四年级数学提高班第10讲 乘法原理
小学思维数学讲义：简单乘法原理-带答案解析
简单乘法原理1.使学生掌握乘法原理主要内容，掌握乘法原理运用的方法；2.使学生分清楚什么时候用乘法原理，分清有几个必要的步骤，以及各步之间的关系．3.培养学生准确分解步骤的解题能力；乘法原理的数学思想主旨在于分步考虑问题，本讲的目的也是为了培养学生分步考虑问题的习惯．一、乘法原理概念引入老师周六要去给同学们上课，首先得从家出发到长宁上8点的课，然后得赶到黄埔去上下午1点半的课．如果说申老师的家到长宁有5种可选择的交通工具（公交、地铁、出租车、自行车、步行），然后再从长宁到黄埔有2种可选择的交通工具（公交、地铁），同学们，你们说老师从家到黄埔一共有多少条路线？我们看上面这个示意图，老师必须先的到长宁，然后再到黄埔．这几个环节是必不可少的，老师是一定要先到长宁上完课，才能去黄埔的．在没学乘法原理之前，我们可以通过一条一条的数，把线路找出来，显而易见一共是10条路线．但是要是老师从家到长宁有25种可选择的交通工具，并且从长宁到黄埔也有30种可选择的交通工具，那一共有多少条线路呢？这样数，恐怕是要耗费很多的时间了．这个时候我们的乘法原理就派上上用场了．二、乘法原理的定义完成一件事，这个事情可以分成n个必不可少的步骤（比如说老师从家到黄埔，必须要先到长宁，那么一共可以分成两个必不可少的步骤，一是从家到长宁，二是从长宁到黄埔），第1步有A种不同的方法，第二步有B种不同的方法，……，第n步有N种不同的方法．那么完成这件事情一共有A×B×……×N种不同的方法．结合上个例子，老师要完成从家到黄埔的这么一件事，需要2个步骤，第1步是从家到长宁，一共5种选择；第2步从长宁到黄埔，一共2种选择；那么老师从家到黄埔一共有5×2个可选择的路线了，即10条．三、乘法原理解题三部曲1、完成一件事分N个必要步骤；2、每步找种数（每步的情况都不能单独完成该件事）；3、步步相乘四、乘法原理的考题类型1、路线种类问题——比如说老师举的这个例子就是个路线种类问题；2、字的染色问题——比如说要3个字，然后有5种颜色可以给每个字然后，问3个字有多少种染色方法；3、地图的染色问题——同学们可以回家看地图，比如中国每个省的染色情况，给你几种颜色，问你一张包括几个部分的地图有几种染色的方法；4、排队问题——比如说6个同学，排成一个队伍，有多少种排法；5、数码问题——就是对一些数字的排列，比如说给你几个数字，然后排个几为数的偶数，有多少种排法．教学目标知识要点【例 1】 邮递员投递邮件由A 村去B 村的道路有3条，由B 村去C 村的道路有2条，那么邮递员从A 村经B 村去C 村，共有多少种不同的走法？【考点】简单乘法原理 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 把可能出现的情况全部考虑进去．第一步 第二步A 村村C 村中A 村村 C 村北南C 村村A 村由分析知邮递员由A 村去B 村是第一步，再由B 村去C 村为第二步，完成第一步有3种方法，而每种方法的第二步又有2种方法．根据乘法原理，从A 村经B 村去C 村，共有3×2=6种方法．【答案】6【巩固】 如下图所示，从A 地去B 地有5种走法，从B 地去C 地有3种走法，那么李明从A 地经B 地去C地有多少种不同的走法？【考点】简单乘法原理 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 从A 地经B 地去C 地分为两步，由A 地去B 地是第一步，再由B 地去C 地为第二步，完成第一步有5种方法，而每种方法的第二步又有3种方法．根据乘法原理，从A 地经B 地去C 地，共有5×3=15种方法．【答案】15【例 2】 如下图中，小虎要从家沿着线段走到学校，要求任何地点不得重复经过．问：他最多有几种不同走法？【考点】简单乘法原理 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 从家到中间结点一共有2种走法，从中间结点到学校一共有3种走法，根据乘法原理，一共有3×2=6种走法．【答案】6【巩固】 在下图中，一只甲虫要从A 点沿着线段爬到B 点，要求任何点不得重复经过．问：这只甲虫最多有几种不同走法？例题精讲CBA【考点】简单乘法原理【难度】1星【题型】解答【解析】甲虫要从A点沿着线段爬到B点，需要经过两步，第一步是从A点到C点，一共有3种走法；第二步是从C点到B点，一共也有3种走法，根据乘法原理一共有3×3=9种走法．