函数的概念有答案
函数的概念
1.2.1 函数的概念1．函数的概念(1)函数的概念：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．比如，甲、乙两地相距30 km，某人骑车从甲地去乙地，速度是12 km/h，出发t小时后行驶的路程是s km，则s是t的函数，记为s＝12t，定义域是{t|0≤t≤2.5}，值域为{s|0≤s≤30}．对集合{t|0≤t≤2.5}中的任意一个实数，在集合{s|0≤s≤30}中都有唯一的数s＝12t和它对应．对函数概念的理解①“A，B是非空的数集”，一方面强调了A，B只能是数集，即A，B中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的．②函数的三要素是：定义域、对应关系、值域．定义域就是非空数集A，而值域不一定是非空数集B，而是非空数集B的子集．例如，设集合A＝{x|x≠0，x∈R}，B＝R，按照确定的对应关系f：取倒数，对于集合A中的任意一个数x，在B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，于是y＝f(x)＝1x就称为从集合A到集合B的一个函数．此时A是函数y＝1x的定义域，而值域D＝{y|y≠0，y∈R}，显然D≠B，但D⊆B．③函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．这“三性”只要有一个不满足，便不能构成函数．【例1－1】下列对应或关系式中是A到B的函数的是( )A．A∈R，B∈R，x2＋y2＝1B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图：C．A＝R，B＝R，f：x→y＝12x-D．A＝Z，B＝Z，f：x→y解析：对于A项，x2＋y2＝1可化为y=x∈A，y值不唯一，故不符合．对于B项，符合函数的定义．对于C项，2∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．对于D项，－1∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．答案：B点技巧判断一个对应关系是否是函数关系的方法从以下三个方面判断：(1)A，B必须都是非空数集；(2)A中任一实数在B中必须有实数和它对应；(3)A中任一实数在B中和它对应的实数是唯一的．注意：A中元素无剩余，B中元素允许有剩余．【例1－2】下列图形中不能确定y是x的函数的是( )解析：y是x的函数，必须满足对于任意给定的x值，y都有唯一确定的值与之对应．图象A，B，C所表示的对应关系能构成函数，因为任意给一个变量x，都有唯一确定的f(x)和它对应．但图象D不是，它表示的对应关系中，对于自变量x，一般都有两个函数值和它对应，不符合函数的定义．答案：D点技巧由图形判断从A到B的对应是否是函数关系有技巧(1)任取一条垂直于x轴的直线l；(2)在集合A中移动直线l；(3)若直线l与集合B所在图形有且只有一个交点，则是函数；否则不是函数．(2)对符号f(x)的理解①f(x)表示关于x的函数，又可以理解为自变量x对应的函数值，是一个整体符号，分开写符号f(x)，如f，x，(x)等是没有意义的．符号f可以看作是对“x”施加的某种法则或运算，例如f(x)＝x2－x＋5，当x＝2时，看作对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去2，最后加上5；②对于f(x)中x的理解，虽然f(x)＝3x与f(x＋1)＝3x从等号右边的表达式来看是一样的，但由于f施加法则的对象不一样(一个为x，而另一个为x＋1)，因此函数解析式也是不一样的；③函数符号f(x)并不一定是解析式，它可以是其他任意的一个对应关系，如图象、表格、文字、描述等；④f(x)与f(a)，a∈A的关系：f(x)表示自变量为x的函数，表示的是变量，f(a)表示当x＝a时的函数值，是一个值域内的值，是常量，如f(x)＝x＋1，当x＝3时，f(3)＝3＋1＝4．【例1－3】已知函数f (x )＝3x 2－5x ＋2．(1)求f (3)，(f ，f (a )，f (a ＋1)；(2)若f (x )＝0，求x ．分析：(1)直接将自变量的值代入函数关系式计算求解；(2)已知函数值为0，建立关于自变量x 的方程，求解即可．解：(1)f (3)＝3×32－5×3＋2＝14，f()＝3×()2－5×()＋2＝8＋，f (a )＝3a 2－5a ＋2，f (a ＋1)＝3(a ＋1)2－5(a ＋1)＋2＝3a 2＋a ．(2)∵f (x )＝0，∴3x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝1或23x =．辨误区 求函数值易出现的错误 求函数值时，注意将对应的x 的值或代数式整体代入函数关系式求解，否则容易导致错误，例如本题容易将f (a ＋1)误解为f (a )＋1，从而得出f (a ＝1)＝3a 2－5a ＋3的错误结论．【例1－4】已知函数1()1f x x =+，g (x )＝x 2＋2，则f (g (2))＝__________，g (f (2))＝__________．解析：g (2)＝22＋2＝6，f (g (2))＝f (6)＝11167=+，f (2)＝11123=+，g (f (2))＝21133g ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋2＝199． 答案：17 199 点技巧 函数值的求法 求函数值时，首先要确定函数的对应关系f 的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于f (g (x ))型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f (g (x ))与g (f (x ))的区别．2．区间区间是数学中表示“连续”的数集的一种形式．设a ，b 是两个实数，而且a ＜b ．我们规定：(1)满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[a ，b ]；(2)满足不等式a ＜x ＜b 的实数x 的集合叫做开区间，表示为(a ，b )；(3)满足不等式a ≤x ＜b 或a ＜x ≤b 的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a ，b )，(a ，b ]．这里的实数a 与b 都叫做相应区间的端点．其中a 叫做左端点，b 叫做右端点． 实数集R 可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．我们可以把满足x ≥a ，x ＞a ，x ≤b ，x ＜b 的实数x 的集合分别表示为[a ，＋∞)，(a ，＋∞)，(－∞，b ]，(－∞，b )．谈重点(1)区间的左端点必须小于右端点，有时我们将b－a称之为区间长度，对于只有一个元素的集合我们仍然用集合来表示，如{a}．(2)对于一个点的集合，可以在数轴上用一个实心点表示．(3)用数轴来表示区间时，要特别注意实心与空心的区别．(4)对于一个不等式的解集，我们既可以用集合形式来表示，也可以用区间形式来表示，而对于取值范围，则既可以用区间也可以用集合，还可以用不等式直接表示．(5)由于区间是集合的一种形式，因此对于集合的运算和集合中的符号仍然成立．如x [2，＋∞)，[0,6) [－1,3]＝[0,3]等．(6)区间是实数集的另一种表示方法，要注意区间表示实数集的几条原则，数集是连续的，左小，右大，开或闭不能混淆．(7)无穷大是一个符号，不是一个数．以“－∞”或“＋∞”为区间一端时，这一端必须是小括号．【例2－1】将下列集合用区间表示出来．(1){x|x≥－1}； (2){x|x＜0}；(3){x|－1＜x≤5}； (4){x|0＜x＜1，或2≤x≤4}．解：(1){x|x≥－1}＝[－1，＋∞)． (2){x|x＜0}＝(－∞，0)．(3){x|－1＜x≤5}＝(－1,5]． (4){x|0＜x＜1，或2≤x≤4}＝(0,1) [2,4]．【例2－2】已知区间[－2a,3a＋5]，求a的取值范围．解：由题意可知3a＋5＞－2a，解之得a＞－1．故a的取值范围是(－1，＋∞)．3．函数相等如果两个函数的定义域．．．相同，并且对应关系．．．．完全一致，我们就称这两个函数相等．释疑点 满足什么条件的两个函数相等 (1)由函数的定义可知，函数的三要素为：定义域、对应关系、值域．当两个函数的三要素对应相同时，这两个函数是相等的，但由于函数的值域是由定义域和对应关系决定的，因此当两个函数的定义域和对应关系相同时，它们的值域也一定相同．故只要两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么这两个函数就相等．(2)当两个函数的定义域和值域分别相同时，这两个函数不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一确定函数的对应关系，例如：函数f (x )＝x 和函数f (x )＝－x 的定义域相同，均为R ；值域也相同，均为R ，但这两个函数不是同一函数．【例3－1】下列函数与函数g (x )＝2x －1(x ＞2)相等的是( )A ．f (m )＝2m －1(m ＞2)B ．f (x )＝2x －1(x ∈R )C ．f (x )＝2x ＋1(x ＞2)D ．f (x )＝x －2(x ＜－1)解析：对于A 项，函数y ＝f (m )与y ＝g (x )的定义域与对应关系均相同，故为相等的函数；对于B 项，两函数的定义域不同，因此不是相等的函数；对于C 项，两函数的对应关系不同，因此不是相等的函数；对于D 项，两函数的定义域与对应关系都不相同，故也不是相等的函数． 答案：A【例3－2】判断下列各组中的函数f (x )与g (x )是否表示同一个函数，并说明理由．(1)f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2； (2)f (x )＝(x －1)0，g (x )＝1；(3)f (x )＝x ，g (x ) (4)f (x )＝|x |，g (x )．分析：求出函数f (x )与g (x )的定义域，若两者定义域不同，则两函数不为同一函数；若定义域相同，分别化简f (x )与g (x )的解析式，若化简后两者解析式相同，则两函数为同一函数，否则两函数不为同一函数．解：(1)定义域相同都是R ，但是它们的解析式不同，也就是对应关系不同，故不是同一个函数．(2)函数f (x )的定义域是{x |x ≠1}，函数g (x )的定义域为R ，它们的定义域不同，故不是同一个函数．(3)定义域相同都是R ，但是f (x )＝x ，g (x )＝|x |，即它们的解析式不同，也就是对应关系不同，故不是同一函数．(4)定义域相同都是R ，解析式化简后都是y ＝|x |，即对应关系相同，那么值域必相同，这两个函数的三要素完全相同，故是同一个函数．辨误区 判断两个函数是否相等易忽略两点(1)判断两个函数是否相等的唯一依据是它的定义，即由定义域和对应关系是否相同确定，而与它们解析式中用什么符号表示自变量或函数无关，例如函数y ＝f (x )，x ∈A 与函数u ＝f (t )，t ∈A 是同一函数；(2)为了便于判断两个函数是否是同一个函数，对复杂的解析式可先化简再比较，但要注意化简前后的等价性，如f (x )＝x 2－4x －2，不能写成f (x )＝x ＋2，而应当是f (x )＝x ＋2(x ≠2)；g (x )＝x 2，不能写成g (x )＝x ，而应当是g (x )＝|x |，这是容易出错的地方，要特别重视．