关于数学知识的教育形态_张奠宙
教育数学是具有教育形态的数学
Educational Mathematics: the Educational State of
Mathematics
作者： 张奠宙
作者机构： 华东师范大学数学系,上海200062
出版物刊名： 数学教育学报
页码： 1-4页
主题词： 教育数学 教育形态 数学本质 理解
摘要：数学有3种形态:原始形态、学术形态和教育形态.体现数学本质要做到返朴归真,平易近人,言之有理,感悟真情.实际教学中,数学本质常被"过度的形式化"与"教条式的教学改革"所掩盖.数学教学中,应反对"去数学化"的倾向,突出数学的文化本质,以本原问题驱动展现数学本质,利用数学史加深学生对数学本质的理解.。
张奠宙对数学本质的阐述
张奠宙对数学本质的阐述
数学是一门追求真理的学科，而数学本质是其追求真理的核心。
在数学史上，
许多数学家都尝试过阐述数学的本质，其中张奠宙的观点也具有重要意义。
张奠宙是中国著名数学家，他对数学本质的阐述可以追溯到20世纪50年代。
他认为，数学本质在于表达抽象概念和规律，并通过逻辑推理进行证明和解决问题。
他注重数学的内在结构和逻辑推理的规范性。
根据张奠宙的观点，数学的本质包含两个关键要素：抽象和逻辑推理。
抽象是
数学的基础，通过将具体事物抽象为符号和概念来描述数学对象。
这种抽象使得数学能够研究和处理各种不同的问题，忽略细枝末节，从而更好地理解和解决问题。
逻辑推理是数学的思维方式，通过逻辑关系和推理规则来建立数学推导和证明。
逻辑推理使得数学推理过程更加准确和可靠，确保数学结论的正确性。
这种逻辑思维也是数学家解决问题的重要方法，帮助他们发现问题的本质，并找到解决途径。
张奠宙还强调数学本质与实际应用之间的紧密关系。
尽管数学具有抽象性和理
论性，但它也能应用于实际问题解决。
数学是科学和技术的基础，它在物理学、工程学、经济学等领域的应用被广泛认可。
总而言之，张奠宙对数学本质的阐述强调了抽象和逻辑推理的重要性。
数学的
本质在于表达抽象概念和规律，通过逻辑推理来解决问题。
数学的应用也是其本质的重要体现，它在现实世界中的广泛应用赋予了数学以更大的意义和价值。
构建学生容易理解的数学教育形态_数学和人文意境相融合的10个案例_张奠宙
｛φ， ｛φ｝， ｛φ， ｛φ｝｝｝
比， 是比较的简称。它既是数学名词， 也是普通
｛０， １， ２｝
（ 表 示 ３）
名词。语文教学中早就有“比”的用法， 根深蒂固。
这样不断继续， 得到全体自然数。于是自然数是
现 在 数 学 中 又 出 现 “ 比 ”， 教 师 却 不 加 以 对 照 ， 指 出 两
开始， 许多专家逐渐认为 ０ 也是自然数， 而且是第一
这 种 意 境 ， 就 会 有 豁 然 开 朗 的 感 觉 ， 好 像 把 “ 窗 户 纸 ” 个 自 然 数 ， １９９３ 年 ， 中 国 文 字 改 革 委 员 会 也 正 式 宣 布
捅破了， 看到了数学的本质。人性化的数学， 不该是
这一结论， 人们据此开始改编数学课程。
ＥＤＵＣＡＴＩＯＮＡＬ
ＳＣＩ Ｅ ＮＣＥ
ＲＥＳＥＡＲＣＨ
课程与教学
同的思考意境。
案例４： １／２＋１／３＝２／５有 “和谐美” 吗？
● 一个盒子原来是空的， 后来往盒子里放进一块
分数的加法计算起来比较麻烦。学生常常把分子
糖， 再放第二块糖， 放第三块糖……所以从意境上考
和 分 母 分 别 相 加 ， 造 成 １／２＋１／３＝２／５ 这 样 的 错 误 。 其 实 ，
● 广 义 的 除 法 之 “ 比 ”。 泛 指 一 切 除 法 中 被 除 者
● 我们可以把一个分数看作是一个群体。例如，
和除者的关系。这包括“分式”的情形。例如， 我们
