第3讲同余
离散数学 第3讲 同余关系和商代数
证明： 必要性： 设～是关于运算*的同余关系,并对任意a、b、c、d∈S,假设 a～b和c～d。a～b蕴含着ac～bc,而c～d蕴含着bc～bd。根据～ 的传递性, 得出ac～bd。 充分性： ～是一等价关系, 假设对任意a、b、c、d∈S,当a～b和c～d 时,ac～bd。因为c～c,故如果a～b,那么ac～bc。类似地,ca～cb。
一、同余关系
同余关系定义: 设R为代数A=<S, *, △>的载体S上的等价关系, 如果在代 数运算*下仍能保持, 则称R是关于运算*的同余关系。
a b
a*c b*c
a b
c
△a △b
一、同余关系
例1：给定代数A=<I, ·>，I：整数集合，运算· 为普通乘法运算，R为I
上的模k相等(k∈I+)关系, 即xRy当且仅当x≡y(mod k)，现在证明R是 关于运算· 的同余关系。
由定理2可以看出，一 个同态可以诱导出一 个同余关系； 反过来， 可以证明一个同余关 系也可以导出一个同 态。
∵h为同态 ∴ h(△a)=△′h(a)，h(△b)=△′h(b)
∴ h(△a)= h(△b), ∴△aR△b，即R是关于运算△的同余关系；
ii）如果aRb，cRd，则h(a)=h(b),h(c)=h(d), ∴ h(a)*′h(c)= h(b)*′h(d)， ∵h为同态 ∴ h(a*c)=h(a)*′h(c)，h(b*d) = h(b)*′h(d) ∴ h(a*c)= h(b*d)， ∴ (a*c)R(b*d)，即R是关于运算*的同余关系。
(2) 证明h是双射函数。h: S/～→f(S)是单射：对任意x1、x2∈S, 若f(x1)
五年级数学思维拓展余数定理第三讲
【五年级数学思维拓展】趣味入门—勇闯智慧岛（二）——余数定理(3)了解余数定理，会用余数定理解题1.掌握余数定理2.掌握同余定理1. 若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除。
2. 有一个大于1的整数，除45，59，101所得的余数相同，求这个数。
3. 有一个整数，除39，51，147所得的余数都是3，求这个数。
4.有一个自然数，除345和543所得的余数相同，且商相差33。
求这个数是多少？（即是该课程的课后测试）1. 有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数2. 有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数3. 已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？4. 在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0)5. 一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和．那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？1. 这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．1014556-=，594514-=，(56,14)14=，14的约数有1,2,7,14，所以这个数可能为2,7,14。
2. 答案：39336-=，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；3. 本题为一道余数与约数个数计算公式的小综合性题目。
由题意所求的自然数一定是2008-10即1998的约数，同时还要满足大于10这个条件。
这样题目就转化为1998有多少个大于10的约数，319982337=⨯⨯，共有（1+1）×（3+1）×（1+1）=16个约数，其中1，2，3，6，9是比10小的约数，所以符合题目条件的自然数共有11个。
数论基础(六讲)
数论基础（六讲）第一讲：数的概念数论是数学的一个分支，主要研究整数的性质和结构。
在数论中，我们需要理解一些基本概念。
整数：整数是数学中最基本的概念之一，包括正整数、负整数和零。
正整数是自然数，可以用来表示数量；负整数是自然数的相反数，用来表示缺少或债务；零是整数中的中性元素。
自然数：自然数是正整数的集合，通常用0, 1, 2, 3, 表示。
自然数是数论研究的核心，许多数论问题都与自然数有关。
有理数：有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数和分数。
有理数在数论中也有重要应用，例如研究整数分解和数论函数。
素数：素数是大于1的自然数，除了1和它本身以外，没有其他因数。
素数在数论中有着重要的地位，许多数论问题都与素数有关。
整除：如果一个整数a能够被另一个整数b整除，即a/b是一个整数，我们说a被b整除。
整除是数论中的基本概念，许多数论问题都涉及到整除关系。
同余：两个整数a和b，如果它们除以同一个整数m的余数相同，即a%m = b%m，我们说a和b同余。
同余是数论中的基本概念，许多数论问题都涉及到同余关系。