4．具体函数定义域的求法函数的定义域是自变量x 的取值范围，如果未加特殊说明，函数的定义域就是指使函数关系式有意义的x 的取值范围，但在实际问题中，函数的定义域还要受到实际意义的制约．(1)求具体函数定义域的原则和方法主要有：①若f (x )为整式，则其定义域为实数集R ．②若f (x )是分式，则其定义域是使分母不等于0的实数的集合．③若f (x )为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合．④若f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集．⑤实际问题中，定义域要受到实际意义的制约．(2)求给出解析式的函数的定义域的步骤为：①列出使函数有意义的x 所适合的式子(往往是一个不等式组)；②解这个不等式组；③把不等式组的解表示成集合(或者区间)作为函数的定义域．【例4】求下列函数的定义域：(1)y = (2)0(1)||x y x x +=-；(3)1y x=． 解：(1)因为要使函数有意义，需1010x -≥⎧⎪⎨≠⎪⎩，⇔10x x ≤⎧⎨≠⎩，⇔x ≤1且x ≠0，所以函数y =(－∞，0) (0,1]． (2)由100x x x +≠⎧⎪⎨-≠⎪⎩，，得1x x x ≠-⎧⎪⎨≠⎪⎩，，因此x ＜0且x ≠－1． 故原函数的定义域为{x |x ＜0，且x ≠－1}．(3)因为要使函数有意义，需230,20,0,x x x +≥⎧⎪->⎨⎪≠⎩解得32-≤x ＜2且x ≠0，所以函数1y x =+的定义域为3,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭(0,2)． 辨误区 求函数定义域时两点需注意 (1)求函数定义域的一个基本原则是解析式不能化简．例如，求函数y ＝x 2x 的定义域时，不能将y ＝x 2x化简为y ＝x ，而求得定义域为R 的错误结论；(2)函数的定义域是一个集合，必须用集合或区间表示出来．5．抽象函数的定义域的求法求抽象函数的定义域是学习中的一个难点问题，常见的题型有如下两种：①已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域；②已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域．下面介绍一下这两种题型的解法．(1)已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域．一般地，若f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域是指满足不等式a≤g(x)≤b的x的取值范围．其实质是由g(x)的取值范围，求x的取值范围．(2)已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域．函数f(g(x))的定义域为[a，b]，指的是自变量x∈[a，b]．一般地，若f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域就是g(x)在区间[a，b]上的取值范围(即g(x)的值域)．其实质是由x的取值范围，求g(x)的取值范围．【例5－1】(1)已知函数f(x)的定义域为[1,2]，求函数y＝f(2x＋1)的定义域；(2)已知函数y＝f(2x＋1)的定义域为[1,2]，求函数y＝f(x)的定义域；(3)已知函数y＝f(2x＋1)的定义域为[1,2]，求函数y＝f(2x－1)的定义域．解：(1)设2x＋1＝t，由于函数y＝f(t)的定义域为[1,2]，故1≤t≤2，即1≤2x＋1≤2，解得0≤x≤12，所以函数y＝f(2x＋1)的定义域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．(2)设2x＋1＝t，因为1≤x≤2，所以3≤2x＋1≤5，即3≤t≤5，函数y＝f(t)的定义域为[3,5]．由此得函数y＝f(x)的定义域为[3,5]．(3)因为函数y＝f(2x＋1)的定义域为[1,2]，即1≤x≤2，所以3≤2x＋1≤5．所以函数y＝f(x)的定义域为[3,5]．由3≤2x－1≤5，得2≤x≤3，所以函数y＝f(2x－1)的定义域为[2,3]．点技巧求抽象函数定义域有技巧(1)正确理解函数的定义域就是自变量x的取值范围；(2)运用整体的思想，在同一对应关系f下括号内的范围是一样的，即f(t)，f(g(x))，f(h(x))中的t，g(x)，h(x)的取值范围相同．【例5－2】若函数f(x)的定义域为[－2,1]，求g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域．分析：f(x)＋f(－x)的定义域是指当x在什么范围内取值时，才能使x，－x都在[－2,1]这个区间内，从而f(x)＋f(－x)有意义．解：由题意，得2121xx-≤≤⎧⎨-≤-≤⎩，，即－1≤x≤1．故g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域为[－1,1]．6．函数值域的求法(1)常见函数的定义域和值域：①一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)的定义域是R，值域是R．②反比例函数f (x )＝k x(k ≠0)的定义域是(－∞，0) (0，＋∞)，值域是(－∞，0) (0，＋∞)．③二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的定义域是R ．当a ＞0时，值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞；当a ＜0时，值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ． (2)求函数值域的常用方法．①观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出函数的值域；如求函数y ＝4－x 2的值域时，由x 2≥0及4－x 2≥0知4－x 2∈[0,2]．故所求的值域为[0,2]．②配方法：若函数是二次函数形式即可化为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)型的函数，则可通过配方后再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间二次函数最值的求法．③换元法：对于一些无理函数，可通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域．例如形如y ＝ax ＋b ±cx ＋d 的函数，我们可令cx ＋d ＝t ，将函数y 转化为关于自变量t 的二次函数，然后利用配方法求其值域．④分离常数法：将形如y ＝cx ＋d ax ＋b (a ≠0)的函数，分离常数，变形过程为cx ＋d ax ＋b＝c a (ax ＋b )＋d －bc a ax ＋b ＝c a ＋d －bc a ax ＋b ，再结合x 的范围确定d －bc a ax ＋b的取值范围，从而确定函数的值域．(3)求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，要靠自己在解题过程中逐渐探索和积累．除了上述常用的方法外，还有最值法、数形结合法等，应注意选择最优的解法．总之，求函数的值域关键是要重视对应关系的作用，还要特别注意定义域对值域的制约．例如，求函数y ＝2x ＋1，x ∈(－1,1]的值域．解：画出y ＝2x ＋1的图象．由图象可知y ＝2x ＋1，x ∈(－1,1]的值域为(－1,3]．【例6】求下列函数的值域．(1)y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (2)y 1；(3)y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)； (4)5142x y x -=+； (5)224321x x y x x -+=--； (6)y ＝x解：(1)∵x ∈{1,2,3,4,5}，∴y ∈{3,5,7,9,11}．∴所求函数的值域为{3,5,7,9,11}．(2)的取值范围求．≥0－1≥－1． ∴函数y－1的值域为[－1，＋∞)．(3)配方：y ＝x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2，∵x ∈[1,5)，由图所示，∴所求函数的值域为[2,11)．(4)借助反比例函数的特征求．5142x y x -=+510(42)14442x x +--=+514(42)4442x x +-=+5742(42)x =-+． ∵72(42)x +≠0， ∴y ≠54． ∴函数5142x y x -=+的值域为5,4y y y ⎧⎫∈≠⎨⎬⎩⎭R 且． (5)∵2243(1)(3)321(1)(21)21x x x x x y x x x x x -+---===---++(x ≠1)， 又∵17(21)31722212122(21)x x x x x +--==-+++，当x ＝1时，原式1322113y -==-⨯+． ∴函数224321x x y x x -+=--的值域为12,,23y y y y ⎧⎫∈≠≠-⎨⎬⎩⎭R 且且． (6)设12u x ⎫=≥⎪⎭，则212u x +=(u ≥0)， 于是y ＝212u +＋u ＝2(1)2u +(u ≥0)．∵由u ≥0，可知(u ＋1)2≥1，∴y ≥12． ∴函数y ＝x1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 辨误区 求函数值域易疏忽的问题 (1)求函数值域时一定要注意其定义域的影响，如函数y ＝x 2－4x ＋6的值域与函数y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)的值域是不同的；(2)在利用换元法求函数的值域时，一定要注意换元后新元取值范围的变化，例如求函数y ＝xt =y 转化为关于自变量t 的二次函数后，自变量t 的范围是t ≥0．7．函数与集合的综合应用定义域、对应关系和值域是函数的三要素，其中定义域是本节学习的重点和难点．函数的定义域是数集，“连续”的数集常用区间表示，也可以用集合的描述法或列举法表示．因此，函数与集合的综合应用题通常是在函数的定义域与集合的表示法的交会处设置题目．解决此类综合应用问题时，要注意：(1)能够正确求出函数的定义域可以这样理解函数：把函数看成面粉加工厂，那么定义域就是这个工厂的原料——小麦，值域就是这个工厂的产品——面粉．因此，要看这个工厂加工成的面粉质量怎样，那么首先看看其所购原料(小麦)的质量如何．如果小麦质量不过关，再好的加工机加工出来的面粉质量也不过关．同样，讨论函数问题时，要遵守定义域优先的原则，如果求错了函数的定义域，那么无论后面的步骤怎样，本题就必定错了．(2)能正确解决有关集合问题如，能明确集合中的元素，会判断两个集合间的关系，能进行集合的交集、并集和补集运算，会借助于数轴或Venn 图找到解决问题的思路等等．【例7－1】在下列从集合A 到集合B 的对应关系中，不可以确定y 是x 的函数的是( )①A ＝{x |x ∈Z }，B ＝{y |y ∈Z }，对应关系f ：x →y ＝3x ；②A ＝{x |x ＞0，x ∈R }，B ＝{y |y ∈R }，对应关系f ：x →y 2＝3x ；③A ＝R ，B ＝R ，对应关系f ：x →y ＝x 2；④A ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，B ＝R ，对应关系f ：(x ，y )→s ＝x ＋y ．A ．①④B ．②③④C ．②③D ．①②④解析：①在对应关系f 下，A 中不能被3整除的数在B 中没有象，所以不能确定y 是x 的函数．②在对应关系f 下A 中的数在B 中有两个数与之对应，所以不能确定y 是x 的函数．③显然y 是x 的函数．④A 不是数集，所以不能确定y 是x 的函数． 答案：D【例7－2】已知函数f (x )＝-的定义域是集合A ，函数g (x )＝+的定义域是集合B ，若A B ＝B ，求实数a 的取值范围． 解：要使函数f (x )有意义，自变量x 的取值需满足1010x x ->⎧⎨+>⎩，解得－1＜x ＜1．因此A ＝{x |－1＜x ＜1}．要使函数g (x )有意义，自变量x 的取值需满足1020a x x a +->⎧⎨->⎩，，解得2a ＜x ＜1＋a ．由于函数的定义域不是空集，所以有2a ＜1＋a ，解得a ＜1． 因此B ＝{x |2a ＜x ＜1＋a }．由于A B ＝B ，则B ⊆A ，则有11211a a a +≤⎧⎪≥-⎨⎪<⎩，，，解得12-≤a ≤0． 故实数a 的取值范围是12-≤a ≤0，即a ∈1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 8．创新拓展题与本节内容有关的创新拓展题，一般为求值问题，但要求的式子较多，不便或不能一一求解．我们在解决这类问题时，要注意观察所要求的式子，发掘它们之间的规律，进而去化简，从而得出问题的求解方法．例如：已知f (x )＝221x x+，求f (1)＋f (2)＋12f ⎛⎫⎪⎝⎭＋f (3)＋13f ⎛⎫⎪⎝⎭＋f (4)＋14f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值．解：根据所求式子特点，猜测f (a )＋1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值应为定值，下面求f (a )＋1f a ⎛⎫⎪⎝⎭的值，f (a )＋222222211111111a a a f a a a a a⎛⎫=+=+ ⎪++⎝⎭++＝1． 于是f (2)＋12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝f (3)＋13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝f (4)＋14f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1，f (2)＋12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f (3)＋13f ⎛⎫⎪⎝⎭＋f (4)＋14f ⎛⎫⎪⎝⎭＝3．又f (1)＝12，所以f (1)＋f (2)＋12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f (3)＋13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f (4)＋14f ⎛⎫⎪⎝⎭＝72． 【例8－1】已知a ，b ∈N *，f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，f (1)＝2，则(2)(3)(1)(2)f f f f +＋…＋(2012)(2013)(2011)(2012)f f f f +＝__________． 解析：分子是f (x )，分母是f (x －1)，故先根据f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，求出f (x )与f (x －1)的关系，即求出()(1)f x f x -的值，再代入求值． ∵f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，f (1)＝2， ∴令a ＝b ＝1，得f (2)＝f (1)·f (1)＝4．∴(2)(1)f f ＝2．∴令a ＝2，b ＝1，得f (3)＝f (2)·f (1)＝8．∴(3)(2)f f ＝2． 故猜测()(1)f x f x -＝2，下面我们具体来求()(1)f x f x -的值． 令a ＝x －1，b ＝1，得f (x )＝f (x －1＋1)＝f (x －1)·f (1)＝2f (x －1)，于是()(1)f x f x -＝2(x ≥2，x ∈N *)． 故(2)(3)(1)(2)f f f f +＋…＋(2012)(2013)(2011)(2012)f f f f +＝2＋2＋…＋2＝2×2 012＝4 024． 答案：4 024【例8－2】已知函数f (x )＝221x x+． (1)求f (2)与12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，f (3)与13f ⎛⎫⎪⎝⎭；(2)由(1)中求得结果，你能发现f (x )与1f x ⎛⎫⎪⎝⎭有什么关系？并证明你的发现；(3)求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 013)＋12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋…＋12013f ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 解：(1)∵f (x )＝221x x +，∴f (2)＝2224125=+，22111225112f ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，f (3)＝22391310=+，221113310113f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭． (2)由(1)发现f (x )＋1f x ⎛⎫⎪⎝⎭＝1．证明如下：f (x )＋222211111x x f x x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=+ ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝222111x x x +++＝1． (3)f (1)＝2211112=+．由(2)知f (2)＋12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1，f (3)＋13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1，…，f (2 013)＋12013f ⎛⎫⎪⎝⎭＝1， ∴原式＝20121140251111 2 012222+++++=+= …个.。
函数的概念知识点总结
函数的概念知识点总结(含例题和答案)(总6页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--函数的概念总结一、知识梳理1．映射的概念：设是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中的任意元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从到的映射，通常记为，f 表示对应法则注意：⑴A 中元素必须都有象且唯一；⑵B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。
2．函数的概念(1)函数的定义：设是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中的每一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数，通常记为(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则(3)函数的定义域、值域：在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合称为函数的值域。
3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。
二、考点分析考点1：映射的概念例1．（1）A R =，{|0}B y y =>，:||f x y x →=；（2）*{|2,}A x x x N =≥∈，{}|0,B y y y N =≥∈，2:22f x y x x →=-+；（3）{|0}A x x =>，{|}B y y R =∈，:f x y →=上述三个对应是A 到B 的映射．B A 、f A B A B B A f →:B A 、f A x B A B A x x f y ∈=),(A x x f y ∈=),(x x A )(x f y =x y {}A x x f ∈)()(x f y =例2．若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =，,,a b c R ∈，则A 到B 的映射有个，B 到A 的映射有个，A 到B 的函数有个例3．设集合{1,0,1}M =-，{2,1,0,1,2}N =--，如果从M 到N 的映射f 满足条件：对M 中的每个元素x 与它在N 中的象()f x 的和都为奇数，则映射f 的个数是（）()A 8个()B 12个()C 16个()D 18个答案：1.（2）；2．81,64,81；3.D考点2：判断两函数是否为同一个函数方法总结：看化简后的表达式定义域值域是否完全一样。
函数的概念及其表示
