y 0x 0=2kk 2+2,∴直线OD 的方程为y=2kk 2+2x ,代入抛物线方程y 2=8x ,得x 3=2(k 2+2)2k 2,∴x3x 0=k 2+2,∵k 2>0,∴|OD||OM|=x3x 0=k 2+2>2.变式题 解:(1)依题意得c a =√22,3a 2+12b 2=1,a 2=b 2+c 2,解得a 2=4,b 2=2,故椭圆C 的方程为x 24+y 22=1.(2)证明:由椭圆的对称性,不妨假设存在k>0,使得|BP||BQ|=12. 由题意得a 2=2b 2,则椭圆C :x 22b 2+y 2b 2=1,联立直线l 与椭圆C 的方程可得(1+2k 2)x 2+4kbx=0,解得x P =-4kb 1+2k 2,所以|BP |=√1+k 2×4kb1+2k 2,因为BP ⊥BQ ,所以|BQ |=√1+(-1k)2×4(-1k)b1+2(-1k)2=√1+k 2×4bk 2+2,因为|BP||BQ|=12,所以2√1+k 2×4kb 1+2k 2 =√1+k 2×4bk 2+2,即2k 3-2k 2+4k-1=0.记f (x )=2x 3-2x 2+4x-1,因为f (14)<0,f (12)>0,所以函数f (x )存在零点,所以存在k ∈R ,使得|BP||BQ|=12.第3课时 定点﹑定值﹑探索性问题【课堂考点探究】例1 [思路点拨] (1)设C (x ,y )(y ≠0),由题意与两点间的距离公式可得结论;(2)设直线MN 的方程为x=my+n ,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),联立直线与抛物线的方程结合韦达定理可得y 1y 2的表达式,结合条件中的斜率关系可得到y 1y 2的值,进而建立一个等式,可求得结果.解:(1)设C (x ,y )(y ≠0),因为B 在x 轴上且BC 的中点在y 轴上,所以B (-x ,0),由|AB |=|AC |,得(x+1)2=(x-1)2+y 2,化简得y 2=4x ,所以点C 的轨迹Γ的方程为y 2=4x (y ≠0).(2)证明:设直线MN 的方程为x=my+n ,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2), 由{y 2=4x,x =my +n,得y 2-4my-4n=0,所以y 1y 2=-4n. k MP =y 1-2x 1-1=y 1-2y 124-1=4y1+2,同理k NP =4y 2+2,所以4y1+2+4y2+2=2,化简得y 1y 2=4,又因为y 1y 2=-4n ,所以n=-1, 所以直线MN 过定点(-1,0).变式题 解:(1)如图,因为☉C 1内切☉C 2于点A ,所以r-1=2,解得r=3,所以☉C 2的方程为(x-1)2+y 2=9.因为直线PQ ,PR 分别切☉C 1,☉C 2于Q ,R ,所以C 1Q ⊥PQ ,C 2R ⊥PR ,连接PM ,在Rt △PQM 与Rt △PRM 中,|PQ |=|PA |=|PR |,|PM |=|PM |,所以|QM |=|RM |,所以|MC 1|+|MC 2|=|MQ |+|C 1Q|+|MC 2|=|MR |+|C 1Q|+|C 2M|=|C 1Q|+|C 2R|=4>2=|C 1C 2|, 所以点M 的轨迹C 是以C 1,C 2为焦点,长轴长为4的椭圆(除去长轴端点), 所以M 的轨迹C 的方程为x 24+y 23=1(y ≠0).(2)证明:依题意,设直线MN 的方程为x=ty-1(t ≠0),M (x 1,y 1),N (x 2,y 2), 则M'(x 1,-y 1)且x 1≠x 2,y 1+y 2≠0, 联立{x =ty -1,x 24+y 23=1,消去x ,并整理得(3t 2+4)y 2-6ty-9=0, Δ=(-6t )2-4×(-9)(3t 2+4)=144t 2+144>0,则y 1+y 2=6t 3t 2+4,y 1y 2=-93t 2+4,直线M'N 的方程为y+y 1=y 2+y 1x 2-x 1(x-x 1),令y=0,得x=y 1(x 2-x 1)y 2+y 1+x 1=y 1x 2+x 1y 2y 2+y 1=y 1(ty 2-1)+y 2(ty 1-1)y 2+y 1=2ty 1y 2y 2+y 1-1=-18t 3t 2+46t 3t 2+4-1=-4,故直线M'N 过定点(-4,0).例2 [思路点拨] (1)由题意求得a 2,c 2,再由b 2=a 2-c 2求得b 2,从而可得椭圆的标准方程;(2)证明:设C (x 3,y 3),D (x 4,y 4),可求得直线AR 的方程,与椭圆方程联立,由韦达定理可求得y 1y 3=-4y 125−x 1,进一步可求C 的坐标,同理得D 的坐标,从而可得k 2与k 1的关系式,化简运算即可.解:(1)由题意得{c a =23,a -c =1,解得{a =3,c =2,∴b 2=a 2-c 2=5,故椭圆E 的标准方程为x 29+y 25=1.(2)证明:设C (x 3,y 3),D (x 4,y 4), 由已知得,直线AR 的方程为y=y 1x 1-1(x-1),即x=x 1-1y 1y+1.联立{x =x 1-1y 1y +1,x 29+y 25=1,消去x 并整理,得5−x 1y 12y 2+x 1-1y 1y-4=0,则y 1y 3=-4y 125−x 1,∵y 1≠0,∴y 3=4y1x 1-5, ∴x 3=x 1-1y 1y 3+1=x 1-1y 1·4y 1x 1-5+1=5x 1-9x 1-5, ∴C5x 1-9x 1-5,4y 1x 1-5.同理D5x 2-9x 2-5,4y 2x 2-5, ∴k 2=4y 1x 1-5-4y 2x 2-55x 1-9x 1-5-5x 2-9x 2-5=4y 1(x 2-5)-4y 2(x 1-5)(5x1-9)(x 2-5)-(5x 2-9)(x 1-5)=4y 1(x 2-5)-4y 2(x 1-5)16(x 2-x 1),∵y 1=k 1(x 1+2),y 2=k 1(x 2+2), ∴k 2=4k 1(x 1+2)(x 2-5)-4k 1(x 2+2)(x 1-5)16(x 2-x 1)=7k 1(x 2-x 1)4(x 2-x 1)=7k 14,∴k1k 2=47为定值.变式题 解:(1)设点P 的坐标为(x ,y ),因为定点F12,0在定直线l : x=-2的右侧,且动点P 到定直线l : x=-2的距离比到定点F 12,0的距离大32,所以x>-2且√(x -12)2+y 2=|x+2|-32,化简得√(x -12)2+y 2=x+12,即y 2=2x ,所以轨迹C 的方程为y 2=2x.(2)证明:设A (2t 12,2t 1),B (2t 22,2t 2)(t 1·t 2≠0),则DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2t 12-2,2t 1),DB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2t 22-2,2t 2),因为A ,D ,B 三点共线,所以2t 2(2t 12-2)=2t 1(2t 22-2),所以(t 1-t 2)(t 1t 2+1)=0,又t 1≠t 2,所以t 1t 2=-1.直线OA 的方程为y=1t 1x ,令x=-2,得M -2,-2t 1.同理可得N -2,-2t 2,所以以线段MN 为直径的圆的方程为(x+2)(x+2)+y+2t1y+2t2=0,即(x+2)2+y 2+2t 1+t 2t 1t 2y+4t 1t 2=0.将t 1t 2=-1代入上式,可得(x+2)2+y 2-2(t 1+t 2)y-4=0, 令y=0,得x=0或x=-4,故以线段MN 为直径的圆被x 轴截得的弦长为定值4.例3 [思路点拨] (1)设M 点坐标为(x ,y ),直接找出关于x ,y 的方程,这就是曲线C 的轨迹方程;(2)设P (m ,0),由∠APF=∠BPF 可知直线BP 与AP 的倾斜角互补,即k BP +k AP =0,得到关于m 的方程,求出m 的值即可.解:(1)设M (x ,y ),则依题意有√(x -1)2+y 2|x -4|=12,整理得x 24+y 23=1,即为曲线C 的方程. (2)存在.设直线AB 的方程为x=ty+1(t ≠0),A (ty 1+1,y 1),B (ty 2+1,y 2),P (m ,0), 则由{x =ty +1,3x 2+4y 2=12,消去x ,得3(ty+1)2+4y 2=12,即(3t 2+4)y 2+6ty-9=0, 则y 1+y 2=-6t3t 2+4,y 1y 2=-93t 2+4, 由∠APF=∠BPF ,得k AP +k BP =0,即y 1ty 1+1−m +y 2ty 2+1−m=0,整理得2ty 1y 2+(1-m )(y 1+y 2)=0, 所以2t ·-93t 2+4+(1-m )·-6t3t 2+4=0,解得m=4.综上知,在x 轴上存在点P (4,0)满足题意.变式题 解:(1)依题意可知,△PF 1F 2的周长为|PF 1|+|PF 2|+|F 1F 2|,由于|F 1F 2|=2,故|PF 1|+|PF 2|=4,由于|PF 1|+|PF 2|>|F 1F 2|,故点P 的轨迹C 1是以F 1,F 2为焦点的椭圆的一部分,且a=2,c=1,故b=√3,故C 1的方程为x 24+y 23=1(x ≠±2),C 2的方程为y 2=4x.(2)假设存在.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x 0,y 0),设直线AB 的方程为x=my+1, 由{x =my +1,y 2=4x,得y 2-4my-4=0,故y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4, 又k MA +k MB =y 0-y 1x 0-x 1+y 0-y 2x 0-x 2=2k MF 2=2y0x 0-1, 所以(y 0-y 1)(x 0-my 2-1)+(y 0-y 2)(x 0-my 1-1)(x 0-my 1-1)(x 0-my 2-1)=2y 0x 0-1,即-(y 1+y 2)(x 0-1)2+my 0(y 1+y 2)(x 0-1)+2my 1y 2(x 0-1)=2m 2y 0y 1y 2, 即m (x 0+1)(x 0-my 0-1)=0,因为直线AB 不经过点M ,所以x 0-my 0-1≠0,故m=0或x 0+1=0. 当m=0时,C 1上除点1,±32外,均符合题意; 当m ≠0时,M 为-1,32和-1,-32都符合题意.。
圆锥曲线复习讲义全
圆锥曲线复习讲义一、椭圆方程1、已知椭圆2212516x y +=，12,F F 是椭圆的左右焦点，p 是椭圆上一点。
（1）a = ； b = ； c = ； e = ； （2）长轴长= ； 短轴长= ； 焦距= ；12||||PF PF += ; 12F PF ∆的周长= ；12F PF S ∆= = ； 2、已知椭圆方程是192522=+y x 的M 点到椭圆的左焦点为1F 距离为6，则M 点到2F 的距离是3、已知椭圆方程是192522=+y x ，过左焦点为1F 的直线交椭圆于A,B 两点，请问2ABF ∆的 周长是 ；4 ．（2012年高考（春））已知椭圆222212:1,:1,124168x y x y C C +=+=则 （ ） A ．顶点相同 B ．长轴长相同. C ．离心率相同. D ．焦距相等. 5、 (2007)椭圆1422=+y x 的离心率为（ ）（A ）23 （B ）43（C ）22（D ）32 6．（2005）若焦点在x 轴上的椭圆1222=+m y x 的离心率为21，则m=（ ）A ．3B ．23 C ．38D ．327.【2102高考】已知椭圆C ：22x a +22y b=1（a ＞b ＞0）的一个顶点为A （2,0），离心率为2，则椭圆C 的方程：8、【2012高考】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为1(1,0)F -，且点(0,1)P 在1C 上，则椭圆1C 的方程；9、【2012高考】在直角坐标系xOy 中，已知中心在原点，离心率为12的椭圆E 的一个焦点为圆C ：x 2+y 2-4x+2=0的圆心，椭圆E 的方程；10．（2004理）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）（A ）32 （B ）33 （C ）22 （D ）2311．（2006理）已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2 倍，则该椭圆的标准方程是 ．12、经过)2-,3-(16B A ），，（两点的椭圆方程是 13、动点M 与定点），（04F 的距离和它到定直线425:=x l 的比是常数54，则动点M 的轨迹方程是：14．（2012年高考）椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为4x =-,则该椭圆的方程为（ ）A ．2211612x y += B ．221168x y += C ．22184x y += D ．221124x y += 15．（2012年高考（理））椭圆22143x y +=的左焦点为F ,直线x m =与椭圆相交于点A 、B ,当FAB ∆的周长最大时,FAB ∆的面积是____________.16．（2012年高考（理））椭圆22221x y a b+=(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F 1,F 2.若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为_______________.17．（2012年高考）在平面直角坐标系xoy 中,椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -，,2(0)F c ，.已知(1)e ，和32e ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，都在椭圆上,其中e 为椭圆的离心率，则椭圆的方程 ;18．（2012年高考理）在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :221x y a b+=(0a b >>)的离心率23e =且椭圆C 上的点到点()0,2Q 的距离的最大值为3，则椭圆C 的方程 ; 19．（2012年高考理）椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点为1F ,右焦点为2F ,离心率12e =.过1F 的直线交椭圆于,A B 两点,且2ABF ∆的周长为8，椭圆E 的方程 . 20．（2012年高考（理））已知曲线C: 22(5)(2)8()m x m y m R -+-=∈，若曲线C 是焦点在x轴的椭圆,则m 的取值围是 ;22．（2012年高考（理））已知椭圆221:14x C y +=,椭圆2C 以1C 的长轴为短轴,且与1C 有相同的离心率，则椭圆2C 的方程 ; 23、如果点M ()y x ，在运动过程中，总满足：()()10332222=-++++y x y x试问点M 的轨迹是 ；写出它的方程 。
圆锥曲线复习课课件
将问题转化为函数问题，利用函数的性质和图像，求解相关 问题。
