河南省天一大联考_学年高二数学上学期阶段性测试试题(一)文【含答案】
2019-2020学年河南省天一大联考高二上学期阶段性测试(一)数学(文)试题(解析版)
2019-2020学年河南省天一大联考上学期高二阶段性测试（一）数学（文）试题一、单选题1．已知22ac bc >，则下列不等式成立的是（ ） A ．220a b -> B ．a c b c +>+C ．ac bc >D ．lg lg a b >【答案】B【解析】转化条件得a b >，举出反例可判断A 、C 、D ，由不等式的性质可判断B ，即可得解. 【详解】由22ac bc >可得，a b >,A 中，当0a =，1b =-时，220110a b -=-=-<，所以A 错误；B 中，由a b >可得a c b c +>+，所以B 正确；C 中，当0c <时，ac bc <，C 错误；D 中，当0a b >>或0a b >>时，对数没有意义，所以D 错误． 故选：B. 【点睛】本题考查了不等式与不等关系，属于基础题.2．已知等差数列{}n a 中，320172a a +=，则数列{}n a 前2019项的和2019S 等于（ ） A ．2018 B ．2019C ．2020D ．2021【答案】B【解析】由等差数列的性质和前n 项和公式直接求解即可得解. 【详解】因为320172a a +=， 所以()()1201932017201920192019201922a a a a S ++===．故选：B. 【点睛】本题考查了等差数列的性质和前n 项和公式的应用，属于基础题.3．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角形状，将其斯所对应的石子个数称为三角形数，则第8个三角形数是（ ）A ．24B ．27C ．36D ．45【答案】C【解析】由题意找出规律：第n 个三角形数是123n +++⋅⋅⋅+，由等差数列的前n 项和公式即可得解. 【详解】根据图示的规律可知，第1个三角形数是1，第2个三角形数是123+=， 第3个三角形数是1236++=，第4个三角形数是123410+++=，…， 则第n 个三角形数是()11232n n n ⨯++++⋅⋅⋅+=． 所以第8个三角形数是()881362⨯+=． 故选：C. 【点睛】本题考查了观察法求数列通项的应用，属于基础题.4．在ABC V 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．已知3c a =，30A =︒，则B =（ ） A ．90° B ．60°或120°C ．30°D ．90°或30°【答案】D【解析】由正弦定理求得sin C ，进而可求得C ，即可得解. 【详解】由正弦定理得sin 3sin c A C a ==， 因为c a >，所以C A >，所以60C =︒或120︒． 当60C =︒时，()18090B A C =︒-+=︒； 当120C =︒时，()180B A C =︒-+30=︒．【点睛】本题考查了正弦定理解三角形的应用，属于基础题.5．函数()()2211x x x x f x -+=>-+的最小值等于（ ）A ．1B ．0C ．1-D ．2-【答案】A【解析】使用分离法可得()()4131f x x x =++-+，利用基本不等式即可得解. 【详解】()()2241311x x f x x x x -+==++-++，因为1x >-，所以10x +>，所以()32231f x ≥=⨯-=， 当且仅当411x x +=+即1x =时，等号成立， 所以函数()f x 的最小值为1． 故选：A. 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题.6．在ABC V 中，若sin :sin :sin 1:2A B C =，则B =（ ） A ．30° B ．45°C ．60°D ．120°【答案】C【解析】由正弦定理得::1:2a b c =，再由余弦定理即可得解. 【详解】由sin :sin :sin 1:2A B C =及正弦定理得::2a b c =，设a k =，0k >，则b =，2c k =．由余弦定理得222431cos 222k k k B k k +-==⨯⨯，又()0,180B ∈o o，所以60B =o．故选：C.本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于基础题.7．设变量x ，y 满足约束条件0,0,2,x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．6C ．2-D ．6-【答案】B【解析】由题意画出可行域，转化目标函数2z x y =+为1122y xz =-+，数形结合即可得解. 【详解】由约束条件可得可行域，如图阴影部分所示．对于目标函数2z x y =+，可化为1122y x z =-+， 要使z 取最大值，可知直线1122y x z =-+过B 点时取得．由02x y x -=⎧⎨=⎩得22x y =⎧⎨=⎩即()2,2B ， 所以max 2226z =+⨯=． 故选：B.【点睛】本题考查了简单的线性规划，属于基础题.8．已知1a ，2a ，…，9a 为各项都大于零的等比数列，公比1q ≠，则（ ） A ．1946a a a a +>+ B ．1946a a a a +<+C ．1946a a a a +=+D ．19a a +与46a a +的关系无法确定【答案】A【解析】作差化简得()()()351946111a a a a a q q +-+=--，根据1q >、01q <<讨论差的正负即可得解.()()()()()35335194614961111111a a a a a a a a a q a q q a q q +-+=-+-=-+-=--．因为0a >，0q >，1q ≠，所以若1q >，则310q -<，510q -<，所以()()351110a qq -->，所以1946a a a a +>+；若01q <<，则310q ->，510q ->，所以()()351110a qq -->，所以1946a a a a +>+. 所以恒有1946a a a a +>+． 故选：A. 【点睛】本题考查了等比数列通项公式的应用，考查了作差法比较大小，属于中档题.9．在数列{}n a 中，已知11a =，132n n a a +=+，则数列{}n a 的前10项和10S 等于（ ）A ．923⨯ B ．9231⨯-C ．93212-D ．10311-【答案】D【解析】由题意构造新数列可得数列{}1n a +是以2为首项，3为公比的等比数列，进而可得1231n n a -=⨯-，利用分组求和法即可得解.【详解】由132n n a a +=+可得()1131n n a a ++=+，112a +=， 所以数列{}1n a +是以2为首项，3为公比的等比数列，所以1123n n a -+=⨯，所以1231n n a -=⨯-．所以()11323113n n n S n n ⨯-=⨯-=---，1010311S =-．故选：D. 【点睛】本题考查了构造新数列求数列通项的方法和分组求和法的应用，属于中档题. 10．设0a >，0b >．若4是2a 与2b 的等比中项，则11a b+的最小值为（ ）A ．34B ．1C ．54D ．2【答案】B【解析】由题意结合等比中项的性质可得4a b +=，再利用基本不等式即可得解. 【详解】因为4是2a 与2b 的等比中项，所以2422a b =⋅，即422a b +=，所以4a b +=． 此时()11111111111442422a b a b b a a b a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=⨯+=+⨯+≥+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当且仅当2a b ==取等号. 故选：B. 【点睛】本题考查了等比中项性质的应用，考查了利用基本不等式求条件最值，属于中档题. 11．一艘海轮从A 处出发，以每小时60海里的速度沿南偏东15°的方向直线航行，20分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察此灯塔，其方向是南偏东60°，在B 处观察，灯塔在其正东方向，那么B ，C 两点间的距离是（ ） A ．102海里 B ．103海里C ．202海里D ．203海里【答案】C【解析】由题意画出图形，利用正弦定理即可直接得解. 【详解】如图所示，易知，在ABC V 中，20AB =海里，45CAB ∠=︒，30ACB ∠=︒， 根据正弦定理得sin 45sin 30BC AB=︒︒，解得202BC =（海里）．故选：C.【点睛】本题考查了正弦定理的实际应用，关键是转化出条件，属于基础题. 12．已知()1130,0x y x y x y+=++>>，则x y +的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】由题意结合基本不等式可得232x y x y x y ++≥++⎛⎫ ⎪⎝⎭，化简后解一元二次不等式即可得解. 【详解】因为1133x y x y x y xy ++=++=+，而22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当y x =时等号成立， 所以232x y x y x y ++≥++⎛⎫ ⎪⎝⎭即()()2340x y x y +-+-≥，所以1x y +≤-（舍去）或4x y +≥． 故选：D. 【点睛】本题考查了基本不等式和一元二次不等式的综合问题，属于中档题.二、填空题13．关于x 的一元二次不等式()()22310x a a x a a a R -++++≤∈的解集为__________．【答案】{}21x a x a ≤≤+【解析】转化条件得()()210x a x a --+⎤⎣⎦≤⎡，由一元二次不等式的解法可直接得解.【详解】不等式()22310x a a x a a -++++≤可化为()()210x a x a --+⎤⎣⎦≤⎡，易得21a a +>，所以该不等式的解集为{}21x a x a ≤≤+． 故答案为：{}21x a x a ≤≤+. 【点睛】本题考查了含参的一元二次不等式的解法，属于基础题.14．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．“中国剩余定理”讲的是关于带余除法的问题，现有这样一个问题：将2至2019这2018个整数中被5除余1且被7除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为_______．【解析】由题意可得351n a n =+，令2019n a ≤，求出n 的最大值即可得解. 【详解】被5除余1且被7除余1的数就是被35除余1的数，故351n a n =+．由3512019n a n =+≤可得n 可取的最大整数为57，故此数列最后一项的项数为57． 故答案为：57. 【点睛】本题考查了数列通项公式的应用，属于基础题.15．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin sin sin sin b C c B B C +=，2226b c a +-=，则ABC V 的面积为_______． 【答案】32【解析】由正弦定理得sin A =32bc =，再利用面积公式1sin 2S bc A =即可得解. 【详解】由已知条件及正弦定理可得2sin sin sin sin B C A B C =，易知sin sin 0B C ≠，所以sin A =， 又2226b c a +-=，所以2223cos 2b c a A bc bc+-==，所以cos 0A >，所以cos A ，即3bc =，bc =，所以ABC V 的面积113sin 2222S bc A ==⨯=． 故答案为：32. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，属于中档题.16．在正项等比数列{}n a 中，若123123a a a a a a =++，则2a 的取值范围是______．【答案】)+∞【解析】设公比为()0q q >，2a x =，由题意结合等比数列的性质可得211x q q=++，由基本不等式即可得解. 【详解】在等比数列{}n a 中，123123a a a a a a =++，设公比为()0q q >，2a x =，则0x >，依题意得311x x q q ⎛⎫=++⎪⎝⎭，所以211213x q q =++≥+=，所以x ≥当且仅当1q =时取等号．所以2a 的取值范围是)+∞．故答案为：)+∞ 【点睛】本题考查了等比数列性质的应用和基本不等式的应用，属于中档题.三、解答题17．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，已知11a =，12b =，228a b +=．（Ⅰ）若3315a b +=，求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若314T ≤且n b N *∈，求10S ．【答案】（Ⅰ）32n a n =-，2nn b =；（Ⅱ）10235S =或10145S =【解析】（Ⅰ）转化条件得27d q +=，27d q +=，联立方程组求出公差d 、公比q 即可得解；（Ⅱ）由题意得260q q +-≤，解不等式后结合n b N *∈即可得1q =或2q =，分别求出公差d 后利用等差数列前n 项和公式即可得解. 【详解】设数列{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ．由228a b +=，得27d q +=．①．（Ⅰ）由3315a b +=得27d q +=．②，联立①和②解得0,7q d =⎧⎨=⎩（舍去）或2,3.q d =⎧⎨=⎩因此{}n a 的通项公式为32n a n =-，{}n b 的通项公式为2nn b =．（Ⅱ）由12b =，314T ≤得260q q +-≤．解得32q -≤≤，又因为12b =，n b N *∈，所以1q =或2q =．当1q =时，由①得5d =，则101109102352S a d ⨯=+=， 当2q =时，由①得3d =，则101109101452S a d ⨯=+=． 综上：10235S =或10145S = 【点睛】本题考查了等差数列和等比数列基本量的计算，考查了等差数列和等比数列前n 项和公式的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题.18．已知函数()2f x x bx c =++，不等式()0f x <的解集是()2,3．（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）若对于任意[]3,3x ∈-，不等式()210f x t -+≤恒成立，求t 的取值范围．【答案】（Ⅰ）()256f x x x -=+；（Ⅱ）(][),56,-∞-+∞U【解析】（Ⅰ）由题意2和3是方程20x bx c ++=的两个根，由根与系数的关系即可得解；（Ⅱ）转化条件得()2f x t t ≤-对于任意[]3,3x ∈-恒成立，求出()f x 的最大值即可得230t t -≥，解一元二次不等式即可得解. 【详解】（Ⅰ）由不等式()0f x <的解集是()2,3知2和3是方程20x bx c ++=的两个根．