2008-2009学年试题 线性代数
线性代数期末试卷08-09(唐明)
浙 江 工 业 大 学线 性 代 数 期 末 试 卷 （A ）（ 2008 ～ 2009 第 二 学 期 ）任课教师 学院： 班级（编号）：学号： 姓名： 得分：一、选择题（每题2分，共10分）：1. 下述关于上三角矩阵的命题中，不是真命题的有【 B 】。
A.可逆的上三角矩阵的逆矩阵仍是上三角矩阵；B.对角矩阵不是上三角矩阵；C.两个上三角矩阵的乘积仍是上三角矩阵；D.两个上三角矩阵的和仍是上三角矩阵； E ．主对角线上各元素均不为0的上三角矩阵是可逆矩阵。
2. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a aa a a a A ， ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=41424344313233342122232411121314a a a a a a a a a a a a a a a a B ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00010100001010001P ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10000010010000012P ，其中A 可逆，则1-B 等于【 C 】。
A. 211P P A -； B. 211P A P -； C. 121-A P P ； D. 112P A P -。
3. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321a a a α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321b b b β，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321c c c γ，其中)3 ,2 ,1( ,=i b a i i 全不为零，则三条直线)3 ,2 ,1( 0:==++i c y b x a l i i i i 交于一点的充要条件为【 D 】。
A. γβα,,线性相关；B. γβα,,线性无关；C. ),(),,(βαγβαr r =；D. γβα,,线性相关，而βα,线性无关。
4. 对于方阵A ，下列结论错误的是【 D 】。
A. 若A 的某一行或某一列元素全为零，则A 的一个特征值必为零；B. A 的每个特征向量同样也是2A 的特征向量；C. 若A 可逆，则A 的每个特征向量同时也是1-A 的特征向量；D.对应同一特征值的两个特征向量必为线性相关的。
《线性代数》模拟试卷(A)卷
厦门大学网络教育2008-2009学年第一学期《线性代数》模拟试卷（ A ）卷一、单项选择题(每小题3分，共24分).1. 若111221226a a a a =，则121122212020021a a a a --的值为( ). A ．12； B. －12； C. 18； D. 0. 2. 设A B 、为同阶方阵，则下面各项正确的是( ).A.若0AB =, 则0A =或0B =；B.若0AB =，则0A =或0B =；C.22()()A B A B A B -=-+；D.若A B 、均可逆，则111()AB A B ---=.3. 若方程组12312302403690x t x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 的基础解系含有两个解向量，则 t =( ). A ．2； B ．4； C ．6； D ．8.4. 已知方程组A x b =对应的齐次方程组为0Ax =，则下列命题正确的是( ).A ．若0Ax =只有零解，则Ax b =一定有唯一解；B ．若0Ax =有非零解，则Ax b =一定有无穷解；C ．若Ax b =有无穷解，则0Ax =一定有非零解；D ．若Ax b =有无穷解，则0Ax =一定只有零解.5. 设12, u u 是非齐次线性方程组Ax b =的两个解，则以下结论正确的是( ).A ．12u u +是Ax b =的解；B ．12u u -是Ax b =的解；C ．1ku 是Ax b =的解（1k ≠）；D ．12u u -是0Ax =的解. 6. 设123,,a a a 线性相关，则以下结论正确的是( ).A ．12,a a 一定线性相关；B ．13,a a 一定线性相关；C ．12,a a 一定线性无关；D ．存在不全为零的数123,,k k k ，使得1122330k a k a k a ++=.7. 若20000101A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与200010001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦相似，则x =( ). A ．-1； B ．0； C ．1； D ．2.8. 二次型f(x 1,x 2,x 3)=32232221x x 12x 3x 3x +++是( ).A. 正定的；B. 半正定的；C. 负定的；D. 不定的.二、填空题(每小题4分，共24分)1. 设802020301A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，*A 为A 的伴随矩阵，则*A =_________. 2. 非齐次线性方程组m n A x b ⨯=有唯一解的充分必要条件是_________.3. 设方程组123131232 1 2 53(8)8x x x x x x x a x ++=⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩，当a 取__________时，方程组无解.4. 设向量组1(1,3,)a k =-，2(1,0,0)a =，3(1,3,2)a =-线性相关，则k =_________.5. 二次型3231212322213214225),,(x x x x x tx x x x x x x f +-+++=为正定二次型，则t 的取值范围是_____________.6. 3阶方阵A 的特征值分别为1，-2，3，则21()A -的特征值为_________.