第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初一决赛B试卷答案及其详细解析

第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛笔试试题B （初一组）（时间：2012年4月21日10:00~11:30）一、填空题（每小题10分，共80分） 1．计算：()()()234221-2-1--12--2=1-2-+1-3-24⎡⎤⎛⎫⨯÷⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎡⎤⨯⨯ ⎪⎣⎦⎝⎭解析： []3422211(2)(1)12()8112()84840242111(118)202()13(2)4()19(2)44⎡⎤-⨯---÷---⨯-÷-⎢⎥-+⎣⎦====++⎡⎤-⨯-+-⨯--⨯-+-⨯-⎣⎦2. 一串有规律排列的数，从第二项起每一项都是2加前一项的倒数之和，当第五项是20时，第一项是 解析：154321111111181351882,1,1,20118352202183588211222183588n nnn a n a n a a a a a a a ++-=+≥⇒=≥=⇒==⇒==-⇒==-⇒==-------3.两条直角边相差5分米，且斜边为20分米的直角三角形面积为（ 93.75 ）平方分米。

解析：22222211,5,(5)(5)223751375(5)205(5)93.75224x x x x x x x x x x x x ++=+++=⇒+=+==设较短的直角边为分米则另一直角边为分米所求面积S=由勾股定理得：,从而S=4.令[x]表示不大于x 的最大整数，{x}=x-[x],则20121201222012+320122012+++...+5555+++⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭的值为（505.4）解析：2012120122201232012201220103201042010520102014......55555555201032010320104201042010520105555555++++++++⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫++++=++++⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎛++⎫⎛++⎫++⎡⎤⎡⎤⎡=-+-+-⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦⎣⎝⎭⎝⎭2010201420102014...5520103201032010420104201052010520106201062010920109...55555555552010105⎛⎫⎛++⎫⎤⎡⎤++- ⎪ ⎪⎥⎢⎥⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎛++⎫⎛++⎫⎛++⎫⎛++⎫⎛++⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭++201010201011201011201014201014......55555201020102010201020102011201020112010201420102014...555555345⎛+⎫⎛++⎫⎛++⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛++⎫⎛++⎫⎛++⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+14141471470...0......0...0...4022402805.455555555555⎛⎫+++++++++++++=++++⨯=+⨯= ⎪⎝⎭5如右图，四边形MAOB 与NAOB ，且S 四边形MAOB =S 四边形NAOB =40，点P 在线段MN 上，则S 四边形PAOB 的面积等于解析：连接AB ，由S 四边形MAOB =S 四边形NAOB 知S 三角形ABN =S 三角形ABM , 所以 AB//NM 所以S 三角形ABP =S 三角形ABN ，所以S 四边形PAOB =S 四边形MAOB =406．设m=2n -n 2.当n 取1,2，…，2012时，能被6整除的m 有（671）个。

解析：2n ≡n 2 (mod 6)，则n 必须为偶数，且2n ≡n 2 (mod 3)2n (mod 3): 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, …,n 2 (mod 3): 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, …以6个为周期重复，符合条件的n=6k+2, 6k+4,2012=335*6+2, 所以共有335组，最后还多一个符合条件的2012,总数为335*2+1=6717. 一个学校选出5个年级共8个班，从每个班至少选出一名学生，则在这些选出的学生中，至少有（4）名学生，他们的同班同学比他们的同年级同学少。

解析：“同班同学比同年级同学少”意味着该年级选了不止一个班，每班只选1人，先在每个年级选1个班级，还差3个班级，易知这3个班级应该从同一年级选，所以某年级共选了4个班级。

分布为：4，1，1，1，1，所以符合条件的共4名学生8．在乘法算式：草绿X 花红了=春光明媚，中，汉字代表非零数字，不同汉字代表不同数字，那么 春光明媚 所代表的四位数最小是（4396）解析：容易猜测：草=2，花=1，春=4 考察个位，绿*了 = X 媚，在剩下的数字中符合这个关系的组合有3*6=18，3*9=27，7*8=56，7*9=63，由于要求四位数最小，所以我们对于乘数从大到小尝试 对于7*9=63，红=5，6，8，经验证均不合条件。

对于7*8=56，红=3，5，9，经验证，当红=5时，有：157*28=4396，所以最小的四位数是 4396二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9.能否用500个右图所示的1X2的小长方形拼成一个5X200的大长方形，使得5X200的每一行都有奇数个星、每一列都有偶数个星？说明理由。