由根与系数的关系得23,23,b c -=+⎧⎨=⨯⎩即5,6.b c =-⎧⎨=⎩，所以()256f x x x -=+．（Ⅱ）不等式()20f x t t -+≤对于任意[]3,3x ∈-恒成立，即()2f x t t ≤-对于任意[]3,3x ∈-恒成立．由于()256f x x x -=+的对称轴是52x =， 由二次函数()f x 的图象易得，当3x =-时()f x 取最大值()()max 330f x f =-=，所以只需230t t -≥，即2300t t --≥．解得5t ≤-或6t ≥． 故t 的取值范围为(][),56,-∞-+∞U ． 【点睛】本题考查了一元二次不等式和一元二次方程的关系，考查了一元二次不等式恒成立问题，属于中档题.19．某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力及每天资源限额（最大供应量）如表所示：若生产每吨甲、乙两种产品获得的利润分别为5万元、8万元，问：每天生产甲，乙两种产品各多少吨时，该厂获得最大利润？【答案】每天生产甲种产品10吨，乙种产品30吨时，该厂获得最大利润【解析】由题意设此工厂每天分别生产甲、乙两种产品x 吨、y 吨，获得利润z 万元，写出约束条件84320,34150,48280,0,0.x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩后，画出可行域，转化目标函数58z x y =+为5188y x z =-+，数形结合即可得解.【详解】设此工厂每天分别生产甲、乙两种产品x 吨、y 吨，获得利润z 万元，依题意可得约束条件84320,34150,48280,0,0.x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩作出可行域，如图阴影部分所示．利润目标函数58z x y =+． 由几何意义知，当直线5188y x z =-+经过可行域上的点M 时，58z x y =+取最大值．解方程组34150,48280x y x y +=⎧⎨+=⎩得10,30,x y =⎧⎨=⎩即()10,30M ．所以每天生产甲种产品10吨，乙种产品30吨时，该厂获得最大利润． 【点睛】本题考查了利用简单线性规划解决实际问题，考查了转化化归思想，属于中档题. 20．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知23A π= 3cos B C =，求C ；（Ⅱ）若7a =，5b =，求()sin A B -的值． 【答案】（Ⅰ）6C π=；（Ⅱ）437【解析】（Ⅰ）由题意3B C π+=3cos 3C C ⎛⎫⎪⎝=⎭π-，利用两角差的正弦公式化简后即可直接得解； （Ⅱ）由正弦定理得53sin B =11cos 14B =，再用两角差的正弦公式即可得解. 【详解】 （Ⅰ）因为23A π=，所以3BC π+=，3cos 3C C ⎛⎫⎪⎝=⎭π-，即33cos cos 2C C C -=， 即13cos 22C C =，得3tan C ．又()0,C π∈，所以6C π=．（Ⅱ）由正弦定理，得752sin 3sin B =π，所以sin 14B =． 又因0,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以11cos 14B ==. 所以()111sin sin cos cos sin 142A B A B A B -=-=+． 【点睛】本题考查了两角差正弦公式的应用和正弦定理的应用，属于中档题. 21．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()22sin sin sin sin sin A C B A C -=-，8c =．（Ⅰ）求BC 边上的高；（Ⅱ）若ABC V 为锐角三角形，求ABC V 面积的取值范围． 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）(【解析】（Ⅰ）由题意结合正弦定理得222a c b ac +-=，再由余弦定理得1cos 2B =，求出3B π=后利用sin3h c π=即可得解； （Ⅱ）由题意得ABC S =△，利用正弦定理和两角差的正弦公式可得4a =+，根据条件确定62C ππ<<，即可得解.【详解】（Ⅰ）由()22sin sin sin sin sin A C B A C -=-及正弦定理，得222a c b ac +-=．由余弦定理得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===．又()0,B π∈，所以3B π=．所以BC边上的高sin3h c π== （Ⅱ）由题设及（Ⅰ）知，1=8sin 23ABC S a π⨯⨯=△．由正弦定理得28sin sin 34sin sin C c A a C C π⎛⎫- ⎪⎝⎭===．由于ABC V 为锐角三角形，故02A π<<，02C <<π．由（Ⅰ）知，23A C π+=，所以62C ππ<<,tan C ⎫∈+∞⎪⎝⎭,所以416a <<．所以ABC S <<△所以，ABC V 面积的取值范围是(． 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，考查了两角差正弦公式的应用，属于中档题.22．已知数列{}n a 的前n 项和为22n S n n =-，．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设2n nn b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若()()12242410n n T n n λ+≤⋅⋅-⋅++对任意()*3n n ≥∈N 恒成立，求λ的取值范围．【答案】（Ⅰ）23n a n =-；（Ⅱ）()110225n n T n +=+⨯-；（Ⅲ）1,16⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（Ⅰ）利用n a 与n S 之间的关系直接求解即可； （Ⅱ）由()223nn b n =⋅-，利用错位相减法即可直接得解；（Ⅲ）转化条件得()()252424n n n λ-≥-+对任意()3n n N *≥∈恒成立，设()251n t t -=≥，则()()()()2119109ttg t t t t t t ==≥++++，利用基本不等式求出()g t 的最大值即可得解.【详解】（Ⅰ）已知22n S n n =-．当2n ≥时，()()221212123n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦；当1n =时，2111211a S ==-⨯=-，也适合上式．所以23n a n =-．（Ⅱ）由（Ⅰ）得()223nn b n =⋅-，所以()()()234121212325225223n n n T n n -=⨯-+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-+⨯-，①()()()23451221212325225223n n n T n n +=⨯-+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-+⨯-．②②-①可得()()231(222)22223n n n T n +=+-⨯++⋅⋅⋅++⨯-()()()2-112122222312n n n +-=+-⨯+⨯--()110225n n +=+⨯-．（Ⅲ）要使()()12242410n n T n n λ+≤⋅⋅-++对任意()3n n N *≥∈恒成立，只需()()252424n n n λ-≥-+对任意()3n n N *≥∈恒成立，设()251n t t -=≥，则()()()()2119109ttg t t t t t t ==≥++++． 则只需()g t λ≥在1t ≥恒成立即可．()21191091610t g t t t t t ==≤=++++， 当且仅当9t t=即3t =时（此时4n =）取等号， 所以116λ≥．故λ的取值范围为1,16⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题考查了利用n a 与n S 之间的关系求数列通项、错位相减法求数列前n 项和的应用，考查了利用基本不等式求最值和恒成立问题的解决办法，属于中档题.。
天一大联考 河南省高中2020-2021学年高二阶段性测试(一)语文答案
天一大联考河南省2020―2021学年高二年级阶段性测试（一）语文·答案（1～5题，7题，10～13题，15题，18～20题，每小题3分）1.答案 C命题透析本题考查理解文意、筛选整合文中信息的能力。
思路点拨A.“使近年来乡村保护取得关键性突破”错误，原文是“运用文化景观的方法和视角重新认知乡村遗产的价值……是近年来乡村保护的一个重要突破”。
B.“是为悉心培育乡村文化景观”曲解原文，村民灵活利用自然要素的目的是更好地生存发展，而“乡村文化景观”是一个现代概念。
D.“乡村”偷换概念，应该是“乡村遗产”。
2.答案 B命题透析本题考查分析文本论点、论据、论证方法的能力。
思路点拨“详细叙述了楼上村、诸葛村的产生、历史以及现状”错误，文中没有提到诸葛村的产生。
3.答案 C命题透析本题考查依据原文进行合理推断的能力。
思路点拨“可见”推断错误。
原文是“从其古建筑与村落格局可见，业态的更新与诸葛村乡村遗产的成型和发展有着紧密联系”。
4.答案 B命题透析本题考查筛选信息的能力。
思路点拨“融入西方主导的国际化”是1.0版本提出的背景。
5.答案 C命题透析本题考查筛选信息、分析文章内容的能力。
思路点拨“就是为了”错误。
原文是“也是为了”，选项所说只是原因之一。
6.命题透析本题考查筛选信息的能力。
答案①“一带一路”为西部地区快速发展提供背景和战略机遇，为西部省份新的经济增长提供动力。
②新西部大开发促进面向欧亚大陆桥的开放，促进中国与“一带一路”沿线国家之间的经济循环，拓展经济发展空间。
（每点2分，意思对即可。
若有其他答案，言之成理亦可酌情给分）7.答案 C命题透析本题考查对文本思想内容和艺术特色的分析与鉴赏的能力。
思路点拨“主要是反映城乡之间在审美眼光、趣味方面的差异”错误，主要是为了说明刘茂才还不是真正的角儿。
8.命题透析本题考查对内容的理解、概括的能力。
答案①修炼吹奏的技艺。
反复练习，掌握技艺。
②修炼感悟生活的能力。
河南省“天一大联考”度第一学期高二年级阶段性测试(一)文科数学试题(图片)
唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远。而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师”。“教授”和“助教”均原为学官称谓。前者始于宋，乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。“助教”在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十分明晰。唐代国子学、太学等所设之“助教”一席，也是当朝打眼的学官。至明清两代，只设国子监（国子学）一科的“助教”，其身价不谓显赫，也称得上朝廷要员。至此，无论是“博士”“讲师”，还是“教授”“助教”，其今日教
河南省天一大联考2016-2017学年高二上学期数学(理)阶段性测试试题(一)及答案
天一大联考 2016—— 2017 学年度高二年级阶段测试（一）数学( 理科)第Ⅰ卷一、选择题（本大题共 12 个小题，每小 题 5 分，共 60 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合 题目要求的）a b1. 已知实数 a, b 知足 1 1 1 ，则2 2A ． 1 1B ． log 2 a log 2 bC ． a bD ． sin a sin ba b2. 在 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别是 a, b,c ，若 a b 2 c ，则 ABC 的形状为2 3A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三 角形D ．等腰三角形3. 已知等差数列 a n 的前 n 项和为 S n ，若 S 50 20, a 7 4a 3 ，则 a 4 a 10A ． 16B ． 32C ． 20D ． 40x y 4, ，则 y 的最小值为4. 已知实数 x, y 知足 x y 2,3 y x 4, xA ． 1B ． 3C ． 1D ． 15 3 45. 已知中，角 A,B,C 的对边分别是 a,b, c ，若 2b 2 2a 2 ac 2c 2 ，则 sin B 为A ． 15B ． 1C ． 3D ． 14 4 2 26. 已知会合 A x | 2x 2 3x 2 0 , B x | x 1 0 ，则 A C R Bx 3A ． 1 ,1B ． 1,2C ． 1 ,1D ． 3, 22 27. 已知数列 a n 7 ，且 a n 13 n 2 ，则 a 6的首项为 a n 1A ． 193 ． 385 C ．161 2 ． 97B D32 64 32 161 ，则 8. 在 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别是 a, b, c ，若 a 8, S ABC 10 3,cos BABC 的周长2为A ． 15B ． 16C ． 18D ． 20 9. 已知数列 a n 的前 n 项和为 S n ，且 S n 2a n 2 ，等差数列 b n 的前 n 项和为 T n ，且 b 7 3,T 525 ， 若数列 c n 知足 c n a n , n 为奇数 ，则数列 c n 的前 8 项和为b n , n 为偶数A ． 136B ．146C ． 156D ． 166 10. 已知 m>0,n>0，则当 81m2 n 2 729 获得最小值时， m n 的值为 8mnA ． 4B ．4C ．8D ． 811. 已知数列a n 知足 a n a n 2 a n 1 n N ，则以下说法中，正确的有 ①若 a 10, a 4 1, 则 a 5 1 ;2 ②数列a n 中不 可能有两项为 0； ③数列a n 中既有正项，也有负项A ．0个 B．1个 C ．2个 D ． 3 个 12, 已知ABC 中，角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c ，D 是 BC 的中点， 且 AD 10 ，若 S ABC 4, b c 且b c sin A cosC ，则 B 的值为 . aA ． 60B ． 120C ．45D ．90第Ⅱ卷二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的横线上。
2020-2021学年河南省天一大联考高二(上)期末数学试卷(文科)(附答案详解)
