带二元约束非凸三次优化问题的全局充分条件
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非线性规划
1. 非线性规划我们讨论过线性规划,其目标函数和约束条件都是自变量的线性函数。
如果目标函数是非线性函数或至少有一个约束条件是非线性等式(不等式),则这一类数学规划就称为非线性规划。
在科学管理和其他领域中，很多实际问题可以归结为线性规划，但还有另一些问题属于非线性规划。
由于非线性规划含有深刻的背景和丰富的内容，已发展为运筹学的重要分支，并且在最优设计,管理科学,风险管理,系统控制,求解均衡模型,以及数据拟合等领域得到越来越广泛的应用。
非线性规划的研究始于三十年代末,是由W.卡鲁什首次进行的，40年代后期进入系统研究，1951年.库恩和.塔克提出带约束条件非线性规划最优化的判别条件,从而奠定了非线性规划的理论基础,后来在理论研究和实用算法方面都有很大的发展。
非线性规划求解方法可分为无约束问题和带约束问题来讨论，前者实际上就是多元函数的极值问题，是后一问题的基础。
无约束问题的求解方法有最陡下降法、共轭梯度法、变尺度法和鲍威尔直接法等。
关于带约束非线性规划的情况比较复杂，因为在迭代过程中除了要使目标函数下降外，还要考虑近似解的可行性。
总的原则是设法将约束问题化为无约束问题；把非线性问题化为线性问题从而使复杂问题简单化。
求解方法有可行方向法、约束集法、制约函数法、简约梯度法、约束变尺度法、二次规划法等。
虽然这些方法都有较好的效果，但是尚未找到可以用于解决所有非线性规划的统一算法。
非线性规划举例[库存管理问题] 考虑首都名酒专卖商店关于啤酒库存的年管理策略。
假设该商店啤酒的年销售量为A 箱,每箱啤酒的平均库存成本为H 元,每次订货成本都为F 元。
如果补货方式是可以在瞬间完成的,那么为了降低年库存管理费用,商店必须决定每年需要定多少次货,以及每次订货量。
我们以Q 表示每次定货数量,那么年定货次数可以为QA,年订货成本为Q A F ⨯。
由于平均库存量为2Q,所以,年持有成本为2Q H ⨯,年库存成本可以表示为:Q HQ A F Q C ⨯+⨯=2)( 将它表示为数学规划问题:min Q H Q A F Q C ⋅+⋅=2)( ..t s 0≥Q其中Q 为决策变量,因为目标函数是非线性的,约束条件是非负约束,所以这是带约束条件的非线性规划问题。
一类非凸二次规划问题的全局最优性条件
本 文 主 要 考 虑 如 下 非 凸 二 次 规 划 问题 ：
（ ＱＰ） ｎ ｏ ｚ） １ Ｔ ｍｉｇ （ 一 Ａ
ｓ ￡ ｇ （ 一 ． ． ｚ） １ ｏ ｘ＋ ａ。
ｚ
＋３Ｔ ｉ ｃ≤ ０， １ … ， ２ ａ＋ 一 ，
ｇ ｚ） 百 （ ： １
ｚ＋ Ｔ ＋ ｃ 一 。， ＆ ， 一 ｍ ＋ １， ， ＋ 户 …
本 文定 义集合 Ｌ：
， １ ＼
Ｌ 寺 ｚ ｌ＝ ｉ （ ， ｑ ， ∈ ， ， 卢 Ｒ ｝ 一｛ Ｑ ＋ ｄａ ｑ …， ）ｑ Ｒ ｉ …，，∈ Ｑ ｇ１ 一１
收稿 日期 ：２ １ ５ １ ０ ００—８
作 者简 介 ：张
甲 （ ５ ） 男 ， １ ８ 一 ， 山东 青 岛 人 ， 士 研 究 生 ， ９ 硕 研究 方 向 ： 优 化 理 论 与方 法 。 最
关 键 词 ： 局 最 优 性 ； 一 微 分 ；非 凸 二 次 规 划 ； 次 约 束 全 Ｌ次 二
中 图 分 类 号 ：Ｏ２ １ ２ 文 献 标 志 码 ：Ａ
主 题 分 类 号 ： ０ ３ ９Ｃ ０
１ 问 题