三、计算题(共38分).1. (10分) 计算行列式 3112513420111533D ---=---.2. (10分) 求123221343A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵1A -.3. (10分)求向量组)11,9,5,8(),2,1,1,3(),10,7,1,1(),1,1,1,2(4321=--=-==αααα的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组线性表示.4. (8分)已知111131111A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求A 的特征值. 四、证明题(每小题7分，共14分).1. 设列矩阵12(,,,)T n X x x x = 满足1T X X =，E 为n 阶单位阵，2T H E XX =-，证明: H 是对称阵，且T HH E =.2. 证明二次型22256444f x y z xy xz =---++是负定的.答案：一．1．A 1211121112111112222122212221212220220(1)22122021a a aa a a a a a a a a a a a a =-=-==--2. B 由矩阵的理论可得选项B3. C 基础解系含有两个解向量3()2()1r A r A ⇒-=⇒=,12312324006369000A t t ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,6t =时，()1r A =4. C 当()()r A r A =时，Ax b =有解5. D 1212()2A u u Au Au b b b +=+=+=，因此12u u +不是Ax b =的解， 下面的选项类似讨论6. D 由线性相关的定义可得选项D7. B 相似矩阵具有相同的特征值8．D f 的矩阵是100036063A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，A 的各阶主子式为：1110a =>，103003=>，10003613366270063A ==⋅⋅-⋅=-<，因此f 为不定的 二．1．16 8022016124301A ==-=， 33***416A A A E A AA A ====⇒=2. n A r =)( 由方程组解的理论可得3. 0 方程组无解可得()(,)r A r A b ≠11211121112110120111011153880223001a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→--→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦⎣⎦⎣⎦,(,)3r A b =，当0a =时，()2r A =。
2008-2009学年线性代数试卷A及答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2008-2009学年第2学期 考试科目： 线性代数考试类型：（闭卷） 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业 题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分 评阅人试卷说明: T A 表示矩阵A 的转置矩阵，*A 表示矩阵A 的伴随矩阵，1A -表示矩阵A 的逆矩阵，A 表示方阵A 的行列式, R (A )表示矩阵A 的秩, I 是单位矩阵.一. 选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题的选项中，只有一项符合要求，把所选项前的字母填在题中括号内1. 设n B A 均为,阶方阵，满足等式0=AB ，则必有( C )(A) 0=A 或 0=B(B) 0=+B A () 0||=A 或 0||=B(D) 0||||=+B A2. 已知,,A B C 均为n 阶可逆方阵，且ABC I =，则下列结论必然成立的是( C )(A) ACB I = (B) BAC I = () BCA I = (D) CBA I =3．设有n 维向量组（Ⅰ）：12,,,r ααα 和（Ⅱ）：12,,,()m m r ααα> ，则( B )(A) 向量组（Ⅰ）线性无关时，向量组（Ⅱ）线性无关() 向量组（Ⅰ）线性相关时，向量组（Ⅱ）线性相关 (C) 向量组（Ⅱ）线性相关时，向量组（Ⅰ）线性相关 (D) 向量组（Ⅱ）线性无关时，向量组（Ⅰ）线性相关4．设n 元齐次线性方程组AX =0的系数矩阵A 的秩为r ，则AX =0有非零解的充分必要条件是( B )5. Matlab 软件中, 在命令窗口输入[1:3][321]'*, 显示ans=( D )二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）6. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010021A ，则=-1A120010001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． (A) r=n() r<n(C) r ≥n(D) r>n(A) 7 (B) 8 (C) 9 () 107. 设t ηηη,,,21 及t t ηληληλ+++ 2211都是非齐次线性方程组b A =X 的解向量，则=+++t λλλ 21______1__________.8. 矩阵20002023A a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与矩阵10002000B b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似, 则a b += . 9. 设123,1,1),0,2,3),1,0,1),k ααα===（（（则当k = 时，α1,α2,α3 线性相关.10.设A 为三阶方阵，其特征值2,1,3,- 则*A = ．11.已知二次型222123112132233(,,)2245f x x x x tx x x x x x x x =+-+++正定, 则t 的取值范围为 ．三、计算题12.