2020-2021学年河南省天一大联考高二（上）期末数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题“若x=2，则x2=4”的逆否命题是()A. 若x≠2，则x2≠4B. 若x=2，则x2≠4C. 若x2≠4，则x≠2D. 若x2≠4，则x=22.不等式x−8x2+2<−1的解集为()A. (−3,2)B. (−3,−2)C. (−3,4)D. (−2,4)3.已知直线x+2y=4过双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点及虚轴的一个端点，则此双曲线的标准方程是()A. x216−y212=1 B. x216−y24=1 C. x212−y24=1 D. x225−y28=14.已知{a n}为等差数列，公差d=2，a2+a4+a6=18，则a5+a7=()A. 8B. 12C. 16D. 205.已知直线l和两个不同的平面α，β，若α⊥β，则“l//α”是“l⊥β”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=60°，c=4，a=2√7，则sinAsinB=()A. 23B. √73C. √7D. 37.已知点P为函数y=x2lnx+4x3的图象上的一点，且点P的横坐标为1，则该函数图象在点P处的切线方程为()A. 8x−y−4=0B. 13x−y−9=0C. 8x−y−3=0D. 13x−y−8=08.当x>1时，f(x)=xx2+4的最大值为()A. 14B. 12C. 1D. 29.函数f(x)=x3−12x在区间[−3,1]上的最小值是()A. −10B. −11C. −15D. −1810. 已知抛物线y 2=2px(p >0)上一横坐标为5的点到焦点的距离为6，且该抛物线的准线与双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线所围成的三角形面积为2√2，则双曲线C 的离心率为( )A. 3B. 4C. 6D. 911. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q >0，a 1=1，a 3=a 2+2.若数列{b n }的前n 项和为T n ，a n+1=b n S n+1S n ，则T 9=( )A. 510511B. 10231024C. 10221023D. 1102312. 已知函数f(x)=xe x −e x −a 有且仅有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A. [−4e 3,0)B. (−1,0]C. [−4e 3,−2e 3]D. (−1,0)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若命题p ：“∃x 0∈R ，x 02+6a ≤8x 0”为假命题，则实数a 的取值范围是______ ． 14. 已知x ，y 满足约束条件{x −y −1≤0x −2y +2≥0x ≥0，则z =x −3y 的最大值是______ ．15. 函数y =13x 3−2x 2−96x +8的极小值是______ ． 16. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1(−c,0)，F 2(c,0)，其渐近线方程为y =±2x ，焦距为2√10.点P 在双曲线C 上，且在第一象限内，若△PF 1F 2的面积为4√10，则点P 的坐标为______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知集合A ={x|41−x >1}，B ={x|x 2+(1−2a)x +a 2−a <0}．(Ⅰ)求集合A ，B ；(Ⅱ)若A ∩B =B ，求实数a 的取值范围．sinB)= 18.已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，且满足a(sinA−12 (sinC+sinB)(c−b)，c=4．(Ⅰ)求△ABC的外接圆的半径；(Ⅱ)求△ABC的面积的最大值．19.已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n−1，数列{b n}满足b n=log2a n+log2a n+1．(Ⅰ)求{a n}，{b n}的通项公式；(Ⅱ)若数列{c n}满足c n=a n b n，求{c n}的前n项和T n．20.已知函数f(x)=e x−a−lnx(a∈R)．(Ⅰ)若f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与x轴负半轴有公共点，求a的取值范围；(Ⅱ)当a=1时，求f(x)的最值．21.已知焦点在x轴上的椭圆的长轴长是短轴长的2倍，椭圆上的动点P到左焦点距离的最大值为2+√3．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)过点(1,0)的直线l与椭圆C有两个交点A，B，△OAB(O为坐标原点)的面积为4，求直线l的方程．522.已知函数f(x)=a2lnx+a，且f(e)≥2，f(e2)≤3．(Ⅰ)求a的值；).(Ⅱ)若0<k≤2，求证：当x>1时，f(x)>k(1−3x答案和解析1.【答案】C【解析】解：根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，所以命题“若x=2，则x2=4”的逆否命题是：“若x2≠4，则x≠2”．故选：C．根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，写出即可．本题考查了命题与它的逆否命题应用问题，是基础题．2.【答案】A【解析】解：由x−8x2+2<−1化简可得：x2+x−6x2+2<0，即解x2+x−6<0，解得：−3<x<2，故解集为：(−3,2)．故选：A．利用分式不等式定义求解不等式即可．命题意图本题主要考查一元二次不等式的求解．属于基础题．3.【答案】C【解析】解：设双曲线的半焦距为c，∵直线x+2y=4过点(4,0)和(0,2)，∴c=4，b=2，∴a=√42−22=2√3，双曲线C的标准方程是x212−y24=1．故选：C．利用已知条件求出b，c，推出a，然后求解双曲线方程即可．本题主要考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求解，是基础题．4.【答案】D【解析】解：根据题意知，2a4=a2+a6，a5+a7=2a4+4d，∵a2+a4+a6=18，∴3a4=18，∴a4=6．∴a5+a7=2a4+4d=2×6+4×2=20．故选：D．根据等差数列的性质得到2a4=a2+a6，a5+a7=2a4+4d，代入求值即可．本题考查等差数列的性质的应用，准确计算是解题的关键．5.【答案】D【解析】解：已知直线l和两个不同的平面α，β，α⊥β，若l//α，则l与β平行，相交或在平面β内都有可能；若l⊥β，则l⊂α或l//α，故“l//α”推不出“l⊥β”，“l⊥β”推不出“l//α”，故“l//α”是“l⊥β”的既不充分也不必要条件．故选：D．根据线面垂直，线面平行的性质及判定，从而得到结论．本题本课程了充分必要条件，考查了线面垂直，线面平行的性质及判定，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：由余弦定理，得a2=b2+c2−2bccosA，即28=b2+16−4b，也即b2−4b−12=0，解得b=6或b=−2(舍去)，所以sinAsinB =ab=2√76=√73，故选：B．由题意利用余弦线定理求得b的值，再利用正弦定理求得sinAsinB的值．本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：由y =x 2lnx +4x 3，得y′=2x ⋅lnx +x +12x 2， ∴y′|x=1=13， 又x =1时，y =4，∴该函数图象在点P 处的切线方程为y −4=13(x −1)，即13x −y −9=0． 故选：B ．求出原函数的导函数，得到函数在x =1处的导数，再求出x =1时的y 值，利用直线方程的点斜式得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是中档题．8.【答案】A【解析】解：因为x >1， 故f(x)=x x 2+4=1x+4x≤2√x⋅4x=14， 当且仅当x =4x ，即x =2时取等号， 故f(x)=x x 2+4的最大值为14． 故选：A ．将函数f(x)变形为f(x)=1x+4x，然后利用基本不等式进行求解，即可得到最值．本题考查了函数最值的求解，涉及了利用基本不等式求解最值的应用，在应用基本不等式求解最值的时候要注意三个条件是否成立：一正、二定、三相等，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：f′(x)=−12+3x 2=3(x +2)(x −2)，当−3≤x <−2时，f′(x)>0，f(x)递增；当−2<x ≤1时，f′(x)<0，f(x)递减， 所以当x =−2时f(x)取得极大值，即最大值，为f(−2)=22， 又f(−3)=15，f(1)=−5， 所以f(x)的最小值为f(1)=−11． 故选：B ．求导数f′(x)，利用导数判断f(x)的单调性，由单调性求极值，再与端点处函数值作比较，可得函数最值．本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，属中档题．10.【答案】A【解析】解：由题意，5+p2=6，即p=2，则抛物线y2=2px(p>0)的直线方程为x=−1，双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为y=±bax，取x=−1，可得A(−1,−ba )，B(−1,ba)，如图，则S△OAB=12×2ba×1=ba=2√2，则e=ca =√1+(ba)2=√1+8=3．故选：A．由已知求得抛物线的准线方程，可得抛物线的准线与双曲线的渐近线围成三角形的顶点坐标，代入三角形面积公式，整理后即可求得双曲线的离心率．本题考查双曲线与抛物线的几何性质，考查运算求解能力，是中档题．11.【答案】C【解析】解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，(q>0)若a1=1，a3=a2+2.则q2=q+2，解可得q=2或−1，又由q>0，则q=2，则S n=a1(1−q n)1−q=2n−1，又由a n+1=b n S n+1S n，则b n=a n+1S n+1S n =S n+1−S nS n+1⋅S n=1S n−1S n+1，则T9=(1S1−1S2)+(1S2−1S3)+⋯…+(1S9−1S10)=1S1−1S10，又由S n=2n−1，则T9=121−1−1210−1=10221023，故选：C．根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，(q>0)由等比数列的通项公式求出q的值，即可得S n=2n−1，又由a n+1=b n S n+1S n，变形可得b n=a n+1S n+1S n =S n+1−S nS n+1⋅S n=1S n−1S n+1，将S n=2n−1代入计算可得答案．本题考查数列的求和，涉及等比数列的性质和前n项和公式的应用，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：函数f(x)=xe x−e x−a有且仅有两个不同的零点，则a=(x−1)e x有且仅有两个不同的零点，则y=a和g=(x−1)e x的图象有且只有2个不同的交点，g′(x)=xe x，令g′(x)>0，解得：x>0，令g′(x)<0，解得：x<0，故g(x)在(−∞,0)递减，在(0,+∞)递增，故g(x)min=g(0)=−1，而x→−∞时，g(x)→0，x→+∞时，g(x)→+∞，如图示：结合图象，−1<a<0，故选：D．问题转化为y=a和g=(x−1)e x的图象有且只有2个不同的交点，根据函数的单调性求出g(x)的范围，结合函数的图象求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及数形结合思想，转化思想，是中档题．13.【答案】(83,+∞)【解析】解：根据命题与它的否定命题一真一假，因为命题p：“∃x0∈R，x02+6a≤8x0”为假命题，所以它的否定命题是￢p：“∀x∈R，x2+6a>8x”为真命题；即“∀x∈R，x2−8x+6a>0”为真命题，所以△=64−24a<0，解得a>83；则实数a的取值范围是(83,+∞)．故答案为：(83,+∞)．根据命题与它的否命题一真一假，写出该命题的否定命题，再求实数a的取值范围．本题考查了根据命题的真假求参数的范围，也考查了转化能力，是基础题．14.【答案】3【解析】解：由约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，由x−y−1=0，取x=0，解得A(0,−1)，化目标函数z=x−3y为y=x3−z3，由图可知，当直线y=x3−z3过点A(0,−1)时，直线在y轴上的截距最小，z取得最大值，代入得0−3×(−1)=3，故z=x−3y的最大值为3．故答案为：3．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想，是中档题．15.【答案】−856【解析】解：∵y=13x3−2x2−96x+8，∴y′=x2−4x−96，令y′>0，解得：x>12或x<−8，令y′<0，解得：−8<x<12，故函数在(−∞,−8)递增，在(−8,12)递减，在(12,+∞)递增，故函数y=13x3−2x2−96x+8的极小值是y|x=12=−856，故答案为：−856．求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极小值即可．本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及转化思想，是基础题．16.【答案】(√6,4)【解析】解：如图，由已知可得，c=√10，ba=2，又a2+b2=c2，∴a=√2，b=2√2，则双曲线方程为x22−y28=1．由已知可得，|F1F2|=2√10，设P(m,n)(m>0,n>0)，则12×2√10×n=4√10，得n=4，∴m22−168=1，解得m=√6(m>0)．∴P的坐标为(√6,4)．故答案为：(√6,4)．由已知求得双曲线方程，再由已知三角形的面积求得P点纵坐标，进一步求得P的横坐标得答案．本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线方程的求法，考查运算求解能力，是基础题．17.【答案】解：(Ⅰ)A={x|x+3x−1<0}={x|−3<x<1}，B={x|(x−a)(x−a+1)< 0}={x|a−1<x<a}；(Ⅱ)∵A∩B=B，∴B⊆A，∴{a−1≥−3a≤1，解得−2≤a≤1，∴实数a的取值范围是[−2,1]．【解析】(Ⅰ)根据分式不等式和一元二次不等式的解法即可求出A={x|−3<x<1}，B={x|a−1<x<a}；(Ⅱ)根据A∩B=B可得出B⊆A，然后即可得出{a−1≥−3a≤1，然后解出a的范围即可．本题考查了描述法的定义，分式不等式和一元二次不等式的解法，交集及其运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)由题意及正弦定理得到a(a−12b)=(c+b)(c−b)，即a2+b2−c2=ab2，由余弦定理可得cosC=14，所以sinC=√154．设△ABC的外接圆的半径为R．因为csinC =2R，即√154=2R，解得R=8√1515．(Ⅱ)因为c2=a2+b2−2abcosC，且c=4，所以16=a2+b2−ab2≥2ab−ab2=3ab2，即ab≤323，所以S△ABC=12absinC≤12×323×√154=4√153，当且仅当a=b时取等号．