高考数学复习点拨：判断函数奇偶性的几种常见错误
函数的奇偶性与周期性高频考点+重点题型
专题07函数的奇偶性和周期性--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型一、关键能力在学习函数基本性质的过程中，学生能理解数学知识之间的联系，建构知识框架，形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，增强数学交流能力。
能够进一步提高数学运算能力，能有效借助运算方法解决实际问题，能够通过运算促进数学思维发展，养成程序化思考问题的习惯，形成一丝不苟、严谨求实的科学精神，在此过程中提高逻辑推理和数学运算能力。
二、教学建议教学中，要结合231,,,y x y x y x yx====等函数，了解函数奇偶性的概念、图象和性质，并能判断一些简单函数的奇偶性（对一般函数的奇偶性，不要做深入讨论）。
函数各种性质的综合常常是命制高考数学试题的重要出发点和落脚点，在复习函数性质时应注意到数形结合思想、分类讨论、由特殊到一般（由一般到特殊）等数学思想方法的灵活运用。
三、自主梳理1.函数的奇偶性2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.3.奇偶性常见结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.4.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).(2)若f (x ＋a )＝1f （x ），则T ＝2a (a >0). (3)若f (x ＋a )＝－1f （x ），则T ＝2a (a >0).5.对称性的三个常用结论(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称.(2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称.(3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b ，0)中心对称. 四、真题感悟1.（2021新高考1卷） 已知函数()()322x xx a f x -=⋅-是偶函数，则a =______.2.（2021全国乙卷理）设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. ()11f x -- B. ()11f x -+ C. ()11f x +- D. ()11f x ++ 3.（2021全国甲卷理） 设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A. 94-B. 32-C.74 D.524（2021浙江卷）. 已知函数21(),()sin 4f x xg x x =+=，则图象为如图的函数可能是（ ）A. 1()()4y f x g x =+- B. 1()()4y f x g x =-- C. ()()y f x g x =D. ()()g x y f x =5.（2020山东8）若定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞单调递减，且(2)0f =，则满足(1)0xf x -≥的x 的取值范围是 （ ）A ．[][)1,13,-+∞B ．[][]3,10,1--C ．[][)1,01,-+∞D ．[][]1,01,3-6.(2018全国卷Ⅱ)已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)-=+f x f x ． 若(1)2=f ，则(1)(2)(3)(50)++++=…f f f fA ．50-B ．0C ．2D ．50五、高频考点+重点题型 考点一、奇偶性的判定例1．下列四个函数中既是奇函数，又是增函数的是（ ） A ．()ln xf x x=B ．32()f x x x =+C ．()||f x x x =-D ．)()lgf x x =-对点训练1.（2021·四川成都市·石室中学高二期中（理））已知函数()2xxf x e ex -=--，若不等式()()2120f ax f ax +-≥对x R ∀∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]0,eB ．[]0,eC ．(]0,1D ．[]0,1对点训练2.【2020年高考浙江】函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]上的图象可能是对点训练3.(2021·湖北省丹江口市一中模拟)设f (x )＝e x ＋e －x ，g (x )＝e x －e －x ，f (x )，g (x )的定义域均为R ，下列结论错误的是( )A ．|g (x )|是偶函数B ．f (x )g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是偶函数D ．f (x )＋g (x )是奇函数4.【2020·全国Ⅱ卷】设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x ) A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减 C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增 D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减考点二、利用奇偶性求解析式例2.（1）(2019·全国卷Ⅱ)设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x <0时，f (x )＝( )A ．e －x －1 B ．e －x ＋1 C ．－e －x －1 D ．－e －x ＋1（2）（2019·北京高考真题（理））设函数f （x ）=e x +a e −x （a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则f （x ）=________对点训练1.设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，22()log (1)1f x x ax a =++-+(a 为常数)，则不等式(35)2f x +>-的解集为（ ） A ．(),1-∞-B ．()1,+-∞C ．(),2-∞-D ．()2,+-∞对点训练2．设奇函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，且f （1）0=，则不等式()()f x f x x--<的解集为( )A ．(1-，0)(1⋃，)+∞B ．(-∞，1)(0-⋃，1)C ．(-∞，1)(1-⋃，)+∞D ．(1-，0)(0⋃，1)考点三、利用奇偶性画函数图像例3. 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2－5x ，则不等式f (x －1)>f (x )的解集为________．对点训练1．（2019·全国高考真题（理））函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．C ．D ．对点训练2．（2021·安徽池州市·池州一中高三其他模拟（理））若定义在R 上的奇函数()f x 在()0,∞+上单调递增，且()20f =，则不等式()10xf x -≤的解集为（ ）A ．(][),13,-∞-+∞B ．(][],11,3-∞-C ．[][]1,01,3-D ．[][)1,03,-+∞考点四、周期性判定与作用 例4．（1）已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且当x ∈(2，4)时，f (x )＝x 3－3x ，则f (2 021)等于( )A. 2B. －18C. 18D. －2（2）设f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则当x ∈[1，2]时，f (x )＝________． 对点训练1.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，满足()()2f x f x +=，当[]0,1x ∈时，()πcos2f x x =，则函数()y f x x =-的零点个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5对点训练2.已知定义域为R 的函数()f x 满足：①图象关于原点对称；②3()2f x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭；③当30,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2()log (1)f x x m =++.若2(2020)log 3f =，则m =（ ） A ．1-B ．1C ．2-D ．2对点训练3．（2021·江苏南通市·高三一模）已知()f x 是定义在R 上的函数，()22f =，且对任意的x ∈R ，都有()()33f x f x +≥+，()()11f x f x +≤+，若()()1g x f x x =+-，则()2020g =（ ）A ．