高等数学2.2 随机变量的分布函数
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第二章__1_随机变量及其分布
f ( x)
当x b时，由于{X x} {a X b}，于是 ba F ( x) P{ X x} P{a X b} 1 ba xa 0, xa 综上，可得X 的分布函数为 F ( x) , a xb b a xb 1,
2、分布函数的性质
为更好地揭示随机现象的规律性并利 用数学工具描述其规律, 有必要引入随机 变量来描述随机试验的不同结果. 例 抛掷一枚硬币可能出现 1, =正面 的两个结果 , 可以用一个 X () 0 , =反面
变量来描述.
例
{1, 2, 3,4,5,6}
． ． ． ．
A ．
定义: X ()
0, 9 , 19 F ( x) 15 , 19 1, x1 1 x 2 2 x3 x3
1
6 19
F ( x)
4 19
9 19
o
1
2
3
x
求随机变量X的概率分布
9 6 4 解 P{ X 1} , P{ X 2} , P{ X 3} 19 19 19
为给出X取值 于任意区间上的概率 ，实 际上只要 给出所有X取值于形如(- ∞,x] 区间上的概率P{X ≤ x}即可。记 F(x)=P{X ≤ x} 当x取遍(- ∞ ,+∞)上的一切实数时， F(x)便成为定义 在(- ∞ ,+∞)上的函数， 一旦知道了这个函数 ，我们便可得到 相应的随机变量取值于任何区间的概率。
三、分布函数的概念
为了对随机变量r.v.（random variable） 取值的统计规律性给出一种统一的描述 方法，下面引进分布函数 (distribution function)的概念.
第二章随机变量
金融保险) 例2.2.4: (金融保险 金融保险 根据生命表知道， 根据生命表知道，在某个年龄段的投保人中一年内 每个人死亡的概率是 0.005 ，现在有 10,000 人参加 保险， 人的概率。 保险，问未来一年中死亡人数不超过 60 人的概率。 解: 分析 分析, 人中死亡的人数， 以 X 记这 10,000 人中死亡的人数，则显然有 X ~b (104，0.005 ) ，需要计算 { X ≤ 60 } 。 需要计算P P { X ≤ 60 } = ∑k6=00 [C10000k 0.005k 0.99510000 – k ]
例2.1.1
抛掷均匀硬币两次， 抛掷均匀硬币两次，用X 表示正面 H 出现的次数。 出现的次数。
X
=
0 ，
1 ，
2， ，
3
试验结果 = 相应概率 =
{TTT} ， {HTT,TTH,THT}， {HHT,THH,HTH}, {HHH} , ， , 1/8 ， 3/8 ， 3/8, 1/8
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
X 的概率分布也可以表格的形式表示： 的概率分布也可以表格的形式表示： X p 0 1/8 1 3/8 2 3/8 3 1/8
离散随机变量概率分布的表达形式
1.
X pk
x1 x 2 x 3 ⋅ ⋅ ⋅ x k ⋅ ⋅ ⋅ p1 p2 p3 ⋅ ⋅ ⋅ pk ⋅ ⋅ ⋅
2.
x1 X ~ p1
x2 ⋅ ⋅ ⋅ p2 ⋅ ⋅ ⋅
xn pn
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
离散型随机变量X的分布律具有以下性 离散型随机变量 的分布律具有以下性 质: 1.
有下面四个约定
1). 每次试验至多出现两个可能结果之一 或 A 每次试验至多出现两个可能结果之一:A或 2). A在每次试验中出现的概率 保持不变 在每次试验中出现的概率p保持不变 在每次试验中出现的概率 3). 各次试验相互独立 4). 共进行 次试验 共进行n次试验
概率论-随机变量的分布函数
如果一个函数具有上述性质，则一定是某个随机 变量X 的分布函数. 也就是说，性质(1)--(４)是鉴别 一个函数是否是某随机变量的分布函数的充分必要 条件.
连续型随机变量及其概率密度函数
例 在区间 [0，a] 上任意投掷一个质点，以 X 表示这个质点的坐标 . 设这个质点落在 [0, a]中意 小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求 X 的分布函数.