一所学校， 学校里的老师、学生都是平等的一员， 每
说 “（ ｘ＋１） ／（ ３ｘ－ ５） ” 是 （ ｘ＋１） 和 （ ３ｘ－ ５） 之 比 。 ｔａｎθ
发出的光线， 也是有限的， 无限永远存在于想象之中，
中国特色数学教育引领者_张奠宙先生_宋乃庆
一、博学：贯通数学、数学史及数学教育的 “ 三栖学者”
张先生接受过民国时期的数学教育，后又成为新中国的数学教育研究者，经历了
４２
中国教育科学·２０１５ 年第 ４ 辑
我国数学教育大发展、大变革、大构建的年代。作为我国数学教育的一名经历者、研 究者与构建者，几十年来，他积极引领着我国数学教育学的发展与本土特色的构建。 数学教育是一门交叉学科，既需要自然科学和数学的知识基础，又需要人文学科 及教育学的背景。张先生文理兼通，不仅数学功底扎实，科学素养厚重，而且人文底 蕴不凡。在数学教育圈里，张先生文笔好是有口皆碑的。原因何在？我认为张先生的 博学，特别是能贯通 “数学、数学史、数学教育 ” 三个研究领域，是一个重要的本 源因素。 张先生的数学研究属于泛函分析领域，重点在算子谱论。他师从夏道行教授，早 在 “文革” 之前就发表了 《非拟解析算子与可分解算子》 一文 （与沈祖和合作，《复 旦大学学报 （自然科学版 ）》，１９６６ 年 ），这是我国算子谱论研究领域较早的工作。 “文革” 结束后，继续有多篇论文在 《中国科学 》、《数学学报 》、《数学年刊 》 等一 流数学杂志发表。其专著 《线性算子组的联合谱》 于 １９９１ 年出版。１９９７ 年，他在上 海主持 “算子代数与算子理论国际会议”，世界一流学者云集，曾盛极一时。 作为一名大学数学教授，他曾任华东师范大学数学系函数论教研室主任，长期执 教 “复变函数论”、“实变函数论 ”、“数学分析 ” 等课程。２０ 世纪 ８０ 年代，他参与 编写程其襄教授主持的 《实变函数与泛函分析基础 》 教材。程其襄教授去世后，他 主持该教材第二版、第三版的修订。该教材广受欢迎，至今为许多高等院校采用。坚 实的现代数学基础，为张先生后来从事数学教育研究奠定了牢固的基石，善于高屋建 瓴地剖析中小学数学及数学教育的本质，往往见他人之所未见，发前人之所未发。 我知道的一个最近的事例是：２０１５ 年，高等教育出版社推出张奠宙、柴俊合著 的 《大学数学教学概说 》。这是我国第一本比较系统地论述大学数学教学的著作。 ２０１４ 年以来 ，他对现行各种版本小学数学教材 “ 关于数学本质的认识 ” 发表了一系 列深刻而尖锐的评论，并给予极富启发性的建议，引起小学数学教育界的广泛注意。 这些论文即将以 《小学数学的大道理 》 为书名结集出版。８２ 岁高龄还能驾驭从大学 到小学的各种数学题材，在数学教育圈内，实不多见。 张先生是我国研究现代中外数学史的一位代表人物。早在 ２０ 世纪 ８０ 年代，一本 ２０ 世纪数学史话 》，成了那个时代青年学子了解现代数学的主要读物 ， 并一版再版 。 《 ２００２ 年 ，据此改写的 《 ２０ 世纪数学经纬 》 面世 ，至今仍是追寻现代数学足迹的优秀 读物。众所周知，现代数学涉及的数学知识非常广泛，没有良好的数学修养，是无法 胜任现代数学史编撰的。１９９８ 年，张先生推出了 《中国现代数学的发展 》 一书，这 是迄今为止描述自清末民国之初到 ２０ 世纪末中国现代数学进展的最详尽的著作，目 前尚无其他著作可以代替。研究数学发展的过去，使得张先生对现代中国数学与数学 教育的历史了然于胸，对我国数学与数学教育前辈更是深怀敬意。我想，这对张先生 后来研究数学教育时所具有的民族自信和教育自觉产生了非常重要的影响。
数学文化与数学教育(张奠宙)1
数学文化与数学教育——访张奠宙教授一个阳光明媚的下午，笔者与叶中豪先生拜访了数学教育家、华东师范大学数学系教授张奠宙先生。
