高中数学专题六
专题六
专题六：整体把握必修四2010年7月25日-2010年7月26日尚未开始∙课程视频∙课程计划表∙课程文本一∙课程文本二∙拓展材料∙专题六作业∙专题六作业∙专家声音∙专题评论课程视频、课程文本、拓展资料点击可展开/关闭课程计划表课程文本一专题6-1.doc专题六第一讲主持人：各位老师大家好，欢迎老师们继续参加高中数学的新课程远程研修。
这一讲开始是针对模块四的一系列研修。
前面说过了，模块四里我们将对三角函数向量、三角恒等变换作为我们的载体来分析模块四的各种各样要求。
为了使讨论更具体，我们也走访了山东威海、淄博的一些学校和北京的一些学校和老师们座谈，老师们就这个模块的教学提出了自己的问题和想法。
我们先来看老师们座谈中的一些说法。
定位有一些变化，从面上来看，三角函数定义、应用在第一章，恒等变变换是在第三章，以及解三角形放在第五章。
从面上看是这样的变化。
新层次的定位是不是这样理解，第一更加强调函数的本质，我们现在对函数的教学强调函数是现实与变量形成一种对应关系，所以放在第一章，它是有一个客观周期现象的函数模型，所以放在第一章位置。
而第二章强调学习的完整性，我们从三角函数来讲要讲背景，而且还要将应用，听清华老师说上课讲五到十分钟讲完以后大量练习，重结果，轻过程。
把背景和应用抹去了，倒形成了知识的缺失。
为什么要讲背景与应用？我的理解是要知道这些知识从那里来，这个提高学生的学习求职欲望，而且知道这个知识用到哪去。
第二个是在三角函数当中如何突出作用？这里根据学生的学习规律来展开，我们不断在构建周期性，要按照这个周期的过程来展开。
准备函数应用角范围突出，再一个是角第一和第十五级的运用关系。
角范围的突出，因为有锐角到钝角，角的大小就是这个点旋转的程度，这样大小会有一个形式。
再说说对函数应用这一块，因此函数的性质是从函数的图象来研究。
第三个问题三角横匾过程当中如何来提升计算能力。
我想这个和一个画家作画一样一定要有一个好的工具。
2024年新高考版数学专题1_6.2 平面向量的数量积及其应用
若 AB ·AC =6AO ·EC
,则 AB
的值是
.
AC
解析 解法一:过D作DF∥EC,交AB于F.∵D为BC的中点,∴F为BE的中 点,
又BE=2EA,∴EF=EA,又DF∥EO,∴AO=1
AD,∴
AO=
1
AD=
1
(
AB+
AC).
2
24
∴ AO ·EC
=
1 4
(
AB
+
AC
)· AC
1 3
AB
=1
1)|a|= a a ;
2)|a±b|= a2 2a b b;2 3)若a=(x,y),则|a|= x2 y2 ; 4)解向量所在三角形,转化为求三角形的边长; 5)通过解方程(组)求解. 2.求向量模的最值(范围)的方法 1)代数法,把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解. 2)几何法(数形结合法),弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的 图形求解. 3)利用||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|求模的取值范围.
量,∴∠A的平分线与BC垂直,则AB=AC.由 BA·BC =|BA|·|BC |·cos B,可得cos
B=
|
BA BC
·
BA | | BC
|
=
2 2
,则∠B=4
,∴∠B=∠C=4
,∠A=2
.
∴△ABC为等腰直角三角形.
答案 D
例6 (2019江苏,12,5分)
如图,在△ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.
4
AC
22 3AB NhomakorabeaAC
专题6：6.3.1平面向量基本定理(解析版)高一数学(人教A版必修第二册)之第六章平面向量
专题6：6.3.1平面向量基本定理（解析版）一、单选题1．在ABC中，50BD CD+=，则AD=（）A．1566AB AC+B．5166+AB ACC．1455AB AC+D．4155AB AC+【答案】A 【分析】由50BD CD+=，得56BD BC=，而A AB BDD=+，再利用向量的加减法进行求解【详解】因为50BD CD+=，所以56BD BC=，5515()6666AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+．故选：A2．已知矩形ABCD中，13AE AB=，若AD a=，AB b=，则CE=（）A．23a b-+B．23a b--C．23a b+D．23a b-【答案】B 【分析】先由题中条件，得到13AE AB=，再由平面向量的线性运算，用AD和AB表示出CE，即可得出结果. 【详解】因为13AE AB =，所以13AE AB =， 所以()122333CE AE AC AB AB AD AB AD b a =-=-+=--=--.故选：B.3．如图，若,,,OA a OB b OC c B ===是线段AC 上靠近点C 的一个三等分点，且b ac λμ=+，则（ ）A ．21,33λμ== B ．13,44λμ== C ．31,44λμ== D ．12,33λμ== 【答案】D 【分析】由OB OA AB =+，结合,,A B C 的共线关系及向量的加减法的应用，即可得解. 【详解】2212()3333OB OA AB OA AC OA OC OA OA OC =+=+=+-=+, 即1233b a c =+，得12,33λμ==. 故选：D.4．在ABC 中AB a =，CB b =，则CA 等于（ ） A ．a b + B ．a b -C ．b a -D ．a b --【答案】C 【分析】根据向量的线性运算可得选项． 