直线的点方向式方程
点方向式方程
点方向式方程
一
高中直线方程之一。
若向量（u,v）是直线L 的一个方向向量，[非零向量] 。
则：
uv不等于零，直线方程为
u=0 ,v 不等于零, 直线方程为x=x0
v=0 ,u 不等于零, 直线方程为y=y0
设点M（x,y,z）是直线L上的任意一点，且向量MoM与直线L 的方向向量S平行，所以两向量的对应坐标成比例，由于MoM=(x-xo,y-yo,z-zo),S=(m,n,p)。
如果在上式后面加上一个=t。
那么原式可以转换这便是直线的参数方程。
二
对称式：（即所谓点向式）（x-x0)/l=(y-y0)/m=(z-z0)/n
=> m(x-x0)=l(y-y0) => mx-ly-(mx0-ly0)=0
n(y-y0)=m(z-z0) => ny-mz-(ny0-mz0)=0
这就把对称式化为交面式。
其中：A1=m ；B1=-l ；C1=0 ；D1=-(mx0-ly0)。
A2=0 ；B2=n ；C2=-m ；D2=-(ny0-mz0)。
直线的一般式方程能够表示坐标平面内的任何直线。
平行于x轴时，A=0，C≠0；
平行于y轴时，B=0，C≠0；与x轴重合时，A=0，C=0；与y轴重合时，B=0，C=0；过原点时，C=0；。
高二数学直线的点方向式方程
若集合 A 中的点用坐标表示，则上面的条件（1）的意思就是 A B ；条件 （2）的意思即为 B A ，所以 A B 。也就是满足（1）、（2），就是说在点用 坐标形式表示的前提下，直线l 上的点的集合与方程 f (x, y) 0 的解的集合相 同。
例 1：观察下列直线方程，并指出各直线必过的点和它的一个方向向
量？
① 4x 4 7y 6 ③ x 1 ④ y 2
例 2：已知点 A4，6，B 3，1和 C4， 5，求经过点 A 且与 BC 平行的直线 l
的点方向式方程？
u
v
向式方程。值得注意的是：由u 0且v 0 ，方程②不能表示过 P(x0, y0) 且
与坐标轴垂直的直线；当 u 0 时 v 0 ，方程①可化为 x x0 0 ③，表示
过 P(x0, y0) 且与 x 轴垂直的直线；当 v 0 时u 0 ，方程①可化为 y y0 0 ④，
表示过 P(x0, y0) 且与 y 轴垂直的直线。
从上面的推导看，方向向量 d 是不唯一的，与直线平行的非零向量
都可以作为方向向量。
由点方向式易得，过不同的两点 P1(x1, y1), P2 (x2, y2 ) 的直线的方程是 ( y2 y1)( x x1) (x2 x1)( y y1) 0 。
问题3：确定一条直线须具备哪些条件?
两个点（原因是两点确定一条直线），又如一个点和一个平行方 向（原因是过已知点作平行于一条直线的直线有且只有一条）等 等。我们将这些条件用代数形式描述出来，从而建立方程。若此 方程满足定义中的（1）、（2）就找到了直线的方程。
空间直线的点向式方程
空间直线的点向式方程简介在数学中，空间直线是三维几何中的基本概念之一。
直线可以用多种方法来表示，其中一种方法是点向式方程。
本文将详细介绍空间直线的概念、点向式方程的定义以及如何推导和应用点向式方程。
空间直线的定义空间直线是三维几何中一条无穷延伸的路径，它由无限多个点组成。
直线上的任意两点可以确定一条直线，且直线上的所有点都与给定方向向量垂直。
点向式方程的定义点向式方程是用一条直线上的一个点和方向向量表示直线的一种方法。
它的一般形式可以表示为：r = a + λn，其中r是直线上的一个点的坐标，a是已知点的坐标，λ是一个参数，n是直线的方向向量。
推导点向式方程的步骤推导点向式方程的步骤如下： 1. 确定直线上的一个点和方向向量。
2. 找到直线上另一个点，得到两点的坐标差向量。
3. 将坐标差向量表示为参数的线性组合形式。
4. 将线性组合形式中的参数替换为λ来表示直线上的所有点。
