三角恒等变换(一)
2023年高考数学(文科)一轮复习——三角恒等变换 第一课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第3节三角恒等变换考试要求 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β.cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β.tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝2sin__αcos__α.cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.tan 2α＝2tan α1－tan2α.3.函数f(α)＝a sin α＋b cos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝a2＋b2sin(α＋φ)(其中tan φ＝ba)或f(α)＝a2＋b2·cos(α－φ)(其中tan φ＝ab).1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).2.cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝1－cos 2α2.3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.( ) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.( )(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.( ) (4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√解析 (3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠π2＋k π(k ∈Z ).2.(易错题)已知锐角α，β满足sin α＝1010，cos β＝255，则α＋β＝( ) A.3π4 B.π4 C.π6 D.3π4或π4 答案 B解析 ∵sin α＝1010，cos β＝255， 又α，β为锐角，∴cos α＝31010，sin β＝55，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝31010×255－1010×55＝22.∵0<α＋β<π，∴α＋β＝π4. 3.计算：1＋tan 15°1－tan 15°＝________.答案3解析 1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝ 3.4.(易错题)tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°＝________. 答案3解析 ∵tan 60°＝tan(10°＋50°) ＝tan 10°＋tan 50°1－tan 10°tan 50°， ∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)＝3－3tan 10°tan 50°， ∴原式＝3－3tan 10°tan 50°＋3tan10°tan 50°＝ 3. 5.(2020·江苏卷)已知sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝23，则sin 2α的值是________.答案 13解析 因为sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝23， 所以1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α2＝23，即1＋sin 2α2＝23，所以sin 2α＝13.6.函数f (x )＝sin 2x ＋3cos 2x 的周期为________. 答案 π解析 f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2x ＋32cos 2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，周期T ＝2π2＝π.第一课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式考点一 公式的基本应用1.已知cos α＝－45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( ) A.－210 B.210 C.－7210 D.7210 答案 C解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，且cos α＝－45，∴sin α＝－35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－35×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×22＝－7210.2.(2022·贵阳模拟)已知角α，β的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，若角α，β的终边分别与单位圆交于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，13，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，23，其中x 1<0<x 2，则cos(2α－β)＝________. 答案 75－8227解析 由题意可知，sin α＝13，sin β＝23， 由x 1<0<x 2可知cos α＝－1－sin 2α＝－223，cos β＝1－sin 2β＝53，所以cos 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2232－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79， sin 2α＝2×⎝⎛⎭⎪⎫－223×13＝－429， 所以cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β＝75－8227.3.已知2tan θ－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝7，则tan 2θ＝________.答案 －43解析 2tan θ－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2tan θ－1＋tan θ1－tan θ＝7，解得tan θ＝2，∴tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×21－22＝－43. 感悟提升 1.使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征. 2.使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.考点二 公式的逆用、变形用 角度1 公式的活用例1 (1)tan 22.5°1－tan 222.5°的值为________.(2)若α＋β＝－3π4，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝________. (3)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________. 答案 (1)12 (2)2 (3)－12 解析 (1)tan 22.5°1－tan 222.5°＝12·2tan 22.5°1－tan 222.5°＝12tan 45°＝12×1＝12. (2)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，所以1－tan αtan β＝tan α＋tan β，所以1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2， 即(1＋tan α)·(1＋tan β)＝2.(3)∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1， ∴sin αcos β＋cos αsin β＝－12，∴sin(α＋β)＝－12.角度2 辅助角公式的运用 例2 化简：(1)sin π12－3cos π12； (2)cos 15°＋sin 15°； (3)1sin 10°－3sin 80°； (4)315sin x ＋35cos x .解 (1)法一 原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin π12－32cos π12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6sin π12－cos π6cos π12 ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π12＝－2cos π4＝－ 2.