【详解】CA CB BA b AB b a =+=-=-，故选：C.5．如图所示，M ，N 分别是ABC 的边AB ，AC 上的点，且2AM MB =，2NC AN =，则向量MN =（ ）．A ．1233AB AC - B ．1233AB AC + C ．1233AC AB -D ．1233AC AB +【答案】C 【分析】根据平面向量基本定理，由平面向量的线性运算，利用题中条件直接计算， 即可得出结果. 【详解】因为2AM MB =，2NC AN =， 所以1233MN AN AM AC AB =-=-. 故选：C.6．如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点.若,,AB a AD b ==则AC =（ ）A ．32a b -B ．2a b -C ．2a b -+D ．1122a b + 【答案】C 【分析】由AC AB BC =+，2BC BD =，BD AD AB =-即可求出. 【详解】可得()2222AC AB BC AB BD AB AD AB AB AD a b =+=+=+-=-+=-+. 故选：C. 【点睛】本题考查向量的线性运算和基本定理的应用，属于基础题.7．在ABC 中，D 是边AC 上的点，E 是直线BD 上一点，且4DC AD =，2BE BD =，若AE mAB nAC =+，则m -n =（ ） A ．75B ．75-C ．35D ．35【答案】B 【分析】运用共线向量的性质，结合平面向量基本定理、平面向量加法的几何性质进行求解即可. 【详解】∵4DC AD =，∴5AC AD =，∴222()25AE AB BE AB BD AB AD AB AB AD AB AC =+=+=+-=-+=-+ ∴27155m n -=--=-·故选：B8．如图，D 是ABC 的边AB 的中点，则向量CD 等于（ ）A ．12BC BA -+ B ．12BC BA --C ．12BC BA -D ．12BC BA +【答案】A 【分析】由平面向量的基本定理，及向量的加减法，即可用基底表示出CD . 【详解】因为D 是ABC 的边AB 的中点，所以12CD CB BD BC BA =+=-+. 故选：A. 【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理，及加法和数乘，属于基础题.9．在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，则FC =（ ） A ．3142AB AD + B ．3142AB AD - C ．1324AB AD + D ．1324AB AD - 【答案】C 【分析】根据平面向量的基本定理、平面向量的共线定理、平面向量的加法的几何意义，结合已知和平行四边形的性质进行求解即可. 【详解】111111313()222222424FE EC AE BC AB BC BC AB B F C AB AD C =+=+=++=+=+故选：C 【点睛】本题考查了平面向量的基本定理、平面向量共线定理、平面向量的加法的几何意义，属于基础题.10．ABC ∆中所在的平面上的点D 满足2BD DC =，则AD =（ ）A ．3144AD AB AC =+ B ．1344AD AB AC =+ C ．2133AD AB AC =+D ．1233AD AB AC =+【答案】D 【分析】已知2BD DC =，由向量的减法可得()2AD AB AC AD -=-，再化简运算即可. 【详解】解：因为2BD DC =， 所以()2AD AB AC AD -=-， 所以1233AD AB AC =+， 故选：D ． 【点睛】本题考查了向量的减法，重点考查了向量的线性运算，属基础题.二、填空题11．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若125,3BC e DC e ==，则OC ＝________．(用12,e e 表示) 【答案】125322e e + 【分析】 根据OC ＝12AC ，利用向量的线性运算转化即可. 【详解】在矩形ABCD 中，因为O 是对角线的交点，所以OC ＝()()()121211115353222222AC AB AD DC BC e e e e =+=+=+=+, 故答案为：125322e e +.【点睛】本题考查平面向量的线性运算，较为容易.12．已知在ABC 中，点D ，E 分别在边上AB ，BC ，且AD DB =，2BE EC =，若(,)DE x AB y AC x y R =+∈，则x y +的值为__________. 【答案】12【分析】利用向量的线性运算和平面向量基本定理即可求解. 【详解】()212112323263DE BE BD BC BA AC AB AB AB AC =-=-=-+=-+， 因为(,)DE x AB y AC x y R =+∈， 所以16x =-，23y =，所以121632x y +=-+=，故答案为：1213．如图，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC 于点H ，M 为AH 的中点．若AM ＝λAB ＋μBC ，则λ＋μ＝________【答案】 23【分析】解直角三角形求得,BH BC 的长，根据12AM AH =，用,AB BC 表示AH ，由此得到AM 的表达式，从而求出,λμ的值，进而求得λμ+的值.【详解】.因为AB ＝2，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC ，所以BH ＝1.因为BC ＝3，所以BH ＝BC ． 