函数的概念及其表示知识梳理1．函数的基本概念(1)函数的定义一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应；那么就称：f：A→B为从集合A 到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．(3)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．(4)表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法．(5)分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．2．函数定义域的求法要点一、函数的概念例1、设集合M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N的函数关系的有（）A．①②③④B．①②③C．②③D．②例2、下列四组函数中，表示同一函数的是（）A．f（x）=|x|，g（x）=B．f（x）=lg x2，g（x）=2lg xC．f（x）=，g（x）=x+1D．f（x）=•，g（x）=例3、下列集合A，B及其对应法则，不能构成函数的是（）A．A=B=R f（x）=|x|B．A=B=RC．A={1，2，3，4），B={2，3，4，5，6}f（x）=x+1D．A={x|x＞0}，B={1}f（x）=x0答案：C A B练习1、下列四个图形中不可能是函数y=f（x）图象的是（）A．B．C．D．2、已知函数f（x）的定义域A={x|0≤x≤2}，值域B={y|1≤y≤2}，下列选项中，能表示f （x）的图象的只可能是（）A．B．C．D．3、下列四组函数中的f（x）和g（x）相等的是（）A．B．C．D．4、下列对应是从集合A到B的函数的是（）A．A=N，B=R，对应关系f：“求平方根”B．A=N*，B=N*，对应关系f：x→y=|x﹣3|C．A=R，B={0，1}，对应关系f：D．A=Z，B=Q，对应关系5、中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合M={﹣1，1，2，4}，N={1，2，4，16}，给出下列四个对应法则：①，②y=x+1，③y=|x|，④y=x2，请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是（）A．①③B．①②C．③④D．②④要点二、函数的定义域例4、函数的定义域是（）A．（1，2]B．（1，2）C．（2，+∞）D．（﹣∞，2）例5、已知函数y＝f（x+1）的定义域是[﹣1，2]，则函数y＝f（﹣x）的定义域为（）A．[﹣3，0]B．[﹣1，2]C．[0，3]D．[﹣2，1]例6、若函数y=的定义域为R，则a的取值范围为（）A．（0，4]B．[4，+∞）C．[0，4] D．（4，+∞）答案： B A C 练习6、函数f （x ）=+的定义域为（ ）A ．（﹣3，0]B ．（﹣3，1]C ．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0]D ．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，1] 7、函数f （x ）=（x ﹣5）0+（x ﹣2）的定义域为（ ）A ．{x ∈R |2＜x ＜5或x ＞5}B ．{x ∈R |x ＞2}C ．{x ∈R |x ＞5}D ．{x ∈R |x ≠5且x ≠2}8、若函数f （x ）的定义域为[1，2]，则函数y=f （x 2）的定义域为（ ） A ．[1，4]B ．[1，] C ．[﹣，] D ．[﹣，﹣1]∪[1，]9、若函数f （3﹣2x ）的定义域为[﹣1，2]，则函数f （x ）的定义域是（ ） A ．B ．[﹣1，2]C ．[﹣1，5]D ．10、已知函数的定义域为R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（0， B ．（﹣∞，C ．，+∞）D ．[1，+∞）要点三、函数的解析式例7 (1)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式．(2) f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2.试求出f (x )的解析式(3) 定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析式． （4）定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.练习11、已知函数，则（ ）A ．f （x ）＝x 2+2x +1B ．f （x ）＝x 2﹣2x +3（x ≥1）C ．f （x ）＝x 2﹣2x +1D ．f （x ）＝x 2+2x +3（x ≥1）12、若函数f （x ）满足f （）＝x ，则f （x ）的解析式为（ ）A．f（x）＝（x≠1）B．f（x）＝，（x≠﹣1）C．f（x）＝（x≠1）D．f（x）＝（x≠﹣1）13、已知函数f（x）＝2x+3，若f（g（x））＝6x﹣7，则函数g（x）的解析式为（）A．g（x）＝4x﹣10B．g（x）＝3x﹣5C．g（x）＝3x﹣10D．g（x）＝4x+414、若函数f（x）对于任意实数x恒有3f（x）﹣2f（﹣x）＝5x+1，则f（x）＝．15、已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝+1，则f（x）＝．答案：1、C 2、D 3、C 4、C 5、C 6、C 7、A 8、D 9、C 10、C 11、B 12、A 13、B 14、x+1。
高中试卷-3.1 函数的概念及其表示方法(含答案)
3.1 函数的概念及其表示方法1. 函数概念的理解；2. 求函数的定义域；3. 求函数值（值域）；4. 函数的三种表示方法；5. 求函数解析式；6. 分段函数的概念；7.分段函数的求值；8.函数的图象及应用；9. 分段函数与方程、不等式综合问题一、单选题1．（2021·全国高一课时练习）设()1,01,01,0x x f x x x +>ìï==íï-<î，则()()0f f 等于（ ）A ．1B ．0C ．2D ．-1【答案】C 【解析】1,0()1,01,0x x f x x x +>ìï==íï-<îQ\ (0)1f =,((0))(1)112f f f ==+=.故选: C.2．（2021·浙江南湖嘉兴一中高一月考）下列函数中，与函数y =有相同定义域的是（ ）A．()f x =B ．1()f x x=C ．()||f x x =D．()f x =【答案】A 【解析】函数y =的定义域为{}0x x >；函数()f x ={}0x x >；函数1()f x x=的定义域为{}0,x x x ¹ÎR ；函数()f x x =的定义域为R ；函数()f x =定义域为{}1x x ….所以与函数y =有相同定义域的是()f x =.故选：A.3．（2021·浙江高一期中）函数1()f x x=的定义域是( )A ．R B ．[1,)-+¥C ．(,0)(0,)-¥+¥U D ．[1,0)(0,)-+¥U 【答案】D 【解析】由题意可得：10x +³，且0x ¹，得到1x ³-，且0x ¹，故选：D4．（2021·全国高一课时练习）已知函数f(x －1)＝x 2－3，则f(2)的值为( )A ．－2B ．6C ．1D ．0【答案】B 【解析】令1x t -=，则1x t =+,()()213f t t \=+-,()()213f x x \=+-()()222136f \=+-=,故选B.5．（2021·全国高一课时练习）如果1f x æöç÷èø＝1x x-，则当x≠0，1时，f(x)等于（ ）A ．1xB ．11x -C ．11x-D ．11x-【答案】B 【解析】令1x＝t ，则x ＝1t ()1t ¹，代入1f x æöç÷èø＝1x x -，则有f(t)＝111t t-＝11t -()1t ¹.即()()111f x x x =¹-.故选：B.6．（2021·全国高一课时练习）已知函数y ＝21,02,0x x x x ì+£í->î，则使函数值为5的x 的值是（ ）A ．2-或2B ．2或52-C ．2-D ．2或2-或52-【答案】C 【解析】当0x £时，令5y =，得215x +=，解得2x =-；当0x >时，令5y =，得25x -=，解得52x =-，不合乎题意，舍去.综上所述，2x =-.故选：C.7．（2021·全国高一课时练习）设函数若f （a ）＝4，则实数a ＝（ ）A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或2【答案】B 【解析】当0a £时，()4f a a =-=，解得4a =-；当0a >时，24()f a a ==，解得2a =±，因为0a >，所以2a =，综上，4a =-或2，故答案选B 8．（2021·全国高一）函数()f x x =+的值域是（ ）A ．1,2éö+¥÷êëøB ．1,2æù-¥çúèûC ．(0,)+¥D ．[1,)+¥【答案】A【解析】t =，且0t ³，则212t x +=，函数转化为2211(1)22t y t t +=+=+由0t ³，则12y ≥，即值域为1,2éö+¥÷êëø故选：A.9．（2021·浙江高一课时练习）下列函数中，不满足：(2)2()f x f x =的是（ ）A ．()f x x =B ．()f x x x=-C ．()1f x x =+D ．()f x x=-【答案】C 【解析】A 中()()2222f x x x f x ===，B 中()()2222f x x x f x =-=，C 中()()2212f x x f x =+¹，D 中()()222f x x f x =-=10．（2021·浙江高一课时练习）设函数()f x 的定义域是[0,1]，则函数()(2)(01)f x a f x a a +++<<的定义域为（ ）A ．1,22a a -éù-êúëûB ．,12a a éù--êúëûC ．[,1]a a --D ．1,2a a -éù-êúëû【答案】A 【解析】由1011021220101a x ax a a a x a x a a --ì+ìï-ïï+Þ-ííïï<<î<<ïî……………………得122a a x --……故选：A 二、多选题11．（2021·广东禅城 佛山一中高一月考）下列四个图形中可能是函数y ＝f （x ）图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AD 【解析】在A ，D 中，对于定义域内每一个x 都有唯一的y 与之相对应，满足函数关系，在B ，C 中，存在一个x 有两个y 与x 对应，不满足函数对应的唯一性，故选AD.12．（2021·历下 山东师范大学附中高一学业考试）已知()221f x x +=，则下列结论正确的是（ ）A ．()34f -=B ．()2214x x f x -+=C ．()2f x x=D ．()39f =【答案】AB 【解析】由()221f x x +=，令21x t +=，可得12t x -=，可得：()222(1)2124t t t f t --+==，即：()2214x x f x -+=，故C 不正确，B 正确；可得：()2(31)344f ---==，故A 正确；()2(31)314f -==故D 不正确；故选：AB.13．（2021·江苏姑苏 苏州中学高一期中）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）A ．()||f x x =与()g x =B ．()1f x x =+与21()1x g x x -=-C ．||()x f x x =与1,0()1,0x g x x >ì=í-<îD ．()f x =()g x =【答案】AC 【解析】对A, ()g x x ==,故A 正确.对B, ()1f x x =+定义域为R ,21()1x g x x -=-定义域为{}|1x x ¹,故B 错误.对C, 1,0()1,0x xf x x x >ì==í-<î,故C 正确.对D, ()f x =210x -³,解得1x £-或1x ³.()g x =定义域为1010x x +³ìí-³î即1x ³.故D 错误.故选：AC14．（2021·全国高一课时练习）已知函数()22,1,12x x f x x x +£-ì=í-<<î，关于函数()f x 的结论正确的是（ ）A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 的值域为(),4-¥C ．()13f =D ．若()3f x =，则x E.()1f x <的解集为()1,1-【答案】BD 【解析】由题意知函数()f x 的定义域为(),2-¥，故A 错误；当1x £-时，()f x 的取值范围是(],1-¥，当12x -<<时，()f x 的取值范围是[)0,4，因此()f x 的值域为(),4-¥，故B 正确；当1x =时，()2111f ==，故C 错误；当1x £-时，23x +=，解得1x =（舍去），当12x -<<时，23x =，解得x =或x =，故D 正确；当1x £-时，21x +<，解得1x <-，当12x -<<时，21x <，解得11x -<<，因此()1f x <的解集为()(),11,1-¥--U ；故E 错误.故选：BD.三、填空题15．（2021·全国高一课时练习）下列对应或关系式中是A 到B 的函数的序号为________.①，ÎÎA R B R ，221x y +=；②A ＝{1，2，3，4}，B ＝{0，1}，对应关系如图：③，==A R B R ，1:2®=-f x y x ；④，==A Z B Z ，:®=f x y .【答案】②【解析】①，ÎÎA R B R ，221x y +=，存在x 对应两个y 的情况，所以不是A 到B 的函数；②符合函数的定义，是A 到B 的函数；③，==A R B R ，1:2®=-f x y x ，对于集合A 中的2x =没有对应y ，所以不是A 到B 的函数；④，==A Z B Z ，:®=f x y ，对于集合A 中的{|0,}x x x z £Î没有对应y ，所以不是A 到B的函数.故答案为：②16．（2021·浙江南湖 嘉兴一中高一月考）已知，若()()10f f a =，则a =______________.【答案】32【解析】0x >时，()20f x x =-<，∴由()10f x =知0x £，∴2110x +=，3x =-，而2()11f x x =+³，因此由()3f a =-知0a >，即23a -=-，32a =．故答案为：32．17．（2021·全国高一课时练习）已知()1,00,0x f x x ³ì=í<î则不等式()2xf x x +£的解集是________.【答案】{}|1x x £【解析】当0x ³时，()1f x =，代入()2xf x x +£，解得1x £，∴01x ££；当0x <时，()0f x =，代入()2xf x x +£，解得2x £，∴0x <；综上可知{}|1x x £.故答案为：{}|1x x £.四、双空题18．（2021·全国高一课时练习）已知f(x)＝11x+ (x≠－1)，g(x)＝x 2＋2，则f （2）＝________，f(g （2）)＝________.【答案】13 17【解析】因为()11f x x =+，故可得()123f =；又()22g x x =+，故可得()22226g =+=；故()()()1267f g f ==.故答案为：13；17.19．（2021·安达市第七中学高一月考）设[]x 表示不超过x 的最大整数，已知函数[]()f x x x =-，则(0.5)f -=________ ；其值域为_________.【答案】0.5 [)0,1 【解析】作出函数[]()f x x x =-的图像，如图所示，由图可知(0.5)0.5(1)0.5f -=---=，其值域为[)0,1，故答案为(1). 0.5 (2). [)0,120．（2021·浙江高一期中）设函数()(2141x f x x ì<ï=í³ïî，则((0))f f =____，使得()4f a a ³的实数a 的取值范围是_____．【答案】4 1a £ 【解析】因为()(2141x f x x ì<ï=í³ïî，所以()01f =，因此((0))(1)4f f f ==；当1a <时，()4f a a ³可化为2(1)4+³a a ，即2(1)0a -³显然恒成立，所以1a <；当1a ³时，()44f a a =³，解得1a =；综上，1a £.故答案为4；1a £21．（2021·首都师范大学附属中学高一期中）已知函数22,(),x x x af x x x a ì-+£=í>î.（1）当a =1时，函数()f x 的值域是___________；（2）若函数()f x 的图像与直线y a =只有一个公共点，则实数a 的取值范围是_______________.【答案】R []0,1【解析】（1）当a =1时，22,1(),1x x x f x x x ì-+£=í>î当1x >时，()1f x x =>当1x £时，22()2(1)11f x x x x =-+=--+£所以函数()f x 的值域是(1,)(,1]R+¥-¥=U （2）因为当x a >时，()f x x a =>，所以只需函数2()2,()f x x x x a =-+£的图像与直线y a =只有一个公共点，当22x x x -+³，即01x ££时，所以当01a ££时，函数2()2,()f x x x x a =-+£的图像与直线y a =只有一个公共点，当22x x x -+<，即1x >或0x <时，所以当1a >或0a <，即2a x x >-+，从而函数2()2,()f x x x x a =-+£的图像与直线y a =无公共点，因此实数a 的取值范围是[]0,1故答案为：(1). R (2). []0,1五、解答题22．（2021·全国高一课时练习）求下列函数的定义域.（1）y ＝3－12x ；（2）y ＝（3）y（4）y 1x.【答案】（1）R ；（2）10,7éùêúëû；（3）()()2,11,---+¥U ；（4）()3,00,22éö-÷êëøU .【解析】（1）因为函数y ＝3－12x 为一次函数，所以该函数的定义域为全体实数R ；（2）由题意可得0170x x ³ìí-³î，解得107x ££，所以该函数的定义域为10,7éùêúëû；（3）由题意得1020x x +¹ìí+>î，解得2x >-且1x ¹-，所以该函数的定义域为()()2,11,---+¥U ；（4）由题意得230200x x x +³ìï->íï¹î，解得322x -£<且0x ¹，所以该函数的定义域为()3,00,22éö-÷êëøU .23．（2021·全国高一课时练习）已知2,11()1,11,1x x f x x x ì-££ï=>íï<-î（1）画出f(x)的图象；（2）若1()4f x =，求x 的值；（3）若1()4f x ³，求x 的取值范围.【答案】（1）作图见解析；（2）12x =±；（3）11,,22æùéö-¥-È+¥ç÷úêèûëø【解析】（1）函数2y x =的对称轴0x =，当0x =时，0y =；当1x =-时，1y =；当1x =时，1y =，则f(x)的图象如图所示.（2）1()4f x=等价于21114xx-££ìïí=ïî①或1114x>ìïí=ïî②或1114x<-ìïí=ïî③解①得12x=±，②③的解集都为Æ∴当1()4f x=时，12x=±.（3）由于1124fæö±=ç÷èø，结合此函数图象可知,使1()4f x³的x的取值范围是11,,22æùéö-¥-È+¥ç÷úêèûëø24．（2021·全国高一课时练习）根据下列条件，求f(x)的解析式.（1）f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9；（2）f(x＋1)＝x2＋4x＋1；（3）12()(0) f f x x xxæö+=¹ç÷èø.【答案】（1）f(x)＝x＋3；（2）f(x)＝x2＋2x－2；（3）2()(0)33xf x xx=-¹【解析】（1）解由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)∵3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9∴3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9，即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，由恒等式性质，得22 329 aa b=ìí+=î∴a＝1，b＝3∴所求函数解析式为f(x)＝x＋3.（2）设x＋1＝t，则x＝t－1f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1即f(t)＝t2＋2t－2.∴所求函数解析式为f(x)＝x2＋2x－2.（3）解1 ()2f x f xxæö+=ç÷èøQ，将原式中的x与1x互换，得112()f f xx xæö+=ç÷èø.于是得关于f(x)的方程组()()12112f x f x x f f x x x ìæö+=ç÷ïïèøíæöï+=ç÷ïèøî解得2()(0)33x f x x x =-¹.25．（2021·全国高一课时练习）已知函数22,2()2,2x x f x x x £ì=í+>î（1）若0)(8f x =，求0x 的值；（2）解不等式()8f x >.【答案】（1）0x =；（2）{|>x x .【解析】（1）当02x £时，由02=8x ，得04x =，不符合题意；当02x >时，由2028+=x，得0x =0x =舍去)，故0x =（2）()8f x >等价于228x x £ìí>î ——①或2228x x >ìí+>î——②解①得x f Î，解②得>x ，综合①②知()8f x >的解集为{|>x x .26．（2021·全国高一）已知(1)f x +的定义域为(2,4)，（1）求()f x 的定义域；（2）求(2)f x 的定义域【答案】（1）（3，5）；（2）35,22æöç÷èø.【解析】（1）)1(f x +Q 的定义域为(2,4)，24x \<<，则315x <+<，即()f x 的定义域为(3,5)；（2）()f x Q 的定义域为(3,5)；\由325x <<得3522x <<，即(2)f x 的定义域为35,22æöç÷èø．27．（2021·全国高一）若函数()f x =的定义域为R ，则m 的取值范围为多少？【答案】112mm ìü>íýîþ∣.【解析】Q 函数()f x =的定义域为R ，230mx x \++¹，若0m =，则3x ¹-，不满足条件．，若0m ¹，则判别式1120m D =-<，解得112m >，即1|12m m ìü>íýîþ。
1.函数的概念讲义答案版