法二 原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin π12－32cos π12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3sin π12－sin π3cos π12 ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝－2sin π4＝－ 2. (2)cos 15°＋sin 15°＝2(cos 45°cos 15°＋sin 45°sin 15°) ＝2cos(45°－15°) ＝2×32＝62.(3)原式＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10° ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°＝4（sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°）2sin 10°cos 10°.＝4sin （30°－10°）sin 20°＝4.(4)315sin x ＋35cos x ＝65⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x＝65⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos π6＋cos x sin π6＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.感悟提升 1.运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形.公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力.2.对a sin x ＋b cos x 化简时，辅助角φ的值如何求要清楚.训练1 (1)下列式子化简正确的是( ) A.cos 82°sin 52°－sin 82°cos 52°＝12 B.sin 15°sin 30°sin 75°＝14 C.tan 48°＋tan 72°1－tan 48°tan 72°＝ 3D.cos 215°－sin 215°＝32(2)(2022·郑州模拟)函数f (x )＝cos x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6在[0，π]的值域为________.答案 (1)D (2)[－2，1]解析 (1)选项A 中，cos 82°sin 52°－sin 82°·cos 52°＝sin(52°－82°)＝sin(－30°) ＝－sin 30°＝－12，故A 错误；选项B 中，sin 15°sin 30°sin 75°＝12sin 15°cos 15°＝14sin 30°＝18，故B 错误； 选项C 中，tan 48°＋tan 72°1－tan 48°tan 72°＝tan (48°＋72°)＝tan 120°＝－3，故C 错误；选项D 中，cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32，故D 正确.(2)f (x )＝cos x －32sin x －12cos x －32sin x ＋12cos x ＝cos x －3sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.∵0≤x ≤π，∴π3≤x ＋π3≤4π3，则当x ＋π3＝π时，函数取得最小值2cos π＝－2，当x ＋π3＝π3时，函数取得最大值2cos π3＝2×12＝1， 即函数的值域为[－2，1]. 考点三 角的变换例3 (1)已知sin α＝255，sin(β－α)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于( ) A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6(2)(2022·大庆模拟)已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2425，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________. (3)(2022·兰州模拟)若23sin x ＋2cos x ＝1，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝________.答案 (1)C (2)－45 (3)732解析 (1)因为sin α＝255，sin(β－α)＝－1010，且α，β均为锐角，所以cos α＝55，cos(β－α)＝31010， 所以sin β＝sin [α＋(β－α)] ＝sin α·cos(β－α)＋cos αsin(β－α) ＝255×31010＋55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝25250 ＝22，所以β＝π4.故选C.(2)由题意知，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，sin(α＋β)＝－35＜0，所以cos(α＋β)＝45，因为β－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－725， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（α＋β）－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4 ＝cos(α＋β)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－45.(3)由题意可得4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1，令x ＋π6＝t ，则sin t ＝14，x ＝t －π6， 所以原式＝sin(π－t )cos 2t ＝sin t (1－2sin 2t )＝732.感悟提升 1.求角的三角函数值的一般思路是把“所求角”用“已知角”表示. (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.2.常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β等.训练2 (1)已知π2＜β＜α＜3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，则sin 2α等于( ) A.5665B.－5665C.1665D.－1635(2)(2021·全国大联考)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋11π6＝________.答案 (1)B (2)－45解析 (1)因为π2＜β＜α＜3π4，所以0＜α－β＜π4，π＜α＋β＜3π2，由cos(α－β)＝1213，得sin(α－β)＝513，由sin(α＋β)＝－35，得cos(α＋β)＝－45， 则sin 2α＝sin [(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β) ＝513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－5665.故选B. (2)由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝32cos α－12sin α－sin α＝32cos α－32sin α＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos α－32sin α＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝435，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝45.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋11π6＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋11π6 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－45.1.已知α是第二象限角，且tan α＝－13，则sin 2α＝( ) A.－31010 B.31010C.－35D.35答案 C解析 因为α是第二象限角，且tan α＝－13， 所以sin α＝1010，cos α＝－31010，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×1010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＝－35，故选C. 2.