因为点M 为AH 的中点，所以＝＝ (＋)＝＝＋，又＝λ＋μ，所以λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝.【点睛】本小题主要考查解平面向量的线性运算，考查平面向量的基本定理的运用，还考查了解直角三角形的知识.对于几何图形中的向量运算，往往转化为同一个基底的向量的线性和来表示，如本题中的AM 这个向量，就转化为了,AB BC 这两个向量的线性和的形式，根据平面向量的基本定理，这个形式是唯一的，由此可求得,λμ的值.14．如图，在ABC 中，13AN NC →→=，P 是BN 上的一点，若311AP AB AC m →→→=+，则实数m 的值为________.【答案】211【分析】解法1：先根据13AN NC →→=得到4AC AN →→=，从而可得3411AP AB N m A →→→=+，再根据三点共线定理，即可得到m 的值.解法2：根据图形和向量的转化用同一组基底AB AC →→，去表示AP →，根据图形可得：AP AB BP →→→=+，设BP BN λ→→=，通过向量线性运算可得：()14AP AB AC λλ→→→=-+，从而根据平面向量基本定理列方程组，解方程组得m 的值.【详解】解法1：因为13AN NC →→=，所以4AC AN →→=，又311AP AB AC m →→→=+， 所以3411AP AB N m A →→→=+ 因为点,,P B N 三点共线，所以3+4111m =， 解得：211m =. 解法2：因为AP AB BP →→→=+，设BP BN λ→→=， 所以AP AB BN λ→→→=+，因为13AN NC →→=，所以14AN AC →→=，又BN AN AB →→→=-，所以14BN AC AB →→→=-，所以()=4141AP AB AC AB AB AC λλλ→→→→→→⎛⎫=+-+ ⎝-⎪⎭，又311AP AB AC m →→→=+， 所以31114m λλ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 解得：8=11211m λ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以211m =. 故答案为：211.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算、三点共线定理，平面向量基本定理的运用，属于基础题.三、解答题15．如图，设OA a =，OB b =，又43AP AB =，试用a ，b 表示OP ．【答案】1433OP a b =-+. 【分析】利用向量加减法的三角形法则，数乘的定义求解． 【详解】 解：AP OP OA =-，AB OB OA =-由已知43AP AB =可得：4()3OP OA OB OA -=-，所以44143333OP OA OA OB a b =-+=-+， 故1433OP a b =-+．【点睛】本题考查了平面向量基本定理，考查了学生的运算能力，属于基础题． 16．在平行四边形ABCD 中，AB a =，AD b =.（1）如图①，如果E ，F 分别是BC ，DC 的中点，试用a ，b 分别表示BF ，DE ； （2）如图②，如果O 是AC 与BD 的交点，G 是DO 的中点，试用a ，b 表示AG.【答案】（1）12BF a b =-+ ，12DE a b =-；（2）1344AG a b =+. 【分析】(1)结合图形，由向量的加法运算可用基底表示出两向量.(2)结合图形由向量的减法运算用基底表示BD ，进而求出BG ，由向量的加法运算可求出AG . 【详解】解：（1）111222BF BC CF AD CD AD AB a b =+=+=-=-+， 1122DE DC CE AB AD a b =+=-=-.（2）BD AD AB b a =-=-，因为O 是BD 的中点，G 是DO 的中点， 所以()3344BG BD b a ==-，所以()313444AG AB BG a b a a b =+=+-=+.。
2023年高考数学二轮复习(新高考版)第1部分 专题突破 专题6 微重点17 抛物线的二级结论的应用
易错提醒
焦半径公式和焦点弦面积公式容易混淆，用时要注意使用 的条件；数形结合求解时，焦点弦的倾斜角可以为锐角、 直角或钝角，不能一律当成锐角而漏解.
跟踪演练1 (1)已知 A，B 是过抛物线 y2＝2px(p＞0)焦点 F 的直线与抛物线的
交点，O 是坐标原点，且满足A→B＝3F→B，S△OAB＝ 32|AB|，则|AB|的值为
A.2
B.2 6＋3
C.4
√D.3＋2 2
因为p＝2， 所以|A1F|＋|B1F|＝2p＝1， 所以 2|AF|＋|BF|＝(2|AF|＋|BF|)·|A1F|＋|B1F| ＝3＋2|B|AFF||＋||BAFF||≥3＋2 2|B|AFF||·||BAFF||＝3＋2 2，
当且仅当|BF|＝ 2|AF|时，等号成立，
ABB′A′的面积为
A.4 3
B.8 3
√C.16 3
D.32 3
12345678
不妨令直线l的倾斜角为θ，
则|AF|＝1－cpos
θ＝1－c3os
， θ
|BF|＝1＋cpos
θ＝1＋c3os
， θ
又|AF|＝3|BF|，∴1－c3os
θ＝3·1＋c3os
， θ
解得 cos θ＝12，
又 θ∈[0，π)，∴θ＝π3，
√B.34
C.43
D.3
如图，过点P作准线的垂线交于点H，
由抛物线的定义有|PF|＝|PH|＝m(m>0)，
过点Q作准线的垂线交于点E，则|EQ|＝|QF|， ∵P→M＝2F→P，∴|PM|＝2m， 根据△PHM∽△QEM，可得||PPMH||＝||QQME||＝12， ∴2|EQ|＝|QM|＝|FQ|＋3m. ∴|EQ|＝3m，即|FQ|＝3m， ∴||PFQQ||＝3m3＋m m＝34.