故△ABC的面积的最大值为4√153．【解析】(Ⅰ)利用正弦定理将已知的等式角化边，然后利用余弦定理得到cosC=14，再利用同角三角函数关系得到sinC=√154，由正弦定理即可求得答案；(Ⅱ)利用余弦定理和基本不等式求得ab的最大值，然后再利用三角形的面积公式求解即可．本题考查了解三角形问题，涉及了正弦定理和余弦定理的应用，解题的关键是将已知的等式角化边，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)由题意，当n=1时，a1=S1=2a1−1，解得a1=1，当n≥2时，由S n=2a n−1，可得S n−1=2a n−1−1，两式相减，可得a n=2a n−2a n−1，化简整理，得a n=2a n−1，∴数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴a n=1⋅2n−1=2n−1，n∈N∗，∴b n=log2a n+log2a n+1=log22n−1+log22n=n−1+n=2n−1，n∈N∗，(Ⅱ)由(Ⅰ)，可得c n=a n b n=(2n−1)⋅2n−1，∴T n=c1+c2+c3+⋯+c n=1×1+3×21+5×22+⋯+(2n−1)×2n−1，2T n=1×21+3×22+⋯+(2n−3)×2n−1+(2n−1)×2n，两式相减，可得−T n=1+2×21+2×22+⋯+2×2n−1−(2n−1)×2n=1+2×(21+22+⋯+2n−1)−(2n−1)×2n=1+2×2−2n1−2−(2n−1)×2n=−(2n−3)×2n−3，∴T n=(2n−3)×2n+3．【解析】(Ⅰ)先根据公式a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2代入进行计算即可发现数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列，从而可得数列{a n }的通项公式，然后代入b n =log 2a n +log 2a n+1，根据对数的运算性质即可计算出数列{b n }的通项公式；(Ⅱ)先根据第(Ⅰ)题计算出数列{c n }的通项公式，然后运用错位相减法即可计算出前n 项和T n ．本题主要考查数列求通项公式，以及运用错位相减法求前n 项和．考查了分类讨论思想，转化与化归思想，定义法，对数的运算，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=e x−a −lnx ，则f′(x)=e x−a −1x ，故f(1)=e 1−a ，f′(1)=e 1−a −1，故切线方程是：y −e 1−a =(e 1−a −1)(x −1)，即y =(e 1−a −1)x +1， 切线过定点(0,1)，若f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与x 轴负半轴有公共点， 则e 1−a −1>0，解得：a <1；(Ⅱ)a =1时，f(x)=e x−1−lnx ，函数的定义域是(0,+∞)， f′(x)=e x−1−1x ，f″(x)=e x−1+1x 2>0，故f′(x)在(0,+∞)递增， 而f′(1)=0，故x ∈(0,1)时，f′(x)<0，x ∈(1,+∞)时，f′(x)>0， 故f(x)在(0,1)递减，在(1,+∞)递增， 故f(x)min =f(1)=1．【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，计算f(1)，f′(1)，求出切线方程，根据切线的斜率，得到关于a 的不等式，解出即可；(Ⅱ)代入a 的值，求出函数的导数，根据导函数的符号，求出函数的单调区间，求出函数的最小值即可．本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，是中档题．21.【答案】解：(I)设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，半焦距为c ， 由已知得{2a =2⋅(2b)a +c =2+√3a 2=b 2+c 2，解得{a =2b =1c =√3，∴椭圆的方程为x 24+y 2=1．(Ⅱ)由题可知直线l 的斜率不为0，可设直线l 的方程为x =my +1，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， { x 24+y 2=1x =my +1⇒(m 2+4)y 2+2my −3=0，∴y 1+y 2=−2m m 2+4，y 1y 2=−3m 2+4，△OAB 的面积S =12×|y 1−y 2|=45，∴|y 1−y 2|=85，∴|y 1−y 2|2=(y 1+y 2)2−4y 1y 2=(−2m m 2+4)2−4(−3m 2+4)=6425，整理可得4m 4+7m 2−11=0，解得m =±1，所以直线l 的方程为x −y −1=0或x +y −1=0．故答案为：(Ⅰ)椭圆的方程为x 24+y 2=1.(Ⅱ)直线l 的方程为x −y −1=0或x +y −1=0．【解析】(Ⅰ)由题意可得a =2b ，a +c =2+√3，a 2−b 2=c 2，解方程组即可； (Ⅱ)根据直线与椭圆的位置关系，建立联立方程组，列出未知参数方程，解方程即可． 本题主要考查用待定参数法求椭圆方程及直线方程，考查了直线与椭圆的位置关系，属中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)∵f(e)≥2，f(e 2)≤3，∴{a 2+a ≥22a 2+a ≤3，解得{a ≤−2或a ≥1−32≤a ≤1，故a =1； (Ⅱ)证明：由(Ⅰ)得f(x)=lnx +1，要证当x >1时，f(x)>k(1−3x )，即证x >1时，lnx +1>k ⋅x−3x，①当x =3时，ln3+1>0恒成立， ②当1<x <3时，x−3x<0，问题转化为k >x(lnx+1)x−3在(1,3)恒成立，∵x ∈(1,3)，∴x −3<0，x(lnx +1)>0，故k >0>x(lnx+1)x−3成立，③当x >3时，x−3x>0，问题转化为k <x(lnx+1)x−3在(3,+∞)恒成立， 令g(x)=xln(x+1)x−3(x >3)，则g′(x)=(1−x)(lnx+1)+1(x−3)2，当x >3时，1−x <−2，lnx +1>1，故(1−x)(lnx +1)+1<0，故g′(x)<0恒成立，故g(x)在(3,+∞)上单调递减，当x →+∞时，显然lnx +1>2， 故x(lnx +1)>2x >2(x −3)，故g(x)>2(x−3)x−3=2，结论成立，综上，当x >1时，f(x)>k(1−3x ).【解析】(Ⅰ)根据题意得到关于a 的不等式组，解出a 即可； (Ⅱ)通过讨论x 的范围，将问题转化为k >x(lnx+1)x−3在(1,3)恒成立或k <x(lnx+1)x−3在(3,+∞)恒成立，再根据函数的性质证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，是难题．。
2020-2021学年河南省天一大联考高二上学期期末考试数学(文)试题(解析版) (1)
2020-2021学年河南省天一大联考高二上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．命题“若2x =，则24x =”的逆否命题是（ ） A ．若2x ≠，则24x ≠ B ．若2x =，则24x ≠ C ．若24x ≠，则2x ≠ D ．若24x ≠，则2x =【答案】C【分析】根据逆否命题的定义写出逆否命题即得．【详解】解： 以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为原命题的逆否命题，即“若2x =，则24x =”的逆否命题是“若24x ≠，则2x ≠”． 故选：C ． 2．不等式2812x x -<-+的解集为（ ） A ．()3,2-- B ．()3,2-C ．()3,4-D ．()2,4-【答案】B 【分析】将2812x x -<-+转化为260x x +-<，利用一元二次不等式的解法求解. 【详解】由2812x x -<-+可得260x x +-<， 解得32x -<<，所以不等式的解集为(3,2)-. 故选：B3．已知直线24x y +=过双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的一个焦点及虚轴的一个端点，则此双曲线的标准方程是（ ）A ．221124x y -=B ．221164x y -=C ．2211612x y -=D ．221258x y -=【答案】A【分析】由直线方程求得焦点坐标和虚轴顶点坐标，得,c b ，从而可求得a 后得双曲线标准方程．【详解】设双曲线的半焦距为c ， 直线24x y +=过点(4,0)和(0,2)，4c ∴=，2b =，a ∴=，双曲线C 的标准方程是221124x y -=.故选：A4．已知{}n a 为等差数列，公差2d =，24618a a a ++=，则57a a +=（ ） A ．8 B ．12C ．16D ．20【答案】D【分析】利用等差数列的性质求解. 【详解】24618a a a ++=，4318a ∴=，解得46a =，64210a a d ∴=+=， 576220a a a ∴+==.故选：D5．已知直线l 和两个不同的平面α，β，αβ⊥，则“//l α”是“l β⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】D【分析】根据直线、平面的位置关系，应用定义法判断两个条件之间的充分、必要性. 【详解】当αβ⊥，//l α时，直线l 可与β平行、相交，故l β⊥不一定成立，即充分性不成立；当αβ⊥，l β⊥时，直线l 可在平面α内，故//l α不一定成立，即必要性不成立. 故选：D.6．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，60A =︒，4c =，a =则sin sin AB=（ ） A ．3 BCD ．23【答案】C【分析】根据60A =︒，4c =，a =b ，再由sin sin A aB b=求解. 【详解】由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-， 即228164b b =+-, 整理得24120b b --=， 解得6b =或2b =-(舍去)，所以sin sin A a B b ===故选：C7．已知点P 为函数23ln 4y x x x =+的图象上的一点，且点P 的横坐标为1，则该函数图象在点P 处的切线方程为（ ） A ．840x y --= B ．1390x y --= C ．830x y --=D ．1380x y --=【答案】B【分析】求出导函数，令1x =可得切线斜率，再求出切点纵坐标可得切线方程． 【详解】解点P 的横坐标为1，P ∴的纵坐标为231ln1414P y =⨯+⨯=，(1,4)P ∴． 又2ln y x x x '=+212x +，∴该函数图象在点P 处的切线斜率为2ln111213++=，∴该函数图象在点P 处的切线方程为413(1)y x -=-，即1390x y --=．故选：B ．8．当1x >时，2()4xf x x =+的最大值为（ ） A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】A【分析】把()f x 转化为1()4f x x x∴=+，利用基本不等式求最值.【详解】解析 1x >，211()444x f x x x x∴==≤++，当且仅当4x x=，即2x =时取等号． 故选：A【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方． 9．函数3()12f x x x =-在区间[3,1]-上的最小值是（ ） A ．10- B ．11-C ．15-D ．18-【答案】B【分析】求出导函数()'f x ，确定函数的单调性，得极值，并求出端点处函数值比较后可得最小值．【详解】解： 因为2()3123(2)(2)f x x x x '=-=+-，于是函数3()12f x x x =-在(3,2)--上单调递增，在(2,1)-上单调递减，(1)11211f =-=-，(3)27369f -=-+=，得函数3()12f x x x =-在区间[3,1]-上的最小值是(1)11f =-． 故选：B ．10．已知抛物线22(0)y px p =>上一横坐标为5的点到焦点的距离为6，且该抛物线的准线与双曲线2222:1x y C a b-=(0a >，0b >)的两条渐近线所围成的三角形面积为C 的离心率为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．9【答案】A【分析】由题意求得抛物线的准线方程为1x =-，进而得到准线与双曲线C 的渐近线围成的三角形面积，求得b =，再结合222c a b -=和离心率的定义，即可求解. 【详解】由题意，抛物线22(0)y px p =>上一横坐标为5的点到焦点的距离为6，根据抛物线定义，可得562p+=，即2p =，所以抛物线的准线方程为1x =-， 又由双曲线C 的两条渐近线方程为by x a=±，则抛物线的准线与双曲线C的两条渐近线围成的三角形面积为1212b ba a⨯⨯==解得b =，又由22228b c a a =-=，可得229c a=，所以双曲线C 的离心率3c e a ==.故选：A.11．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比0q >，11a =，322a a =+．若数列{}n b 的前n 项和为n T ，11n n n n a b S S ++=，则9T =（ ） A ．510511B ．10231024C ．10221023D ．11023【答案】C【分析】由基本量法求得公比q ，得通项公式，前n 项和n S ，求出n b ，用裂项相消法得和n T ． 【详解】解：1321,2a a a ==+，220q q ∴--=，2q ∴=或1q =-，0q >，2q ∴=，12n na ．()111221112n n n n a q S q⨯--∴===---，11n n n n a b S S ++=，11n n n n n S S b S S ++∴-=，11n n n n nS S b S S ++-∴=，即111n n n b S S +=-，1212231111n n T b b b S S S S ⎫⎫⎛⎛∴=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅⎪⎪ ⎝⎝⎭⎭111111111121n n n n S S S S +++⎫⎛+-=-=-⎪ -⎝⎭， 910110221211023T ∴=-=-．故选：C ．【点睛】方法点睛：本题考查求等比数列的通项公式与前n 项和公式，考查裂项相消法求和．数列求和的常用方法：公式法，错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法，倒序相加法等．12．已知函数()e e x x f x x a =--有且仅有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．34,0e ⎫⎡-⎪⎢⎣⎭B ．