【答案】9【巩固】在右图中，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何点不得重复经过．问：这只甲虫最多有几种不同走法？D C BA【考点】简单乘法原理【难度】2星【题型】解答【解析】从A点沿着线段爬到B点需要分成三步进行，第一步，从A点到C点，一共有3种走法；第二步，从C点到D点，有1种走法；第三步，从D点到B点，一共也有3种走法．根据乘法原理，一共有3×1×3=9种走法．【答案】9【巩固】在右图中，一只蚂蚁要从A点沿着线段爬到B点，要求任何点不得重复经过．问：这只蚂蚁最多有几种不同走法？BDCA【考点】简单乘法原理【难度】2星【题型】解答【解析】解这道题时千万不要受铺垫题目的影响，第一步，A点到C点的走法是3种；第二步，从C点到D点，有1种走法；但第三步，从D点到B点的走法并不是3种，由D出去有2条路选择，到下一岔路口又有2条路选择，所总共有2×2=4（种）走法，根据乘法原理，这只蚂蚁最多有31412⨯⨯=（种）不同走法．【答案】12【巩固】在右图中，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何点不得重复经过．问：这只甲虫最多有几种不同走法？D C BA【考点】简单乘法原理【难度】2星【题型】解答【解析】从A点沿着线段爬到B点需要分成三步进行，第一步，从A点到C点，一共有3种走法；第二步，从C点到D点，一共也有3种走法；第三步，从D点到B点，一共也有3种走法．根据乘法原理，一共有33327⨯⨯=种走法．【答案】27【巩固】在右图中，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何点不得重复经过．问：这只甲虫最多有几种不同走法?BCA【考点】简单乘法原理【难度】3星【题型】解答【解析】解这道题时千万不要受铺垫题目的影响，A点到C点的走法不是3种，而是4种，C点到B点的走法也是4种，根据乘法原理，这只甲虫最多有4416⨯=种走法．【答案】16【例3】如果将四面颜色不同的小旗子挂在一根绳子上，组成一个信号，那么这四面小旗子可组成种不同的信号。
小学数学认识乘法的基本原理
小学数学认识乘法的基本原理数学是一门重要的学科，对于小学生来说，学好数学意味着打好基础，为将来的学习奠定坚实的基础。
而乘法作为数学中的一项基本运算，对于小学生的数学认知和发展具有重要的作用。
本文将介绍小学数学认识乘法的基本原理。
一、乘法的概念和符号乘法是一种数学运算，它用于计算两个数的积。
在乘法中，我们使用乘法符号“×”表示。
例如，3 × 4 = 12。
在这个例子中，3和4是被乘数，12是积。
乘法可以简单地理解为多个相同的数相加，也可以理解为一系列一样的数按照给定的倍数相加。
二、认识乘法的基本原理为了帮助小学生更好地理解乘法的基本原理，我们可以通过具体的实例进行说明。
1. 分组法在小学数学中，我们常用分组法来解释乘法。
分组法的基本原理是将多个相同的数分成几组，然后求每组数的总和。
例如，我们有3组每组4个苹果，我们可以通过分组法计算这些苹果的总数。
首先将3组苹果分成3组，每组有4个苹果。
然后我们计算每组苹果的总数，即4 + 4 + 4 = 12。
所以，3组每组4个苹果的总数是12个苹果。
2. 多次加法除了分组法，我们还可以通过多次进行加法运算来解释乘法。
例如，我们有5个3元硬币，我们想知道这些硬币的总价值。
我们可以进行多次加法来计算这个总值。
即，3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15。
所以，5个3元硬币的总价值是15元。
三、乘法的性质除了基本原理，乘法还具有一些重要的性质，其中包括：1. 乘法交换律乘法交换律是指交换两个数的顺序不改变乘积的结果。
即，对于任意的实数a和b，有a × b = b × a。
2. 乘法结合律乘法结合律是指在连续进行乘法运算时，括号的位置不会改变乘积的结果。
即，对于任意的实数a、b和c，有(a × b) × c = a × (b × c)。
这些性质可以帮助我们更好地善用乘法，并简化乘法运算的过程。
四年级下册-乘法原理