高中数学教师备课必备系列圆与方程：专题六 直线与圆
一、学习目的：1．理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．2．掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．3．了解二元一次不等式表示平面区域． 4．了解线性规划的意义，并会简单的应用． 5．了解解析几何的基本思想，了解坐标法．6．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程．二、教学过程：（Ⅰ）基础知识详析(一)直线的方程1．点斜式：)(11x x k y y -=-；2． 截距式：b kx y +=； 3．两点式：121121x x x x y y y y --=--；4． 截距式：1=+b ya x ； 5．一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0． (二)两条直线的位置关系两条直线1l ，2l 有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）．在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交．设直线1l ：y =1k x +1b ，直线2l ：y =2k x +2b ，则1l ∥2l 的充要条件是1k =2k ，且1b =2b ；1l ⊥2l 的充要条件是1k 2k =-1．(三)线性规划问题1．线性规划问题涉及如下概念：⑴存在一定的限制条件，这些约束条件如果由x 、y 的一次不等式（或方程）组成的不等式组来表示，称为线性约束条件．⑵都有一个目标要求，就是要求依赖于x 、y 的某个函数（称为目标函数）达到最大值或最小值．特殊地，若此函数是x 、y 的一次解析式，就称为线性目标函数．⑶求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题． ⑷满足线性约束条件的解（x ，y ）叫做可行解． ⑸所有可行解组成的集合，叫做可行域．⑹使目标函数取得最大值或最小值的可行解，叫做这个问题的最优解． 2．线性规划问题有以下基本定理：⑴ 一个线性规划问题，若有可行解，则可行域一定是一个凸多边形． ⑵ 凸多边形的顶点个数是有限的．⑶ 对于不是求最优整数解的线性规划问题，最优解一定在凸多边形的顶点中找到． 3．线性规划问题一般用图解法． (四)圆的有关问题 1．圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-（r ＞0），称为圆的标准方程，其圆心坐标为（a ，b ），半径为r ． 特别地，当圆心在原点（0，0），半径为r 时，圆的方程为222r y x =+． 2．圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x （F E D 422-+＞0）称为圆的一般方程，其圆心坐标为（2D -，2E -），半径为F E D r 42122-+=． 当F E D 422-+=0时，方程表示一个点（2D -，2E -）；当F E D 422-+＜0时，方程不表示任何图形． 3．圆的参数方程圆的普通方程与参数方程之间有如下关系： 222r y x =+ ⇔ cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩ （θ为参数）222)()(r b y a x =-+- ⇔ cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）（Ⅱ）高考数学直线与圆题选 一、选择题（共17题）1．（安徽卷）如果实数x y 、满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+≥+-01,01,01y x y y x 那么2x y -的最大值为A ．2B ．1C ．2-D ．3- 解：当直线2x y t -=过点(0，-1)时，t 最大，故选B ．2．（安徽卷）直线1x y +=与圆2220(0)x y ay a +-=>没有公共点，则a 的取值范围是A．1) B．11) C．(11) D．1) 解：由圆2220(0)x y ay a +-=>的圆心(0,)a 到直线1x y +=大于a ，且0a >，选A ． 3．（福建卷）已知两条直线2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直，则a 等于 A ．2 B ．1 C ．0 D ．1-解析：两条直线2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直，则(2)1a a +=-，∴ a =－1，选D ．4．（广东卷）在约束条件0024x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下，当35x ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是A ．[6,15]B ．[7,15]C ．[6,8]D ． [7,8]5．（湖北卷）已知平面区域D 由以(1,3),(5,2),(3,1)A B C 为顶点的三角形内部＆边界组成．若在区域D 上有无穷多个点(,)x y 可使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m =A ．－2B ．－1C ．1D ．4 解析：依题意，令z ＝0，可得直线x ＋my ＝0的斜率为－1m，结合可行域可知当直线x ＋my ＝0与直线AC 平行时，线段AC 上的任意一点都可使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，而直线AC 的斜率为－1，所以m ＝1，选C6．（湖南卷）若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线l :0ax by +=的距离为则直线l 的倾斜角的取值范围是 ( )A ．[,124ππ] B ．[5,1212ππ] C ．[,]63ππ D ．[0,]2π解析：圆0104422=---+y x y x 整理为222(2)(2)x y -+-=， ∴圆心坐标为(2，2)，半径为32，要求圆上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22，则圆心到直线的距离应小于等于2，∴2()4()1a ab b ++≤0，∴ 2()2ab--≤，()a k b=-，∴ 22k ≤l 的倾斜角的取值范围是]12512[ππ，，选B ． 7．（湖南卷）圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是A ．36B ． 18C ． 26D ． 258．（江苏卷）圆1)3()1(22=++-y x 的切线方程中有一个是 A ．x －y ＝0 B ．x ＋y ＝0 C ．x ＝0 D ．