2020B ．3C ．2D ．1考点五、函数的奇偶性、周期性、单调性综合应用例5（1）定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f (－x )，且f (x )＝f (x ＋6)，当x ∈[0，3]时，f (x )单调递增，则f (x )在下列哪个区间上单调递减( )A ．[3，7]B ．[4，5]C ．[5，8]D ．[6，10] （2）已知函数f (x )＝e x －1－e －x ＋1，则下列说法正确的是( )A ．函数f (x )的最小正周期是1B ．函数f (x )是单调递减函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝1轴对称D ．函数f (x )的图象关于(1，0)中心对称 对点训练1．（多选题）（2020·全国高考真题（理））关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题：A 、f （x ）的图象关于y 轴对称．B 、f （x ）的图象关于原点对称．C 、f （x ）的图象关于直线x =2π对称． D 、f （x ）的最小值为2． 其中所有真命题的是（ ）．对点训练2.函数()2cos x x xf x -=的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．对点训练3.(2021·河北模拟)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且在[－1,0]上单调递减．设a ＝f (－2.8)，b ＝f (－1.6)，c ＝f (0.5)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．b >c >aD ．a >c >b 巩固训练一、单项选择题1．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A ．y ＝1＋x 2B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x ＋12x D ．y ＝x ＋e x ．2．若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4) 的值是（ ） A. 1- B. 0 C. 1 D. 3．3．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是（ ） A. 1- B.13C. 0D. 3． 4．已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于________． 5．已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是（ ）A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1)C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1)D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0) 6．设定义在R 上的函数f (x )满足f (x )·f (x ＋2)＝13，若f (1)＝2，则f (99)＝________． A. 1 B. 2 C. 0 D. 132． 二、多项选择题7．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝－f (x )，且函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －34为奇函数，则以下结论正确的是（ ）A ．函数f (x )是周期函数；B ．函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－34，0对称； C ．函数f (x )为R 上的偶函数； D ．函数f (x )为R 上的单调函数．8．已知f (x )是定义域为R 的奇函数，且函数f (x ＋2)为偶函数，则下列结论正确的是( ) A ．函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称 B ．f (4)＝0C ．f (x ＋8)＝f (x )D ．若f (－5)＝－1，则f (2019)＝－1 三、填空题9．设奇函数f (x )的定义域为R ，最小正周期T ＝3，若f (1)≥1，f (2)＝2a －3a ＋1，则a 的取值范围是________．10．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R ．若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________． 四、解答题11．设f (x )＝e x ＋a e －x (a ∈R ，x ∈R )． (1)讨论函数g (x )＝xf (x )的奇偶性；(2)若g (x )是偶函数，解不等式f (x 2－2)≤f (x )．12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．专题07函数的奇偶性和周期性--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型解析 四、真题感悟1.（2021新高考1卷） 已知函数()()322x xx a f x -=⋅-是偶函数，则a =______.【答案】1 【解析】【分析】利用偶函数的定义可求参数a 的值.【详解】因为()()322x x x a f x -=⋅-，故()()322x x f x x a --=-⋅-，因为()f x 为偶函数，故()()f x f x -=， 时()()332222xx x x xa x a --⋅-=-⋅-，整理得到()()12+2=0x x a --，故1a =， 故答案为：12.（2021全国乙卷理）设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. ()11f x -- B. ()11f x -+ C. ()11f x +- D. ()11f x ++ 【答案】B【解析】由题意可得12()111x f x x x-==-+++， 对于A ，()2112f x x--=-不是奇函数； 对于B ，()211f x x-=+是奇函数； 对于C ，()21122f x x +-=-+，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D ，()2112f x x ++=+，定义域不关于原点对称，不是奇函数. 故选：B3.（2021全国甲卷理） 设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A. 94-B. 32-C.74 D.52【答案】D 【解析】通过()1f x +是奇函数和()2f x +是偶函数条件，可以确定出函数解析式()222f x x =-+，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．【详解】因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+Ⅱ；因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+Ⅱ．令1x =，由Ⅱ得：()()()024f f a b =-=-+，由Ⅱ得：()()31f f a b ==+， 因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由Ⅱ得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路一：从定义入手．9551222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1335112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 511322=2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以935222f f ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数()f x 的周期4T=．所以91352222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：D ．4（2021浙江卷）. 已知函数21(),()sin 4f x xg x x =+=，则图象为如图的函数可能是（ ）A. 1()()4y f x g x =+- B. 1()()4y f x g x =-- C. ()()y f x g x = D. ()()g x y f x =【答案】D 【解析】【分析】由函数的奇偶性可排除A 、B ，结合导数判断函数的单调性可判断C ，即可得解. 