全局优 化是数 学规 划理论 中 的一 个重要 研究 领域 ， 主要 研究 非 线性 函数 在 某个 区域 上全 局最 优 点 的 它 特征 和数值方 法［６， 中全 局最优 性条件 对全 局优化 问题 的研 究 起着 至关重要 的作 用 。 １ 其 ＿ Ｉ 近年来 ， 如何刻 画一个 凸规划 问题 的解方 面 ， 在 特别 是在 可行域 为 凸集 的凸规划 问题 的研 究方 面 已经取 得 了许多进 展 。在如何 刻 画一个非 凸规划 问题 的全局最 优 解方 面 ， 已经 得到 了利 用 求非 凸优化 问 题全 局最 优性 条件 的 Ｌ 次微 分方法 建立 了带二次 约束 二次极小 化 问题 的全 局优 化 拉格 朗 日乘 子条 件 ， 一 ］ 而更 多 的是 在几 种特殊 的非 凸规划 问题 的全局 最优解 的刻 画方面有 一定 的进展 ９， 吸引 了许 多学者 的关 注 。本 文利 － 也 ｌ 用 Ｚ ．Ｙ．ｗｕ等人提 出 的方 法ｕ 研究 了一种 新 的非凸二 次规划 问题 的全局 最优性 充分条 件 。
（ ＱＰ） ｎ ｏ ｚ） １ Ｔ ｍｉｇ （ 一 Ａ
ｓ ￡ ｇ （ 一 ． ． ｚ） １ ｏ ｘ＋ ａ。
ｚ
＋３Ｔ ｉ ｃ≤ ０， １ … ， ２ ａ＋ 一 ，
ｇ ｚ） 百 （ ： １
ｚ＋ Ｔ ＋ ｃ 一 。， ＆ ， 一 ｍ ＋ １， ， ＋ 户 …
本 文定 义集合 Ｌ：
， １ ＼
Ｌ 寺 ｚ ｌ＝ ｉ （ ， ｑ ， ∈ ， ， 卢 Ｒ ｝ 一｛ Ｑ ＋ ｄａ ｑ …， ）ｑ Ｒ ｉ …，，∈ Ｑ ｇ１ 一１
收稿 日期 ：２ １ ５ １ ０ ００—８
作 者简 介 ：张
甲 （ ５ ） 男 ， １ ８ 一 ， 山东 青 岛 人 ， 士 研 究 生 ， ９ 硕 研究 方 向 ： 优 化 理 论 与方 法 。 最
关 键 词 ： 局 最 优 性 ； 一 微 分 ；非 凸 二 次 规 划 ； 次 约 束 全 Ｌ次 二
中 图 分 类 号 ：Ｏ２ １ ２ 文 献 标 志 码 ：Ａ
主 题 分 类 号 ： ０ ３ ９Ｃ ０
１ 问 题
全局优 化是数 学规 划理论 中 的一 个重要 研究 领域 ， 主要 研究 非 线性 函数 在 某个 区域 上全 局最 优 点 的 它 特征 和数值方 法［６， 中全 局最优 性条件 对全 局优化 问题 的研 究 起着 至关重要 的作 用 。 １ 其 ＿ Ｉ 近年来 ， 如何刻 画一个 凸规划 问题 的解方 面 ， 在 特别 是在 可行域 为 凸集 的凸规划 问题 的研 究方 面 已经取 得 了许多进 展 。在如何 刻 画一个非 凸规划 问题 的全局最 优 解方 面 ， 已经 得到 了利 用 求非 凸优化 问 题全 局最 优性 条件 的 Ｌ 次微 分方法 建立 了带二次 约束 二次极小 化 问题 的全 局优 化 拉格 朗 日乘 子条 件 ， 一 ］ 而更 多 的是 在几 种特殊 的非 凸规划 问题 的全局 最优解 的刻 画方面有 一定 的进展 ９， 吸引 了许 多学者 的关 注 。本 文利 － 也 ｌ 用 Ｚ ．Ｙ．ｗｕ等人提 出 的方 法ｕ 研究 了一种 新 的非凸二 次规划 问题 的全局 最优性 充分条 件 。
优化理论
有限维空间的优化理论与算法
引言
刘红英 数学与系统科学学院
1.1 数学描述与例子
• 目 标：系统性能的一种“量的度量”(利润、时间、 势能)－－任何数量或某些量的组合－－数
• 变 量：目标所依赖的系统的“某些可控的特征” • 约束条件：经常变量以某种方式受限制(分子中电子密度
的量、贷款利率的量，不能是负的)
故必要条件即对所有 p，有
等价地
(一阶条件)，G*半正定(二阶条件)
稳定点/驻点(stationary point)：使得 g(x*)=0 的 x*
局部极小点的充分条件
定理. x*是严格局部极小点的充分条件是 ，G*正定.