推导示例以直线L: (x, y, z) = (2, 1, -3) + λ(1, -2, 4)为例，推导点向式方程的步骤如下： 1. 已知直线上的一个点为A(2, 1, -3)，方向向量为n(1, -2, 4)。
2. 取直线上的另一个点B(x, y, z)，得到坐标差向量AB(x-2, y-1, z+3)。
3. 将坐标差向量表示为参数的线性组合形式：(x-2, y-1, z+3) = λ(1, -2, 4)。
4. 将线性组合形式中的参数替换为λ，得到点向式方程：x = 2 + λ, y = 1 - 2λ, z = -3 + 4λ。
点向式方程的性质点向式方程具有以下几个性质： 1. 通过点向式方程可以得到直线上的任意一点的坐标。
2. 点向式方程中的方向向量与直线的方向有关，方向相同的直线具有相同的方向向量。
3. 点向式方程中的参数λ可以取任意实数，因此可以表示整个直线上的所有点。
4. 点向式方程方便进行直线之间的计算，如求两条直线的交点、判断两条直线的关系等。
直线方程知识点
直线方程知识点
1、一般式：适用于所有直线
Ax+By+C=0(其中A、B不同时为0)
2、点斜式：知道直线上一点(x0，y0)，并且直线的斜率k存在，则直线可表示为
y-y0=k(x-x0)
当k不存在时，直线可表示为
x=x0
3、斜截式：在y轴上截距为b(即过(0，b))，斜率为k的直线
由点斜式可得斜截式y=kx+b
与点斜式一样，也需要考虑K存不存在
4、截距式：不适用于和任意坐标轴垂直的直线
知道直线与x轴交于(a，0)，与y轴交于(0，b)，则直线可表示为
bx+ay-ab=0
特别地，当ab均不为0时，斜截式可写为x/a+y/b=1
5、两点式：过(x1，y1)(x2，y2)的直线
(y-y1)/(y1-y2)=(x-x1)/(x1-x2)(斜率k需存在)
6、法线式
Xcosθ+ysinθ-p=0
其中p为原点到直线的距离，θ为法线与X轴正方向的夹角
7、点方向式(X-X0)/U=(Y-Y0)/V
(U，V不等于0，即点方向式不能表示与坐标平行的.式子)
8、点法向式
a(X-X0)+b(y-y0)=0
温馨提示：在空间直角坐标系中，用两个表示平面的三元一次方程联立，作为它们相交所得直线的方程。
空间直线方程
二 、直线的一般式方程
空间直线可以看作是两个不平行平面的交线.由 于平面方程为三元一次方程.因此，两个系数不成比 例的三元一次方程组
A1 A2
x x
B1 y B2 y
C1z D1 0, C2 z D2 0
(2)
表示一条直线，称方
程组(2)为空间直线
的一般式方程.
第七节 空间直线方程
一、直线的点向式方程 二、直线的一般式程 三、直线的参数式方程 四、两直线间的关系 五、直线与平面之间的关系
一、直线的点向式方程
设有已知点M0(x0,y0,z0)和非零向s=(m,n,p).如何建 立过点M0且平行于向量s 的直线.
称s为该直线的方向向量. 设M(x,y,z)为所求直线上任意一点，则
m1m2 n1n2 p1 p2
m12 m12 p12 m22 m22 p22
1 3 (4) 111
0，
12 (4)2 12 32 12 12
故
π 2
，可知L1与L2垂直.
例4 求过点(1,–1,0)且与直线 x 1 y 3 z 1 平行 210
4
12 (1)2 12 32 12 22
2 42 21
从而 arcsin 2 42.
21
三、两直线间的关系
两条直线的方向向量所夹的角为这两条直线的夹角.
设这两条直线的方程为
L1 :
x x1 m1
y y1 n1
z
z1 , p1
L2
:
x x2 m2
y
y2 n2
z
11.1.2直线的方程---点法向式
(4) x 1
(2) 3x 2 y 4 0 x3 y 5 (3) 3 4
(5) y 2
6), B( 1， 2), C(6， 3) 例3.已知在ABC 中，点 A(1， 是三角形的三个顶点 ，
求： BC 边上的高所在直线的方程.