【详解】对于A ，()()21sin 4y f x g x x x =+-=+，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A ；对于B ，()()21sin 4y f x g x x x =--=-，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B ；对于C ，()()21sin 4y f x g x x x ⎛⎫==+⎪⎝⎭，则212sin cos 4y x x x x ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭，当4x π=时，2102164y ππ⎛⎫'=++> ⎪⎝⎭，与图象不符，排除C. 故选：D.5.（2020山东8）若定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞单调递减，且(2)0f =，则满足(1)0xf x -≥的x 的取值范围是（ ）A ．[][)1,13,-+∞B ．[][]3,10,1--C ．[][)1,01,-+∞D ．[][]1,01,3-【答案】D【解析】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =， 所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =， 所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得：021012x x x <⎧⎨-≤-≤-≥⎩或或001212x x x >⎧⎨≤-≤-≤-⎩或或0x =解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[][]1,01,3-，故选D ．6.(2018全国卷Ⅱ)已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)-=+f x f x ． 若(1)2=f ，则(1)(2)(3)(50)++++=…f f f fA ．50-B ．0C ．2D ．50【答案】C【解析】∵()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，()()-=-f x f x ．且(0)0=f ．∵(1)(1)-=+f x f x ，∴()(2)=-f x f x ，()(2)-=+f x f x ，∴(2)()+=-f x f x ，∴(4)(2)()+=-+=f x f x f x ，∴()f x 是周期函数，且一个周期为4，∴(4)(0)0==f f ，(2)(11)(11)(0)0=+=-==f f f f ，(3)(12)f f =+ =(12)(1)2f f -=-=-，∴(1)(2)(3)(50)120(49)(50)(1)(2)2+++⋅⋅⋅+=⨯++=+=f f f f f f f f ，故选C ．五、高频考点+重点题型 考点一、奇偶性的判定例1．下列四个函数中既是奇函数，又是增函数的是（ ） A ．()ln xf x x=B ．32()f x x x =+C ．()||f x x x =-D ．)()lgf x x =-【答案】D 【详解】对于A ，定义域为()0,∞+，不关于原点对称，所以不具奇偶性，故A 错误； 对于B ，因为()12f =，()10f -=，所以()f x 为非奇非偶函数，故B 错误； 对于C ，因为()11f =-，()11f -=，所以()f x 不是增函数，故C 错误；对于D ，定义域为R ， 因为()))()lglg lg f x x x f x ⎛⎫-===--=，所以()f x 是奇函数，))()lglgf x x x =-=，令x μ=为增函数，lg y μ=也是增函数，所以)()lg f x x =-是增函数.故D 正确. 故选：D.对点训练1.（2021·四川成都市·石室中学高二期中（理））已知函数()2xxf x e ex -=--，若不等式()()2120f ax f ax +-≥对x R ∀∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]0,eB ．[]0,eC ．(]0,1D ．[]0,1答案：D 解：()2x x f x e e x -=--的定义域为R 关于原点对称，且()()2xx f x e e x f x --=-+=-，()f x ∴为R 上的奇函数，又()12x xf x e e '=+-，而12x x e e +≥， 当且仅当1xx e e =，即0x =时等号成立， 故()120xx f x e e'=+-≥恒成立，故()f x 为R 上的增函数，不等式()()2120f ax f ax +-≥对x R ∀∈恒成立，即()()212f ax f ax ≥--对x R ∀∈恒成立， 即()()221f ax f ax ≥-对x R ∀∈恒成立，即221ax ax ≥-对x R ∀∈恒成立， 即2210ax ax -+≥对x R ∀∈恒成立， 当0a =时，不等式恒成立，当0a ≠时，则()20240a a a >⎧⎪⎨∆=--≤⎪⎩ ， 解得：01a <≤， 综上所述：[]0,1a ∈. 故选：D.对点训练2.【2020年高考浙江】函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]上的图象可能是【答案】A【解析】因为()cos sin f x x x x =+，则()()cos sin f x x x x f x -=--=-， 即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称， 据此可知选项CD 错误；且x π=时，cos sin 0y ππππ=+=-<，据此可知选项B 错误，故选A 。
高考数学必考知识点总结_数学知识点总结
高考数学必考知识点总结_数学知识点总结2022高考数学必考知识点第一、高考数学中有函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、立体几何等九大章节。
主要是考函数和导数，这是我们整个高中阶段里最核心的板块，在这个板块里，重点考察两个方面：第一个函数的性质，包括函数的单调性、奇偶性;第二是函数的解答题，重点考察的是二次函数和高次函数，分函数和它的一些分布问题，但是这个分布重点还包含两个分析就是二次方程的分布的问题，这是第一个板块。
第二、平面向量和三角函数。
重点考察三个方面：一个是划减与求值，第一，重点掌握公式，重点掌握五组基本公式。
第二，是三角函数的图像和性质，这里重点掌握正弦函数和余弦函数的性质，第三，正弦定理和余弦定理来解三角形。
难度比较小。
第三、数列。
数列这个板块，重点考两个方面：一个通项;一个是求和。
第四、空间向量和立体几何，在里面重点考察两个方面：一个是证明;一个是计算。
第五、概率和统计。
这一板块主要是属于数学应用问题的范畴，当然应该掌握下面几个方面，第一……等可能的概率，第二………事件，第三是独立事件，还有独立重复事件发生的概率。
第六、解析几何。
这是我们比较头疼的问题，是整个试卷里难度比较大，计算量的题，当然这一类题，我总结下面五类常考的题型，包括：第一类所讲的直线和曲线的位置关系，这是考试最多的内容。
考生应该掌握它的通法;第二类我们所讲的动点问题;第三类是弦长问题;第四类是对称问题，这也是2008年高考已经考过的一点;第五类重点问题，这类题时往往觉得有思路，但是没有答案，当然这里我相等的是，这道题尽管计算量很大，但是造成计算量大的原因，往往有这个原因，我们所选方法不是很恰当，因此，在这一章里我们要掌握比较好的算法，来提高我们做题的准确度，这是我们所讲的第六大板块。
第七、押轴题。
考生在备考复习时，应该重点不等式计算的方法，虽然说难度比较大，我建议考生，采取分部得分整个试卷不要留空白。
这是高考所考的七大板块核心的考点。
2-5高三复习周精讲精练-函数的奇偶性与周期性
• 周期性是函数的重要性质之一，常与函数
的奇偶性、对称性综合在一起.牢牢把握 周期性定义，掌握一些常见的结论是解决 问题的关系. • 【例2】 已知函数f(x)的定义域为R，且 满足f(x＋2)＝－f(x). • (1)求证：f(x)是周期函数； 1
(2)若 f(x)为奇函数，且当 0≤x≤1 时，f(x)＝2x，求使 1 f(x)＝－2的所有 x.
规律总结：常用结论：(1)函数 f(x)对于定义域中的任 意 x，都有 f(x＋T)＝－f(x)(T 为常数)，则 f(x)是以 2T 为周 期的周期函数； 1 (2)函数 f(x)对于定义域中的任意 x， 都有 f(x＋T)＝f(x)(T 为常数)，则 f(x)是以 2T 为周期的周期函数；
• (3)函数f(x)对于定义域中的任意x，都有
• (1)只是奇函数； • (2)只是偶函数； • (3)既是奇函数又是偶函数； • (4)非奇非偶函数. • 提醒 • (1)讨论函数的奇偶性时易忽视对定义域
的确定； • (2)分段函数的奇偶性判定往往只讨论一 部分后便作出判断，而忽视定义域内其他 部分而致错.
下列命题 1－x2 ①f(x)＝x· 是偶函数； |x＋2|－2 ②f(x)＝|x－a|－|x＋a|既是奇函数又是偶函数； x2＋2x＋3(x<0) 是偶函数； ③f(x)＝0(x＝0) －x2＋2x－3(x>0) 1－cosx＋sinx ④f(x)＝ 是非奇非偶函数. 1＋cosx＋sinx
• 其中正确命题的序号是
1－x2 ∴f(x)＝x· ＝ 1－x2， x＋2－2 又 f(－x)＝ 1－(－x)2＝ 1－x2＝f(x)， ∴f(x)是偶函数.