(7分) 已知100110,021A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭131011,002B ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭求:2T A AB +13.（8分）计算下列行列式3214214314324321四、解方程组14. (10分)求方程组123412341234311232x x x xx x x xx x x x⎧⎪--+=⎪-+-=⎨⎪⎪--+=-⎩的通解.五、解答题15.（10分）求下列向量组的秩，并求一个最大无关组：a1=(1, 2,-1, 4)T,a2=(9, 100, 10, 4)T, a3= (-2,-4, 2,-8)T．16. (8分) 已知1121 342 012A--⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭，求A的伴随矩阵*A．17.(12分) 设212122221A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求一个正交阵P ，使1P AP -=Λ为对角阵．六、证明题18.(6分) 设向量组322211,a a b a a b +=+= 433,a a b += 144,a a b +=, 证明向量组4321,,,b b b b 线性相关.2008—2009第二学期《线性代数》（A ）参考答案和评分标准一. 选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1. C2. C3. B4. B5. D二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）6. 120010001-⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭ 7. 18. 8 9. -1/2 10. 36 11. 405t -<<三、计算题12.T T A AB A E B 2(2)+=+=1001001001102010310021001112⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎪ ⎪ ⎪-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦3分100300110330021114⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭ 5分 300030754⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭7分 13.将行列式第2、3、4列加到第1列上，得3214214314324321=32110214101431043210=101110222031104321------ 4分=10400440311--- 6分=160 8分14.11110111101111011131002410024111231/200121/200000⎛⎫⎛⎫⎛⎫------ ⎪ ⎪ ⎪--→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 4分 x x x x x x 1234340241--+=⎧⎨-=⎩，x x x x x x x x 1324132431-=-⎧⎨+=++⎩， 5分 取x x 2400⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得*120120η⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 6分取x x 2410,01⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，x x 1311,02⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 8分 得齐次方程组基础解系为121110,0201ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 9分通解为x x k kx x 12123411120101022010⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭10分 15. 192192192210040820010110201900004480320000A ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦6分rank(A)=2 7分 所以向量组的秩为2． 8分 a 1=(1, 2, -1, 4)T , a 2=(9, 100, 10, 4)T 不成比例，所以 a 1，a 2为最大无关组. 10分16. 因为1*1,||A A A -=2分*1111||||A A AA A ---==4分 1||1A -=- 6分*1||1*A A -=-=121342012--⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭8分17.123(1)(1)(5),1,1,5A E λλλλλλλ-=-+--=-==， 3分对应于11λ=-，由 ()0A E x += 得111122ξ-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，单位化，得111162p -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭； 6分 对应于21λ=，由 ()0A E x -= 得2110ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，单位化，得211120p -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 8分 对应于35λ=，由 (5)0A E x -= 得3111ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，单位化，得311131p ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭． 10分 11162311162321063P ⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，有1100010005TP AP P AP --⎛⎫⎪==Λ= ⎪ ⎪⎝⎭． 12分18. 设有4321,,,x x x x 使得044332211=+++b x b x b x b x即0)()()()(144433322211=+++++++a a x a a x a a x a a x 3分整理得 01100011000111001)(43214321=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x x a a a a 4分而011000110001110014321=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛x x x x 有非零解，所以结论成立 6分。
