最新精编高中人教A版选修1-1高中数学拔高习题九2.1.1椭圆及其标准方程和答案
(新课标人教A版)选修1-1数学同步课件：2-1-1《椭圆及其标准方程》
(2)∵椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为： y2 x2 a2＋b2＝1(a>b>0)． ∵2a＝26,2c＝10，∴a＝13，c＝5. ∴b2＝a2－c2＝144. y2 x2 ∴所求椭圆方程为：169＋144＝1.
[点评]
x2 y2 y2 x2 在椭圆的标准方程a2＋b2＝1 和a2＋b2＝1 中，
＝1上的点，
F1和F2是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积．
[解析]
y2 x2 在椭圆 5 ＋ 4 ＝1 中，a＝ 5，b＝2，∴c＝
a2－b2＝1， 又∵点 P 在椭圆上，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝2 5① 由 余 弦 定 理 知 |PF1|2 ＋ |PF2|2 － 2|PF1|· |PF2|· cos30° ＝ |F1F2|2＝(2c)2＝4② ①式两边平方得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|· |PF2|＝20③ ③－②得(2＋ 3)|PF1|· |PF2|＝16， ∴|PF1|· |PF2|＝16(2－ 3)， 1 ∴S△PF1F2＝2|PF1|· |PF2|· sin30° ＝8－4 3.
式时，需将它们放在方程的两侧，并使其中一侧只有一个
根式．
1．对椭圆的定义要正确理解、熟练运用，解决过焦点
的问题时，要结合图形看能否运用定义． 2．用待定系数法来求椭圆的标准方程时，要“先定型， 再定量”，不能确定焦点的位置，可进行分类讨论或设为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)的形式．
1 ．平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离之和等于定长 ( 大
2．在理解椭圆的定义时，要注意到对“常数”的限定，
即常数要大于|F1F2|.这样就能避免忽略两种特殊情况，即： 当常数等于|F1F2|时轨迹是一条线段；当常数小于|F1F2|时点 不存在．
高中数学课时提升作业九2.1.1椭圆及其标准方程含解析新人教A版选修1
课时提升作业九椭圆及其标准方程一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·青岛高二检测)已知椭圆+=1上一点P到其中一个焦点的距离为3,则点P到另一个焦点的距离为( )A.2B.3C.5D.7【解析】选 D.设该椭圆的两个焦点分别为F1,F2,利用椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=10.不妨令|PF1|=3,则|PF2|=7.2.(2016·日照高二检测)已知椭圆+=1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2,N是MF的中点,O 为坐标原点,那么线段ON的长是( )A.2B.4C.8D.【解析】选B.设椭圆的另一个焦点为E,如图,则|MF|+|ME|=10,所以|ME|=8.又ON为△MEF的中位线,所以|ON|=|ME|=4.3.椭圆+=1的焦距是2,则m的值是( )A.5B.3或8C.3或5D.20【解析】选C.由题意得2c=2,c=1,故有m-4=1或4-m=1,所以m=5或m=3.4.(2016·淄博高二检测)若椭圆的对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆上点的最短距离为,则这个椭圆的方程为( )A.+=1B.+=1C.+=1或+=1D.以上都不对【解析】选C.设短轴的一个端点为P,焦点分别为F1,F2,因为△PF1F2为正三角形,所以|OP|=|F1F2|,可得b=c,即= c.①又因为椭圆的焦点到椭圆上点的最短距离为,所以a-c=,②联立①②,可得a=2,c=,b==3.因此a2=12且b2=9,可得椭圆的标准方程为+=1或+=1.5.已知椭圆+y2=1的焦点为F1,F2,点M在该椭圆上,且·=0,则点M到x轴的距离为( )A. B. C. D.【解题指南】由·=0知△MF1F2为直角三角形,可根据面积求M到x轴的距离.【解析】选 C.由·=0,得MF1⊥MF2,可设|=m,|=n,在△F1MF2中,由m2+n2=4c2得(m+n)2-2mn=4c2,根据椭圆的定义有m+n=2a,所以2mn=4a2-4c2,故mn=2b2,即mn=2,所以=·mn=1,设点M到x轴的距离为h,则×|F1F2|×h=1,又|F1F2|=2,故h=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知椭圆中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1,则椭圆的标准方程为.【解析】由题意可得所以故b2=a2-c2=3,所以椭圆方程为+=1.答案:+=17.设P是椭圆+=1上的点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,则|PF1|·|PF2|的最大值是. 【解析】由题意知:|PF1|+|PF2|=2a=8,所以|PF1|·|PF2|≤==16,当且仅当|PF1|=|PF2|时取“=”,故|PF1|·|PF2|的最大值是16.答案:168.如图所示,F1,F2分别为椭圆+=1的左、右焦点,点P在椭圆上,△POF2是面积为的正三角形,则b2= .【解析】由题意=c2=,所以c=2,所以a2=b2+4.由题意得点P坐标为(1,),把x=1,y=代入椭圆方程+=1中得+=1,解得b2=2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知椭圆的中心在原点,且经过点P(3,0),a=3b,求椭圆的标准方程.