【精编】2015-2016年浙江省宁波市余姚三中高一(上)数学期中试卷带解析答案
浙江省宁波市余姚中学2016届高三上学期期中数学试卷(理科) 含解析
2015-2016学年浙江省宁波市余姚中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．下列说法正确的是（）A．若命题p，¬q都是真命题，则命题“p∧q”为真命题B．命题“若xy=0,则x=0或y=0”的否命题为“若xy≠0则x≠0或y≠0”C．命题“∀x∈R,2x＞0"的否定是“∃x0∈R,2≤0”D．“x=﹣1"是“x2﹣5x﹣6=0"的必要不充分条件2．已知函数f（x)=Asin（ωx+φ)( A≠0，ω＞0，）在时取得最大值,且它的最小正周期为π，则（）A．f（x）的图象过点（0，）B．f（x）在上是减函数C．f(x）的一个对称中心是D．f（x)的图象的一条对称轴是x=3．已知数列{a n}满足：a n=,且S n=，则n的值为（)A．8 B．9 C．10 D．114．若α、β是两个相交平面，则在下列命题中,真命题的序号为(）①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线．②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直．③若直线m⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线．④若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．A．①③B．②③C．②④D．①④5．已知函数f（x）=﹣kx2（k∈R)有四个不同的零点，则实数k的取值范围是（）A．k＜0 B．k＜1 C．0＜k＜1 D．k＞16．若直线+=1通过点M(cosα，sinα),则（）A．a2+b2≤1 B．a2+b2≥1 C．D．7．已知双曲线与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则双曲线的离心率为（）A．2 B．2C．D．8．设a＜0，（3x2+a)（2x+b）≥0在（a，b）上恒成立,则b﹣a的最大值为(）A．B．C．D．二、填空题（每题5分,满分35分，将答案填在答题纸上）9．设全集为R，集合M={x∈R|x2﹣4x+3＞0｝，集合N=｛x∈R|log2x＜1}，则M∪N=；M∩N=；∁R（M∩N)=．10．已知曲线+=1，当曲线表示圆时k的取值是，当曲线表示焦点在y轴上的椭圆时k的取值范围是，当曲线表示双曲线时k的取值范围是．11．已知某几何体的三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．则该几何体的表面积是；体积是．12．已知实数x，y，实数a＞1，b＞1，且a x=b y=2，（1)若ab=4，则+=;(2）a2+b=8，则+的最大值是．13．已知向量，的夹角60°，｜|=2，|｜=2，=λ+μ，若λ+μ=2,则|｜的最小值是，此时，夹角大小为．14．已知f（x）=x2﹣3x+4，若f（x）的定义域和值域都是［a，b］，则a+b=．15．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，底面ABCD的对角线BD在平面α内,则正方体在平面α内的影射构成的图形面积的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2014-2015年浙江省宁波市余姚三中高一上学期数学期中试卷带答案
2014-2015学年浙江省宁波市余姚三中高一（上）期中数学试卷一、选择题（每题5分）1．（5分）已知全集U=R，A={x|x≤﹣2}，B={x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）=（）A．{x|﹣2＜x＜1}B．{x|x≤1}C．{x|﹣2≤x≤1}D．{x|x≥﹣2}2．（5分）函数则的值为（）A．B．C．D．183．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．（2，+∞）B．（0，2） C．（﹣∞，2）D．（0，）4．（5分）函数y=x2﹣4x+3，x∈[0，3]的值域为（）A．[0，3]B．[﹣1，0]C．[﹣1，3]D．[0，2]5．（5分）如果函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣3，+∞）B．（﹣∞，﹣3]C．（﹣∞，5]D．[3，+∞）6．（5分）集合的真子集有（）个．A．8 B．16 C．15 D．147．（5分）已知f （x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，设a=f（log 47），b=f（3），c=f（0.20.6），则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．c＞a＞b D．a＜b＜c8．（5分）函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在的大致区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）9．（5分）已知函数f（x）=，则f（log27）的值为（）A．B．C．D．10．（5分）已知方程|2x﹣1|=a有两个不等实根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（1，2） C．（0，+∞）D．（0，1）二、填空题（每题4分）11．（4分）设f（x）=，则满足的x的值为．12．（4分）已知幂函数y=f（x）的图象过，则f（9）=．13．（4分）函数f（x）=log2（4x+1）的值域为．14．（4分）已知f（x）=e x，若f（a+b）=2，则f（2a）•f（2b）=．15．（4分）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是．16．（4分）已知集合A={x|﹣1＜x≤5}，B={x|m﹣5＜x≤2m+3}，且A⊆B，则实数m的取值范围是．17．（4分）定义在R上的函数f（x）满足：f（﹣x）=﹣f（x），f（x+2）=f（x），当且x∈[0，1]时，f（x）=x，则f（2011.5）=．三、解答题18．（24分）已知全集U=R，集合A={x|x＞2或x＜﹣1}，集合B={x|1＜x＜4}，求：A∩B，A∪B，（C U A）∩B，（C U A）∪（C U B）．19．（14分）（1）求的值；（2）求的值．20．（14分）设函数f（x）=log3（9x）•log3（3x），≤x≤9．（Ⅰ）若m=log3x，求m取值范围；（Ⅱ）求f（x）的最值，并给出最值时对应的x的值．21．（15分）已知实数a≠0，函数f（x）=（1）若a=﹣3，求f（10），f（f（10））的值；（2）若f（1﹣a）=f（1+a），求a的值．22．（15分）设f（x）=log a（1+x）+log a（3﹣x）（a＞0，a≠1），且f（1）=2．（1）求a的值及f（x）的定义域；（2）求f（x）在区间[0，]上的最大值．2014-2015学年浙江省宁波市余姚三中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题5分）1．（5分）已知全集U=R，A={x|x≤﹣2}，B={x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）=（）A．{x|﹣2＜x＜1}B．{x|x≤1}C．{x|﹣2≤x≤1}D．{x|x≥﹣2}【解答】解：∵A={x|x≤﹣2}，B={x|x≥1}，∴A∪B={x|x≤﹣2或x≥1}，∵全集U=R，∴∁U（A∪B）={x|﹣2＜x＜1}．故选：A．2．（5分）函数则的值为（）A．B．C．D．18【解答】解：∵，∴f（3）=32﹣3﹣3=3，∴=f（）=1﹣（）2=，故选：C．3．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．（2，+∞）B．（0，2） C．（﹣∞，2）D．（0，）【解答】解：要使函数f（x）有意义，则，即＞﹣1，解得0＜x＜2，即函数f（x）的定义域为（0，2）故选：B．4．（5分）函数y=x2﹣4x+3，x∈[0，3]的值域为（）A．[0，3]B．[﹣1，0]C．[﹣1，3]D．[0，2]【解答】解：∵函数y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，x∈[0，3]，故当x=2时，函数取得最小值为﹣1，当x=0时，函数取得最大值3，故函数的值域为[﹣1，3]，故选：C．5．（5分）如果函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣3，+∞）B．（﹣∞，﹣3]C．（﹣∞，5]D．[3，+∞）【解答】解：∵f（x）=x2+2（a﹣1）x+2的对称轴为x=1﹣a，∵f（x）在区间（﹣∞，4]上是减函数，开口向上，则只需1﹣a≥4，即a≤﹣3．故选：B．6．（5分）集合的真子集有（）个．A．8 B．16 C．15 D．14【解答】解：集合={1，2，3，6}，∴该集合的真子集有∅，{1}，{2}，{3}，{6}，{1，2}，{1，3}，{1，6}，{2，3}，{2，6}，{3，6}，{1，2，3}，{1，2，6}，{2，3，6}，{1，3，6}共15个．故选：C．7．（5分）已知f （x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，设a=f（log 47），b=f（3），c=f（0.20.6），则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．c＞a＞b D．a＜b＜c【解答】解：由题意f（x）=f（|x|）．∵log 47=log2＞1，3=﹣log23＜﹣log2＜﹣1，0＜0.20.6＜1，∴|log23|＞|log47|＞|0.20.6|．又∵f（x）在（﹣∞，0]上是增函数且为偶函数，∴f（x）在[0，+∞）上是减函数．∴c＞a＞b．故选：C．8．（5分）函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在的大致区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【解答】解：∵f（1）=ln（1+1）﹣2=ln2﹣2＜0，而f（2）=ln3﹣1＞lne﹣1=0，∴函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间是（1，2），故选：B．9．（5分）已知函数f（x）=，则f（log27）的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）=，∴f（log27）=f（）=f（）==．故选：B．10．（5分）已知方程|2x﹣1|=a有两个不等实根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（1，2） C．（0，+∞）D．（0，1）【解答】解：若关于x的方程|2x﹣1|=a有两个不等实数根，则y=|2x﹣1|的图象与y=a有两个交点，函数y=|2x﹣1|的图象如下图所示：由图可得，当a∈（0，1）时，函数y=|2x﹣1|的图象与y=a有两个交点，故实数a的取值范围是（0，1），故选：D．二、填空题（每题4分）11．（4分）设f（x）=，则满足的x的值为3．【解答】解：由题意得，log81x=，解得，x=3；故答案为：3．12．（4分）已知幂函数y=f（x）的图象过，则f（9）=．【解答】解：设幂函数y=f（x）=xα，再由题意可得f（2）=，即2α==，∴α=﹣，∴y=f（x）=．∴f（9）==，故答案为．13．（4分）函数f（x）=log2（4x+1）的值域为（0，+∞）．【解答】解：∵4x+1＞1，∴log2（4x+1）＞0，∴f（x）=log2（4x+1）的值域为（0，+∞）．故答案为：（0，+∞）．14．（4分）已知f（x）=e x，若f（a+b）=2，则f（2a）•f（2b）=4．【解答】解：∵f（a+b）=2，∴e a+b=2．则f（2a）•f（2b）=e2a•e2b=e2（a+b）=22=4．故答案为：4．15．（4分）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是（﹣7，3）．【解答】解：因为f（x）为偶函数，所以f（|x+2|）=f（x+2），则f（x+2）＜5可化为f（|x+2|）＜5，即|x+2|2﹣4|x+2|＜5，（|x+2|+1）（|x+2|﹣5）＜0，所以|x+2|＜5，解得﹣7＜x＜3，所以不等式f（x+2）＜5的解集是（﹣7，3）．故答案为：（﹣7，3）．16．