线代答案
内蒙古科技大学2006/2007学年第二学期《线性代数》试题 课程号：10132105 考试方式： 闭卷 使用专业、年级： 06级(本科) 工科各专业 命题教师：何林山 考试时间：2007.7.16 一、填空题（每题6分，共24分）1．若矩阵A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=230154012，则行列式|21A|= ，秩 R( A)= 。
2．向量组E ：),0,0,1(1=Te )0,1,0(2=Te ，)1,0,0(3=T e 是线性 关的，任一个三维向量),,(321b b b T =β由向量组E 的线性表示式是=β 。
3．设A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n a a a a ...............1111， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x 1，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n b b b 1，如果秩R(A)= r <n ，并且非齐次线性方程组b Ax =有无穷多解，则R （A ，b ）= ，行列式|A|= 。
4．设A 是m 行n 列的矩阵 ，且m>n,如果秩R(A)= n ，那么A 的列向量组线性 关 ， A 的行向量组线性 关 。
二、选择题（每题4分，共16分）1．设A 、B 都是n 阶方阵，下面结论不正确的是： 。
A.行列式 |AB|=|B| |A|B. 如果 A 、B 都可逆，则111---=A B AB ）（ C.T T T A B B A +=+)( D.若 AB=O 则必有A=O 或B=O2．设A 、B 是已知的n 阶方矩阵，X 是未知矩阵，且|A|0≠ ，则矩阵方程XA —B=0中的未知矩阵X= 。
A.1-BAB.B A 1-C.A B 1-D.1-A3．设A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mn m n a a a a ......1111 ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x 1，秩r （A ）= r < n ，齐次线性方程组O Ax =有非零解，则它的基础解系中解向量的个数是 。
2008-2009第二学期线性代数试卷及标答(B卷)
12n n n b b b ；12312⎛⎫ ⎪，2⎛武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸课程名称:线性代数 （ A 卷）一、填空题（每小题3分，共15分）1、2A E +；2、1；3、4；4、3；5、 0.二、选择题（每小题3分，共15分）1、C2、C3、A4、D 5 、B三、解答题（每小题7分，共35分）1、 2212111nn nn i i n b b a b b D a b b a b =+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦+∑ ………………………………………………………（3分） 11n i iaa b a =⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∑ ………………………………………………………………（6分）11n n i i a b a -=⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∑…………………………………………………………………………………（7分） 2、 因为()123240,312402231024A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭……………………………………………………………（2分） 553100444333010444131001222r r ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪−−→−−→- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭………………………………………………（6分）所以 X=55313334262-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭………………………………………………………………（7分） 3、 因 22|3|3||T AA A =29||A = ……………………………………………………（5分）2229()a b =+。
……………………………………………………（7分）4、设10,T X α= 即123220x x x ++= ……………………………………… （2分）解得基础解系12221,001ηη--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
……………………………………… （4分）Schmidt 正交化12,ηη，得到222132222252[,]41,[,]501ηααηαηααα⎛⎫- ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭即为所求。
线性代数B期末试卷及答案
2008 – 2009学年第二学期《线性代数B 》试卷3．设方阵B 为三阶非零矩阵，且AB=O ，则。
4。