【解析】当焦点在x轴上时,设其方程为+=1(a>b>0).由椭圆过点P(3,0),知+=1,又a=3b,解得b2=1,a2=9,故椭圆的方程为+y2=1.当焦点在y轴上时,设其方程为+=1(a>b>0).由椭圆过点P(3,0),知+=1,又a=3b,联立解得a2=81,b2=9,故椭圆的方程为+=1.故椭圆的标准方程为+=1或+y2=1.10.(2016·郑州高二检测)如图,设P是圆x2+y2=25上的动点,点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且|MD|=|PD|.当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程.【解题指南】设M(x,y),由等式|MD|=|PD|坐标化,即得轨迹方程.【解析】设点M的坐标是(x,y),P的坐标是(x P,y P),因为点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且|MD|=|PD|,所以x P=x,且y P=y. 因为P在圆x2+y2=25上,所以x2+=25,整理得+=1,即点M的轨迹C的方程是+=1.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016·郑州高二检测)已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是( )A.m<2B.1<m<2C.m<-1或1<m<2D.m<-1或1<m<【解析】选D.由题意得即所以1<m<或m<-1.2.(2016·临沂高二检测)设椭圆+=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,点P(a,b)满足|F1F2|=|PF2|,设直线PF2与椭圆交于M,N两点,若|MN|=16,则椭圆的方程为( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选B.因为点P(a,b)满足|F1F2|=|PF2|,所以=2c,整理得2+-1=0,所以=.所以a=2c,b=c,可得椭圆方程为3x2+4y2=12c2,直线PF2的方程为y=(x-c),代入椭圆方程,消去y并整理,得5x2-8cx=0,解得x=0或c,得M(0,-c),N,所以|MN|=c=16,所以c=5,所以椭圆方程为+=1.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·温州高二检测)已知椭圆+=1的两个焦点是F1,F2,点P在该椭圆上,若|PF1|-|PF2|=2,则△PF1F2的面积是.【解析】由已知得|F1F2|=2c=2,|PF1|+|PF2|=4,又|PF1|-|PF2|=2,所以得|PF1|=3,|PF2|=1,因此|PF2|2+|F1F2|2=|PF1|2,所以△PF1F2是直角三角形,所以=·|F1F2|·|PF2|=.答案:4.(2016·唐山高二检测)已知椭圆C:+y2=1的焦点F(1,0),直线l:x=2,点A∈l,线段AF交C于点B,若=3,则||=【解题指南】设出A点的坐标,利用=3求出A点坐标,即可求出||的大小.【解析】设A(2,y0),B(x1,y1),=(1,y0),=(x1-1,y1),由=3,得(1,y0)=3(x1-1,y1),所以又点B在椭圆C上,所以+=1,解得y0=±1,所以A点坐标为(2,±1),所以||==.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2016·烟台高二检测)已知椭圆+=1(a>b>0)的焦点分别为F1(0,-1),F2(0,1),且3a2=4b2.(1)求椭圆的方程.(2)设点P在这个椭圆上,且|PF1|-|PF2|=1,求∠F1PF2的余弦值.【解析】(1)由题意得椭圆焦点在y轴上,且c=1.又因为3a2=4b2,所以a2-b2=a2=c2=1,所以a2=4,b2=3,所以椭圆标准方程为+=1.(2)如图所示,|PF1|-|PF2|=1.又由椭圆定义知,|PF1|+|PF2|=4,所以|PF1|=,|PF2|=,|F1F2|=2,cos∠F1PF2==.6.(2016·连云港高二检测)设F1,F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点,B为椭圆上的点且坐标为(0,-1).(1)若P是该椭圆上的一个动点,求|PF1|·|PF2|的最大值.(2)若C为椭圆上异于B的一点,且=λ,求λ的值.(3)设P是该椭圆上的一个动点,求△PBF1的周长的最大值.【解析】(1)因为椭圆的方程为+y2=1,所以a=2,b=1,c=,即|F1F2|=2,又因为|PF1|+|PF2|=2a=4,所以|PF1|·|PF2|≤==4,当且仅当|PF1|=|PF2|=2时取“=”,所以|PF1|·|PF2|的最大值为4.(2)设C(x0,y0),B(0,-1),F1(-,0),由=λ得x0=,y0=-.又+=1,所以有λ2+6λ-7=0,解得λ=-7或λ=1,C异于B点,故λ=1舍去.所以λ=-7.(3)因为|PF1|+|PB|=4-|PF2|+|PB|≤4+|BF2|,所以△PBF1的周长≤4+|BF2|+|BF1|=8,所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时,△PBF1周长最大,最大值为8.。
人教A版高中数学选修一高中选修1-1《2.1椭圆》测试题
例题：
例1、求符合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)经过点(-3,0)、(0,-2);
(2)长轴的长等于20,离心率等于0.6
（3）经过点22,0,0,5
P Q 例2点,M x y 与定点4,0F 的距离和它到直线25:4l x
的距离之比是常数4
5，求点M 的轨迹.
习题：1.在椭圆10042522y x 中,a= ,b= ,焦距是
焦点坐标是 ,______.