1.函数1.1函数的定义例1．下列图形中不是函数图象的是（）A．B．C．D．【解答】解：由函数的概念，A中有的x，存在两个y与x对应，不符合函数的定义，而CBD均符合．故选：A．变式1．设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤3}，给出下列四个图形（如图所示），其中能表示从集合M到集合N的函数关系的图象是（）A．①②B．③④C．②③D．①④【解答】解：由题意知：M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤3}，对于图①中，在集合M中区间（1，2]内的元素没有象，比如f（）的值就不存在，所以图①不符合题意；对于图②中，对于M中任意一个元素，N中有唯一元素与之对应，符合函数的对应法则，故②正确；对于图③中，对于M中任意一个元素，N中有唯一元素与之对应，且这种对应是一一对应，故③正确；对于图④中，集合M的一个元素对应N中的两个元素．比如当x＝1时，有两个y值与之对应，不符合函数的定义，故④不正确故选：C．例2．设函数y＝f（x）满足f（x+1）＝f（x）+1，则函数y＝f（x）与y＝x图象交点的个数可能是（）A．0B．1C．0或无数个D．无数个【解答】解：∵f（x+1）＝f（x）+1，∴f（x+1）﹣f（x）]＝（x+1）﹣x，∴＝1，即该函数的斜率为1，而y＝x的斜率也为1，∴两直线平行或重合，∴函数y＝f（x）与y＝x图象交点的个数可能没有交点或有无数个，故选：C．变式1．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，在同一坐标系下，函数y＝f（x）的图象与直线x＝1的交点个数为（）A．0个B．1个C．2个D．0个或者2个【解答】解：∵1∈[﹣2，2]，∴由函数的定义可得：函数f（x）在定义域[﹣2，2]上，任一x均有唯一的函数值与之对应，则在同一坐标系中，y＝f（x）的图象与直线x＝1的交点的个数为1个．故选：B．1.2 同一函数的判断例3．下列各组函数中f（x）和g（x）表示相同的函数的是（）A．f（x）＝lgx2，g（x）＝2lgxB．f（x）＝x，g（x）＝C．f（x）＝1（x∈R且x≠0），g（x）＝D．f（x）＝x，g（x）＝【解答】解：A．f（x）＝lgx2的定义域为{x|x≠0}，g（x）＝2lgx的定义域为{x|x＞0}，定义域不同，不是相同函数；B.，解析式不同，不是相同函数；C．f（x）＝1（x∈R，且x≠0），，解析式不同，不是相同函数；D．f（x）＝x的定义域为R，的定义域为R，解析式和定义域都相同，是相同函数．故选：D．变式1．下列各组函数表示相同函数的是（）A．f（x）＝，g（x）＝（）2B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．f（x）＝，g（x）＝D．f（x）＝x+1，g（x）＝【解答】解：对于A，函数f（x）＝＝|x|（x∈R）与g（x）＝＝x（x≥0）的定义域不同，对应关系也不同，所以不是相同函数；对于B，函数f（x）＝1|（x∈R）与g（x）＝x0＝1（x≠0）的定义域不同，所以不是相同函数；对于C，函数f（x）＝与g（x）＝＝|x|＝的定义域相同，对应关系也相同，所以是相同函数；对于D，函数f（x）＝x+1（x∈R）与g（x）＝＝x+1（x≠1）的定义域不同，所以不是相同函数．故选：C．变式2．下列各组函数中，f（x）与g（x）是相同函数的是（e为自然对数的底数）（）A．f（x）＝，g（x）＝（）2B．f（x）＝，g（x）＝xC．f（x）＝lnx2，g（x）＝2lnxD．f（x）＝e x﹣1•e x+1，g（x）＝e2x【解答】解：A.的定义域为R，的定义域为{x|x≥0}，∴f（x）与g（x）不相同，即该选项错误；B.的定义域为{x|x≠0}，g（x）＝x的定义域为R，∴f（x）与g（x）不相同，即该选项错误；C．f（x）＝lnx2的定义域为{x|x≠0}，g（x）＝2lnx的定义域为{x|x＞0}，∴该选项错误；D．f（x）＝e x﹣1•e x+1＝e2x，g（x）＝e2x，f（x）与g（x）的定义域都是R，且解析式相同，∴f（x）与g（x）相同，∴该选项正确．故选：D．变式3．下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．f（x）＝g（x）＝B．f（x）＝g（x）＝C．f（x）＝x2﹣2x﹣1 g（t）＝t2﹣2t﹣1D．f（x）＝g（x）＝x【解答】解：f（x）＝的定义域是R，g（x）＝的定义域是R，两个函数的对应法则不相同，所以不是相同函数，所以A不正确．f（x）＝的定义域是x≥0，g（x）＝的定义域是x≤﹣1或x≥0，两个函数的定义域不相同，所以不是相同函数，所以B不正确．f（x）＝x2﹣2x﹣1的定义域是R，g（t）＝t2﹣2t﹣1的定义域是R，两个函数的对应法则相同，所以是相同函数，所以C正确．f（x）＝的定义域是R，g（x）＝x的定义域是R，两个函数的对应法则不相同，所以不是相同函数，所以A不正确．故选：C．1.3 同族函数的判断例4．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y＝x2，值域为{1，4}的“同族函数”共有（）A．7个B．8个C．9个D．10个【解答】解：由题意知同族函数是只有定义域不同的函数，函数解析式为y＝x2，值域为{1，4}时，它的定义域可以是{1，2}{1，﹣2}{﹣1，2}{﹣1，﹣2}{1，﹣1，2}{1，﹣1，﹣2}{1，2，﹣2}{﹣1，2，﹣2}{1，﹣1，2，﹣2}共有9种不同的情况，故选：C．变式1．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y＝﹣x2，值域为{﹣1，﹣9}的“同族函数”共有（）A．7个B．8个C．9个D．10个【解答】解：定义域是集合的子集，且子集中至少应该含有﹣1、1中的一个和﹣3、3中的一个，满足条件的定义有：{﹣1，﹣3}、{﹣1，3}、{1，﹣3}、{1，3}、{﹣1，1，﹣3}、{﹣1，1，3}、{﹣1，﹣3，3}、{1，﹣3，3}、{﹣1，1，﹣3，3}，共9个．故选：C．变式2．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：①f（x）＝sin x cos x；②f（x）＝sin2x+1；③f（x）＝2sin（x+）；④f（x）＝sin x+cos x．其中“同簇函数”的是（）A．①②B．①④C．②③D．③④【解答】解：由于①f（x）＝sin x cos x＝sin2x与②f（x）＝sin2x+1的图象仅经过平移没法重合，还必须经过纵坐标的伸缩变换，故不是“同簇函数”．由于①f（x）＝sin x cos x＝sin2x与④f（x）＝sin x+cos x＝2sin（x+）的图象仅经过平移没法重合，还必须经过横坐标的伸缩变换，故不是“同簇函数”．②f（x）＝sin2x+1与③f（x）＝2sin（x+）的图象仅经过平移没法重合，还必须经过横坐标的伸缩变换，故不是“同簇函数”．由于④f（x）＝sin x+cos x＝2（sin x+cos x）＝2sin（x+），故把③f（x）＝2sin（x+）的图象向左平移，可得f（x）＝2sin（x+）的图象，故③和④是“同簇函数”，故选：D．变式3．函数f：{1，}→{1，}满足f[f（x）]＞1的这样的函数个数有个．【解答】解：若函数f（x）满足，f（1）＝1，则当x＝1时，f[f（1）]＝f（1）＝1，所以此时不满足条件．若函数f（x）满足f（1）＝，，则当x＝1时，f[f（1）]＝＞1；当x＝时，f[f（）]＝＞1；所以此时满足条件．若函数f（x）满足，f（1）＝1，，则当x＝1时，f[f（1）]＝f（1）＝1，所以此时不满足条件．若函数f（x）满足，f（1）＝，＝1，则当x＝1时，f[f（1）]＝＝1，所以此时不满足条件．所以满足条件的函数只有一个．故答案为：1变式4．已知函数f（x）的定义域为A＝{1，2，3，4，5，6}，值域为B＝{7，8，9}，且对任意的x＜y，恒有f（x）≤f（y），则满足条件的不同函数共有个．【解答】解：如下图，可知满足条件的函数共10个，故答案为：10．变式5．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数y＝x2，x∈[1，2]与函数y＝x2，x∈[﹣2，﹣1]即为“同族函数”．下面函数解析式中也能够被用来构造“同族函数”的是（）A．y＝x B．C．y＝2x﹣2﹣x D．y＝log0.5x【解答】解：对于B，函数与函数满足解析式和值域相同，定义域不同，是同族函数；对于ACD，它们在定义域上具有严格的单调性，当定义域不同时，其值域一定不同，故不是同族函数；故选：B．1.4 函数的定义域例5．函数f（x）＝+lg的定义域为（）A．（2，3）B．（2，4]C．（2，3）∪（3，4]D．（﹣1，3）∪（3，6]【解答】解：要使函数有意义，则，即，＞0等价为①即，即x＞3，②，即，此时2＜x＜3，即2＜x＜3或x＞3，∵﹣4≤x≤4，∴解得3＜x≤4且2＜x＜3，即函数的定义域为（2，3）∪（3，4]，故选：C．变式1．函数f（x）＝log a（x2+2x﹣3）的定义域是（）A．[﹣3，1]B．（﹣3，1）C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣3[∪[1，+∞）【解答】解：函数，则x2+2x﹣3＞0，即（x+3）（x﹣1）＞0，解得x＜﹣3或x＞1，所以f（x）的定义域是（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．故选：C．变式2．若，则函数f（x）的定义域为（）A．B．（0，+∞）C．D．【解答】解：的定义域为：{x|}，即{x|}，解得{x|﹣＜x＜0}．故选：C．变式3．函数y＝log2x﹣1的定义域是（，1）∪（1，+∞）．【解答】解：由题意得：，解得：x＞且x≠1，故答案为：（，1）∪（1，+∞）．例6．已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是（）A．（0，B．（﹣∞，C．，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：∵f（x）的定义域为R，∴x2+x+a≥0的解集为R，∴△＝1﹣4a≤0，解得，∴实数a的取值范围是．故选：C．变式1．若函数f（x）＝的定义域为R，则实数a的取值范围是（）A．（0，4）B．[0，2）C．[0，4）D．（2，4]【解答】解：∵f（x）的定义域为R；∴ax2+ax+1＞0的解集为R；①a＝0时，1＞0恒成立，ax2+ax+1＞0的解集为R；②a≠0时，则；解得0＜a＜4；∴综上得，实数a的取值范围是[0，4）．故选：C．变式2．已知f（x）＝log a（ax2﹣ax﹣1）．（1）函数的定义域为R，求a的取值范围，（2）函数值域为R，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）＝log a（ax2﹣ax﹣1）．∴a∈（0，1）∪（1，+∞）．ax2﹣ax﹣1＞0，△＝a2+4a，∵定义域为R．∴△＜0，解得﹣4＜a＜0．综上a∈∅（2）∵函数f（x）＝log a（ax2﹣ax﹣1），且f（x）的值域为R，根据对数的性质，可知当ax2﹣ax﹣1取遍所有大于0的值时，f（x）的值域为R，∵a＞0，则y＝ax2﹣ax﹣1的图象开口向上，∴△＝a2+4a≥0，即a≤﹣4或a≥0，又a＞0，∴a∈（0，1）∪（1，+∞）．故a的取值范围为：（0，1）∪（1，+∞）．变式3．已知f（x）＝lg（ax2﹣2x+1）．（1）若f（x）的定义域为R，求a的取值范围；（2）如f（x）的值域为R，求a的取值范围；（3）若f（x）在x∈[2，3]时有意义，且f（x）的最大值与最小值的差等于1，求a的值．【解答】解：（1）∵函数的定义域为R，∴ax2﹣2x+1＞0恒成立．当a＝0时，显然不成立．当a≠0时，应有a＞0且△＝4﹣4a＜0，解得a＞1．故a的取值范围为：a＞1，（2）若函数的值域为R，则ax2﹣2x+1能取遍所有的正数，图象不能在x轴上方∴或a＝0解得：0≤a≤1，故a的取值范围为[0，1]；（3）在x∈[2，3]时，ax2﹣2x+1＞0成立，∴a＞﹣（﹣1）2+1成立，∴a＞，∵f（2）＝lg（4a﹣3），f（3）＝lg（9a﹣5），f（）＝lg（1﹣），f（x）的最大值与最小值的差等于1．∴|f（2）﹣f（3）|＝1或|f（2）﹣f（）|＝1或|f（3）﹣f（）|＝1，∴a＝．