乘法原理一、考点、热点分析在日常生活中常常会遇到这样一些问题，就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法，要知道完成这件事一共有多少种方法，就用我们将讨论的乘法原理来解决．例如某人要从北京到大连拿一份资料，之后再到天津开会．其中，他从北京到大连可以乘长途汽车、火车或飞机，而他从大连到天津却只想乘船．那么，他从北京经大连到天津共有多少种不同的走法？分析这个问题发现，某人从北京到天津要分两步走．第一步是从北京到大连，可以有三种走法，即：第二步是从大连到天津，只选择乘船这一种走法，所以他从北京到天津共有下面的三种走法：注意到3×1=3．如果此人到大连后，可以乘船或飞机到天津，那么他从北京到天津则有以下的走法：共有六种走法，注意到3×2=6．在上面讨论问题的过程中，我们把所有可能的办法一一列举出来．这种方法叫穷举法．穷举法对于讨论方法数不太多的问题是很有效的．在上面的例子中，完成一件事要分两个步骤．由穷举法得到的结论看到，用第一步所有的可能方法数乘以第二步所有的可能方法数，就是完成这件事所有的方法数．一般地，如果完成一件事需要n个步骤，其中，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么，完成这件事一共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法．这就是乘法原理．二、典型例题例 1 某人到食堂去买饭，主食有三种，副食有五种，他主食和副食各买一种，共有多少种不同的买法？例2 右图中有7个点和十条线段，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何线段和点不得重复经过．问：这只甲虫最多有几种不同的走法？例3 书架上有6本不同的外语书，4本不同的语文书，从中任取外语、语文书各一本，有多少种不同的取法？例 4 王英、赵明、李刚三人约好每人报名参加学校运动会的跳远、跳高、100米跑、200米跑四项中的一项比赛，问：报名的结果会出现多少种不同的情形？例5 由数字0、1、2、3组成三位数，问：①可组成多少个不相等的三位数？②可组成多少个没有重复数字的三位数？例6 由数字1、2、3、4、5、6共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？例7 右图中共有16个方格，要把A、B、C、D四个不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出现一个棋子．问：共有多少种不同的放法？例8 现有一角的人民币4张，贰角的人民币2张，壹元的人民币3张，如果从中至少取一张，至多取9张，那么，共可以配成多少种不同的钱数？三、习题巩固1 .某罪犯要从甲地途经乙地和丙地逃到丁地，现在知道从甲地到乙地有3条路可以走，从乙地到丙地有2条路可以走，从丙地到丁地有4条路可以走．问，罪犯共有多少种逃走的方法？2. 如右图，在三条平行线上分别有一个点，四个点，三个点（且不在同一条直线上的三个点不共线）．在每条直线上各取一个点，可以画出一个三角形．问：一共可以画出多少个这样的三角形？3．在自然数中，用两位数做被减数，用一位数做减数．共可以组成多少个不同的减法算式？4．一个篮球队，五名队员A、B、C、D、E，由于某种原因，C不能做中锋，而其余四人可以分配到五个位置的任何一个上．问：共有多少种不同的站位方法？5.由数字1、2、3、4、5、6、7、8可组成多少个①三位数？②三位偶数？③没有重复数字的三位偶数？④百位为8的没有重复数字的三位数？⑤百位为8的没有重复数字的三位偶数？6.某市的电话号码是六位数的，首位不能是0，其余各位数上可以是0～9中的任何一个，并且不同位上的数字可以重复．那么，这个城市最多可容纳多少部电话机？四、习题练习1、用一张5元，一张2元，一张1元的人民币，可以组成种不同的币值．2．学校食堂星期一的主食和副食如下：如果一种主食搭配一种副食，有几种不同的搭配方法？3.（2009•常熟市）小明有3件不同的上衣，2条不同的裤子，若上衣和裤子搭配着穿，共有多少种不同的搭配方法4.（2009•南安市）（如图）杨明从家经过新华书店到达黄晓东家，一共有（）条路可以走．5.（2012•武汉模拟）一个篮球队，五名队员A，B，C，D，E，由于某种原因，C不能做中锋，D不能做控球后卫，而其余3个可以分配到五个位置的任何一个上，共有种不同的站法．6.用7，2，0，8，3，1可以组成多少个：（1）没有重复数字的三位数；（2）没有重复数字的三位奇数；（3）没有重复数字，且比500小的三位数．。