已知tan α2＝3，则sin α1－cos α＝( )A.3B.13 C.－3 D.－13答案 B解析 因为tan α2＝3，所以sin α1－cos α＝2sin α2cos α21－⎝⎛⎭⎪⎫1－2sin 2α2＝cos α2sin α2＝1tan α2＝13，故选B.3.下列选项中，值为14的是( )A.2sin π12sin 5π12B.13－23cos 215°C.1sin 50°＋3cos 50°D.cos 72°·cos 36° 答案 D解析 对于A ，2sin π12sin 5π12＝2sin π12cos π12＝sin π6＝12，故A 错误； 对于B ，13－23cos 215°＝－13(2cos 215°－1)＝－13cos 30°＝－36，故B 错误；对于C ，原式＝cos 50°＋3sin 50°sin 50°cos 50°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 50°＋12cos 50°12sin 100°＝2sin 80°12sin 100°＝2sin 80°12sin 80°＝4，故C 错误；对于D ，cos 36°·cos 72°＝2sin 36°·cos 36°·cos 72°2sin 36°＝2sin 72°·cos 72°4sin 36°＝sin 144°4sin 36°＝14，故D 正确.4.(2020·全国Ⅲ卷)已知sin θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6等于( ) A.12 B.33 C.23 D.22答案 B解析 因为sin θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＋π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6sin π6＋ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6sin π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6cos π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1. 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝33. 5.若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝35，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2θ＝( ) A.－2425 B.2425 C.－725 D.725答案 D解析 法一 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝35， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725.故选D. 法二 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋θ＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2θ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝－725. 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＋2θ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2θ， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2θ＝725. 6.若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2等于( ) A.33B.－33C.539D.－69答案 C解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2. ∵0<α<π2，则π4<π4＋α<3π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223. 又－π2<β<0，则π4<π4－β2<π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63. 故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝13×33＋223×63＝539.故选C. 7.sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________.答案 sin(α＋γ)解析 sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝sin(α＋β)cos(β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ)＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ).8.(2020·浙江卷)已知tan θ＝2，则cos 2θ＝________，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________. 答案 －35 13解析 由题意，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2 θcos 2θ＋sin 2 θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝1－41＋4＝－35. tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－tan π41＋tan θ·tan π4＝tan θ－11＋tan θ＝2－11＋2＝13.9.tan 25°－tan 70°＋tan 70°tan 25°＝________.答案 －1解析 ∵tan 25°－tan 70°＝tan(25°－70°)·(1＋tan 25°tan 70°)＝tan(－45°)(1＋tan 25°tan 70°)＝－1－tan 25°tan 70°，∴tan 25°－tan 70°＋tan 70°tan 25°＝－1.10.已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值；(2)求cos β的值.解 (1)∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴－π2＜α－β＜π2. 又∵tan(α－β)＝－13＜0，∴－π2＜α－β＜0.∴sin(α－β)＝－1010.(2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010.∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45.∴cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝45×31010＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝91050. 11.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，且π2＜α＜π，0＜β＜ π2，求cos(α＋β).解 由已知，得π2＜α－β2＜π，0＜α2－β＜π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝459，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝53， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－19×53＋459×23＝7527. 则cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝－239729.12.若cos 2 α－cos 2β＝a ，则sin(α＋β)sin(α－β)等于( )A.－a 2B.a 2C.－aD.a答案 C解析 sin(α＋β)sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)·(sin αcos β－cos αsin β)＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2 β＝(1－cos 2α)cos 2β－cos 2α(1－cos 2β)＝cos 2β－cos 2α＝－a .13.已知sin 10°＋m cos 10°＝2cos 140°，则m ＝________.