第二节双因素试验的方差分析
Bj 对试验指
在许多情况下，水平组合 Ai ,
Bj 的这种效应并不等
于水平 Ai 的效应 i 和 B j 的效应 j 之和．我们把效应
ij 减去 Ai 的效应 i 和 B j 的效应 j 所得到差 ij
称为 Ai 和 B j 对试验指标的交互作用的效应，简称交互 效应． 在多因素试验中， 通常把因素 A 与因素 B 对试验 指标的交互效应设想为某一新因素的效应．这个新因素 记作 A B ，称这个新因素 A 与 B 的交互作用．
rs 1
SE
SE r 1s 1
总和
ST
26
SB SA SA SB s 1 r 1 其中 FA ， FB ． SE SE SE SE r 1s 1 r 1s 1
为计算方便，常采用下列公式计算各偏差平方和．
2 T 2 ST X ij rs i 1 j 1 r s
1 r 2 T2 S A Ti s i 1 rs 1 s 2 T2 SB Tj r j 1 rs SE ST S A SB
27
其中
Ti X ij ，
j 1
s
T j X ij ，
i 1
r
T X ij
i 1 j 1
r
表示， 我们把试验结果 X ijk k 1, 看作是取自正态总体 X ij ~ N
,
ij
中的容
2
5
量为 t 的样本．将这些数据列成下表
因素
B 各水平
B1
B2
因素
A 各水平
Bs
A1
X111, X112 , , X11t
X121 , X122 , , X12t
X1s1 , X1s 2 , , X1st
6
由于 X ijk k 1,
2, , t 是取自总体 X ij 中的样本，则有
Xijk ~ N ij , 2
可将上式改写成如下形式：
i 1,
2, , r ;
j 1, 2, , s ，
ì ï X ijk = mij + eijk ï ï í ï eijk ~ N 0, s 2 ï ï î
下面我们分两种情况来讨论双因素试验方差分析．
13
一、无交互作用的双 因素试验方差分析
14
如果因素 A 与因素 B 之间不存在交互作用，则
ij 0 ，
于是
i 1,
2, , r ;
j 1, 2, , s ，
ij i j
即每种水平组合 Ai ,
Bj 下的总体平均值 ij 可以看成是总
2 SB r 1 FB ~ F s 1, SE r 1s 1
~ 2 s 1 ，而且 S B 与 S E 相互独立，从而
r 1s 1 ；
24
为此，选取 FA ， FB 分别作为检验假设 H 0 A ， H0 B 的统计 量．按照假设检验的程序，对显著性水平 ，确定临界值
2
设在某项试验中有两个因素 A ， B 在变化．因素 A 有 r 个不同的水平
A1, A2 , , Ar ，
因素 B 有 s 个不同水平
B1, B2 , , Bs ．
在水平组合 Ai ,
Bj 下的试验结果用 X ij 表示．
3
我们假定
X ij
i 1,
2, ,
r;
j 1,
2, ,
11
可以证明，
i 1
s
r
r
i
i 1
i
r r r 0 ，
j 1 r j j 1 s r i 1 j 1 ij
s
j
s s s 0 ，
s
i 1 j 1
ij
s i r j rs rs rs rs rs 0 ．
r s i 1 j 1
2
S A s X i X
r i 1 s
2
S B r X j X
j 1
2
21
由于 X i 是水平 Ai 下的所有观察值的平均，所以 反映了
X
r i 1
i
X
2
X1 , X 2 , , X r
之间的差异程度．这种差异是由于因素 A 的不同水平所引起的， 因此 S A 称为因素 A 的效应平方和，简称为因素 A 的平方和． 同样 的道理， S B 称为因素 B 的效应平方和，简称为因素 B 的平方和．
A2
X 211, X 212 , , X 21t
X 221 , X 222 , , X 22t
X 2s1, X 2s 2 , , X 2st
Ar
X r11, X r12 , , X r1t
X r 21, X r 22 , , X r 2t
X rs1 , X rs 2 , , X rst
s
相互独立，且服从正态分布 N
,
ij
2 ，
Bj 下进行 t 次