乘法的认识与运算小学四年级数学上册第十课教案
乘法的认识与运算小学四年级数学上册第十课教案乘法的认识与运算一、教学目标：1. 理解乘法的基本概念，掌握乘法的符号（×）和读法（乘以）。
2. 能够应用乘法进行简单的计算，并能解决与乘法相关的问题。
3. 培养学生对乘法的兴趣，提高他们的计算能力和思维能力。
二、教学重点和难点：1. 乘法的基本概念和运算符号的理解。
2. 能够应用乘法进行简单的计算。
3. 能够解决与乘法相关的问题。
三、教学准备：教学课件、黑板、彩色粉笔、纸张、铅笔。
四、教学过程：1. 导入（5分钟）教师在黑板上写下乘法的符号（×），并带领学生一起读出乘法的读音“乘以”。
然后询问学生是否听说过乘法，以及乘法的作用是什么。
2. 新知呈现（15分钟）教师通过使用教学课件，将乘法的概念和基本符号呈现给学生。
教师可以使用图片、图表等形式，向学生解释乘法的含义和作用。
同时，教师还可以通过一些例子，比如“3只小猫每只有4只脚，一共有多少只脚？”来引导学生理解乘法的用途和意义。
3. 讲解与练习（30分钟）教师讲解乘法的基本运算规则，如何进行乘法的计算。
然后，教师进行一些简单的乘法计算示范，让学生进行跟读，并进行相应练习。
例如：“请计算：2 × 3 =？”、“请计算：5 × 4 =？”等。
4. 拓展与应用（30分钟）教师设计一些扩展活动，帮助学生将乘法应用到实际问题中。
例如：“小明每天早上花10分钟去学校，那么他一周总共花多少时间去学校？”、“一箱苹果有6个，如果买3箱苹果，一共有多少个苹果？”等。
教师可以组织学生进行小组活动，让他们在小组内共同解决这些问题，并互相讨论。
5. 总结与归纳（10分钟）教师引导学生通过本节课的学习，总结乘法的基本概念、运算规则和应用方法。
同时，教师也可以让学生讲述自己在今天课堂上的收获和体会。
六、教学延伸：教师可以将乘法与其他运算进行比较和联系，引导学生思考不同运算的特点和应用场景。
四年级奥数培优《乘法原理》
乘法原理一、知识梳理我们在完成一件事时往往要分为多个步骤，每个步骤又有多种方法，当计算一共有多少种完成方法时就要用到乘法原理。
乘法原理：一般地，如果完成一件事需要n个步骤，其中，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事一共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。
乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响．．．．的独立步骤．．．．来完成，这几步是完成这件任务缺一不可的．．．．．，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”。
二、例题精讲例1. 在下图中，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何点不得重复经过，问这只甲虫最多各有几种不同走法？例 2. 要从五年级六个班中评选出学习，体育、卫生先进集体各一个，有多少种不同的评选结果（同一个班级只能得到一个先进集体？）例3. 5种不同颜色的笔来写“智康教育”这几个字，相邻的字颜色不同，共有多少种写法？例4. 如下图，A，B，C，D，E五个区域分别用红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的某一种染色，要使相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同的染色方法？A B例5. 北京到上海之间一共有6站，车站应该准备多少种不同的车票？（往返车票算不同的两种）三、课堂小测7. 邮递员投递邮件由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条，那么邮递员从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？8.将四封不同的信投入3个不同的信箱中，有多少种不同的投法。