在数论中，我们还需要了解一些基本的运算规则，如加法、减法、乘法和除法。
这些运算规则是数论研究的基础，我们需要熟练掌握它们。
第二讲：数的分解数的分解是数论中的一个重要问题，涉及到将一个整数分解为素数的乘积。
这个问题在密码学、计算机科学和数学的其他领域中都有广泛的应用。
素数分解：素数分解是将一个整数分解为素数的乘积的过程。
例如，将60分解为2×2×3×5。
素数分解是数论中的基本问题，也是密码学中 RSA 算法的基础。
最大公约数：最大公约数（GCD）是两个或多个整数共有的最大的因数。
例如，12和18的最大公约数是6。
最大公约数在数论中有着重要的应用，例如求解线性丢番图方程。
最小公倍数：最小公倍数（LCM）是两个或多个整数共有的最小的倍数。
例如，12和18的最小公倍数是36。
数论算法讲义 3章(同余方程)
第 3 章 同余方程（一） 内容：● 同余方程概念● 解同余方程● 解同余方程组（二） 重点● 解同余方程（三） 应用● 密码学，公钥密码学3.1 基本概念及一次同余方程(一) 同余方程（1） 同余方程【定义3.1.1】（定义1）设m 是一个正整数，f(x)为n 次多项式()0111a x a x a x a x f n n n n ++++=--Λ其中i a 是正整数（n a ≠0（mod m ）），则f (x)≡0（mod m ） （1） 叫做模m 的（n 次）同余式（或模m 的（n 次）同余方程），n 叫做f(x)的次数，记为deg f 。
（2） 同余方程的解若整数a 使得 f (a)≡0（mod m ）成立，则a 叫做该同余方程的解。
（3） 同余方程的解数若a 是同余方程（1）的解，则满足x ≡a （mod m ）的所有整数都是方程（1）的解。
即剩余类a C ＝{x ｜x ∈Z ，x ≡a （mod m ）}中的每个剩余都是解。
故把这些解都看做是相同的，并说剩余类a C 是同余方程(1)的一个解，这个解通常记为x ≡a （mod m ）当21,c c 均为同余方程(1)的解，且对模m 不同余时，就称它们是同余方程(2)的不同的解，所有对模m 的两两不同余的解的个数，称为是同余方程（1）的解数，记作()m f T ;。
显然()m f T ;≤m（4） 同余方程的解法一：穷举法任意选定模m 的一组完全剩余系，并以其中的每个剩余代入方程（1），在这完全剩余系中解的个数就是解数()m f T ;。
【例1】（例1）可以验证，x ≡2，4（mod 7）是同余方程15++x x ≡0（mod 7）的不同的解，故该方程的解数为2。
50＋0＋1＝1≡3 mod 751＋1＋1＝3≡3 mod 752＋2＋1＝35≡0 mod 753＋3＋1＝247≡2 mod 754＋4＋1＝1029≡0 mod 755＋5＋1＝3131≡2 mod 756＋6＋1＝7783≡6 mod 7【例2】求同余方程122742-+x x ≡0（mod 15）的解。
高中数学竞赛专题讲座---同余理论及其应用(一)
同余理论及其应用基础知识一. 定义定义1. 设m 为正整数，整数a 和b 之差可被m 整除时，称为a 和b 关于模m 同余，记作 ).(mod m b a ≡ 定义2. 被正整数m 除余数相等的所有整数的集合称为模m 的剩余类。
模m 的剩余类共有m 个。
定义3. 在模m 的m 个剩余类中各取一个整数作为代表，这些代表的集合称为模m 的完全剩余系。
定义4. 绝对值不超过]2[m 的模m 的完全剩余系称为模m 的绝对最小剩余系。
定义5. 当模m 的某一剩余类的所有整数均与m 互素时，则称此剩余类是模m 的简化类。
模m 的简化类共有)(m φ个。
定义6. 在模m 的)(m φ个简化类中各取一个整数作为代表，这些代表的集合称为模m 的简化剩余系。
定义7. 欧拉函数：设n 为正整数，从1到n 的整数中与n 互素的整数的个数用)(n φ表示，称)(n φ为欧拉函数。
当1212s s np p p ααα=时，有)11)...(11)(11()(21s p p p n n ---=φ 二. 定理定理1. ).(mod m b a ≡ 的必要充分条件是a 和b 被m 除的余数相等。
定理 2. I .);(mod m a a ≡II .若),(mod m b a ≡则);(mod m a b ≡III .若),(mod m b a ≡),(mod m c b ≡则).(mod m c a ≡定理3. 若)(m od 11m b a ≡，)(m od 22m b a ≡，则I .)(m od 2121m b b a a +≡+；II .(mod 2121m b b a a -≡-2 )(m od 212m b b a -≡-；III .)(m od 2121m b b a a ≡.定理4. 如果),...,2,1)((m od n i m b a i i =≡，则I .)(m od ......2121m b b b a a a n n +++≡+++；II . ).(m od ......2121m b b b a a a n n ≡推论. 如果).(mod m b a ≡n 为任意正整数，则).(mod m b a nn ