试题 福州一中数学高考模拟试题
2023-2024学年福建省福州市高考数学押题模拟试题(一模)含答案
2023-2024学年福建省福州市高考数学押题模拟试题（一模）一、单选题1．已知集合{}|e 1xN x =>，若集合M 满足N M M = ，则M 可能是（）A ．{}0,1,2,3B ．{}2|9x x =C ．{|3}x x ≥D ．R【正确答案】C【分析】解指数不等式得到集合N ，根据交集运算性质得M N ⊆，逐项判断即可.【详解】因为{}|e 1{|0}xN x x x =∈>=>R ，又N M M = ，即M N ⊆，因为0N ∉，所以A 与D 选项集合不符合，因为3N -∉，所以B 选项集合不符合，所以C 正确.故选：C 2．若复数z 满足1iz+为纯虚数，且2z =，则z 的虚部为（）A ．±1B．CD ．1【正确答案】B【分析】设()i ,z a b a b =+∈R ，利用复数除法运算和向量模长运算可构造方程求得b 的值，即为所求虚部.【详解】设()i ,z a b a b =+∈R ，()()()()i 1i i 1i 1i 1i 22a b z a b b a +-+-==+++- 为纯虚数，022a bb a +⎧=⎪⎪∴⎨-⎪≠⎪⎩，a b ∴=-，又i 2z a b =-=，22b ∴=，解得：b =z ∴的虚部为.故选：B.3．已知2OA AB == ，1OB =uu u r ，则3OA OB +=()A ．2B ．4CD【正确答案】B【分析】由2AB OB OA =-= 求得OA OB ⋅，再由3OA OB + 答案.【详解】∵2AB OB OA =-= ，∴2222524OB OA OB OA OB OA OA OB -=-⋅+=-⋅=，则12OA OB ⋅= .∴2221369469162OA OB OA OA OB OB +=+⋅+=+⨯+= ，故34OA OB += .故选：B.4．如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3，且120ABC ∠=︒，则该圆台的体积为（）A B C D 【正确答案】C【分析】根据给定条件，求出圆台的上下底面圆的半径，再求出圆台的高并结合圆台的体积公式求解作答.【详解】设圆台上底面圆半径为1r ，下底面圆半径为2r ，依题意，12π2π13r =⨯，且22π2π33r =⨯，解得121,13r r ==，而圆台的母线长312l AD ==-=，因此圆台的高h =所以圆台的体积22221122ππ11()[()11]3333381V h r r r r =++=⨯+⨯+=.故选：C5．某国军队计划将5艘不同的军舰全部投入到甲，乙，丙三个海上区域进行军事演习，要求每个区域至少投入一艘军舰，且军舰A 必须安排在甲区域，则甲区域还有其它军舰的安排方案共有（）A ．14种B ．24种C ．36种D ．50种【正确答案】C【分析】按甲区域还有其它几艘军舰进行分情况讨论求解.【详解】依题意，甲区域除军舰A 外至少还有一艘军舰，至多还有两艘军舰.若甲区域除军舰A 外还有一艘军舰，则安排方案共有11224322C C C A 24⨯⨯⨯=种；若甲区域除军舰A 外还有两艘军舰，则安排方案共有2242C A 12⨯=种；所以甲区域还有其它军舰的安排方案共有241236+=种.故选：C6．2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽脱贫攻坚取得重大胜利！为进步巩固脱贫攻坚成果，接续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金500万元，资金年平均增长率可达到20%．每年年底扣除下一年必须的消费资金后，剩余资金全部投入再生产为了实现5年后投入再生产的资金达到800万元的目标，每年应扣除的消费资金至多为（）（单位：万元，结果精确到万元）（参考数据：41.2 2.07≈，51.2 2.49≈）A ．83B ．60C ．50D ．44【正确答案】B【分析】由题可知5年后投入再生产的资金为：5432500(120%)(120%)(120%)(120%)(120%)800x x x x x +-+-+-+-+-=，即求.【详解】设每年应扣除的消费资金为x 万元，则1年后投入再生产的资金为：500(120%)x +-，2年后投入再生产的资金为：2[500(120%)](120%)500(120%)(120%)x x x x +-+-=+-+-，L5年后投入再生产的资金为：5432500(120%)(120%)(120%)(120%)(120%)800x x x x x +-+-+-+-+-=∴551.215001.28001.21x -=⨯--，∴60x ≈.故选：B7．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，F 为其左焦点，直线()0y kx k =>与椭圆C 交于点A ，B ，且AF AB ⊥．若30ABF ∠=︒，则椭圆C 的离心率为（）A ．3B ．3C ．6D ．6【正确答案】A【分析】设椭圆的右焦点为2F ，连接2AF ，2BF ，设AF m =，根据余弦定理得到222849ac =，计算得到离心率.【详解】设椭圆的右焦点为2F ，连接2AF ，2BF ，故四边形2AFBF 为平行四边形，设AF m =，30ABF ∠=︒，则2FB m =，2BF AF m ==，222BF BF m m a +=+=，23m a =，2BFF △中，()222424222cos1203333c a a a ⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯⨯︒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得到222849a c =，即3c =，故3c e a ==.故选：A8．已知a ，b ，c 均为负实数，且1ln 23a a +=+，1ln 34b b +=+，12e 1c c -=-，则（）．A ．b a c <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．a c b<<【正确答案】A【分析】对,,a b c 变形，构造()()ln 1f x x x =-+，则()()2f a f =，()()3f b f =，()()1f c f =，求导得到函数单调性，数形结合得到b a c <<.【详解】由1ln 23a a +=+，得()2ln 3ln 1a a =-++，于是()ln 12ln 3a a -+=-．同理由1ln34b b +=+，可得()ln 13ln 4b b -+=-．对于12e 1c c -=-，可得112e c c -+=，两边同时取对数得()ln 1ln 21c c +=+-，于是()ln 11ln 2c c -+=-．构造函数()()ln 1f x x x =-+，则()()2f a f =，()()3f b f =，()()1f c f =．因为()()11xf x x x '=>-+，所以当10x -<<时，()0f x '<，()f x 在()1,0-内单调递减，当0x >时，()0f x ¢>，()f x 在()0,∞+内单调递增，所以()()()123f f f <<，又a<0，0b <，0c <，如图所示，故b a c <<．故选：A构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题中变形得到()ln 12ln 3a a -+=-，()ln 13ln 4b b -+=-，及()ln 11ln 2c c -+=-，从而达到构造出适当函数的目的.二、多选题9．某调查机构对我国若干大型科技公司进行调查统计，得到了从事芯片、软件两个行业从业者的年龄分布的饼形图和“90后”从事这两个行业的岗位分布雷达图，则下列说法中一定正确的是（）A ．芯片、软件行业从业者中，“90后”占总人数的比例超过50%B ．芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”人数超过总人数的25%C ．芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多D ．芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”的总人数多【正确答案】ABD【分析】根据饼形图和“90后”从事这两个行业的岗位分布雷达图，对四个选项一一进行计算，得到答案.