9. “IMO”是国际数学奥林匹克的缩写，把这3个字母写成三种不同颜色.现在有五种不同颜色的笔，按上述要求能写出多少种不同颜色搭配的“IMO”？10.用四种颜色给右图的五块区域染色，要求每块区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色.问：共有多少种不同的染色方法？11. 北京到广州之间有10个站，其中有四个站是大站（包括北京、广州），从大站出发的车辆可以配卧铺，那么铁路局要准备多少种不同的卧铺车票。
小学四年级奥数教程-乘法原理
进阶练习题
总结词
强化乘法原理的应用
详细描述
通过较为复杂的乘法原理题目，引导学生运用乘法原理解决实际问题，培养 学生的数学思维和解决问题的能力。
高阶练习题
总结词
拓展思维和提高难度
详细描述
通过一些高难度的乘法原理题目，挑战学生的数学思维和逻辑推理能力，提高学 生对数学的兴趣和自信心。
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计算方法
将n进行组合，然后将m进行排列，最后计算组合数
利用乘法原理计算概率
概率公式
$P(A) = (n(A) / n(S))$
计算方法
将A事件发生的可能性n(A)与总事件数n(S)相除，得到概率P(A)
04
乘法原理在奥数中的应用
利用乘法原理解决奥数问题
涉及乘法原理的数学问题
这类问题通常涉及到分类和分步计数原理的运用，比如排列组合、概率统计等。
乘法原理的重要性
基础知识
乘法原理是概率论和统计学中的基础知识，是理解和分析数据的重要工具之 一。
实际应用
乘法原理在各个领域都有广泛的应用，如生物学、医学、社会科学、工程技 术和金融等。
乘法原理的应用
数据分析
乘法原理可以用来分析数据， 评估两个或多个因素之间的相 互作用，从而更好地理解数据
的分布和特征。
解决方法
通过将问题分解成多个步骤，每个步骤分别解决，最后再合并得到答案。
利用乘法原理解决复杂组合问题
涉及乘法原理的组合问题
这类问题需要运用到乘法原理和组合数学的知识，比如将一 排物品取出若干个的组合数等。
解决方法
通过运用乘法原理计算组合数的公式来解决，注意要分清是 有序还是无序的组合。
利用乘法原理解决概率问题
四年级下册数学试题-奥数专题讲练：第10讲 乘法原理与加法原理 精英篇(解析版)全国通用
第十讲乘法原理与加法原理乘法原理一般地，如果完成一件事需要n个步骤，其中，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，则完成这件事一共有N=m1×m2×…×m n种不同的方法．乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成，这几步是完成这件任务缺一不可的，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，步步相关。
”【例1】①有5个人排成一排照相，有多少种排法？②5个人排成两排照相，前排2人，后排3人，共有多少种排法？③5个人排成一排照相，如果某人必须站在中间，有多少种排法？④5个人排成一排照相，某人必须站在两头，共有多少种排法分析：①5个人排成一排照相，从左到右共5个位置。
第一个位置可从5个人中任选一人，有5种选法；第二个位置只能从剩下的4个人中任选一人，有4种选法，同理，第三、第四、第五个位置分别有3种、2种、1种选法。
每个位置上站了一人就是一种排法。
根据乘法原理，共有5×4×3×2×1=120种排法。
②5个人排成两排照相，可先排前排、再排后排，依次也有5个位置，类似①的方法可得共有5×4×3×2×1=120种排法。
③这里，限定某人必须站在中间，他的位置固定了，而其余4人可以任意站位，类似①的分析可知共有4×3×2×1=24种排法。
④这里，限定某人必须站在两头，这件事分两步完成，第一步，安排限定的人，有2种方法；第二步，安排其它的4人，类①的分析，有4×3×2×1=24种方法，根据乘法原理，共有2×（4×3×2×1）=24×2=48种排法.【例2】（小数报数学竞赛初赛）某沿海城市管辖7个县，这7个县的位置如右图．现用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色给右图染色，要求任意相邻的两个县染不同颜色．共有多少种不同的染色方法？分析：用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色依次染色，根据乘法原理，共有5×4×3×3×3×3×3=4860种不同的染色方法．