设向量组线性无关，向量β不能由它们线性表示，则向量组β的秩为。
5．设A 为实对称阵，且｜A |≠0，则二次型f =x T A x 化为f =y T A -1 y 的线性变换是x =．６．设的两组基为,,;T ,,则由基到基 的过渡矩阵为。
6小题,每小题3分，满分18分) n 为n 阶行列式，则D n ＝0的必要条件是［ ］。
（A ）D n 中有两行元素对应成比例; (B ） D n 中各行元素之和为零； （C) D n 中有一行元素全为零；(D)以D n 为系数行列式的齐次线性方程组有非零解． 2．若向量组α，β，γ线性无关，α,β，σ线性相关,则[ ］。
（A)α必可由β，γ，σ 线性表示； （B) β必可由α，γ，σ 线性表示; （C)σ必可由β,γ，α 线性表示; （D ）γ必可由β，α,σ 线性表示.３．设3阶方阵A 有特征值0，－1，1,其对应的特征向量为P 1，P 2，P 3，令P ＝（P 1,P 2，P 3），则P －1AP ＝[ ］。
(A ）；（B ）；（C) ； （D ）．４．设α1,α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是[ ]。
(A)α1，α2,α3 - α1； （B)α1，α1+α2，α1+α3； （C)α1+α2,α2+α3，α3+α1; （D)α1-α2，α2-α3，α3—α1。
５．若矩阵A 3×4有一个3阶子式不为0,则A 的秩Ｒ（）=[ ］.(A ）1;(B ）2； （C ）3；(D ）4．６．实二次型f ＝x T Ax 为正定的充分必要条件是［ ]。
（A ） A 的特征值全大于零； （B ） A 的负惯性指数为零； （C) ｜A | 〉 0 ；（D ）R （A ） = n 。
三、解答题（共5小题，每道题8分，满分40分） . ２.求向量组,，，的一个极大无关组，并把其余的向量用该极大无关组线性表出。
2008级《线性代数》考题(2009年12月25用)(1)
2008级《线性代数》考题（2009年12月用）(附答案)一. 填空题（每空3分，共15分）1. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333222111c b a c b a c b a A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A 20 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围是44 t -3. A 为3阶方阵，且21=A ，则=--*12)3(A A 2716-4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是0,21====n n λλλ5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 n二. 选择题（每题3分，共15分）6. 设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+--=-0322313221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（A ） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. A.B 同为n 阶方阵，则（C ）成立(A) B A B A +=+ (B) BA AB =(C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A8. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211a a a a a a a a a A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010101P ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1010100012P 则（C ）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （D ） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ⨯矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（B ） （A ）任意r 个列向量线性无关 (B) 必有某r 个列向量线性无关(C) 任意r 个列向量均构成极大线性无关组(D) 任意1个列向量均可由其余n －1个列向量线性表示三. 计算题（每题7分，共21分）11. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=300041003A 。
线性代数试题(济南大学2008～2009学年第二学期课程考试试卷(A卷))
济南大学2008～2009学年第二学期课程考试试卷（A 卷）一、选择题（每小题3分，共15分）1．D 2333231232221131211==a a a a a a a a a ，则333132312321222113111211322322322a a a a a a a a a a a a ---的值为 [ C ] (A ) 4; (B ) 6; (C ) 8; (D ) 10.2. 设n 阶方阵A ，B ，C ，满足ABC=E ，则必有 [ D ](A ) ACB=E ; (B ) CBA=E ; (C ) BAC=E ; (D ) BCA=E .二、填空题（每空3分，共24分）1. 行列式225144196151214111=_________.2. 设矩阵A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1102,230311⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=B 则=B A T .6. 4阶行列式D 某一行的所有元素都相等且它们对应的余子式也相等，则D = 0 . 三、（本题满分10分）计算4阶行列式 b b a a -+-+1111111111111111.四、（本题满分12分）设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛400021012，矩阵B 满足：AB=A+2B ，求矩阵B .