(1,0]-C ．3342,e e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．(1,0)-【答案】D【分析】()0f x =变为e e x x x a -=，引入新函数()e e x x g x x =-，利用导数确定它的单调性，极值，可结合大致图象得出参数范围．【详解】解：令函数()e e 0x x f x x a =--=，则有e e x x x a -=，令()e e x x g x x =-，则()g x a =．()e e e e x x x x g x x x '=+-=，∴当0x <时，()0g x '<，()g x 单调递减，当0x >时，()0g x '>，()g x 单调递增．∴当0x =时，()g x 取得最小值，且min ()(0)1g x g ==-，显然(1)0g =，当1x <时，()0<g x 恒成立．由此可以画出函数()g x 的大致图象，如图所示，由图象可得，要使函数()f x 有且仅有两个不同的零点，只需(0)0g a <<，即10a -<<．故选：D ．二、填空题13．若命题p ：“0x ∃∈R ，20068x a x +≤”为假命题，则实数a 的取值范围是__________．【答案】8,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】由命题否定为真命题可得参数范围．【详解】解：命题p 为假命题，则p ⌝：“x ∀∈R ，268x a x +>”为真命题，2860x x a -+>恒成立，故2(8)460a ∆=--⨯<，解得83a>． 故答案为：8,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．14．已知x ，y 满足约束条件10,220,0,x y x y x --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则3z x y =-的最大值是___________．【答案】3【分析】作出约束条件的可行域，将目标函数化为133zy x =-，平移目标函数即可求解.【详解】由约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，则目标函数3z x y =-在点(0,1)A -处取得最大值， 代入得03(1)3-⨯-=，故3z x y =-的最大值为3. 故答案为：3 15．函数32129683y x x x =--+的极小值是__________． 【答案】856-．【分析】求出导函数y '，由导函数的正负确定单调性后可得极小值． 【详解】解：32129683y x x x =--+，2496y x x '∴=--，令24960y x x '=--<，解得812x -<<，令0y '>，解得8x <-或12x >，∴函数在(,8)-∞-和(12,)+∞上单调递增，在(8,12)-上单调递减，∴函数的极小值点是12，32112212961288563y =⨯-⨯-⨯+=-极小值．故答案为：856-．16．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，其渐近线方程为2y x =±，焦距为．点P 在双曲线C 上，且在第一象限内，若12PF F △的面积为，则点P 的坐标为__________．【答案】【分析】由已知可得2ba=，c =120122PF F c y =⨯=⨯△S 计算可求得结果.【详解】双曲线的焦点在x 轴上，2ba∴=，即2b a =，而c = 22104a a ∴=+，22a ∴=，28b =，∴双曲线方程为22128x y -=．设点()()0000,0,0P x y x y >>，由题可知0011222c y y ⨯⨯=⨯=解得04y =，把点()0,4P x 的坐标代入双曲线方程22128x y -=，得0x =．∴点P 的坐标为．故答案为：.三、解答题 17．已知集合411A xx ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，(){}22120B x x a x a a =+-+-<．（1）求集合A ，B ； （2）若AB B =，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{31}A x x =-<<∣,{1}B x a x a =-<<∣；（2）[2,1]-.【分析】（1）由411x>-，利用分式不等式的解法化简得到集合A ，由22(12)0x a x a a +-+-<，利用一元二次不等式的解法化简得到集合B.（2）根据AB B =，由B A ⊆，利用（1）的结果求解.【详解】（1）由411x >-得411x <--，即301x x +<-，解得31x -<<， {31}A x x ∴=-<<∣.由22(12)0x a x a a +-+-<可得(1)()0x a x a -+-<， 解得1a x a -<<，{1}B x a x a ∴=-<<∣.（2）由AB B =得B A ⊆，由（1）可得131a a -≥-⎧⎨≤⎩，解得21a -≤≤，实数a 的取值范围是[2,1]-.18．已知a ，b ，c 分别是ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且满足()()1sin sin sin sin 2a A B C B c b ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，4c =．（1）求ABC 的外接圆的半径； （2）求ABC 的面积的最大值．【答案】（1）15；（2）3. 【分析】（1）根据()()1sin sin sin sin 2a A B C B c b ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，由正弦定理整理得到2222ab a b c +-=，再由余弦定理得1cos 4C =，进而得到sin C =2sin cR C=求解. （2）结合（1）和4c =，利用基本不等式可得323ab ≤，然后由1sin 2ABCS ab C =求解.【详解】（1）因为()()1sin sin sin sin 2a A B C B c b ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭， 所以1()()2a a b c b c b ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，即2222ab a b c +-=， 由余弦定理得1cos 4C =，所以sin 4C =. 设ABC 的外接圆的半径为R .因为2sin cR C=2R =，解得15R =. （2）因为2222cos c a b ab C =+-，且4c =， 所以223162222ab ab ab a b ab =+-≥-=，即323ab ≤，所以1132sin 22343ABCSab C =≤⨯⨯=， 当且仅当a b =时取等号. 故ABC. 【点睛】方法点睛：（1）在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．（2）解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．19．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n n S a =-，数列{}n b 满足221log log n n n b a a +=+．（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足n n n c a b =，求{}n c 的前n 项和n T ． 【答案】（1）12n na ，21nb n =-；（2）23(23)nn T n -⋅=+.【分析】（1）由1(2)n n n a S S n -=-≥求得{}n a 的递推关系，结合1a 可得其为等比数列，从而得通项公式n a ，代入计算得n b ；（2）求出n c ，由错位相减法求和n T ．【详解】（1）由21n n S a =-可得1121(2)n n S a n --=-≥，()112n n n n n a S S a a --∴=-=-，即12n n a a -=，易知11a =，故12n na .221log log 121n n n b a a n n n +∴=+=-+=-.（2）由（1）可知1(21)2n nc n -=-，21123113252(21)2n n n T c c c c n -∴=+++⋯+=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯①， 2312123252(23)2(21)2n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯②，①－②得231122222222(21)2n n n T n --=+⨯+⨯+⨯+⋯+⨯--⨯()2311212222(21)2n n n -=-+⨯++++⋯+--⨯1212(21)212n n n -=-+⨯--⨯-3(32)2n n =-+-⋅，3(23)2n n T n ∴=+-⋅.【点睛】方法点睛：本题主要考查等比数列的通项公式及错位相减法求和．数列求和的常用方法：公式法、错位相减法、裂项相消法、分组（并项）求和法，倒序相加法． 20．已知函数()e ln ()x a f x x a -=-∈R ．（Ⅰ）若()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线与x 轴负半轴有公共点，求a 的取值范围； （Ⅱ）当1a =时，求()f x 的最值． 【答案】（Ⅰ）(,1)-∞；（Ⅱ）答案见解析.【分析】（Ⅰ）求导数．求得切线方程，由切线与x 轴的交点在负半轴可得a 的范围； （Ⅱ）求导数()'f x ，由()'f x 的正负确定单调性，极值得最值． 【详解】命题意图 本题主要考查导数在函数问题中的应用．解析 （Ⅰ）由题可知1()e x af x x-'=-，0x >． 1(1)e 1a f -'=-，1(1)e a f -=．故可得()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为()11e e 1(1)a ay x ---=--．令0y =，可得111e ax -=-．由题意可得1101ea-<-， 即11a e ->，解得1a <，即a 的取值范围为(,1)-∞． （Ⅱ）当1a =时，1()e ln x f x x -=-．11()e x f x x-'=-，0x >． 易知11()e x f x x -'=-在(0,)+∞上单调递增．又()01f '=，∴当(0,1)x ∈时，()0f x '<，此时()f x 单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，此时()f x 单调递增．min ()(1)1f x f ∴==，无最大值．【点睛】关键点点睛：本题考查用导数的几何意义，考查用导数求函数的的最值．解题关键是求出导函数()'f x ，由()'f x 的正负确定单调性，得函数的极值，从而可得最值． 21．已知焦点在x 轴上的椭圆的长轴长是短轴长的2倍，椭圆上的动点P 到左焦点距离的最大值为2+ （1）求椭圆的方程；（2）过点()1,0的直线l 与椭圆C 有两个交点A ，B ，OAB （O 为坐标原点）的面积为45，求直线l 的方程． 【答案】（1）2214x y +=；（2）10x y --=或10x y +-=. 【分析】（1）设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，半焦距为c ，根据长轴长是短轴长的2倍，椭圆上的动点P到左焦点距离的最大值为222222a ba c abc =⎧⎪+=+⎨⎪=+⎩求解.（2）设直线l 的方程为1x my =+，与椭圆方程联立，根据OAB （O 为坐标原点）的面积为45，由121425S y y =⨯-=，求得1285y y -=，再平方结合韦达定理求解.【详解】（1）设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，半焦距为c ，由题可知22222a ba c abc =⎧⎪+=⎨⎪=+⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆的方程为2214x y +=.（2）由题可知直线l 的斜率不为0，故可设直线l 的方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()224230m y my ++-=， 12224my y m ∴+=-+，12234y y m =-+， 而OAB 的面积121425S y y =⨯-=， 1285y y ∴-=，()222121212222364444425m y y y y y y m m ⎛⎫⎛⎫∴-=+-=---= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 整理可得4247110m m +-=， 解得1m =±，故直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=.22．已知函数2()ln f x a x a =+，且(e)2f ≥，()2e 3f ≤．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若02k <≤，求证：当1x >时，3()1f x k x ⎫⎛>- ⎪⎝⎭．【答案】（Ⅰ）1a =；（Ⅱ）证明见解析.【分析】（Ⅰ）根据题意得到关于a 的不等式组，解出a 即可； （Ⅱ）根据已知，将问题转化为ln (3)0x x x k x +-->，构造函数()ln (3)T x x x x k x =+--，通过导数判断函数的单调性，使min ()0T x >即可．【详解】（Ⅰ）由2(e)2f a a =+≥，解得1a ≥或2a ≤-．由()22e 23f a a =+≤，解得312a -≤≤． 1a ．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知()ln 1f x x =+．当1x >时，证明3()1f x k x ⎫⎛>-⎪⎝⎭，即3ln 11x k x ⎫⎛+>- ⎪⎝⎭， 即证ln (3)0x x x k x +-->．令()ln (3)T x x x x k x =+--，则()2ln T x x k '=+-． 由02k <≤，1x >，可得ln 0x >，20k -≥，()0T x '∴>，()T x ∴在(0,)+∞上单调递增．∴当1x >时，()(1)120T x T k >=+>，即ln (3)0x x x k x +-->，∴当1x >时，3()1f x k x ⎫⎛>- ⎪⎝⎭恒成立．【点睛】方法点睛：应用导数证明不等式问题，合理构造新函数是解题的关键，求导研究单调性即可得出结果.。
河南省天一大联考2020-2021学年上学期高二年级阶段性测试(一)文科数学试题
16．在正项等比数列 中，若 ，则 的取值范围是______．
三、解答题
17．记等差数列 的前 项和为 ，等比数列 的前 项和为 ，已知 ， ， ．
（Ⅰ）若 ，求 和 的通项公式；
（Ⅱ）若 且 ，求 ．
18．已知函数 ，不等式 的解集是 .