05
圆锥曲线的问题与挑战
圆锥曲线中的难题与挑战
圆锥曲线中的复杂计算
圆锥曲线问题往往涉及大量的计算和复杂的数学公式，需要学生 具备较高的数学计算能力和逻辑思维能力。
圆锥曲线中的抽象概念
圆锥曲线问题常常涉及到抽象的概念和性质，需要学生具备较好的 数学基础和空间想象力。
利用圆锥曲线的参数方程，将问 题转化为参数的取值范围或最值 问题，简化计算。
圆锥曲线的特殊解题方法
焦点三角形法
利用圆锥曲线的焦点三角形，结合正 弦定理、余弦定理等，求解相关问题 。
切线法
通过圆锥曲线的切线性质，结合导数 和切线斜率，求解相关问题。
圆锥曲线的综合解题方法
数形结合法
将几何性质与代数表达式相结合，通过数形结合的方法，直 观地解决问题。
作用。
光线的弯曲程度与圆锥曲线的离 心率有关，离心率越大，光线弯
曲程度越明显。
圆锥曲线的对称性质
圆锥曲线具有对称性，包括中 心对称、轴对称和面对称等。
圆具有中心对称和轴对称，椭 圆和双曲线只有中心对称，抛 物线只有轴对称。
对称性是圆锥曲线的一个重要 性质，在解决几何问题时具有 广泛应用。
03
圆锥曲线的应用
路，提高解题能力。
培养数学思维
学生应注重培养数学思维，提高 逻辑推理能力和空间想象力，以
便更好地解决圆锥曲线问题。
如何进一步深化对圆锥曲线的研究
研究圆锥曲线的性质
01
学生可以进一步研究圆锥曲线的性质和特点，探索其内在规律
和数学之美。
探索圆锥曲线与其他数学领域的联系
02
学生可以探索圆锥曲线与其他数学领域之间的联系，例如与代
圆锥曲线综合章末复习课件
长轴长：2a，短轴长：2b |F1F2|＝2c c e＝a(0<e<1)
数学 选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
知能整合提升 热点考点例析 阶段质量评估
3.关于椭圆的几何性质的几点说明 (1)利用椭圆的范围，可以求参数的范围． (2)椭圆的对称性与其标准方程的关系：方程中以－x换x，
方程不变，则曲线关于 y 轴对称；以－ y 换 y ，方程不变，则曲
线关于 x 轴对称；两者同时换，方程不变，则曲线关于原点对 称． (3)椭圆的离心率与椭圆的圆扁程度：离心率越接近于 1， 椭圆越扁；离心率越接近于0，椭圆越圆．
数学 选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
知能整合提升 热点考点例析 阶段质量评估
二、双曲线及其简单几何性质 1．双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小
焦点在 y 轴上 y2 x2 a2－b2＝1(a>0，b>0)
图象
数学 选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
知能整合提升 热点考点例析 阶段质量评估
焦点在 x 轴上 范围 对称性 顶点 轴长 焦距 离心率 渐近线 x y ± ＝0 a b x≤－a 或 x≥a
焦点在 y 轴上 y≤－a 或 y≥a
关于原点中心对称，关于 x 轴和 y 轴轴对称 (－a,0)，(a,0) (0，－a)，(0，a)
数学 选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
知能整合提升 热点考点例析 阶段质量评估
数学 选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
知能整合提升 热点考点例析 阶段质量评估
知能整合提升
数学 选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
知能整合提升 热点考点例析 阶段质量评估
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
圆锥曲线综合复习讲义【基础概念填空】 椭圆1．椭圆的定义：平面内与两定点F 1 ，F 2的距离的和__________________的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的_________ , 两焦点之间的距离叫做椭圆的________. 2.椭圆的标准方程：椭圆)0b a (1bya x2222>>=+的中心在______，焦点在_______轴上,焦点的坐标分别是是F 1 ___________，F 2 ____________； 椭圆)0b a (1bxa y2222>>=+的中心在______，焦点在_______轴上,焦点的坐标分别是F 1 ____________，F 2 ____________.3.几个概念：椭圆与对称轴的交点，叫作椭圆的______.a 和b 分别叫做椭圆的______长和______长。
椭圆的焦距是_________. a,b,c 的关系式是_________________。