也 就 是 说 ， 我 们 共 有 rs 个 相 互 独 立 的 正 态 总 体 此外， 在假定每个水平组合 Ai , X ij ．
独立重复试验，
4
试验结果用
X ijk
k 1,
2, , t 2, , t
9
对于 ij 的上述表示式： ij ij i j ， 我们可以改写为
ij ij i j
ij i j
其中 ij 反映了水平组合 Ai , 标的总效应．
r s r s i 1 j 1 s i 1 j 1
2 X i X X j X ．
r i 1 j 1
20
可以证明，上述平方和分解中交叉项均为 0．所以 ST SE S A SB ， 其中
SE X ij X i X j
22
又由于
S E ST S A S B
这表明 S E 是从总离差平方和 ST 中扣 除因素 A ，B 的效应平方和 S A 和 S B 之后的残量，这一残量反映了随机误 差因素的影响，因此 S E 称为误差平 方和．
23
与单因素试验的方差分析的讨论相类似，可以证明以下结论： ①
2
SE
i 1 j 1
r
s
12
上式可以改写为
ij i j ij ，
于是我们得到双因素试验的方差分析模型：
X ijk i j ij ijk i 1, 2, , r ; j 1, 2, , s ; k 1, 2, , t 2 ijk ~ N 0, ， 且相互独立. s r s r i 0， j 0， ij 0. j 1 i 1 j 1 i 1
s
28
例 1 试验某种钢不同的含铜量在各种温度下的冲击值 kgm cm2 ， 其实测数据如下表， 试在 0.01 下 检验差异性是否显著？ 表 某种钢的铜含量与不同温度下的冲击值表
B 铜含量
A 试验温度
0 .2 %
第二节 双因素试验的方差 分析
1
在上一节介绍了单因素试验的方差分析方法．然 而在许多问题中，还需对多个因素的影响进行分 析．例如，在制定农业增产的生产规划时，对种子 品种与肥料类型做出最优选择是首先要解决的问 题．实践中常发生这样的情况：采用最优的种子与 肥料类型，可能由于搭配得当而获得较高的亩产 量．因而不仅需要分别研究不同品种的种子和不同 类型肥料对亩产量影响，还需要研究各品种的种子 与各类型肥料的不同搭配对亩产量的影响，这便是 双因素试验的方差分析要研究的问题．更一般地， 对多因素试验的问题还需考虑多因素试验的方差分 析．以下我们仅介绍双因素试验的方差分析方法．
~ 2 r 1s 1；
② 当 H 0 A 为真时，
2 SA r 1 FA ~ F r 1, SE r 1s 1
SB
SA
~ 2 r 1，而且 S A 与 S E 相互独立，从而
r 1s 1 ；
③ 当 H0 B 为真时，
上式就是无交互作用的双因素试验方差分析的数学模型．
16
由上式可知， 为判断 A 对试验指标的影响是否显 著，即等价于检验假设
H0 A : 1 2 r 0 ．
类似地，判断因素 B 对试验指标的影响是否显著， 即等价于检验假设
H0 B : 1 2 s 0 ．
方差来源 平方和 自由度
无交互作用的双因素试验方差分析表
均方
F
值
临界值
显著性
因素 A
SA
r 1
S SA A r 1 S SB B s 1
FA
F r 1,
r 1 s 1 r 1 s 1
因素 B
SB
s 1
FB
F s 1,
误差
SE
r 1s 1
1 r j ij r i 1
8
i i ，
i 1, j 1,
2, , r 2, , s
j j ，
ij ij i j ，
其中 称为总平均，i 称为因素 A 的第 i 个水平 Ai 的效应， j 称为因素 B 的第 j 个水平 B j 的效应．
(
)
(i = 1,
2, L , r ; j = 1, 2, L , s ; k = 1, 2, L , t
双因素试验的方差分析
i 1
j 1
要判断因素A，B及交互作用AB对试验结果是否 有显著影响，即为检验如下假设是否成立：
H01 :1 2 a 0
H02 : 1 2 b 0
H03 : ij 0 i 1, 2, , a; j 1, 2, ,b
➢ 总离差平方和的分解定理 仿单因素方差分析的方法，考察总离差平方和
a
Ti.2
b,
i1
p T 2 ab ,
DB
b
T.