【详解】A 选项，从饼形图可看出芯片、软件行业从业者中，“90后”占总人数的比例为55%，超过50%，A 正确；B 选项，芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”人数比例为()55%37%13%=27.5%⨯+，超过总人数的25%，B 正确；C 选项，芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”人数占比为55%37%=20.35%⨯，芯片、软件行业从业者中“80后”占总人数的0040，但不知道从事技术岗位的比例，故无法确定两者人数的多少，C 错误；D 选项，芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数占比为55%14%=7.7%⨯，“80前”占总人数的5%，故D 正确.故选：ABD10．已知函数()f x =）A ．π为()f x 的一个周期B ．()f x 的图像关于直线π2x =对称C ．()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．()f x 的值域为2⎤⎦【正确答案】ABD【分析】利用验证法选项AB ，在定义区间内化简函数解析式，判断单调性并求值域.【详解】因为()()πf x f x +==，所以π为()f x 的一个周期，故A 正确；因为()()πf x f x -===，所以()f x 的图像关于直线π2x =对称，故B 正确；因为当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π0,24x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，()sin cos cos sin 2cos 22222x x x x x f x ==++-=，故()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 错误；因为()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围为2⎤⎦，因为()f x 关于直线π2x =对称，所以()f x 在[]0,π上的取值范围为2⎤⎦，又()f x 的周期为π，所以()f x 在整个定义域上的值域为2⎤⎦，故D 正确．故选：ABD ．11．如图，在矩形AEFC中，AE =EF =4，B 为EF 中点，现分别沿AB 、BC 将△ABE 、△BCF 翻折，使点E 、F 重合，记为点P ，翻折后得到三棱锥P -ABC ，则（）A ．三棱锥-P ABC的体积为3B ．直线PA 与直线BC所成角的余弦值为6C ．直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为13D ．三棱锥-P ABC外接球的半径为2【正确答案】BD【分析】证明BP ⊥平面PAC ，再根据P ABC B PAC V V --=即可判断A ；先利用余弦定理求出cos APC ∠，将BC 用,PC PB表示，利用向量法求解即可判断B ；利用等体积法求出点A 到平面PBC 的距离d ，再根据直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为dPA即可判断C ；利用正弦定理求出PAC △的外接圆的半径，再利用勾股定理求出外接球的半径即可判断D.【详解】由题意可得,BP AP BP CP ⊥⊥，又,,,,AP CP P AP CP P AP CP ⋂==⊂平面PAC ，所以BP ⊥平面PAC ，在PAC △中，PA PC ==，AC=，所以114232P ABC B PAC V V --==⨯⨯⨯=A 错误；对于B ，在PAC △中，1cos 3APC ∠=，4BC ==cos ,PA PC PB PA BC PA BC PA BC⋅-⋅==136，所以直线PA与直线BC 所成角的余弦值为6，故B 正确；对于C，12PBC S PB PC =⋅= ，设点A 到平面PBC 的距离为d ，由B PAC A PBC V V --=，得133⨯=，解得d =，所以直线PA 与平面PBC所成角的正弦值为3dPA =，故C 错误；由B 选项知，1cos 3APC ∠=，则sin 3APC ∠=，所以PAC △的外接圆的半径12sin AC r APC =⋅=∠设三棱锥-P ABC 外接球的半径为R ，又因为BP ⊥平面PAC ，则22219111222R r PB ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，所以2R =，即三棱锥-P ABC外接球的半径为2，故D 正确.故选：BD.12．设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且()13P A =，()34P B =，()12P A B +=，则（）A ．()16P AB =B ．()34P B A =C ．()()P B P B A =D ．()712P AB AB +=【正确答案】BCD【分析】利用和事件的概率公式和条件概率公式可得.【详解】对于A ：()()()()P A B P A P B P AB +=+-，()111234P AB =+-，所以()112P AB =，故A 错误；对于B ：()()()P AB P AB P A += ，()11123P AB ∴+=，∴()14P AB =，()()()134143P AB P B A P A ===，故B 正确；对于C ：1()112()1()43P AB P B A P A ===，()14P B =，∴()(P B A P B =，故C 正确.对于D ：()()()()112P AB AB P AB P AB P AB +=+=+，()()()P B P AB P AB =+ ，∴()3144P AB =+，∴()12P AB =，∴()11712212P AB AB +=+=，所以D 正确.故选：BCD.三、填空题13．已知按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27，30，37，a ，40，50；乙组：24，b ，33，44，48，52．若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数分别对应相等，则a ，b 的平均数等于__________．【正确答案】35【分析】分别求出甲组、乙组第30百位数、第50百分位数分别对应相等，可得a 、b ，再求平均数即可.【详解】因为甲乙两组都有6个数据，30%6 1.8⨯=，50%63⨯=，甲组第30百位数为30，第50百分位数为372a+，乙组第30百位数为b ，第50百分位数为33447722+=，因为这两组数据的第30百分位数、第50百分位数分别对应相等，所以30b =，377722a +=，即40a =，所以703522a b +==.故答案为.3514．写出曲线e 1x y =-与曲线()ln 1y x =+的公切线的一个方向向量______.【正确答案】()1,1（与()1,1共线的非零向量均可）【分析】先利用导数求得曲线e 1x y =-与曲线()ln 1y x =+的公切线方程，进而求得该公切线的一个方向向量.【详解】设曲线e 1x y =-上的切点为11(,e 1)xx -，e xy '=曲线()ln 1y x =+上的切点为22(,ln(1))x x +，11y x '=+则11122211e 1ln(1)(e 1)e x x x x x x x ⎧=⎪+⎪⎨+--⎪=⎪-⎩，两式相减整理得122(1)ln(1)x x x =-++，代入上式得2(1)122(1)(1)x x x -+-+=+，解之得20x =，则10x =，则曲线e 1x y =-与曲线()ln 1y x =+的公切线的公切点为(0,0)，则切线斜率为1，切线方程为0x y -=，则公切线的一个方向向量为()1,1故()1,115．已知抛物线24y x =与圆22(1)1x y -+=，过抛物线的焦点F 作斜率为k 的直线l 与抛物线交于,A D 两点，与圆交于,B C 两点（,A B 在x 轴的同一侧），若4AB CD =，则2k 的值是___________．【正确答案】8【分析】根据给定条件，写出直线l 的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理并结合圆的性质及向量等式求解作答.