例.考虑Rosenbrock函数
在x*=(1, 1)处 严格局部极小点－全局极小点 充分非必要：
优化问题的一般模型－－数学规划问题
一个小例子
• 可行域/可行集 • 最优解/解 • 图解法
1
优化建模(modeling)： 识别出给定问题的目标、变量和约束的过程。
• 建立恰当模型：第一步、最重要的一步(太简单－不能给 实际问题提供有用的信息；太复杂－不易求解)
• 选择特定算法：很重要--决定求解速度及质量(无通用优化 算法，有求解特定类型优化问题的算法)
积极(约束指标)集 x2
x*
x1 Lagrange函数：
一阶条件：KKT条件
正则性假设1：
定理(一阶条件). 若 x* 是局部极小点且在 x* 处正则性假设1成立，则存在
Lagrange乘子 使得
满足
◎ Karush-Kuhn-Tucker条件, KKT条件/KKT点
局部极小的条件－充分条件(续)
定理.可微凸函数的稳定点是全局极小点
kkt条件求解凸问题的充分条件
kkt条件求解凸问题的充分条件
在凸优化问题中，KKT条件是一个重要的充分条件，用于确定一个解是否为最优解。
凸优化问题是指目标函数和约束条件都是凸函数的优化问题。
当一个凸优化问题满足KKT条件时，该问题存在一个最优解，并且该最优解是满足KKT条件的点。
具体来说，KKT条件包括以下五个方面：
1. 互补松弛条件：对于约束优化问题，如果一个变量在某个约束下被限制为非负，则该变量在最优解处应等于0。
即对于每个约束$g_j(x) \leq 0$，若$x_i > 0$，则$g_j(x) = 0$；若$x_i < 0$，则$g_j(x) > 0$。
2. 梯度条件：最优解处的梯度等于零，即$\nabla f(x) = 0$。
3. 拉格朗日乘子条件：对于每个约束$g_j(x) \leq 0$，存在一个拉格朗日乘子$\lambda_j$，使得$\lambda_j g_j(x) = 0$。
4. 非负性条件：所有拉格朗日乘子都应该非负，即$\lambda_j \geq 0$。
5. 鞍点条件：对于每个约束$g_j(x) \leq 0$，存在一个拉格朗日乘子$\lambda_j$，使得$\lambda_j = \min\{\lambda_k g_k(x)\}$。
因此，当一个凸优化问题满足KKT条件时，我们可以确定该问题存在最优解，并且可以使用这些条件来确定最优解的性质和位置。
最优性条件是指优化问题
智能优化算法
如遗传算法、粒子群算法等，通过模 拟自然界中的优化现象，寻找全局最 优解。
05 数值计算方法和实现技术
梯度下降法、牛顿法等经典数值计算方法回顾
梯度下降法
一种迭代优化算法，用于求解机器学习和深度学习中的优化问题。通过沿着目 标函数梯度的反方向进行参数更新，逐步逼近最优解。
牛顿法
一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。使用函数切线的斜率来寻找方 程的根，具有收敛速度快、精度高等优点。但需要计算二阶导数，计算量较大。
迭代终止条件
设定合适的迭代终止条件，如梯度范数小于 给定阈值等。
约束非凸优化问题处理方法
罚函数法
将约束条件转化为罚函数项，加入到 目标函数中，从而将约束问题转化为 无约束问题求解。
乘子法
引入拉格朗日乘子，构造拉格朗日函 数，通过求解拉格朗日函数的极值点 得到原问题的最优解。
投影梯度法
在每次迭代中，将搜索方向投影到可 行域内，以保证迭代点始终满足约束 条件。
启发式搜索算法在求解复杂问题时应用
遗传算法
一种模拟生物进化过程的优化算法， 通过选择、交叉、变异等操作来搜索 最优解。适用于求解离散、非线性、 多峰等复杂优化问题。
模拟退火算法
一种基于物理退火过程的优化算法，通 过模拟高温物体降温过程来搜索全局最 优解。具有跳出局部最优解的能力，适 用于求解大规模组合优化问题。
优化问题数学模型
01
02
03
目标函数
描述优化问题的目标，通 常是一个关于决策变量的 函数，需要最大化或最小 化。
约束条件
对决策变量的限制条件， 包括等式约束和不等式约 束。
决策变量
在优化问题中需要确定的 未知量，通常是多维的。
约束问题最优化方法
* * T * * * T * (1* , 2 ,, m ) 和 * ( 1 , 2 ,, m ) 使 Kuhn-Tucker 条 件 (9-6) 成 立 ，
且 对 满 足 下 述 (9-7) 、(9-8) 、(9-9) 三 条 件 的 任 意 非 零 向 量 z 有 (9-10) 成 立 ， 则 x* 是 问 题 (9-1) 的 严 格 局 部 极 小 点 ．
(1)
H ，定义集合
I ( x (1) ) {i g i ( x (1) ) 0,1 i l}
(1) x 为 点所有起作用约束的下标的集合．
可行下降方向的判定条件
g j ( x ) d 0 ( j I ( x ))
(1) T (1)
f ( x
(1)
) d 0
T
*
* j
必为零，在运用 K-T 条件求 K-T 点时，利用这一点可 以大大 地简化计算，另 外还要把约束条 件都加上．
2．求满足Kuhn-Tucker条件的点
例 9-1 求下列非线性规划问题的 Kuhn-Tucker 点．
min f ( x) 2x 2x1x2 x 10x1 10x2
线性无关．
若
* x* 是 (9-1) 的局部最优解，则比存在 * (1* , 2 ,, l* )T 和向量
* * T * (1* , 2 ,, m ) ，使下述条件成 立：
l m * * * * * f ( x ) j g j ( x ) i hi ( x ) 0 j 1 i 1 * * j g j ( x ) 0, j 1, 2, , l * j 0, i 1, 2, , l
2 1 2 2
且 对 满 足 下 述 (9-7) 、(9-8) 、(9-9) 三 条 件 的 任 意 非 零 向 量 z 有 (9-10) 成 立 ， 则 x* 是 问 题 (9-1) 的 严 格 局 部 极 小 点 ．
(1)
H ，定义集合
I ( x (1) ) {i g i ( x (1) ) 0,1 i l}
(1) x 为 点所有起作用约束的下标的集合．
可行下降方向的判定条件
g j ( x ) d 0 ( j I ( x ))
(1) T (1)
f ( x
(1)
) d 0
T
*
* j
必为零，在运用 K-T 条件求 K-T 点时，利用这一点可 以大大 地简化计算，另 外还要把约束条 件都加上．
2．求满足Kuhn-Tucker条件的点
例 9-1 求下列非线性规划问题的 Kuhn-Tucker 点．
min f ( x) 2x 2x1x2 x 10x1 10x2
线性无关．
若
* x* 是 (9-1) 的局部最优解，则比存在 * (1* , 2 ,, l* )T 和向量
* * T * (1* , 2 ,, m ) ，使下述条件成 立：
l m * * * * * f ( x ) j g j ( x ) i hi ( x ) 0 j 1 i 1 * * j g j ( x ) 0, j 1, 2, , l * j 0, i 1, 2, , l
2 1 2 2
最优化方法4-1第四章 约束最优化方法-KKT条件
（I） x*为问题的局部最优解且 I*={i| c i (x*)=0, 1≤i≤m };
(II) f(x)和 c i (x)（i∈I*）在 x*点可微；
（III）c i (x)（i∈I\ I*）在 x*点连续
则 S={p∈Rn | ▽f(x*)Tp<0}
与 G={ p∈Rn |▽c i(x* )Tp>0, i∈I*} 的交是空集，
（iii）▽ci(x*)(i=1,2,…,l)线性无关；
则存在一组不全为零的实数 1*… l*使得
l
▽f(x*)- i *▽c i(x*)=0 1
定义 n+l 元函数：
l
L(x, )=f(x)- Tc(x)=f(x)- ici(x) i1 为 lagrange 函数，
1
1 2
x1 x2 1 0
的 KT 点为 x* (0, 3)T,相应乘子为* (1 ,0)T。
6
例 2：验证(2,1)T 为下面约束优化问题的 K-T 点.
min
f ( x1 , x2 ) ( x1 3)2 ( x2 2)2
恰好给出等式约束问题的一阶必要条件
及 c i(x*)=0，i=1, …,l
点（X*, *）称为 lagrange 函数 L（x, ）的驻点。
几何意义是明显的：考虑一个约束的情况：
-▽f(x*)
-▽f(x ) x
▽c(x )
c(x)
▽c(x*)
这里 x* 是局部最优解，
▽f(x*)与▽c(x*) 共线，
称 为 lagrange 乘子向量。
lagrange 函数的梯度为
▽L(x, )=(▽xL,▽ L)T
(II) f(x)和 c i (x)（i∈I*）在 x*点可微；
（III）c i (x)（i∈I\ I*）在 x*点连续
则 S={p∈Rn | ▽f(x*)Tp<0}
与 G={ p∈Rn |▽c i(x* )Tp>0, i∈I*} 的交是空集，
（iii）▽ci(x*)(i=1,2,…,l)线性无关；
则存在一组不全为零的实数 1*… l*使得
l
▽f(x*)- i *▽c i(x*)=0 1
定义 n+l 元函数：
l
L(x, )=f(x)- Tc(x)=f(x)- ici(x) i1 为 lagrange 函数，
1
1 2
x1 x2 1 0
的 KT 点为 x* (0, 3)T,相应乘子为* (1 ,0)T。
6
例 2：验证(2,1)T 为下面约束优化问题的 K-T 点.
min
f ( x1 , x2 ) ( x1 3)2 ( x2 2)2
恰好给出等式约束问题的一阶必要条件
及 c i(x*)=0，i=1, …,l
点（X*, *）称为 lagrange 函数 L（x, ）的驻点。
几何意义是明显的：考虑一个约束的情况：
-▽f(x*)
-▽f(x ) x
▽c(x )
c(x)
▽c(x*)
这里 x* 是局部最优解，
▽f(x*)与▽c(x*) 共线，
称 为 lagrange 乘子向量。
lagrange 函数的梯度为
▽L(x, )=(▽xL,▽ L)T
带LMI约束的混合整数二次规划问题的全局最优性条件
Ｆ ｂ ｅ ．，２ １ ０１ Ｖｏ ＿ Ｏ Ｎｏ Ｉ３ ．１
第３ ０卷
第 １ 期
带 Ｌ 约 束 的 混 合 整 数 二 次 规 划 问 题 的 ＭＩ 全 局 最 优 性 条 件
秦 帅 ， 云峰 ， 祁 李
（ 庆师范大学 重
倩， 祁艳 妮
４ ０４ ） ００ ７
数 学 学 庆 文 理 学 院 学 报 （自然 科 学 版 ） Ｊｕ ａ ｏ ｈｎｑｎ ｎ ｅｓｙｏ ｒ ｎ ｃｅｃｓ（ ａ ｒｌ ｃ ｎｅＥ ｉｏ ） ｏｒ ｌ ｆＣ ｏ ｇｉｇＵ ｉ ｒｉ ｆＡ ｔａ ｄＳ ｉ ｅ Ｎ ｔ ａ Ｓｉ ｃ ｄｔ ｎ ｎ ｖ ｔ ｓ ｎ ｕ ｅ ｉ
对 角元素 为 ａ 一， 的对 角矩 阵 ， Ｌ 设 为所 有定 义在 Ｒ 上一 些实 值 函数 的集合 ．
定义 １ （ 一次微 分 ）
且Ｐ ＜ｑ 对 于 任何 ｅ∈ Ｎ 都 成 立．ａ ， ＝ （ ａ，
…
，
ａ ）， ∈Ｓ ， ∈Ｓ， ＝０ １ … ， 且 Ｓ 是 Ａ “Ｆ ， ， ｎ．
［ 收稿 日期】 ００一ｌ ２ ２１ １— １
［ 作者简介］ 秦帅 （９ ９一） 男 ， １７ ， 山东滕州人 ， 硕士 ， 主要从 事最优化理论与算法方面的研究
２ ９
设 － Ｒ“ Ｒ且 ０∈ Ｒ ， ∈ ， ｌ ）≥ 厂 一 ： 若 厂 （
／ 。 ）十Ｚ （ ）一￡ 。 ， ∈Ｒ ， ４ ｆ 厂 （ ）Ｖ 贝 称 为Ｉ在 。 处 的 一次微 分．
其 中 Ｚ ∈Ｓ 令 ，
： ＝
｛ Ｑ ：＝ｉ ｝ Ｑ ｄ（ ａ ｇ
对于（ ＭＭＩ ， Ｑ） 令
∈ Ｒ ）
命 题 ３ 设 ∈ ， 且 ＝Ａ— （ ｚ）＋（ Ａ
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Ｓ ： ＝｛ ∈Ｒ ： ＝１ ， ｉ ＝１ ， ２ ， …， ／ ７ ， ｝
下面 的 引理是 很显 然 的．
（ ２ ）
引理 １ 设 ∈｛ － １ ， １ ｝ ， 则 是 问题 （ Ｃ Ｐ） 的全局 最优 解 当且仅 当 是 问题 （ Ｂ Ｑ Ｐ ） 的全局 最优 解．
ｓ ． ｔ ．
∈｛ 一１ ， １ ｝ ／ ７ ，
由于 （ Ｃ Ｐ） 等 价 于 问题 （ Ｂ Ｑ Ｐ ） ， 所 以通过 研究 问题 （ Ｂ Ｑ Ｐ ） 的全局 最 优性 条 件 来 得 到 问题 （ ｃ Ｐ ） 的全 局 最 优 性
条件． 问题 （ Ｃ Ｐ ） 的可行集 ｛ － １ ， １ ｝ 可以等价地写成式（ ２ ） 的连续形式 ：
，
一 ， ） ’ ∈
用Ｘ ， ＝ｄ ｉ ａ ｇ （
． ． ， ）表示 对 角元 素为
一， 的对 角矩 阵 ， 因此 ＝Ｘ ｅ ．
定义 １ 设 ∈ ｛ － １ ， １ ｝ ， 如果． 厂 （ ） ≤ ） 对任 意 的 ∈｛ － １ ， １ ｝ 都成 立 ， 则 称 是 问题 （ Ｃ Ｐ ） 的一个
规划问题 的全局充分条件 ， 进 而得到 了刻画带 ｛ ＿ １ ， １ ｝ 二元约束的非 凸三次优化 问题全局充分条件．
关 键词 ： 三 次极 小化 问题 ； 全 局 最优 性 条件 ； 二元 约束 中图分类 号 ￣ ０ ２ ２ １ ． １ 文 献标 志码 ： Ａ
考虑下面的带有双值约束的非凸三次优化问题 ：
Ｓｅ ｐ ｔ ．２ ０１ ４
文章 编 号 ： １ ６ ７ ２ — ０ ５ ８ Ｘ（ ２ ０ １ ４ ） Ｏ ９ — ０ ０ ０ ６ — ０ ４
带 二 元 约束 非 凸 三次优 化 问题 的全 局 充分 条 件 术
张 亮
（ 重庆师范大学 数学学院 ， 重庆 ４ ０ １ ３ ３ １ ）
第３ １ 卷 第 ９期
Ｖｏ ｌ ＿ ３１ Ｎ０． ９
重庆 工 商大 学学报 （自然科 学版 ）
Ｊ Ｃ ｈ ｏ ｎ ｇ ｑ ｉ ｎ ｇ Ｔ ｅ ｅ ｈ ｎ ｏ ｌ Ｂ ｕ ｓ ｉ ｎ ｅ ｓ ｓ Ｕ ｎ ｉ ｖ ． （ Ｎ ａ ｔ Ｓ ｅ ｉ Ｅ ｄ ）
２ ０ １ ４年 ９月
第 ９期
张 亮 ： 带二元约束非凸三次优化 问题 的全 局充 分条 件
７
全局极 小 点．
对于问题 （ Ｃ Ｐ ） ， 因为 ∈｛ － １ ， １ ｝ ， 所以 ＝ ， 因此能够容易证明问题 （ ｃ Ｐ ） 等价于式 （ １ ） 的带有双值约 束的非凸二次优化 问题 ：
（ Ｂ Ｑ Ｐ） ） Ｑ ＋（ ＋卢） ｆ １ ）
三次规划数学模型（ Ｃ Ｐ ） 包含了一大类最优化问题 ， 包括二次优化 问题和组合优化问题等 ， 它在三次多 项 式近 似优 化 、 凸优化 、 工程 设计 和结 构优 化等 领域 有着广 泛 的应用． 此外 ， 由于二 次优 化 问题 是 三次 规优 化
问题 的特殊情 形 ， 所 以关 于三次 问题 的研究 成果 可 以 应用 到 二次 规 划 问题 ， 见文 献 ［ １ — １ ２ ］ ． 此 处 主 要考 虑 一
类带有双值约束的非凸三次优化问题 （ Ｃ Ｐ ） ， 利用该非凸三次优化问题 的特殊性将问题 （ Ｃ Ｐ ） 等价转化为带 有双值约束的非凸二次规划问题进行研究 ， 并利用 Ｒ ｏ ｃ ｋ ａ ｆ ｅ ｌ ｌ ａ ｒ 在文献 ［ １ １ ］ 中给出的经典对偶理论 ， 提 出了 等 价转 化后 的非 凸二 次规划 问题 的一 些全 局充 分条 件 ， 并 利 用 问题 的等 价 性得 到 了相 应 的 非 凸三 次 优化 问
ｆ ＝１
尺 “ 中的标 准正交 基 ， 所有分 量都 为 １ 的 向量 记作 ｅ ， 即ｅ ＝（ １ ， …， １ ） Ｔ ． 对于 尺 中 的任 意两 个 向量 ， ≥ ｙ Ｃ ： ￣ ｘ ｉ ≥
Ｙ ， ｉ ＝ １ ， ２ ， …， ｎ ， 对． ｓ 中的任意两个矩阵 ， 曰 ， Ａ± （ ＞） Ｂ ｃ ： ， Ａ— 是半正定 （ 正定 ） 矩 阵． 对 ＝ （
１
（ Ｃ Ｐ ）ｍ ｉ ｎ ， （ ） ＝
ｓ ．
∈｛ 一１ ， １ ｝
其中Ｏ ｌ ＝ （ Ｏ ｌ 一 ， Ｏ ｌ ） ∈ Ｒ ， ＝ （ 一 ， 卢 ） ∈ Ｒ ， ＝ （ ； ， …， ： ） ， Ｑ ∈ Ｓ ， 这里 ｓ 是所有 ｎ ｘ ｎ 阶实对称矩阵
题 全局 充分 条件．
１ 预 备 知 识
表示实线性空间， 表示 ｎ 维欧几里得空间（ Ｅ ｕ ｃ ｌ ｉ ｄ ｅ ａ ｎ ） ， Ｒ ｎ 表示 ｎ 维非负欧几里得空间． 对 向量 ∈
ｎ
Ｒ ， ｌ ｌ ： ＝ （ ： ） 和 ｌ Ｉ 。 。 ： ＝ ｍ ａ ｘ Ｉ ｌ 分别表示欧式范数（ 或ｆ 一 范数） 和ｚ 。 。 一 范数． ｛ ｅ ｎ ： 表示
收稿 日期 ： ２ ０ １ ４ － ０ ２ — ２ ５ ； 修回 日期 ： ２ ０ １ ４ － ０ ４ — １ ０ ． 基金项 目 ： 国家 自然科 学基金（ １ ０ ９ ７ １ ２ ４ １ ） ．
作者简 介 ： 张亮（ １ ９ ８ ８ ） ， 男， 硕士研究生 ， 四川南充人 ， 从 事最优化理论与方法研究
摘
要： 将一类特殊的带有 ｛ ＿ １ ， １ ｝ 二元约束的非凸三次优化 问题等价转化为带有 ｛ ＿ １ ， １ ｝ 二元约束的
非凸二 次规 划 问题 ， 并利 用 Ｒ ｏ ｃ ｋ ａ ｆ ｅ ｌ ｌ ａ ｒ 在 文 献《 ｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｘ Ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｓ ｉ ｓ ）中给 出的经 典 对偶理 论 ， 提 出 了该 非 凸二 次
下面 的 引理是 很显 然 的．
（ ２ ）
引理 １ 设 ∈｛ － １ ， １ ｝ ， 则 是 问题 （ Ｃ Ｐ） 的全局 最优 解 当且仅 当 是 问题 （ Ｂ Ｑ Ｐ ） 的全局 最优 解．
ｓ ． ｔ ．
∈｛ 一１ ， １ ｝ ／ ７ ，
由于 （ Ｃ Ｐ） 等 价 于 问题 （ Ｂ Ｑ Ｐ ） ， 所 以通过 研究 问题 （ Ｂ Ｑ Ｐ ） 的全局 最 优性 条 件 来 得 到 问题 （ ｃ Ｐ ） 的全 局 最 优 性
条件． 问题 （ Ｃ Ｐ ） 的可行集 ｛ － １ ， １ ｝ 可以等价地写成式（ ２ ） 的连续形式 ：
，
一 ， ） ’ ∈
用Ｘ ， ＝ｄ ｉ ａ ｇ （
． ． ， ）表示 对 角元 素为
一， 的对 角矩 阵 ， 因此 ＝Ｘ ｅ ．
定义 １ 设 ∈ ｛ － １ ， １ ｝ ， 如果． 厂 （ ） ≤ ） 对任 意 的 ∈｛ － １ ， １ ｝ 都成 立 ， 则 称 是 问题 （ Ｃ Ｐ ） 的一个
规划问题 的全局充分条件 ， 进 而得到 了刻画带 ｛ ＿ １ ， １ ｝ 二元约束的非 凸三次优化 问题全局充分条件．
关 键词 ： 三 次极 小化 问题 ； 全 局 最优 性 条件 ； 二元 约束 中图分类 号 ￣ ０ ２ ２ １ ． １ 文 献标 志码 ： Ａ
考虑下面的带有双值约束的非凸三次优化问题 ：
Ｓｅ ｐ ｔ ．２ ０１ ４
文章 编 号 ： １ ６ ７ ２ — ０ ５ ８ Ｘ（ ２ ０ １ ４ ） Ｏ ９ — ０ ０ ０ ６ — ０ ４
带 二 元 约束 非 凸 三次优 化 问题 的全 局 充分 条 件 术
张 亮
（ 重庆师范大学 数学学院 ， 重庆 ４ ０ １ ３ ３ １ ）
第３ １ 卷 第 ９期
Ｖｏ ｌ ＿ ３１ Ｎ０． ９
重庆 工 商大 学学报 （自然科 学版 ）
Ｊ Ｃ ｈ ｏ ｎ ｇ ｑ ｉ ｎ ｇ Ｔ ｅ ｅ ｈ ｎ ｏ ｌ Ｂ ｕ ｓ ｉ ｎ ｅ ｓ ｓ Ｕ ｎ ｉ ｖ ． （ Ｎ ａ ｔ Ｓ ｅ ｉ Ｅ ｄ ）
２ ０ １ ４年 ９月
第 ９期
张 亮 ： 带二元约束非凸三次优化 问题 的全 局充 分条 件
７
全局极 小 点．