答案 － 3解析 由题意可得m ＝2cos 140°－sin 10°cos 10°＝－2cos 40°－sin 10°cos 10°＝－2cos （30°＋10°）－sin 10°cos 10°＝－3cos 10°cos 10°＝－ 3.14.(2021·合肥质检)已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (α)＝13，求cos 2α.解 (1)∵f (x )＝cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由f (α)＝13，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝13. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，7π6. 又∵0<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝13<12， ∴2α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，π. ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝－223. ∴cos 2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6－π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6·sin π6 ＝1－266.。
《5.5.2简单的三角恒等变换(第一课时)》课件(人教版)
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例2 求证：
（1）sin α cos β 1 sin(α β) sin(α β)；
2 证明：（1）因为sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β，
sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β，
将以上两式的左右两边分别相加，得
sin（α＋β）＋sin（α－β）＝2sin αcos β， 即sin αcos β＝ 1［sin（α＋β）＋sin（α－β）］．
α
αα
证法一：因为
tan α
sin 2
sin cos 22
sin α ，
2 cos α cos2 α 1 cos α
2
2
tan α
sin α 2
sin2 α 2
1 cos α，
2 cos α sin α cos α sin α
2
22
所以得证．
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练习：求证：tan α sin α 1 cos α ． 2 1 cos α sin α
2
2
2
将①②两个等式的左右两边分别相除，得 tan2 α 1 cos α ． 2 1 cos α
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问题2 经历了例1的解决过程之后，你能谈一谈三角恒等 变换与代数恒等变换二者之间有何区分吗？
与代数恒等变换相比，进行三角恒等变换时，三角函数式不仅会有结 构情势方面的差异，而且还会存在所含的角差异，以及这些角的三角 函数种类方面的差异，所以进行三角恒等变换时，常常要先寻找式子 所包含的各个角之间的联系，并以此为根据选择适当的公式．
新教材高考数学考点过关检测15三角恒等变换1含解析
考点过关检测15 三角恒等变换(1)一、单项选择题1．[2022·广东顺德模拟]cos1875°＝( ) A.6－22 B.2＋64 C.2－64 D.6－242．若点M (－32，12)在角α的终边上,则tan2α＝( ) A.33B ．－33C.3D ．－ 33．已知cos θ＝－13(θ∈(0,π)),则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝( )A ．－223B ．－13C.223D.134．[2022·江苏东海月考]计算：2sin10°－cos20°sin20°＝( )A ．－1B ．－2C ．－2D ．－ 35．[2022·辽宁实验中学月考]已知cos α＝－53,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋2α＝( ) A ．－19B.19C ．－23D.236．[2022·福建永安三中月考]已知α的终边在第四象限,若sin α＝－45,则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A ．－210B.210C ．－7210D.72107．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝12,－π2<α<0,则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3的值是( )A.12B ．－12 C.23D ．1 8．[2022·河北邯郸模拟]若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝－45,则cos4α的值为( ) A.425B.725C.35D.31509．[2021·新高考Ⅰ卷]若tan θ＝－2,则sin θ()1＋sin2θsin θ＋cos θ＝( )A ．－65B.－25C.25D.6510．已知sin α＋cos α＝52,且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2,则cos α－sin α＝( ) A.32B ．－32 C ．±32D.12二、多项选择题11．[2022·山东实验中学月考]下列式子正确的是( ) A ．sin15°＋cos15°＝62B ．cos75°＝6＋24C ．23tan15°＋tan 215°＝1D ．tan12°＋tan33°＋tan12°tan33°＝112．已知θ∈(0,π),sin θ＋cos θ＝15,则下列结论正确的是( )A ．θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πB ．cos θ＝－35C ．tan θ＝－34D ．sin θ－cos θ＝75三、填空题13．[2022·福建福州模拟]已知tan(π－α)＝－34,则sin2α的值为________．14．[2022·湖南师大附中月考]已知sin(π＋α)＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α,则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3的值为________．15．[2022·广东湛江月考]已知x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2,2sin2x ＝3sin x ,则cos2x ＝________.16．[2022·浙江丽水模拟]已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边过点P (－55，255),则tan α＝________,sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________.考点过关检测15 三角恒等变换(1)1．答案：D解析：cos1875°＝cos(360°×5＋75°)＝cos75°＝cos(45°＋30°)＝cos45°cos30°－sin45°sin30°＝22×32－22×12＝6－24. 2．答案：D解析：由已知tan α＝12－32＝－33,所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×⎝⎛⎭⎪⎫－331－⎝⎛⎭⎪⎫－332＝－ 3.3．答案：A解析：因为cos θ＝－13(θ∈(0,π)),所以sin θ＝1－cos 2θ＝223,故cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝－sin θ＝－223.4．答案：D 解析：2sin10°－cos20°sin20°＝2sin 30°－20°－cos20°sin20°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos20°－32sin20°－cos20°sin20°＝－3sin20°sin20°＝－ 3.5．答案：A 解析：sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋2α＝－cos2α＝1－2cos 2α＝1－2×59＝－19.6．答案：A解析：α的终边在第四象限,sin α＝－45,所以cos α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝35, 则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝22()sin α＋cos α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋35＝－210. 