茶香、书香四溢，不久我们就切入了正题。
张奠宙（以下简记为“张”）：近来我十分关注数学文化，一直在思索如何营造优秀的数学文化。
数学文化的形成需要相当长的过程。
我国现代数学起步于20世纪初，到2002年有实力举办国际数学家大会，经历了近100年。
数学文化离不开社会文化的滋养。
举一个例子，20世纪30、40年代，中国的北京天津，传统文化的底蕴深厚，出了很多好的数学家；在南方的杭州、温州，受西方文化的影响，也出了不少好的数学家。
但商业文化最发达的上海，却并未孕育出多少数学家。
沙国祥（以下简称“沙”）：西方文化中的数学，具有明显的理性特点。
张：这是古希腊的“奴隶主”民主的产物。
由于奴隶主之间彼此平等，所以需要“证明”和说服。
于是，“对顶角相等”虽然看起来十分显然，但仍然用“等量减等量，其差相等”的公理加以证明。
中国古代有灿烂的数学成就。
主要典籍是《九章算术》。
那是数学家向君王提出如何丈量田亩、征取税金、摊派徭役、计算土方”等实用数学问题的总结。
在这样的君臣不对等的政治环境下，“对顶角相等”是没有用的。
所以说古希腊和古代中国政治文化决定了两种数学文化的走向。
沙：现在的义务教育数学课程标准中，对几何证明的要求降低了。
张：不同的人学习不同的数学。
对多数学生，关于证明的要求不必过高，但对优秀学生，这方面应当加强。
项武义教授指出，中国数学教育要强调理性精神。
沙：公理化重要吗？张：公理化思想重要，但不是数学的核心。
1970年前后许多西方发达国家的“新数学”运动，将活生生的数学等同于逻辑、公理体系，结果失败了。
不能认为数学就是逻辑。
那是把光彩照人的数学女王，在X光照射下变成了干巴巴的骷髅。
数学还是要依靠猜想和想象，逻辑只是保持数学健康的卫生规则（大数学家H Weyl语）而已。
沙：有时，人们将猜想、探索过程看得太简单，如由22—12=3，32—22=5，42—32=7，〃〃〃〃〃〃猜想一般的规律。
张奠宙：关于数学知识的教育形态
张奠宙：关于数学知识的教育形态原创作者：张奠宙来源：《数学通报》文章摘要：教科书里的数学知识，是形式化地摆在那儿的。
准确的定义、逻辑地演绎、严密的推理，一个字一个字地线性地印在纸上。
把数学知识转化为教育形态，一是靠对数学深入理解，二是要借助人文精神的融合。
...中国数学教育界流传很广的一句话是，给学生一杯水，教师得有一桶水。
学富五车的数学家，能够上好数学课的很多，但上不好课的也屡见不鲜。
这就是说，即使教师自己有一桶水甚至一缸水，如果倒不出来也是枉然。
依我看，教师的任务是把知识的学术形态转化为教育形态。
教师的一桶水要成为学生的一杯水，不能简单地“倒”出来就行，而是要有一个转化的过程。
教科书里的数学知识，是形式化地摆在那儿的。
准确的定义、逻辑地演绎、严密的推理，一个字一个字地线性地印在纸上。
这是知识的学术形态，学生比较难懂。
有的看懂了字面上的意思，甚至题目也会做了，却不知道学这些数学干什么，意义何在，价值在哪儿。
这时的学生还没有接触数学知识的教育形态。
这时，教师的作用就显示出来了。
教学水平较低的教师，照本宣科，把书上的内容重复一遍，抄在黑板上，就算“教”过了。
好的教师，就不止是讲推理，更要讲道理，把印在书上的数学知识转化为学生容易接受的教育形态。
教育形态的数学，散发着数学的巨大魅力。
教师通过展示数学的美感，体现数学的价值，揭示数学的本质，感染学生，激励学生。
这，才是美好的数学教育。
把数学知识转化为教育形态，一是靠对数学深入理解，二是要借助人文精神的融合。
数学理解不深入，心理发虚，讲起课来淡而无味。
人文修养不足，只能就事论事，没有文采。
深邃的数学文化，结果成了干巴巴的教条，学生学而无趣，最终不得已成为考试的奴隶。
