第二章控制系统数学模型
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自动控制理论-第二章 控制系统的数学模型
a y+a
(n) 0 (m) 0 ( n −1 ) 1
y +L+ a y + a y &
n −1 n m −1
=b x+b
( m −1 )
1
Y (s) b s + b s + L + b s + b 两边拉氏变换 G ( s ) = = X (s) a s + a s + L + a s + a x +L+ b x + b x &
4 微分环节 微分环节的传递函数为：
G(s) = C (s) = Ts R( s)
5 二阶环节
二阶环节又称为振荡环节，其的传递函数为
G (s) =
6 延迟环节
G(s) =
C (s) K = R( s) T s + s + 1
2 2
延迟环节的传递函数为：
C ( s) =e R( s)
−τs
第四节 用方块图表示的模型
2
由此可得
X (s) = 1 1 1 1 = = − s + 5s + 4 ( s + 1)( s + 4) 3( s + 1) 3( s + 4)
2
再对 X ( s) 进行逆拉氏变换，可得
e e x(t ) = − 3 3
−t −4 t
第二节 系统输入-输出的传递函数描述
• 传递函数是在控制理论中表示定常系统输入输出关 系的最常用方法，一般只适用于线性定常系统。 • 线性定常系统的传递函数，定义为初始条件为零时， 输出量的拉普拉氏变换与输入量的拉普拉氏变换之比。 • 微分方程与传递函数转变关系：
(n) 0 (m) 0 ( n −1 ) 1
y +L+ a y + a y &
n −1 n m −1
=b x+b
( m −1 )
1
Y (s) b s + b s + L + b s + b 两边拉氏变换 G ( s ) = = X (s) a s + a s + L + a s + a x +L+ b x + b x &
4 微分环节 微分环节的传递函数为：
G(s) = C (s) = Ts R( s)
5 二阶环节
二阶环节又称为振荡环节，其的传递函数为
G (s) =
6 延迟环节
G(s) =
C (s) K = R( s) T s + s + 1
2 2
延迟环节的传递函数为：
C ( s) =e R( s)
−τs
第四节 用方块图表示的模型
2
由此可得
X (s) = 1 1 1 1 = = − s + 5s + 4 ( s + 1)( s + 4) 3( s + 1) 3( s + 4)
2
再对 X ( s) 进行逆拉氏变换，可得
e e x(t ) = − 3 3
−t −4 t
第二节 系统输入-输出的传递函数描述
• 传递函数是在控制理论中表示定常系统输入输出关 系的最常用方法，一般只适用于线性定常系统。 • 线性定常系统的传递函数，定义为初始条件为零时， 输出量的拉普拉氏变换与输入量的拉普拉氏变换之比。 • 微分方程与传递函数转变关系：
自动控制原理-第二章-控制系统的数学模型—结构图-信号流图-传递函数
（1）单位脉冲 （2）单位阶跃 （3）单位斜坡 （4）单位加速度 （5）指数函数 （6）正弦函数 （7）余弦函数
f (t)
(t)
1(t )
t t2 2
e at
sin t cos t
F (s)
1
1s 1 s2 1 s3
1 (s a)
(s2 2) s (s2 2)
2.2 线性定常微分方程的求解 拉普拉斯反变换：部分分式展开法
时域 差分方程
解析式模型
状态方程
复域
传递函数 结构图-信号流图
图模型
频域 频率特性
数学模型是一个反应变量之间关系的表达式，在不同的域中有不同的表现形式！
1.引言
解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表 达式，并实验验证。
实验法：对系统或元件输入一定形式的信号（例如阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信 号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型。
k 1 v n1
s
l 1 n2
(Ti s 1)
(T
2 j
s2
2Tj
s
1)
i 1
j 1
适用于 频域分
析
3.2 传递函数的基本概念 传递函数的标准形式
K：增益
K*=根轨迹增益
K与K*的关系:
两者关系
m
zj
K K*
j 1 n
pi
i 1
3.3 典型环节及其传递函数
一个传递函数可以分解为若干个基本因子的乘积，每个基本因子就称为典型环节。常见 的几种形式有：
Y (s)
R(s)
Y (s)
f (t)
(t)
1(t )
t t2 2
e at
sin t cos t
F (s)
1
1s 1 s2 1 s3
1 (s a)
(s2 2) s (s2 2)
2.2 线性定常微分方程的求解 拉普拉斯反变换：部分分式展开法
时域 差分方程
解析式模型
状态方程
复域
传递函数 结构图-信号流图
图模型
频域 频率特性
数学模型是一个反应变量之间关系的表达式，在不同的域中有不同的表现形式！
1.引言
解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表 达式，并实验验证。
实验法：对系统或元件输入一定形式的信号（例如阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信 号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型。
k 1 v n1
s
l 1 n2
(Ti s 1)
(T
2 j
s2
2Tj
s
1)
i 1
j 1
适用于 频域分
析
3.2 传递函数的基本概念 传递函数的标准形式
K：增益
K*=根轨迹增益
K与K*的关系:
两者关系
m
zj
K K*
j 1 n
pi
i 1
3.3 典型环节及其传递函数
一个传递函数可以分解为若干个基本因子的乘积，每个基本因子就称为典型环节。常见 的几种形式有：
Y (s)
R(s)
Y (s)
第二章控制系统的数学模型.