【详解】抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，准线方程为=1x -，于是直线l ：(1)y k x =-，显然0k ≠，由2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩消去y 得：2222(24)0k x k x k -++=，设1122(,),(,)A x y D x y ，则1212242,1x x x x k+=+=，又圆22(1)1x y -+=的圆心为(1,0)F ，半径为1，由4AB CD =，得|4|||AB CD = ，即||14(||1)AF DF -=-，于是12(1)14[(1)1]x x +-=+-，整理得124x x =，又121=x x ，解得1212,2x x ==，则1224522x x k +=+=，解得28k =，所以2k 的值是8.故8四、双空题16．将函数()π()2sin 32f x x ϕϕ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π9个单位长度，得到的函数()g x 的图象关于点11π,018⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，且()g x 在区间,m m ϕϕ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则ϕ=__________,实数m 的取值范围是__________.【正确答案】2π/12π9(,2-∞-【分析】由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，得到()g x 的表达式，根据其对称中心可求得π2ϕ=±，再利用其单调区间，分类讨论，求出m 的范围，即可确定答案.【详解】将函数π()2sin(3)(||)2f x x ϕϕ=+≤的图象向右平移2π9个单位长度，得到的函数2π()2sin(33)9g x x ϕ=-⨯+的图象关于点11π(,0)18-对称，11π2π3()π,Z 183k k ϕ∴⨯--+=∈，即5ππ,Z 2k k ϕ=+∈，因为π||2ϕ≤，则π2ϕ=±，若π2ϕ=，则π()2sin(3)6g x x =-，()g x 在区间ππ(,)(,),(R)22m m m m mϕϕ-=-∈上单调递增，0m ∴<，当ππ(,)22x m m ∈-，π9ππ9ππ3(,)666m m x m m ----∈，9πππ62m m -∴≥-，且9πππ62m m --≤，即92m ≤-，且94m ≤-，92m ∴≤-；若π2ϕ=-，则7π()2sin(3)6g x x =-，()g x 在区间ππ(,)(,),(R)22m m m m mϕϕ-=-∈上单调递增，0m ∴>，当ππ(,)22x m m ∈-，7π9π7π9π7π3(,)666m m x m m----∈，9π7ππ62m m --≥-，且9π7ππ62m m -≤，即94m ≤-且910m ≥，故m ∈∅；综上可得，π2ϕ=，92m ≤-.故π2；9(,]2-∞-难点点睛：根据三角函数的平移变换可得到平移后的函数解析式，根据对称中心可求得π2ϕ=±，难点就在于这两个值的取舍，要根据函数的单调区间求得参数m 的范围，即可确定答案.五、解答题17．设n T 为数列{}n a 的前n 项积．已知112n nn na a T T ++-=．(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列23n T n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和．【正确答案】(1)2121n n a n -=+；(2)69nn +.【分析】（1）利用给定的递推公式，结合前n 项积的意义求解作答.（2）由（1）的结论求出n T ，再利用裂项相消法求解作答.【详解】（1）依题意，{}n n a T 是以1为首项，2为公差的等差数列，则1(1)221n na n n T =+-⋅=-，即(21)n n n T a -=，当2n ≥时，有11(23)n n n T a ---=，两式相除得，1(21)23n n n n a an a --=-，显然0n T ≠，即0n a ≠，因此当2n ≥时，121123n n n a --=-，即12321n n a n --=-，所以数列{}n a 的通项公式2121n n a n -=+.（2）设{}23n T n +的前n 项和为n S ，由（1）得，21n n a T n =-，于是121n T n =+，因此1111()23(21)(23)22123n T n n n n n ==-+++++，则1111111111()()23557212323233(23)n n S n n n n =-+-+-=-=++++ ，所以数列{}23n T n +前n 项和为69nn +.18．ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知c ，且ABC 的面积2224b c a S +-=.(1)求C ；(2)若ABC 内一点P 满足 AP AC =， BP CP =，求PAC ∠.【正确答案】(1)π2C =(2)π6PAC ∠=【分析】（1）利用三角形的面积公式以及余弦定理可求得tan A 的值，可求得角A 的值，由c =结合正弦定理求出sin C 的值，结合角C 的取值范围可求得角C 的值；（2）设PAC θ∠=，可得出π2ACP APC θ-∠=∠=，2BCP θ∠=，在APC △、BPC △分别利用正弦定理可求得sin θ的值，结合θ的取值范围可求得角θ的值.【详解】（1）解：由余弦定理得2221cos 42b c a S bc A +-==，因为1sin 2S bc A =，所以sin cos A A =，因为()0,πA ∈，则cos sin 0A A =>，所以tan 1A =，所以π4A =，因为c，所以πsin 14C A ===，因为()0,πC ∈，所以π2C =.（2）解：由（1）知π4A =，π2C =，所以ππ4B AC A =--==，所以b a =，设PAC θ∠=，因为AP AC =，所以π2ACP APC θ-∠=∠=，因为π2C =，所以π22BCP ACP θ∠=-∠=，因为在APC △中AP AC =，由正弦定理πsin sin2PC ACθθ=-可得2sincossin 222sin 2sin 22coscos22AC AC PC b a θθθθθθθ====，在BPC 中，BP CP =，则2PBC PCB θ∠=∠=，则π2π2BPC θθ∠=-⨯=-，由正弦定理()sin πsin 2PCBC θθ=-，即2sin 2sin sin 2a a θθθ=，所以，1sin 2θ=，因为π0,4PAC θ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，所以π6PAC θ∠==.19．某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次数学知识竞赛.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩（单位：分），并以此为样本绘制了如下频率分布直方图.(1)求该100名学生竞赛成绩的中位数；（结果保留整数）(2)从竞赛成绩在(](]40,50,50,60的两组的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记竞赛成绩在(]40,50的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望()E X ；(3)以样本的频率估计概率，从[]30,50随机抽取20名学生，用()P k 表示这20名学生中恰有k 名学生竞赛成绩在[]30,40内的概率，其中0,1,2,,20k = ．当()P k 最大时，求k .【正确答案】(1)64(2)分布列见解析，65(3)6k =或7k =【分析】（1）利用给定的频率分布直方图，由中位数的意义以及计算公式，代入计算即可得到结果；（2）利用分层抽样求出成绩在(]40,50，(]50,60内的人数，再求出X 的可能值及对应概率，列出分布列并求出期望作答；（3）随机抽一名学生，求出成绩在[]30,40的概率，再利用独立重复试验的概率公式，列出不等式求解作答.