焦点位于________轴上2.如果方程
1m y 4x 22表示焦点在X 轴的椭圆,则实数m 的取值范围是．
2、求适合下列条件的椭圆的标准方程
（1）.a=4,b=1,焦点在x 轴上.（2）.a=4,c=15,焦点在坐标轴
上
（3）、长轴长是短轴长的3倍，且经过点3,0
P （4）、焦距是8，离心率等于0.8
3.P 为椭圆1162522y
x 上一点,P 到一个焦点的距离为4,则P 到另
一个焦点的距离为
4.椭圆
191622y x ,过焦点F 1的直线交椭圆于A,B 两点,则2ABF 的
周长为
4.已知△ABC 的一边长6BC ，周长为16，求顶点A 的轨迹方程.。
高二数学(人教a版,选修1-1)作业：2.1.1椭圆及其标准方程
2 ．椭圆的方程：焦点在
x 轴上的椭圆的标准方程为
________________ ，焦点坐标为
________________ ，焦距为 ________；焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程为 ________________ ．
一、选择题
1．设 F 1， F2 为定点， |F1F 2|＝ 6，动点 M 满足 |MF 1|＋ |MF 2|＝6，则动点 M 的轨迹是 ( )
x2 ＋ y2 ＝ 1 表示焦点在 |a |－ 1 a＋ 3
C． ( ±1,0) x 轴上的椭圆，则实数
D. ±66， 0 a 的取值范围是 ( )
A ． (－ 3，－ 1)
B． (－ 3，－ 2) C． (1，＋∞ )
D． (－ 3,1)
5．若椭圆的两焦点为 ( －2,0)， (2,0)，且该椭圆过点
第二章 圆锥曲线与方程 §2.1 椭 圆
2.1.1 椭圆及其标准方程
1．椭圆的概念：平面内与两个定点 F 1，F 2 的距离的和等于 ________(大于 |F1F2|)的点的轨迹 叫做 ________．这两个定点叫做椭圆的 ________，两焦点间的距离叫做椭圆的 ________．当
|PF 1|＋ |PF2|＝ |F1F2|时，轨迹是 __________，当 |PF1|＋|PF 2|<|F 1F 2|时 __________轨迹．
2．椭圆的标准方程有两种表达式，但总有 要看方程中的分母，焦点在分母大的对应轴上．
a > b>0 ，因此判断椭圆的焦点所在的坐标轴
3．求椭圆的标准方程常用待定系数法，一般是先判断焦点所在的坐标轴进而设出相应 的标准方程，然后再计算；如果不能确定焦点的位置，有两种方法求解，一是分类讨论，二 是设椭圆方程的一般形式，即 mx2＋ ny2＝ 1 (m， n 为不相等的正数 )．
【三维设计】人教版高中数学选修1-1练习：2.1.1 椭圆及其标准方程(含答案解析)
课时跟踪检测（六） 椭圆及其标准方程层级一 学业水平达标1．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10解析：选D 根据椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×5＝10，故选D ．2．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2 3B ．6C ．4 3D ．12解析：选C 由于△ABC 的周长与焦点有关，设另一焦点为F ，利用椭圆的定义，|BA|＋|BF|＝23，|CA|＋|CF|＝23，便可求得△ABC 的周长为43．3．命题甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常数)；命题乙：P 点轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选B 利用椭圆定义．若P 点轨迹是椭圆，则|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常数)，∴甲是乙的必要条件．反过来，若|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常数)是不能推出P 点轨迹是椭圆的．这是因为：仅当2a>|AB|时，P 点轨迹才是椭圆；而当2a ＝|AB|时，P 点轨迹是线段AB ；当2a<|AB|时，P 点无轨迹，∴甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要不充分条件．4．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．a>3B ．a<－2C ．a>3或a<－2D ．a>3或－6<a<－2解析：选D 由a 2>a ＋6>0得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－a －6>0，a ＋6>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a<－2或a>3，a>－6，所以a>3或－6<a<－2．5．已知P 为椭圆C 上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，且|F 1F 2|＝23，若|PF 1|与|PF 2|的等差中项为|F 1F 2|，则椭圆C 的标准方程为( )A ．x 212＋y 29＝1B ．x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1C ．x 29＋y 212＝1D ．x 248＋y 245＝1或x 245＋y 248＝1解析：选B 由已知2c ＝|F 1F 2|＝23，∴c ＝3． ∵2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝43， ∴a ＝23．∴b 2＝a 2－c 2＝9．故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1．6．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是________．解析：当椭圆的焦点在x 轴上时，a 2＝m ，b 2＝4，c 2＝m －4，又2c ＝2，∴c ＝1． ∴m －4＝1，m ＝5．当椭圆的焦点在y 轴上时，a 2＝4，b 2＝m ， ∴c 2＝4－m ＝1， ∴m ＝3． 答案：3或57．已知椭圆C 经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，则椭圆C 的标准方程为________________．解析：法一：依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)，且可知左焦点为F′(－2,0)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，2a ＝|AF|＋|AF′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12， 故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1．法二：依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)，则⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋9b 2＝1，a 2－b 2＝4，解得b 2＝12或b 2＝－3(舍去)，从而a 2＝16．所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1．答案：x 216＋y 212＝18．椭圆的两焦点为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2的面积最大为12，则椭圆方程为__________．解析：如图，当P 在y 轴上时△PF1F 2的面积最大，∴12×8b ＝12，∴b ＝3． 又∵c ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝25． ∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1．答案：x 225＋y 29＝19．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点．设椭圆C 上一点⎝⎛⎭⎫3，32到两焦点F 1，F 2的距离和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标．解：由点⎝⎛⎭⎫3，32在椭圆上，得 3 2a 2＋⎝⎛⎭⎫322b 2＝1，又2a ＝4，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．10．已知椭圆C 与椭圆x 2＋37y 2＝37的焦点F 1，F 2相同，且椭圆C 过点⎝⎛⎭⎫572，－6．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若P ∈C ，且∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积．解：(1)因为椭圆x 237＋y 2＝1的焦点坐标为(－6,0)，(6,0)．所以设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2a 2－36＝1(a 2>36)．将点⎝⎛⎭⎫572，－6的坐标代入整理得4a 4－463a 2＋6 300＝0，解得a 2＝100或a 2＝634(舍去)，所以椭圆C 的标准方程为x 2100＋y 264＝1．(2)因为P 为椭圆C 上任一点， 所以|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝20． 由(1)知c ＝6，在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ＝12， 所以由余弦定理得：|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos π3，即122＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|．