2.2.1传递函数的定义和性质
⑴ 定义 线性定常系统的传递函数,定义为初始条件为零时,输出 量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比,记为G(S),即:
C ( s) G( s) R( s)
(2-4)
注：所有初始条件为零，指的是原系统处于静止状态. 设线性定常系统的n阶线性常微分方程为
dn d n 1 d a0 n c(t ) a1 n 1 c(t ) an 1 c(t ) an c(t ) dt dt dt dm d m1 d b0 m r (t ) b1 m 1 r (t ) bm1 r (t ) bm r (t ) dt dt dt
F(t)
K
F(t) F2(t)
m
f
m
x(t)
F1(t) b)
x(t)
根据牛顿第二运动定律有：
d 2 x (t ) F (t ) F1 (t ) F2 (t ) m dt2
a)
图2-2 机械位移系统
（2-2） 7
式中:
F1 (t ) ——阻尼器阻力。其大小与运动速度成正比，方向 与运动方向相反，阻尼系数为f，即： dx (t ) F1 (t ) f dt F2 (t ) ——弹簧力。设为线性弹簧，根据虎克定律有：
F2 (t ) Kx(t )
K——弹簧刚度 联立以上三式并整理得：
d 2 x (t ) dx(t ) m f Kx (t ) F (t ) 2 dt dt
（2-3） 8
综上所述,列写元件微分方程的步骤可归纳如下: ① 根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用,确定其 输入量和输出量; ② 分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律,列写相 应的微分方程; ③ 消去中间变量,得到输出量与输入量之间关系的微分方 程,便是元件时域的数学模型. 9
自动控制原理_第二章
Gk ( s) G ( s) H ( s)
B( s) G1 ( s)G2 ( s) H ( s) E ( s)
注意：这里的开环传递函数是针对闭环系统而言的，而不是指开环系 统的传递函数。
解：首先对小车进行受力分析，在水平方向应 用牛顿第二定律可写出：
dy(t ) d 2 y (t ) F (t ) f Ky (t ) m dt dt 2
令
2
T
m f , 可得 K 2 mK
图2 弹簧-质量-阻尼器系统图
d 2 y( t ) dy(t ) F (t ) T 2 T y ( t ) dt 2 dt K
用解析法列写系统或元部件微分方程的一般步骤是：
（1）根据系统的具体工作情况，确定系统或元部件的输
入、输出变量；
（2）从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量 所遵循的物理（或化学）定律，列写出各元部件的动态方程， 一般为微分方程组； （3）消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程； （4）将微分方程标准化。即将与输入有关的各项放在等 号右侧，与输出有关的各项放在等号左侧，并按降幂排列。
以工作点处的切线代替曲线，得到变量在工作点的增量方程， 经上述处理后，输出与输入之间就成为线性关系。
二、复频域模型 – 传递函数
（1）利用时域卷积获得：
如果已知系统单位脉冲响应为g(t),则任意输入r(t)的响应输出c(t):
c( t )
r ( ) g(t )d
c(t ) r ( ) g(t )d
0 t
考虑到物理可实现性，上式改为： 对上式做拉氏变换得：
C ( s) R( s)G( s) G( s)
C ( s) R( s )
第二章_控制系统的数学模型
+
R
a
La
Ea
+
if -
i a (t ) U a (t )
m Mm
Jm fm
MC
dia ( t ) R a i a (t) E a dt E a C e m ( t ) u a La M m (t) M c (t) J m M m (t) C mi a (t) dm ( t ) f m m ( t ) dt
2.2 控制系统的复数域数学模型
1、传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变 换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统 的传递函数。 即，
传递函数与输入、输出之间的关系，可用结构图表示:
若已知线性定常系统的微分方程为 dnc(t ) dn 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 anc(t ) n n 1 dt dt dt m m 1 d r(t ) d r(t ) dr (t ) b0 b1 b m 1 b mr(t ) m m 1 dt dt dt
设 c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上 式取拉氏变换，得
(a0s a1s
n m
n 1
an 1s an )C(s)
(b 0s b1s
m 1
bm 1s bm )R(s)
则系统的传递函数为
C(s) b 0sm b1sm 1 bm 1s bm G (s ) R(s) a0sn a1sn 1 an 1s an
L[f (t )] e sF(s)
F ( s ) f ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) L[ f (t )dt ] , f (0) f (t )dt t 0 s s
R
a
La
Ea
+
if -
i a (t ) U a (t )
m Mm
Jm fm
MC
dia ( t ) R a i a (t) E a dt E a C e m ( t ) u a La M m (t) M c (t) J m M m (t) C mi a (t) dm ( t ) f m m ( t ) dt
2.2 控制系统的复数域数学模型
1、传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变 换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统 的传递函数。 即，
传递函数与输入、输出之间的关系，可用结构图表示:
若已知线性定常系统的微分方程为 dnc(t ) dn 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 anc(t ) n n 1 dt dt dt m m 1 d r(t ) d r(t ) dr (t ) b0 b1 b m 1 b mr(t ) m m 1 dt dt dt
设 c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上 式取拉氏变换，得
(a0s a1s
n m
n 1
an 1s an )C(s)
(b 0s b1s
m 1
bm 1s bm )R(s)
则系统的传递函数为
C(s) b 0sm b1sm 1 bm 1s bm G (s ) R(s) a0sn a1sn 1 an 1s an
L[f (t )] e sF(s)
F ( s ) f ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) L[ f (t )dt ] , f (0) f (t )dt t 0 s s
第二章控制系统的数学模型
第二章控制系统的数学模型§2.1引言●数学模型（1）描述系统输入、输出变量及内部各变量关系的数学表达式。
I—O—内部变量（2）系统中各物理量之间相互作用的关系及各自的变化规律用数学形式表达出来。
（3）是舍弃了各种事物的具体特点而抽象出它们的共同性质（即运动）来加以研究的工具。
●控制理论研究的问题是：（1）一个给定的控制系统，它的运动有何性质和特性—分析* 运动：泛指一切物理量随时间的变化（2）怎样设计一个控制系统，使其运动具有给定的性质和特性—综合和设计●工程角度上：控制理论要解决的问题（进一步解释）（1）不满足于求解方程c(t)=f(r(t) )—数学课程已有（2）提出更深入的问题a.这些曲线有何共同性质；b.系统参数值波动对曲线有何影响？c.如何修改参数甚至结构才能改进这些曲线，使之满足工程要求。
—建立控制系统的数学模型，也是研究和解决这些问题的第一步，故建立描述控制系统运动的数学模型是控制理论的基础。
数学模型的形式不只一种：它们各有特长和最适合的场合；它们彼此之间也有紧密的联系；各种数学描述方法的共同基础是微分方程；一元高次微分方程多元一次微分方程(状态方程)Laplace变换为工具——传函传函阵§ 2.2 基本数学模型例 用数学模型表示下图的RC 无源网络给定r u 为输入量,c u 为输出量解：由克希霍夫定律 ⎰+⋅=idt i R u C r 1 r c c u u dtdu RC =+ ⎰=idt u C c 1 令T RC =（时间参数），则微分方程为：r c c u u dtdu T =+ 线性定常系统在初始条件为零时，传递函数为：£{c(t)}/£{r(t)})()()(s U s U s U s T r c c =+⋅⋅ 1.1)(/)()(+==→s T s U s U s G r c 其形式和参数由系统的结构和参数决定，与r(t)无关。