6．C
【分析】
由正弦定理得 ，再由余弦定理即可得解.
【详解】
由 及正弦定理得 ，
设 ， ，则 ， ．由余弦定理得 ，
又 ，所以 ．
故选：C.
【点睛】
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于基础题.
7．B
【分析】
由题意画出可行域，转化目标函数 为 ，数形结合即可得解.
【详解】
由约束条件可得可行域，如图阴影部分所示．
【点睛】
本题考查了构造新数列求数列通项的方法和分组求和法的应用，属于中档题.
A． 海里B． 海里C． 海里D． 海里
12．已知 ，则 的最小值为（）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
13．关于 的一元二次不等式 的解集为__________．
14．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．“中国剩余定理”讲的是关于带余除法的问题，现有这样一个问题：将2至2019这2018个整数中被5除余1且被7除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列 ，则此数列的项数为_______．
故选：A.
【点睛】
本题考查了等比数列通项公式的应用，考查了作差法比较大小，属于中档题.
9．D
【分析】
由题意构造新数列可得数列 是以2为首项，3为公比的等比数列，进而可得 ，利用分组求和法即可得解.
2023-2024学年河南省天一大联考高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年河南省天一大联考高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一是符合题目要求的.1．已知直线x +3y +λ＝0与直线2x +6y +1＝0间的距离为√102，则λ＝（ ） A ．−92或112B ．﹣9C ．﹣9或11D ．6或﹣42．已知双曲线C ：x 2m +y 24=1的一个焦点为(0，√5)，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．y =±14xB ．y =±12xC ．y ＝±2xD ．y ＝±4x3．已知M （3，2，3）是空间一点，直线l 过点N （2，1，1）且一个方向向量为u →=(−1，−1，0)，则M 到直线l 的距离为（ ） A ．1B ．√2C ．2D ．34．在空间四边形ABCD 中，F ，E 分别为AB ，CD 的中点，EM →=2MF →，BC →=a →，BD →=b →，BA →=c →，AM →=（ ）A ．−16a →−16b →−13c →B ．−16a →−16b →+23c →C ．16a →+16b →+23c →D ．16a →+16b →−23c →5．已知抛物线C ：x 2＝2ay 的准线为y ＝1，且C 与直线y ＝﹣x +b 相切，则b ＝（ ） A ．2B ．1C ．﹣1D ．﹣26．已知点M （1，﹣2），N （4，4），H 是直线l ：2x ﹣y +1＝0上的动点，则|HM |+|NH |的最小值为（ ） A ．√13B ．3√5C ．√65D ．6√27．已知异面直线m ，n 所成的角为60°，M ，N 在直线m 上，G ，H 在直线n 上，HN ⊥m ，NH ⊥n ，MN ＝1，NH ＝3，GH ＝2，则G ，M 间的距离为（ ） A ．2√2或2√5B ．4C ．2√3D ．2√3或48．过椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左焦点F （﹣c ，0）（c ＞0）的直线与C 的一个交点为P ，与圆O ：x 2+y 2=14c 2相切于点M ，若FM →=MP →，则C 的离心率为（ ）A ．12B ．√3−1C ．√32D ．1−√32二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知方程x 2m 2−1+y 22m+2=1(m ≠±1)表示曲线C ，则下列结论正确的是（ ）A ．若m ＝3，则曲线C 是圆B ．若曲线C 是椭圆，则m ＞3C ．若曲线C 是双曲线，则m ＜1且m ≠﹣1D ．若m ＜﹣1，则曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线10．已知点M （﹣1，2），N （2，3），直线l ：mx +y ﹣m +2＝0与线段MN 有交点，则m 可以为（ ） A ．﹣6B ．﹣2C ．1D ．311．已知点A （1，﹣1），B （1，﹣3），P 是圆C ：x 2+y 2﹣2ax +4ay +5a 2﹣4＝0上一点，AP →⋅BP →=0，则实数a 的可能取值为（ ） A ．1B ．2C ．5−√55D ．5+3√5512．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，BB 1的中点，M 为线段A 1D 上的动点，则（ ）A ．存在点M ，使得直线FM ⊥AC 1B ．存在点M ，使得EM ∥平面AA 1B 1BC ．点M 到直线C 1D 1距离的最小值为√2 D ．三棱锥C 1﹣MEF 的体积为√63三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知直线l 过点（2，3）且与以（﹣2，1）为方向向量的直线m 垂直，则直线l 的方程为 ． 14．圆C 的圆心在直线y ＝2x +6上，且C 与x 轴、y 轴均相切，则C 的半径为 ．15．已知MN 是圆柱OO 1下底面圆O 的直径，Q 是下底面圆O 上一点，PM 是圆柱的母线，且PM ＝MQ ＝NQ ＝2，则点M 到平面PNQ 的距离为 ． 16．已知F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，M 是C 右支上的一点，∠F 1MF 2＝θ，△MF 1F 2的周长为4a +2c ，面积为3√352a 2cosθ，则C 的离心率为 ．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知圆A 关于直线y ＝x 对称，点M （1，3），N （3，5）在圆A 上． （1）求圆A 的标准方程；（2）若直线l 1，l 2（l 1的倾斜角大于l 2的倾斜角）均与圆A 相切，且l 1，l 2相交于点P （1，0），求l 1，l 2的方程．18．（12分）已知点A （﹣2，0），B （0，﹣1），P （1，0），Q 是圆M ：x 2+y 2﹣4x ﹣6y +8＝0上的动点． （Ⅰ）求△QAB 面积的最小值； （Ⅱ）求线段PQ 的中点N 的轨迹方程．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，P ，M ，N 分别为棱BB 1，CC 1，AA 1的中点，BB 1＝4，AB ＝BC ＝3．（1）求证：平面BMN ∥平面P A 1C 1；（2）求直线CA 1与平面BMN 所成角的正弦值．20．（12分）已知F 是抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，A 是C 上在第一象限的一点，点B 在y 轴上，AB ⊥y 轴，|AB |＝2，|AF |＝3． （1）求C 的方程；（2）过F 作斜率为k 的直线与C 交于M ，N 两点，△MON 的面积为√5（O 为坐标原点），求直线MN 的方程．21．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD =π3，P A ＝PD ＝2，AB =2√3，平面P AD ⊥平面ABCD ． （Ⅰ）求证：AD ⊥PB ；（Ⅱ）求平面PCD 与平面PBC 夹角的余弦值．22．（12分）已知E ，F 分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左顶点与左焦点，P ，Q 是C 上关于原点O对称的两点，|PF |+|QF |＝4，|EF |＝1． （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）已知过点（﹣3，0）的直线l 交C 于A ，B 两点，M ，N 是直线x ＝﹣3上关于x 轴对称的两点，证明：直线MA ，BN 的交点在一条定直线上．2023-2024学年河南省天一大联考高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一是符合题目要求的.1．已知直线x +3y +λ＝0与直线2x +6y +1＝0间的距离为√102，则λ＝（ ）A ．−92或112B ．﹣9C ．﹣9或11D ．6或﹣4解：直线x +3y +λ＝0可化为2x +6y +2λ＝0，由题意可得：√22+62=√102，解得λ=−92或λ=112．故选：A ． 2．已知双曲线C ：x 2m +y 24=1的一个焦点为(0，√5)，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．y =±14xB ．y =±12xC ．y ＝±2xD ．y ＝±4x解：由题知，该双曲线的焦点在y 轴上，y 24−x 2−m=1，所以a 2＝4，b 2＝﹣m ，c 2=(√5)2=5， 由c 2＝a 2+b 2可得4﹣m ＝5，解得：m ＝﹣1， 所以b 2＝1，即双曲线的方程为y 24−x 2=1，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ． 故选：C ．3．已知M （3，2，3）是空间一点，直线l 过点N （2，1，1）且一个方向向量为u →=(−1，−1，0)，则M 到直线l 的距离为（ ） A ．1B ．√2C ．2D ．3 解：根据题意可得，NM →=(1，1，2)，u→|u →|=√2=(−√22，−√22，0)， 所以M 到直线l 的距离为√|NM →|2−(NM →⋅u →|u →|)2=√6−(−22−22)2=2．故选：C ．4．在空间四边形ABCD 中，F ，E 分别为AB ，CD 的中点，EM →=2MF →，BC →=a →，BD →=b →，BA →=c →，AM →=（ ）A ．−16a →−16b →−13c →B ．−16a →−16b →+23c →C ．16a →+16b →+23c →D ．16a →+16b →−23c →解：∵AM →=AF →+FM →=−12BA →+13FE →=−12BA →+13(BE →−BF →)=−23BA →+13[12(BC →+BD →)]=16BC →+16BD →−23BA →=16a →+16b →−23c →． 故选：D ．5．已知抛物线C ：x 2＝2ay 的准线为y ＝1，且C 与直线y ＝﹣x +b 相切，则b ＝（ ） A ．2B ．1C ．﹣1D ．﹣2解：根据题意可知a ＜0，且−a2=1，所以a ＝﹣2，所以抛物线C 的方程为x 2＝﹣4y ． 将y ＝﹣x +b 代入x 2＝﹣4y ，整理得x 2﹣4x +4b ＝0． 因为C 与直线y ＝﹣x +b 相切，所以Δ＝（﹣4）2﹣4×4b ＝0，解得b ＝1． 故选：B ．6．已知点M （1，﹣2），N （4，4），H 是直线l ：2x ﹣y +1＝0上的动点，则|HM |+|NH |的最小值为（ ） A ．√13B ．3√5C ．√65D ．6√2解：设点M （1，﹣2）关于直线l 的对称点为M '（x 0，y 0）， 则{2×x 0+12−y 0−22+1=0y 0+2x 0−1×2=−1，解得{x 0=−3y 0=0即M ′（﹣3，0），∴(|HM|+|NH|)min =(|HM′|+|NH|)min =|NM′|=√(4+3)2+(4−0)2=√65． 故选：C ．7．已知异面直线m ，n 所成的角为60°，M ，N 在直线m 上，G ，H 在直线n 上，HN ⊥m ，NH ⊥n ，MN＝1，NH ＝3，GH ＝2，则G ，M 间的距离为（ ） A ．2√2或2√5B ．4C ．2√3D ．2√3或4解：以向量NM ，NH ，HG 为基底，由题知：|NM →|＝1，|NH →|＝3，|HG →|＝2，NM →⊥NH →，NH →⊥HG →，＜NM →，HG →＞=π3或2π3， ∴|MG →|2＝（−NM →+NH →+HG →）2＝|NM →|2+|NH →|2+|HG →|﹣2|NM →|•|HG →|•cos ＜NM →，HG →＞，当＜NM →，HG →＞=π3 时，|MG →|2＝12+32+22﹣2×1×2×12=12，∴|MG →|=2√3，当＜NM →，HG →＞=2π3时，|MG →|2＝12+32+22﹣2×1×2×（−12）＝16，∴|MG →|＝4． 故选：D ． 8．过椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左焦点F （﹣c ，0）（c ＞0）的直线与C 的一个交点为P ，与圆O ：x 2+y 2=14c 2相切于点M ，若FM →=MP →，则C 的离心率为（ ）A ．