【详解】（1）由直方图可知成绩在[]30,40，(]40,50，(]50,60，(]60,70的频率和为0.060.120.180.340.70.5+++=>，而成绩在(]60,70的频率为0.34，则抽取的100名学生成绩的中位数在(]60,70内，设中位数为x ，则()0.36600.0340.5x +-⨯=，解得64.11864x =≈，所以该100名学生竞赛成绩的中位数约为64；（2）由频率分布直方图可得：竞赛成绩在(]40,50，(]50,60两组的频率之比为01201823..:=:，则10人中竞赛成绩在(]40,50的人数为410410⨯=人；在(]50,60的人数为610610⨯=人；则X 所有可能的取值为0，1，2，3，于是()36310C 2010C 1206P X ====，()2164310C C 6011C 1202P X ====，()1264310C C 3632C 12010P X ====，()34310C 414C 12030P X ====，所以X 的分布列为：X 0123P1612310130数学期望为()1131601236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=；（3）用频率估计概率，竞赛成绩在[]30,40内的概率0.0610.060.123P ==+，则()()20202020202020C 212C 1C 333k kk kkk kk P k P P ---⎛⎫⎛⎫=-=⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()()119202020202020!C 211!19!11201213120!C 222121!20!3k k k k P k k k k P k k k k k +--++--⎛⎫===⨯=-+ ⎪++⎝⎭-．令()()11211121P k P k k +⎛⎫=-+≥ ⎪+⎝⎭，解得6k ≤，当且仅当6k =时取等号，即(6)(7)P P =，当6,N k k <∈时，(1)()P k P k +>，当6,N,20k k k >∈≤时，(1)()P k P k +<，所以当6k =或7k =，()P k 最大.20．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，CA CB ⊥，侧面11AA B B 为菱形，1AB C V 为等边三角形．(1)求证：1CB CB ⊥；(2)若4CA CB ==，点E 是侧棱1CC 上的动点，且平面1AB E 与平面ABC 的夹角的余弦值为14，求点B 到平面1AB E 的距离．【正确答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先证明BC ⊥平面1AB C ,再根据线面垂直的性质定理即可证明结论；（2）建立平面直角坐标系，求得相关点坐标，设1CE CC λ=，求出平面1AB E 的一个法向量，根据平面1AB E 与平面ABC 的夹角的余弦值求得参数λ，根据空间距离的向量求法，即可求得答案.【详解】（1）连接1A B 与1AB 相交于点F ，连接CF ，如图所示：∵四边形11AA B B 为菱形，∴F 为1AB 的中点，则11A B AB ⊥．1AB C V 为等边三角形，有1CF AB ⊥，1,A B CF ⊂平面1A BC ，1A B CF F = ，∴1AB ⊥平面1A BC ,BC ⊂平面1A BC ，∴1AB BC ⊥，又AC BC ⊥，1,AB AC ⊂平面1AB C ，1AB AC A = ，∴BC ⊥平面1AB C ,∵1CB ⊂平面1AB C ，∴1CB CB ⊥．（2）由（1）知1CB CB ⊥，CA CB ⊥，且11,,CB AC C CB AC =⊂ 平面1AB C ，故CB ⊥平面1AB C ，而CB ⊂平面ABC ，故平面1AB C ⊥平面ABC ，分别取,AC AB 的中点,O G ，连接1,B O OG ，则//OG BC ，∴OG ⊥平面1AB C ，1AB C V 为等边三角形，1B O AC ⊥，而平面1AB C 平面ABC AC =，1B O ⊂平面1AB C ，故1B O ⊥平面ABC ，以O 为原点，OG，OC ，1OB 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,2,0)A -，(0,2,0)C ，(4,2,0)B，1B ，设()11(4,2,)01C B E C B C λλλλλ==--=≤≤，则()4,22,E λλ--，∴()4,42,AE λλ=--，(10,2,AB =，设平面1AB E 的一个法向量(),,n x y z = ，则有()1442020AE n x y z AB n y λλ⎧⋅=-+-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令z λ=，则=y -，x =-),n λ= ，又∵平面ABC的法向量为(1OB =，∴平面1AB E 与平面ABC 的夹角的余弦值为14c 1os ,n OB == ,∴23210λλ+-=，∴13λ=或1λ=-（舍），此时1,3n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，又()4,4,0AB = ，∴点B 到平面1AB E的距离为：n AB n ⋅== 21A 、B ．曲线C 是以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴，且离心率为12的椭圆，设P 在第一象限且在双曲线上，直线BP 交椭圆于点M ，直线AP 与椭圆交于另一点N．(1)求椭圆及双曲线的标准方程；(2)设MN 与x 轴交于点T ，是否存在点P 使得4P T x x =(其中P x ，T x 为点P ，T 的横坐标)，若存在，求出P 点的坐标，若不存在，请说明理由．【正确答案】(1)双曲线方程：22143x y -=，椭圆方程为：22143x y +=；(2)存在，()4,3P 【分析】（1）设双曲线方程为22221x y a b-=，椭圆方程22221x y a b +=，根据焦点到渐近线的距离和离心率求出22,a b 可得答案；（2）设()0,P x t ，()11,M x y ，()22,N x y ，根据P 、A 、N 三点共线，P 、B 、M 三点共线可得()()2102102222y x x x y x --=++，令T x n =得直线MN l 的方程，与椭圆方程联立利用韦达定理代入上式化简可得()()2102102222y x x x y x --=++22nn-=+，若存在4P T x x =，即04x n =代入可得答案；法二：()00,P x y ，()11,M x y ，()22,N x y 设直线AP ：()0022y y x x =++与椭圆方程联立可得N x ，M x 、T x ，若存在4P T x x =，则0044x x =⨯可得答案.【详解】（1）由已知可设双曲线方程为22221x y a b-=，椭圆方程22221x y a b +=，则双曲线的一条渐近线方程为b y x a =，即0bx ay -==b =12=，解得2a =，所以双曲线方程：22143x y -=，椭圆方程为：22143x y +=；（2）设()00,P x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，()2,0A -，()2,0B ，P 、A 、N 三点共线，22022y tx x =++，P 、B 、M 三点共线，11022y tx x =--，相除：()()2102102222y x x x y x --=++，令()22T x n n =-<<，则设MN l ：x my n =+，联立椭圆方程：()22222346312034120x my nm y mny n x y =+⎧⇒+++-=⎨+-=⎩，由T 在椭圆内，故0∆>，所以21212226312,3434mn n y y y y m m -+=-=++，∴2121242y y n y y mn-=+，()()()()()()()()21211221222112121121222222222222y x y my n my y n y mny y n n y x y y my n my y n y mny y n n y -+-+-+-===+++++++()()()()()()()()()()()()21221221212142222222222422n y y n n y n n y n y nnn n y n y n y y n n y-++-⎡⎤-++--⎣⎦===⎡⎤++++--+++⎣⎦，若存在4P T x x =，即04x n =，0022422242n x n n x n ---==+++，得21n =，又P 在第一象限，所以1n =，()4,3P ；法二：()00,P x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，()2,0A -，()2,0B ，直线AP ：()0022y y x x =++，()()()()02222000022222000241616231202223412y y x y y y x x x x x x x y ⎧⎡⎤=+⎪+⇒+++-=⎢⎥⎨+++⎢⎥⎪⎣⎦+=⎩，显然0∆>，由()()22002200161222324N y x x x y -+-=++，又因为P 在双曲线上，满足2200143x y -=，即22004312y x =-，所以()()()()()()222200000222200000008626246224246232432312N y x x x x x x x x x y x x -+--+-+--====+++++-，即04N x x =，同理BP ：()0022y y x x =--，可得04M x x =，所以04T x x =，若存在4P T x x =，即0044x x =⨯，而P 在第一象限，所以04x =，即()4,3P .