自动控制原理：第二章 控制系统数学模型
TaTLma KJe K
dMdML m dtdt
L
Tm
Ra J K eKm
——机电时间常数(秒)；
Ta
La Ra
—电动机电枢回路时间常数 (秒)
若输出为电动机的转角q ，则有
TaTm
d 3q
dt 3
Tm
d 2q
dt 2
dq
dt
1 Ke
ua
Tm J
ML
TaTm J
dM L dt
—— 三阶线性定常微分方程 9
扰动输入为负载转矩ML。 （1）列各元件方程式。电动机方程式为：
TaTm
d 2w
dt 2
测输T速Km出发td为d电wt电测压机速w 反 K馈1e系ua数
Tm J
M反L馈 电TaJT压m
dM L dt
ua Kae ut Ktw e ur ut 12
（2）消去中间变量。从以上各式中消去中间变
量ua，e，ut，最后得到系统的微分方程式
y = Kx
式中， K f 'x0 是比例系数，它是函数f(x)在A点
的切线斜率。
18
对于有两个自变量x1,x2的非线性函数f(x1,x2)，同样 可以工作在某工作点(x10,x20)附近进行线性化。
这种小偏差线性化对控制系统大多数工作状态是可 行的。事实上，自动控制系统在正常情况下都处于 一个稳定的工作状态，即平衡状态，这时被控量与 期望值保持一直，控制系统也不进行控制动作。一 旦被控量偏离期望值产生偏差时，控制系统便开始 控制动作，以便减小这个偏差。因此控制系统中被 控量的偏差一般不会很大，只是“小偏差”。
RC传网0 递络函的数阶G跃(响s)确应立曲了线t 电路输入
第二章控制系统数学模型
s s 后，再求 F (s) 的极限值来求得。条件是当 t 和s 0时，等式两边各
有极限存在。
终值定理在分析研究系统的稳态性能时(例如分析系统的稳态误差，求取系统
输出量的稳态值等)有着很多的应用。因此终值定理也是一个经常用到的运算
定理。
7.初值定理： lim f (t) lim sF (s)
18
2
例2-1：写出RLC串联电路的微分方程。
ui
L
R
i
C
uo
ui 输入
uo 输出
[解]：据基尔霍夫电路定理：
L di dt
Ri
1 C
idt
ui
①
uo
1 C
idt
②
由②： i C d，uo代入①得： dt
LC
d 2uo dt 2
RC
duo dt
uo
ui
这是一个线性定常二阶微分方程。
3
例2-2 设一弹簧、质量块、阻尼器组成的系统如图所示，当外力 F(t)作用于系统时，系统将产生运动。试写出外力F(t)与质量块的 位移y(t)之间的微分方程。
uR uc Us
把 uR i R
和
ic
C
duc dt
代入电路，可得到电路的
微分方程：
RC
duc dt
uc
Us
23
现在对于上面的微分方程，我们用Laplace变换求解。
首先，利用Laplace变换中的微分定理，将微分方程变换成如下形式：
RC
duc dt
uc
Us
RCsU c (s) Uc (s) Us R(s)
利用待定系数法可求得：
A 1 ARC B 0
F (s) L[ f (t)] f (t)e st dt 0
有极限存在。
终值定理在分析研究系统的稳态性能时(例如分析系统的稳态误差，求取系统
输出量的稳态值等)有着很多的应用。因此终值定理也是一个经常用到的运算
定理。
7.初值定理： lim f (t) lim sF (s)
18
2
例2-1：写出RLC串联电路的微分方程。
ui
L
R
i
C
uo
ui 输入
uo 输出
[解]：据基尔霍夫电路定理：
L di dt
Ri
1 C
idt
ui
①
uo
1 C
idt
②
由②： i C d，uo代入①得： dt
LC
d 2uo dt 2
RC
duo dt
uo
ui
这是一个线性定常二阶微分方程。
3
例2-2 设一弹簧、质量块、阻尼器组成的系统如图所示，当外力 F(t)作用于系统时，系统将产生运动。试写出外力F(t)与质量块的 位移y(t)之间的微分方程。
uR uc Us
把 uR i R
和
ic
C
duc dt
代入电路，可得到电路的
微分方程：
RC
duc dt
uc
Us
23
现在对于上面的微分方程，我们用Laplace变换求解。
首先，利用Laplace变换中的微分定理，将微分方程变换成如下形式：
RC