因为|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|， 所以122＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1|·|PF 2|． 所以122＝202－3|PF 1||PF 2|．所以|PF 1|·|PF 2|＝202－1223＝32×83＝2563．S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin π3＝12×2563×32＝6433．所以△F 1PF 2的面积为6433．层级二 应试能力达标1．下列说法中正确的是( )A ．已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆B ．已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C ．平面内到点F 1(－4,0)，F 2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F 1，F 2的距离之和的点的轨迹是椭圆D ．平面内到点F 1(－4,0)，F 2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆解析：选C A 中，|F 1F 2|＝8，则平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，所以A 错误；B 中，到F 1，F 2两点的距离之和等于6，小于|F 1F 2|，这样的轨迹不存在，所以B 错误；C 中，点M(5,3)到F 1，F 2两点的距离之和为 5＋4 2＋32＋ 5－4 2＋32＝410>|F 1F 2|＝8，则其轨迹是椭圆，所以C 正确；D 中，轨迹应是线段F 1F 2的垂直平分线，所以D 错误．故选C ．2．椭圆x 225＋y 29＝1的焦点为F 1，F 2，P 为椭圆上的一点，已知PF 1 ·PF 2 ＝0，则△F 1PF 2的面积为( )A ．9B ．12C ．10D ．8解析：选A ∵PF 1 ·PF 2＝0，∴PF 1⊥PF 2．∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ． 又a ＝5，b ＝3，∴c ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＝64， ①|PF 1|＋|PF 2|＝10. ② ②2－①，得2|PF 1|·|PF 2|＝36， ∴|PF 1|·|PF 2|＝18， ∴△F 1PF 2的面积为 S ＝12·|PF 1|·|PF 2|＝9．3．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫π4，π2B ．⎝⎛⎦⎤0，π4 C ．⎝⎛⎭⎫0，π4 D ．⎣⎡⎭⎫π4，π2解析：选A 易知sin α≠0，cos α≠0，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1可化为x 21sin α＋y 21cos α＝1．因为椭圆的焦点在y 轴上，所以1cos α>1sin α>0，即sin α>cos α>0．又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以π4<α<π2． 4．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )A ．5B ．7C ．13D ．15解析：选B 由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心：且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7．5．若椭圆2kx 2＋ky 2＝1的一个焦点为(0，－4)，则k 的值为________．解析：易知k≠0，方程2kx 2＋ky 2＝1变形为y 21k ＋x 212k＝1，所以1k －12k ＝16，解得k ＝132．答案：1326．已知椭圆C ：x 29 ＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则 |AN|＋|BN|＝________．解析：取MN 的中点G ，G 在椭圆C 上，因为点M 关于C 的焦点F 1，F 2的对称点分别为A ，B ，故有|GF 1|＝12|AN|，|GF 2|＝12|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF 1|＋|GF 2|)＝4a ＝12．答案：127．已知点P 在椭圆上，且P 到椭圆的两个焦点的距离分别为5,3．过P 且与椭圆的长轴垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程．解：法一：设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)或y 2a 2＋x 2b2＝1(a>b>0)，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝5＋3， 2c 2＝52－32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝2， 所以b 2＝a 2－c 2＝12．于是所求椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1．法二：设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a>b>0)，两个焦点分别为F 1，F 2．由题意知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝3＋5＝8，所以a ＝4． 在方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中，令x ＝±c ，得|y|＝b 2a ；在方程y 2a 2＋x 2b 2＝1中，令y ＝±c ，得|x|＝b 2a ．依题意有b 2a＝3，得b 2＝12．于是所求椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1．8． 如图在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25内有一点A(1,0)．Q 为圆C 上一点，AQ 的垂直平分线与C ，Q 的连线交于点M ，求点M 的轨迹方程．解：如图，连接MA ．由题意知点M 在线段CQ 上，从而有|CQ|＝|MQ|＋|MC|．又点M 在AQ 的垂直平分线上，则|MA|＝|MQ|，故|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5．又A(1,0)，C(－1,0)，故点M 的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆，且2a ＝5，故a ＝52，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝254－1＝214．故点M 的轨迹方程为x 2254＋y 2214＝1．。
【数学】2.1.1《椭圆及其标准方程(三)》教案(新人教A版选修1-1)
2.1.1椭圆及其标准方程（三）教学目标：理解椭圆的定义及焦点、焦距的概念，掌握椭圆的标准方程及其推导方法. 重点难点分析教学重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程. 教学难点：椭圆标准方程的推导. 教学设计： 【讲授新课】 【复习引入】1．椭圆的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c ) . 2.椭圆的标准方程：12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 12222=+bx a y （a ＞b ＞0）【讲授新课】.,.2,,1的轨迹中点求线段段轴作垂线向从这个圆上任意一点半径为标原点已知一个圆的圆心为坐如图例M P P P P x P ''解: (相关点法)设点M (x , y ),点P (x 0, y 0),则x ＝x 0, y ＝ 20y得x 0＝x ， y 0＝2y.∵x 02＋y 02＝4, 得 x 2＋(2y )2＝4,即.142=+y x 所以点M 的轨迹是一个椭圆. 解法二:设线段PQ 中点为M (x , y )．∵圆的参数方程：⎩⎨⎧==.sin 2cos 2θθy x ，∴点M 轨迹的参数方程：⎩⎨⎧==.sin cos 2θθy x ，M 点的轨迹方程：.1222=+⎪⎭⎫⎝⎛y x.94)6,0()6,0(.2的轨迹方程求顶点，的斜率的乘积是、另两边和的两个顶点坐标分别是例C BC AC B A ABC --∆解:设顶点C 的坐标为(x , y ).由题意得.9466-=+⋅-x y x y y O F 1F 2x Mc cxF 2F 1O y M c cy xPO P 'M 6yxBAO-6∴顶点C 的轨迹方程为1368122=+y x (x ≠0).(y ≠±6) .,94,)0,6()0,6(的轨迹方程求顶点的斜率的乘积是、另两边和的两个顶点坐标分别是练习C BC AC B A ABC --∆1163622=+y x (x ≠±6)(y ≠0)课堂练习1. 如图，线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，|AB |＝5，点M 是AB 上一点.且|AM |＝2，点M 随线段AB 的运动而变化，求点M 的轨迹方程.)(14 .2212122==+PF P x F F F y x ，则交点为一个轴的直线与椭圆相交，作垂直于，过，的两个焦点为椭圆4 D. 27 C. 3 B. 23A. 【课堂小结】1.两种椭圆的标准方程：当焦点在x 轴上，则标准方程为12222=+b y a x （a ＞b ＞0）当焦点在y 轴上，则标准方程为12222=+bx a y （a ＞b ＞0）2.求轨迹方程的方法: 定义法、待定系数法、相关点法、直接法【课后作业】1. 阅读教科书；2. 《习案》作业十.B A O6-6y x y x BAO M。
高中数学人教A版选修1-1第2章2-1-1椭圆及其标准方程课时测试及解析
=4,
当且仅当|PF1|=|PF2|=2 时取“=”,
所以|PF1|·|PF2|的最大值为 4.
(2)设 C(x0,y0),B(0,-1),F1(- ,0),
由
=λ
得 x0=
,y0=- .
又 + =1,所以有λ2+6λ-7=0, 解得λ=-7 或λ=1,C 异于 B 点,故λ=1 舍去.所以λ=-7. (3)因为|PF1|+|PB|=4-|PF2|+|PB|≤4+|BF2|, 所以△PBF1 的周长≤4+|BF2|+|BF1|=8, 所以当 P 点位于直线 BF2 与椭圆的交点处时,△PBF1 周长最大,最大值为 8.
定义知|PF1|+|PF2|=2a=4 即|PF1|=7|PF2|.
，|PF1|=
，|PF2|= ，
3.已知椭圆过点 P
和点 Q
，则此椭圆的标准方程是 ( )
A. +x2=1
B. +y2=1 或 x2+ =1
C. +y2=1
D.以上都不对
【解析】选 A.设椭圆方程为：Ax2+By2=1(A>0，B>0)，
2.(2015·珠海高二检测)椭圆 + =1 的焦点为 F1 和 F2，点 P 在椭圆上.如果线段 PF1 的中点
在 y 轴上，那么|PF1|是|PF2|的 ( )
A.7 倍
B.5 倍
C.4 倍
D.3 倍
【解析】选 A.不妨设 F1(-3，0)，F2(3，0)，由条件知 P
，即|PF2|= ，由椭圆
得 M(0,- c),N
,所以|MN|= c=16,所以 c=5,所以椭圆方程为 + =1.
最新高二人教版数学选修1-1练习：2.1.1椭圆及其标准方程 Word版含答案
最新人教版数学精品教学资料►基础梳理1．椭圆的定义及标准方程．(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两点间的距离叫做椭圆的焦距．只有当||PF 1＋||PF 2＝2a >||F 1F 2时，点P 的轨迹才是椭圆； 当||PF 1＋||PF 2＝2a ＝||F 1F 2时，点P 的轨迹是线段F 1F 2； 当||PF 1＋||PF 2＝2a <||F 1F 2时，点P 的轨迹不存在． 3．正确理解椭圆的两种标准形式． (1)要熟记a ，b ，c 三个量的关系．椭圆方程中，a 表示椭圆上的点M 到两焦点间距离和的一半，正数a ，b ，c 恰构成一个直角三角形的三条边，a 是斜边，所以a ＞b ，a ＞c ，且a 2＝b 2＋c 2，其中c 是焦距的一半，叫做半焦距．(2)通过标准方程可以判断焦点的位置，其方法是：看x 2，y 2的分母大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上．4．用待定系数法求椭圆标准方程的步骤．(1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上． (2)设方程：①依据上述判断设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或x 2b 2＋y 2a2＝1．②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )． (3)找关系，根据已知条件，建立关于a ，b ，c 或m ，n 的方程组． (4)解方程组，代入所设方程即为所求．,►自测自评1．到两定点F 1(－4，0)和F 2(4，0)的距离之和为8的点M 的轨迹是线段F 1F 2．2．椭圆的焦点坐标为(4，0)，(－4，0)，则椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1．3．已知a ＝4，c ＝3，焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为x 27＋y 216＝1．4．椭圆x 225＋y29＝1的焦点坐标为(4，0)，(－4，0)．1．已知两定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，点P 是平面上一动点，且|PF 1|＋|PF 2|＝6，则点P 的轨迹是(C )A ．圆B ．直线C ．椭圆D ．线段2．若椭圆的两焦点为(－2，0)，(2，0)，且过点⎝⎛⎭⎫52，－32，则该椭圆的方程是(D ) A.y 28＋x 24＝1 B.y 210＋x26＝1 C.y 24＋x 28＝1 D.y 26＋x 210＝1 解析：由题意知，所求椭圆的焦点在x 轴上，可以排除A 、B ；再把点⎝⎛⎭⎫52，－32代入方程，可知应选D.3．过椭圆4x 2＋2y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点F 2构成△ABF 2，那么△ABF 2的周长是______．答案：2 24．写出适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)a ＝4，b ＝3焦点在x 轴上； (2)a ＝5，c ＝2焦点在y 轴上；(3)求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过点⎝⎛⎭⎫63，3和点⎝⎛⎭⎫223，1.答案：(1)x 216＋y 29＝1；(2)y 225＋x 221＝1；(3)x 2＋y 29＝1.5．设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1，(a ＞b ＞0)的左右两焦点，若椭圆C 上的点A ⎝⎛⎭⎫1，32到F 1、F 2两点的距离之和为4，求椭圆C 的方程及焦点坐标． 解析：椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到F 1，F 2两点的距离之和是4，得2a ＝4，即a ＝2.又A ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆C 上， ∴122＋⎝⎛⎭⎫322b 2＝1，解得b 2＝3. ∴c 2＝a 2－b 2＝1.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，焦点坐标为F (±1，0)．1．下列说法中正确的是(C )A ．