五、（本题满分14分）试求b 为何值时, 线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=---=++=+++bx x x x x x x x x x x x x x 43214324324321223121220有解,并求其通解.一、选择题（每小题3分，共18分） 1．若622211211=a a a a ，则120020221221112--a a a a 的值为 [ A ] (A ) 12-; (B )12; (C ) 18; (D ) 0.3. 设n 元齐次线性方程组=Ax 0的系数矩阵的秩为r ，则方程组=Ax 0有非零解的充分必要条件是 [ D ] (A ) n r =； (B ) n r ≥； (C ) n r >； (D ) n r <. 5. 设n 阶方阵A ，B ，C 满足ABC=E ，则必有 [ B ](A ) ACB=E ; (B ) BCA =E ; (C ) BAC=E ; (D ) CBA =E .二、填空题（每空3分，共24分）1. 行列式222111c b a c b a=_________. 2. 设A ，B 均为3阶方阵,且A =2,21=B ，则12-A B T =_____ __.4. 非齐次线性方程组b Ax =有解的充分必要条件是 . 56. 设n 阶矩阵A 满足=-+E A A 102320，则1)2(--E A = .三、（本题满分10分）计算4阶行列式aa a a a a a a aa a a 0000. 四、（本题满分12分）设AX +B =X ，其中A =，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101111010B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3-5021-1，求矩阵X .五、（本题满分14分）试求a 为何值时, 线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++322321321321a x x ax x ax x ax x x有唯一解、无解、有无穷多解？并在无穷多解时求其通解.一、填空题（每小题3分，共18分）2. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100020101A ，则(A +3E )-1 (A 2-9E )=.3. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200031021A ，则A -1=.二、选择题（每小题3分，共18分）1. 若矩阵A 有一个r 阶子式不为零，则下列结论正确的是 [ ](A ) R (A )<r ； (B ) R (A )≤ r ； (C ) R (A )>r ； (D ) R (A )≥ r .2. 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则下列结论一定成立的是 [ D ](A ) AB = BA ； (B ) 存在可逆矩阵P ，使P -1 AP =B ； (C ) 存在可逆矩阵C ，使C T AP =B ； (D ) 存在可逆矩阵P 和Q ，使P -AQ =B . 5. 矩阵方程AX =B 有解的充分必要条件是 [ C ](A ) R (A )= R (B )； (B ) R (B )=R (A , B )； (C ) R (A )=R (A , B )； (D ) R (A )<R (A , B ).6. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=133312321131131211232221333231232221131211,a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a B A ,,101010001,10000101021⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=P P 则[ D ](A ) B =P 1AP 2； (B ) B =P 2AP 1； (C ) B =A P 1P 2； (D ) B =P 1P 2A .三、计算题（第1、2题每小题10分，第3小题12分，共32分）1. 计算行列式3321322132113211111b a a a a b a a a a b a a a a +++.2. 求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+++000224214324321x x x x x x x x x x 的全部解.3. 已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2001,1121B P 满足P -1AP=B ，计算： (1) |-A 5|； (2) A 3.济南大学2011～2012学年第二学期课程考试试卷（A 卷）课 程 线 性 代 数 考试时间 2012 年 7 月 2 日一、填空题（每小题3分，满分27分）1、设行列式==11110342226111304z y xzy x，则行列式_________. 4、设矩阵A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1100120000120025，则A -1=________________. 6、三元线性方程x 1+ x 2+ x 3=1的全部解是_______________.三、计算题（每小题9分，满分18分）（1）D =cc b b a a ------1100110011001.（2）设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛161020101,而X 满足AX +E =A 2+X ，求X .四、应用题（每小题10分，满分20分）（2）设A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1-11020011-λλλ, b =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛11-a ，已知非齐次线性方程组Ax=b 存在两个不同的解，求（I ）a ，λ的值；（II ）Ax =b 的通解.。