（4分）已知集合A={x|﹣1＜x≤5}，B={x|m﹣5＜x≤2m+3}，且A⊆B，则实数m的取值范围是[1，4] ．【解答】解：由已知条件得：，解得1≤m≤4；∴m的取值范围是[1，4]．故答案为：[1，4]．17．（4分）定义在R上的函数f（x）满足：f（﹣x）=﹣f（x），f（x+2）=f（x），当且x∈[0，1]时，f（x）=x，则f（2011.5）=﹣0.5．【解答】解：∵f（﹣x）=﹣f（x），∴函数f（x）是定义在R上的奇函数，∵f（x+2）=f（x），∴函数f（x）的周期为2，∴f（2011.5）=f（2×1006﹣0.5）=f（﹣0.5）=﹣f（0.5）=﹣0.5故答案为：﹣0.5．三、解答题18．（24分）已知全集U=R，集合A={x|x＞2或x＜﹣1}，集合B={x|1＜x＜4}，求：A∩B，A∪B，（C U A）∩B，（C U A）∪（C U B）．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|x＞2或x＜﹣1}，集合B={x|1＜x＜4}，∴A∩B={x|2＜x＜4}；A∪B={x|x＜﹣1，或x＞1}．根据补集的定义求得C U A={x|﹣1≤x≤2}，C U B={x|x≤1，或x≥4}．∴（C U A）∩B={x|1＜x≤2}，（C U A）∪（C U B）={x|x≤2，或x≥4}．19．（14分）（1）求的值；（2）求的值．【解答】解：（1）原式=5×（﹣4）×（﹣）××=24×1×=；（2）原式=（+）（++）+（lg2）2+（2lg2+lg5）×lg5=2++1++1++（lg2）2+（1+lg2）（1﹣lg2）=6++1=．20．（14分）设函数f（x）=log3（9x）•log3（3x），≤x≤9．（Ⅰ）若m=log3x，求m取值范围；（Ⅱ）求f（x）的最值，并给出最值时对应的x的值．【解答】解：（Ⅰ）∵，m=log3x为增函数，∴﹣2≤log3x≤2，即m取值范围是[﹣2，2]；（Ⅱ）由m=log3x得：f（x）=log3（9x）•log3（3x）=（2+log3x）•（1+log3x）=，又﹣2≤m≤2，∴当，即时f（x）取得最小值，当m=log3x=2，即x=9时f（x）取得最大值12．21．（15分）已知实数a≠0，函数f（x）=（1）若a=﹣3，求f（10），f（f（10））的值；（2）若f（1﹣a）=f（1+a），求a的值．【解答】解：（1）若a=﹣3，则f（x）=所以f（10）=﹣4，f（f（10））=f（﹣4）=﹣11．（2）当a＞0时，1﹣a＜1，1+a＞1，所以2（1﹣a）+a=﹣（1+a）﹣2a，解得a=﹣，不合，舍去；当a＜0时，1﹣a＞1，1+a＜1，所以﹣（1﹣a）﹣2a=2（1+a）+a，解得a=﹣，符合．综上可知，a=﹣．22．（15分）设f（x）=log a（1+x）+log a（3﹣x）（a＞0，a≠1），且f（1）=2．（1）求a的值及f（x）的定义域；（2）求f（x）在区间[0，]上的最大值．【解答】解：（1）∵f（1）=2，∴log a（1+1）+log a（3﹣1）=log a4=2，解得a=2（a＞0，a≠1），由，得x∈（﹣1，3）．∴函数f（x）的定义域为（﹣1，3）．（2）f（x）=log2（1+x）+log2（3﹣x）=log2（1+x）（3﹣x）=∴当x∈[0，1]时，f（x）是增函数；当x∈[1，]时，f（x）是减函数．所以函数f（x）在[0，]上的最大值是f（1）=log24=2．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；xyB CAO2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。
浙江省余姚中学高一数学上学期期中试题
总分：150分时间：120分钟、选择题：本大题 10个小题，每小题 4分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设全集 u {1,2,3,4,5}，集合 A {1,2,4} ， B {2,4,5},则 AU(C U B) ( ▲)A .{1,2,4,5} B2,4 {123,4}D123,52.已知 1,1,2,3，则使函数的值域为R ，且为奇函数的所有的值为A. 1, 3B. — 1, 1D . — 1, 1,3.给出下列四个命题:Q①—是第二象限角;4 ②是第三象限角; 3 400是第四象限角；④ 315是第象限角. 其中正确的命题有 A.1个 B.2个 C.3D.4个4.函数y log 1 (3x 2)的定义域是( A.[1, (i ) ,1](x)C1满足：对任意实数X 1,X 2,当捲X 2时，总有6.已知函数f (x) (3a 1)x log a X,x4a,x 1f(xj fg) 0,那么实数 a 的取值范围是1 1A. 9?7.右 sin ,cos1(°,?是方程4X 2+ 2mx + m= 0的两根，则B.C3m 的值为.[71)A.1 + 5B.1 — . 5C.1D. — 1— , 58.函数 f (x)x(| x| 1)在［m,n ］上的最小值为1 ，最大值为2，则n m 的最大值为4(▲)A . 5B . 5 二C3D . 222 2 29.已知定义在区间0,2上的函数f x ln2e x 3x a，若存在m 0,1，使11.设集合A 1,0,2 ,则集合A 的子集有 __________________ ▲ _______ 个，若集合B x|x A,且 2 x A贝y B = _______ ▲ _________ 。
则 AI B = 13. 函数 y log" x 24x)的增区间是 __________ ▲ ________ :值域是▲ .21 14. 设函数 f x |1-| x 0 . x1 1(1) 若0 a b ，且fa f b 时，则1 丄=_______a b(2) 若方程f xm 有两个不相等的正根，则 m 的取值范围▲ _______f f m m 成立，则 a 的取值范围为(▲).A .1,e 3B .1| C.1,e 2D10.定义在R上的函数f (x)满足 f (0) 0, f (x) f(1 x)1,f (x)50 X 1 X 2 1 时，f (X 1) f (X 2)，则 f (1)等于(▲ 2018). A . 12B.丄C161 • 32D1,21-f(x),且当 21 6412. (1)已知扇形的圆心角为—，面积为一，则扇形的弧长等于6 3⑵若已知集合A x|k - x k,k Z , B x| 2 x 3 , 2、填空题：本大题共 7个小题，多空题每空 3分，单空题每空 4分，共36 分.a的取值范围是15.已知函数f(x) (a 1) .4 ax在区间0,2上是减函数，则实数16. 下列说法：①函数y log1 x2 2x 3的单调增区间是,1 ；2②若函数y f(x)定义域为R且满足fix f x 1，则它的图象关于y轴对称;③函数f(x) x (x R)的值域为(1, 1)；1 |x|④函数y | 3 x2|的图象和直线y a (a R)的公共点个数是m，贝U m的值可能是023,4 ;⑤若函数f (x) x22ax 5(a 1)在x 1,3上有零点，则实数a的取值范围是[.5,3].其中正确的序号是▲ ______ ._ 217. 已知函数f(x) x ax b, a, b R在区间0,1上有2个零点，贝U 3a b的取值范围是_______ ▲ ___三、解答题(共74分•解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)18. (本题满分14分)已知A {x|x2 4 0}, B {x | ax2(2a 1)x 2 0}.卄 1 亠(1)若a —,求A B ;2(2)若A B B，求实数a的取值集合。
浙江省余姚市高一数学上学期期中试题 理 新人教A版
余姚中学高一数学期中考试试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合{}2|A x R x a=∈=，使集合A的子集个数为2个的a的值为（）A、-2B、4C、0D、以上答案都不是2、函数()log411ay x=--，(a>0且a≠1) 图象必过的定点是（）A、（4,-1）B、（1，0）C、（0, -1）D、1,12-（）3、设11,,,1,2,32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使()αxxf=为奇函数且在()+∞,0上单调递增的α的值的个数是（）A 、1 B、2 C、3 D、44、函数)10(||<<=axxayx的图象的大致形状是（）5、设函数2,0,(),0,x xf xx x-≤⎧=⎨>⎩若()4fα=，则实数α= ( ) A、4-或2-B、4或2-C、2或4-D、2-或26、若21025cba==且0≠abc，则=+bcac（）A、2B、1C、 3D、 47、若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数2xy=，[]2,1∈x与函数2xy=，[]1,2--∈x即为“同族函数”．请你找出下面哪个函数解析式也能够被用来构造“同族函数”的是（）2102学年度第一学期A 、1y=xB 、xy 2= C 、 4|3|y x =- D、lg(y x =8、设对任意实数]1,1[-∈x ，不等式032<-+a ax x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A 、0>aB 、21>a C 、0>a 或12-<a D 、41>a 9、已知定义在R 上的函数)(x f y =满足下列三个条件：①对于任意的)()4(x f x f x =+∈都有R ；②对于任意的)()(202121x f x f x x <≤<≤都有；③函数(2).y f x =+的图象关于 y 轴对称 则下列结论正确的是 （ ）A 、)5.15()5()5.6(f f f >>B 、)5.15()5.6()5(f f f <>C 、)5.6()5.15()5(f f f <<D 、)5.6()5()5.15(f f f >>10、已知函数(31)5,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩，现给出下列命题：① 当图象是一条连续不断的曲线时，则a =81; ② 当图象是一条连续不断的曲线时，能找到一个非零实数a ，使得()f x 在R 上是增函数；③ 当11|,83a m m m R ⎧⎫∈<<∈⎨⎬⎩⎭时，不等式()()110f a f a +⋅-<恒成立；④当14a =时，则方程2(1)(24)0f x f x +-+=的解集为{}1,3-；⑤函数 ()1y f x =+是偶函数 . 其中正确的命题是 （ ）A 、 ①②③B 、 ②④⑤C 、 ①③④D 、 ①②③④⑤ 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 11、求值：82log (log 16)= 12、已知函数x x x x f +-+-=11log )(2，则)20121()20121(-+f f = . 13、函数1()2x xf x +=的值域为 .14、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足等式f (1－x 2)＝f (2x )的实数x 的集合是______．15、设函数()f x 2(1)1x m x =+-+在区间[0，2]上有两个零点，则实数m 的取值范围是 .16、下列各式中正确的．．．有 .（把你认为正确的序号全部写上）（1）21])2[(212-=--； （2）已知,143log <a 则43>a ；（3）函数xy 3=的图象与函数xy --=3的图象关于原点对称；（4）函数)lg(2x x y +-=的递增区间为]21,(-∞；（5）若函数()2lg()lg(1)f x x a x =--+有两个零点，则a 的取值范围是5(,1]4--. 17、设定义域为R 的函数2lg (0)()2(0)x x f x x x x ⎧>=⎨--≤⎩，若关于x 的方程22()2()10f x bf x ++=有8个不同的实数根，则b 的取值范围为 .三、解答题：（本大题共5个小题，共72分。
2016届浙江省余姚中学高三上学期期中考试理数试题 解析版