.
解析：①∵f(x)的定义域为 x∈［－1,0)∪(0,1］ ，
高考数学科目最容易出错的知识点
高考数学科目最容易出错的知识点x高考数学科目易错知识点数学是所有科学的基础。
数学网推荐了高考数学科目容易出错的知识点。
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集合和简单逻辑1.遗忘空集合导致的错误错误分析：因为空集是任何非空集的适当子集，对于集合B，有三种情况：B=A，B，B，如果在解题时考虑不够仔细，可能会忽略B的这种情况，导致解题结果错误。
特别是在求解带参数的集合问题时，更要注意当参数在一定范围内时，给定集合可能为空的情况。
空集是一种特殊的集合。
由于思维定势，考生在解题时往往会忘记这一套，导致解题错误或不完整。
2.忽略集合元素的三个特征会导致错误。
错误分析：一个集合中的元素是确定的、无序的、相互不同的。
集合元素的三个性质中，互差对解题影响很大，尤其是带字母参数的集合，实际上隐含了对字母参数的一些要求。
解题时也可以先确定字母参数的范围，再具体解题。
3.四个命题的结构不明，造成错误。
错误分析：如果原命题是如果a是b，那么这个命题的逆命题是如果b是a，无命题是如果A那么B，而逆无命题是如果B那么a。
有两组等价命题，即原命题与其逆无命题等价，反无命题与其逆命题等价。
在求解一个命题所写的其他形式的命题时，必须搞清楚四个命题的结构及其等价关系。
另外，在否定一个命题时，要注意全称命题的否定是一个特殊命题，而特殊命题的否定是一个全称命题。
如果a和b是偶数，那么否定应该是a和b不是偶数，而不是a和b是奇数。
4.充分必要条件颠倒引起的误差错误分析：对于A和B两个条件，如果A=B成立，那么A是B and B的充分条件是A的必要条件；如果B=A成立，那么A是B的必要条件，B是A的充分条件；如果是AB，那么a和b是相互充分必要条件。
在解决问题时，X因为颠倒了充分性和必要性而容易出错，所以在解决这类问题时，需要根据充分必要条件的概念做出准确的判断。
5.不允许对逻辑连词有误解错误分析：用逻辑连词判断命题时，由于理解不准确，容易出错。
下面我们给出一些常见的判断方法，希望对大家有所帮助：P=p真或q真，P=p假和q假(总结为一真一真)；Pq真，p真和q真，Pq假p假或q假(总结为一个假或假)；p真p假，p假p真(概括为一真一假)。
函数的奇偶性的判断及其应用-学会解题之高三数学多题一解【解析版】
函数的奇偶性的判断及其应用【高考地位】函数的奇偶性是函数的一个重要性质，几乎是每年必考的内容，例如判断和证明函数的奇偶性，利用函数的奇偶性解决实际问题．类型一 函数奇偶性的判断万能模板 内 容使用场景 一般函数类型解题模板第一步 确定函数的定义域；第二步 判断其定义域是否关于原点对称；第三步 若是，则确定()f x 与()f x -的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数； 第四步 得出结论.例1 判断下列函数的奇偶性：(1) 22()99f x x x =--(2) 1()(1)1x f x x x -=++(3)24()33x f x x -=+-.【解析】（1）第一步，确定函数的定义域：由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-090922x x 得3±=x ，所以函数的定义域为{}33，- 第二步，判断其定义域是否关于原点对称：因为函数的定义域为{}33，-，所以定义域关于原点对称 第三步，若是，则确定()f x 与()f x -的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数；()()()()x f x x x x x f =-+-=--+--=-99992222第四步，得出结论. 所以函数为偶函数。
（2）第一步，确定函数的定义域： 由不等式011≥+-xx得11≤<-x ，所以函数的定义域为(]11，- 第二步，判断其定义域是否关于原点对称：因为函数的定义域为(]11，-，所以定义域不关于原点对称第三步，得出结论.所以函数既不是奇函数也不是偶函数；。
（3）第一步，确定函数的定义域：由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≠-+≥-033042x x 得02<≤-x 或20≤<x ，所以函数的定义域为[)⋃-02，或(]20， 第二步，判断其定义域是否关于原点对称：因为函数的定义域为[)⋃-02，或(]20，，所以定义域关于原点对称 第三步，若是，则确定()f x 与()f x -的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数；()()()x f xx x x x f -=--=---=-2244第四步，得出结论. 所以函数为奇函数。
函数的奇偶性、周期性与对称性-高考数学复习
法二
− −1
因为 f （ x ）是偶函数，所以 f （1）－ f （－1）＝ － −
−1
−1
− −1
＝
＝0，所以 a －1＝1，所以 a ＝2.故选D.
−1
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高中总复习·数学
解题技法
利用函数的奇偶性求参数值的解题策略
目录
高中总复习·数学
考向3 利用奇偶性求解析式及函数值
【例3】 （1）已知偶函数 f （ x ），当 x ∈[0，2）时， f （ x ）＝2
π
sin x ，当 x ∈[2，＋∞）时， f （ x ）＝log2 x ，则 f （－ ）＋ f （4）
3
＝（
）
B. 1
D. 3
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高中总复习·数学
解析：∵函数 f （ x ）是偶函数，当 x ∈[0，2）时， f （ x ）＝2 sin
所以 f （ x ）既是奇函数又是偶函数.
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高中总复习·数学
（3） f （ x ）＝
36− 2
｜+3|−3
解：由 f （ x ）＝
；
36− 2
｜+3|−3
，可得
36 − 2 ≥ 0，
−6 ≤ ≤ 6，
⇒ቊ
故函数 f （ x ）的定义域为
൝
｜ + 3| − 3 ≠ 0 ≠ 0且 ≠ −6，
1（符合题意）.故选A.