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2008-2009-1年秋线性代数期末试卷(A)一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设A 中有2n n -个以上元素为零，则A的值为（ ）A.大于零;B. 等于零;C. 小于零;D. 不能确定. 2.设n 阶方阵A 有一个特征值为零，则下列说法正确的是（ ）A.0;A = B. ();R A n =； C.A 可逆； D. A 的列向量组线性无关.3. 设A 为n 阶方阵，若A 与n 阶单位矩阵等价，则方程组Ax b =有（ ）A. 无解；B. 有唯一解；C. 有无穷多解；D. 解的情况不能确定。
4. 设,A B 为三阶方阵，若A 可逆，()2R B =，则()R AB =（ ）A.0； B. 1； C. 2； D. 3。
5. 同阶方阵A 与B 相似的充要条件是（ ）A. 存在两个可逆矩阵P 与Q ，使得PAQ B =;B. 存在可逆矩阵P ，使得1P AP B -=;C. 存在可逆矩阵P ，使得TP AP B =;D.()()R A R B =。
二、填空题（每小题3分，共15分）6．行列式1234003209156412a a a a 中4a 的代数余子式的值等于 。
7．若2λ=是可逆方阵A 的一个特征值，则方阵1212A -⎛⎫⎪⎝⎭必有一个特征值为 。
8．当t = 时，下列向量组()123(2,1,0),(3,2,5),10,6,a a a t ===线性相关。
9．设A 是三阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，已知12A =，则()1*32A A --= 。
10．二次型121323222f x x x x x x =++的秩等于 。
三、计算题（每小题10分，共50分）11. 若111121()11x xf x n x++=+ ，求(0)f 。
12．设矩阵111111111A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，矩阵X 满足*12A X A X-=+，求X。
13. 问,a b 取何值时，向量()1,2,Tb β=可由向量组()11,1,2Tα=，()22,3,3Tα=，()33,6,Ta α=（1）唯一的线性表示， （2）无穷多的线性表示， （3）不能线性表示。
14．求线性方程组123412341234221245224x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+++=⎨⎪---+=-⎩的通解。
15.已知111101012A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭求1A -。
四、解答题（10分）16. 已知二次型()22212312313,,2f x x x x x cx x x =++-的秩为2，求参数c ，并求正交变换，将该二次型标准化。
五、证明题（每小题5分，共10分）17. 设ξ是非齐次线性方程组AX b =的一个特解，12,,,r ηηη 为对应的齐次线性方程组0AX =的一个基础解系，证明：向量组12,,,,r ξηηη 线性无关。
18. 设,A B 为n 阶方阵，且满足22A B E ==，0A B +=，证明A B +不可逆。
2008-2009-1线性代数期末试卷(B)一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1.设A 为n 阶可逆矩阵，下列运算中正确的是（ ）A.()1133A A--=; B.()()()()111TTT A A ---=; C.()22TT A A =; D. ()1TA A -=.2.设A 为3阶方阵，且2A =，则A A -=（ ）A. 4B. -4；C.16；D. -16.3. 已知A 为n 阶方阵，且满足220A A E --=则必有（ ）A. A 不可逆；B. A E -可逆；C. A E =；D. A E =-。
4. 设,A B 均为n 阶方阵，若()()R A R B =，则必有（ ） A. A 与B 相似； B. A 与B 等价； C.A 与B 合同； D. A B=。
5. 二次型222123123121323(,,)43428f x x x x x x x x x x x x =++-++的秩为（ ）A. 0;B. 1;C. 2;D. 3。
二、填空题（每小题3分，共15分）6．若三阶矩阵A 的特征值为0，1，2，则22A A E+-值等于 。
7．设()()1121,1,1,1,231,2,1,2ααα=-=--，则1232αα+= 。
8．若向量组()123(1,1,0),(0,1,1),1,0,1a a a ===，则该向量组必 。
9．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，已知5A =，则*AA 的特征值为 。
10．二次型222123121323222f x tx tx x x x x x x =+++++正定的充要条件是 。
三、计算题（每小题10分，共50分）11. 计算行列式1002034005607008。
12．已知111123111,124111051A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，求32AB A -及TA B 。
13. 问k 取何值时，方程组1231231232124551x kx x kx x x x x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=-⎩（1）有唯一解， （2）有无穷多解， （3）无解。
14．已知齐次线性方程组123412342340320220x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=⎨⎪++=⎩，求该方程组的通解。
15.已知()()()()12341,2,2,3,6,6,1,0,3,0,4,2T T T Ta a a a ====-，求出它的一个最大无关组。
四、解答题（10分）16. 已知100032023A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求10A 。