因此，只要知道了随机变o 量x X1 的X分x 2布函x数， 它
的统计特性就可以得到全面的描述.
F (x ) P (X x ) , x
oX
x
x
分布函数是一个普通的函数， 正是通过它，我们可以用高等数 学的工具来研究随机变量的概率
问题.
例1 设 随机变量 X 的分布律为 X 012
p k 13 16 12 求 X 的分布函数 F (x) .
连续型随机变量的分布函数在 R上连续
二、概率密度的性质
1 o f (x)0
2 o f (x)dx1
这两条性质是判定一个 f(x)是否为某随机变量X 的
概率密度的充要条件
f (x)
面积为1
o
x
3 o 对于任意实数 x1 , x2 , (x1 < x2 ) ,
P { x 1 X x 2 } F ( x 2 ) F ( x 1 ) x x 1 2f( x ) d x
P ( a X b ) P ( a X b )
P(aXb)
P(aXb)
注意
设X为连续型随机变量 ，X=a 是不可能
事件,则有
P{Xa}0.
连
若P{Xa}0,
续 型
不 能 确 定 { X a } 是 不 可 能 事 件
连续型随机变量及其概率密度函数
例 在区间 [0，a] 上任意投掷一个质点，以 X 表示这个质点的坐标 . 设这个质点落在 [0, a]中意 小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求 X 的分布函数.
因此，只要知道了随机变o 量x X1 的X分x 2布函x数， 它
的统计特性就可以得到全面的描述.
F (x ) P (X x ) , x
oX
x
x
分布函数是一个普通的函数， 正是通过它，我们可以用高等数 学的工具来研究随机变量的概率
问题.
例1 设 随机变量 X 的分布律为 X 012
p k 13 16 12 求 X 的分布函数 F (x) .
连续型随机变量的分布函数在 R上连续
二、概率密度的性质
1 o f (x)0
2 o f (x)dx1
这两条性质是判定一个 f(x)是否为某随机变量X 的
概率密度的充要条件
f (x)
面积为1
o
x
3 o 对于任意实数 x1 , x2 , (x1 < x2 ) ,
P { x 1 X x 2 } F ( x 2 ) F ( x 1 ) x x 1 2f( x ) d x
P ( a X b ) P ( a X b )
P(aXb)
P(aXb)
注意
设X为连续型随机变量 ，X=a 是不可能
事件,则有
P{Xa}0.
连
若P{Xa}0,
续 型
不 能 确 定 { X a } 是 不 可 能 事 件
rxl g21离散型随机变量的分布律
❖超几何分布
P X xi ,Y y j
C i C j C ni j
M1 M2 N M1M2
C
n N
i 0 M1, j 0 M2
模型：袋中装有M1个红球， M2个白球， N-M1-M2个黑球共N个球，从中任取n个球， 则取出的红球数X=i,白球数Y＝j的概率。
❖三项分布
P X i,Y j Cni Cnji p1i p2j 1 p1 p2 ni j
X
｛1
X1 1
X2 0
0｝ 正面朝上 反面朝上
随机变量是什么？
随机变量：设随机试验的样本空间为Ω，如 果对于每一个样本点ω∈Ω，均有唯一的实 数X(ω)与之对应，称X= X(ω)为样本空间Ω 上的随机变量Random Variable 。一般用 X,Y,Z…表示。
随机变量的特性: 1) 它是一个实单值函数型的变量； 2) 它的取值具有随机性,统计规律性； 3）在某一范围内取值，表示一个 随机事件。
机
限个或可列个
变 量
连续型
非离散型：随机变量的取值有无穷多 个，且不可列
怎么用随机变量表示事件？
若X是随机试验E的一个随机变量,S⊂ Ω ， 那么 {X∈S}可表示E中的某一事件。
如在掷骰子试验中，用X表示出现的点数, 则“出现偶数点”可表示为：
{X=2}{X=4}{X=6} “出现的点数小于４”可表示为：
例如：抽样调查某地区青少年的身高 X与体重
Y,以研究当前该地区青少年的身体发育情况。 此时我们需要研究的不仅仅是X及Y各自的性质，
更需要了解这两个随机变量的相互依赖和制约关系。 因此,我们将二者作为一个整体来进行研究，记为(X, Y),称为二维随机变（向）量。
n维随机变量
随机变量及其分布
第2章 随机变量及其分布 20
例3
设随机变量 X 的概率密度函数为
2 3x , 0x1,
f x
0,
其他
求 （1） P X 0.5 （2） X 的分布函数 F x
解 （1） P( X 0.5)= 0.5 f xdx 0.5 3x2dx=0.125
-0.5
0
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
第2章 随机变量及其分布 11
综上, 随机变量的分布函数为 F x P X x
0
0.5 0.8
1
x 1 1 x 2 2 x3
x3
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二、随机变量的分布函数
分布函数的性质
设 F X 是随机变量 X 的分布函数，则有
第2章 随机变量及其分布 12
1
0 F x 1; lim F x 0, lim F x 1
e3 30 =
e3 31
e3 32
17 e3 。
0!