duc dt
uc
Us
RCsU c (s) Uc (s) Us R(s)
利用待定系数法可求得：
A 1 ARC B 0
F (s) L[ f (t)] f (t)e st dt 0
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U 0 ( s) L[u0 (t )],U i ( s) L[ui (t )]
可得s的代数方程为
( LCs 2 RCs 1)U 0 (s ) U i (s )
22
控制系统的复数域数学模型
由传递函数定义，网络传递函数为：
U 0 ( s) 1 G( s ) Ui (s) LGs 2 RCs 1
称为传递系数或增益或放大系数
三、传递函数极点和零点对输出的影响
du0 (t ) L sU 0 (s) u0 (0) dt d 2u0 (t ) 2 ' L s U ( s ) su (0) u 0 0 0 (0) 2 dt du (t ) 1 1 ' u0 (0) 0 i(t ) i(0) dt t 0 C C t 0
，或写成
20
2-2 控制系统的复域数学模型
一、传递函数的定义与性质
线性定常系统在输入、输出初始条件均为零的条件
下，输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，称为 该系统的传递函数
由n阶线性微分方程推出传递函数的方法：
d n d n 1 d a0 n c(t ) a1 n 1 c(t ) a n 1 c(t ) a n c(t ) dt dt dt d b0 m dt
m
F2阻尼器的阻力
2
dx(t ) F1 (t ) f dt F2 (t ) Kx(t )
d x(t ) m F (t ) F1 (t ) F2 (t ) 2 dt dx(t ) F (t ) f Kx(t ) dt
式中 F1（t）是阻尼器的阻尼力 F2（t）是弹簧反力
例1: 图示RLC无源网络，列出以 ui (t ) 为输入量，以 uo (t ) 为输出量的网络微分方程。
解： di (t )
1 L i (t )dt Ri (t ) u i (t ) dt C
1 uo (t ) i (t )dt C
消去中间变量得：
d 2 u o (t ) duo (t ) LC RC u o (t ) ui (t ) 2 dt dt
二、传递函数的零点与极点
传递函数经因式分解后
0
j
z2
m m 1
z1
bm 1 s bm C ( s) b0 s b1 s G( s) R( s) a 0 s n a1 s n 1 a n 1 s a n b0 ( s z1 )( s z 2 ) ( s z m ) K* a 0 ( s p1 )( s p 2 ) ( s p n )
*
(s p j )
j 1
i 1 n
(s z i )
m
b0 称为传递系数或根轨迹系数 K a0
传递函数写成因子连乘积的形式
C ( s ) b0 s m b1 s m 1 bm 1 s bm G(s) R( s ) a 0 s n a1 s n 1 a n 1 s a n
分析法*
建模方法
实验法
表达形式 时域：微分方程、差分方程、状态方程 复域：传递函数、动态结构图 频域：频率特性 线性系统
拉氏 变换 傅氏 变换
传递函数
微分方程
频率特性
2-1 控制系统的时域数学模型
2.1.1线性元件微分方程的建立
目的：通过该方程确定被控量与给定量及扰动量之
间的函数关系。
方法与步骤: （1）根据实际情况，确定系统的输入、输出变量。 （2）从输入端开始，按信号传递遵循的有关规节 列出元件微分方程。 （3）消去中间变量，写出输入、输出变量的微分 方程。 （4）整理，输入量项=输出量项。
m
d r (t ) b1 m1 dt
m 1
r (t ) bm1
d r (t ) bm r (t ) dt
在零初始条件下，由传递函数的定义得
C ( s) M ( s) G( s) n n 1 R(s) a 0 s a1 s a n 1 s a n N (s)
2.1.2 控制系统微分方程的建立
举例1：
速度控制系统的微分方程
控制系统的主要部件（元件）：给定电位器、 运放1、运放2、功率放大器、直流电动机、减速器、 测速发电机 R2 u1 K1 (u g u f ) K1u e , K1 运放1 R1 du1 R2 运放2 u 2 K 2 ( u1 ) , R1C , K 2 dt R1 u a K 3u 2 功放 d m 直流电动机 Tm m K mua KC M C dt 减速器（齿轮系） 1 测速发电机