五、证明题（每小题5分，共10分）17.设有向量组1234,,,a a a a ，112223334441,,,ba ab a a b a a b a a =+=+=+=+，证明向量组1234,,,b b b b 线性相关。
18. 证明：二次型T f X AX =在1X =时的最大值为A 的最大特征值，最小值为A 的最小特征值。
2008-2009-2线性代数期末试卷(A)一、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设A ，B 都是n 阶方阵，且|A|=3，|B|=-1,则1T A B -=( ).A. -3;B.13-; C. 13; D. 3.2. 设A 为n 阶可逆矩阵,A 的第二行乘以2为矩阵B ，则1A -的( )为1B -.A ． 第二行乘以2； B. 第二列乘以2；C ． 第二行乘以12； D. 第二列乘以12.3. 若,A B 都是三阶可逆矩阵，则下列结论不一定正确的是 ( ).A.()TT T AB B A =; B. ()111AB B A ---=;C.()***AB B A =; D. ()222AB B A =.4． 设,A B 是n 阶方阵，()2AB E =，则可能不成立的是( ). A.1A B -=; B. 1ABA B -=; C.1BAB A -=; D. ()2BA E =.5.,4()4()3A B r A r B =设为阶方阵，且秩，＝，A B 和的伴随矩阵为A B **和，()()r A B **=则.A. 1；B. 2；C. 3；D. 4.二、填空题（每小题3分，共15分）6．00000000x y x y x y y x= ; 7．设矩阵12223345A t ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若齐次线性方程组0Ax =有非零解，则数t = ;8．矩阵100013012A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵为 ；9．设,A B 均为三阶矩阵，2,3A B =-=,则*2T A B = ;10．设A 是4阶矩阵，矩阵A 的特征值是1,2,4,8--, 则矩阵*A 的全部特征值是 .三、计算题（每小题10分，共50分）11. 计算行列式123111000022000002011n n n D nn n---=---12．设3阶方阵A B，满足方程2A B A B E--=，试求矩阵B以及行列式B，其中101100020010201001A E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，. 13. 求线性方程组12412341234123420321231431x x x x x x x x x x x x x x x -+=⎧⎪+-+=⎪⎨+--=⎪⎪+--=⎩的通解。
14．已知向量组()()()()12341,2,2,3,6,6,1,,0,3,0,4,2T T T Tαααα====-，求出它的一个最大无关组。
15. 设A为三阶矩阵，有三个不同特征值123,,,λλλ123,,ααα依次是属于特征值123,,,λλλ的特征向量，令123βααα=++,若3A A ββ=，求A 的特征值并计算行列式23A E -..四、解答题（10分）16. 设二次型()22212312313,,222,(0)T f x x x x Ax ax x x bx x b ==+-+>,其中二次型矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12，(1) 求,a b 的值；(2)求正交变换，化二次型f为标准形。
五、证明题（每小题5分，共10分）17. 已知A 是n 阶正定矩阵，B 是n 阶反对称矩阵，即T B B =-，判定矩阵2A B -是否可逆，说明理由.18. 设α为n 维列向量，且1T αα=，矩阵T A E αα=-，证明：行列式||0A =。
2008-2009-2线性代数期末试卷(B)一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．设A 为正交矩阵，且1A =-，则*A =( ).A. T A ;B.T A -;C. A ;D. A -2. 若,A B 都是n 阶方阵，且0B ≠, 0AB =，则必有( ).A. 0A =或0B =；B. 0A B +=；C.0A B +=； D. 0A =或0B =.3.()()R A R A b =是非齐次线性方程组Ax b =有无穷多解的( ).A. 充分条件;B. 必要条件;C. 既非充分条件又非必要条件;D. 不能确定. 4．A 是n 阶可逆矩阵，则与A 必有相同特征值的矩阵是( ).A. 1A -;B. 2A ;C.T A ;D. *A .5. 设向量组123,,ααα线性无关,234,,ααα线性相关,则以下命题中，不一定成立的是( ).A.1α不能被234,,ααα线性表示； B.2α不能被134,,ααα线性表示； C.4α能被123,,ααα线性表示； D.1234,,,αααα线性相关.二、填空题（每小题3分，共15分）6．行列式111213212223313233a b a b a b a b a b a b a b a b a b =______ ____;7．设()310A =,214035B ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，则AB =______ ;8．设*A 是n 阶方阵A 的伴随矩阵，行列式2A =，则*2A =_____________；9．设A 是4×3矩阵，()2R A =，若102020003B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()R AB =_____________；10．设方阵124242421A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭相似于对角矩阵54t⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭, 则t =__ 三、计算题（每小题10分，共50分）11. 求行列式111213212223313233a b a b a b D a b a b a b a b a b a b +++=++++++的值。