1!
2! 2
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二、泊松分布
第2章 随机变量及其分布 31
例 6 已知一购物网站每周销售的某款手表的数量X服从参数为6的泊松分布.问周初
至少预备多少货源才能保证该周不脱销的概率不小于0.9.假定上周没有库存,
对照一下离散型随机变量的概率函数所满足的两个条件,
1 pi 0
2 pi 1
i
这两个条件同样刻划了密度函数的特征性质, 即如果有实值函数具备这两条性质, 那么它必定是某个连续型随机变量的概率密度函数.
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四、连续型随机变量及其密度函数
随机过程2.2 随机过程的分布
2) 对任意固定的自然数m<n,均有
电子科技大学
随机过程的分布
04.9.4
φ(t1, t2 , , tm ;θ1,θ2 , ,θm )
φ(t1, t2 , , tm , , tn;θ1,θ2 , ,θm ,0, ,0)
定理2.2.1 (柯尔莫哥罗夫存在定理)
如果有限分布函数族
F {F(t1, t2, , tn; x1, x2,, xn ), t1, t2, , tn T , n 1}
P{X (t1) x1, X (t2 ) x2, , X (tn ) xn}
称为过程的n 维分布函数.
电子科技大学
随机过程的分布
04.9.4
记 F ˆ {F (t1 , t2 , , tn; x1 , x2 ,, xn ) :
ti T , xi Ri , i 1,2, , n, n 1}
x1 π
1 da, a2 x2
x 1;
0
其它 .
电子科技大学
随机过程的分布
04.9.4
1
ln(
1
1 x2 ),
π
x
0，
其 它.
x 1;
思考题：
为什么可以用有限维分布函数族描述 随机过程的统计特性?
电子科技大学
X(t) － 2cost 2cost
p
1/3
2/3
特别
X(0) － 2 2
p 1/3 2/3
p X( 4 ) 2 2
p1/3 2/3来自电子科技大学2) 分析
随机过程的分布
04.9.4
2
2
x(t,ω1)=2cost
随机变量及其分布
f ( x) lim
x 0
xLeabharlann x xlim P{x X x x} lim x
f (x)dx .
x 0
x
x 0
x
故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是 X落在区间 (x,x+△x] 上的概率与区间长度 △x之比的极限. 这里，如果把概率理解为质 量， f (x)相当于线密度.
f (x)
a
ba
当x b时，
x
a
b
x
F (x) f (t)dt f (t)dt f (t)dt f (t)dt 1.
a
b
因此X ～ U(a, b)的分布函数为：
0
F ( x)
P( X
x)
x b
a
a 1
xa a xb
xb
例1 长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发
车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随
解: 设X表示400次独立射击中命中的次数，则
X～B(400, 0.02)，故 P{X2}＝1－ P{X＝0}－P {X＝1} ＝1－0.98400－(400)(0.02)(0.98399) ＝0.9972
例5 设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的, 发生故障的概率都是0.01, 且一台设备的故障只能 由一个人处理. 考虑两种配备维修工人的方法,其一 是由4人维护,每人负责20台;其二是由3人共同维护 30台.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及 时维修的概率大小.