对于问题 （ Ｃ Ｐ ） ， 因为 ∈｛ － １ ， １ ｝ ， 所以 ＝ ， 因此能够容易证明问题 （ ｃ Ｐ ） 等价于式 （ １ ） 的带有双值约 束的非凸二次优化 问题 ：
（ Ｂ Ｑ Ｐ） ） Ｑ ＋（ ＋卢） ｆ １ ）
三次规划数学模型（ Ｃ Ｐ ） 包含了一大类最优化问题 ， 包括二次优化 问题和组合优化问题等 ， 它在三次多 项 式近 似优 化 、 凸优化 、 工程 设计 和结 构优 化等 领域 有着广 泛 的应用． 此外 ， 由于二 次优 化 问题 是 三次 规优 化
问题 的特殊情 形 ， 所 以关 于三次 问题 的研究 成果 可 以 应用 到 二次 规 划 问题 ， 见文 献 ［ １ — １ ２ ］ ． 此 处 主 要考 虑 一
类带有双值约束的非凸三次优化问题 （ Ｃ Ｐ ） ， 利用该非凸三次优化问题 的特殊性将问题 （ Ｃ Ｐ ） 等价转化为带 有双值约束的非凸二次规划问题进行研究 ， 并利用 Ｒ ｏ ｃ ｋ ａ ｆ ｅ ｌ ｌ ａ ｒ 在文献 ［ １ １ ］ 中给出的经典对偶理论 ， 提 出了 等 价转 化后 的非 凸二 次规划 问题 的一 些全 局充 分条 件 ， 并 利 用 问题 的等 价 性得 到 了相 应 的 非 凸三 次 优化 问
ｆ ＝１
尺 “ 中的标 准正交 基 ， 所有分 量都 为 １ 的 向量 记作 ｅ ， 即ｅ ＝（ １ ， …， １ ） Ｔ ． 对于 尺 中 的任 意两 个 向量 ， ≥ ｙ Ｃ ： ￣ ｘ ｉ ≥
Ｙ ， ｉ ＝ １ ， ２ ， …， ｎ ， 对． ｓ 中的任意两个矩阵 ， 曰 ， Ａ± （ ＞） Ｂ ｃ ： ， Ａ— 是半正定 （ 正定 ） 矩 阵． 对 ＝ （
１
（ Ｃ Ｐ ）ｍ ｉ ｎ ， （ ） ＝
ｓ ．
∈｛ 一１ ， １ ｝
其中Ｏ ｌ ＝ （ Ｏ ｌ 一 ， Ｏ ｌ ） ∈ Ｒ ， ＝ （ 一 ， 卢 ） ∈ Ｒ ， ＝ （ ； ， …， ： ） ， Ｑ ∈ Ｓ ， 这里 ｓ 是所有 ｎ ｘ ｎ 阶实对称矩阵
题 全局 充分 条件．
１ 预 备 知 识
表示实线性空间， 表示 ｎ 维欧几里得空间（ Ｅ ｕ ｃ ｌ ｉ ｄ ｅ ａ ｎ ） ， Ｒ ｎ 表示 ｎ 维非负欧几里得空间． 对 向量 ∈
ｎ
Ｒ ， ｌ ｌ ： ＝ （ ： ） 和 ｌ Ｉ 。 。 ： ＝ ｍ ａ ｘ Ｉ ｌ 分别表示欧式范数（ 或ｆ 一 范数） 和ｚ 。 。 一 范数． ｛ ｅ ｎ ： 表示
收稿 日期 ： ２ ０ １ ４ － ０ ２ — ２ ５ ； 修回 日期 ： ２ ０ １ ４ － ０ ４ — １ ０ ． 基金项 目 ： 国家 自然科 学基金（ １ ０ ９ ７ １ ２ ４ １ ） ．
作者简 介 ： 张亮（ １ ９ ８ ８ ） ， 男， 硕士研究生 ， 四川南充人 ， 从 事最优化理论与方法研究
摘
要： 将一类特殊的带有 ｛ ＿ １ ， １ ｝ 二元约束的非凸三次优化 问题等价转化为带有 ｛ ＿ １ ， １ ｝ 二元约束的
非凸二 次规 划 问题 ， 并利 用 Ｒ ｏ ｃ ｋ ａ ｆ ｅ ｌ ｌ ａ ｒ 在 文 献《 ｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｘ Ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｓ ｉ ｓ ）中给 出的经 典 对偶理 论 ， 提 出 了该 非 凸二 次