一些所谓“大容量、高密度、快节奏”的数学课，也只是“学术形态”的总和，很少关注率的教育形态。
我听过一节据说得一等奖的“数学公开课”，内容是一元一次方程的第一课时。
教师在“含有未知数的等式叫做方程”的黑体字上大做文章，反复举例，咬文嚼字地学习，朗朗上口地背诵，其实，方程的这个定义无非是一种描述而已，没有实质性的意义。
数学教育形态优化的几个做法
数学教育形态优化的几个做法本文以数学知识的学术形态与教育形态两个概念为理论基础,从强化意义建构、削弱法则记忆,模拟原始思考、创设学生活动情景,融合人文精神、关注学生情感三个角度,结合实例,探讨了数学教育从学术形态到教育形态的转变措施。
标签：数学教育学术形态教育形态华东师范大学张奠宙教授在《关于数学知识的教育形态》中提出了数学知识的学术形态和教育形态两个概念。
他把以准确的定义、逻辑的演绎,严密的推理为呈现特征的数学形态称作为学术形态,把能够展示数学美感,体现数学价值,提示数学本质,能够感染激励学生的散发着数学巨大魅力的数学形态称之为教育形态。
数学的教学目标之一就是要通过教师对数学教学内容进行策略性和实际性的再创造,从而把数学知识的学术形态转化为教育形态。
数学的学术形态是理性的,是一种“冰冷的美丽”,它掩盖了数学本身所具有的“火热思考”。
因此,如何从“冰冷的美丽”到“火热的思考”是每一个数学教师共同需要面对的问题,如何优化数学教育形态更值得探讨。
本文就数学教育形态优化的问题谈谈个人的做法。
一、强化意义建构,削弱法则记忆,揭示数学本质新课程注重使学生经历从实际背景中抽象出数学模型,探索数量关系和变化规律的进程,重视发展学生的数感和符号感,而淡化了单纯的公式、法则的记忆,降低了有关术语在文字表达上的要求。
这就要求我们在教育形态的优化中贯彻这样的理念:强化数学意义的建构、削弱法则的记忆,从而揭示数学的本质。
例如:在多项式与多项式相乘这一小节的教学中,我们就没有直接给出法则,也没有强化这个法则的语言表述,更没有一味地利用法则机械地对照训练,而是希望学生发现隐藏在二项式与二项式相乘算法之中的概念,发现相乘所采用的算法程序的意义。
于是,通过“代数瓷片”把相乘程序与面积模型联系起来,让学生对多项式乘以多项式所采用的程序进行意义建构,从而使他们理解代数运算的意义。
以二项式相乘:(3x-1)(2x+1)为例,让学生用“代数瓷片”来做出其乘积:①构建“代数瓷片”乘积的相关基础意义:x×x=x2x×(-x)=-x2 (-x)×(-x)=x2(-x)×x=-x2x×1=x x×(-1)=-x (-x)×1=-x (-x)×(-1)=x1×1=1 1×(-1)=-1 (-1)×1=-1 (-1)×(-1)=11+(-1)=0x+(-x)=0②利用以上结论来做出(3x-1)(2x+1)乘积。
张奠宙：数学文化
张奠宙：数学⽂化数学作为⼀种⽂化现象，早已是⼈们的常识。
历史地看，古希腊和⽂艺复兴时期的⽂化名⼈，往往本⾝就是数学家。
最著名的如柏拉图和达·芬奇。
晚近以来，爱因斯坦、希尔伯特、罗素、冯·诺依曼等⽂化名⼈也都是20世纪数学⽂明的缔造者。
数学⽂化的存在价值在即将公布的⾼中数学课程标准中，数学⽂化是⼀个单独的板块，给予了特别的重视。
许多⽼师会问为什么要这样做？⼀个重要的原因是，20世纪初年的数学曾经存在着脱离社会⽂化的孤⽴主义倾向，并⼀直影响到今天的中国。
数学的过度形式化，使⼈错误地感到数学只是少数天才脑⼦⾥想象出来的“⾃由创造物”，数学的发展⽆须社会的推动，其真理性⽆须实践的检验，当然，数学的进步也⽆须⼈类⽂化的哺育。
于是，西⽅的数学界有“经验主义的复兴”。
怀特（L.A.White）的数学⽂化论⼒图把数学回归到⽂化层⾯。
克莱因（M.Kline）的《古今数学思想》、《西⽅⽂化中的数学》、《数学：确定性的丧失》相继问世，⼒图营造数学⽂化的⼈⽂⾊彩。