y ＝0【正确解答】直线ax+by=022(1)(1x y -+=与相切，1=，由排除法， 选C,本题也可数形结合，画出他们的图象自然会选C,用图象法解最省事．【解后反思】直线与圆相切可以有两种方式转化(1)几何条件:圆心到直线的距离等于半径(2)代数条件:直线与圆的方程组成方程组有唯一解,从而转化成判别式等于零来解．9．（全国卷I ）从圆222210x x y y -+-+=外一点()3,2P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为A ．12 B ．35 C．2D ．010．（山东卷）某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则z =10x +10y 的最大值是A ．80B ．85C ．90D ．95解：画出可行域：易得A （5．5，4．5）且当直线z ＝10x ＋10y 过A 点时， z 取得最大值，此时z ＝90，选C11．（山东卷）已知x 和y 是正整数，且满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤÷.72,2,10x y x y x 则x －2x ÷3y 的最小值A ．24B ．14C ．13D ．11．512．(陕西卷)设直线过点(0,a ),其斜率为1, 且与圆x 2+y 2=2相切,则a 的值为( ) A ．± 2 B ．±2 C ．±2 2 D ．±4解析：设直线过点(0，a )，其斜率为1， 且与圆x 2+y 2=2相切，设直线方程为y x a =+，圆心(0，0)道直线的距离等于半径2，∴=，∴ a 的值±2，选B ． 13．（四川卷）某厂生产甲产品每千克需用原料A 和原料B 分别为1a 、1b 千克，生产乙产品每千克需用原料A 和原料B 分别为2a 、2b 千克．甲、乙产品每千克可获利润分别为1d 、2d 元．月初一次性购进本月用原料A 、B 各1c 、2c 千克．要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大．在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x 千克、y 千克，月利润总额为z 元，那么，用于求使总利润12z d x d y =+最大的数学模型中，约束条件为A ．12112200a x a y c b x b y c x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩B ．11122200a x b y c a x b y c x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩C ．12112200a x a y c b x b y c x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩D ．12112200a x a y c b x b y c x y +=⎧⎪+=⎪⎨≥⎪⎪≥⎩解析：设全月生产甲、乙两种产品分别为x 千克，y 千克，月利润总额为z 元，那么，用于求使总利润12z d x d y =+最大的数学模型中，约束条件为12112200a x a y c b x b y c x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，选C ． 14．（天津卷）设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+≤632x y y x xy ，则目标函数y x z +=2的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．915．（浙江卷）在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+2,02,02x y x y x 表示的平面区域的面积是A ．24B ．4C ．22D ．2【考点分析】本题考查简单的线性规划的可行域、三角形的()0,2B 面积．解析：由题知可行域为ABC ∆， 42204=⨯-=∆ABC S ，故选择B ．16．(重庆卷)过坐标原点且与x 2+y 2 +4x +2y +25=0相切的直线的方程为 A ．y =-3x 或y =31x B ． y =-3x 或y =-31xC ．y =-3x 或y =-31xD ． y =3x 或y =31x17．(重庆卷)以点（2，－1）为圆心且与直线3450x y -+=相切的圆的方程为 A ．22(2)(1)3x y -++= B ．22(2)(1)3x y ++-= C ．22(2)(1)9x y -++= D ．22(2)(1)3x y ++-= 解：r＝3，故选C二、填空题（共18题）18．（北京卷）已知点(,)P x y 的坐标满足条件41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，点O 为坐标原点，那么||PO 的最小值等于_______,最大值等于____________．解：画出可行域，如图所示：易得A （2，2），OA＝（1，3），OBC （1，1），OC|OP|的最大值19．（福建卷）已知实数x 、y 满足1,1,y y x ≤⎧⎪⎨≥-⎪⎩则2x y +的最大值是____________．解析：已知实数x 、y 满足1,1,y y x ≤⎧⎪⎨≥-⎪⎩在坐标系中画出可行域，三个顶点分别是A(0，1)，B(1，0)，C(2，1)，∴ 2x y +的最大值是4．20．（湖北卷）已知直线5120x y a -+=与圆2220x x y -+=相切，则a 的值为 ．解：圆的方程可化为22(1)1x y -+=，所以圆心坐标为（1，0），半径为1，由已知可得|5|1|5|1313a a +=⇒+=，所以a 的值为－18或8． 21．（湖北卷）若直线y ＝kx ＋2与圆(x －2)2＋(y －3)2＝1有两个不同的交点，则k 的取值范围是 ．22．（湖南卷）已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是 ．解析：由⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+-≥022011y x y x x ，画出可行域，得交点A(1，2)，B(3，4)，则22y x +的最小值是5．23．（江苏卷）设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为【正确解答】 画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标函数z 最大值为1824．（江西卷）已知圆M ：（x ＋cos θ）2＋（y －sin θ）2＝1，直线l ：y ＝kx ，下面四个命题：A ．对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 相切；B ．对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点；C ．