7．答案：B解析：由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝12可得cos α＝12,因为－π2<α<0,所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－32,所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos αcos π3＋sin αsin π3＝12×12－32×32＝－12.8．答案：B解析：由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝－45,得cos2α＝－45,则cos4α＝2cos 22α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－452－1＝725. 9．答案：C解析：将式子进行齐次化处理得：sin θ()1＋sin2θsin θ＋cos θ＝sin θ()sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θcos θsin θ＋cos θ＝sin θ()sin θ＋cos θ＝sin θ()sin θ＋cos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ1＋tan 2θ＝4－21＋4＝25.故选C. 10．答案：B解析：∵(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝54,∴2sin αcos α＝14,∵(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－14＝34,∴cos α－sin α＝±32,又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2,∴0<cos α<sin α,即cos α－sin α＝－32.故选B. 11．答案：ACD解析：因为sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝6－24, cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝6＋24, 所以sin15°＋cos15°＝62,所以A 正确, 因为cos75°＝cos(45°＋30°)＝cos45°cos30°－sin45°sin30°＝6－24,所以B 错误,因为tan15°＝tan(45°－30°)＝1－tan30°1＋tan30°＝1－331＋33＝2－3,所以23tan15°＋tan 215°＝23×(2－3)＋(2－3)2＝1,所以C 正确； 因为tan45°＝tan(33°＋12°)＝tan33°＋tan12°1－tan33°tan12°＝1,所以tan33°＋tan12°＝1－tan33°tan12°,所以tan12°＋tan33°＋tan12°tan33°＝1,所以D 正确． 12．答案：ABD解析：∵sin θ＋cos θ＝15 ①,∴(sin θ＋cos θ)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152,即sin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝125,∴2sin θcos θ＝－2425.∵θ∈(0,π),∴sin θ>0,cos θ<0,∴θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π,故A 正确．(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝4925,∴sin θ－cos θ＝75 ②,故D 正确．①＋②得sin θ＝45,①－②得cos θ＝－35,故B 正确．tan θ＝sin θcos θ＝45－35＝－43,故C 错误．13．答案：2425解析：因tan(π－α)＝－34,则tan α＝34,sin2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝2·34⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋1＝2425. 14．答案：335解析：由题意知,－sin α＝23cos α,则tan α＝－23,所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝tan α－31＋3tan α＝－331－6＝335. 15．答案：18解析：因为x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2,所以sin x ≠0,因此由2sin2x ＝3sin x ⇒4sin x cos x ＝3sin x ⇒cos x ＝34,所以cos2x ＝2cos 2x －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫342－1＝18.16．答案：－21010解析：由三角函数定义知：tan α＝255－55＝－2；|OP |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－552＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2552＝1,则sin α＝255,cos α＝－55, sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝255·22－55·22＝1010.。
三角恒等变换练习题一
三角恒等变换练习题一三角恒等变换练题一一、选择题1.已知sin(π/2+θ)=3/5，则cos(π-2θ)=()A。
-12/25B。
-5/25C。
-5/12D。
25/252.若cosα=-4/5,且α在第二象限内，则cos(2α+π/4)为() A。
-31/50B。
31/50C。
-172/50D。
50/503.已知α∈R,sinα+2cosα=10/2，则tan2α=() A。
4/3B。
3/4C。
-4/3D。
-3/44.已知sinα-cosα=2,α∈(0,π)，则sin2α=() A。
-1B。
-2/2C。
2/2D。
15.已知sin(x-π/4)=3/5，则sin2x的值为()A。
-7/25B。
79/16C。
25D。
26.计算sin43°cos13°-cos43°sin13°的结果等于() A。
13√2/2B。
3C。
2D。
2√3/27.函数f(x)=sinx(cosx-sinx)的最小正周期是()A。
π/4B。
π/2C。
πD。
2π8.函数f(x)=2sin^2(π/4+x)-3cos^2x(π/4≤x≤2)的最大值为() A。
2B。
3C。
2+3D。
2-39.为了得到函数y=sin(2x-π/3)的图像，只需把函数y=sin(2x+π/6)的图像()A.向左平移π/4个长度单位B.向右平移π/4个长度单位C.向左平移π/2个长度单位D.向右平移π/2个长度单位10.函数y=sinxsin(x+π/3)+cosxcos2x的最大值和最小正周期分别为()A.1,πB.2,2πC.1+3√3/2,πD.2+2√3/3,2π11.函数y=sin2x+3cos2x-的最小正周期等于()A.πB.2πC.π/4D.π/212.若cos(3π-x)-3cos(x+π/4)=,则tan(x+π/4)等于()A.-B.-2C.D.213.将函数y=3cosx+sinx(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是()A.5π/2B.3π/5C.2π/5D.π/514.若sin(-α) = 1/3，则cos(2α)的值为 -43/3.15.若f(x) = 2tan(x/2) - 1，则f(π/4)的值为 4/3.16.已知α∈(π/2,π)，sinα + cosα = -1，则tan(α+π/4)等于 -7.17.若cosθ = 2/5，sinθ = -2/5，则角θ的终边所在的直线为24x + 7y = 0.18.已知锐角α的终边上一点P(sin40°,1+cos40°)，则锐角α的度数为 50°。
人教A版高中数学必修一课件 《三角恒等变换》三角函数PPT(第5课时简单的三角恒等变换)
应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤 运用和、差、倍角公式化简 ↓
统一化成f（x）＝asin ωx＋bcos ωx＋k的形式 ↓
利用辅助角公式化为f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋k 的形式，研究其性质
1．已知函数 f(x)＝cos2x－1π2＋sin2x＋1π2－1，则 f(x)(
)
A．是奇函数
＝79×－13－－4
9
2×2
3
2＝13.