称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件.
(4) 若x是f(x)的连续点，则 dF(x) F(x) f (x)
dx
设随机变量X的分布函数
F
§2.1 随机变量的概念与离散型随机变量§2.2 随机变量的分布函数(distribution function)
求常数a.
解 由概率分布的性质得
1 . 得 15a = 1, 即 a 15
p
i 1
5
i
1
第2章
§2.1-2.2 随机变量的概念, 分布函数
第11页
课堂练习2 在一个袋子中有10个球，其中6个白球，4 个红球。从中任取3个，求抽到红球数的概率分布。 解 用X表示抽到的红球数，则X所有可能的取值为0，1，2，3。
Ω={ t | t ≥ 0}
第2章
§2.1-2.2 随机变量的概念, 分布函数
第4页
定义 设随机试验E的样本空间为Ω，如果对于每一个 ω∈Ω，都有唯一的一个实数X(ω)与之对应，则称 X(ω)为随机变量，并简记为X。
注意： 1. X是定义在Ω上的实值、单值函数。 2. 若给定了试验的样本空间的概率分布。就可以确 定随机变量 X 取某些值时的概率，设 A 为一实数集,
第2章
§2.1-2.2 随机变量的概念, 分布函数
第2页
例1续 掷一枚硬币10次，观察出现正面的次数。
此时，试验的样本空间是由一系列长度为10的正反面 的序列组成，总共有 210 个元素。 定义函数 X 如下：对任意一个序列
,
定义
X ( ) 出现正面的次数。
这样的定义的函数 X 是一个随机变量。它反映了出 现正面的次数。利用它可以很容易的描述随机事件。 例如， {X≤5}= 出现正面次数不多于5次的事件.
第2章
§2.1-2.2 随机变量的概念, 分布函数
第9页
定义 设离散型随机变量X所有可能的取值为 x1 , x2 , … , xn , … X取各个值的概率，即事件{X=xi}的概率为 P { X = xi } = pi （i = 1, 2, …） 则称之为离散型随机变量X的概率分布或分布列(律). 亦可用下面的概率分布表来表示
解 由概率分布的性质得
1 . 得 15a = 1, 即 a 15
p
i 1
5
i
1
第2章
§2.1-2.2 随机变量的概念, 分布函数
第11页
课堂练习2 在一个袋子中有10个球，其中6个白球，4 个红球。从中任取3个，求抽到红球数的概率分布。 解 用X表示抽到的红球数，则X所有可能的取值为0，1，2，3。
Ω={ t | t ≥ 0}
第2章
§2.1-2.2 随机变量的概念, 分布函数
第4页
定义 设随机试验E的样本空间为Ω，如果对于每一个 ω∈Ω，都有唯一的一个实数X(ω)与之对应，则称 X(ω)为随机变量，并简记为X。
注意： 1. X是定义在Ω上的实值、单值函数。 2. 若给定了试验的样本空间的概率分布。就可以确 定随机变量 X 取某些值时的概率，设 A 为一实数集,
第2章
§2.1-2.2 随机变量的概念, 分布函数
第2页
例1续 掷一枚硬币10次，观察出现正面的次数。
此时，试验的样本空间是由一系列长度为10的正反面 的序列组成，总共有 210 个元素。 定义函数 X 如下：对任意一个序列
,
定义
X ( ) 出现正面的次数。
这样的定义的函数 X 是一个随机变量。它反映了出 现正面的次数。利用它可以很容易的描述随机事件。 例如， {X≤5}= 出现正面次数不多于5次的事件.
第2章
§2.1-2.2 随机变量的概念, 分布函数
第9页
定义 设离散型随机变量X所有可能的取值为 x1 , x2 , … , xn , … X取各个值的概率，即事件{X=xi}的概率为 P { X = xi } = pi （i = 1, 2, …） 则称之为离散型随机变量X的概率分布或分布列(律). 亦可用下面的概率分布表来表示
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x
x
lim [a1 F1 ( x) + a2 F2 ( x)] = a1 F1 () + a2 F2 ( )
= a1 + a2 = 1
于是 a1F1(x) + a2F2(x) 满足分布函数的所有性质, 从而 a1F1(x) + a2F2(x) 也是分布函数 .