例7．函数y＝f（x）的定义域为[﹣1，2]，则函数y＝f（1+x）+f（1﹣x）的定义域为（）A．[﹣1，3]B．[0，2]C．[﹣1，1]D．[﹣2，2]【解答】解：∵函数y＝f（x）的定义域为[﹣1，2]，∴由，解得﹣1≤x≤1．∴函数y＝f（1+x）+f（1﹣x）的定义域为[﹣1，1]．故选：C．变式1．已知函数f（x）满足f（x+1）的定义域是[0，31），则f（2x）的定义域是（）A．[1，32）B．[﹣1，30）C．[0，5）D．（﹣∞，log230）【解答】解：∵f（x+1）的定义域是[0，31），即0≤x＜31，∴1≤x+1＜32，∴f（x）有意义须1≤x＜32，∴f（2x）有意义须20＝1≤2x＜32＝25，得0≤x＜5．即f（2x）的定义域是[0，5）．故选：C．变式2．设函数f（2x）的定义域是[2，4]，则函数的定义域为（）A．[1，2]B．C．[2，8]D．[8，32]【解答】解：∵函数f（2x）的定义域是[2，4]，∴4≤2x≤16，∴4≤≤16，则函数的定义域为[8，32]，故选：D．1.5 函数的值例6．如图，函数f（x）的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为（0，0），（1，2），（3，1），则f（）的值为（）A．1B．2C．0D．【解答】解：∵函数f（x）的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为（0，0），（1，2），（3，1），∴f（3）＝1，∴f（）＝f（1）＝2，故选：B．变式1．设f（x）＝g（x）＝则f[g（π）]的值为（）A．2B．0C．﹣1D．﹣2【解答】解：∵f（x）＝g（x）＝，∴g（π）＝﹣1，f[g（π）]＝f（﹣1）＝﹣2．故选：D．2.函数解析式求法2.1 待定系数法例1．已知f（x）是一次函数，且一次项系数为正数，若f[f（x）]＝4x+8，则f（x）＝（）A．B．﹣2x﹣8C．2x﹣8D．或﹣2x﹣8【解答】解：设f（x）＝ax+b，a＞0∴f（f（x））＝a（ax+b）+b＝a2x+ab+b＝4x+8，∴，∴，∴f（x）＝2x+．故选：A．变式1. 若一次函数f（x）满足f（x）+2f（1﹣x）＝x，则f（x）的解析式【解答】解：由题意设f（x）＝ax+b，（a≠0）．∵f（x）满足f（x）+2f（1﹣x）＝x，∴ax+b+2[a（1﹣x）+b]＝x，化为﹣ax+（2a+3b）＝x，∴﹣a＝1且2a+3b＝0，解得a＝﹣1，b＝，∴f（x）＝﹣x+．变式2．已知f（x）为二次函数且f（0）＝3，f（x+2）﹣f（x）＝4x+2．求f（x）的解析式．【解答】解：∵f（x）为二次函数，∴设f（x）＝ax2+bx+c，∵f（0）＝c，∴c＝3，则f（x）＝ax2+bx+3，又∵f（x+2）﹣f（x）＝4x+2，∴a（x+2）2+b（x+2）+3﹣ax2﹣bx﹣3＝4x+2，即4ax+4a+2b＝4x+2，则，即，即f（x）的解析式是f（x）＝x2﹣x+3．2.2 方程组法例2．已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）+g（x）＝x3﹣x2+1，则f（1）﹣g（1）＝（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【解答】解：由f（x）+g（x）＝x3﹣x2+1，将所有x替换成﹣x，得f（﹣x）+g（﹣x）＝﹣x3﹣x2+1，根据f（x）＝f（﹣x），g（﹣x）＝﹣g（x），得f（x）﹣g（x）＝﹣x3﹣x2+1，再令x＝1，计算得，f（1）﹣g（1）＝﹣1．故选：B．变式1．若函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f（x）﹣g（x）＝e x，试比较f（3），g（0），f（2）三数的大小：g（0）＜f（2）＜f（3）．【解答】解：由函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数得：f（﹣x）＝﹣f（x）；g（﹣x）＝g（x）∵f（x）﹣g（x）＝e x，①∴f（﹣x）﹣g（﹣x）＝e﹣x，②∴﹣f（x）﹣g（x）＝e﹣x③∴由①②③得：，，，g（0）＝﹣1，f（x）递增，f（2），f（3）＞0，e2＜e3，即有f（2）＜f（3），∴g（0）＜f（2）＜f（3）故答案为：g（0）＜f（2）＜f（3）变式2. 已知f（x）满足2f（x）+f（）＝3x．【解答】解：已知f（x）满足2f（x）+f（）＝3x…①，2f（）+f（x）＝…②，2×①﹣②可得：3f（x）＝6x﹣，解得f（x）＝2x﹣．变式3. 定义在（﹣1，1）内的函数f（x）满足2f（x）﹣f（﹣x）＝lg（x+1），求函数f（x）的解析式．【解答】解：当x∈（﹣1，1）时，2f（x）﹣f（﹣x）＝lg（x+1）①，以﹣x代x有：2f（﹣x）﹣f（x）＝lg（﹣x+1）②；由①、②联立，消去f（﹣x），得f（x）＝lg（x+1）+lg（1﹣x），x∈（﹣1，1）；∴f（x）的解析式是f（x）＝lg（x+1）+lg（1﹣x），x∈（﹣1，1）．2.3 坐标转移法例3．已知函数y＝e x的图象与函数y＝f（x）的图象关于直线y＝x对称，则（）A．f（2x）＝e2x（x∈R）B．f（2x）＝ln2•lnx（x＞0）C．f（2x）＝2e x（x∈R）D．f（2x）＝lnx+ln2（x＞0）【解答】解：函数y＝e x的图象与函数y＝f（x）的图象关于直线y＝x对称，所以f（x）是y＝e x的反函数，即f（x）＝lnx，∴f（2x）＝ln2x＝lnx+ln2（x＞0），选D．变式1．与函数y＝e2x﹣2e x+1（x≥0）的曲线关于直线y＝x对称的曲线的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意∵y＝e2x﹣2e x+1（x≥0）⇒（e x﹣1）2＝y∵x≥0，∴e x≥1，即e x＝1+∴x＝ln（1+），所以故选：A．2.4 换元法配凑法例4. 已知f（x+）＝x2+，求f（x）的解析式；【解答】解：∵f（x+）＝x2+＝﹣2，∴f（x）＝x2﹣2，且x≥2或x≤﹣2，∴f（x）的解析式是f（x）＝x2﹣2（其中x≥2或x≤﹣2）；变式1. 已知f（+1）＝lgx，求f（x）的解析式；【解答】解：设+1＝t，则x＝，代入函数解析式，得f（t）＝lg，又∵x＞0，所以t＞1；∴f（x）的解析式是f（x）＝lg（其中x＞1）；变式2. 已知f（+1）＝x+2，求f（x）．【解答】解：∵f（+1）＝x+2＝（+1）2﹣1∴f（x）＝x2﹣1，x≥1变式3. 已知x≠0时，函数f（x）满足f（）＝x2+；【解答】解：设，t≠1可得1﹣，即，可得x＝，f（t）＝，∴f（x）＝，x≠1．2.5 赋值法例5．设f（x）是R上的函数，且满足f（0）＝1，并且对任意实数x，y，有f（x﹣y）＝f （x）﹣y（2x﹣y+1），求f（x）的解析式．【解答】解：由题意，令x＝y得，f（0）＝f（x）﹣x（2x﹣x+1），则f（x）＝x（x+1）+1．3 常见的求值域的方法3.1 数形结合求值域例1．函数y＝的值域为[﹣4，+∞）．【解答】解：（1）x≤0时，y＝x2+4x＝（x+2）2﹣4；∴y≥﹣4；（2）x＞0时，y＝3x＞0；∴原函数的值域为[﹣4，+∞）．故答案为：[﹣4，+∞）．变式1．求函数y＝|x﹣1|+|x﹣3|的值域．【解答】解：由y＝|x﹣1|+|x﹣3|＝．作出y的图象：从图不难看出：函数y的值域为[2，+∞）．变式2．设函数，则下列结论错误的是（）A．D（x）的值域为{0，1}B．D（x）是偶函数C．D（x）不是周期函数D．D（x）不是单调函数【解答】解：A显然正确；∵＝D（x），∴D（x）是偶函数，B正确；∵D（x+1）＝＝D（x），∴T＝1为其一个周期，故C错误；∵D（）＝0，D（2）＝1，D（）＝0，显然函数D（x）不是单调函数，故D正确；故选：C．变式3．“[x]”表示不超过实数x的最大的整数，如[1.3]＝1，[2]＝2，[﹣2.3]＝﹣3，又记{x}＝x﹣[x]，已知函数f（x）＝[x]﹣{x}，x∈R，给出以下命题：①f（x）的值域为R；②f（x）在区间[k，k+1]，k∈Z上单调递减；③f（x）的图象关于点（1，0）中心对称；④函数|f（x）|为偶函数．其中所有正确命题的序号是①（将所有正确命题序号填上）【解答】解：由题意，f（x）＝[x]﹣{x}＝[x]﹣{x﹣[x]}＝2[x]﹣x．作出函数f（x）＝2[x]﹣x的图象如图，由图可知，f（x）的值域为R，故①正确；f（x）在区间[k，k+1），k∈Z上单调递减，故②错误；f（x）的图象不关于点（1，0）中心对称，故③错误；函数|f（x）|不是偶函数，故④错误．∴正确命题的序号为①．故答案为：①．变式4．给出定义：若m﹣＜x≤m+，（其中m为整数），则m叫作离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}＝m，在此基础上，给出下列关于函数f（x）＝|{x}﹣x|的命题：①函数f（x）的定义域是R，值域是[﹣，]；②函数y＝f（x）的图象关于y轴对称；③函数y＝f（x）的图象关于原点对称；④函数y＝f（x）在[﹣，]上是增函数；其中说法正确的是②．【解答】解：①∵，∴，∴．即0≤|{x}﹣x|；∴f（x）的值域是：，∴①错误；②当时，，∴{﹣x}＝﹣m；f（﹣x）＝|{﹣x}+x|＝|﹣m+x|＝|m﹣x|＝|{x}﹣x|＝f（x）；当x＝时，{﹣x}＝{﹣m﹣}＝﹣m﹣1，∴f（﹣x）＝|﹣m﹣1﹣（﹣m﹣）|＝＝＝f（x）；∴综上得f（﹣x）＝f（x），∴函数f（x）是偶函数，所以图象关于y轴对称，∴②正确；③由②知f（﹣x）＝f（x），∴点（﹣x，f（x）），与（x，f（x））不关于原点对称；所以f（x）图象不关于原点对称，∴③错误；④f（）＝f（），即，而，∴f（x）在上不是增函数，∴④错误；∴说法正确的是②．故答案为：②．变式5．已知a，b∈R，定义运算“⊗”：，设函数f（x）＝（2x⊗2）﹣（1⊗log2x），x∈（0，2），则f（1）＝1，f（x）的值域为[1，3）．【解答】解：由题意f（x）＝，，所以f（1）＝1，x∈（0，2），f （x）∈[1，3），故答案分别为：1，[1，3）变式6．函数的值域为R，则实数a的范围（）A．（﹣∞，﹣1）B．C．D．【解答】解：当x≥1时，y＝lnx≥0，当1﹣2a＝0，即a＝时，当x＜1时，f（x）＝，不满足f（x）的值域为R，当1﹣2a＜0，即a＞时，当x＜1时，f（x）＞1+a，不满足f（x）的值域为R，当1﹣2a＞0，即a＜时，当x＜1时，f（x）＜1+a，要使满足f（x）的值域为R，则1+a≥0，即a≥﹣1，综上﹣1≤a＜，故选：C．3.2 换元法求值域例2．已知函数f（x）＝2+x，其中1≤x≤9，求函数y＝[f（x）]2+f（x）的最大值和最小值，并求出相应x的值．【解答】解：∵f（x）＝2+x，且1≤x≤9，∴y＝[f（x）]2+f（x）＝（2+x）2+（2+x）＝x2+5x+6，（1≤x≤9），函数y＝x2+5x+6图象关于直线对称，即有函数y＝x2+5x+6在区间[1，9]上是单调递增函数，当x＝1时，函数y＝x2+5x+6取最小值，最小值为12；当x＝9时，函数y＝x2+5x+6取最大值，最小值为132．即有x＝1时，函数y＝[f（x）]2+f（x）取得最小值12；x＝9时，y＝[f（x）]2+f（x）取得最大值132．变式1．已知f（x）＝1+log2x（1≤x≤4），求函数g（x）＝f2（x）+f（x2）的最大值与最小值．