辽宁省新民市第一高级中学2014届高三上学期期末考试 数学理试题 Worr版含答案

考试时间：120分钟 考试分数：150分试卷说明：试卷共三部分：第一部分：选择题型（1－12题 60分）第二部分：填空题型（13－16题 20分）第三部分：解答题型（17－22题 70分）.第Ⅰ卷(客观题 共60分)一、选择题（每小题只有一个正确答案）1．已知集合A ＝{1，3}，B ＝{1，m} ,A B＝A , 则m=（ ） A .0或3 C.1或32.如图，在复平面内，点A 表示复数z ）A ．A B.BC ．CD ．D3.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）4.右图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图， P 表示估计结果，则图中空白框内应填入（ ）A. 1000NP =B. 41000NP =C. 1000MP =D. 41000MP =5.设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使||||a b a b =成立的充分条件是（ ）A ．a b =- B.//a b C ．2a b = D ．//a b 且||||a b =6.如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ， 则点P 恰好取自阴影部分的概率为（ ） A.14 B. 15 C. 16 D. 177．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0,01615<>S S ，则15152211,,,a S a S a S 中最大的是（ ）A.11a S B. 77a S C. 88a S D. 99a S8.总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出9.下列说法：①命题“错误！未找到引用源。

”的否定是“错误！未找到引用源。

”； ②若一个命题的逆命题为真，则它的否命题也一定为真； ③“矩形的两条对角线相等”的逆命题是真命题；④“x ≠3”是|x|≠3成立的充分条件.其中错误的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．410. 设{}n a 是等比数列，11=a ，公比q =，n S 为{}n a 的前n 项和，n Q 为数列}{n b 的前n项和，若nn nx b x b x b b x 123121)12(+++++=-+ .记*12,17N n Q S S T n nn n ∈-=+,设0n T 为数列{n T }的最大项，则=0n （ ） A.3B.4C.5D.611．函数()sin()f x A x ωωπ=+（0A >,0>ω）的图像在]43,47[ππ--上单调递增，则ω的最大值是（ ） A ．21 B ． 43 C ． 1 D ．3212.函数20134321)(2013432x x x x x x f ++-+-+= ，则)(x f 的零点个数是（ ） A.0B.1C.2D.3第Ⅱ卷(主观题 共90分)二、填空题13.设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x =++，若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围为 .14.一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为1，则这个球的体积是 .15.如右图，迎面从左至右悬挂3串气球，分别有两串绑两只，一串绑3只，现在用枪射击气球，假设每枪均能命中一只气球，要求每次射击只能射击每串最下方的气球，则用7枪击爆这7只气球不同的次序有多少种 . 16.][x 表示不超过x 的最大整数，若函数a xx x f -=][)(，当0>x 时，)(x f 有且仅有3个零点，则a 的取值范围为 . 三、解答题17.（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB= 3 ，BC=1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.（Ⅰ）若PB=12，求PA ；（Ⅱ）若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA.18.（本小题满分12分）四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，DC PD =，E 是PC 的中点.（Ⅰ）证明PA //平面BDE ；（Ⅱ）求二面角C DE B --的平面角的余弦值.19.（本小题满分12分）如图，在竖直平面内有一个“游戏滑道”，空白部分表示光滑滑道，黑色正方形表示障碍物，自上而下第一行有1个障碍物，第二行有2个障碍物，……，依次类推．一个半径适当的光滑均匀小球从入口A 投入滑道，小球将自由下落，已知小球每次遇到正方形障碍物上顶点时，向左、右两边下落的概率都是21．记小球遇到第n 行第m 个障碍物（从左至右）上顶点的概率为),(m n P ．（Ⅰ）求)1,4(P ，)2,4(P 的值，并猜想),(m n P 的表达式（不必证明）；（Ⅱ）已知⎩⎨⎧≤<-≤≤-=63,331,4)(x x x x x f ，设小球遇到第6行第m 个障碍物（从左至右）上顶点时，得到的分数为)(m f =ξ，试求ξ的分布列及数学期望．20.（本题满分12分)已知数列}{n a 满足：nn na a a a 2321321=++++ )(*N n ∈. （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列nnn a b 2=)(*N n ∈，试求数列}tan {tan 1+⋅n n b b 的前n 项和n S .21.（本题满分12分) 已知函数).0()1ln(1)(>++=x xx x f（Ⅰ）试判断函数),0()(+∞在x f 上单调性并证明你的结论； （Ⅱ）若1)(+>x kx f 对于(0,)x ∀∈+∞恒成立，求正整数k 的最大值；（Ⅲ）求证：[]2 - 3(112)(123)(134)1(1n n n e +⨯+⨯+⨯⋅⋅⋅++>）．