2) 简化性和准确性：忽略次要因素，简化之，
但不能太简单，结果合理 3) 动态模型：变量各阶导数之间关系的微分方 程。性能分析 4) 静态模型：静态条件下，各变量之间的代数 方程。放大倍数 解析方法适用于简单、 典型、常见的系统， 而实验方法适用于复 杂、非常见的系统。 实际上常常是把这两 种方法结合起来建立 数学模型更为有效。
故将微分方程的算符d/dt用复数s置换便得 到传递函数；反之，将传递函数多项式中 的变量s用算符d/dt置换便得微分方程。
控制系统的复数域数学模型
性质 1）传递函数是复变量s的有理真分式函数； 2）传递函数仅与系统自身的结构和参数有关， 与系统输入量形式无关； R(s)
G(s)
C(s)
3）传递函数与微分方程有相通性，可相互转换； 4）传递函数是系统单位脉冲响应的拉氏变换。 5）传递函数与系统的输入输出的位置有关；
df |x0 x k x ， 简记为 y=kx。 可得 y dx 若非线性函数由两个自变量，如z＝f（x,y），
则在平衡点处可展成（忽略高次项）
f f z |( x0 , y0 ) x |( x0 , y0 ) y xv y
经过上述线性化后，就把非线性关系变成了线性关 系，从而使问题大大简化。但对于如图（d）所示为强 非线性，只能采用第七章的非线性理论来分析。对于线 性系统，可采用叠加原理来分析系统。
2 2 bm ( 1 s 1)( 2 s 2 2 2 s 1) ( i s 1)
a n (T1 s 1)(T22 s 2 2 2 T2 s 1) (T j s 1)
m
bm K K* an
( z i ) ( p j )
j 1 i n
对弱非线性的线性化
如上图（a），当输入信号很小时，忽略非线性影 响，近似为放大特性。对（b）和（c），当死区或 间隙很小时（相对于输入信号）同样忽略其影响， 也近似为放大特性，如图中虚线所示。
平衡位置附近的小偏差线性化
输入和输出关系具有如下图所示的非线性特性。
在平衡点A（x0，y0）处，当系统受到干扰，y只 在A附近变化，则可对A处的输出—输入关系函 数按泰勒级数展开，由数学关系可知，当 x 很小时，可用A处的切线方程代替曲线方程（非 线性），即小偏差线性化。
例2：图示弹簧-质量-阻尼器机械位移系统。试列写质量
m在外力F(t)作用下位移x(t)的运动方程。 解：输入F(t)，输出x(t)理论依 据:牛顿第二定律,物体所受 的合外力等于物体质量与加 速度的乘积.
F ma
F(t)外力
F1(弹簧 的拉力)
m
F2阻尼器的阻力
F(t)外力
F1(弹簧 的拉力)
例1，在上面RLC电路中，若已知L=1H，C=1F，R=1Ω，且
电容上初始电压 u0 (0) 0.1V ，初始电流i（0）＝0.1A， 电源电压 ui (t ) 1V ，试求电路突然接通电源时，电容电压
u0 (t ) 的变化规律。
解：在上第二例中已求得网络微分方程为
d 2u0 (t ) du0 (t ) LC RC u0 (t ) ui (t ) 2 dt dt Ui (s) L[ui (t )] ，且 U0 (s) L[U0 (t )] 令，
比较: R-L-C电路运动方程与 M-S-D机械系统 运动方程
LC
d 2 uC (t ) dt 2
duC (t ) RC uC (t ) u r (t ) dt
m
d 2 x(t ) dt
2
dx(t ) f Kx(t ) F (t ) dt
相似系统：
揭示了不同物理现象之间的相似关系。 便于用简单系统去研究相似的复杂系统。
ut K t
i
m
得微分方程如下：（其中系数由已知参数构成）
du g d MC Tm K K g ug KC g dt dt
11
2.1.3 线性系统的性质：
具有可叠加性、均匀性（齐次性）
2.1.4 线性定常微分方程求解方法
直接求解法：通解+特解 自由解+强迫解（零输入响应+零状态响应） 变换域求解法： Laplace 变换方法
b0 s m b1 s m1 bm1 s bm
控制系统的复数域数学模型
例 试求RLC无源网络的传递函数 U 0 ( s) / U i ( s) 。 解 RLC网络的微分方程用式表示为
d 2u0 (t ) du0 (t ) LC RC u0 (t ) ui (t ) 2 dt dt 在零初始条件下，对上述方程中各项求拉氏变换，并令
18
求取非线性方程系统的步骤：
1、求稳态工作点（平衡点）：（X0，Y0） 2、求稳态方程 3、对非线性项线性化 4、带入到原方程 5、减去稳态方程
5、运动的模态