思路点睛：本题第二问主要是利用韦达定理代入()()2102102222y x x x y x --=++进行化简运算，考查了学生的思维能力和运算能力.属于难题.22．设1a >-，函数()()()1ln 11f x x x a x =++-+．(1)判断()f x 的零点个数，并证明你的结论；(2)若0a ≥，记()f x 的一个零点为0x ，若11sin x a x +=，求证：10ln 0x x -≤．【正确答案】(1)零点个数=1，证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）求导，根据a 的取值范围确定函数()f x 的单调性，从而判断零点的个数；（2）将不等式10ln 0x x -≤理解为当两函数值相等时对应的自变量的大小关系即可.【详解】（1）()'1ln f x x a x=++，令()()'h x f x =，则()'21x h x x -=，当1x >时，()()'0,h x h x >单调递增，当01x <<时，()()'0,h x h x <单调递减，()'10h =，在1x =处()h x 取得极小值也是最小值，1a >- ，∴()110h a =+>，即()()'0,f x f x >单调递增，当x 趋于0时，()f x 趋于-∞，()()()()2222e 2e 11e 1e 1330f a a =++-+=++>>，∴在x ∈()20,e 内存在唯一的零点，即()f x 的零点个数为1；（2）令()()()'sin ,cos 10,g x x x g x x g x =-=-≤是减函数，()00g =，即当0x >时，()0,sin g x x x <<，当0x <时，()0,sin g x x x >>，由11sin x a x +=知：111sin 0,0a x x x =-≥∴≤；由（1）的讨论知()f x 存在唯一的零点0x ，当0a ≥时，()10f a =≥，(]00,1x ∴∈，()()(]00000000111ln 110,0,1,ln 10x x x a x x a x x x +∴++-+=∈∴=--+≥，又11sin a x x =-，01100011sin ln 1x x x x x x +∴-=--+…①，其中(]010,1,0x x ∈≤，令0ln t x =，0e t x =，则0t ≤；式即为()11e 11sin 11e e 1e et t t t t x x t t --+-=--+=-+-+，不等式10ln 0x x -≤等价于1x t ≤，其意义为：当函数()()sin ,0g x x x x =-≤与函数()()1ee 1x x p x x --=-+-+(),0x ≤的函数值相等时，比较对应的自变量之间的大小关系；∴设()()()()()1e sin 1,0x m x p x g x x x x -=-=-+-+≤，()'e cos x m x x x -=-，当π,02x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦时，()'cos 0,e 0,0x x x m x -><∴<，当π2x ≤-时，π2πe e 12xx -≤-<-，()()'e cos 1cos 0,x m x x x x m x -=-<--<∴是减函数，又()00m =，0x ∴≤时，()0m x ≥，即()()p x g x ≥，()()1p t g x ∴=时1x t ≤，当且仅当10x t ==时等号成立；即10ln 0x x -≤本题第二问的难点在于对不等式10ln 0x x -≤的几何解释，即当()g x 与()p x 的函数值相等时，对应的自变量的大小关系，如此构造函数()()()m x p x g x =-并判断单调性就顺理成章了，其中对于导函数中有三角函数时，往往采用分区间讨论符号.。
福建省福州市(新版)2024高考数学统编版模拟(强化卷)完整试卷
福建省福州市（新版）2024高考数学统编版模拟(强化卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知，，若点满足，则P点的轨迹为（）A．椭圆B．双曲线C．双曲线的一支D．一条射线第(2)题在平面直角坐标系中，直线为双曲线的一条渐近线，则（）A．直线与圆相交B．直线与圆相切C．直线与圆相离D．直线与圆相切第(3)题已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生近视情况形成的原因，采用分层抽样的方法抽取部分学生进行调查，若抽取的小学生人数为70，则抽取的高中生中近视人数为（）A．10B．20C．25D．40第(4)题展开式中，的系数为（ ）A．B．320C．D．240第(5)题已知，，则（）A．B．C．D．第(6)题一矩形的一边在轴上，另两个顶点在函数的图像上，如图，则此矩形绕轴旋转而成的几何体的体积的最大值是（）A．B．C．D．第(7)题在正方体中，为正方形内（含边界）一动点，且满足，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是（）A．B．C．D．第(8)题定义函数集．已知函数，，，．若函数，则在为奇函数的条件下，存在单调递减区间的概率为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知是上的单调递增函数，则实数a的取值可能为（）A．B．2C．1D．第(2)题在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，，平面平面ABCD，点M在线段PC上运动（不含端点），则（）A．存在点M使得B．四棱锥外接球的表面积为C．直线PC与直线AD所成角为D．当动点M到直线BD的距离最小时，过点A，D，M作截面交PB于点N，则四棱锥的体积是第(3)题已知函数，函数的图象在点和点处的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，若，则（）A．B．的取值范围是C．直线AM与BN的交点的横坐标恒为1D．的取值范围是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知的定义域为,且是奇函数,当时,,.函数,则方程的所有的根之和为___________.第(2)题曲线的一条切线方程为，则______．第(3)题已知函数，曲线与x轴的两个相邻交点为P，Q，曲线与直线的一个交点为M，若，则实数______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题“十四冬”群众运动会于2024年1月13日至14日在呼和浩特市举办，有速度滑冰、越野滑雪等项目，参加的运动员是来自全国各地的滑冰与滑雪爱好者．运动会期间，运动员与观众让现场热“雪”沸腾，激发了人们对滑冰等项目的热爱，同时也推动了当地社会经济的发展．呼和浩特市某媒体为调查本市市民对“运动会”的了解情况，在15~65岁的市民中进行了一次知识问卷调查（参加者只能参加一次）．从中随机抽取100人进行调查，并按年龄群体分成以下五组：，绘制得到了如图所示的频率分布直方图，把年龄在区间和内的人分别称为“青少年群体”和“中老年群体”．(1)若“青少年群体”中有40人关注“运动会”，根据样本频率分布直方图完成下面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断关注“运动会”是否与年龄样体有关；年龄群体运动会合计关注不关注青少年群体40中老年群体合计6040100(2)利用按比例分层抽样的方法，在样本中从关注“运动会”的“青少年群体”与“中老年群体”中随机抽取6人，再从这6人中随机选取3人进行专访．设这3人中“青少年群体”的人数为，求的分布列与数学期望．附：，其中．