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高中总复习·数学
2. （多选）下列函数中为非奇非偶函数的是（
）
A. y ＝ x ＋e x
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高中总复习·数学
解析：
记 f （ x ）＝ x ＋e x ，则 f （－1）＝－1＋e－1， f （1）＝
2023年高考数学填选压轴题专题03 函数的奇偶性、对称性、周期性
专题03 函数的奇偶性、对称性、周期性【方法点拨】1.常见的与周期函数有关的结论如下：(1)如果f (x ＋a )＝－f (x )(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a . (2)如果f (x ＋a )＝1f （x ）(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a . (3)如果f (x ＋a )＋f (x )＝c (a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a . 2.函数奇偶性、对称性间关系：(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，即f (a ＋x )＝f (a －x )恒成立，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称；一般的，若f (a ＋x )＝f (b －x )恒成立，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称．(2)若函数y ＝f (x ＋a )是奇函数，即f (－x ＋a )＋f (x ＋a )＝0恒成立，则函数y ＝f (x )关于点(a ，0)中心对称；一般的，若对于R 上的任意x 都有f (a ＋x )＋f (a －x )＝2b 恒成立，则y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )对称. 3. 函数对称性、周期性间关系：若函数有多重对称性，则该函数具有周期性且最小正周期为相邻对称轴距离的2倍，为相邻对称中心距离的2倍，为对称轴与其相邻对称中心距离的4倍．(注：如果遇到抽象函数给出类似性质，可以联想y ＝sin x ，y ＝cos x 的对称轴、对称中心和周期之间的关系)4. 善于发现函数的对称性（中心对称、轴对称），有时需将对称性与函数的奇偶性相互转化.【典型题示例】例1 （2022·全国乙·理·T12） 已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5f x g x +-=，()(4)7g x f x --=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则221()k f k ==∑（ ）A. 21-B. 22-C. 23-D.24-【答案】D【分析】根据对称性和已知条件得到()(2)2f x f x +-=-，从而得到()()()352110f f f +++=-，()()()462210f f f +++=-，然后根据条件得到(2)f 的值，再由题意得到()36g =从而得到()1f 的值即可求解.【解析】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称， 所以()()22g x g x -=+，因为()(4)7g x f x --=，所以(2)(2)7g x f x +--=，即(2)7(2)g x f x +=+-， 因为()(2)5f x g x +-=，所以()(2)5f x g x ++=， 代入得[]()7(2)5f x f x ++-=，即()(2)2f x f x +-=-， 所以()()()()35212510f f f +++=-⨯=-，()()()()46222510f f f +++=-⨯=-.因为()(2)5f x g x +-=，所以(0)(2)5f g +=，即()01f =，所以()(2)203f f =--=-.因为()(4)7g x f x --=，所以(4)()7g x f x +-=，又因为()(2)5f x g x +-=， 联立得，()()2412g x g x -++=，所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称，因为函数()g x 的定义域为R ， 所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=，所以()()1531f g =-=-.所以()()()()()2211235(1)2k f f f f f f k =⎡⎤++++++⎣⎦=∑()()()4622f f f ⎡⎤+++⎣⎦13101024=----=-.故选：D例2 （2022·新高考Ⅱ卷·T8） 若函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（ ）A. 3-B. 2-C. 0D. 1【答案】A【分析】根据题意赋值即可知函数()f x 的一个周期为6，求出函数一个周期中的()()()1,2,,6f f f 的值，即可解出．【解析】因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=， 令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =， 令0x =可得，()()()2f y f y f y +-=，即()()f y f y =-， 所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++-==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=--，()()14f x f x -=--， 故()()24f x f x +=-，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =-=-=-，()()()321112f f f =-=--=-，()()()4221f f f =-==-，()()()5111f f f =-==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++=．由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．例3 （2021·新高考全国Ⅱ卷·8）已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，()21f x +为奇函数，则（ ）A. 102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B. ()10f -=C. ()20f =D.()40f =【答案】B【分析】推导出函数()f x 是以4为周期的周期函数，由已知条件得出()10f =，结合已知条件可得出结论.【解析】因为函数()2f x +为偶函数，则()()22f x f x +=-，可得()()31f x f x +=-，因为函数()21f x +为奇函数，则()()1221f x f x -=-+，所以，()()11f x f x -=-+， 所以，()()()311f x f x f x +=-+=-，即()()4f x f x =+， 故函数()f x 是以4为周期的周期函数，因为函数()()21F x f x =+为奇函数，则()()010F f ==， 故()()110f f -=-=，其它三个选项未知. 故选：B.