作 业
习 题 二
F(x) =
图形如右图: 分布函数是一个阶梯函数, 在x=i (i=1,2,3,4)处发生间断, 其跳跃度恰好是 pk =P{X =k} (k =1,2,3,4)
F(x)
1 0.8 0.6 0.4 0.2
0
1
2
3
4
x
二、分布函数的性质：
1、定理2.3: 设 F(x)是任一随机变量 X 的分布函数, 则有
第二章 随机变量及其概率分布
2. 2 随机变量的分布函数
一、分布函数的概念：
1、定义2.7: 设 X 是一个随机变量, 对于任一实数 x, 定义 F(x) =P{X≤x}, 的分布函数 . 注 若 F(x) 是 X 的分布函数, 则 P{a<X≤b} = F(b)－F(a) 对(－∞, ∞) 内的任意实数 a , b (a ≤ b ) 均成立 .
－∞< x <∞, 称F(x) 为随机变量 X
例2.6某人投篮, 命中率为0.7 , 规则是: 投中或投了 4次后就停止投篮, 设X表示“此人投篮次数” , 求X 的分布函数 . 解 由题意可知X的可能值为 1, 2 , 3 , 4 , 概率分别为
P X = 1 = 0.7 ,
P X = 3 = 0.3 0.3 0.7 = 0.063 ,
注 F () = lim F ( x) , F () = lim F ( x) ;
x →- ∞ x →∞
F ( x0 0) = lim+ F ( x0 ) , F ( x0 0) = lim- F ( x0 ) .
x → x0 x → x0
例2.7设随机变量X的分布函数为 0 , F(x) = Ax2 , 1 , x <1 0 ≤x ≤ 1 x >1
所以 X 的概率分布为 X P 1 0.7 2 0.21 3 0.063
P X = 2 = 0.3 0.7 = 0.21 ,
P X = 4 = (0.3)3 0.7 + (0.3)4 = 0.027 ,
4 0.027
根据分布函数定义可知 X 的分布函数为 0 , 0.7 , 0.7+0.21=0.91 , 0.91+0.063=0.973 , 0.973+0.027=1 , －∞< x <1 1 ≤x <2 2 ≤x <3 3 ≤x <4 4 ≤x <∞
求 (1) 常数 A ; (2) 随机变量 X 落在( 0.3 , 0.7 ]内的概率 解 (1)由分布函数的右连续性, 即 lim F ( x ) = F (1) , + 得 A=1
x 1
(2) P 0.3 X 0.7 = F (0.7) F (0.3)
= 0.72 0.32 = 0.4
例2.8设F1(x) , F2(x) 都是分布函数, a1 , a2都是正常数, 且 a1+a2=1 , 试证a1F1(x) + a2F2(x) 也是分布函数 . 证 由于F1(x) , F2(x) 都是分布函数, 故知 0≤F1(x) ≤1 , 0≤F2(x) ≤1 对一切 x∈R 成立 . 于是 0≤a1F1(x) ≤a1 , 0≤a2F2(x) ≤a2 . 所以有 ①0≤a1F1(x)+ a2F2(x) ≤a1+ a2 =1 对一切x∈R 均成立. ②由于 F1(x) , F2(x) 均是单调不减且右连续的, 又因 且 a1> 0 , a2> 0 , 故a1F1(x) + a2F2(x) 也是单调不减 且右连续的 . ③ lim [a1 F1 ( x ) + a2 F2 ( x )] = a1 F1 () + a2 F2 () = 0 ;
P 35 : 12 (1)
(1) 0 ≤F(x)≤ 1 (－∞ < x < ∞) ; (2) F(－∞)= 0 , F(∞)= 1; (3) F(x)是单调不减函数, 即当 x1 < x2时 F( x1) ≤F( x2); (4) F(x)是右连续函数, 即对任意 x , 有F( x+0) =F( x); (5)对每个 x0 , P{
x
lim [a1 F1 ( x) + a2 F2 ( x)] = a1 F1 () + a2 F2 ( )
= a1 + a2 = 1
于是 a1F1(x) + a2F2(x) 满足分布函数的所有性质, 从而 a1F1(x) + a2F2(x) 也是分布函数 .