2 j
a,
j1
ab
R
X
2 ij
i1 j1
例1 设甲、乙、丙、丁四个工人操作机器Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ各一天， 其产品产量如下表，问工人和机器对产品产量是否有显著 影响？
机器 B 工人 A
ⅠⅡ
Ⅲ
甲
50 63 52
乙
47 54 42
丙
47 57 41
F值
F 值临介值
因素A 因素B
SS A SSB
df A
MS A
SS A df A
FA
MS A MSE
df B
MSB
Байду номын сангаас
SSB df B
FB
MSB MSE
F (a 1 ,
ab n 1) F (b 1 ,
ab n 1)
A B
误差 总和
SS AB
SSE SST
df AB df E dfT
MS AB SS AB
F0.01 3,6 9.78 F0.05 3,6 4.76 F0.01 2,6 10.92
FB F0.01 2,6
结论：工人对产品的产量有显著影响， 机器对产品的产量有极显著影响。
02 第二节 双因素试验的方差分析
第二节双因素试验的方差分析在许多实际问题中，往往要同时考虑两个因素对试验指标的影响. 例如，要同时考虑工人的技术和机器对产品质量是否有显著影响. 这里涉及到工人的技术和机器这样两个因素. 多因素方差分析与单因素方差分析的基本思想是一致的，不同之处就在于各因素不但对试验指标起作用，而且各因素不同水平的搭配也对试验指标起作用. 统计学上把多因素不同水平的搭配对试验指标的影响称为交互作用. 交互作用的效应只有在有重复的试验中才能分析出来.对于双因素试验的方差分析，我们分为无重复和等重复试验两种情况来讨论. 对无重复试验只需要检验两个因素对试验结果有无显著影响；而对等重复试验还要考察两个因素的交互作用对试验结果有无显著影响.内容分布图示★引言★无重复试验双因素方差分析★例1★例2等重复试验双因素方差分析★数学模型★数学模型的改进★偏差平方和及其分解★偏差平方和的统计特征★检验方法★例3★例4★内容小结★习题8-2内容要点：一、无重复试验双因素方差分析设因素A，B作用于试验指标。
因素A有r个水平A1，A2， ，Ar，因素B有s个水平B1，B2， ，Bs. 对因素A，B的每一个水平的一对组合（Ai，Bj），(i=1，2， ，r，j=1，2， ，s)只进行一次实验，得到rs个试验结果ijX，列于下表中表8-2-11. 假设前提与单因素方差分析的假设前提相同，仍假设： 1) ),(~2σμij ij N X ，2,σμij 未知，.,,1;,,1s j r i == 2) 每个总体的方差相同；3) 各ij X 相互独立，.,,1;,,1s j r i ==那么，要比较同一因素的各个总体的均值是否一致，就是要检验各个总体的均值是否相等，故检验假设为：j rj j j A H ⋅====μμμμ 210: ,,,1s j =⋅====i is i i B H μμμμ 210: .,,1r i = 备择假设为不全相等。
双因素试验的方差分析
2
j 1
误差平方和： S
E
i 1
( x ijk X
ij
)
j 1 k 1
③计算自由度
SA的自由度：r－1 SB的自由度：s－1 SA×B的自由度： (r－1)(s－1) Se的自由度：rs(t －1)
ST的自由度：rst－1
(4) F检验
FA
S A /( r 1) S E /( rs ( t 1))
r
j 1 k 1
因素A的效应平方和： 因素B的效应平方和： A，B交互效应平方和：
S A B t
i 1 r
S A st ( X
S B rt ( X
j 1
i
X)
2
i 1 s
j
X )
2
r
s
(X
s
ij
X
t
i
X j X )
X 2 1 1 , X 2 1 2 , ..., X 2 1 t