本部分内容讲解结束
α ＝cos
α.
(变条件)若本例中式子变为
（1＋sin θ＋cos θ）sin
θ2－cos
θ
2
2＋2cos θ
(0＜θ＜π)，则化简后的结果是什么？
2sin 解：原式＝
θ 2cos
θ2＋2cos2
θ
2
sin
θ2－cos
θ 2
4cos2
θ 2
cos ＝
θ2sin2
θ2－cos2
θ 2
θ
cos
2
2sin2
α 2
α
2sin
2
αα
2 ＝－
2sin 2cos
sin
α
2
2.
因为 0＜α＜π，
所以 0＜α2＜π2.所以 sin α2＞0.
所以原式＝－2 2cos α2.
与三角函数性质有关的问题
已知函数 f(x)＝cos(π＋x)cos 32π－x－ 3cos2x＋ 23. (1)求 f(x)的最小正周期和最大值；
(2)因为 0≤x≤23π， 所以π3≤x＋π3≤π. 当 x＋π3＝π， 即 x＝23π时，f(x)取得最小值． 所以 f(x)在区间0，23π上的最小值为 f23π＝－ 3.
高一数学三角恒等变换知识点介绍
高一数学三角恒等变换知识点介绍在高一学生学习的知识点是比较的多，学生需要学好，否则高三的时候会很吃力，下面是店铺给大家带来的有关于高一数学关于三角恒等变化知识点的介绍，希望能够帮助到大家。
高一数学三角恒等变换知识点三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等，将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果.化简三角函数式的基本要求是：(1)能求出数值的要求出数值;(2)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少;(3)分式中的分母尽量不含根式等.1.求值中主要有三类求值问题：(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解.(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系.(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角.2.三角恒等变换的常用方法、技巧和原则：(1)在化简求值和证明时常用如下方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等.(2)常用的拆角、拼角技巧如：2α=(α+β)+(α-β)，α=(α+β)-β，α=(α-β)+β，α+β2=α-β2+β-α2，α2是α4的二倍角等.(3)化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式.(4)消除差异：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异.高一数学期末综合复习题一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填在题后的括号内。
2022版高考数学大一轮复习第4章三角函数解三角形第2讲三角恒等变换1
第四章 三角函数、解三角形第二讲 三角恒等变换练好题·考点自测1。
下列说法错误的是( ）A.两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的 B 。
存在实数α,β,使等式sin （α+β)=sin α+sin β成立 C 。
公式tan （α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ可以变形为tan α+tan β=tan （α+β）(1—tan αtan β）,且对任意角α,β都成立 D.存在实数α，使tan 2α=2tan α2。
[2020全国卷Ⅲ,9，5分］已知2tan θ-tan(θ+π4)=7，则tan θ=( ）A.-2 B 。
—1 C.1 D 。
23。
［2021大同市调研测试］已知tan α2=3，则sinα1-cosα=( )A 。
3B .13C .-3D 。
−134.[2019全国卷Ⅱ，11,5分][文]已知α∈(0，π2），2sin 2α=cos 2α+1，则sin α= （ )A.15B .√55C 。
√33D.2√555。
［2020全国卷Ⅱ，13,5分][文］若sin x =−23，则cos 2x = 。
6.tan 67。
5°-tan 22。
5°= 。
7。
［2019江苏，13，5分]已知tanαtan (α+π4)=−23,则sin(2α+π4)的值是 .拓展变式1.［2020全国卷Ⅲ，5，5分］[文］已知sin θ+sin （θ+π3）=1，则sin （θ+π6)=（ )A .12B .√33C .23D .√222.1+cos20°2sin20°-sin 10°（1tan5°—tan 5°）= .3.已知α∈(0,π)，化简:(1+sinα+cosα)·(cos α2-sin α2)√2+2cosα= 。
4。
[2021陕西省部分学校摸底检测]数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛,0.618就是黄金分割比m =√5-12的近似值,黄金分割比还可以表示成2sin 18°,则m√4-m 22cos 227°-1= （ )A 。
22第四章 三角函数、解三角形 简单的三角恒等变换 第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
(2)设 α 为锐角，若 cosα＋π6＝54，则 sin2α＋π3的值为
12 A.25
√24
B.25
C.－2245
解析 因为 α 为锐角，且 cosα＋π6＝54，
D.－1225
所以 sinα＋π6＝ 1－cos2α＋π6＝35，
所以 sin2α＋π3＝sin 2α＋π6 ＝2sinα＋6πcosα＋π6＝2×53×54＝2245，故选 B.
