小专题小专题：与椭圆有关的定点问题

小专题：与椭圆有关的定点问题
曲线过定点原理
(1)与椭圆有关的直线过定点：
①y－y0＝k(x－x0)表示过定点(x0，y0)的直线的方程；
例如．对任意实数a，直线y＝ax－3a＋2所经过的定点是________
②(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0表示过直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线的方程．
(2)与椭圆有关的圆过定点：
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(A1x＋B1y＋C1)＝0表示的是过直线A1x＋B1y＋C1＝0和圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆的方程．
一、直线过定点
方法一
例1【2017课标1，理20】已知椭圆C：
22
22
=1
x y
a b
（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），
P3（–1，
3
2
），P4（1，
3
2
）中恰有三点在椭圆C上.
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.
方法二
例2．如图，中心在坐标原点，焦点分别在x 轴和y 轴上的椭圆1T ，2T
都过点(0,M ，且椭圆1T 与2T
（Ⅰ）求椭圆1T 与椭圆2T 的标准方程；
（Ⅱ）过点M 引两条斜率分别为,k k '的直线分别交1T ，2T 于点P ，Q
当4k k '=时，问直线PQ 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
2.已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1。

（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若直线m kx y l +=:与椭圆C 相交于A 、B 两点（A 、B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。

求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。

定点的坐标为)0,7
2(
10．已知椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b y a x ，左焦点)0,3(-F ，且离心率2
3=e ．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若直线l ：m kx y +=（0≠k ）与椭圆C 交于不同的两点M ，N （M ，N 不是左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆C 的右顶点A ．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．
练习：已知椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为2，且过点1(
)22P ，记椭圆的左顶点为A ．
（1）求椭圆的方程；
（2）设垂直于y 轴的直线l 交椭圆于,B C 两点，试求ABC ∆面积的最大值；
（3）过点A 作两条斜率分别为12,k k 的直线交椭圆于,D E 两点，且122k k =，
求证: 直线DE 恒过一个定点．
12．已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b
y a x C ，经过点)22
,1(，且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形．
（1）求椭圆方程；
（2）过椭圆右顶点的两条斜率乘积为2
1
-
的直线分别交椭圆于N M ,两点，试问：直线MN 是否过定点？若过定点，请求出此定点，若不过，请说明理由．
方法提炼：
2．如图，中心在坐标原点，焦点分别在x 轴和y 轴上的椭圆1T ，2T
都过点(0,M ，且椭圆1T 与2T
（Ⅰ）求椭圆1T 与椭圆2T 的标准方程；
（Ⅱ）过点M 引两条斜率分别为,k k '的直线分别交1T ，2T 于点P ，Q
当4k k '=时，问直线PQ 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 解：（Ⅰ）222
21,1422
x y y
x +=+=；
（Ⅱ）直线MP 的方程为2y kx =-，联立椭圆方程得：
22
142x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩
，消去y 得22
(21)0k x +-=，则2
21P x k =+，则点P 的坐标为 222:(,2121P k k -++，同理可得点Q 的坐标为：222:(,22
Q k k ''-''++，
又4k k '=，则点Q 为：222(,8181k k -++，12PQ
k k ==-，
则直线PQ
的方程为：2221()21221
y x k k k --
=--++，即
222
1()21221y x k k k -=--++,
化简得12y x k =-， 即当0x =
时，y =，故直线PQ
过定点．
例2 如图，椭圆C ：22142
y x +=的左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线PA ，QA 分别与y 轴交于M ，N 两点．试问以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．
16．已知直线1y x =+被圆2232
x y +=截得的弦长恰与椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的
短轴长相等，椭圆C
的离心率e =．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）已知过点1(0,)3
M -的动直线l 交椭圆C 于,A B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使
得无论l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出点T 的坐标，若不存在，请说明理由。

解：（Ⅰ）由题设可求得1b =，
又2e =，
则a =所以椭圆C 的方程是
2212
x y +=． （Ⅱ）若直线l 与y 轴重合，则以AB 为直径的圆为
221x y +=，若直线l 垂直于y 轴，则以AB 为直径的圆为22116()39x y ++=，由22221
116
()39x y x y ⎧+=⎪
⎨++=
⎪⎩
，解得01x y =⎧⎨=⎩，由此可知所求点T 如果存在，只能是(0,1)．
事实上点(0,1)T 就是所求的点，证明如下：当直线l 的斜率不存在，即直线l 与y 轴重合时，
以AB 为直径的圆为
22
1x y +=，过点(0,1)T ；当直线l 的斜率存在，设直线方程为
13
y kx =-，代入椭圆方程并整理得
22(189)12160k x kx +--=，设点A B 、的坐标为
1122(,),(,)A x y B x y ，
则1221221218916189k x x k x x k ⎧
+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
，因为1122(,1),(,1)TA x y TB x y =-=-u u v u u v ， 所以有21212121212416
()1(1)()39
TA TB x x y y y y k x x k x x ⋅=+-++=+-+
222216161632160189
k k k k ---++==+，
【总结与反思】定点问题常见的2种解法：
(1)假设存在定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点； (2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意．
如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，其左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率e ＝1
2
，M ，N 是直线2
a x c
=上的两个动点，且1F M ·2F N ＝0． (1)求椭圆的方程； (2)求MN 的最小值；
(3)求以MN 为直径的圆C 是否过定点？请证明你的结论．
【解】(1)因为e ＝c a ＝1
2
，且过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，所以⎩⎪⎨⎪⎧
1a 2
＋9
4b 2
＝1，a ＝2c ，a 2
＝b 2
＋c 2
，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
b ＝ 3.
所以椭圆方程为x 24＋y 2
3＝1．
(2)由题可设点M (4，y 1)，N (4，y 2)．
又知F 1(－1，0)，F 2(1，0)，则1F M ＝(5，y 1)，2F N ＝(3，y 2)． 所以1F M ·2F N ＝15＋y 1y 2＝0，y 1y 2＝－15，y 2＝－15y 1
． 又因为MN ＝|y 2－y 1|＝⎪⎪⎪⎪－15y 1－y 1＝15
|y 1|＋|y 1|≥215，当且仅当|y 1|＝|y 2|＝15时取等号， 所以MN 的最小值为215．
(3)设点M (4，y 1)，N (4，y 2)，所以以MN 为直径的圆的圆心C 的坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫
4，y 1＋y 22，半径r
＝|y 2－y 1|2，所以圆C 的方程为(x －4)2＋⎝
⎛⎭⎪⎫y －y 1＋y 222＝(y 2－y 1)2
4， 整理得x 2＋y 2－8x －(y 1＋y 2)y ＋16＋y 1y 2＝0．
由(2)得y 1y 2＝－15，所以x 2＋y 2－8x －(y 1＋y 2)y ＋1＝0，
令y ＝0得x 2－8x ＋1＝0，所以x ＝4±15，所以圆C 过定点(4±15，0)．。