例4 （2021·全国甲卷·理·12）设函数()f x 的定义域为R ，()1fx +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫=⎪⎝⎭（ ） A. 94-B. 32-C.74 D.52【答案】D 【分析】通过()1f x +是奇函数和()2f x +是偶函数条件，可以确定出函数解析式()222f x x =-+，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．【解析】因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①；因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+， 因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路一：从定义入手．9551222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1335112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭511322=2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以935222f f ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数()f x 的周期4T =．所以91352222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选：D ．例5 已知函数f (x )对任意的x ∈R ，都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12－x ，函数f (x ＋1)是奇函数，当－12≤x ≤12时，f (x )＝2x ，则方程f (x )＝－12在区间[－3,5]内的所有根之和为________. 【答案】4【分析】由f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12－x 对任意的x ∈R 恒成立，得f (x )关于直线x ＝12＝＝，由函数 f (x ＋1)是奇函数，f (x )关于点（1,0）中心＝＝，根据函数对称性、周期性间关系，知函数f (x )＝＝＝＝2，＝＝＝＝f (x )＝＝＝即可.【解析】＝＝＝＝f (x ＝1)＝＝＝＝＝＝＝f (＝x ＝1)＝＝f (x ＝1)＝＝＝＝f ⎝⎛⎭⎫12＝x ＝ f ⎝⎛⎭⎫12＝x ＝＝＝f (1＝x )＝f (x )＝＝＝f (x ＝1)＝＝f (x )＝＝f (x ＝2)＝＝f (x ＝1)＝f (x )＝ ＝＝ ＝＝f (x )＝＝＝＝2＝＝＝＝＝＝＝＝x ＝12＝＝＝＝＝＝＝f (x )＝＝＝＝＝＝＝＝由图象可得 f (x )＝－12在区间[－3,5]内有8个零点，且所有根之和为12×2×4＝4. 例6 已知函数()y f x =是R 上的奇函数，对任意x R ∈，都有(2)()f x f x f -=+（2）成立，当1x ，2[0x ∈，1]，且22x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-，则下列结论正确的有( )A ．f （1）f +（2）f +（3）(2019)0f +⋯+=B ．直线5x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴C ．函数()y f x =在[7-，7]上有5个零点D ．函数()y f x =在[7-，5]-上为减函数【分析】根据题意，利用特殊值法求出f （2）的值，进而分析可得1x =是函数()f x 的一条对称轴，函数()f x 是周期为4的周期函数和()f x 在区间[1-，1]上为增函数，据此分析选项即可得答案．【解答】解：根据题意，函数()y f x =是R 上的奇函数，则(0)0f =；对任意x R ∈，都有(2)()f x f x f -=+（2）成立，当2x =时，有(0)2f f =（2）0=，则有f （2）0=，则有(2)()f x f x -=，即1x =是函数()f x 的一条对称轴；又由()f x 为奇函数，则(2)()f x f x -=--，变形可得(2)()f x f x +=-，则有(4)(2)()f x f x f x +=-+=，故函数()f x 是周期为4的周期函数， 当1x ，2[0x ∈，1]，且22x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-，则函数()f x 在区间[0，1]上为增函数，又由()y f x =是R 上的奇函数，则()f x 在区间[1-，1]上为增函数； 据此分析选项：对于A ，(2)()f x f x +=-，则f （1）f +（2）f +（3）f +（4）[f =（1）f +（3）][f + （2）f +（4）]0=，f （1）f +（2）f +（3）(2019)504[f f +⋯+=⨯（1）f +（2）f +（3）f +（4）]f +（1）f +（2）+（3）f =（2）0=，A 正确；对于B ，1x =是函数()f x 的一条对称轴，且函数()f x 是周期为4的周期函数，则5x = 是函数()f x 的一条对称轴，又由函数为奇函数，则直线5x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴，B 正确； 对于C ，函数()y f x =在[7-，7]上有7个零点：分别为6-，4-，2-，0，2，4，6；C 错误；对于D ，()f x 在区间[1-，1]上为增函数且其周期为4，函数()y f x =在[5-，3]-上为增函数，又由5x =-为函数()f x 图象的一条对称轴，则函数()y f x =在[7-，5]-上为减函数，D正确； 故选：ABD ． 例7 已知函数()111123f x x x x =++---，()2g x x =-，则关于x 的方程()()f x g x =的实数根之和为______；定义区间(),a b ，[),a b ，(],a b ，[],a b 长度均为b a -，则()1111123f x x x x =++≥---解集全部区间长度之和为______． 【答案】①8 ②3【分析】根据题意得以函数()f x 关于点()2,0对称，进而利用导数研究函数()f x 性质，作出简图，树形结合求解即可得关于x 的方程()()f x g x =的实数根之和；令()1111123f x x x x =++=---整理得方程的实数根123,,x x x 满足1239x x x ++=，再数形结合得()1f x ≥解集为(](](]1231,2,3,x x x ，最后根据定义求解区间长度的和即可.【解析】因为()()1114321f x f x x x x-=++=----， 所以函数()f x 关于点()2,0对称， 由于()()()()222111'0123f x x x x =---<---，所以函数()f x 在()()()(),1,1,2,2,3,3,-∞+∞上单调递减，由于1x <时，()0f x <，(),0x f x →-∞→，()1,x f x -→→-∞，()1,x f x +→→+∞，()2,x f x -→→-∞，()2,x f x +→→+∞，()3,x f x -→→-∞，()3,x f x +→→+∞，(),0x f x →+∞→，且3x >时，()0f x >.故作出函数简图如图： 根据图像可知，函数()111123f x x x x =++---与函数()2g x x =-图像共有4个交点，且关于点()2,0对称，所以()()f x g x =的实数根之和为8；令()1111123f x x x x =++=---，整理得32923170x x x -+-=， 由图像知方程有三个实数解，不妨设为123,,x x x ， 所以由三次方程的韦达定理得1239x x x ++=， 由函数图像得()1f x ≥解集为(](](]1231,2,3,x x x所以全部区间长度之和为12312312363x x x x x x -+-+-=++-=. 