椭圆的________与________的比称为椭圆的离心率，记作e=_____,e 的范围是_________. 双曲线 1．双曲线的定义：平面内与两定点F 1 ，F 2的距离的差_____________________的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的_________ , 两焦点之间的距离叫做双曲线的________. 2.双曲线的标准方程：双曲线0)b 0,1(a bya x2222>>=-的中心在______，焦点在_______轴上, 焦点的坐标是____________；顶点坐标是______________,渐近线方程是_____________. 双曲线0)b 0,1(a bxa y2222>>=-的中心在______，焦点在_______轴上,焦点的坐标是____________；顶点坐标是______________,渐近线方程是_____________.3.几个概念：双曲线与对称轴的交点，叫作双曲线的_____.a 和b 分别叫做双曲线的________长 和_______长。
双曲线的焦距是_____. a,b,c 的关系式是______________。
双曲线的________与________的比称为双曲线的离心率，记作e=_____,e 的范围是_________. 4.等轴双曲线：______和_______等长的双曲线叫做等轴双曲线。
双曲线是等轴双曲线的两个充要条件：（1）离心率e =_______,（2）渐近线方程是_________. 抛物线1．抛物线的定义:平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F)__________的点的轨迹叫做抛物线。
这个定点F 叫做抛物线的_________ , 定直线l 叫做抛物线的___________.2.抛物线的标准方程：抛物线2px y 2= 的焦点坐标为__________，准线方程是___________;抛物线2px y 2-=的焦点坐标为__________，准线方程是___________; 抛物线2py x 2= 的焦点坐标为__________，准线方程是___________; 抛物线2py x 2-=的焦点坐标为__________，准线方程是___________。
3.几个概念：抛物线的_________叫做抛物线的轴，抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的________。
抛物线上的点M 到________的距离与它到________的距离的比，叫做抛物线的离心率，记作e ， e 的值是_________.4.焦半径、焦点弦长公式：过抛物线2px y 2=焦点F 的直线交抛物线于A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)两点，则|AF|=___________,|BF|=____________,|AB|=_____________________直线与圆锥曲线的位置关系一、知识整理：1.考点分析：此部分的解答题以直线与圆锥曲线相交占多数，并以椭圆、抛物线为载体较多。
多数涉及求圆锥曲线的方程、求参数的取值范围等等。
2．解答直线与圆锥曲线相交问题的一般步骤：设线、设点， 联立、消元， 韦达、代入、化简。
第一步：讨论直线斜率的存在性，斜率存在时设直线的方程为y=kx+b （或斜率不为零时，设x=my+a ）； 第二步：设直线与圆锥曲线的两个交点为A(x 1,y 1)B(x 2,y 2);第三步：联立方程组⎩⎨⎧=+=0)y ,x (f b kx y ，消去y 得关于x 的一元二次方程；第四步：由判别式和韦达定理列出直线与曲线相交满足的条件⎩⎨⎧>∆0二次系数不为零，⎩⎨⎧=⋅=+2121x x x x 第五步：把所要解决的问题转化为x 1+x 2 、x 1x 2 ，然后代入、化简。
3．弦中点问题的特殊解法-----点差法：即若已知弦AB 的中点为M(x o ,y o )，先设两个交点为A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2);分别代入圆锥曲线的方程，得0)y ,x (f ,0)y ,x (f 2211==，两式相减、分解因式，再将o 21o 212y y y ,2x x x =+=+代入其中，即可求出直线的斜率。
4.弦长公式:]x 4x )x x )[(k 1(|x x |k1|AB |212212212-++=-+=(k 为弦AB 所在直线的斜率) 1、(2008海南、宁夏文)双曲线221102xy-=的焦距为（ ）A. 32B. 42C. 33D. 432.（2004全国卷Ⅰ文、理）椭圆1422=+yx的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF = （ ）A ．23 B ．3 C ．27 D ．43．（2006辽宁文）方程22520x x -+=的两个根可分别作为（ ）Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率4．（2006四川文、理）直线ｙ＝ｘ－3与抛物线x y 42=交于A 、B 两点，过A 、B 两点向 抛物线的准线作垂线，垂足分别为P 、Q ，则梯形APQB 的面积为（ ） （A ）48. （B ）56 （C ）64 （D ）72. 