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.下列说法正确的是（ ）A ．若命题p ，q ⌝都是真命题，则命题“p q ∧”为真命题B ．命题“若0xy =，则0x =或0y =”的否命题为“若0xy ≠，则0x ≠或0y ≠”C ．命题“R x ∀∈，20x >”的否定是“0R x ∃∈，020x ≤” D ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件【答案】C .考点：１、命题及其关系；2、充分条件；3、必要条件.2.已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（0A ≠，0ω>，22ππϕ-<<）在23x π=时取得最大值，且它的最小正周期为π，则（ ）A ．()f x 的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数 C ．()f x 的一个对称中心是5,012π⎛⎫⎪⎝⎭D ．()f x 的图象的一条对称轴是512x π= 【答案】C .【解析】考点：1、求函数()()sin f x x ωϕ=A +的解析式；2、三角函数的图像及其性质.3.已知数列{}n a 满足：21n a n n =+，且1011n S =，则n 的值为（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 【答案】C .【解析】 试题分析：因为21111(1)1n a n n n n n n ===-+++，所以 11111110(1)()()12231111n S n n n =-+-++-=-=++ ，所以10n =，故应选C . 考点：1、裂项求和.4.若α、β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为（ ）①若直线m α⊥，则在平面β内一定不存在与直线m 平行的直线．②若直线m α⊥，则在平面β内一定存在无数条直线与直线m 垂直．③若直线m α⊂，则在平面β内不一定存在与直线m 垂直的直线．④若直线m α⊂，则在平面β内一定存在与直线m 垂直的直线．A ．①③B ．②③C ．②④D ．①④【答案】C .考点：1、直线与平面之间的位置关系.5.已知函数()22x f x kx x =-+（R k ∈）有四个不同的零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．0k < B ．1k < C ．01k <<D ． 1k >【答案】D .【解析】试题分析：对于选项A ，函数sin y x =为奇函数，但是sin y x =在区间(0,)+∞内不是单调递增的，不符合题意；对于选项B ，函数ln ||y x =满足：()ln ||ln ()f x x x f x -=-==，所以函数ln ||y x =是偶函数，所以不符合题意；对于选项C ，函数1y x=-满足：11()()f x f x x x -=-==--，所以函数1y x=-是奇函数，且在区间(0,)+∞内是增函数，符合题意；对于选项D ，函数31y x =+满足：33()()11f x x x -=-+=-+，所以函数31y x =+是非奇非偶函数，不符合题意，故应选C .考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性.6.若直线1x y a b+=通过点()cos ,sin ααM ，则（ ）A ．221a b +≤B ．221a b +≥C ．22111a b +≤ D ．22111a b+≥ 【答案】D .考点：1、直线的方程；2、柯西不等式的应用.【思路点睛】本题主要考查直线的方程和柯西不等式的应用，属中档题.其解题的一般思路为：首先由已知条件可得cos sin 1a b αα+=，然后运用柯西不等式可得不等式22222cos sin 11(cos sin )()ab a b αααα⎛⎫+≤++ ⎪⎝⎭，并验证等号是否能够成立，化简即可得出所求的结果. 其解题的关键是能有效地将直线方程和柯西不等式知识联系起来并求解实际问题.7.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若F 5P =，则双曲线的离心率为（ ）AD ．2 【答案】D .【解析】 试题分析：因为抛物线28y x =的焦点坐标F(2,0)，所以p=4.又因为抛物线的焦点与双曲线的焦点相同，所以2p c =，即2c =.设P(m,n)，则由抛物线的定义知，F 252p m m P =+=+=，所以3m =，所以点P的坐标为，所以222249241a b ab ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解之得2213a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以双曲线的离心率为2c e a ==，故应选D . 考点：1、抛物线；2、双曲线.【思路点睛】本题主要考查抛物线和双曲线及其基本性质，考查学生综合运用知识的能力和分析问题、解决问题的能力，属中档题.其解题的一般思路为：首先根据抛物线的方程可得出其焦点的坐标，然后利用已知条件可得双曲线的一个焦点坐标，即可得出,,a b c 的一个等式关系，再运用已知条件和抛物线的定义可知P 的坐标，进而得出另一个,,a b c 的一个等式关系，联立方程组即可得出所求的结果.8.设0a <，()()2320x a x b ++≥在(),a b 上恒成立，则b a -的最大值为（ ）A ．13B ．12 C ．3 D ．2 【答案】A .考点：1、不等式恒成立问题；2、函数的性质及其应用.【思路点睛】本题主要考查了函数的恒成立问题的求解，属中高档题.其解题的一般思路为：首先根据题意适当的进行分类讨论：0a b <<、0a b <<和0a b <=，然后将()()2320x a x b ++≥在(),a b 上恒成立，转化为相应的不等式，进而求出对应的,a b 的取值范围，最后求出b a -的最大值即可. 其解题的关键是正确的分类讨论，并结合已知转化为相应的不等式进行求解.第Ⅱ卷（共100分）（非选择题共100分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）9.设全集为R ，集合{}2R 430x x x M =∈-+>，集合{}2R log 1x x N =∈<，则M N = ；M N = ；()R M N = ð ． 【答案】{R 3x x ∈>或2}x <，{}01x x <<，{}0,1x x x ≤≥.【解析】 试题分析：因为{}2R 430{R 3x x x x x M =∈-+>=∈>或1}x <，{}{}2R log 1R 02x x x x N =∈<=∈<<，所以M N = {R 3x x ∈>或2}x <，M N = {}01x x <<，()R M N = ð{}0,1x x x ≤≥，故应填{R 3x x ∈>或2}x <，{}01x x <<，{}0,1x x x ≤≥.考点：1、集合间的基本运算.10.已知曲线22212x y k k+=-．当曲线表示圆时k 的取值是 ；当曲线表示焦点在y 轴上的椭圆时k 的取值范围是 ；当曲线表示双曲线时k 的取值范围是 ．【答案】2或-1；2k >或1k <-；01k <<.考点：1、圆的标准方程；2、椭圆的标准方程；3、双曲线的标准方程.11.已知某几何体的三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．则该几何体的表面积是 ；体积是 ．【答案】160643+. 【解析】试题分析：由题意中的三视图可知，该几何体是一个三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，其原始几何体如下图所示.其中平面ABFE 的面积为：32；平面BCDF 的面积为：24；平面ABC 的面积为：8；平面DEF 的面积为：ADE 的面积为：；平面ACD 的面积为：64+而棱柱ABC EFG -的体积为：64；棱锥D EFG -的体积为：323；所以该组合体的体积为：1603，故应填160643+.考点：1、三视图；2、简单几何体的体积.12.已知实数x ，y ，实数1a >，1b >，且2x y a b ==，（1）若4ab =，则11x y += ；（2）28a b +=，则21x y+的最大值是 ． 【答案】2，4.考点：1、基本不等式的应用；2、对数及其基本运算.13.已知OA 与OB 的夹角为60 ，2OA = ，OB = ，λμOP =OA+OB ，若2λ=，则OP 的最小值为 ．【答案】【解析】试题分析：因为λμOP =OA+OB ，所以()222222222412λμλμλμλμOP =OA +OB =OA +OB +OA⋅OB =++ ，又因为2λ=，所以2λ=，所以222224124(2)12)λμμμOP =++=++21)12=-+10-=，即μ=时，min OP = 考点：1、平面向量的数量积的应用.14.已知函数()23344f x x x =-+的定义域和值域都是[],a b ，则a b += ． 【答案】5.考点：1、函数的值域；2、函数的定义域；3、二次函数的单调区间及其最值问题.【思路定睛】本题主要考查了函数的值域、函数的定义域和二次函数的单调区间及其最值问题，考查学生综合运用知识的能力和逻辑推理能力，属中档题.其解题的关键有两点：其一是正确地理解函数的定义域和值域都是[],a b ，这说明函数的最大值和最小值的取得均在区间的端点处取得；其二是能根据对称轴对函数进行合理的分类讨论，进而得出所求的结果.15.正方体1111CD C D AB -A B 的棱长为1，底面CD AB 的对角线D B 在平面α内，则正方体在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是 ．【答案】⎡⎣.考点：1、二面角；2、空间位置关系与距离.【思路点睛】本题考查了二面角的应用，考查学生空间想象能力以及转化思想的应用，属高档题.其一般解题思路为:首先设出矩形11BDD B 与α所成的锐二面角为θ，面积记为1S ，则正方形1111C D A B 与α所成锐二面角为2πα-，面积记为2S ，然后求出阴影部分的面积的表达式，最后利用两角和与差的三角函数求解最值即可得出所求的结果.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本题满分15分）在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cosC sinC 0b a c --=．（I ）求B ；（II ）若b =2a c +的取值范围．【答案】（1）3B π=；（2）.【解析】试题分析：（1）首先由正弦定理可将已知等式化简为sin cos sin sin sin 0B C B C A C --=，然后由三考点：1、正弦定理的应用；2、简单的三角恒等变换.【方法点睛】本题主要考查简单的三角恒等变换和正弦定理的应用，综合考查学生应用知识的能力，属中档题.其解题过程中最关键有以下两点：其一是能够灵活地运用正弦定理将已知的三角恒等式中所有的边换成角的正弦的形式，或将已知的角的正弦形式化简成边的形式；其二是注意三角形隐藏的条件如三角形的内角和为π、sin sin()A B C =+等.17.（本题满分15分）数列{}n a 满足：12a =，2166n n n a a a +=++（n *∈N ）． （1）证明：数列(){}5log 3n a +是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设21166n n n nb a a a =--+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：51164n -≤T <-． 【答案】(1)由2166,n n n a a a +=++得213(3).n n a a ++=+515log (3)2log (3)n n a a +∴+=+，由等比数列的定义知数列(){}5log 3n a +是等比数列；（2) 125 3.n n a -=-（3）令()5l o g 3n n C a =+，则由（1）知{}n C 是以２为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式可知12n n C -=， 又15log 51C ==， 12n n C -∴=即 15log (3)2n n a -+=，1235.n n a -∴+=故125 3.n n a -=-（2）211111,6666n n n n n n b a a a a a +=-=--+-- 2111111.66459n n n T a a +∴=-=----- 又221110,591659n <≤=--51.164n T ∴-≤<-（2)令()5log 3n n C a =+，则由（1）知{}n C 是以２为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式可知12n n C -=， 又15log 51C ==， 12n n C -∴=即 15log (3)2n n a -+=，1235.n n a -∴+=故125 3.n n a -=-（3）211111,6666n n n n n n b a a a a a +=-=--+-- 2111111.66459n n n T a a +∴=-=----- 又221110,591659n <≤=--51.164n T ∴-≤<-考点：1、等比数列；2、数列的前n 项和.