A2 … Ar
x 221 , x 222 , ..., x 22 t
… … …
…
…
…
X rs 1 , X rs 2 , ..., X rst
X r 11 , X r 12 , ..., X r 1 t X r 2 1 , X r 2 2 , ..., X r 2 t
总和
ST
rs－1
（3）双因素无重复试验方差分析表 双因素无重复试验方差分析表 方差 来源 因素A
平方 和
SA
自由度
r－ 1
均方
SA SA r 1
双因素试验的方差分析
双因素试验的方差分析（一）摘要：实际问题中往往要同时考虑两个因素对试验指标的影响，此时即使用双因素方差分析。
主要方法为建立合适的假设，并对分析已有数据的各部分方差平方和、自由度、均方，求得F 比后利用检验方法判断原假设是否成立。
双因素试验的方差分析可分为无重复试验和等重复试验两部分讨论，无重复试验只需检验两个因素对实验结果有无显著影响，等重复试验还要考虑两个因素的交互作用对实验结果有无显著影响。
（二）关键词：双因素 方差分析 EXCEL 应用（三）引言：在科学试验和生产实践中，影响一事物的因素往往是很多的。
每一因素的改变都有可能影响产品的数量和质量。
有些因素影响较大，有些较小，为了优化生产过程，通过进行试验找出对产品质量有显著影响的那些因素。
根据试验结果进行分析，鉴别各个有关因素对实验结果影响的有效方法即为方差分析。
本文双因素方差分析同时考虑两个因素的影响，涉及因素间的交互作用，在实际生产实践中较为实用。
（四）算法原理：双因素方差分析有两种类型：一个是无交互作用的双因素方差分析，它假定因素A 和因素B 的效应之间是相互独立的，不存在相互关系；另一个是有交互作用的双因素方差分析，它假定因素A 和因素B 的结合会产生出一种新的效应。
（一）双因素等重复试验的方差分析设有两个因素A ，B 作用于试验的指标。
因素A 有r 个水平,,...,,21r A A A 因素B 有s 个水平.,...,21s B B B 现对因素A,B 的水平的没对组合（j i B A ,），i=1,2,...r,j=1,2,...,s 都作(t ≥2)次试验（称为等重复试验），得到如下表的结果。
因 素A 因素B1B 2B......s B 1AtX X X 11112111...,,,tX X X 12122121...,,,...... sts s X X X 12111...,,,2A t X X X 21212211...,,,t X X X 22222221...,,,...... st s s X X X 22212...,,,........................s Atr r r X X X 11211...,,,tr r r X X X 22221...,,,...... rstrs rs X X X ...,,,21并设),(~2σμij ijk N X ，r i ,...,2,1=;s j ,...,2,1=;t k ,...,2,1=,各ijk X 独立。
交互作用双因子方差分析
st
xijk
j1 k 1
称为水平 Ai 下的样本均值；
x• j•
1 rt
r i1
t
xijk
k 1
称为水平 B j 下的样本均值。
r s t
考虑总变差平方和 ST 2 xijk x 2 的如下分解：
i1 j1 k 1
r s t
ST 2
xijk x 2
i1 j1 k1 rst
若 H01 成立，即 1 2 r 0 ，那么，虽然 不能苛求做为诸i 的估计值之平方和的若干倍的S A2
rst
r
（ xi•• x 2 st xi•• x 2 ）恰好等于零，
i1 j1 k 1
i 1
但相对于 SE
2
来说一定不应太大，倘若
SA2 SE2
超过某个界
限值k1 ，我们就有理由拒绝H01 ，故
0.