解析：因为有奇数行, 奇数⨯奇数=奇数. 有偶数列, 偶数⨯偶数=偶数, 奇数不等于偶数, 因此不可能。

10.从1到1000中最多可以选出多少个数，满足：这些数中任意两个数的差都不整除它们的和？ 解析：构造抽屉, （1,2,3）（4,5,6）（7,8,9）……（997, 998,999）（1000）, 共334组, 前面333组中, 每组的数满足任意两个数的差整除它们的和, 故每组取一个, 最多取334个.取：1,4, 7, ⋯, 1000, 因为这些数中任意两个数的差是3的倍数, 任意两个数的和被3除余2. 因此满足题目的要求.11.某个水池存有的水量是其容量的118，两台抽水机同时向水池注水，当水池的水量达到29时，第一台抽水机开始单独向水池注水，用时81分钟，所注入的水量等于第二台抽水机已注入水池内的水量，然后第二台抽水机单独向水池注水49分钟，此时，两台抽水机注入水池的总水量相同，之后，两台抽水机都继续向水池注水，那么两台抽水机还需要一起注水多少分钟，方能将水池注满。

解析：由题意可知：两台抽水机第一次同时向水池注水的水量是6118192=-.设水池容量为1, 两台抽水机单独向水池注水的水量为61时所需时间分别为1V 和2V , 两台抽水机一起向水池注水的水量为61时,设所需时间为t, 则有下列方程：221249,81V V t V V t ==.所以, 6397,9712=⨯==t V V .由题意可知：两台抽水机单独向水池注水的水量之和也是61, 两台抽水机都继续向水池注水, 还需要注水18111816121=-⨯-方能将水池注满水, 故有23163611811=⨯⎪⎭⎫⎝⎛÷(分钟).12.小李和小张在一个圆形跑道上匀速跑步，两人同时同地出发，小李顺时针跑，每72秒跑一圈；小张逆时针跑，每80秒跑一圈，在跑道上划定起点为中点的1/4圆弧区间，那么两人同时在划定的区间内所持续的时间为多少秒？解析： 设起跑时间为0秒时刻, 则小李和小张在划定区间跑的时间段分别为]9,0[, ]972,972[+-k k ,,3,2,1=k ,和]10,0[, ]1080,1080[+-m m , ,3,2,1=m .其中 [a, b] 表示第a 秒时刻至第b 秒时刻. 显然 ]9,0[ 即前9秒里两类时间段的公共部分. 此外, 考虑]972,972[+-k k 和]1080,1080[+-m m 的公共区间, m k ,为正整数, 分两种情况:1) m k 8072=, 即小李和小张分别跑了k 圈和m 圈同时回到起点, 他二人同时在划定区域跑18秒. 2) m k 8072≠, 例如10809721080972+≤+≤-≤-m k m k ⇔1972801≤-≤k m ①.两人同时在划定区域内跑了)1080(972--+m k )7280(19k m --=. 由①知87280=-k m , 16. 于是两人同时在划定区域内跑持续时间为11秒或3秒. 其它情况类似可得同样结果.综上, 答案为18,11,9,3.三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13．实数x,y,z,w 满足x ≥y ≥z ≥w ≥0,且5x+4y+3z+6w=2012,求x+y+z+w 的最大值和最小值。

解析：设z=w+a, y=w+a+b, x=w+a+b+c.则b,c ≥0, 且x+y+z+w=4w+3a+2b+c. 2012=5(w+a+b+c)+4(w+a+b)+3(w+a)+6w=18w+12a+9b+5c=4⨯(4w+3a+2b+c)+(2w+b+c) ≥4(x+y+z+w). 因此, x+y+z+w ≤503. 当x=y=z=503/3, w=0时, 上式等号成立.故x+y+z+w 的最大值为503又2012=18w+12a+9b+5c=5⨯ (4w+3a+2b+c)-(2w+3a+b)≤5(x+y+z+w), 则 x+y+z+w ≥2012/5. 当x=2012/5, y=z=w=0时, 上式等号成立.故x+y+z+w 的最小值为2012/5.14. 平面上有从1到n 编了号的n 个点，每个点与另外k 个点连有直线段，若一个点连的k 条直线段的另外k 个端点的编号中有多于一半的编号小于它自身的编号，这个点就称为“好点”。

若恰有5个好点，问：n 的最小值是多少？解析：一个点连的线段的另一端点的编号小于它的编号, 我们称这条线段为该点发出的“好线”. 每个好点, 发出的“好线”的条数不小于12+⎥⎦⎤⎢⎣⎡k ，令][x 表示不大于x 的最大整数, ][}{x x x -=。

编号为n 的点发出的连线都是好线，其它4个好点发出的连线的条数大于等于22214124+=+⨯≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯k k k 由于5个好点发出的好线的条数小于所有的连线数2nk ，所以222nkk k <++，(*))6(4-<n k 另外,设好点中最小编号为m ,则编号为1,2,…,1-m 的点都不是好点, 而非好点的总数是5-n , 所以, 1 5.m n -≤-此外, 第m 号点最多只能发出1-m 条好线, 因此,[]11 5.2km n +≤-≤-{}152221151, 211. (**)222 k kn k k n n k n -+≤--⎧⎫≤--+≤≤-⎨⎬⎩⎭由(*)和(**), 4(211)(6),,8.n n n <--≥不难验证不等式才能成立 下面例子说明,n=8是可以达到的. 现设n=8,取k=3,有*表示编号等于行号和列号的两个点连线.。