【方法点睛】本题主要考查了等比数列及其性质和数列的前n 项和，以及不等式的放缩法，综合考查了学生知识的应用能力和逻辑推理能力，属中档题. 其解题的关键步骤有以下两步：其一是能够将已知的数列递推式作适当的变形，并结合对数的运算性质构造出新的数列，使得该数列成为等差数列或等比数列；其二是能够合理的运用裂项求和法对其进行求解.18.（本题满分15分）如图，在四棱锥CD P -AB 中，底面CD AB 为菱形，D 60∠BA =，Q 为D A 的中点．（I ）若D PA =P ，求证：平面Q P B ⊥平面D PA ；（II ）设点M 是线段C P 上的一点，C t PM =P ，且//PA 平面Q M B ．（i ）求实数t 的值；（ii ）若D D 2P A=P =A =，且平面D PA ⊥平面CD AB ，求二面角Q C M -B -的大小．【答案】（1）证明：（1） Q 为AD 的中点.PA=PD ，AD PQ ∴⊥，又 Q 为AD 的中点，底面ABCD 为棱形，∠BAD=60oAD BQ ∴⊥， AD ∴⊥面PBQ ，∴平面PQB ⊥平面PAD. （2）（ⅰ）当13t =时，//PA 平面Q M B ．（ii ）二面角M –BQ –C 的大小为3π.考点：1、直线与平面平行的判定定理；2、直线与平面垂直的判定定理；3、利用空间向量求二面角的大小.19.（本题满分15分）已知椭圆E 经过点()2,3A ，对称轴为坐标轴，焦点1F ，2F 在x 轴上，离心率12e =． （I ）求椭圆E 的方程；（II ）求12F F ∠A 的角平分线所在直线l 的方程；（III ）在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若存在，说明理由．【答案】（I ）2211612x y +=；（II ）210x y --=；（III ）在椭圆E 上不存在关于直线l 对称的相异两点.（II ）由（I ）知，12F (2,0),F (2,0)-，所以直线1F A 的方程为：3460x y -+=；直线2FA 的方程为：2x =；设12F F ∠A 的角平分线上任意一点为(,)P x y ，则34625x y x -+=-，即210x y --=或280x y +-=，因为斜率为正的，所以所求的12F AF ∠的角平分线所在直线l 的方程为210x y --=.（III ）假设椭圆E 上存在关于直线l 对称的相异两点，不妨设1122(,),(,)P x y Q x y ，PQ 的中点00(,)x y ，则2211222234483448x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 01212121203344x y y x x x x y y y -+=-=--+ 0032x y ∴=，又0021y x =- ，002,3x y ∴==， 则PQ 的中点与()2,3A 重合，与题意不符。
【精编】2015-2016年浙江省宁波市余姚中学高一(上)数学期中试卷带解析答案(重点班)
2015-2016学年浙江省宁波市余姚中学高一（上）期中数学试卷（重点班）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．（5分）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）A．=（0，0），=（1，2）B．=（﹣1，2），=（5，﹣2）C．=（3，5），=（6，10）D．=（2，﹣3），=（﹣2，3）2．（5分）已知，且，则tan（2π﹣α）的值为（）A．B．C．D．3．（5分）若f（x）=2sin（ωx+φ）+m，对任意实数t都有f（+t）=f（﹣t），且f（）=﹣3，则实数m的值等于（）A．﹣1 B．±5 C．﹣5或﹣1 D．5或14．（5分）某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10m（如图所示），则旗杆的高度为（）A．10 m B．30 m C．10m D．10m5．（5分）对于函数，下列选项中正确的是（）A．内是递增的B．f（x）的图象关于原点对称C．f（x）的最小正周期为2πD．f（x）的最大值为16．（5分）已知锐角α的终边上一点P（sin40°，1+cos40°），则α等于（）A．10°B．20°C．70°D．80°7．（5分）在△ABC中，，则cos2A+cos2B的最大值和最小值分别是（）A．B．，C．D．8．（5分）下列命题，正确命题的个数为（）①若tanA•tanB＞1，则△ABC一定是钝角三角形；②若sin2A+sin2B=sin2C，则△ABC一定是直角三角形；③若cos（A﹣B）cos（B﹣C）cos（C﹣A）=1，则△ABC一定是等边三角形；④在锐角△ABC中，一定有sinA＞cosB．⑤在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC一定是等边三角形．A．2 B．3 C．4 D．5二.填空题：本大题共7小题，共36分9．（6分）（1）sin120°•cos330°+sin（﹣690°）•cos（﹣660°）+tan675°=；（2）已知5cosθ=sinθ，则tan2θ=．10．（6分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式为；f（x）的图象的横坐标缩小为原来的后得函数y=g（x）的图象，则g（x）的单调减区间为．11．（6分）已知，则=；=．12．（6分）在锐角△ABC中，|BC|=1，∠B=2∠A，则=；|AC|的取值范围为．13．（6分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C对应的边，若，则∠C=．14．（3分）已知，满足tan（α+β）﹣2tanβ=0，则tanα的最小值是．15．（3分）如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆外的点D，若，则m+n的取值范围是．三.解答题：本大题共5小题，总共74分.16．（14分）已知O为坐标原点，A（0，2），B（4，6），．（1）若λ=2，且，求μ的值；（2）若对任意实数μ，恒有A，B，M三点共线，求λ的值．17．（15分）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+2sin2ωx﹣（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．若y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10个零点，求b 的最小值．18．（15分）函数f（x）=（cosx﹣sinx）•sin（）﹣2asinx+b（a＞0）．（1）若b=1，且对任意，恒有f（x）＞0，求a的取值范围；（2）若f（x）的最大值为1，最小值为﹣4，求实数a，b的值．19．（15分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=5c，cosB=．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设BC边的中点为D，|AD|=，求△ABC的面积．20．（15分）如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点（P点可以和A点重合，Q点可以与B点重合），且P，G，Q三点共线．（1）设，将用表示；（2）若△OAB为正三角形，且边长|AB|=a，设|PG|=x，|QG|=y，求的取值范围．2015-2016学年浙江省宁波市余姚中学高一（上）期中数学试卷（重点班）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．（5分）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）A．=（0，0），=（1，2）B．=（﹣1，2），=（5，﹣2）C．=（3，5），=（6，10）D．=（2，﹣3），=（﹣2，3）【解答】解：根据，选项A：（3，2）=λ（0，0）+μ（1，2），则3=μ，2=2μ，无解，故选项A不能；选项B：（3，2）=λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2），则3=﹣λ+5μ，2=2λ﹣2μ，解得，λ=2，μ=1，故选项B能．选项C：（3，2）=λ（3，5）+μ（6，10），则3=3λ+6μ，2=5λ+10μ，无解，故选项C不能．选项D：（3，2）=λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），则3=2λ﹣2μ，2=﹣3λ+3μ，无解，故选项D不能．故选：B．2．（5分）已知，且，则tan（2π﹣α）的值为（）A．B．C．D．【解答】解：，又，得，故选：B．3．（5分）若f（x）=2sin（ωx+φ）+m，对任意实数t都有f（+t）=f（﹣t），且f（）=﹣3，则实数m的值等于（）A．﹣1 B．±5 C．﹣5或﹣1 D．5或1【解答】解：因为对任意实数t都有f（+t）=f（﹣t），所以x=为f（x）的对称轴，所以f（）为最大值或最小值，所以2+m=﹣3或﹣2+m=﹣3所以m=﹣5或m=﹣1故选：C．4．（5分）某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10m（如图所示），则旗杆的高度为（）A．10 m B．30 m C．10m D．10m【解答】解：由题意可得在△ABD中，∠BAD=45°，∠ABD=105°，∠ADB=30°，由正弦定理可得BD===20，∴CD=BDsin60°=20×=30，故选：B．5．（5分）对于函数，下列选项中正确的是（）A．内是递增的B．f（x）的图象关于原点对称C．f（x）的最小正周期为2πD．f（x）的最大值为1【解答】解：函数f（x）=[1+cos（2x﹣）+1﹣cos（2x+）]﹣1=（cos2x+sin2x﹣cos2x+sin2x）=sin2x，令﹣+2kπ≤2x≤+2kπ，k∈Z，得到﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，∴f（x）的递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z，当x∈（，）时，2x∈（，π），此时函数为减函数，选项A错误；当x=0时，f（x）=0，且正弦函数关于原点对称，选项B正确；∵ω=2，∴最小正周期T==π，选项C错误；∵﹣1≤sin2x≤1，∴f（x）=sin2x的最大值为，选项D错误，故选：B．6．（5分）已知锐角α的终边上一点P（sin40°，1+cos40°），则α等于（）A．10°B．20°C．70°D．80°【解答】解：由题意可知sin40°＞0，1+cos40°＞0，点P在第一象限，OP的斜率tanα===cot20°=tan70°，由α为锐角，可知α为70°．故选：C．7．（5分）在△ABC中，，则cos2A+cos2B的最大值和最小值分别是（）A．B．，C．D．【解答】解：∵A+B=120°，∴A﹣B∈[﹣120°，120°]，∴y=cos2A+cos2B=+═1+（cos2A+cos2B）=1+cos（A+B）cos（A﹣B）=1+cos120°cos（A﹣B）=1﹣cos（A﹣B），∵由于cos120°≤cos（A﹣B）≤cos0°，即﹣≤cos（A﹣B）≤，∴≤cos2A+cos2B≤．故选：B．8．（5分）下列命题，正确命题的个数为（）①若tanA•tanB＞1，则△ABC一定是钝角三角形；②若sin2A+sin2B=sin2C，则△ABC一定是直角三角形；③若cos（A﹣B）cos（B﹣C）cos（C﹣A）=1，则△ABC一定是等边三角形；④在锐角△ABC中，一定有sinA＞cosB．⑤在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC一定是等边三角形．A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：①若tanA•tanB＞1，∴tanA＞0，tanB＞0，即A，B为锐角，∵sinAsinB＞cosAcosB，∴cos（A+B）＜0，∴A+B为钝角，故C为锐角，则△ABC一定是锐角三角形，故错误；②若sin2A+sin2B=sin2C，由正弦定理可得：a2+b2=c2，则△ABC一定是直角三角形，故正确；③若cos（A﹣B）cos（B﹣C）cos（C﹣A）=1，∵|cosX|≤1，∴cos（A﹣B）=cos（B﹣C）=cos（C﹣A）=1∵A、B、C＜180°∴A﹣B=B﹣C=C﹣A=0∴A=B=C=60°∴△ABC是等边三角形则△ABC一定是等边三角形，故正确；④在锐角△ABC中，∴A+B＞90°，∴A＞90°﹣B，∴sinA＞sin（90°﹣B），∴sinA＞cosB，故正确；⑤在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∵，由正弦定理知sinAcosB=sinBcosA，∴sin（B﹣A）=0，∴B=A，同理可得A=C，∴△ABC一定是等边三角形，故正确．