国内最早注意数学⽂化的学者是北京⼤学的教授孙⼩礼，她和邓东皋等合编的《数学与⽂化》，汇集了⼀些数学名家的有关论述，也记录了从⾃然辩证法研究的⾓度对数学⽂化的思考。
稍后出版的有齐民友的《数学与⽂化》，主要从⾮欧⼏何产⽣的历史阐述数学的⽂化价值，特别指出了数学思维的⽂化意义。
郑毓信等出版的专著《数学⽂化学》，特点是⽤社会建构主义的哲学观，强调“数学共同体”产⽣的⽂化效应。
以上的著作以及许多的论⽂，都⼒图把数学从单纯的逻辑演绎推理的圈⼦中解放出来，重点是分析数学⽂明史，充分揭⽰数学的⽂化内涵，肯定数学作为⽂化存在的价值。
认识和实施数学⽂化教育进⼊21世纪之后，数学⽂化的研究更加深⼊。
⼀个重要的标志是数学⽂化⾛进中⼩学课堂，渗⼊实际数学教学，努⼒使学⽣在学习数学过程中真正受到⽂化感染，产⽣⽂化共鸣，体会数学的⽂化品位，体察社会⽂化和数学⽂化之间的互动。
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关于数学知识的教育形态张奠宙 (上海华东师范大学数学系 200062)
中国数学教育界流传很广的一句话是,给学生一杯水,教师得有一桶水.学富五车的数学家,能够上好数学课的很多,但上不好课的也屡见不鲜.这就是说,即使教师自己有一桶水甚至一缸水,如果倒不出来也是枉然.
依我看,教师的任务是把知识的学术形态转化为教育形态.教师的一桶水要成为学生的一杯水,不能简单地“倒”出来就行,而是要有一个转化的过程.
教科书里的数学知识,是形式化地摆在那儿的.准确的定义、逻辑地演绎、严密的推理,一个字一个字地线性地印在纸上.这是知识的学术形态,学生比较难懂.有的学生看懂了字面上的意思,甚至题目也会做了,却不知道学这些数学干什么,意义何在,价值在哪儿.这时的学生还没有接触数学知识的教育形态.
这时,教师的作用就显示出来了.教学水平较低的教师,照本宣科,把书上的内容重复一遍,抄在黑板上,就算“教”过了.好的教师,就不止是讲推理,更要讲道理,把印在书上的数学知识转化为学生容易接受的教育形态.教育形态的数学知识,散发着数学的巨大魅力.教师通过展示数学的美感,体现数学的价值,揭示数学的本质,感染学生,激励学生.这,才是美好的数学教育.
把数学知识转化为教育形态,一是靠对数学的深入理解,二是要借助人文精神的融合.数学理解不深入,心理发虚,讲起课来淡而无味.人文修养不足,只能就事论事,没有文采.深邃的数学文化,结果成了干巴巴的教条,学生学而无趣,最终不得已成为考试的奴隶.一些所谓“大容量、高密度、快节奏”的数学课,也只是“学术形态”的总和,很少关注它的教育形态.
我听过一堂据说得一等奖的“数学公开课”,内容是一元一次方程的第一教时.教师在“含有未知数的等式叫做方程”的黑体字上大做文章,反复举例,咬文嚼字地学习,琅琅上口地背诵.其实,方程的这个定义无非是一种描述而已,没有实质性的意义.绝对没有学生因为背不出这句话而学不会“方程”的.这是理解上的问题.
方程的本质是要求未知数,方法是借助未知数所满足的关系将它找出来.正像我们要寻求某位不认识的名人,需要请人介绍、拉上关系才行.方程二字,是中国的传统算学名词,先在《九章算术》里使用,徐光启、李善兰翻译〈几何原本〉时用得很好.鉴于“方程”二字十分妥贴传神,日本的数学名词也用“方程”二字.在这里讲点“闲话”,大概也是将知识转化为教育形态所必须的罢.
多年来,师范大学常常为“师范性”争论不休.我以为,所谓师范性,无非是各课教师都要善于把大学各门数学课中“学术形态”的知识,转化为“教育形态”.师范大学的教师应当成为这种转化工作的模范.如果说,中小学数学教师不善于把数学知识转化为教育形态,大学数学教师也许做得更差.。