作 业
习 题 二
F(x) =
图形如右图: 分布函数是一个阶梯函数, 在x=i (i=1,2,3,4)处发生间断, 其跳跃度恰好是 pk =P{X =k} (k =1,2,3,4)
F(x)
1 0.8 0.6 0.4 0.2
0
1
2
3
4
x
二、分布函数的性质：
1、定理2.3: 设 F(x)是任一随机变量 X 的分布函数, 则有
第二章 随机变量及其概率分布
2. 2 随机变量的分布函数
一、分布函数的概念：
1、定义2.7: 设 X 是一个随机变量, 对于任一实数 x, 定义 F(x) =P{X≤x}, 的分布函数 . 注 若 F(x) 是 X 的分布函数, 则 P{a<X≤b} = F(b)－F(a) 对(－∞, ∞) 内的任意实数 a , b (a ≤ b ) 均成立 .
－∞< x <∞, 称F(x) 为随机变量 X
例2.6某人投篮, 命中率为0.7 , 规则是: 投中或投了 4次后就停止投篮, 设X表示“此人投篮次数” , 求X 的分布函数 . 解 由题意可知X的可能值为 1, 2 , 3 , 4 , 概率分别为
P X = 1 = 0.7 ,
P X = 3 = 0.3 0.3 0.7 = 0.063 ,
注 F () = lim F ( x) , F () = lim F ( x) ;
x →- ∞ x →∞
F ( x0 0) = lim+ F ( x0 ) , F ( x0 0) = lim- F ( x0 ) .
x → x0 x → x0
例2.7设随机变量X的分布函数为 0 , F(x) = Ax2 , 1 , x <1 0 ≤x ≤ 1 x >1
所以 X 的概率分布为 X P 1 0.7 2 0.21 3 0.063
P X = 2 = 0.3 0.7 = 0.21 ,
P X = 4 = (0.3)3 0.7 + (0.3)4 = 0.027 ,
4 0.027
根据分布函数定义可知 X 的分布函数为 0 , 0.7 , 0.7+0.21=0.91 , 0.91+0.063=0.973 , 0.973+0.027=1 , －∞< x <1 1 ≤x <2 2 ≤x <3 3 ≤x <4 4 ≤x <∞
求 (1) 常数 A ; (2) 随机变量 X 落在( 0.3 , 0.7 ]内的概率 解 (1)由分布函数的右连续性, 即 lim F ( x ) = F (1) , + 得 A=1
x 1
(2) P 0.3 X 0.7 = F (0.7) F (0.3)
= 0.72 0.32 = 0.4
例2.8设F1(x) , F2(x) 都是分布函数, a1 , a2都是正常数, 且 a1+a2=1 , 试证a1F1(x) + a2F2(x) 也是分布函数 . 证 由于F1(x) , F2(x) 都是分布函数, 故知 0≤F1(x) ≤1 , 0≤F2(x) ≤1 对一切 x∈R 成立 . 于是 0≤a1F1(x) ≤a1 , 0≤a2F2(x) ≤a2 . 所以有 ①0≤a1F1(x)+ a2F2(x) ≤a1+ a2 =1 对一切x∈R 均成立. ②由于 F1(x) , F2(x) 均是单调不减且右连续的, 又因 且 a1> 0 , a2> 0 , 故a1F1(x) + a2F2(x) 也是单调不减 且右连续的 . ③ lim [a1 F1 ( x ) + a2 F2 ( x )] = a1 F1 () + a2 F2 () = 0 ;
P 35 : 12 (1)
(1) 0 ≤F(x)≤ 1 (－∞ < x < ∞) ; (2) F(－∞)= 0 , F(∞)= 1; (3) F(x)是单调不减函数, 即当 x1 < x2时 F( x1) ≤F( x2); (4) F(x)是右连续函数, 即对任意 x , 有F( x+0) =F( x); (5)对每个 x0 , P{