故选：C．二.填空题：本大题共7小题，共36分9．（6分）（1）sin120°•cos330°+sin（﹣690°）•cos（﹣660°）+tan675°=0；（2）已知5cosθ=sinθ，则tan2θ=﹣．【解答】解：（1）sin120°•cos330°+sin（﹣690°）•cos（﹣660°）+tan675°=sin60°•cos（﹣30°）+sin30°•cos60°+tan（﹣45°）=•+•﹣1=0，故答案为：0．（2）∵已知5cosθ=sinθ，∴tanθ=5，则tan2θ==﹣，故答案为：﹣．10．（6分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式为f（x）=sin（2x+）；f（x）的图象的横坐标缩小为原来的后得函数y=g（x）的图象，则g（x）的单调减区间为[+kπ，+kπ]，k∈Z．【解答】解：由已知中函数f（x）=sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，|φ|＜）的部分图象可得：=，解得：T=π，故ω=2，当x=时，sin（2×+φ）=1，故2×+φ=，故φ=，故f（x）=sin（2x+）；f（x）的图象的横坐标缩小为原来的后得函数y=g（x）的图象，∴g（x）=sin（4x+）；由4x+∈[+2kπ，+2kπ]，k∈Z得：x∈[+kπ，+kπ]，k∈Z，即g（x）的单调减区间为[+kπ，+kπ]，k∈Z，故答案为：f（x）=sin（2x+）；[+kπ，+kπ]，k∈Z11．（6分）已知，则=﹣；=．【解答】解：∵已知，∴x+为钝角，则=sin[﹣（x+）]=cos（x+）=﹣=﹣．∴sin（2x+）=2sin（x+）cos（x+）=2××（﹣）=﹣，cos（2x+）=2﹣1=2×﹣1=，∴=cos[（2x+）﹣]=cos（2x+）cos+sin（2x+）sin=+（﹣）×=，故答案为：．12．（6分）在锐角△ABC中，|BC|=1，∠B=2∠A，则=2；|AC|的取值范围为．【解答】解：如图，根据正弦定理：，|BC|=1，∠B=2∠A；∴；∴；∴|AC|=2cosA；∵A，B，C为锐角三角形，∠B=2∠A，∠C=π﹣3∠A；∴；∴；∴；∴；∴|AC|的取值范围为（）．故答案为：2，．13．（6分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C对应的边，若，则∠C=或．【解答】解：在△ABC中，a=，b=，B=，∴由正弦定理可得：sinA===，∵a＞b，∴A＞B，∴A=或，则C=π﹣A﹣B=或．故答案为：或．14．（3分）已知，满足tan（α+β）﹣2tanβ=0，则tanα的最小值是．【解答】解：∵tan（α+β）﹣2tanβ=0，∴tan（α+β）=2tanβ，∴=2tanβ，∴2tanαtan2β﹣tanβ+tanα=0，①∴α，β∈（，2π），∴方程①有两负根，tanα＜0，∴△=1﹣8tan2α≥0，∴tan2α≤，∴﹣≤tanα＜0；即tanα的最小值是﹣．故答案为：﹣．15．（3分）如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆外的点D，若，则m+n的取值范围是（﹣1，0）．【解答】解：法一：如图所示，∵A，B，D三点共线，∴存在实数λ满足，又，t＜﹣1，∴t=，即=+，与两比较，可得，n=，则m+n=∈（﹣1，0）．∴m+n的取值范围是（﹣1，0）．故答案为：（﹣1，0）．法二：∵|OC|=|OB|=|OA|，，∴2=（）2=m22+n22+2mn•∴1=m2+n2+2mncos∠AOB当∠AOB=60°时，m2+n2+mn=1，即（m+n）2﹣mn=1，即（m+n）2=1+mn＜1，所以（m+n）2＜1，∴﹣1＜m+n＜1，当，趋近射线OD，由平行四边形法则═，此时显然m＜0，n＞0，且|m|＞|n|，∴m+n＜0，所以m+n的取值范围（﹣1，0）．故答案为：（﹣1，0）．三.解答题：本大题共5小题，总共74分.16．（14分）已知O为坐标原点，A（0，2），B（4，6），．（1）若λ=2，且，求μ的值；（2）若对任意实数μ，恒有A，B，M三点共线，求λ的值．【解答】解：（1）∵A（0，2），B（4，6），λ=2时，=2+μ，且，∴•=0∴（2+μ）•=0 2•+μ=0=（0，2），=（4，4）∴4×4+32μ=0解得μ=﹣；（2）∵对任意实数μ，恒有A，B，M三点共线，∴、是共线向量，又∵=（4，4），=λ+μ=（0，2λ）+（4μ，4μ）=（4μ，2λ+4μ），∴=（4μ，2λ+4μ﹣2），∴4（2λ+4μ﹣2）﹣4×4μ=0，解得λ=1．17．（15分）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+2sin2ωx﹣（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．若y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10个零点，求b 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，可得f（x）==．∵函数的最小正周期为π，∴=π，解之得ω=1．由此可得函数的解析式为．令，解之得∴函数f（x）的单调增区间是．（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，可得函数y=f（x+）+1的图象，∵∴g（x）=+1=2sin2x+1，可得y=g（x）的解析式为g（x）=2sin2x+1．令g（x）=0，得sin2x=﹣，可得2x=或2x=解之得或．∴函数g（x）在每个周期上恰有两个零点，若y=g（x）在[0，b]上至少含有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，即b的最小值为．18．（15分）函数f（x）=（cosx﹣sinx）•sin（）﹣2asinx+b（a＞0）．（1）若b=1，且对任意，恒有f（x）＞0，求a的取值范围；（2）若f（x）的最大值为1，最小值为﹣4，求实数a，b的值．【解答】解：（1）当b=1时，函数式可化简如下：f（x）=（cosx﹣sinx）•（cosx+sinx）﹣2asinx+1=（cos2x﹣sin2x）﹣2asinx+1=﹣sin2x﹣2asinx+，令t=sinx（0＜t＜），对任意x∈（0，），恒有f（x）＞0，即为﹣t2﹣2at+＞0，分离参数得：﹣2a＞t﹣，由t﹣在（0，）递增，所以，t﹣＜﹣3=﹣，因此，﹣2a＞﹣，解得，0＜a＜，即实数a的取值范围为（0，）；（2）f（x）=﹣sin2x﹣2asinx+b+，令t=sinx（﹣1≤t≤1），记g（t）=﹣t2﹣2at+b+，图象的对称轴t=﹣a＜0，且开口向下，①当﹣a≤﹣1时，即a≥1，函数g（t）在[﹣1，1]上单调递减，则g（t）max=g（﹣1）=﹣1+2a+b+=1，g（t）min=g（1）=﹣1﹣2a+b+=﹣4，解得a=，b=﹣1；②当﹣1＜﹣a＜1时，即0＜a＜1，函数g（t）在[﹣1，1]上先增后减，则g（x）max=g（﹣a）=+b+a2=1，g（x）min=g（1）=﹣1﹣2a+b+=﹣4，解方程可得a=﹣1，b=2﹣，由于a=﹣1＞1，不合题意，舍去．综上可得a=，b=﹣1．19．（15分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=5c，cosB=．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设BC边的中点为D，|AD|=，求△ABC的面积．【解答】解：（I）在△ABC中，∵，∴，∵，∴2•a•=5c∴3a=7c，∵，∴3sinA=7sinC，∴3sinA=7sin（A+B），∴3sinA=7sinAcosB+7cosAsinB，即3sinA=7•sinA•+7cosA∴﹣sinA=cosA，∴，即．（Ⅱ）∵，又3a=7c，∴BD==，∴，∴c=3，则a=7，∴．20．（15分）如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点（P点可以和A点重合，Q点可以与B点重合），且P，G，Q三点共线．（1）设，将用表示；（2）若△OAB为正三角形，且边长|AB|=a，设|PG|=x，|QG|=y，求的取值范围．【解答】解：（1）根据向量加法的三角形法则，=+=+λ•=+λ•（﹣）=（1﹣λ）+λ，即=（1﹣λ）+λ；（2）如右图，设∠OPG=θ，因为三角形OAB为正三角形，且G为重心，所以，当P在A处时，θ=，当P在OA中点时，θ=，故θ∈[，]，且∠OQG=﹣θ，在△OPG中，由正弦定理得，=，其中，PG=x，OG=，解得x=•，在△OQG中，由正弦定理得，=，其中，QG=y，OG=，解得y=•，所以，+=•[sin2θ+sin2（﹣θ）]=[1﹣（cos2θ+cos（﹣2θ））]=[1+cos（2θ﹣）]，因为，θ∈[，]，所以，2θ﹣∈[﹣，]，所以，cos（2θ﹣）∈[，1]，故+∈[，]．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.（1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
2015-2016学年浙江省余姚中学高一上学期期中考试数学试题(解析版)
2015-2016学年浙江省余姚中学高一上学期期中考试数学试题及解析一、选择题1．下列函数与x y =有相同图象的一个函数是（ ）．A ．2x y = B ．xx y 2= C ．)10(log ≠>=a a a y x a 且 D ．x a a y log =【答案】D【解析】试题分析：因为2x y =x =，所以解析式不同，故不选A ；因为xx y 2=x =)(0≠x ，所以解析式相同，定义域不同，故不选B ；因为x a a y l o g =x =)(10≠>a a 且，)(0>x ，所以解析式相同，定义域不同，故不选C ；而x a a y log =R x x ∈=,的定义域与解析式均相同，故选D ． 【考点】函数的三要素：解析式、定义域、值域． 2．下列表示图形中的阴影部分的是（ ）．A ．()()A CBC B ．()()A B A C C ．()()A B B CD ．()A B C 【答案】A【解析】试题分析：验证法，显然答案A 正确． 【考点】韦恩图表示集合．3．函数()(ln 2f x x =的奇偶性是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数C ．既不是奇函数也不是偶函数D ．既是奇函数也是偶函数 【答案】A【解析】试题分析：易得定义域为R ，而()(-ln -2ln(2()f x x x f x ===-=-，所以函数为奇函数，故选A ．ABC【考点】判断函数的奇偶性．4．三个数60.70.70.76log 6，，的大小关系为（ ）． A ．60.70.70.7log 66<< B ．60.70.70.76log 6<< C ．0.760.7log 660.7<< D ．60.70.7log 60.76<< 【答案】D【解析】试题分析：由指数函数、对数函数的性质可知，60.70.700.76log 60<<<1，>1，，所以60.70.7log 60.76<<．故选D ．【考点】搭桥法比大小（即引入0，1做中间量）．5．已知2211()11x x f x x --=++，则()f x 的解析式为（ ）． A ．21x x + B ．212x x +- C ．212x x + D ．21xx+- 【答案】C【解析】试题分析：设x x t +-=11，则t t x +-=11．因为2211()11x x f x x --=++，所以()f t =212t t +，则=)(x f 212x x+．故选C ．【考点】求解析式．【方法点睛】求解析式的常用方法：（1）待定系数法，即先设出函数的解析式，然后运用条件列出关于参数的方程组，求解即可；（2）换元法，即将已知条件中的某部分看作一个t ，然后将条件中的变量x 用t 表示，注意新元t 的范围，即求出了函数f （t ）的解析式及定义域，最后用变量x 替换t 即可（本题即使用了该法）；（3）凑配法，实质是换元法，只是没有设新元t 而已；（4）解方程组法，例如：已知5212+=+x xf x f )()(，求函数)(x f 的解析式．由已知得，51221+⋅=+xx f x f )()(，两式联立求解即可． 6．