0.050.010.0013.841 6.63510.828第(2)题“T2钻石联赛”是世界乒联推出一种新型乒乓球赛事，其赛制如下：采用七局四胜制，比赛过程中可能出现两种模式：“常规模式”和“FAST5模式”.在前24分钟内进行的常规模式中，每小局比赛均为11分制，率先拿满11分的选手赢得该局；如果两名球员在24分钟内都没有人赢得4局比赛，那么将进入“FAST5”模式，“FAST5”模式为5分制的小局比赛，率先拿满5分的选手赢得该局.24分钟计时后开始的所有小局均采用“FAST5”模式.某位选手率先在7局比赛中拿下4局，比赛结束.现有甲、乙两位选手进行比赛，经统计分析甲、乙之间以往比赛数据发现，24分钟内甲、乙可以完整打满2局或3局，且在11分制比赛中，每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为；在“FAST5”模式，每局比赛双方获胜的概率都为，每局比赛结果相互独立.（Ⅰ）求4局比赛决出胜负的概率；（Ⅱ）设在24分钟内，甲、乙比赛了3局，比赛结束时，甲乙总共进行的局数记为，求的分布列及数学期望.第(3)题2022年北京冬奥会标志性场馆——国家速滑馆的设计理念来源于一个冰和速度结合的创意，沿着外墙面由低到高盘旋而成的“冰丝带”，就像速度滑冰运动员高速滑动时留下的一圈圈风驰电掣的轨迹，冰上划痕成丝带，22条“冰丝带”又象征北京2022年冬奥会.其中“冰丝带”呈现出圆形平面、椭圆形平面、马鞍形双曲面三种造型，这种造型富有动感，体现了冰上运动的速度和激情这三种造型取自于球、椭球、椭圆柱等空间几何体，其设计参数包括曲率、挠率、面积体积等对几何图形的面积、体积计算方法的研究在中国数学史上有过辉煌的成就，如《九章算术》中记录了数学家刘徽提出利用牟合方盖的体积来推导球的体积公式，但由于不能计算牟合方盖的体积并没有得出球的体积计算公式直到200年以后数学家祖冲之、祖暅父子在《缀术》提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，才利用牟合方盖的体积推导出球的体积公式原理的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.（Ⅰ）利用祖暅原理推导半径为的球的体积公式时，可以构造如图②所示的几何体，几何体的底面半径和高都为，其底面和半球体的底面同在平面内.设与平面平行且距离为的平面截两个几何体得到两个截面，请在图②中用阴影画出与图①中阴影截面面积相等的图形并给出证明；（Ⅱ）现将椭圆所围成的椭圆面分别绕其长轴、短轴旋转一周后得两个不同的椭球，（如图），类比（Ⅰ）中的方法，探究椭球的体积公式，并写出椭球，的体积之比.第(4)题在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数）.以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为.（1）写出圆C的直角坐标方程；（2）设直线l与圆C交于A，B两点，，求的值.第(5)题已知椭圆的离心率为，直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆交于点.(1)求椭圆的标准方程：(2)设椭圆的左焦点为，求的内切圆的半径最大时的值.。
福州一中高三数学模拟考试真题 2023
福州一中高三数学模拟考试真题 2023本次福州一中高三数学模拟考试真题旨在为学生提供一个检验自己数学能力的机会，以便更好地指导学习和备考高考。
以下是模拟考试的真题及详细解析。
真题一：选择题1. 已知函数f(x) = 2x + 3，g(x) = x^2 - 1，则f(g(2))的值为：A. 5B. 9C. 11D. 15解析：首先计算g(2)，代入x=2，得到g(2) = 2^2 - 1 = 3。
然后将g(2)的值代入f(x)中，得到f(g(2)) = f(3) = 2 × 3 + 3 = 9，因此答案选B。
2. 设集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A∪B的元素个数为：A. 3B. 4C. 5D. 6解析：集合的并操作即将两个集合中的所有元素合并在一起，去重复。
集合A∪B的元素为{1, 2, 3, 4}，共有4个元素，故答案选B。
真题二：填空题3. 已知函数f(x) = x^2 + ax + 4，f(-2) = 0，则a的值为_________。
解析：由题意可得f(-2) = (-2)^2 + a(-2) + 4 = 0。
求解方程可得4 - 2a + 4 = 0，进一步化简得-2a = -8，因此a的值为4。
4. 设函数f(x) = 3x + 2，g(x) = ax + b，若f(g(1)) = -4，则a的值为_________。
解析：首先计算g(1)，代入x=1，得到g(1) = a(1) + b = a + b。
然后将g(1)的值代入f(x)中，得到f(g(1)) = f(a + b) = 3(a + b) + 2。
已知f(g(1)) = -4，则有3(a + b) + 2 = -4。
进一步计算可得3a + 3b = -6，故a的值为-2。
真题三：解答题5. 已知正方形ABCD的边长为a，P为AB的中点，Q为BC的中点，连接AC并延长交BD于点E。
证明：PE = EC。
福建省福州第一中学2023届高三模拟考试数学试题
福建省福州第一中学2023届高三模拟考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．某大学进行自主招生测试，需要对逻辑思维和阅读表达进行能力测试.学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示，下列叙述正确的是（）A．甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前．AC【分析】根据图中的信息可以知道：可同学更靠前，他的阅读表达成绩排名靠后，对确；乙同学的逻辑思维成绩排名适中但总排名靠前，说明阅读表达成绩排名靠前，乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠后，故B 错误；根据图示，可得甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前，所以在甲、乙、丙三位同学的阅读表达成绩排名中，甲同学更靠后，故C 正确；由图可知甲同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠后，故D 错误.故选：AC.10．AC【分析】根据()()t x P Z x =<结合正态曲线的对称性，可判断A;由(||)()12()P Z x P x Z x P Z x <=-<<=-³可推得其结果为2()1t x -，判断B;根据正态分布的3s 准则可判断C,D.【详解】对于A ，根据正态曲线的对称性可得：()()()1()1()t x P Z x P Z x P Z x t x -=<-=³=-<=-，故A 正确；对于B, 当0x >时，(||)()1()()12()P Z x P x Z x P Z x P Z x P Z x <=-<<=-£--³=-³12[1(2()]2(11))P Z x P t Z x x =--<=<=-- ，故B 错误；对于C ，D ，根据正态分布的3s 准则，在正态分布中s 代表标准差，m 代表均值,x m =即为图象的对称轴，根据3s 原则可知X 数值分布在()m s m s -+，中的概率为0.6826，是常数，故由(||)()P X P X m s m s m s -<=-<<+可知，C 正确，D 错误，故选：AC 11．ACD【分析】利用三角形的面积公式，可先推出B 选项是正确的，对于AC 选项，结合抛物线n【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算D ；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +，12x x （或12y y +，12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.。
福建省福州第一中学2023届高三模拟考试数学试题