故答案为：8；3.【巩固训练】1．已知函数()1()2x af x -=关于1x =对称,则()()220f x f -≥的解集为_____.2．已知定义在R 上的函数()f x 满足(1)(3)f x f x +=--，且()f x 的图象与()lg4xg x x=-的图象有四个交点，则这四个交点的横纵坐标之和等于___________. 3.已知函数()()f x x R ∈满足(1)(1),(4)(4)f x f x f x f x +=-+=-，且33x -<≤时，()ln(f x x =，则(2018)f =（ ）A ．0B ．1 C．2) D．2)4. 已知f (x )是定义域为R 的函数，满足f (x ＋1)＝f (x －3)，f (1＋x )＝f (3－x )，当0≤x ≤2时，f (x )＝x 2－x ，则下列说法正确的是( ) A.函数f (x )的周期为4B.函数f (x )图象关于直线x ＝2对称C.当0≤x ≤4时，函数f (x )的最大值为2D.当6≤x ≤8时，函数f (x )的最小值为－125.已知定义在R 上的奇函数，满足，且在区间[0，2]上是增函数，若方程f (x )=m (m >0)在区间上有四个不同的根，则6．(多选题)函数f (x )的定义域为R ，且f (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数，则( ) A.f (x )为奇函数B.f (x )为周期函数C.f (x ＋3)为奇函数D.f (x ＋4)为偶函数7.若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=-，()1f x +是奇函数，现给出下列4个论断：①()f x 是周期为4的周期函数；②()f x 的图象关于点()1,0对称； ③()f x 是偶函数； ④()f x 的图象经过点()2,0-； 其中正确论断的个数是______________.8. (多选题)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝2－f (2－x )，且f (x )是偶函数，下列说法正确的是( )A.f (x )的图象关于点(1，1)对称B.f (x )是周期为4的函数C.若f (x )满足对任意的x ∈[0，1]，都有f （x 2）－f （x 1）x 1－x 2<0，则f (x )在[－3，－2]上单调递增D.若f (x )在[1，2]上的解析式为f (x )＝ln x ＋1，则f (x )在[2，3]上的解析式为f (x )＝1－ln(x －2) 9. (2022·江苏常州·模拟)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑mi ＝1(x i ＋y i )等于( ) A.0B.mC.2mD.4m)(x f (4)()f x f x -=-[]8,8-1234,,,x x x x 1234_________.x x x x +++=10.已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…A ．50-B ．0C ．2D ．5011.已知函数y kx b =+与函数11x x y e e --=-的图象交于A ，B ，C ，且|AB |＝|BC |＝2211e e+-，则实数k ＝ ．【答案与提示】1．【答案】[]1,2【解析】∵函数()1()2x a f x -=关于1x =对称,∴()111,2x a f x -⎛⎫== ⎪⎝⎭,则由()()12202f x f -≥=,结合图象可得0222x ≤-≤,求得12x ≤≤.2．【答案】8【解析】()lg 4x g x x =-，故(4)()g x g x -=-，即()y g x =的图象关于点(2,0)对称，又函数()f x 满足(1)(3)f x f x +=--，则函数()y f x =的图象关于点(2,0)对称，所以四个交点的横纵坐标之和为8.3. 【答案】D【解析】因为()()()()11,44f x f x f x f x +=-+=-，所以()(2),()(8)(2)(8)826,f x f x f x f x f x f x T =-=-∴-=-∴=-=(2018)(2)ln(25)f f ∴==+ .4. 【答案】ABC【解析】 由f (x ＋1)＝f (x －3)，得f (x )＝f [(x －1)＋1]＝f [(x －1)－3]＝f (x －4)，所以函数f (x )的周期为4，A 正确.由f (1＋x )＝f (3－x )，得f (2＋x )＝f (2－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，B 正确.当0≤x ≤2时，函数f (x )在⎣⎡⎭⎫0，12上单调递减，在⎝⎛⎦⎤12，2上单调递增.所以当x ＝12时，函数f (x )在[0，2]上取得极小值－14，且f (0)＝0，f (2)＝2.作出函数f (x )在[0，8]上的大致图象，如图.由图可知，当0≤x ≤4时，函数f (x )的最大值为f (2)＝2，C 正确；当6≤x ≤8时，函数f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫152＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－14，D 错误.故选ABC.5. 【答案】－8【提示】四个根分别关于直线2x =，6x =-对称.【命题立意】本题综合考查了函数的奇偶性，单调性，对称性，周期性，以及由函数图象解答方程问题，运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题．6．【答案】ABC【解析】法一 由f (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数知，函数f (x )的图象关于点(1，0)，(2，0)对称，所以f (－x )＋f (2＋x )＝0，f (－x )＋f (4＋x )＝0，所以f (2＋x )＝f (4＋x )，即f (x )＝f (2＋x )，-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 yx f(x)=m (m>0)所以f (x )是以2为周期的周期函数.又f (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数，所以f (x )，f (x ＋3)，f (x ＋4)均为奇函数.故选ABC.法二 由f (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数知，函数f (x )的图象关于点(1，0)，(2，0)对称，所以f (x )的周期为2|2－1|＝2，所以f (x )与f (x ＋2)，f (x ＋4)的奇偶性相同，f (x ＋1)与f (x ＋3)的奇偶性相同，所以f (x )，f (x ＋3)，f (x ＋4)均为奇函数.故选ABC.7.【答案】3【解析】命题①：由()()2f x f x +=-，得：()()()42f x f x f x +=-+=， 所以函数()f x 的周期为4，故①正确；命题②：由()1f x +是奇函数，知()1f x +的图象关于原点对称，所以函数()f x 的图象关于点()1,0对称，故②正确；命题③：由()1f x +是奇函数，得：()()11f x f x +=--，又()()2f x f x +=-，所以()()()()()()21111f x f x f x f x f x -=--+=-+-=--=，所以函数()f x 是偶函数，故③正确；命题④：()()()2220f f f -=--+=-，无法判断其值，故④错误.综上，正确论断的序号是：①②③.8. 