小结：
过点 P( x0 , y0 ) ，且与 d (u, v) 平行的直线方程 v( x x0 ) u( y y0 ) uv 0 v0 u0
;
1 (2)在 x 轴与y 轴上的截距都是 ; 2 x6 y 1 x 6 y 1 解:(1) 或 (两点式) 4 6 4 1 10 3 x y x (0.5) y 0 1 (截距式) (2) 或 0.5 0.5 0.5 0.5
注：一般地，若直线 l 在 x, y轴上的截距分别为 a, b ， x y 且 ab 0 ，则直线 l 的方程为 1 a b
1 4
5 0
5
5
例4.直线 l 过点 (3, 2) 且与坐标轴的正半轴围成 3 三角形的面积为 , 求直线 l 的方程. y 2 P 2 解法一:设直线 l 的截距式方程 N
x y 1 O 3 a b ab 3 2 2 a 3 根据条件得 解得 3 2 1 b 1 a b x y 因此直线 l 的方程为： 1 3 1
4
6
2.根据下列条件求直线的点法向式方程： (1) P(0,3), n (3, 4) (2) 经过点 A(2,0), B(0,3)
(3)过点 P(1,1) 且与直线 4( x 2) 3( y 1) 0 垂直. 3.在ABC 中，已知 A(3,6), B( 3,1), C(4, 5)
【初中数学】初中数学直线的方程公式
【初中数学】初中数学直线的方程公式【—直线的方程公式】我们在初中学习的直线的方程包括有平面方程和空间方程两种，相较于空间方程来说，平面方程的运用比较的多。
直线的方程平面方程1、一般式：适用于所有直线ax+by+c=0(其中a、b不同时为0)2、点斜式：知道直线上一点(x0，y0)，并且直线的斜率k存在，则直线可表示为y-y0=k(x-x0)当k不存在时，直线可表示为x=x03、斜截式：在y轴上截距为b(即过(0，b))，斜率为k的直线由点斜式只须斜截式y=kx+b与点斜式一样，也需要考虑k存不存在4、dT式：呼吸困难用作和任一坐标轴横向的直线知道直线与x轴交于(a，0)，与y轴交于(0，b)，则直线可表示为bx+ay-ab=0特别地，当ab均不为0时，斜截式可写为x/a+y/b=15、两点式：过(x1，y1)(x2，y2)的直线(y-y1)/(y1-y2)=(x-x1)/(x1-x2)(斜率k需存在)6、法线式xcosθ+ysinθ-p=0其中p为原点至直线的距离，θ为法线与x轴正方向的夹角7、点方向式(x-x0)/u=(y-y0)/v(u，v不等同于0，即点方向式无法则表示与座标平行的式子)8、点法向式a(x-x0)+b(y-y0)=0空间方程1、通常式ax+bz+c=0,dy+ez+fc=02、点向式：设直线方向向量为(u,v,w)，经过点(x0,y0,z0)(x-x0)/u=(y-y0)/v=(x-x0)/w3、x0y式x=kz+b,y=lz+b总结归纳一共有11个直线的方程公式，要运用好的时候也请大家选择了。
空间直线点向式方程和一般方程的相互转化
空间直线点向式方程和一般方程的相互转化数学中，空间直线的表示方式有很多种，其中最常见的有直线的向式方程和一般方程。
这两种方程之间的相互转化在数学中有着广泛的应用。
本文将从向式方程和一般方程的基本概念、转化方法等方面进行介绍。
一、向式方程的基本概念向式方程是指通过直线上一点和直线的方向向量，来表示直线的方程。
具体来说，若直线L上有点P（x0,y0,z0），且直线的方向向量为a（a1,a2,a3），则直线的向式方程可以表示为：(x-x0)/a1 = (y-y0)/a2 = (z-z0)/a3其中，x、y、z分别表示直线上任意一点的坐标。
二、一般方程的基本概念一般方程是指通过直线上两个不同的点来表示直线的方程。
具体来说，若直线L上有两点P1（x1,y1,z1）和P2（x2,y2,z2），则直线的一般方程可以表示为：(x-x1)/(x2-x1) = (y-y1)/(y2-y1) = (z-z1)/(z2-z1)其中，x、y、z分别表示直线上任意一点的坐标。
三、向式方程和一般方程的相互转化在数学中，向式方程和一般方程是可以相互转化的。
具体来说，有以下两种转化方式：1. 从向式方程转化为一般方程若已知直线L的向式方程为：(x-x0)/a1 = (y-y0)/a2 = (z-z0)/a3我们可以通过以下步骤将其转化为一般方程：（1）将向量a化为平面上的两个向量b和c。
具体来说，我们可以任意选取两个向量b和c，使它们与向量a不共线，然后使用向量叉积的方法求出向量n=b×c（其中×表示向量叉积）。
向量n垂直于平面，而既过点P且平行于向量a的直线L，则与平面到点P的垂线n相交于点Q，可以把向量PQ看成是平面上的向量，其分别在b、c上的投影值分别为t和s（t和s为实数）。
因此，我们可以得到以下向量表示：PQ = tb+sc（2）将向量表示化为坐标表示，具体来说，我们可以将向量b、c和n 分别表示为坐标向量：b = (x1,y1,z1)c = (x2,y2,z2) n = (a1,a2,a3)则有：PQ = tb+sc = (x-x0,y-y0,z-z0)因此，我们可以得到以下解方程组的方法：(x-x0)/a1 = (y-y0)/a2 = (z-z0)/a3(x-x1)/(x2-x1) = (y-y1)/(y2-y1) = (z-z1)/(z2-z1)2. 从一般方程转化为向式方程若已知直线L的一般方程为：(x-x1)/(x2-x1) = (y-y1)/(y2-y1) = (z-z1)/(z2-z1)我们可以通过以下步骤将其转化为向式方程：（1）选取一点P(x0,y0,z0)在直线上，我们假设刚刚选取的点为P(x0,y0,z0)。