12B ．√3−1C ．√32D ．1−√32解：如图所示，设椭圆的右焦点为F 1，∵直线FP 与圆O 相切，∴FM ⊥OM ，又|OF |＝c ，∴|OM|=12c ，∴∠MFO =π6，又FM →=MP →，∴M 是FP 的中点，又O 是FF 1的中点，∴OM∥PF1，又FM⊥OM，∴PF⊥PF，∴|FF1||PF|+|PF1|=2c2a=√3+1=√3−1，即C的离心率为√3−1．故选：B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知方程x2m2−1+y22m+2=1(m≠±1)表示曲线C，则下列结论正确的是（）A．若m＝3，则曲线C是圆B．若曲线C是椭圆，则m＞3C．若曲线C是双曲线，则m＜1且m≠﹣1D．若m＜﹣1，则曲线C是焦点在x轴上的双曲线解：对于A，若m＝3，则m2﹣1＝2m+2＝8，方程化为x2+y2＝8，故A正确；对于B，若曲线C是椭圆，则{m2−1＞0，2m+2＞0，m2−1≠2m+2，解得m＞1且m≠3，故B错误；对于C，若曲线C是双曲线，则（m2﹣1）（2m+2）＜0，解得m＜1且m≠﹣1，故C正确；对于D，若m＜﹣1，则m2﹣1＞0且2m+2＜0，所以曲线C是焦点在x轴上的双曲线，故D正确．故选：ACD．10．已知点M（﹣1，2），N（2，3），直线l：mx+y﹣m+2＝0与线段MN有交点，则m可以为（）A．﹣6B．﹣2C．1D．3解：∵l：mx+y﹣m+2＝0，∴y+2＝﹣m（x﹣1），即直线l过定点Q（1，﹣2），斜率为﹣m，k QM=2+2−1−1=−2，k QN=3+22−1=5，由图知，﹣m ≤﹣2 或﹣m ≥5， ∴m ≥2或m ≤﹣5， ∴A ，D 正确，B ，C 错误． 故选：AD ．11．已知点A （1，﹣1），B （1，﹣3），P 是圆C ：x 2+y 2﹣2ax +4ay +5a 2﹣4＝0上一点，AP →⋅BP →=0，则实数a 的可能取值为（ ） A ．1B ．2C ．5−√55D ．5+3√55解：∵AP →⋅BP →=0，∴P 在以AB 为直径的圆上， 由A （1，﹣1），B （1，﹣3），可知其圆心为C 1（1，﹣2），半径r 1=12|AB|=1，又圆C 的圆心为C （a ，﹣2a ），半径r 2＝2， 由题可知，圆C 1与圆C 有公共点， 则r 2﹣r 1≤|CC 1|≤r 1+r 2，即1≤√(a −1)2+(−2a +2)2≤3， 解得5−3√55≤a ≤5−√55或5+√55≤a ≤5+3√55．故选：BCD ．12．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，BB 1的中点，M 为线段A 1D 上的动点，则（ ）A ．存在点M ，使得直线FM ⊥AC 1B ．存在点M ，使得EM ∥平面AA 1B 1BC ．点M 到直线C 1D 1距离的最小值为√2 D ．三棱锥C 1﹣MEF 的体积为√63解：在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，BB 1的中点，M 为线段A 1D 上的动点，以A 为原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A （0，0，0），E （2，1，0），F （2，0，1），D （0，2，0），A 1（0，0，2），B 1（0，4，2），C 1（2，2，2），D 1（0，2，2），所以AC 1→=(2，2，2)，DA 1→=(0，−2，2)，EF →=(0，−1，1)， 设DM →=λDA 1→(0≤λ≤1)， 则DM →=(0，−2λ，2λ)， 所以M （0，2﹣2λ，2λ），对于A 选项，FM →=(−2，2−2λ，2λ−1)，所以FM →⋅AC 1→=−2×2+2(2−2λ)+2(2λ−1)=−2≠0， 即不存在点M ，使得直线FM ⊥AC 1， 故A 选项错误；对于B 项，因为AD ⊥面AA 1B 1B ，所以面AA 1B 1B 的一个法向量为n →=(0，1，0)， 又因为EM ∥面AA 1B 1B ，EM →=(−2，1−2λ，2λ)，所以EM →⋅n →=1−2λ=0，解得λ=12，即DM →=12DA 1→，所以存在点M 位于A 1D 的中点时，使得EM ∥面AA 1B 1B ， 故B 选项正确；对于C 选项，因为C 1D 1→=(−2，0，0)， 所以u →=C 1D 1→|C 1D 1→|=(−2，0，0)2=(−1，0，0)，设a →=C 1M →=(−2，−2λ，2λ−2)，则a →⋅u →=2，所以点M 到直线C 1D 1的距离为d =√a →2−(a →⋅u →)2=√4+4λ2+(2λ−2)2−4=√8λ2−8λ+4=√8(λ−12)2+2，（0≤λ≤1），所以当λ=12时，d min =√2，即点M 到直线C 1D 1距离的最小值为√2， 故C 选项正确；对于D 选项，因为A 1D ∥EF ，A 1D ⊄面EFC 1，EF ⊂面EFC 1， 所以A 1D ∥面EFC 1，所以V C 1−MEF =V M−C 1EF =V D−C 1EF ， 易得FC 1=EC 1=√5，EF =√2， 所以S △C 1EF =12EF ×√C 1F 2−(EF 2)2=32，所以V C 1−MEF =V D−C 1EF =13S △C 1EF ×CD =13×32×2=1，即三棱锥C 1﹣MEF 的体积为1， 故D 选项错误． 故选：BC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知直线l 过点（2，3）且与以（﹣2，1）为方向向量的直线m 垂直，则直线l 的方程为 2x ﹣y ﹣1＝0 ．解：由题意知，直线m 的斜率k m =−12，因为l ⊥m ，所以k l ＝2， 又直线l 过点（2，3），所以直线l 的方程为y ﹣3＝2（x ﹣2），即2x ﹣y ﹣1＝0． 故答案为：2x ﹣y ﹣1＝0．14．圆C 的圆心在直线y ＝2x +6上，且C 与x 轴、y 轴均相切，则C 的半径为 2或6 ． 解：由圆C 的圆心在直线y ＝2x +6上， 设C （a ，2a +6），又圆C 与x 轴、y 轴均相切， 所以r ＝|a |＝|2a +6|， 解得a ＝﹣2或a ＝﹣6， 所以半径r ＝2或r ＝6， 故答案为：2或6．15．已知MN 是圆柱OO 1下底面圆O 的直径，Q 是下底面圆O 上一点，PM 是圆柱的母线，且PM ＝MQ＝NQ ＝2，则点M 到平面PNQ 的距离为 √2 ．解：由题知，MQ ⊥NQ ，以Q 为原点，QM ，QN 所在直线分别为x 轴、y 轴，该圆柱过Q 的母线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则Q （0，0，0），M （2，0，0），N （0，2，0），P （2，0，2）， ∴QN →=(0，2，0)，QP →=(2，0，2)，MP →=(0，0，2)， 设平面PNQ 的法向量为 m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅QN →=0m →⋅QP →=0，即{2x +2z =02y =0，令 x ＝1，则 z ＝﹣1，y ＝0，∴m →=（1，0，﹣1），∴点M 到平面PNQ 的距离d =|m →⋅MP →||m →|=√1+0+(−1)=√2．16．已知F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，M 是C 右支上的一点，∠F 1MF 2＝θ，△MF 1F 2的周长为4a +2c ，面积为3√352a 2cosθ，则C 的离心率为32． 解：因为△MF 1F 2的周长为4a +2c ， 所以|MF 1|+|MF 2|＝4a ，由双曲线定义知|MF 1|﹣|MF 2|＝2a ， 所以|MF 1|＝3a ，|MF 2|＝a ，此时S △F 1MF 2=12|MF 1||MF 2|sin∠F 1MF 2=12×3a ×asinθ=3√352a 2cosθ，所以sinθ=√35cosθ， 因为1＝sin 2θ+cos 2θ＝36cos 2θ， 所以cosθ=16，在△MF 1F 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2=4c 2=|MF 1|2+|MF 2|2−2|MF 1||MF 2|cosθ=(3a)2+a 2−2×3a ×a ×16，则C的离心率e=ca=32．故答案为：3 2．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知圆A关于直线y＝x对称，点M（1，3），N（3，5）在圆A上．（1）求圆A的标准方程；（2）若直线l1，l2（l1的倾斜角大于l2的倾斜角）均与圆A相切，且l1，l2相交于点P（1，0），求l1，l2的方程．解：（1）因为圆心A在直线y＝x上，所以设A（a，a），则设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，所以{(1−a)2+(3−a)2=r2(3−a)2+(5−a)2=r2，解得{a=3r=2，所以圆A的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣3）2＝4．（2）由题意知，l1，l2是过点P（1，0）所作的圆A的两条切线，若切线斜率不存在，其方程为x＝1，与圆A相切，符合条件．若切线斜率存在，设其方程为y＝k（x﹣1），由圆心A（3，3）到切线的距离为√1+k2=2，解得k=512，所以切线方程为y=512(x−1)，即5x﹣12y﹣5＝0，又l1的倾斜角大于l2的倾斜角，所以l1：x＝1，l2：5x﹣12y﹣5＝0．18．（12分）已知点A（﹣2，0），B（0，﹣1），P（1，0），Q是圆M：x2+y2﹣4x﹣6y+8＝0上的动点．（Ⅰ）求△QAB面积的最小值；（Ⅱ）求线段PQ的中点N的轨迹方程．解：（Ⅰ）由题知，|AB|=√(0+2)2+(−1−0)2=√5，直线AB的方程为x+2y+2＝0．圆M的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2＝5，可得圆心为M（2，3），半径为r=√5，圆心M到直线AB的距离为d=√1+2=2√5，设点Q到直线AB的距离为d'，则d'min＝d﹣r=√5，可得△QAB面积的最小值为12|AB|d'min=12×√5×√5=52；（Ⅱ）设N （x ，y ），Q （x 0，y 0）， 由题意知x =x 0+12，y =y 0+02， 可得x 0＝2x ﹣1，y 0＝2y ，将（x 0，y 0）代入x 2+y 2﹣4x ﹣6y +8＝0，即为（2x ﹣1）2+（2y ）2﹣4（2x ﹣1）﹣6（2y ）+8＝0， 整理得x 2+y 2−3x −3y +134=0， 则点N 的轨迹方程为x 2+y 2−3x −3y +134=0，即 (x −32)2+(y −32)2=54． 19．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，P ，M ，N 分别为棱BB 1，CC 1，AA 1的中点，BB 1＝4，AB ＝BC ＝3．（1）求证：平面BMN ∥平面P A 1C 1；（2）求直线CA 1与平面BMN 所成角的正弦值．证明：（1）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，四边形BB 1C 1C 为矩形， 因为P ，M 分别为BB 1，CC 1的中点，所以BP ∥MC 1，BP ＝MC 1， 所以四边形BPC 1M 是平行四边形，所以PC 1∥BM ，因为C 1⊂平面P A 1C 1，MB ⊄平面P A 1C 1，所以BM ∥平面P A 1C 1， 同理可得BN ∥平面P A 1C 1，因为BM ⊂平面BMN ，BN ⊂平面BMN ，BN ∩BM ＝B ，所以平面BMN ∥平面P A 1C 1； 解：（2）由题知，BB 1⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，故以B 为原点，BA ，BC ，BB 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系B ﹣xyz ，如图所示，则B （0，0，0），N （3，0，2），M （0，3，2），C （0，3，0），A 1（3，0，4）， 所以BN →=(3，0，2)，BM →=(0，3，2)，CA 1→=(3，−3，4)． 设平面BMN 的法向量为m →=(x ，y ，z)，则m →⊥BM →，m →⊥BN →， 所以{m →⋅BM →=3y +2z =0，m →⋅BN →=3x +2z =0，解得{y =−23z x =−23z ，令z＝﹣3，得x＝y＝2，所以m→=(2，2，−3)，设直线CA1与平面BMN所成的角为θ，所以sinθ=|m⋅CA1→||m|⋅|CA1→|=√2+2+(−3)×√3+(−3)+4=6√217，所以直线CA1与平面BMN所成角的正弦值为6√2 17．