【例3】（1）（迎春杯决赛）如右图（1）是中国象棋盘，如果双方准备各放一个棋子，要求它们不在同一行，也不在同一列，那么总共有多少种不同的放置方法？（2）（兴趣杯少年数学邀请赛决赛）在右图（2）中放四个棋子“兵”，使得每一列有一个“兵”，每一行至多有一个“兵”．有多少种不同的放法？分析：（1）设甲方先放棋子，乙方后放棋子．那么甲方可以把棋子放在棋盘的任意位置，故甲方有：10×9=90种不同的放置方法．对应甲方的第一种放法，乙方按规定必须去掉甲方棋子所在的行与列，而放置在剩下的任意位置，所以乙方有：9×8=72种不同的放置方法．因此，总共有：72×90=6480种不同的放置方法．（2）第一列有2种放法．第一列放定后，第二列又有2种放法．…如此下去，共有2×2×2×2=16种不同的放法．【例4】有10块糖，每天至少吃一块，吃完为止。
小学四年级奥数教程乘法原理
《小学四年级奥数教程乘法原理》2023-10-28contents •乘法原理概述•乘法原理基础•乘法原理进阶•乘法原理的应用•乘法原理的练习题与解析目录01乘法原理概述乘法原理定义乘法原理是关于两个或两个以上整数相乘的原理，即任何整数都可以表示为其他整数的和与倍数的乘积。
乘法原理公式乘法原理的公式为a×b=a×(b+n)−n，其中a、b和n均为整数，且n为任意整数。
什么是乘法原理基础数学知识乘法原理是小学数学中的基础知识，对于理解乘法的本质和解决乘法问题具有重要意义。
数学思维的培养学习乘法原理有助于培养学生的数学思维能力和逻辑推理能力，为后续学习更复杂的数学知识和解决实际问题打下基础。
乘法原理的重要性在古代数学中，乘法原理已经得到广泛应用。
例如，在古埃及和古希腊的数学文献中，都有关于乘法原理的记载和应用。
古代数学中的乘法原理在现代数学中，乘法原理不仅是基础数学知识之一，还在其他数学分支和实际应用领域发挥着重要作用。
现代数学中的乘法原理乘法原理的历史与发展02乘法原理基础如果有一个数 a 和另一个数 b 相乘，那么它们的乘积就是 a × b。
乘法原理定义乘法原理是关于乘法的数学原理，它描述了两个或多个数相乘的结果和如何进行这些乘法运算。
乘法原理公式乘法原理的公式与定义VS乘法结合律将三个数相乘，可以任意组合，它们的乘积不变。
例如：(a × b)× c = a × (b × c)。
乘法交换律交换两个数的位置，它们的乘积不变。
例如：a × b = b × a。
分配律将一个数与另一个数的和相乘，等于分别将这两个数相乘再求和。
例如：a × (b + c) = a × b+ a × c。
乘法原理的运算规则在购物时，如果一个商品的价格是 a 元，购买 b 个，那么总价就是 a × b 元。
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东圣学苑四年级数学提高班讲义
课题 乘法原理 课次
第10讲 时间 2013年5月11日 星期六 姓名
专题
简
析： 乘法原理：如果完成一件任务需要分成n 个步骤进行，做第1步有m 1种方法，做第2步有m 2种方法……做第n 步有m n 种方法，那么按照这样的步骤完成这件任务共有 N ＝m 1×m 2×…×mn 种不同的方法。
从乘法原理可以看出：将完成一件任
务分成几步做，是解决问题的关键，而这几步是完成这件任务缺一不可的。
例1马戏团的小丑有红、黄、蓝三顶帽子和黑、白两双鞋，他每次出场演出都要戴一顶帽子、穿一双鞋。
问：小丑的帽子和鞋共有几种不同搭配？
分析与解：由下图可以看出，帽子和鞋共有6种搭配。
事实上，小丑戴帽穿鞋是分两步进行的。
第一步戴帽子，有3种方法；第二步穿鞋，有2种方法。
对第一步的每种方法，第二步都有两种方法，所以不同的搭配共有
3×2＝6（种）。
例2从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有3条路，从丙地到丁地也有2条路。
问：从甲地经乙、丙两地到丁地，共有多少种不同的走法？
分析与解：用A1，A2表示从甲地到乙地的2条路，用B1，B2，B3表示从乙地到丙地的3条路，用C1，C2表示从丙地到丁地的2条路（见下页图）。
共有下面12种走法：
事实上，从甲到丁是分三步走的。
第一步甲到乙有2种方法，第二步乙到丙有3种方法，第3步丙到丁有2种方法。