s
类似地，由 j
j 1
s j 1
u• j u
1 r
s j 1
r i 1
uij
su
0
r
r
r
ij uij ui• u• j u uij u• j ru• j ru• j 0
i 1
i 1
i 1
s
s
s
ij uij ui u• j u uij ui• sui• sui• 0
2
=
xijk xij• xi•• x x• j• x xij• xi•• x• j• x
i1 j 1 k 1
r s t
rst
rst
xijk xij• 2 xi•• x 2 x• j• x 2
i1 j1 k 1
i 1 j 1 k 1
第二节 双因素方差分析 PPT课件
分析步骤
(构造检验的统计量)
计算均方(MS)
行因素的均方，记为MSR，计算公式为
MSR SSR k 1
列因素的均方，记为MSC ，计算公式为
MSC SSC r 1
误差项的均方，记为MSE ，计算公式为
MSE SSE (k 1)(r 1)
分析步骤
(构造检验的统计量)
replication )
双因素方差分析的基本假定
1. 每个总体都服从正态分布 对于因素的每一个水平，其观察值是来自正态分布
总体的简单随机样本
2. 各个总体的方差必须相同 对于各组观察数据，是从具有相同方差的总体中抽
取的
3. 观察值是独立的
无交互作用的双因素方差分析 (无重复双因0
343
340
品牌2
345
368
363
330
品牌3
358
323
353
343
品牌4
288
280
298
260
地区5 323 333 308 298
数据结构
分析步骤
(提出假设)
• 提出假设
– 对行因素提出的假设为
• H0：m1 = m2 = … = mi = …= mk (mi为第i个水平的
平方和 自由度 误差来源
均方
(SS) (df) (MS)
F值
P值
F 临界值
行因素 SSR
MSR k-1 MSR
MSE
列因素 SSC
MSC r-1 MSC
MSE
误差
SSE (k-1)(r-1) MSE
总和 SST kr-1
双因素方差分析
(例题分析)
双因素的方差分析
双因素的多重比较方法生物工程 10212575 陈晓穗摘要：本文首先扼要地介绍了多重比较的方法种类，其次引用了一个实例具体地展示了无交叉相互作用的双因素的多重比较方法。
关键词：最小显著差数法 最小显著极差法 双因素 多重比较1.前言用方差分析检验样本的差异是否显著后，获得了显著或极显著的结论。
此时人们便想进一步的了解具体到哪些平均数间有显著差异，哪些不显著。
这就有必要进行两两地比较平均数，以判断这两组数据的显著差异性。
统计学把多个平均数两两间互相比较称为多重比较。
多重比较常有的方法有：最小显著差数法和最小显著极差法。
2．多重比较法 2.1 多重比较法的种类 2.1.1 最小显著差数法最小显著差数法，简称LSD 。
它其实只是t 检验的一个简单变形,并未对检验水准做出任何校正,只是在标准误的计算上充分利用了样本信息, 为所有组的均数统一估计出了一个更为稳健的标准误,其中MS 误差是方差分析中计算得来的组内均方,它一般用于计划好的多重比较。
由于单次比较的检验水准仍为α,因此可认为LSD 法是最灵敏的。
此法的基本作法是：在F 检验显著的前提下，先计算出显著水平为α的最小显著差数αLSD ，然后将任意两个处理平均数的差数的绝对值..j i x x -与其比较。
若..j i x x -＞LSDa 时，则.i x 与.j x 在α水平上差异显著；反之，则在α水平上差异不显著。
最小显著差数由..)(j i e x x df a a S t LSD -=计算。
式中)(e df t α为在F 检验中误差自由度下，显著水平为α的临界t 值，..j i x x S -为均数差异标准误，由n MS S e x x j i /2..=-算得。
其中e MS 为F 检验中的误差均方，n 为各处理的重复数。
当显著水平α=0.05和0.01时，从t 值表中查出)(05.0e df t 和)(01.0e df t ，代入式得：....)(01.001.0)(05.005.0ji e ji e x x df x x df S t LSD S t LSD --==2.1.2 最小显著极差法最小显著极差法，简称LSR 。
双因素和多因素方差分析
H01：i 0, H A1：i 0 H02：i 0, H A2：i 0 H03：（ ）ij 0，HA3：（ ）ij 0，其中i 1,2，...,a; j 1,2，...,b
3、检验统计量的计算
在F检验时，A因素、B因素和互作效应的检验统计量均以 MSe做分母：FA=MSA/MSe FB=MSB/MSe FAB=MSAB/MSe
添加剂B 添加剂A
1 2 3 4
不同条件下大白鼠增量/g
1
2
3
4
32，36 28，22 18，16 23，21
26，24 29，33 27，23 17，19
33，39 30，24 33，37 23，27
39，43 31，35 28，32` 36，34
该实验有可能属于哪几种模型？前提是什么？ 如果认为是随机模型，设置重复与不设重复对
随机误差项平方和
a bn
SSe
（y ij k
y
）2
ij
i1 j 1 k 1
2、平方和的分解
与平方和相应的自由度分别为： 总自由度：dfT=abn-1 A因素处理间自由度：dfA=a-1 B因素处理间自由度：dfB=b-1 交互作用自由度：dfAB=(a-1)(b-1) 处理内自由度：dfe=ab(n-1) dfT=dfA+dfB+dfAB+dfe
┆
…
┆
Aa 和
ya11 ya12 ┆ ya1n
y.1.