【解答】解：∵f（x）＝1+log2x（1≤x≤4），∴，即1≤x≤2，∵f（x）＝1+log2x（1≤x≤4），g（x）＝f2（x）+f（x2）＝（1+log2x）2+1+2log2x，∴g（x）＝（log2x）2+4log2x+2，1≤x≤2设t＝log2x，则h（t）＝t2+4t+2，0≤t≤1，∵对称轴t＝﹣2，h（t）在[0，1]为增函数，则g（x）的最小值为h（0）＝2，最大值为h（1）＝7．变式2．求函数的值域.【解答】解：设（t≥0），x＝t2+1，则y＝t2+2t+3＝（t+1）2+2（t≥0），∵t≥0，∴t+1≥1，∴（t+1）2+2≥3，∴该函数的值域为[3，+∞）．变式3．若函数f（x）＝log2x+2，，则函数的值域（）A．[4，5]B．[4，]C．[，5]D．[1，3]【解答】解：∵x∈[，2]，∴﹣1≤log2x≤1，∴1≤f（x）≤3，∴g（x）＝f（x）+≥2＝4，当且仅当f（x）＝，即f（x）＝2，x＝1时，等号成立，又∵g（）＝5，g（2）＝，∴x＝1时，g（x）取最小值4；x＝时，g（x）取最大值5，∴函数g（x）的值域为[4，5]，故选：A．变式4．函数在[﹣1，+∞）上的值域为（）A．B．C．D．（﹣∞，3]【解答】解：∵，令，因为x∈[﹣1，+∞），所以t∈（0，3]，原函数的值域等价于函数的值域，所以．故选：C．变式5．函数f（x）＝log2的最小值为（）A．B．﹣2C．D．0【解答】解：由题意知f（x）的定义域为（0，+∞）．所以f（x）＝（﹣2+log2x）（1+log2x）＝log2x﹣2＝．当x＝时，函数取得最小值．故选：A．3.3 判别式法求值域例3．求函数y＝的值域．【解答】解：y＝；；∴；∴2＜y≤6；∴原函数的值域为（2，6]．变式1．已知函数y＝的值域是[﹣1，4]，求实数a，b的值．【解答】解：由y＝得yx2﹣（y+a）x+y﹣b＝0，①当y＝0时，方程有解，适合题意思；②当y≠0时，△＝（y+a）2﹣4y（y﹣b）≥0，化简得，3y2﹣（2a+4b）y﹣a2≤0，∵函数的值域为[﹣1，4]，∴﹣1，4是方程3y2﹣（2a+4b）y﹣a2＝0的两根，∴解得或，综上得：或．变式2．已知函数y＝定义域为（﹣∞，+∞），值域为[1，9]，求m，n．【解答】解：将式子变形为（y﹣m）x2﹣8x+y﹣n＝0，当y﹣m≠0，△＝64﹣4（y﹣m）（y﹣n）≥0即（y﹣m）（y﹣n）≤16，∴1，9是方程（y﹣m）（y﹣n）＝16的两个根，带入得，解得m＝n＝5．当y﹣m＝0时，m＝n＝5，也适合题意．∴m＝n＝5．3.4 分离常数法求值域例4．求函数的值域：【解答】解：（1），∵，∴y≠2，∴该函数的值域为{y|y≠2}；变式1．函数f（x）＝（x＞0）的值域为．【解答】解：，∵x＞0，∴﹣x＜0，0＜2﹣x＜1，∴2＜2+2﹣x＜3，∴，即函数的值域为．故答案为：．变式2．函数的值域为（）A．{y|0＜y＜2}B．{y|y＞0且y≠2}C．{y|y≠2}D．{y|y＞2}【解答】解：因为＝＝2﹣≠2．故选：C．3.5 定义域与值域的关系例5．设函数的定义域为D，若满足条件：存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[，]，则称f（x）为“倍缩函数“．若函数f（x）＝e x+为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1﹣ln2]B．（﹣∞，﹣1﹣1n2）C．[1+ln2，+∞）D．（1+ln2，+∞）【解答】解：因为函数f（x）＝e x+为“倍缩函数”，所以存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[，]，由于f（x）＝e x+单调递增，所以，即a，b为方程的两个实根，进一步转化为函数与有两个交点，不妨先求出与函数相切且斜率为的直线方程．对于数，求导得，令，解得，，所以斜率为的切线方程为，该直线在y轴上的截距为，要使函数与有两个交点，则，所以t＜﹣1﹣ln2，故选：B．变式1．函数y＝f（x）的定义域为D，若满足：①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D使得f（x）在[a，b]上的值域为[，]，则称函数f（x）为“成功函数”．若函数f（x）＝log c（c x+t）（c＞0，c≠1）是“成功函数”，则t的取值范围为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，）C．（，+∞）D．（0，）【解答】解：∵f（x）＝log c（c x+t）（c＞0，c≠1）是“成功函数”，∴f（x）在其定义域内为增函数，f（x）＝log c（c x+t）＝x，∴c x+t＝，c x﹣+t＝0，令a＝＞0，∴a2﹣a+t＝0有两个不同的正数根，∴，解得t∈（0，）．故选：D．。
函 数 的 概 念
练习：一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域： 练习：一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域：
一次函数 函 数 y＝ax＋b (a≠0) ＝ ＋
二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0) ＝ ＋ a＞0 ＞ a＜0 ＜
反比例函数 k y = (k ≠ 0) x
对应关 系 定义域 值 域
二、对函数符号y=f(x)的理解 对函数符号 的理解
1、y=f(x)为“y是x的函数”的数学表示，仅是 、 为 是 的函数”的数学表示， 的函数 一个函数符号， 不是f与 相乘 一个函数符号， f(x)不是 与x相乘 不是 例如： 可以写成f(x)= 3x+1 例如：y=3x+1可以写成 可以写成 可以写成f(2)=7 当x=2时y=7可以写成 时 可以写成 想一想 f(1)表示什么意思？ 表示什么意思？ 表示什么意思 f(1)与f(x)有什么区别？ 与 有什么区别？ 有什么区别 一般地， 表示当 表示当x=a时的函数值，是一个常量。 时的函数值， 一般地，f(a)表示当 时的函数值 是一个常量。 f(x)表示自变量 的函数，一般情况下是变量。 表示自变量x的函数 表示自变量 的函数，一般情况下是变量。
五、如何求函数的定义域
1 、 y=2x 3+3x 定义域是 定义域是R
—如果 如果f(x)是整式，函数的定义域是实数集 是整式， 如果 是整式 函数的定义域是实数集R
2、 y=1/x 定义域是 、 定义域是{x|x≠0}
—如果 如果f(x)是分式，函数的定义域是使分母不等于 的 是分式， 如果 是分式 函数的定义域是使分母不等于0的 实数的集合 —如果 如果f(x)是偶次根式，函数 是偶次根式， 如果 是偶次根式 3 、y= x − 1 的定义域是使根号内的式子大 定义域是{x|x≥1} 定义域是 于或等于0的实数的集合 的实数的集合； 于或等于 的实数的集合；如 果如果f(x)是奇次根式，函数 如果 是奇次根式， 是奇次根式 3 x 的定义域？ R 的定义域是 的定义域？ 的定义域是R. 4 、 y=X2（其中 表示正方形的边长） 其中X表示正方形的边长 定义域： | x > 0} 表示正方形的边长） {x —遇到实际问题时，自变量受实际条件的约束 遇到实际问题时， 遇到实际问题时
函数的概念试题及答案高中
函数的概念试题及答案高中一、选择题1. 下列哪个选项正确描述了函数的概念？A. 函数是一种运算B. 函数是一种关系C. 函数是一种映射D. 函数是一种变量2. 如果f(x) = 2x + 3，那么f(-1)的值是多少？A. -1B. 1C. 3D. 53. 函数y = x^2 + 1在x = -2时的值是多少？A. 5B. 4C. 3D. 1二、填空题4. 如果一个函数f(x)的定义域是所有实数R，那么这个函数被称为_________函数。
5. 函数f(x) = 3x - 2的反函数是_________。
三、简答题6. 函数的三要素是什么？7. 请解释什么是函数的值域，并给出一个例子。
四、计算题8. 给定函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求出当x = 0, 1, 2, 3时的函数值。
答案一、选择题1. C. 函数是一种映射2. A. -1（计算过程：f(-1) = 2*(-1) + 3 = -2 + 3 = 1）3. A. 5（计算过程：y = (-2)^2 + 1 = 4 + 1 = 5）二、填空题4. 无界5. f^(-1)(x) = (x + 2) / 3三、简答题6. 函数的三要素包括：定义域（Domain）、值域（Range）和对应法则（Rule of correspondence）。
7. 函数的值域是指函数所有可能的输出值的集合。
例如，函数y =x^2的值域是所有非负实数，即[0, +∞)。
四、计算题8. 当x = 0时，f(x) = 0^2 - 4*0 + 4 = 4；当x = 1时，f(x) = 1^2 - 4*1 + 4 = 1；当x = 2时，f(x) = 2^2 - 4*2 + 4 = 0；当x = 3时，f(x) = 3^2 - 4*3 + 4 = 1。
结束语：通过本试题的练习，希望同学们能够加深对函数概念的理解，掌握函数的基本性质和计算方法。
函数是数学中的基础工具，对后续的数学学习至关重要。
函数的概念复习题答案
函数的概念复习题答案一、选择题1. 函数的定义域是指函数中所有可能的自变量x的取值范围。
以下哪个选项不是函数定义域的描述？A. 所有实数B. 所有非负实数C. 所有正实数D. 所有负实数答案：D2. 函数的值域是指函数中所有可能的因变量y的取值范围。
以下哪个选项不是函数值域的描述？A. 所有实数B. 所有非负实数C. 所有正实数D. 所有负实数答案：D3. 函数的单调性是指函数在其定义域内随着自变量的增加，函数值是增加还是减少。
以下哪个选项描述了函数的单调性？A. 函数值随着自变量的增加而增加B. 函数值随着自变量的增加而减少C. 函数值随着自变量的增加而不变D. 函数值随着自变量的增加而先增后减答案：A4. 函数的奇偶性是指函数是否满足特定的对称性。
以下哪个选项描述了偶函数的性质？A. f(-x) = f(x)B. f(-x) = -f(x)C. f(x) = -f(x)D. f(x) = f(-x)答案：A5. 函数的连续性是指函数在其定义域内任意两点之间的函数值是否没有间断。
以下哪个选项描述了连续函数的性质？A. 函数在其定义域内任意两点之间存在间断点B. 函数在其定义域内任意两点之间没有间断点C. 函数在其定义域内所有点上都存在间断点D. 函数在其定义域内至少存在一个间断点答案：B二、填空题1. 如果一个函数f(x)满足f(x) = f(-x)，则称该函数为____函数。
答案：偶2. 如果一个函数f(x)满足f(x) = -f(-x)，则称该函数为____函数。
答案：奇3. 如果一个函数在其定义域内任意两点之间没有间断点，则称该函数为____函数。
答案：连续4. 函数f(x) = 2x + 3的定义域是____。
答案：所有实数5. 函数f(x) = 1/x的值域是____。
答案：所有非零实数三、解答题1. 给定函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求该函数的定义域和值域。
答案：定义域为所有实数，值域为[0, +∞)。