对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 与和圆M 相切D ．对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 与和圆M 相切 其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）25．（全国卷I ）设2z y x =-，式中变量x y 、满足下列条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-1232312y y x y x ，则z 的最大值为_____________．解析：在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是A(0，1)，B(7，1)，C(3，7)，在△ABC 中满足2z y x =-的最大值是点C ，代入得最大值等于11．26．（全国II ）过点（1，2）的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝ ．27．(上海卷)已知圆2x －4x －4＋2y ＝0的圆心是点P ，则点P 到直线x －y －1＝0的距离是 ．解：由已知得圆心为：(2,0)P，由点到直线距离公式得：d ； 28．(上海卷)已知两条直线12:330,:4610.l ax y l x y +-=+-=若12//l l ，则a =____． 解：两条直线12:330,:4610.l ax y l x y +-=+-=若12//l l ，233a -=-，则a =2． 29．(上海卷)已知实数,x y 满足3025000x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则2y x -的最大值是_________．解析：实数,x y 满足3025000x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，在坐标系中画出可行域，得三个交点为A(3，0)、B(5，0)、C(1，2)，则2y x -的最大值是0．30．（四川卷）设,x y 满足约束条件：112210x y x x y ≥⎧⎪⎪≥⎨⎪+≤⎪⎩，则2z x y =-的最小值为 ;解析：设,x y 满足约束条件：112210x y x x y ≥⎧⎪⎪≥⎨⎪+≤⎪⎩，在直角坐标系中画出可行域△ABC ，其中A(1，21)，B(1，8)，C(4，2)，所以2z x y =-的最小值为－6．31．（天津卷）设直线30ax y -+=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A 、B 两点，且弦AB的长为a =____________．32．（天津卷）若半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线(0)y x x =≥相切，则这个圆的方程为 ．解析：若半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线(0)3y x x =≥相切，则圆心在直线y=3x 上，且圆心的横坐标为1，所以纵坐标为3，这个圆的方程为22(1)(1x y -+=．33．(重庆卷)已知变量x ,y 满足约束条件1≤x+y ≤4,-2≤x-y ≤2．若目标函数z =ax +y (其中a ＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为___________．解析：变量,x y 满足约束条件14,2 2.x y x y ≤+≤-≤-≤ 在坐标系中画出可行域。
高中数学小问题集中营之高三：三角函数与解三角形：专题六 正弦定理、余弦定理与不等式(含答案解析)
正弦定理和余弦定理的应用除了解三角形外，还往往与基本不等式结合求面积范围、周长范围、角的范围以及求代数式的范围等，这些题目都是考生容易错解的地方，所以本节内容从这些难点内容出发，希望给学生带来启发.1. 基本不等式,)a b a b R ++≥∈，2()(,)4a b ab a b R +≤∈，222(,)a b ab a b R +≥∈，222a b ab +≤ (,)a b R ∈，222()22a b a b ++≥． 2. 正弦定理和余弦定理 略一、面积的范围问题例1在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()sin cos cos sin A B B A b a B++=．（1）求a ； （2）若1cos 3A =，求ABC ∆面积的最大值． 解：（1）原式化为22222222a c b b c a cabc abc a+-+-+=，解得1a =（2）因为1cos 3A =，所以222sin 13bc A b c =+-=，所以34bc ≤（当且仅当2b c ==，从而1sin 24ABC S bc A ∆=≤（当且仅当2b c ==，即ABC ∆面积的最大值为4． 【评注】解三角形问题是高考考查三角函数常见的题目，在解答次类题目的时候，主要是利用三个基础知识（正余弦定理、三角形面积公式、三角形内角和定理）和两种转化方式（角化边、边化角），所以解题时必须认真体会，灵活运用，尤其注意余弦定理中基本 不等式的应用。
二、周长的范围问题例2在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2c =，3C π=．（1）当2sin 2sin(2)sin A B C C ++=时，求ABC ∆的面积； （2）求ABC ∆周长的最大值； 解（1）由()2sin2sin2sin A B C C ++=得()()4sin cos sin sin A A B A A B +-=+得2sin cos sin cos A A B A =，当cos 0A =时，2A π=，3B π=，3a =3b =， 当cos 0A ≠时，sin 2sin B A =，由正弦定理2b a =，联立2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，解得a =b =故三角形的面积为1sin 23ABC S ab C ∆==；（2）由余弦定理及已知条件可得：224a b ab +-=，由22()()43434a b a b ab ++=+≤+得4a b +≤，故ABC ∆周长的最大值为6，当且仅当三角形为正三角形取到．【评注】除了利用余弦定理、基本不等式、方程与不等式思想外，还可以利用正弦定理将a 和b 用角A 、B 表示，利用消元思想，转化为三角函数求值域问题处理。
高中数学专题6.5三角函数的诱导公式(2个考点六大题型) 试卷及答案