已知F 1(－4，0)，F 2(4，0)，到F 1，F 2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆B ．已知F 1(－4，0)，F 2(4，0)，到F 1，F 2两点的距离之和为6的点的轨迹是椭圆C ．到F 1(－4，0)，F 2(4，0)两点的距离之和等于点M (5，3)到F 1，F 2的距离之和的点的轨迹是椭圆D ．到F 1(－4，0)，F 2(4，0)两点距离相等的点的轨迹是椭圆2．设F 1、F 2是椭圆x 225＋y 29＝1的焦点，P 为椭圆上一点，则△PF 1F 2的周长为(B)A ．16B ．18C ．20D ．不正确 3．椭圆4x 2＋9y 2＝36的焦点坐标是(D ) A ．(0，±3) B ．(0，±5) C ．(±3，0) D ．(±5，0)解析：椭圆方程化为标准方程为x 29＋y 24＝1，∴c 2＝9－4＝5，∴c ＝5，又∵焦点在x 轴上，∴焦点坐标为(±5，0)．4．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值为(A )A ．5或3B ．8C ．5D ．3解析：当焦点在x 轴上，a 2＝m ，b 2＝4， 又c ＝1，∴m －4＝1，∴m ＝5.当焦点在y 轴上时，a 2＝4，b 2＝m ， ∴4－m ＝1，∴m ＝3.故选A.5．如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是(D ) A ．(0，2) B ．(0，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(0，1)解析：将方程化为标准方程为x 22＋y 22k＝1，∴k ＞0.又因为焦点在y 轴上，∴2k＞2，即k ＜1，故0＜k ＜1.6．椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆的两个焦点F 1、F 2的连线互相垂直，则△PF 1F 2的面积为(C )A ．20B ．22C ．24D ．28 解析：|PF 1|＋|PF 2|＝14， (|PF 1|＋|PF 2|)2＝196，① |PF 1|2＋|PF 2|2＝100.② ①－②得2|PF 1|·|PF 2|＝96，S ＝12|PF 1|·|PF 2|＝24.7．椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点是(0，2)，那么k ＝____.解析：焦点在y 轴上，则y 25k＋x 21＝1，c 2＝5k －1＝4，k ＝1.8．与椭圆x 2＋4y 2＝4有公共的焦点，且经过点A (2，1)的椭圆的方程为______．解析：椭圆x 2＋4y 2＝4的标准方程为x 24＋y 2＝1，∴c ＝a 2－b 2＝4－1＝3.设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－3＝1.(a 2＞3)，把点A (2，1)代入4a 2＋1a 2－3＝1，解得a 2＝6，或a 2＝2(舍去)，∴所求椭圆方程为x 26＋y 23＝1.答案：x 26＋y23＝1.9．一动圆过定点A (1，0)，且与定圆(x ＋1)2＋y 2＝16相切，则动圆圆心轨迹方程是__________．解析：设定圆(x ＋1)2＋y 2＝16的圆心为C ，动圆圆心为P ，则|P A |＋|PC |＝4. ∵P 点的轨迹为椭圆，且a ＝2，c ＝1，b ＝3，∴动圆圆心轨迹方程为x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y23＝110．已知B 、C 是两个定点，|BC |＝6，且△ABC 的周长等于16，求定点A 的轨迹方程．解析：如图，建立直角坐标系，使x 轴经过点B 、C ，原点O 与BC 的中点重合． 由已知|AB |＋|AC |＋|BC |＝16，|BC |＝6， 有|AB |＋|AC |＝10＞|BC |＝6，即点A 的轨迹是椭圆，且2c ＝6，2a ＝10. ∴c ＝3，a ＝5，b 2－a 2－c 2＝25－9＝16.但当点A 在直线BC 上，即y ＝0时，A 、B 、C 三点不能构成三角形．∴点A 的轨迹方程是x 225＋y 216＝1(y ≠0)．11．已知M (4，0)，N (1，0)，若动点P 满足MN →·MP →＝6|NP →|，求动点P 的轨迹方程．解析：设动点P (x ，y )，MP →＝(x －4，y )，MN →＝(－3，0)，NP →＝(x －1，y )，由MN →·MP →＝6|NP →|，得－3(x －4)＝6（x －1）2＋y 2，平方化简得3x 2＋4y 2＝12，即x 24＋y 23＝1.∴点P 的轨迹方程为x 24＋y23＝1.►体验高考1．(2014·辽宁卷)已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________________________________________________________________________.解析：(1)椭圆x 29＋y 24＝1中，a ＝3.如图，设MN 的中点为D ，则|DF 1|＋|DF 2|＝2a ＝6. ∵D ，F 1，F 2分别为MN ，AM ，BM 的中点， ∴|BN |＝2|DF 2|，|AN |＝2|DF 1|， ∴|AN |＋|BN |＝2(|DF 1|＋|DF 2|)＝12.2．(2014·安徽卷)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 与A ，B 两点，若|AF 1|＝3|BF 1|，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________________________________________________________________________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝c x 2＋y 2b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝c y ＝±b 2，设A (c ，b 2)，由|AF 1|＝3|BF 1|，得B ⎝⎛⎭⎫－53c ，－13b 2， ∴⎝⎛⎭⎫－53c 2＋⎝⎛⎭⎫－13b 22b2＝1，∴25c 2＋b 2＝9， ∴25(1－b 2)＋b 2＝9，b 2＝23，∴椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.