一、单选题二、多选题1. 已知函数，则（ ）A．B．C．D．2. 已知集合，则（ ）A．B．C．D．3. 已知数列，则（ ）A ．-48B ．-50C ．-52D ．-494. 设两个相关变量x 和y 分别满足，，，若相关变量x 和y 可拟合为线性回归方程，则当时，y 的估计值为（ ）A ．8B ．14C ．15D ．165. 已知命题若，，则；命题若，，则.下列命题为真命题的是（ ）A．B．C．D．6. 若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．7. “”是“函数是奇函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8. 已知复数满足，则在平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9.已知数列满足，，，数列的前n 项和为，且，则下列说法正确的是（ ）A．B．C．数列为单调递增的等差数列D．满足不等式的正整数n 的最小值为6310. 已知函数，则（ ）A．过点有且只有一条直线与曲线相切B ．当时，C．若方程有两个不同的实数根，则的最大值为1D ．若，，则11. 甲、乙两类水果的质量（单位：）分别服从正态分布，其正态分布密度曲线（正态分布密度曲线是函数福建省福州第一中学2023届高三模拟考试数学试题三、填空题四、填空题五、填空题六、解答题七、解答题的图象）如图所示，则下列说法正确的是（）A．甲类水果的平均质量为B．甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分更集中于平均值左右C．平均质量分布在时甲类水果比乙类水果占比大D．12. 如图所示，ABCD-EFGH为边长等于1的正方体，若P 点在正方体的内部且满足，则P点到直线AB的距离为________．13.已知向量满足，记向量的夹角为，则__________．14. 已知函数是定义域为的偶函数，且时，，则曲线在点处的切线方程为________．15. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，则________；当，时，则________.16. 用表示不超过的最大整数，已知数列满足：，，.若，，则________；若，则________.17. 直线与轴交于点，交圆于，两点，过点作圆的切线，轴上方的切点为，则__________；的面积为__________．18. 已知F是抛物线C ：（）的焦点，过点F作斜率为k的直线交C于M，N两点，且.(1)求C的标准方程；(2)若P为C上一点（与点M位于y 轴的同侧），直线与直线的斜率之和为0，的面积为4，求直线的方程.19.底面为菱形的直棱柱中，分别为棱，的中点.八、解答题九、解答题十、解答题(1)在图中作出一个平面，使得，且平面.（不必给出证明过程，只要求作出与直棱柱的截面.）(2)若，，求平面截直棱柱所得两个多面体的体积比.20.如图，在长方体中，，点为的中点，点是上靠近的三等分点，与交于点.(1)求证：平面；(2)若，求点到平面的距离.21. 某校为减轻暑假家长的负担，开展暑期托管，每天下午开设一节投篮趣味比赛．比赛规则如下：在A ，B 两个不同的地点投篮．先在A 处投篮一次，投中得2分，没投中得0分；再在B 处投篮两次，如果连续两次投中得3分，仅投中一次得1分，两次均没有投中得0分．小明同学准备参赛，他目前的水平是在A 处投篮投中的概率为p ，在B 处投篮投中的概率为．假设小明同学每次投篮的结果相互独立．(1)若小明同学完成一次比赛，恰好投中2次的概率为，求p ；(2)若，记小明同学一次比赛结束时的得分为X ，求X 的分布列及数学期望．22.在中，，，.(1)求的值.(2)求的周长和面积.。
福建省福州市2024年数学(高考)统编版模拟(综合卷)模拟试卷
福建省福州市2024年数学（高考）统编版模拟(综合卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(2)题已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（）A．、、三点共线B．、、三点共线C．、、三点共线D．、、三点共线第(3)题现有两个袋子，第一个袋子中有2个红球和3个黑球，第二个袋子中有1个红球和3个黑球．随机选择一个袋子，然后从中随机摸出2个球，则恰好摸出1个红球和1个黑球的概率为（）A．B．C．D．第(4)题已知集合，．若，则实数的值是（）A．0B．2C．0或2D．0或1或2第(5)题在中，角所对应的边为,，，，是外接圆上一点，则的最大值是（）A．4B．C．3D．第(6)题已知集合，正确的是（）A．B．C．D．第(7)题已知，，则等于（）A．B．C．D．第(8)题设函数，则在下列区间中函数不存在零点的是A．B．C．D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题已知函数，则（）A．当时，在有最小值1B．当时，图象关于点中心对称C．当时，对任意恒成立D．至少有一个零点的充要条件是第(2)题有一组样本甲的数据，由这组数据得到新样本乙的数据，其中为不全相等的正实数．下列说法正确的是（）A．样本甲的极差一定小于样本乙的极差B．样本甲的方差一定大于样本乙的方差C．若为样本甲的中位数，则样本乙的中位数为D．若为样本甲的平均数，则样本乙的平均数为第(3)题已知由5个数据组成的一组数据的平均数为7，方差为2，现再加入一个数据1，组成一组新数据，则（）A．这组新数据的平均数为3B．这组新数据的平均数为6C．这组新数据的方差为D．这组新数据的方差为三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。
福建省福州一中高三数学模拟试题 理 新人教A版
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分（满分150分 考试时间120分钟）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．） 1．已知复数1iz i=-（i 为虚数单位）则复数z 在复平面对应的点位于 （ ） A ． 第一象限 B ． 第二象限 C. 第三象限． D ． 第四象限 2．等差数列{}n a 中，192a =-,352a =-,则该数列前n 项和n S 取得最小值时n 的值是 A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 ( ) 3．若向量)1,1(),0,2(==b a ，则下列结论正确的是 ( )A ．⊥-)( B.||||a = C ．1=⋅b a D ．b a // 4．下列有关命题的说法正确的是 ( )A ．若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题 ；B ．“2>x ”是“2320x x -+>”的必要不充分条件；C ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈， 均有210x x ++<”； D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题．5．函数()f x =ln ||(0)1(0)x x x x<⎧⎪⎨>⎪⎩的图像大致是 ( )6．关于直线m 、n 与平面α、β，有下列四个命题：①若m ∥α，n ∥β且α∥β，则m ∥n ； ②若m α⊥，n β⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③若m α⊥，n ∥β且α∥β，则m n ⊥； ④若m ∥α，n β⊥且αβ⊥，则m ∥n ． 则其中真命题的是 （ ） A ．①② B ．③④ C ．①④ D ．②③7.已知抛物线2x =的准线过双曲线2221x y m-=-的一个焦点，则双曲线的离心率为( )A.32 B.6C.3D.38．在ABC ∆中，,,a b c 是角,,A B C 的对边，若,,a b c 成等比数列，60A ︒=，则sin b Bc= ( )A ．12B ．2C ． 3D ．349. 设,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥-≤--,0,0,0,023y x y x y x 若目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的最大值为1，则b a 11+的最小值为 ( )A ．625B ．38C ．311 D ．410．若对任意,x A y B ∈∈，（,A R B R ⊆⊆）有唯一确定的(,)f x y 与之对应，则称(,)f x y 为关于,x y 的二元函数。
福建省福州第一中学2023届高三模拟考试数学试题