专题6.5三角函数的诱导公式（2个考点六大题型）【题型1 诱导公式一】【题型2 诱导公式二、三、四】【题型3 诱导公式五、六】【题型4 诱导公式-恒等式的证明】【题型5 诱导公式-化简、求值】【题型6 正切函数的诱导公式】【题型1 诱导公式一】cos390=（D．-sin1080=)2820 1．（2023春·北京东城·高一北京市第一六六中学校考阶段练习）sin210=（ ）1210cos120tan 45+= 根据诱导公式，填适当的式子，使为第二象限角，且sin θcos165=（-24sin(α-是ABC的高一校考开学考试）已知ABC为锐角三角形，则下列不等关系中cos cosA>sin cosA>高一重庆市杨家坪中学校考阶段练习）（多选）已知cos2cos882sin47sin133+=；（cos5cos852sin50sin130+=． 根据以上恒等式，请你猜想出一个一般性的结论并证明． 秋·高一课时练习）求证：当2=或3时，tan(cos(2k 2π1203=πsin(2α-秋·高一课时练习）)tan2022,sin2022位于(2)若()0,πθ∈,且()25fθ=-,求cos sinθθ-的值．专题6.5三角函数的诱导公式（2个考点六大题型）【题型1 诱导公式一】【题型2 诱导公式二、三、四】【题型3 诱导公式五、六】【题型4 诱导公式-恒等式的证明】【题型5 诱导公式-化简、求值】【题型6 正切函数的诱导公式】【题型1 诱导公式一】cos390=（D．-()3cos390cos36030cos302=+==.辽宁葫芦岛·高一统考期末）17sin4π的值为（sin1080=.()sin1080sin33600sin00=⨯+==；cos高一课时练习）已知12cot5θ=-，且θ为第二象限角，．)2820)()32820sin 836060sin 602=-⨯+==.ππtan 144⎫==⎪⎭. ππ2⎫()1sin210sin 18030sin 302=+=-=-.高一校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，若角【详解】(sin πθ+的终边可能在第三或第四象限CD.2023春·吉林长春列结论正确的是（210cos120tan 45+= 【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值化简求值. ()()11sin 18030cos 18060210cos120sin 30cos 60221tan 45tan 45tan 451--++-+--====-. 故答案为：-12023春·福建福州·高二校考期末）根据诱导公式，填适当的式子，使 cosα=-cos165=（ 24- ()cos165cos 9075sin 75=+=-，则()75sin 3045sin30cos 45cos30sin 45=+=+1222=⨯+26cos165sin 754+︒=-︒=-． 故选：A ．是ABC的高一校考开学考试）已知ABC 为锐角三角形，则下列不等关系中cos cos A >sin cos A >【分析】因为ABC 为锐角三角形，所以π【详解】因为ABC 为锐角三角形，,,3πcos A >,4πcos A <π因为ABC 为锐角三角形，,2B π+>∴,02A π<<sin(2A π>cos2cos882sin47sin133+=；（cos5cos852sin50sin130+=． 根据以上恒等式，请你猜想出一个一般性的结论并证明． ()()()cos 90cos 2sin 45sin 135αααα-+=+-，证明见详解.【分析】观察结构猜想等式，利用三角恒等变换证明即可)()()cos 90cos 245sin 135αααα-+=+- 证明：由诱导公式可得()()()cos 90sin ,sin 135sin 45αααα-=-=+，)()()()90cos sin cos cos 2sin cos 45cos sin 4545sin 135sin 45ααααααααααα-+++===++-+ 秋·高一课时练习）求证：当2k =或3时，tan(π)tan(π)cos(2π)sin[(21)π]k k k k αααα-+=-++【答案】证明见解析【详解】(tan 3π+C.2023·全国·高三专题练习）已知 【答案】B2π1203=πsin(2α-ABD2π1203=πtan 4=cos α，所以【详解】(cos πα-)πsin α-=-AB.2023秋·广东河源3π⎫⎛）π6θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭所以，5π6fθ⎛+⎝故答案为：（1）1．（2022秋·甘肃兰州·高一校考期末）在平面直角坐标系中，点()tan2022,sin2022P 位于第（ ）象限 A ．一 B ．二 C ．三 D ．四【答案】D【分析】运用诱导公式计算出P 点坐标的符号就可判断出P 点所在的象限.【详解】()tan 2022tan 5360222tan 2220︒︒︒︒=⨯+=> ，()sin 2022sin 5360222sin 2220︒︒︒︒=⨯+=< ， ()tan 2022,sin 2022P ︒︒∴ 在第四象限；故选：D.2．（2022秋·江苏常州·高一常州高级中学校考期末）已知偶函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，若tan114a =︒，tan172b =︒，tan 287c =︒，则下列不等关系中正确的是（ ） A ．()()()f c f b f a >> B ．()()()f c f a f b >> C ．()()()f b f c f a >> D ．()()()f b f a f c >>【答案】D【分析】根据题意，由三角函数的诱导公式可得tan114tan 66a =︒=-︒，tan172tan8b =︒=-︒，tan 287tan107tan 73c =︒=︒=-︒，由正切函数的性质结合函数的奇偶性和单调性分析可得答案．，04π<-，而060<正确；23,cos π⎛⎫= ⎪3013π<<故选：ACD.4．（2023【答案】－【分析】利用诱导公式化简计算即可π25π5ππππcos tan sin πcos 32πtan π346346⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ πππ3232cos tan 3462234⎛⎫⎛⎫-=-⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 故答案为：24. 2021秋·北京通州·高一校考阶段练习）已知cos α是方程2320x x --=三象限角，求3sin α⎛-+ ⎝，2sin cos α+3cos 2sin 2ππα⎫⎛+⎪ ⎭⎝⎫⎛+⎪ ⎭⎝全国·高一专题练习）已知）()f θ=-cos θθ=-sin 0θθ-<sin θθ-=。
高中数学高考数学学习资料：专题6 第1讲 排列、组合、二项式定理
意图或列出表格，使问题形象化、直观化.
[联知识 1．排列数公式： Am n ＝n(n－1)„(n－m＋1)＝ 2．组合数公式：
串点成面]
n！ . n－m！
m nn－1„n－m＋1 n！ A n m Cn ＝ m＝ ＝ . Am m！ m！n－m！
3．组合数的性质：
m n－m m－1 m ①Cn ＝Cn ；②Cm n ＋Cn ＝Cn＋1.