对于第一步的每种方法，第二步都有3种方法，所以从甲到丙有2×3=6（种）方法；对从甲到丙的每种方法，第三步都有2种方法，所以不同的走法共有
2×3×2＝12（种）。
以上两例用到的数学思想就是数学上的乘法原理。
例3用数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个三位数（各位上的数字允许重复）？
分析与解：组成一个三位数要分三步进行：第一步确定百位上的数字，除0以外有5种选法；第二步确定十位上的数字，因为数字可以重复，有6种选法；第三步确定个位上的数字，也有6种选法。
根据乘法原理，可以组成三位数 5×6×6＝180（个）。
例4如下图，A ，B ，C ，D ，E 五个区域分别用红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的某一种染色，要使相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同的染色方法？
分析与解：将染色这一过程分为依次给A ，B ，C ，D ，E 染色五步。
先给A 染色，因为有5种颜色，故有5种不同的染色方法；第2步给B 染色，因不能与A 同色，还剩下4种颜色可选择，故有4种不同的染色方法；第3步给C 染色，因为不能与A ，B 同色，故有3种不同的染色方法；第4步给D 染 A1B1C1 A1B2C1 A1B3C1
A1B1C2 A1B2C A1B3C2
A2B1C1 A2B2C1 A2B3C1
A2B1C2 A2B2C2 A2B3C2
色，因为不能与A，C同色，故有3种不同的染色方法；第5步给E染色，由于不能与A，C，D同色，故只有2种不同的染色方法。
根据乘法原理，共有不同的染色方法
5×4×3×3×2＝360（种）。
例5求360共有多少个不同的约数。
分析与解：先将360分解质因数，
360＝2×2×2×3×3×5，
所以360的约数的质因数必然在2，3，5之中。
为了确定360的所有不同的约数，我们分三步进行：
第1步确定约数中含有2的个数，可能是0，1，2，3个，即有4种可能；
第2步确定约数中含有3的个数，可能是0，1，2个，即有3种可能；
第3步确定约数中含有5的个数，可能没有，也可能有1个，即有2种可能。
根据乘法原理，360的不同约数共有
4×3×2＝24（个）。
由例5得到：如果一个自然数N分解质因数后的形式为
其中P1，P2，…，Pl都是质数，n1，n2…，nl都是自然数，则N的所有约数的个数为：
（n1＋1）×（n2+1）×…×（nl＋1）。
利用上面的公式，可以很容易地算出某个自然数的所有约数的个数。
例如，11088＝24×32×7×11，11088共有不同的约数
（4＋1）×（2+1）×（1＋1）×（1＋1）＝60（个）。
例6有10块糖，每天至少吃一块，吃完为止。
问：共有多少种不同的吃法？
分析与解：将10块糖排成一排，糖与糖之间共有9个空。
从头开始，如果相邻两块糖是分在两天吃的，那么就在其间画一条线。
下图表示10块糖分在五天吃：第一天吃2块，第二天吃3块，第三天吃1块，第四天吃2块，第五天吃2块。
因为每个空都有加线与不加线两种可能，根据乘法原理，不同的加线方法共有29＝512（种）。
因为每一种加线方法对应一种吃糖的方法，所以不同的吃法共有512种。
课后作业：
1.有五顶不同的帽子，两件不同的上衣，三条不同的裤子。
从中取出一顶帽子、一件上衣、一条裤子配成一套装束。
问：有多少种不同的装束？
2.四角号码字典，用4个数码表示一个汉字。
小王自编一个“密码本”，用3个数码（可取重复数字）表示一个汉字，例如，用“011”代表汉字“车”。
问：小王的“密码本”上最多能表示多少个不同的汉字？
3.“IMO”是国际数学奥林匹克的缩写，把这3个字母写成三种不同颜色。
现在有五种不同颜色的笔，按上述要求能写出多少种不同颜色搭配的“IMO”？
4.在右图的方格纸中放两枚棋子，要求两枚棋子不在同一行也不在同一列。
问：共有多少种不同的放法？
5.要从四年级六个班中评选出学习和体育先进集体各一个（不能同时评一个班），共有多少种不同的评选结果？
6.甲组有6人，乙组有8人，丙组有9人。
从三个组中各选一人参加会议，共有多少种不同选法？
7.用四种颜色给右图的五块区域染色，要求每块区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。
问：共有多少种不同的染色方法？。