5.(2007福建理)以双曲线116922=-yx的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是( )A . B.C .D. 6．（2004全国卷Ⅳ理）已知椭圆的中心在原点，离心率21=e ，且它的一个焦点与抛物线x y42-=的焦点重合，则此椭圆方程为（ ）A ．13422=+yxB ．16822=+yxC ．1222=+yxD ．1422=+yx7．（2005湖北文、理）双曲线)0(122≠=-mn nym x离心率为2，有一个焦点与抛物线x y42=的焦点重合，则mn 的值为（ ）A ．163B ．83C ．316 D ．388. (2008重庆文)若双曲线2221613xy p-=的左焦点在抛物线y 2=2px 的准线上,则p 的值为 ( )(A)2 (B)3(C)4(D)42 9．（2002北京文）已知椭圆1532222=+nym x和双曲线1322222=-nymx有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ ）A ．y x 215±= B ．x y 215±= C ．y x 43±= D ．x y 43±=10．（2003春招北京文、理）在同一坐标系中，方程)0(0122222>>=+=+b a byax by ax 与的曲线大致是( )11. （2005上海文）若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是()0,152，则椭圆的标准方程是_________________________12．(2008江西文)已知双曲线22221(0,0)xya b a b-=>>的两条渐近线方程为33y x =±，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．13.（2007上海文）以双曲线15422=-yx的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是 ．14.(2008天津理)已知圆C 的圆心与抛物线x y 42=的焦点关于直线x y =对称.直线0234=--y x与圆C 相交于B A ,两点，且6=AB ,则圆C 的方程为 . 15（2010，惠州第二次调研）已知圆C 方程为：224x y +=.（1）直线l 过点()1,2P ，且与圆C 交于A 、B 两点，若||23AB =，求直线l 的方程；（2）过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量O Q O M O N =+，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.16（2010，惠州第三次调研）已知点P 是⊙O ：229x y +=上的任意一点，过P 作PD 垂直x 轴于D ,动点Q 满足23DQ DP =。
（1）求动点Q 的轨迹方程；（2）已知点(1,1)E ，在动点Q 的轨迹上是否存在两个不重合的两点M 、N ，使1()2OE OM ON =+(O 是坐标原点)，若存在，求出直线MN 的方程，若不存在，请说明理由。
xyxy xyxyOOOOAB C D17（2006北京文）椭圆C:22221(0)x ya b ab +=>>的两个焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆C 上，且11212414,||,||.33P F F F P F P F ⊥==（Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若直线l 过圆x 2+y 2+4x-2y=0的圆心M , 交椭圆C 于,A B 两点, 且A 、B 关于点M 对称,求直线l 的方程..18（2010，珠海市一模）如图，抛物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上。
过点(02)M -，作直线l 与抛物线相交于A B 、两点，且满足(412)O A O B +=--，．(Ⅰ)求直线l 和抛物线的方程；(Ⅱ)当抛物线上一动点P 从点A 向点B 运动时，求A B P ∆面积的最大值．19(2010,广东六校第四次联考）已知动点P 的轨迹为曲线C ，且动点P 到两个定点12(1,0),(1,0)F F -的距离12,PF PF的等差中项为2.（1）求曲线C 的方程； （2）直线l 过圆2240x y y ++=的圆心Q 与曲线C 交于,M N 两点，且0ON OM ⋅=(O 为坐标原点)，求直线l 的方程.20（2010，珠海二模文）已知两圆2215:(1)4O x y ++=和22245:(1)4O x y -+=，动圆P 与⊙O 1外切，且与⊙O 2内切．（1）求动圆圆心P 的轨迹方程；（2）过点M (5，0)作直线l 与点P 的轨迹交于不同两点A 、B ，试推断是否存在直线l ，使 得线段AB 的垂直平分线经过圆心O 2？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．。