[做考题
查漏补缺]
(2010· 四川高考)由1、2、3、4、5、6组成没有重复 数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是 A．72 C．108 B．96 D．144 ( )
[解析] 从 2,4,6 三个偶数中选一个数放在个位，有 C1 3种方法，将 其余两个偶数全排列，有 A2 2种排法，当 1,3 不相邻且不与 5 相邻
2 2 时有 A3 种方法， 当 1,3 相邻且不与 5 相邻时有 A A3种方法， 故满 3 2· 2 2 2 足题意的偶数个数有 C1 A2 (A3 A3)＝108 个． 3· 3＋A2·
[答案]
C
4．(2011· 临沂模拟)将5位志愿者分成3组，其中两组各2人， 另一组1人，分赴2011年深圳世界大学生运动会的三个 不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字
解析：依题意，就所剩余的一本画册进行分类计数：第一类，剩 余的是一本画册，此时满足题意的赠送方法共有 4 种；第二类，
2 剩余的是一本集邮册， 此时满足题意的赠送方法共有 C4 ＝6(种)． 因
此，满足题意的赠送方法共有 4＋6＝10(种)．
答案：B
[悟方法
触类旁通]
1．在应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步．每一 步当中又可能用到分类计数原理． 2．对于较复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当地列出示
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
目录
【解】 将 5 杯饮料编号为 1,2,3,4,5， 编号 1,2,3 表示 A 饮料， 编号 4,5 表示 B 饮料， 则从 5 杯饮料中选出 3 杯的所有可能情 况为(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)，(235)， (245)， (345)，可见共有 10 种． 令 D 表示此人被评为优秀的事件， E 表示此人被评为良好的 事件， F 表示此人被评为良好及以上的事件，则 1 (1)P(D)＝ . 10 3 7 (2)P(E)＝ ， P(F)＝ P(D)＋ P(E)＝ . 5 10
其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看
该体育节目时间的频率分布直方图：
目录
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育
迷”，已知“体育迷”中有10名女性． (1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否
认为“体育迷”与性别有关？
非体育迷 体育迷 合计
男
女 合计
目录
专题探究
专题1 概率
高考对概率的考查主要是古典概型，计算古典概型的关键是 求出基本事件的个数和随机事件所包含的基本事件的个数，
在求解这两个值时要根据问题的具体情况灵活处理．
目录
例1
(2011· 高考江西卷)某饮料公司对一名员工进行测试以
便确定其考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜
色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司
目录
专题2 概率与统计的综合问题
概率与统计的综合题一般是先给出样本数据或样本数据的分布 等，在解题中首先要处理好数据，如数据的个数、数据的分布 规律等，即把数据分析清楚，然后再根据题目的要求进行相关 的计算．
目录
例2
(2012· 高考辽宁卷)电视传媒公司为了解某地区观众对
某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，
专题六
概率与统计综合题的解答
本节目录
专 题 探 究 突 破 热 点
知 能 演 练 轻 松 闯 用意识的重要载体，也是高中数学
中占有课时最多的一个知识板块，已成为近几年新课标高考的
一大亮点和热点．它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分 体现了概率与统计的工具性和交汇性，而在知识的交汇处设计
目录
知能演练轻松闯关
目录
本部分内容讲解结束
按ESC键退出全屏播放
目录
目录
(2)将日均收看该体育节目不低于 50 分钟的观众称为“超级体 育迷”， 已知“超级体育迷”中有 2 名女性， 若从“超级体育 迷”中任意选取 2 人，求至少有 1 名女性观众的概率．
2 n ad － bc 附： K2＝ a＋b c＋da＋cb＋d
目录
【解】
(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体
目录
其中 ai 表示男性， i＝ 1,2,3， bj 表示女性， j＝1,2. Ω 由 10 个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等 可能的． 用 A 表示“任选 2 人中，至少有 1 人是女性”这一事件，则 A＝ {(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)， (b1， b2)}， 7 事件 A 由 7 个基本事件组成，因而 P(A)＝ . 10
育迷”有25人，从而完成2×2列联表如下： 非体育迷 男 女 合计 30 45 75 体育迷 15 10 25 合计 45 55 100
目录
将 2× 2 列联表中的数据代入公式计算，得 2 n ad － bc K2＝ a＋b c＋da＋ cb＋ d 100×30× 10－45× 15 2 100 ＝ ＝ ≈3.030. 33 75× 25×45× 55 因为 3.030<3.841，所以我们没有理由认为“体育迷”与性 别有关． (2)由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为 5 人，从而一 切可能结果所组成的基本事件空间为 Ω＝ {(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)， (a2， b2)，(a3，b1)， (a3， b2)，(b1， b2)}．
试题是高考命题的指导思想之一．该部分的命题点多，命题背
景广阔，命题具有很强的灵活性，但基本的态势还是相对固定 的，即统计以考查抽样方法、样本的频率分布、样本特征数的 计算为主，概率以考查概率计算为主，往往和实际问题相结 合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应 起来，只有这样才能有效地解决问题．高考试题中的概率与统 计解答题往往具有一定的综合性．