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号.22.（本题满分10分)选修4－1：几何证明选讲如图，PA 切圆O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB=PB=1，OA 绕点O 逆时针旋转60︒到 OD ．（Ⅰ）求线段PD 的长；?若有,指出该线段;若没有,说明理由． 23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=ty t x 22221（t 为参数），曲线C 的极坐标方程是2sin 1sin θρθ=-，以极点为原点，极轴为x 轴正方向建立直角坐标系，点(1,0)M -，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点．（Ⅰ）写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的普通方程；（Ⅱ）线段MA ，MB 长度分别记为||MA ，||MB ，求||||MB MA ⋅的值．24．(本小题满分10分) 选修4-5：不等式选讲 设函数()|1||2|f x x x =-+-（Ⅰ）若m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若不等式||||||||()a b a b a f x +--≤（0a ≠，a R ∈，b R ∈）恒成立，求实数x 的范围．数学(理)试卷答案及评分标准一、本题共12小题，每小题5分，共60分．13．87a ≤-14．π242 15．210 16．]54,43( 三．计算题17. （Ⅰ）由已知，∠PBC=60°，所以∠PBA=30°.2011732cos30.424PA =+-=故PA =（6分） （Ⅱ）设PBA α∠=，由已知得sin PB α=，在∆PBA 中，由正弦定理得0sin sin(30)αα=-4sin αα=，故tan α=（12分）18. （Ⅰ）以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系设PD=DC=2，则A （2，0，0），P （0，0，2），E （0，1，1），B （2，2，0）. (2,0,2),(0,1,1),(2,2,0)PA DE DB =-==设 1(,,)n x y z =是平面BDE 的一个法向量，则由111001,(1,1,1).2200n DE y z y n x y n DB ⎧⋅=+=⎧⎪=-=-⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎩得取得 ∵11220,,//.PA n PA n PA BDE PA BDE ⋅=-=∴⊥⊄∴，又平面平面或使用线面平行定理证明（6分）（II ）由（Ⅰ）知1(1,1,1)n =-是平面BDE 的一个法向量，又2(2,0,0)n DA ==是平面DEC 的一个法向量. （8分）设二面角B -DE -C 的平面角为θ，由图可知12,n n θ=<>∴121212cos cos ,||||n n n n n n θ⋅=<>==⋅故二面角B -DE -C 的余弦值为33（12分） 19. （Ⅰ）81)21()1,4(303==C P ，（2分） 83)21()2,4(313==C P ，（4分） 猜想111)21(),(---=n m n C m n P ；（6分） （Ⅱ）=ξ3,2,1161)6,6()1,6()3(=+==P P P ξ， 165)21()5,6()2,6()2(515==+==C P P P ξ，85)4,6()3,6()1(=+==P P P ξ（10分）162385116521613=⨯+⨯+⨯=ξE ．（12分） 20.（Ⅰ）当2≥n ，n a n n 12-=（4分）当1=n ，11=a （5分），故当1≥n ，na n n 12-=（6分）（Ⅱ）n b n 2=（7分），12tan tan tan tan tan 11--=⋅++nn n n b b b b （10分）n n S n --+=2tan 2tan )22tan(（12分）21. （Ⅰ）)]1ln(11[1)]1ln(11[1)(22+++-=+--+='x x x x x x x x f （2分） .0)(,0)1ln(,011,0,02<'∴>+>+>∴>x f x x x x),0()(∞∴在x f 上是减函数.（3分）（Ⅱ）.)]1ln(1)[1()(,1)(恒成立即恒成立k xx x x h x k x f >+++=+>即()h x 的最小值大于k .故正整数k 的最大值是3（7分）（III ）由（Ⅱ）知)0(13)1ln(1>+>++x x x x∴xx x x x 32132113)1ln(->+-=-+>+ （9分）令*))(1(N n n n x ∈+=，则)1(32)]1(1ln[+->++n n n n （10分）∴[]ln(112)ln(123)ln 1(1)n n +⨯++⨯+⋅⋅⋅+++[]2 - 3(112)(123)(134)1(1n n n e ∴+⨯+⨯+⨯⋅⋅⋅++>）（12分）22．（Ⅰ）∵PA 切圆O 于点A,且B 为PO 中点,∴AB=OB=OA ．∴60,120AOB POD ∠=︒∴∠=︒2222cos 7POD PO DO POD PD ∆=+-⋅∠=∴= 在中,PD PO OD （5分）（II ）存在3=PA （10分）23．（Ⅰ）直线l 的极坐标方程1cos sin +=θρθρ，（3分）曲线C 普通方程2x y = （5分）（II）将122x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2x y =得220t -+=，（8分）2||||||21==⋅t t MB MA （10分）24．（Ⅰ）1≤m （5分） （II ）由a b a b a 2≤--+ ，得)(||2x f a a ≤，由0≠a ，得)(2x f ≤， 解得21≤x 或25≥x （10分）。