一、单选题二、多选题1. 若关于x 的不等式在上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A．B．C．D．2.函数的定义域是（ ）A．B．C．D． 3. “”是圆锥曲线的焦距与实数无关的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件4.已知一个空间几何体的三视图如右图，其中主视图，侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是A．B．C．D．5. 已知定义在上的奇函数满足，且在上有，则A ．2B．C．D．6. 已知（为虚数单位），则（ ）A．B．C ．1D．7.在体积为 的三棱锥中，，且平面平面，若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积是（ ）A．B．C．D．8. 设且，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9. 在公比不为1的等比数列中，若，则的值可能为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．9福建省福州第一中学2023届高三模拟考试数学试题福建省福州第一中学2023届高三模拟考试数学试题三、填空题四、解答题10. 已知，，则下列说法正确的为（ ）A ．若，则B．若，则与的夹角为0°C．若与的夹角为60°，则在上的投影向量为D．的取值范围为11. 2020年东京奥运会于北京时间2021年7月23日到8月8日在东京奥林匹克体育场举行．某公司为推销某种运动饮料，拟在奥运会期间进行广告宣传，经市场调查，广告支出费用x （单位：万元）与销售量y （单位：万件）的数据如下表所示：广告支出费用x23456销售量y 45710.613.4根据表中的数据可得y 关于x 的回归直线方程为，则下列说法正确的是（ ）A．B ．相应于点的残差为0.16C ．当广告支出费用为7万元时，销售量约为15.32万件D ．回归直线经过点12.已知函数，则下列说法正确的是（ ）A ．当时，的单调递减区间为B ．当时，方程在上恰有两个实数根，则实数的取值范围为C．当时，点是图象的一个对称中心D．当时，函数的最大值为，最小值为13.已知数列中，，，，记数列前项和为，则__________．14. 已知11个大小相同的球，其中3个是红球，3个是黑球，5个是白球，从中随机取出4个形成一组，其中三种颜色都有的概率为____________．15.若曲线在点处的切线斜率为，则___________.16.设椭圆：的离心率，原点到点、所在直线的距离为．(1)求此椭圆的方程；(2)如图，设直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为，直线与轴是否交于一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．17. 如图1，在的平行四边形中，垂直平分，且，现将沿折起（如图2），使．（Ⅰ）求证：直线平面；（Ⅱ）求平面与平面所成的角（锐角）的余弦值．18. 已知椭圆的右焦点为，点A，B在椭圆C上，点到直线的距离为，且的内心恰好是点D．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知O为坐标原点，M，N为椭圆上不重合两点，且M，N的中点H在直线上，求面积的最大值．19. 如图，在直三棱柱中，，E为上的一点，，（1）若，求证：平面（2）平面将棱柱分割为两个几何体，记上面一个几何体的体积为，下面一个几何体的体积为，求的值．20. 已知抛物线的焦点为，直线与轴的交点为，与的交点为，且.（1）求的方程；（2）设，动点在曲线上，曲线在点处的切线为.问：是否存在定点，使得与都相交，交点分别为，且与的面积之比是常数？若存在，求的值；若不存在，说明理由.21. 已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.（1）求c的值；（2）若，，求的面积.。
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专科入学考试辅导资料（数学三）
一、选择题
1.若{}R x x y y P ∈==,2，{}
R x x y y Q ∈+==,12，则Q P ⋂等于…………( ) A. P B. Q C. Φ D. 无法计算
2.方程222=+-x x 实数解的个数为………… ……………（ ）
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
3．设坐标原点为O ，抛物线x y 22=与过焦点的直线交于A 、B 两点，则⋅等于（ ）．
A ．43
B ．4
3- C ．3 D ．-3 4．甲、乙两乒乓球队各有运动员三男二女，其中甲队一男与乙队一女是种子选手，现在两队进行混合双打比赛，则两个种子选手都上场的概率是（ ）．
A ．61
B ．36
5 C ．125 D ．31 5．设坐标原点为O ，抛物线x y 22=与过焦点的直线交于A 、B 两点，则⋅等于（ ）．
A ．43
B ．4
3- C ．3 D ．-3 6．甲、乙两乒乓球队各有运动员三男二女，其中甲队一男与乙队一女是种子选手，现在两队进行混合双打比赛，则两个种子选手都上场的概率是（ ）．
A ．61
B ．36
5 C ．125 D ．31 7．不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧≥->-<+011234y y x y x ，，表示的平面区域内，横、纵坐标都是整数的点（x ，y ）有（ ）．
A ．2个
B ．4个
C ．5个
D ．8个
8．如下图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H 是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H 与下落时间t （分）的函数关系表示的图象只可能是（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
9．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别为2，3，6，且它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的面积为_____________．
10．已知f （x ）是定义域为R ，最小正周期为2π3的函数，且当∈x [2
π-，π]时，⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤<≤--=)π0(cos )02π(sin )(x x x x x f ，，若22)(=x f ，则x ＝_________________． 11．已知数列}{n a 的通项公式为n n a n λ+=2（n =1，2，3，…），且}{n a 满足 <<<<<<+1321n n a a a a a ，则实数λ的取值范围是_________________．
12．所谓迭代，可以看作同一个运算或操作多次重复．如，自然数的乘法a ×k ，即k 个a 累加
k
a a a a ++++可以看作加法运算或函数a x x f +=)(的迭代．同样，乘方也可以理解为迭代．又如，等差数列、等比数列的通项公式也是迭代产生的．据此，在生态学中研究的昆虫种群量模式)(1n n n bx a x x -=+，)0(
b a x n ≤
≤可以看作函数f （x ）＝________的迭代．
三、解答题
13．已知函数0)(cos()(>+=ωϕωx x f ，)π0≤≤ϕ为奇函数，其图象关于直线4π3=x 对称，且在区间0[，]2
π上f （x ）为单调函数．求ϕ和ω的值．
14．某新工艺流程如投产成功可收益300万元．但投产之前，必须经过小型试验和中型试验，试验经费分别需2万元和36万元．小型试验的成功率为0.7，如果连做两次小型试验，则成功率可提高到0.8，在小型试验基础上的中型试验的成功率为0.7，如果直接搞中型试验的成功率为0.5．
（1）计算决策甲：先进行一次小型试验，再进行一次中型试验时工程投资获益的期望值．（注：先填写下列表格，再计算其期望值）
（2）分别计算决策乙和丙工程投资获益的期望值：
决策乙：先进行两次小型试验，再进行一次中型试验．
决策丙：直接进行一次中型试验．
（3）甲、乙、丙三种决策方案中，哪一种决策方案最有利？
15．如图，在直三棱柱111C B A ABC 中，AB ＝BC ，AB ⊥BC ，且AC ＝1BB ＝2，D 为11C A 的中点，E 为C B 1的中点．
（1）求异面直线BE 与DC 所成的角；
（2）在线段1AA 上是否存在点F ，使CF ⊥平面DF B 1？若存在，求出||；若不存在，请说明理由；
（3）若F 为1AA 的中点，求点C 到平面FD B 1的距离．。