【答案】ABC【解析】根据题意，f (x )的图象关于点(1，1)对称，A 正确；又f (x )的图象关于y 轴对称，所以f (x )＝f (－x )，则2－f (2－x )＝f (－x )，f (x )＝2－f (x ＋2)，从而f (x ＋2)＝2－f (x ＋4)，所以f (x )＝f (x ＋4)，B 正确；由f （x 2）－f （x 1）x 1－x 2<0可知f (x )在[0，1]上单调递增，又f (x )的图象关于点(1，1)对称，所以f (x )在[1，2]上单调递增，因为f (x )的周期为4，所以f (x )在[－3，－2]上单调递增，C 正确；因为f (x )＝f (－x )，x ∈[－2，－1]时，－x ∈[1，2]，所以f (x )＝f (－x )＝ln(－x )＋1，x ∈[－2，－1]，因为f (x )的周期为4，f (x )＝f (x －4)，x ∈[2，3]时，x －4∈[－2，－1]，所以f (x )＝f (x －4)＝ln(4－x )＋1，x ∈[2，3]，D 错误.综上，正确的是ABC.9.【答案】 B【解析】 ∵f (x )＋f (－x )＝2，y ＝x ＋1x ＝1＋1x. ∴函数y ＝f (x )与y ＝x ＋1x的图象都关于点(0，1)对称， ∴∑m i ＝1x i ＝0，∑mi ＝1y i ＝m 2×2＝m . 10.【答案】C【分析】同例1得f (x )的的的的4，故f (1) ＋f (2) ＋f (3) ＋f (4)＝f (5) ＋f (6) ＋f (7) ＋f (8) ＝···＝f (45) ＋f (46) ＋f (47) ＋f (48)，而f (1)＝2，f (2)＝f (0)＝0（f (1－x )＝f (1＋x )中，取x ＝1）、f (3)＝f (－1) ＝－f (1)＝－2、f (4)＝f (0)＝0，故f (1) ＋f (2) ＋f (3) ＋f (4)＝f(5) ＋f (6) ＋f (7) ＋f (8) ＝···＝f (45) ＋f (46) ＋f (47) ＋f (48) ＝0，所以f (1) ＋f (2) ＋f (3) ＋···＋f (50) ＝f (47) ＋f (48) ＝f (1) ＋f (2) ＝2.11.【答案】1e e- 【解析】设()x x f x e e -=-，则()f x 为定义在R 上的单增的奇函数而11(1)x x y e e f x --=-=-，故其图象关于点（1,0）中心对称又因为|AB |＝|BC |，所以B 的坐标为（1,0）为使运算更简单，问题可转化为过坐标原点的直线y kx =与()x x f x e e -=-交于一点D ，且k 的值 不妨设()000,x x D x e e --（00x >），== 解之得01x =，()11,D e e --，所以1k e e -=-.。
奇偶性高考函数知识点
奇偶性高考函数知识点高考时，数学是许多学生最令人头痛的科目之一。
其中，奇偶性高考函数是一个经常出现的知识点。
在本文中，我将介绍奇偶性函数的定义、性质和一些例题，帮助学生理解和掌握这一内容。
首先，我们来了解奇偶性函数的定义。
在数学中，奇数和偶数是两个相互对立的概念。
奇数可以被2整除时余数为1，而偶数被2整除时余数为0。
类似地，奇偶性函数也区分为奇函数和偶函数两种。
奇函数满足条件：f(-x) = -f(x)，即当自变量取相反数时，函数值取相反数。
偶函数满足条件：f(-x) = f(x)，即当自变量取相反数时，函数值保持不变。
了解了奇偶性函数的定义后，我们可以探讨一些奇偶性函数的性质。
首先，偶函数的图像具有对称性，也就是说以y轴为对称轴。
这是因为偶函数在自变量的取相反数时，函数值不变。
例如，y = x^2就是一个常见的二次函数，它是一个偶函数，它的图像是一个关于y轴对称的抛物线。
相反，奇函数的图像具有原点对称性，也就是说以原点为对称中心。
这是因为奇函数在自变量的取相反数时，函数值取相反数。
例如，y = x^3就是一个常见的三次函数，它是一个奇函数，它的图像在原点处对称。
接下来，我们来看一些奇偶性函数的例题，以帮助学生更好地理解和应用这一知识点。
假设我们有一个函数f(x) = x^4 - x^2。
要判断这个函数是奇函数还是偶函数，我们可以进行一些简单的计算。
首先，我们取自变量的相反数，计算f(-x)。
根据奇函数的定义，如果f(-x)等于-f(x)，那么函数就是奇函数；如果f(-x)等于f(x)，则是偶函数。
对于这个函数，我们有f(-x) = (-x)^4 - (-x)^2 = x^4 - x^2 = f(x)，所以可以得出结论，这个函数是一个偶函数。
再来看一个例题，我们有一个函数g(x) = x^3 - x。
同样，我们取自变量的相反数，计算g(-x)。
根据奇函数的定义，如果g(-x)等于-f(x)，那么函数就是奇函数；如果g(-x)等于g(x)，则是偶函数。
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判断函数奇偶性的几种常见错误
四川 毛仕理
初学函数奇偶性的同学，在利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性时，常会由于基础知识掌握不牢，产生以下几种错误．
1.错用定义
例1 判断函数230()0
x x f x x x ⎧<⎪=⎨⎪⎩，，≥的奇偶性．[来源:Z*xx*] 错解： 当0x <时，2()()()f x x f x -=-=；
当0x ≥时，3()()()f x x f x -=-=-，[来源:学科网]
∴当0x <时，函数()f x 是偶函数．[来源:学科网]
当0x ≥时，函数()f x 是奇函数．
剖析：函数的奇偶性在关于原点对称的定义域内是一致的，不能把定义域分割开来，“当0x <时，函数是偶函数；当0x ≥时，函数是奇函数”这种说法本身就是错误的． 正解：当0x <时，0x ->，32()()()f x x x f x -=-≠=；
当0x ≥时，0x -≤，23
()()()f x x x f x -=-≠-=-．
故函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数．[来源:学_科_网]
2.对函数本质认识不透
例2 判断函数2222()(0)f x x a a x a =
-->的奇偶性．[来源:学科网ZXXK] 错解：22222222()()()f x x a x x a a x
-=-----=--- ()()f x f x ∴-=，且
()()f x f x -≠-． 故此函数是偶函数，但不是奇函数．
剖析：表面上看，以上结论似乎无懈可击，便考虑到函数的定义域是{}a a -，，值域是{}0，故函数的解析式可简化为()0f x =，{}x a a ∈-，．[来源:]
正解：()
0f x = ，{}x a a ∈-，，()()f x f x ∴-=，且()()f x f x -=-． 故此函数既是奇函数又是偶函数．
3.顾此失彼
例3 判断函数22230()20230x x x f x x x x x ⎧++<⎪==⎨⎪-+->⎩
， ， ，的奇偶性．
错解： 当0x <时，2()(23)()f x x x f x -=-++=-；
当0x >时，2()(23)()f x x x f x -=--+-=-．
∴函数()f x 是奇函数．[来源:Z*xx*]
剖析： 尽管对于定义域内的每一个0x ≠，都有()()f x f x -=-成立，
但当0x =时，(0)2(0)f f =≠-，
∴函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数．
此外，应特别注意，若函数()f x 是奇函数，则对定义域内的每一个x ，都有()()f x f x -=-，特别当0x =属于定义域时，有(0)(0)f f =-，所以(0)0f =．因此，一般地，有以下结论：奇函数要么在0x =处没有定义，要么在0x =处的函数值为0，即(0)0f =．在例3中如果能去掉函数在0x =处的定义（或在0x =处定义(0)0f =），那么这个函数就是奇函数了．。