20．（12分）已知F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，A是C上在第一象限的一点，点B在y轴上，AB⊥y轴，|AB|＝2，|AF|＝3．（1）求C的方程；（2）过F作斜率为k的直线与C交于M，N两点，△MON的面积为√5（O为坐标原点），求直线MN 的方程．解：（1）因为AB⊥y轴，|AB|＝2，所以x A＝2，此时|AF|=x A+p2=2+p2=3，解得p＝2，则C的方程为y2＝4x；（2）由（1）知F（1，0），不妨设直线MN的方程为y＝k（x﹣1），M（x1，y1），N（x2，y2），联立{y2=4xy=k(x−1)，消去y并整理得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，因为k≠0，由韦达定理得x1+x2=2k2+4k2，x1x2＝1，所以|MN|=√1+k2|x1−x2|=√(1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2]=√(1+k2)[(2k2+4k2)2−4×1]=4(1+k2)k2，因为点O到直线MN的距离为d=√1+k，所以S △MON=12|MN|⋅d =12×4(1+k 2)k 2×|k|√1+k =2√1+k 2|k|=√5， 解得k ＝±2，故直线MN 的方程为2x ﹣y ﹣2＝0或﹣2x ﹣y +2＝0．21．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD =π3，P A ＝PD ＝2，AB =2√3，平面P AD ⊥平面ABCD ． （Ⅰ）求证：AD ⊥PB ；（Ⅱ）求平面PCD 与平面PBC 夹角的余弦值．解：（Ⅰ）证明：如图，设O 是AD 的中点，连接PO ，OB ，BD ． ∵P A ＝PD ，∴PO ⊥AD ．在菱形ABCD 中，AD ＝AB ，∠BAD =π3∴△ABD 是等边三角形，∴BO ⊥AD ． ∵PO ∩BO ＝0， ∴AD ⊥平面POB ， ∴．AD ⊥PB ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，OB ＝3，PO ＝1，PO ⊥AD ，OB ⊥AD ．∵平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面P AD ， ∴．PO ⊥平面ABCD ，∵OB ⊂平面ABCD ，∴PO ⊥OB ，∴以O 为原点，OB ，OA ，OP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O ﹣xyz ，如图，则D(0，−√3，0)，C(3，−2√3，0)，B （3，0，0），P （0，0，1）， ∴DC →=(3，−√3，0)，BC →=(0，−2√3，0)，CP →=(−3，2√3，1)，设平面PCD 的法向量为m →=（x 1，y 1，z 1），则{m →⋅DC →=3x 1−√3y 1=0m →⋅CP →=−3x 1+2√3y 1+z 1=0，令x 1＝1，则y 1=√3，z 1＝﹣3，∴m →=(1，√3，−3)，设平面PBC 的法向量为n →=（x 2，y 2，z 2），则{n →⋅BC →=−2√3y 2=0n →⋅CP →=−3x 2+2√3y 2+z 2=0，令x 2＝1，则y 2＝0，z 2＝3，∴n →=（1，0，3）．|cos ＜m →，n →＞|=|m →⋅n →||m →||n →|=|1×1+√3×0−3×3|√1+(√3)+(−3)×√1+0+3=4√13065，∴平面PCD 与平面PBC 夹角的余弦值为4√13065． 22．（12分）已知E ，F 分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左顶点与左焦点，P ，Q 是C 上关于原点O对称的两点，|PF |+|QF |＝4，|EF |＝1． （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）已知过点（﹣3，0）的直线l 交C 于A ，B 两点，M ，N 是直线x ＝﹣3上关于x 轴对称的两点，证明：直线MA ，BN 的交点在一条定直线上．解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c （c ＞0），右焦点是 F '，连接 PF '，QF '； 由题知，四边形PFQF ′为平行四边形，|PF '|＝|QF |， 由椭圆定义知，2a ＝|PF |+|PF ′|＝|PF |+|QF |＝4，∴a ＝2． ∵|EF |＝a ﹣c ＝2﹣c ＝1，∴c ＝1，∴b 2＝a 2﹣c 2＝3， ∴C 的方程为x 24+y 23=1；（Ⅱ）设直线l 的方程为y ＝k （x +3），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） 将y ＝k （x +3）代入x 24+y 23=1，整理得（3+4k 2）x 2+24k 2x +36k 2﹣12＝0，∴Δ＝（24k 2）2﹣4×（3+4k 2）（36k 2﹣12）＞0 且x 1+x 2=−24k 23+4k 2，x 1x 2=36k 2−123+4k2，设M （﹣3，t ），t ≠0，则N （﹣3，﹣t ）， 则直线MA 的方程为y −t =y 1−tx 1+3(x +3)， 直线NB 的方程为y +t =y 2+tx 2+3(x +3)， 两式相减得2t =(y 2+t x 2+3−y 1−tx 1+3)(x +3)，∵y2+tx2+3−y1−tx1+3=k(x2+3)+tx2+3−k(x1+3)−tx1+3=t(x1+x2+6)x1x2+3(x1+x2)+9=t(−24k23+4k2+6)36k2−123+4k2−3×24k23+4k2+9=6t5，∴2=65(x+3)，∴x=−43，直线MA，BN的交点在定直线x=−43上．。
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天一大联考2016——2017学年度高二年级阶段测试（一）
数学(文科)
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知实数,a b 满足11122a b
⎛⎫⎛⎫
<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则
A ．
11
a b
> B ．a b > C ．a b < D ．22log log a b > 2.在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别是,,a b c ，若2
23
b a
c ==，则ABC ∆的形状为
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰三角形 3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若507320,4S a a ==，则410a a += A ．16 B ．32 C ．20 D ．40
4.已知实数,x y 满足4,
2,34,
x y x y y x +≥⎧⎪
-≤⎨⎪-≤⎩
，则y x 的最小值为
A ．1
B ．
35 C ．13 D ．14
5.已知中，角A,B,C 的对边分别是,,a b c ，若222222b a ac c -=+，则sin B 的值为
A 154．14 C 32 D ．12
6.已知集合{}
21|2320,|
03x A x x x B x x -⎧
⎫
=--≤=≥⎨⎬+⎩⎭
，则()R A C B =
A ．1,12⎛⎫-
⎪⎝⎭ B ．(]1,2 C ．1,12⎡⎫
-⎪⎢⎣⎭
D ．[)3,2-- 7. 已知ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别是,,a b c ，且sin cos b c A
C a
-=，则A = A ．120 B ． 60 C ．90 D ． 45 8. 已知数列{}n a 的首项为7，且()11
322
n n a a n -=
+≥，则6a =
A ．
19332 B ．38564 C ．16132 D ．97
16
9. 在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别是,,a b c ，若1
8,103,cos 2
ABC a S B ∆===，则ABC ∆的周长为
A ．15
B ．16
C ． 18
D ．20
10. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-，等差数列{}n b 的前n 项和为n T ，且
753,25b T ==-，若数列{}n c 满足,,n n n
a n c
b n ⎧⎪=⎨
⎪⎩为奇数
为偶数，则数列{}n c 的前8项和为 A ． 136 B ．146 C ．156 D ．166 11. 已知m>0,n>0，则当22729
818m n mn
++
取得最小值时，m n -的值为 A ．4- B ．4 C ．8- D ．8
12,已知数列{}n a 满足()
21n n n a a a n N *+++=∈，则下列说法中，正确的有 ①若140,1,a a ==则51;2
a =
②数列{}n a 中不可能有两项为0； ③数列{}n a 中既有正项，也有负项
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
. 13.在等比数列{}n a 中，已知7198a a ⋅=，则323a a ⋅= . 14.在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别是,,a b c ，已知,10,564
A a b π
===，
则B = 。
15.若实数,m n 满足1232,
31,m n m n -≤+≤⎧⎨
-<-≤⎩
，则34m n +的取值范围是
16.已知数列{}n a 满足132a =，且()113221
n n n a n
n a a n --=≥+-，则{}n a 的通项公式为 .
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、（本小题满分10分）
已知正实数,x y 满足2830.x y xy +-= （1）若xy m ≥恒成立，求实数m 的取值范围； （2）求x y +的最小值，并求此时,x y 的值.
18、（本小题满分12分）
已知数列
{}
n a 的前n 项和为n S ，且1n n S a =-，数列
{}
n b 满足
41424log log log .n n b a a a =+++
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列11n n a b ⎧⎫
+⎨⎬⎩⎭
的前n 项和.n T .
19、（本小题满分12分） 已知ABC ∆中，
3.3cos cos 2AB
BC
C
A π=⎛⎫+ ⎪
⎝⎭
（1）求C 的值； （2）若2,43AB
AC BC
==，求ABC ∆的面积.
20、（本小题满分12分）
某香料加工厂生产“沉鱼落雁”和“国色天香”两种香料，已知生产两种香料每吨所需的原材料A,B,C 的数量和一周内可用资源数量如下表所示：
原材料 沉鱼落雁（吨）
国色天香（吨）
可用资源数量（吨）
A 3 2 20 B
3
1
20
C 2 5 25
如果“沉鱼落雁”每吨的利润为400元，“国色天香”每吨的利润为300元，那么应如何安排生产，才能使香料加工厂每周的利润最大？并求出最大利润.
21、（本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4513,50.a S == （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设2n n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和.n T .
22、（本小题满分12分）
已知函数()cos
sin cos 222x x x f x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，先将函数()f x 图象上所有点的横坐标都压缩为原来的
12，纵坐标都扩大为原来的2倍，再将函数()f x 的图象向左平移4
π
个单位，得到函数()g x 的图象.
（1）求函数()g x 在区间0,
4π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
内的值域； （2）在ABC ∆中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且34
B
x =
为函数()g x 的一个零点，若2a c +=，求ABC ∆周长的取值范围.。