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（x2 x1 0， y2 y1 0）
(4).观察下列方程，并指出各直线 必过的一点和它们的一个方向向量。
x 3 y 5 ① 3 4
答案：P(3,5), d （3， 4）
②
4( x 4) 7( y 6)
Байду номын сангаас
P(4,6), d （7， 4）
③
2x 5 y 6 0
x x0 y y0 u v
② ①
注：直线l的方向向量d可以在直线l上。 点方向式方程的推导源头来自向量平行。
直线的点方向式方程
x x0 y y 0 u v
（u,v均不为零）
或 : v( x x0 ) u ( y y0 )
（u,v至多有一个可以为零）
(2)对于直线ax by c 0
一个方向向量：d (b,a) 直线化为：ax＝ by c c c ax ＝ by 2 2 c c a x ＝ b y 2a 2b c c x y 2a 2b ＝ b a
a( x x0 ) b( y y0 ) 0
③
l
n ( a , b)
d (u, v)
（2）：若直线的一个方向向量是d (u, v) 则它的一个法向量是n (v,u ) 反之，若直线的一个法向量是n (a, b) 则它的一个方向向量是d (b,a )
练习：观察下列方程，并写出各直线 的一个方向向量和一个法向量。
1 2 5 2
例1 ．已知A(1， 2)、B(4， 1)、C(3， 6)为三角形三个顶点， (1)求AC中线所在直线的方程； (2)求BC中位线所在直线的方程．
(2). 过两点P 1 ( x1 , y1 )与P 2 ( x2 , y 2 ) 的直线方程是
x x1 y y1 x2 x1 y2 y1
与直线l平行的向量叫做直线 l 的方向向量；
(1)直线 l 的方向向量不唯一．
已知点A( x1，y1 )和B( x2，y2 )是直线 l 上不同 两点( x1 x2且y1 y2 )，求直线 l 的方向向量．
方向向量 d ( x2 x1，y2 y1 )
仔细阅读课本page 5 图11-1以下的内容 直线的点方向式方程的推导
x x0 y y 0 , (1) u v
x x0 y y0
**与直线 l 平行的非零向量都可作为直线 l 的方向向量.
1.直线的点方向式方程：
(1)过点P ( x0 , y0 )且与非零向量 d (u , v )平行的直线的方程是
或 : v( x x0 ) u ( y y0 )
1.直线的方向向量
设 P1 , P2 是直线 l 上两点，则向量 零向量称为直线 l 的方向向量
v1
v2
P1 P2
或与
P1 P2
平行的非
l
P2
P1 O
图1
如图１中，非零向量 P 1P 2, P 2P 1 , v1 , v2 都是直线 l 的方向向量
x 1 y 2 （ 1 ） 1 2 2x 1 (2) 3 y 5
答案：（ 1 ） d （ 1， 2）， n （2， 1 ）
（2） n （2， 15） ,d （ 15， 2）
解： (1) 线段AC中点E (2,4) BE (2， 3)是l BE的一个方向向量 x4 y 1 AC中线所在直线方程为： 即3x 2 y 14 0 2 3 (2) d (1 ， 5)是BC中位线的一个方向向量 x2 y4 BC 中位线所在直线方程为： 即5x y 14 0 1 5 5 3 1 5 或AB中点F ( , ), FE ( ， )是l FE的一个方向向量 2 2 2 2 x2 y4 l FE的点方向式方程是：
0 0
1.若直线 l 过点P(x0,y0),方向向量为 d (u, v) .
则可得:
y
v(x x 0 ) u(y y 0 ).
l
o
P(x , y ) 0 0 d (u, v)
x
*当
u v 0 时,直线 l 的点方向式方程为:
*当 u 0, v 0 时,直线 l 的方程是: *当 u 0, v 0 时,直线 l 的方程是:
答案：P(2,2), d (5,2)
一般地，ax by c 0 的一个方向向量是d (b,a)
④ ⑤
x -2
y -3 0
答案：P(-2,0), d (0,1)
P(2,3), d (1,0)
2.直线的点法向式方程
（1） .已知直线l经过点P ( x0 , y0 ) 且与非零向量n ( a, b)垂直 的直线方程是：
点方向式方程 1.“直线的方向向量”的定义：与直线 l 平行的 向量 d 叫做直线 l 的一个方向向量; d 的坐标 (u,v)就是直线l的一个方向向量的坐标. 问题探究:已知直线 l 经过点P(x0,y0),且与l平行的一 个向量 d =(u,v) , 求这条直线 l 的方程. 设直线 l 上任意一点Q( x , y ) y 则P Q=( x-x0 , y-y0 ) // d =( u , v ) P( x0 , y0 ) v (x-x0) = u(y-y0,) 直线 l 当uv 0时,直线的点方向 d = ( u,v ) o x 式方程是: x x y y u v