答案：x 2＋32y 2＝13．设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ，b >0)过M (2，2)，N (6，1)，O 为坐标原点，求椭圆E 的方程．解析：将M ，N 的坐标代入椭圆E 的方程得 ⎩⎨⎧4a 2＋2b 2＝1，6a 2＋1b 2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4.所以，椭圆E 的方程为x 28＋y 24＝1.4．在平面直角坐标系x 0y 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1(－1，0)，且P (0，1)在C 1上，求C 1的方程．解析：由题意得：b ＝1，c ＝a 2－b 2＝1∴a ＝2，b ＝c ＝1，故椭圆C 1的方程为：x 22＋y 2＝1.5．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.解析：由已知得圆M 的圆心为M (－1，0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1，0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4. 由椭圆的定义可知，曲线C 是以M 、N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．(2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2，0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4. 若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝2 3.若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q . 则|QP |QM ＝R r 1，可求得Q (－4，0)， 所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M 相切得|3k |1＋k 2＝1，解得k ＝±24.当k ＝24时，将y ＝24x ＋2代入x 24＋y 23＝1，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1＝－4＋627，x 2＝－4－627.所以|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝187.当k ＝－24时，由图形的对称性可知|AB |＝187.综上，|AB |＝23或|AB |＝187.。
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温馨提示：课时提升作业 九 椭圆及其标准方程一、选择题(每小题5分,共25分) 1.(2016·青岛高二检测)已知椭圆+=1上一点P 到其中一个焦点的距离为3,则点P 到另一个焦点的距离为 ( ) A.2B.3C.5D.7【解析】选 D.设该椭圆的两个焦点分别为F 1,F 2,利用椭圆的定义可知|PF 1|+|PF 2|=10.不妨令|PF 1|=3,则|PF 2|=7. 2.(2016·日照高二检测)已知椭圆+=1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2,N 是MF 的中点,O 为坐标原点,那么线段ON 的长是 ( ) A.2B.4C.8D.【解析】选B.设椭圆的另一个焦点为E,如图,则|MF|+|ME|=10, 所以|ME|=8.又ON 为△MEF 的中位线,所以|ON|=|ME|=4.3.椭圆+=1的焦距是2,则m 的值是 ( ) A.5B.3或8C.3或5D.20【解析】选C.由题意得2c=2,c=1,故有m-4=1或4-m=1, 所以m=5或m=3.4.(2016·淄博高二检测)若椭圆的对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆上点的最短距离为,则这个椭圆的方程为 ( ) A.+=1B.+=1C.+=1或+=1D.以上都不对【解析】选C.设短轴的一个端点为P,焦点分别为F 1,F 2, 因为△PF 1F 2为正三角形,所以|OP|=|F 1F 2|,可得b=c,即=c.①又因为椭圆的焦点到椭圆上点的最短距离为,所以a-c=,②联立①②,可得a=2,c=,b==3.因此a 2=12且b 2=9,可得椭圆的标准方程为+=1或+=1.5.已知椭圆+y 2=1的焦点为F 1,F 2,点M 在该椭圆上,且·=0,则点M 到x 轴的距离为 ( ) A.B.C.D.【解题指南】由·=0知△MF 1F 2为直角三角形,可根据面积求M 到x轴的距离.【解析】选C.由·=0,得MF 1⊥MF 2,可设|=m,|=n,在△F 1MF 2中,由m 2+n 2=4c 2得(m+n)2-2mn=4c 2,根据椭圆的定义有m+n=2a,所以2mn=4a 2-4c 2,故mn=2b 2,即mn=2,所以=·mn=1,设点M 到x 轴的距离为h,则×|F 1F 2|×h=1,又|F 1F 2|=2,故h=.二、填空题 (每小题5分,共15分)6.已知椭圆中心在坐标原点,焦点在x 轴上,椭圆与x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1,则椭圆的标准方程为 . 【解析】由题意可得所以故b 2=a 2-c 2=3,所以椭圆方程为+=1.答案:+=17.