tan α＋tan β
tan(α＋β)＝ 1－tan
αtan
(T(α＋β)) β
2.二倍角公式
sin 2α＝ 2sin αcos α ； cos 2α＝ cos2α－sin2α ＝ 2cos2α－＝1
2tan α tan 2α＝ 1－tan2α .
1－2sin2α ；
【概念方法微思考】 1.诱导公式与两角和差的三角函数公式有何关系？ 提示 诱导公式可以看成和差公式中 β＝k·π2(k∈Z)时的特殊情形. 2.怎样研究形如f(x)＝asin x＋bcos x函数的性质？ 提示 先根据辅助角公式 asin x＋bcos x＝ a2＋b2·sin(x＋φ)，将 f(x)化成 f(x)
解析
cos2α2
＝ 121＋cos α ＝ 1＋cos α ＝4sin α.
1234567
2
PART TWO
题型分类 深度剖析
第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
自主演练
题型一 和差公式的直接应用
1.(2018·石家庄质检)若 sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则 sin 2α 的值为
A.－
2 10
B.
2 10
√C.－7102
D.7102
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三 、解 答题 （ 本 大题 共 ３小题 ， 共计 ５ ６分 ）
９ ．（ 本 小题 满分 １ ７分） ＡＡＢ Ｃ不是 直角 三角形 ， 若 Ａ， Ｂ， Ｃ成 等差 数列 ， 且ｔ ａ ｎ Ａｔ ａ ｎ Ｃ
酣 回 ｊ Ｉ 宥 旁 一２ ＋ 窜 ， 求ｔ ａ ｎＡ 的值 ．
Ｄ． ４ ２ ８
＿
５
二、 填 空题 （ 本 大题 共 ４小题 ， 每 小题 ６分 ， 共计 ２ ４分 ）
５ ．若 ｔ ａ ｎ ａ — ｉ
，
则 ｔ ａ ｎ （ ａ ＋ 号 ） 一
６ ． 若ａ ＋ 一 号 ， 且ａ ， 志 ７ ｃ ＋ 号 ， ｋ Ｅ Ｚ ， ￣ １ ］ １ （ １ － ｌ － ｔ ａ ｎ 口 ） （ １ ＋ ｔ ａ ｎ 卢 ） 一
（ ２ ） Ｎ ｃ ｏ ｓ （ ０ 一 ’ Ｏ ＜ ＜ 专 。 ｓ 的 值 ．
１ １ ． （ 本 小 题 满 分 ２ ０ 分 ） 已 知 ０ ＜ ａ ＜ 专 ， ｔ ａ ｎ ： ： ： ４ ， ｃ 。 ｓ （ 口 一 一 １ ３ ．
（ １ ）求 Ｃ Ｏ Ｓ ２ ／ ３ 的值 ； ． （ ２ ）求 口的大小 ．
ｃ 。ｓ
（ ａ 一 詈 ） ∈ （ 一 譬 ， １ ］ ， ￣ ｉ ｆ Ｉ ２ Ａ ｆ （ ａ ） 的 值 域 是 ［ Ｏ ， 万 ） 卿 ［ 。 ， 垣 ） ．
同角 三角 函数关 系及诱 导公 式
一
Ｉ ．Ａ ２ ． Ａ． ３ ． ｃ ４ ．ｃ ’ ５
．
ｋ ． ６ ． ＿ Ｉ ＿ ７ ． 一 ． ８ ． 号
一
．
上‘
Ａ ． ２ 一√
Ｂ ． √ 一２
Ｃ ． √ ５ 一 √ ３