ya21 ya22 ┆ ya2n
y.2.
… …
yab1 yab2 ┆ yabn
y.b.
和 y1..
y2.. ┆ ya.. y…
双因素试验方差分析
SS E df E
SST
注意
df E dfT df A f B , SSE SST SSA SSB
各因素离差平方和的自由度为水平数减一，总平方 和的自由度为试验总次数减一。
双因素（无交互作用）试验的方差分析表
简便计算式：
SS A DA p, SSB DB p
双因素试验的方差分析
在实际应用中，一个试验结果（试验指标）往往 受多个因素的影响。不仅这些因素会影响试验结果， 而且这些因素的不同水平的搭配也会影响试验结果。 例如：某些合金，当单独加入元素A或元素B时， 性能变化不大，但当同时加入元素A和B时，合金性 能的变化就特别显著。 统计学上把多因素不同水平搭配对试验指标的 影响称为交互作用。交互作用在多因素的方差分析 中，把它当成一个新因素来处理。 我们只学习两个因素的方差分析，更多因素的 问题，用正交试验法比较方便。
双因素无重复（无交互作用）试验资料表
因素 B 因素 A
B1
X 11 ... X a1
B2
X 12 ... X a2
... Bb
... ... ... X 1b ... X ab
Ti. X ij X i. T b i.
j 1
b
A1 ... Aa
a b i 1 j 1
1 b i ij i 水平Ai对试验结果的效应 a j 1 1 a j ij j 水平Bj对试验结果的效应 b i 1 试验误差 ij X ij ij
特性：
i 1
a
i
0;
j 1
b
j
0; ij ~ N 0,
双因素试验方差分析课件
未来将结合其他统计方法，如回归 分析、聚类分析等，以更全面地揭 示多因素对试验结果的影响。
THANKS
感谢您的观看
重复原则
在相同条件下重复进行试 验，提高试验的可靠性和 准确性。
对照原则
设置对照组，以消除非试 验因素的影响，突出试验 因素的作用。
试验的分类
STEP 02
STEP 03
多因素试验
同时考虑多个因素对试验 结果的影响。
STEP 01
双侧双因素试验
同时考虑两个因素对试验 结果的影响。
单侧双因素试验
只考虑两个因素中的一个 因素对试验结果的影响。
结果解释
根据方差分析的结果，解释各因素 对观测值的影响程度和显著性，得 出结论。
双因素试验方差分析的注意事项
数据的正态性和同方差性
样本量和试验精度
在进行方差分析之前，需要检验数据 是否符合正态分布和同方差性，以确 保分析结果的准确性。
适当增加样本量可以提高试验精度和 降低误差，对方差分析的结果产生积 极影响。
方差分析的步 骤
01
02
03
04
计算平均值和方差
计算各组的平均值和方差。
检验假设条件Βιβλιοθήκη 检查是否满足方差分析的假设 条件。
进行方差分析
使用适当的统计软件或公式进 行方差分析，并解释结果。
结论与建议
根据分析结果得出结论，并提 出相应的建议。
双因素试验方差分析
双因素试验方差分析的步骤
确定试验因素
明确试验的两个因素，并确定每个 因素的取值水平。
试验设计
根据试验目的和因素水平进行试验 设计，确保每个因素的每个水平都 被充分考虑。
数据收集