设P 是椭圆+=1上的点,F 1,F 2分别为椭圆的左、右焦点,则|PF 1|·|PF 2|的最大值是 .【解析】由题意知:|PF 1|+|PF 2|=2a=8,所以|PF 1|·|PF 2|≤==16,当且仅当|PF 1|=|PF 2|时取“=”,故|PF 1|·|PF 2|的最大值是16. 答案:168.如图所示,F 1,F 2分别为椭圆+=1的左、右焦点,点P 在椭圆上,△POF 2是面积为的正三角形,则b 2= .【解析】由题意=c 2=,所以c=2,所以a 2=b 2+4.由题意得点P 坐标为(1,),把x=1,y=代入椭圆方程+=1中得+=1,解得b 2=2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知椭圆的中心在原点,且经过点P(3,0),a=3b,求椭圆的标准方程.【解析】当焦点在x 轴上时,设其方程为+=1(a>b>0).由椭圆过点P(3,0),知+=1,又a=3b,解得b 2=1,a 2=9,故椭圆的方程为+y 2=1.当焦点在y 轴上时,设其方程为+=1(a>b>0).由椭圆过点P(3,0),知+=1,又a=3b,联立解得a 2=81,b 2=9,故椭圆的方程为+=1.故椭圆的标准方程为+=1或+y 2=1.10.(2016·郑州高二检测)如图,设P 是圆x 2+y 2=25上的动点,点D 是P 在x 轴上的投影,M 为PD 上一点,且|MD|=|PD|. 当P 在圆上运动时,求点M 的轨迹C 的方程.【解题指南】设M(x,y),由等式|MD|=|PD|坐标化,即得轨迹方程. 【解析】设点M 的坐标是(x,y),P 的坐标是(x P ,y P ),因为点D 是P 在x 轴上的投影,M 为PD 上一点,且|MD|=|PD|,所以x P =x,且y P =y.因为P 在圆x 2+y 2=25上,所以x 2+=25,整理得+=1,即点M 的轨迹C 的方程是+=1.一、选择题(每小题5分,共10分) 1.(2016·郑州高二检测)已知方程+=1表示焦点在y 轴上的椭圆,则m 的取值范围是 ( ) A.m<2B.1<m<2C.m<-1或1<m<2D.m<-1或1<m<【解析】选D.由题意得即所以1<m<或m<-1.2.(2016·临沂高二检测)设椭圆+=1(a>b>0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P(a,b)满足|F 1F 2|=|PF 2|,设直线PF 2与椭圆交于M,N 两点,若|MN|=16,则椭圆的方程 为 ( ) A.+=1 B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选B.因为点P(a,b)满足|F 1F 2|=|PF 2|,所以=2c,整理得2+-1=0,所以=. 所以a=2c,b=c,可得椭圆方程为3x 2+4y 2=12c 2,直线PF 2的方程为y=(x-c),代入椭圆方程,消去y 并整理,得5x 2-8cx=0,解得x=0或c,得M(0,-c),N,所以|MN|=c=16,所以c=5,所以椭圆方程为+=1.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·温州高二检测)已知椭圆+=1的两个焦点是F 1,F 2,点P 在该椭圆上,若|PF 1|-|PF 2|=2,则△PF 1F 2的面积是 . 【解析】由已知得|F 1F 2|=2c=2,|PF 1|+|PF 2|=4,又|PF 1|-|PF 2|=2, 所以得|PF 1|=3,|PF 2|=1, 因此|PF 2|2+|F 1F 2|2=|PF 1|2, 所以△PF 1F 2是直角三角形,所以=·|F 1F 2|·|PF 2|=.答案:4.(2016·唐山高二检测)已知椭圆C:+y 2=1的焦点F(1,0),直线l :x=2,点A ∈l ,线段AF 交C 于点B,若=3,则||=【解题指南】设出A 点的坐标,利用=3求出A 点坐标,即可求出||的大小.【解析】设A(2,y 0),B(x 1,y 1),=(1,y 0),=(x 1-1,y 1),由=3,得(1,y 0)=3(x 1-1,y 1),所以又点B 在椭圆C 上,所以+=1,解得y 0=±1,所以A 点坐标为(2,±1),所以||==.答案:三、解答题(每小题10分,共20分) 5.(2016·烟台高二检测)已知椭圆+=1(a>b>0)的焦点分别为F 1(0,-1),F 2(0,1),且3a 2=4b 2. (1)求椭圆的方程.(2)设点P 在这个椭圆上,且|PF 1|-|PF 2|=1,求∠F 1PF 2的余弦值. 【解析】(1)由题意得椭圆焦点在y 轴上,且c=1. 又因为3a 2=4b 2,所以a 2-b 2=a 2=c 2=1, 所以a 2=4,b 2=3,所以椭圆标准方程为+=1. (2)如图所示,|PF 1|-|PF 2|=1.又由椭圆定义知, |PF 1|+|PF 2|=4,所以|PF 1|=,|PF 2|=, |F 1F 2|=2,cos ∠F 1PF 2==.6.(2016·连云港高二检测)设F 1,F 2分别是椭圆+y 2=1的左、右焦点,B 为椭圆上的点且坐标为(0,-1).(1)若P 是该椭圆上的一个动点,求|PF 1|·|PF 2|的最大值. (2)若C 为椭圆上异于B 的一点,且=λ,求λ的值.(3)设P 是该椭圆上的一个动点,求△PBF 1的周长的最大值. 【解析】(1)因为椭圆的方程为+y 2=1, 所以a=2,b=1,c=,即|F 1F 2|=2,又因为|PF 1|+|PF 2|=2a=4,所以|PF 1|·|PF 2|≤==4,当且仅当|PF 1|=|PF 2|=2时取“=”, 所以|PF 1|·|PF 2|的最大值为4.(2)设C(x 0,y 0),B(0,-1),F 1(-,0), 由=λ得x 0=,y 0=-.又+=1,所以有λ2+6λ-7=0,解得λ=-7或λ=1,C 异于B 点,故λ=1舍去.所以λ=-7. (3)因为|PF 1|+|PB|=4-|PF 2|+|PB|≤4+|BF 2|, 所以△PBF 1的周长≤4+|BF 2|+|BF 1|=8,所以当P 点位于直线BF 2与椭圆的交点处时,△PBF 1周长最大,最大值为8.。