Ｄ ． √ ３ 一 √ ５
２ ．化简 ： ｔ ａ ｎ Ｉ Ｏ 。 ｔ ａ ｎ ２ ０ 。 － ｌ － ｔ ａ ｎ ２ ０ 。 ｔ ａ ｎ ６ ０ 。 － － １ ｔ ａ ｎ ６ ０ 。 ｔ ａ ｎ １ ０ 。 的值为
新 高 考 高 三数 学 ２ ０ １ ４ ． １ １复 习配 送 练 习参 考 答 案
基 础 强 化 练 习参 考 答 案
三角 函数 的有 关概 念
１ ． Ｃ ．２ ． Ｂ ３ ． ｃ ．４ ． ＆５ ． 蠢 ．６ ． 詈 ．７ ． 一 警 ．８ ． ４
９ ・ 由 题意， ｒ —Ｉ Ｏ Ｐ Ｌ ： ｚ ＋９ ， 所以ｃ ｏ ｓ ０ 一 ÷ 志
７ ． 已 知 ａ ∈ （ ｏ ， 号 ） ， 卢 ∈ （ 号 ， ） ， 若 ｃ 。 ｓ 卢 一 一 ｛ ， ｓ ｉ ｎ （ ａ ＋ 一 吾 ， 则 ｓ ｉ ｎ ａ 一
８ ．若 ， ｐ 均为钝角， 且ｓ ｉ ｎ 一 ， ｃ 。 ｓ 卢 一一百 ３ ， ／ Ｔ Ｏ
，
则口 ＋ｐ 一
的 高 为 Ｉ ｓ ｉ ｎ 詈 ｌ ， 所 以 △ ｏ Ａ Ｐ 的 面 积 — １ ｘ １ × ｌ ｓ ｉ ｎ 詈 ｌ ， ３ １ ｆ （ ） 一 １ ｌ ｓ ｉ ｎ 詈 Ｉ ．
Ｔ６ ｔ ＝ ／ ＝ ｋ ７ 【 ， 所以ｔ Ｃ ＝ ６ ｋ ， ｋ ＥＺ， 其定义域是 ￡ ≠６ 志 ， ｋ Ｅ － Ｚ｝ ．
１ １ ．（ １ ）由 已知 得 ， ｃ 。 ｓ 一 一 ５， ｓ ｉ ｎ 一
，
所 以 ， ｃ ｏ ｓ （ 詈 ） 一 ｃ 。 ｓ ｃ 。 ｓ 詈 ＋ ｓ ｉ ｎ ｎ 詈 一 （ ～ 熹 ） × ＋ × 专 一 丝
—
（ ２ ）， （ 口 ） 一、 ／Ｊ ０ Ｐ一０Ｑｌ
Ａ． Ｂ． １ Ｃ． Ｄ． ２
３ ．￣ Ｐ Ｚ／ ｋ ＡＢ Ｃ￣ ０， 已知 ｓ ｉ ｎ Ａ—ｉ ３
， ｃ 。 ｓ Ｂ 一 熹 ， 则 ｃ 。 ｓ ｃ — Ａ ． 餮 Ｂ ． ６ １ ５ ｃ ． ＿ ４ Ｉ ６ ５ ４ ． 函 数 （ ｚ ） 一 Ｃ Ｏ Ｓ Ｘ － Ｓ ｉ Ｉ Ｉ ２ Ｘ — ｃ 。 ｓ ２ ｚ ＋ ｛ 的 最 大 值 是 Ｄ ． 罢 Ａ ． １ Ｂ ． 号 Ｃ ． ２
…
０ １ ４ ． １ １
・
５ 。
１ ０ ．（ 本 小题 满 分 １ ９分 ） 已知 向量 口 一（ ｓ ｉ ｎ ０ ， －２ ） ０ ５ ６ 一（ 一１ ， Ｃ Ｏ Ｓ ） 互 相垂直 ， 其中 ０ Ｅ
（ 号 ， 丌 ） ．
（ １ ）求 ｓ ｉ ｎ ， Ｃ Ｏ Ｓ ０ 的值 ；
基 础 强 化 练 习
班 级
姓 名
得 分
三角恒等 变换 （ 一）
一
、
选 择题 （ 本 大题共 ４小题 ， 每 小题 ５分 ， 共计 ２ ０分）
Ｃ ＯＳ １ ５ 。 Ｃ Ｏ Ｓ ５ ０ 一Ｃ Ｏ Ｓ ２ ０ 。 ｓ ｉ ｎ １ ５ 。 ｃ Ｏ ｓ ５０ 一ｓ ｉ ｎ ２ ０ 。一
９ ．（ １ ）ｆ （ ａ ） 一Ｃ Ｏ Ｓ ｏ ／ ；
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