已知函数(31)4,1()log ,1aa x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩满足:对任意实数21,x x ，当12x x <时，总有12()()0f x f x ->，那么实数a 的取值范围是（ ）． A ．1(0,)3 B ．[11,)73 C ．11(,)73 D ．[1,1)7【答案】B【解析】试题分析：当12x x <时，总有12()()0f x f x ->，所以函数()f x 在R 上单调递减，所以⎪⎩⎪⎨⎧≥+⨯-<<<-1411310013a a a a a log )(，解得31<≤a 71，故选B ．【考点】分段函数的单调性．7．定义在()1,1- 上的函数 ()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-xy y x f y f x f 1；当()()1,00.x f x ∈->时若()111,,05112P f f Q f R f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；则,,P Q R 的大小关系为（ ）． A ．R Q P >> B ．R P Q >> C ．P R Q >> D ．Q P R >> 【答案】B【解析】试题分析：令0x y ==，则可得(0)0f =，令0x =，则()()f y f y -=-，即()f x 为奇函数，令10x y >>>，则01x yxy->-，所以()()01x y f x f y f xy ⎛⎫--=< ⎪-⎝⎭，即()()0,1x f x ∈时递减，又1111112511()1151151171511P f f f f f f ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=--== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪+⨯⎝⎭，因2172<，所以21()()72f f >，即0P Q >>，故选B ． 【考点】抽象函数比大小．【方法点睛】抽象函数问题的解法突破：（1）赋值法，利用题目中的等量关系得到特殊变量对应的函数值，从而得到函数的奇偶性；（2）利用题目中的不等关系，判断出函数的单调性；（3）利用奇偶性及单调性比大小，同时也可以解不等式．如本题：①通过等量关系 ()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-xy y x f y f x f 1赋值得到(0)0f =，同时令0x =，则()()f y f y -=-，即()f x 为奇函数；②通过不等关系()()1,00.x f x ∈->时得到函数()()0,1x f x ∈时递减，从而利用单调性比大小．8．已知()f x 是定义在[4,4]-上的奇函数，当0x >时，2()4f x x x =-+，则不等式[()]()f f x f x <的解集为（ ）．A ．(](3,0)3,4-UB ．(4,3)(1,2)(2,3)--U UC ．(1,0)(1,2)2,3-（）U UD ．(4,3)(1,0)(1,3)---U U 【答案】D【解析】试题分析：当0>x 时，0>)(x f ，所以2(())()4()()f f x f x f x f x =-+<，解得3>)(x f ，所以),(31∈x ；当0<x 时，0<)(x f ，所以2(())()4()()f f x f x f x f x =+<，解得3->)(x f ，所以),(),(0134---∈ x 综上，不等式的解集为∈x (4,3)(1,0)(1,3)---U U ．故选D ． 【考点】解分段函数不等式． 【思路点睛】本题应先通过函数的奇偶性求出0<x 时的解析式，然后判断各段的值域，以确定将)(x f 代入哪一段的解析式中，从而确定不等式[()]()f f x f x <，然后求解．本题的一个难点是，将)(x f 代入时，要先将)(x f 看作一个整体即得到2(())()4()()f f x f x f x f x =-+<（或2(())()4()()f f x f x f x f x =+<），不要急于用其表达式代换，这样先解关于)(x f 的不等式，然后再去求关于x 的不等式，求解过程比较简单快捷． 二、填空题9．已知集合22{|430},{|log 1}M x x x N x x =-+<=<，则M N = ，M N = ，R C M = ．【答案】(0,3)，(1,2)，(,1][3,)-∞+∞ ．【解析】试题分析：解得，），（31M =，），（20N =，所以M N = (0,3)，M N = (1,2)，R C M =(,1][3,)-∞+∞ ．【考点】集合的交集、并集、补集运算．10．函数212log (32)y x x =--的单调增区间为 ，值域为 ．【答案】(1,1),[2,)--+∞．【解析】试题分析：可得函数的定义域为），（13-，易知二次函数223x x y --=在区间），（11-上单调递减，在区间），（1-3-上单调递增，而函数x y 21log =在),(+∞0上单调递减，所以依据复合函数的单调性知，函数的单调递增区间为），（11-．可知，4]0，（∈--223x x ，所以函数212log (32)y x x =--的值域为[2,)-+∞．【考点】求复合函数的单调性和值域．11．已知函数(1)y f x =-的定义域为[2,3)-，值域是[1,2)-，则(2)f x +的值域是 ，2(log )f x 的定义域是 ．【答案】1[1,2),[,4)8-【解析】试题分析：函数(2)f x +的图像可看作是函数(1)y f x =-的图像向左平移3个单位而得到，所以值域没有改变，故(2)f x +的值域是[1,2)-．因为∈x [2,3)-，所以),[231-∈-x ，即函数)(x f 的定义域为∈x ),[23-．由232<≤-x lo g 得，481<≤x 所以函数2(log )f x 的定义域是），481[． 【考点】复合函数的定义域与值域问题．12．已知122,0()|log |,0x x f x x x -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则((1))f f -= ，方程()4f x =的解是 ． 【答案】1，12,16,16-． 【解析】试题分析：可得21=-)(f ，12=)(f ，所以((1))f f -=1．当0≤x 时，方程为42=-x，解得2-=x ；当0>x 时，方程为421=x log ，解得16=x 或161=x ．综上，方程的解为2-=x 或16=x 或161=x ． 【考点】①分段函数求值；②解方程．13．已知幂函数()f x过点，则满足(2)(1)f a f a ->-的实数a 的取值范围是 ． 【答案】3[1,)2【解析】试题分析：可得幂函数()f x 21x =，且函数在其定义域），∞+[0上单调递增．因为(2)(1)f a f a ->-，所以⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥12010a a a a -2，解得231<≤a ，所以实数a 的取值范围是3[1,)2．【考点】解幂函数不等式．14．已知函数31,0(),9,0x x f x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩若关于x 的方程2(2)f x x a +=有6个不同的实根，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】(8,9]【解析】试题分析：函数)(x f 的图像如下图（1），函数x x y 22+=的图像如下图（2），且其值域为），∞+[-1． 设x x t 22+=，则a t f =)(．当9>a 时，由图（1）知，a t f =)(有两解21t t ,，且2110t t <<<．由图（2）知，当101<<t 时，122t x x =+有两解；当21t <时，2t x x =+22有两解，所以当9>a 时，方程2(2)f x x a +=有4个不同的实根，不符合题意，舍去．同理，当98≤<a 时，a t f =)(有三解321t t t ,,，且321101t t t <<<<<-．由图（2）知，当011<<-t 、102<<t 、31t <时，方程),,(32122=+=i x x t i 分别有两解，所以此时方程2(2)f x x a +=有6个不同的实根．当8≤<a 2时，由图（1）知，a t f =)(有三解321t t t ,,，且321101t t t <<<<-<．由图（2）知，方程122t x x =+无解，方程),(3222=+=i x x t i 各有两解，所以此时，方程2(2)f x x a +=有4个不同的实根，不符合题意，舍去．同理，当2=a 时，方程2(2)f x x a +=有2个实数根，舍去．当2<a 时，方程2(2)f x x a +=无实数根，舍去．综上，98≤<a ．【考点】由方程的解的个数求参数范围．【方法点睛】方程解的个数问题解法：研究程)(x g 0=的实根常将参数移到一边转化为值域问题．（1）已知含参数方程)(x g 0=有解，求参数范围问题．一般可作为代数问题求解，即对)(x g 0=进行参变分离，得到)(x f a =的形式，则所求a 的范围就是)(x f 的值域．（2）当研究程)(x g 0=的实根个数问题，即方程)(x g 0=的实数根个数问题时，也常要进行参变分离，得到)(x f a =的形式，然后借助数形结合（几何法）思想求解．本题就是使用该法，但因本题是复合函数，所以难度更大，不过道理一样．15．设函数1(1),()1()1(2),()2x x a a f x x x a a ⎧-≥⎪⎪-=⎨⎪-<⎪-⎩若存在12,t t 使得23)(,21)(21==t f t f ，则12t t -的取值范围是 ．【答案】11(,)(,)22-∞-+∞【解析】试题分析：易知1≠a 且2≠a ．结合分段函数的单调性知，当1<a 时，⎪⎩⎪⎨⎧=--=--2111232212)(1)(1t a t a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=123112121)()(a t a t ，则212321>+-=-a t t ；当21<<a 时，1≥)(x f ，所以不存在1t 使211=)(t f ，故舍去；当2>a 时，⎪⎩⎪⎨⎧=--=--2122231112)(1)(1t a t a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=113222121)()(a t a t ，则1321-<+-=-a t t ．综上，21t t -的取值范围是11(,)(,)22-∞-+∞ ．【考点】含参数的分段函数的综合问题．【思路点睛】本题主要考查分段函数的单调性及函数求值问题，但因含有参数，所以需对参数讨论方可列出关于21t t ,的方程进而解出21t t ,，从而求出21t t -关于参数a 的函数并求值域即可．在求解21t t ,的过程中，一定要作出函数的草图结合单调性求解，以免出错．应在解题过程中锻炼严谨的数学思维能力． 三、解答题 16．计算：（1）4132161)()9--++；（2）2213log lg14812lg1)27100-⎛⎫-++- ⎪⎝⎭)lg(53532-+++ 【答案】（1）原式＝２； （2）原式＝－2 【解析】试题分析：（1）根据指数运算律即可求解；（2）根据指数运算律、对数运算律及换底公式易求解．试题解析：（1）4132161)()9--++24143123412]34[12-1-34-2321-2=++=++=++=）（）（）（2213log lg14812lg1)27100-⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭21310353261249532-=+-=+-=-⋅++++--=-++++=lg )53lg(41)53lg(12-]32[-4132-3）（【考点】指数、对数运算律． 17．设全集2,{|200},{||2U R A x x x B x x ==+-<=+>，22{|320}C x x mx m =-+<．（1）若()C A B ⊆ ，求m 的取值范围； （2）若()()U U C A C B C ⊆ ，求m 的取值范围．【答案】（1）012m m =≤≤或；（2）53m -<<-．【解析】试题分析：通过解一元二次不等式及绝对值不等式得到集合A 、B ．（1）求出集合B A ，然后由子集关系求参数范围，但注意集合C 为空集和非空集合两种情况考虑；（2）先求出()()U U C A C B ，然后由子集关系求参数范围即可求解． 试题解析：{|54},{|6,1}A x x B x x x =-<<=<-> 或 2232()(2)0x mx m x m x m -+=--< （1）{|14}A B x x =<<()C A B ⊆当0m φ=时，C=，满足题意 当0m <时，不合题意当0>m 时，{}m x m x C 2<<=，则有124m m ≥⎧⎨≤⎩，解得12m ≤≤．