运动的模态：是由n阶微分方程的特征根所决定的，代表自 由运动的振型函数。从数学上讲，即是n阶齐 次微分方程的通解所包含的振型函数。 （1）如果n阶微分方程的特征根无重根，为 1 , 2 , n ， 则有运动的模态为： e1t , e2t , , ent 等函数；
可得s的代数方程为
( LCs 2 RCs 1)U 0 (s ) U i (s )
22
控制系统的复数域数学模型
由传递函数定义，网络传递函数为：
U 0 ( s) 1 G( s ) Ui (s) LGs 2 RCs 1
称为传递系数或增益或放大系数
三、传递函数极点和零点对输出的影响
du0 (t ) L sU 0 (s) u0 (0) dt d 2u0 (t ) 2 ' L s U ( s ) su (0) u 0 0 0 (0) 2 dt du (t ) 1 1 ' u0 (0) 0 i(t ) i(0) dt t 0 C C t 0
，或写成
20
2-2 控制系统的复域数学模型
一、传递函数的定义与性质
线性定常系统在输入、输出初始条件均为零的条件
下，输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，称为 该系统的传递函数
由n阶线性微分方程推出传递函数的方法：
d n d n 1 d a0 n c(t ) a1 n 1 c(t ) a n 1 c(t ) a n c(t ) dt dt dt d b0 m dt
m
F2阻尼器的阻力
2
dx(t ) F1 (t ) f dt F2 (t ) Kx(t )
d x(t ) m F (t ) F1 (t ) F2 (t ) 2 dt dx(t ) F (t ) f Kx(t ) dt
式中 F1（t）是阻尼器的阻尼力 F2（t）是弹簧反力
例1: 图示RLC无源网络，列出以 ui (t ) 为输入量，以 uo (t ) 为输出量的网络微分方程。
解： di (t )
1 L i (t )dt Ri (t ) u i (t ) dt C
1 uo (t ) i (t )dt C
消去中间变量得：
d 2 u o (t ) duo (t ) LC RC u o (t ) ui (t ) 2 dt dt
二、传递函数的零点与极点
传递函数经因式分解后
0
j
z2
m m 1
z1
bm 1 s bm C ( s) b0 s b1 s G( s) R( s) a 0 s n a1 s n 1 a n 1 s a n b0 ( s z1 )( s z 2 ) ( s z m ) K* a 0 ( s p1 )( s p 2 ) ( s p n )
*
(s p j )
j 1
i 1 n
(s z i )
m
b0 称为传递系数或根轨迹系数 K a0
传递函数写成因子连乘积的形式
C ( s ) b0 s m b1 s m 1 bm 1 s bm G(s) R( s ) a 0 s n a1 s n 1 a n 1 s a n
分析法*
建模方法
实验法
表达形式 时域：微分方程、差分方程、状态方程 复域：传递函数、动态结构图 频域：频率特性 线性系统
拉氏 变换 傅氏 变换
传递函数
微分方程
频率特性
2-1 控制系统的时域数学模型
2.1.1线性元件微分方程的建立
目的：通过该方程确定被控量与给定量及扰动量之
间的函数关系。
方法与步骤: （1）根据实际情况，确定系统的输入、输出变量。 （2）从输入端开始，按信号传递遵循的有关规节 列出元件微分方程。 （3）消去中间变量，写出输入、输出变量的微分 方程。 （4）整理，输入量项=输出量项。
m
d r (t ) b1 m1 dt
m 1
r (t ) bm1
d r (t ) bm r (t ) dt
在零初始条件下，由传递函数的定义得
C ( s) M ( s) G( s) n n 1 R(s) a 0 s a1 s a n 1 s a n N (s)
2.1.2 控制系统微分方程的建立
举例1：
速度控制系统的微分方程
控制系统的主要部件（元件）：给定电位器、 运放1、运放2、功率放大器、直流电动机、减速器、 测速发电机 R2 u1 K1 (u g u f ) K1u e , K1 运放1 R1 du1 R2 运放2 u 2 K 2 ( u1 ) , R1C , K 2 dt R1 u a K 3u 2 功放 d m 直流电动机 Tm m K mua KC M C dt 减速器（齿轮系） 1 测速发电机
2) 简化性和准确性：忽略次要因素，简化之，
但不能太简单，结果合理 3) 动态模型：变量各阶导数之间关系的微分方 程。性能分析 4) 静态模型：静态条件下，各变量之间的代数 方程。放大倍数 解析方法适用于简单、 典型、常见的系统， 而实验方法适用于复 杂、非常见的系统。 实际上常常是把这两 种方法结合起来建立 数学模型更为有效。
故将微分方程的算符d/dt用复数s置换便得 到传递函数；反之，将传递函数多项式中 的变量s用算符d/dt置换便得微分方程。
控制系统的复数域数学模型
性质 1）传递函数是复变量s的有理真分式函数； 2）传递函数仅与系统自身的结构和参数有关， 与系统输入量形式无关； R(s)
G(s)
C(s)
3）传递函数与微分方程有相通性，可相互转换； 4）传递函数是系统单位脉冲响应的拉氏变换。 5）传递函数与系统的输入输出的位置有关；
df |x0 x k x ， 简记为 y=kx。 可得 y dx 若非线性函数由两个自变量，如z＝f（x,y），
则在平衡点处可展成（忽略高次项）
f f z |( x0 , y0 ) x |( x0 , y0 ) y xv y
经过上述线性化后，就把非线性关系变成了线性关 系，从而使问题大大简化。但对于如图（d）所示为强 非线性，只能采用第七章的非线性理论来分析。对于线 性系统，可采用叠加原理来分析系统。
2 2 bm ( 1 s 1)( 2 s 2 2 2 s 1) ( i s 1)
a n (T1 s 1)(T22 s 2 2 2 T2 s 1) (T j s 1)
m
bm K K* an
( z i ) ( p j )
j 1 i n
对弱非线性的线性化
如上图（a），当输入信号很小时，忽略非线性影 响，近似为放大特性。对（b）和（c），当死区或 间隙很小时（相对于输入信号）同样忽略其影响， 也近似为放大特性，如图中虚线所示。
平衡位置附近的小偏差线性化
输入和输出关系具有如下图所示的非线性特性。
在平衡点A（x0，y0）处，当系统受到干扰，y只 在A附近变化，则可对A处的输出—输入关系函 数按泰勒级数展开，由数学关系可知，当 x 很小时，可用A处的切线方程代替曲线方程（非 线性），即小偏差线性化。
例2：图示弹簧-质量-阻尼器机械位移系统。试列写质量
m在外力F(t)作用下位移x(t)的运动方程。 解：输入F(t)，输出x(t)理论依 据:牛顿第二定律,物体所受 的合外力等于物体质量与加 速度的乘积.
F ma
F(t)外力
F1(弹簧 的拉力)
m
F2阻尼器的阻力
F(t)外力
F1(弹簧 的拉力)
例1，在上面RLC电路中，若已知L=1H，C=1F，R=1Ω，且
电容上初始电压 u0 (0) 0.1V ，初始电流i（0）＝0.1A， 电源电压 ui (t ) 1V ，试求电路突然接通电源时，电容电压
u0 (t ) 的变化规律。
解：在上第二例中已求得网络微分方程为
d 2u0 (t ) du0 (t ) LC RC u0 (t ) ui (t ) 2 dt dt Ui (s) L[ui (t )] ，且 U0 (s) L[U0 (t )] 令，
比较: R-L-C电路运动方程与 M-S-D机械系统 运动方程
LC
d 2 uC (t ) dt 2
duC (t ) RC uC (t ) u r (t ) dt
m
d 2 x(t ) dt
2
dx(t ) f Kx(t ) F (t ) dt
相似系统：
揭示了不同物理现象之间的相似关系。 便于用简单系统去研究相似的复杂系统。
ut K t
i
m
得微分方程如下：（其中系数由已知参数构成）
du g d MC Tm K K g ug KC g dt dt
11
2.1.3 线性系统的性质：
具有可叠加性、均匀性（齐次性）
2.1.4 线性定常微分方程求解方法
直接求解法：通解+特解 自由解+强迫解（零输入响应+零状态响应） 变换域求解法： Laplace 变换方法
b0 s m b1 s m1 bm1 s bm
控制系统的复数域数学模型
例 试求RLC无源网络的传递函数 U 0 ( s) / U i ( s) 。 解 RLC网络的微分方程用式表示为
d 2u0 (t ) du0 (t ) LC RC u0 (t ) ui (t ) 2 dt dt 在零初始条件下，对上述方程中各项求拉氏变换，并令
18
求取非线性方程系统的步骤：
1、求稳态工作点（平衡点）：（X0，Y0） 2、求稳态方程 3、对非线性项线性化 4、带入到原方程 5、减去稳态方程
5、运动的模态
运动的模态：是由n阶微分方程的特征根所决定的，代表自 由运动的振型函数。从数学上讲，即是n阶齐 次微分方程的通解所包含的振型函数。 （1）如果n阶微分方程的特征根无重根，为 1 , 2 , n ， 则有运动的模态为： e1t , e2t , , ent 等函数；