综上，012m m =≤≤或（2）()()[6,5]U U C A C B =--()()U U C A C B C ⊆ C φ∴≠当0m >时，不合题意当0m <时，{|2}C x m x m =<<265m m <-⎧∴⎨>-⎩53m ∴-<<-【考点】由子集关系求参数范围．18．已知函数32()32x xx xf x ---=+． （1）判断()f x 的奇偶性；（2）判断并证明()f x 的单调性，写出()f x 的值域．【答案】（1）()f x 是奇函数；（2）()f x 在R 上是增函数，值域为(1,1)-．【解析】试题分析：（1）先求出函数的定义域，看是否关于原点对称，若对称，则判断)(x f 与)(x f -的关系，经推理得)()(x f x f -=-，所以函数为奇函数；（2）按照单调性的定义，设12,x x R ∈且21x x >，然后作差比较得12()()f x f x >，所以函数为增函数，然后按照反比例函数的模型求值域即可．试题解析：（1）易知函数的定义域为R ，因为3223161()3223161x x x x x x xx x x f x ---⋅--===+⋅++， 所以6116()(),6116x xxxf x f x x R -----===-∈++， 则()f x 是奇函数．（2）61(61)22()1616161x x x x x f x -+-===-+++在R 上是增函数， 证明如下：任意取12,x x ，使得：1212660x x x x >∴>> 则12211212222(66)()()06161(61)(61)x x x x x x f x f x --=-=>++++ 所以12()()f x f x >，则()f x 在R 上是增函数．20261x <<+ 2()1(1,1)61x f x ∴=-∈-+，则()f x 的值域为(1,1)- 【考点】①证明函数的奇偶性；②判断函数的单调性；③求值域．19．已知函数2()||21f x ax x a =-+- （a 为实常数）．（1）若1a =，求()f x 的单调区间；（2）若0a >，设()f x 在区间[1,2]的最小值为()g a ，求()g a 的表达式；（3）设()()f x h x x=，若函数()h x 在区间[1,2]上是增函数，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）单调增区间为11(,0),(,)22-+∞，单调减区间为11(,),(0,)22-∞-； （2）163,04111()21,442132,2a a g a a a a a a ⎧-<<⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩；（3）1[,1]2a ∈-． 【解析】试题分析：（1）去绝对值，将函数化为分段函数的形式，然后借助二次函数的图像易知其单调性；（2）对于含参数的二次函数的最值计算，应对称轴与区间端点的位置关系进行讨论分别求解，然后总结结论即可；（3）按照单调性的定义，将函数在区间[1,2]上是增函数转化为1221ax x a >-（12x x <）恒成立，从而转化为最值问题求解．试题解析：（1）1a =时，2221,0()||11,0x x x f x x x x x x ⎧-+≥=-+=⎨++<⎩ ()f x 的单调增区间为11(,0),(,)22-+∞ ()f x 的单调减区间为11(,),(0,)22-∞- （2）当0a >，[1,2]x ∈时2211()21()2124f x ax x a a x a a a =-+-=-+-- 当1101,22a a <<>即时，()(1)32g a f a ==-当11112,242a a ≤≤≤≤即时，11()()2124g a f a a a==-- 当112,024a a ><<即时，()(2)63g a f a ==- 163,04111()21,442132,2a a g a a a a a a ⎧-<<⎪⎪⎪∴=--≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩（3）21()1a h x ax x-=+-在区间[1,2]任取1212,,x x x x < 21211221()()()()a h x h x x x a x x --=-- 函数()h x 在区间[1,2]上是增函数 21()()0h x h x ->恒成立1221ax x a ∴>-恒成立当0a =时．显然成立当0a >时，1221a x x a->恒成立 1214x x << 21101a a a -∴≤∴<≤当0a <时，1221a x x a-<恒成立 1214x x << 211402a a a-∴≥∴-≤< 综上所述，1[,1]2a ∈- 【考点】①求函数的单调区间；②含参数的最值计算；③由单调性求参数范围． 【方法点睛】含参数的一元二次函数)(02>++=a c bx ax y 在区间[m ，n]上的最值问题，常分两个题型（1）对称轴确定，区间变；（2）区间确定，对称轴变．解法突破：不管是哪种题型均按照对称轴与区间端点的位置关系分类讨论求解，即当对称轴0x 在区间端点m 的左侧（m x <0），在区间端点m 与n 之间（n x m ≤≤0），在端点n 的右侧（n x >0）．同时注意求最值时，可能还要考虑对称轴在区间中点的左则还是右侧．20．已知函数22()(2)(2)x x f x a a -=-++，[1,1]x ∈-．（1）求()f x 的最小值（用a 表示）；（2）关于x 的方程()f x 22a =有解，求实数a 的取值范围．【答案】（1）当32a <-时，()23min 217234t f x y a a =-==++;当3322a -≤≤时，()2min 2t a f x ya ===+; 当32a >时，()23min 217234t f x y a a ===-+;（2）(,)-∞-+∞ ． 【解析】试题分析：（1）显然使用换元法，将题目转化为函数()22222222y t at a t a a =-++=-++在33,22t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时的最值问题，然后讨论对称轴与区间端点的位置关系，分别求解即可；（2）有解问题求参数，常将参数移到一边，然后转化为最值问题求解．试题解析： （1）()()()()222222222222222222x x x x x x x x f x a a a a ----=+--+=---++ 设22x x t -=- ∴33,22t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 此时()22222222y t at a t a a =-++=-++ 当32a <-时，()23min 217234t f x y a a =-==++ 当3322a -≤≤时，()2min 2t a f x y a ===+ 当32a >时，()23min 217234t f x y a a ===-+． （2）方程()22f x a =有解，即方程2220t at -+=在33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有解，而0t ≠ ∴22a t t =+，可证明2t t +在(上单调递减，3)2上单调递增2t t +≥()2f t t t =+为奇函数，∴当3(,0)2t ∈-时2t t +≤- ∴a的取值范围是(,)-∞-+∞ ．【考点】①换元法求最值；②由有解求参数范围．【方法点睛】（1）方程有解条件下，求参数范围问题的解法突破：若函数0=)(x g 在区间D 上有解，常将参数移到一边如)(x f a =在区间D 上有解，则a 的范围等价于求函数)(x f 的值域，然后按照求值域的方法求函数值域即可．（2）含参数的一元二次函数)(02>++=a c bx ax y 在区间[m ，n]上的最值问题，常按照对称轴与区间端点的位置关系分类讨论求解，即当对称轴0x 在区间端点m 的左侧（m x <0），在区间端点m 与n 之间（n x m ≤≤0），在端点n 的右侧（n x >0）．同时注意求最值时，可能还要考虑对称轴在区间中点的左则还是右侧．。
浙江省宁波市慈溪市2015-2016高一数学上学期期中联考试卷(含解析)
一、选择题1、已知A={(x,y)|x+y=2},B={(x,y)|x-y=4}，则A∩B=( )A .{3，-1}B .{x=3,y=-1}C .{(3,-1)}D .(3,-1)2、设集合A={x|1 < x < 2},B={x|x < a}若A⊆B,则a的范围是( )A .a≥2B .a≤1C .a≥1D .a≤23、下列函数中，在区间（0，1）上是增函数的是( )A .y=-x+1B .y=C .y=-4x+5D .4、已知0＜a＜1，函数y=a与y=log（-x）的图象可能是( )A .B .C .D .5、已知a=2，那么8-26用a表示为( )A .a-2B .5a-2C .3a-D .3a--16、已知函数y=f（2x+1）定义域是[-1，0]，则y=f（x+1）的定义域是( )A .[-1，1]B .[0，2]C .[-2，0]D .[-2，2]7、若x，y∈R，且f（x+y）=f（x）+f（y），则函数f（x）( )A .f（0）=0且f（x）为奇函数B .f（0）=0且f（x）为偶函数C .f（x）为增函数且为奇函数D .f（x）为增函数且为偶函数8、已知函数f（x）在（-1，1）上既是奇函数，又是减函数，则满足f（1-x）+f （3x-2）＜0的x的取值范围是( )A .（，+∞）B .（，1）C .（，+∞）D .（，1）二、填空题9、已知函数f（x）=的定义域为M，g（x）=ln（1+x）的定义域为N，则M∩N=__________；M∪N=__________．10、已知f（x）满足2f（x）+f（）=3x，则f（1）=__________；f（x）=__________．11、若函数f（x）=1+是奇函数，则m的值是__________；值域为__________.12、函数f(x)=，则f[f(-1)]=__________ ；若f()<1，则的取值范围是__________．13、已知集合A={1，2}，B={x|ax+1=0}，且A∪B=A，则a的值组成的集合为__________．14、已知函数f（x）为奇函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）=-2+1，当x∈R时，f（x）=__________．15、已知y=log（2-ax）在区间（0，1）上是x的减函数，求a的取值范围__________.三、解答题16、若集合S={3，a}，T={x|0＜x+a＜3，x∈Z}且S∩T={1}，P=S∪T，求集合P的所有子集。
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2015-2016学年浙江省宁波市余姚三中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本题共10小题，每题4分，共40分）1．（4分）设集合A={x|x＞﹣1，x∈Q}，则（）A．Φ∉A B．∉A C．{}∈A D．{}⊊A2．（4分）函数y=ln（x﹣1）的定义域是（）A．（1，2） B．[1，+∝）C．（1，+∝）D．（1，2）∪（2．，+∝）3．（4分）如果函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间[4，+∞）上是递增的，那么实数a的取值范围是（）A．a≤3 B．a≥﹣3 C．a≤5 D．a≥54．（4分）已知a＞0且a≠1，下列四组函数中表示相等函数的是（）A．B．C．D．5．（4分）三个数70.3，0.37，ln0.3，的大小关系是（）A．70.3＞0.37＞ln0.3 B．70.3＞ln0.3＞0.37C．0.37＞70.3＞ln0.3 D．ln0.3＞70.3＞0.376．（4分）根据表格中的数据，可以判定方程e x﹣x﹣2=0的一个根所在的区间为（）A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）7．（4分）已知函数f（2x﹣1）的定义域为（1，2），则函数f（x+1）的定义域为（）A．（0，2） B．（1，2） C．（1，3） D．（0，3）8．（4分）已知f（x）是R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=﹣x2+2x，则当x ＜0时，f（x）的解析式是（）A．f（x）=﹣x（x+2）B．f（x）=x（x﹣2）C．f（x）=﹣x（x﹣2）D．f（x）=x（x+2）9．（4分）函数y=|lg（x+1）|的图象是（）A．B．C．D．10．（4分）设f（x）是偶函数且在（﹣∞，0）上是减函数，f（﹣1）=0则不等式xf（x）＞0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣1，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）若函数f（x）既是幂函数又是反比例函数，则这个函数是f（x）= 12．（4分）化简=．13．（4分）函数f（x）=﹣x2+2x+3，则该函数的零点有个，分别是．14．（4分）y=log a（x+2）+3过定点；y=a x+2+3过定点．15．（4分）已知函数f（x）=ax3+bx++2，f（﹣2）=﹣6，则f（2）=．16．（4分）函数f（x）=（）的单调递减区间是．17．（4分）若log a＜1（a＞0且a≠1），则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）18．（10分）计算：（1）﹣（）0+0.25×（）﹣4；（2）lg25+lg50•lg2+（lg2）2．19．（10分）已知函数f（x）=﹣的定义域为集合A，集合B={x|1＜x ＜8}，C={x|a＜x＜2a+1}（1）求A，（∁R A）∩B；（2）若A∪C=A，求实数a的取值范围．20．（10分）已知函数f（x）=log a（1+x），g（x）=log a（1﹣x）其中（a＞0且a ≠1），设h（x）=f（x）﹣g（x）．（1）求函数h（x）的定义域，判断h（x）的奇偶性，并说明理由；（2）求使h（x）＞0的x的取值范围．21．（10分）已知函数f（x）=2x，且f（a+2）=12，g（x）=2ax﹣9x．（1）求g（x）的解析式；（2）当x∈[﹣2，1]时，求g（x）的值域．22．（12分）已知函数f（x）=a﹣（1）若该函数为奇函数，求a；（2）判断f（x）在R上的单调性，并证明你的结论．2015-2016学年浙江省宁波市余姚三中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每题4分，共40分）1．（4分）设集合A={x|x＞﹣1，x∈Q}，则（）A．Φ∉A B．∉A C．{}∈A D．{}⊊A【解答】解：∵是无理数，∴∉A．故选：B．2．（4分）函数y=ln（x﹣1）的定义域是（）A．（1，2） B．[1，+∝）C．（1，+∝）D．（1，2）∪（2．，+∝）【解答】解：解不等式x﹣1＞0，得x＞1，故选：C．3．（4分）如果函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间[4，+∞）上是递增的，那么实数a的取值范围是（）A．a≤3 B．a≥﹣3 C．a≤5 D．a≥5【解答】解：∵抛物线函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2开口向上，对称轴方程是x=1﹣a，在区间[4，+∞）上递增，∴1﹣a≤4，解得a≥﹣3．故选：B．4．（4分）已知a＞0且a≠1，下列四组函数中表示相等函数的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、∵y=log a x，其定义域为{x|x＞0}，=，其定义域为{x|x＞0且x≠1}，故A错误；B、=x，其定义域为{x|x＞0}，y=x的定义域为R，故B错误；C、∵=2x，与y=2x，的定义域都为R，故C正确；D、∵的定义域为R，y=2log a x的定义域为{x|x＞0}，故D错误，故选：C．5．（4分）三个数70.3，0.37，ln0.3，的大小关系是（）A．70.3＞0.37＞ln0.3 B．70.3＞ln0.3＞0.37C．0.37＞70.3＞ln0.3 D．ln0.3＞70.3＞0.37【解答】解：由题，70.3＞1，0.37∈（0，1），ln0.3＜0三者大小关系为70.3＞0.37＞ln0.3故选：A．6．（4分）根据表格中的数据，可以判定方程e x﹣x﹣2=0的一个根所在的区间为（）A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）【解答】解：令f（x）=e x﹣x﹣2，由图表知，f（1）=2.72﹣3=﹣0.28＜0，f（2）=7.39﹣4=3.39＞0，方程e x﹣x﹣2=0的一个根所在的区间为（1，2），故选：C．7．（4分）已知函数f（2x﹣1）的定义域为（1，2），则函数f（x+1）的定义域为（）A．（0，2） B．（1，2） C．（1，3） D．（0，3）【解答】解：∵函数f（2x﹣1）的定义域为（1，2），∴1＜2x﹣1＜3，即函数f（x）的定义域为（1，3）．∴函数f（x+1）的定义域需满足1＜x+1＜3，即0＜x＜2，函数f（x+1）的定义域为（0，2）故选：A．8．（4分）已知f（x）是R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=﹣x2+2x，则当x ＜0时，f（x）的解析式是（）A．f（x）=﹣x（x+2）B．f（x）=x（x﹣2）C．f（x）=﹣x（x﹣2）D．f（x）=x（x+2）【解答】解：∵f（x）是R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），当x≥0时，f（x）=﹣x2+2x，设x＜0，则﹣x＞0，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[﹣（﹣x）2+2（﹣x）]=x2+2x，故选：D．9．（4分）函数y=|lg（x+1）|的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：由于函数y=lg（x+1）的图象可由函数y=lgx的图象左移一个单位而得到，函数y=lgx的图象与X轴的交点是（1，0），故函数y=lg（x+1）的图象与X轴的交点是（0，0），即函数y=|lg（x+1）|的图象与X轴的公共点是（0，0），考察四个选项中的图象只有A选项符合题意故选：A．10．（4分）设f（x）是偶函数且在（﹣∞，0）上是减函数，f（﹣1）=0则不等式xf（x）＞0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣1，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）【解答】解：∵f（x）是偶函数且在（﹣∞，0）上是减函数，∴函数在（0，+∞）上是增函数，∵f（﹣1）=0，∴f（1）=0，则不等式xf（x）＞0等价于或，解得x＞1或﹣1＜x＜0，故不等式xf（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞），故选：C．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）若函数f（x）既是幂函数又是反比例函数，则这个函数是f（x）=【解答】解：∵函数f（x）既是幂函数∴y=xα，又是反比例函数∴，∴k=1，故答案为：．12．（4分）化简=π﹣3．【解答】解：=|3﹣π|=π﹣3故答案为：π﹣313．（4分）函数f（x）=﹣x2+2x+3，则该函数的零点有2个，分别是﹣1，3．【解答】解：函数f（x）=﹣x2+2x+3，则该函数的零点就是方程﹣x2+2x+3=0的根，解得x=﹣1，x=3是方程的解．所以函数的零点有2个，分别为：﹣1，3．故答案为：第一问：2；第二问：﹣1，3．14．（4分）y=log a（x+2）+3过定点（﹣1，3）；y=a x+2+3过定点（﹣2，4）．【解答】解：由对数函数的定义，令x+2=1，此时y=3，解得x=﹣1，故函数y=log a（x+2）的图象恒过定点（﹣1，3），由指数函数的定义，令x+2=0，此时y=4，解得x=﹣2，故函数y=a x+2+3的图象恒过定点（﹣2，4），故答案为（﹣1，3），（﹣2，4）15．（4分）已知函数f（x）=ax3+bx++2，f（﹣2）=﹣6，则f（2）=10．【解答】解：∵函数f（x）=ax3+bx++2，∴f（﹣x）+f（x）=4，∵f（﹣2）=﹣6，∴f（2）=4﹣（﹣6）=10，故答案为：10．16．（4分）函数f（x）=（）的单调递减区间是（﹣∞，0] ．【解答】解：令t=﹣x2+4，则f（x）=，本题即求函数t的增区间，再利用二次函数的性质可得函数t的增区间为（﹣∞，0]，故答案为：（﹣∞，0]．17．（4分）若log a＜1（a＞0且a≠1），则实数a的取值范围是（0，）∪（1，+∞）．【解答】解：当0＜a＜1时，由log a＜1=log a a，得0；当a＞1时，由log a＜1=log a a，得a＞1．∴实数a的取值范围是（0，）∪（1，+∞）．故答案为：（0，）∪（1，+∞）．三、解答题（本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）18．（10分）计算：（1）﹣（）0+0.25×（）﹣4；（2）lg25+lg50•lg2+（lg2）2．【解答】解：（1）﹣（）0+0.25×（）﹣4=﹣2﹣0+0.5×2=﹣1．（2）lg25+lg50•lg2+（lg2）2=lg25+lg2（lg50+lg2）=lg25+lg4=lg100=2．19．（10分）已知函数f（x）=﹣的定义域为集合A，集合B={x|1＜x ＜8}，C={x|a＜x＜2a+1}（1）求A，（∁R A）∩B；（2）若A∪C=A，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由得2≤x＜6，∴A={x|2≤x＜6}，又∵集合B={x|1＜x＜8}，∴（C R A）∩B={x|x＜2或x≥6}∩{x|1＜x＜8}={x|1＜x＜2或6≤x＜8}…（5分）（2）由已知得C⊆A，①若C=∅，则a≥2a+1，∴a≤﹣1，符合题意②若C≠∅，则，解得；综上，实数a的取值范围为a≤﹣1或…（10分）20．（10分）已知函数f（x）=log a（1+x），g（x）=log a（1﹣x）其中（a＞0且a ≠1），设h（x）=f（x）﹣g（x）．（1）求函数h（x）的定义域，判断h（x）的奇偶性，并说明理由；（2）求使h（x）＞0的x的取值范围．【解答】解：（1）h（x）=log a（1+x）﹣log a（1﹣x）；解得，﹣1＜x＜1；∴h（x）的定义域为（﹣1，1）；h（﹣x）=log a（1﹣x）﹣log a（1+x）=﹣h（x）；∴h（x）为奇函数；（2）由h（x）＞0得，log a（1+x）＞log a（1﹣x）；①若a＞1，则：；∴0＜x＜1；②若0＜a＜1，则：；∴﹣1＜x＜0；∴a＞1时，使h（x）＞0的x的取值范围为（0，1），0＜a＜1时，x的取值范围为（﹣1，0）．21．（10分）已知函数f（x）=2x，且f（a+2）=12，g（x）=2ax﹣9x．（1）求g（x）的解析式；（2）当x∈[﹣2，1]时，求g（x）的值域．【解答】解：（1）由题意可得，f（a+2）=2a+2=12，∴a=log23，因此，2ax=（2a）x=3x，∵g（x）=2ax﹣9x，∴g（x）=3x﹣9x；（2）令t=3x，x∈[﹣2，1]，则t∈[，3]，∴g（x）=h（t）=t﹣t2=﹣（t﹣）2+，结合二次函数的性质可知，h（t）的图象关于t=轴对称，h（t）max=h（）=；h（t）min=h（3）=﹣6，因此，函数g（x）的值域为：[﹣6，]．22．（12分）已知函数f（x）=a﹣（1）若该函数为奇函数，求a；（2）判断f（x）在R上的单调性，并证明你的结论．【解答】解：（1）∵函数为奇函数，∴f（0）=0，∴a﹣1=0，∴a=1，∴a的值为1．（2）根据（1）得f（x）=1﹣，∴该函数为R上的增函数，证明如下：任设x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）=1﹣1+，=，∵x1＜x2，∴，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴该函数为R上的增函数．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∟ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.（1）如图，当∟APB＝90°时，若AC=5，PC＝，求BC的长；（2）当∟APB＝90°时，若AB=APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∟B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∟A的值；（2）若∟BAD＋∟BCD＝180°，cos∟DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∟DAB=∟BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。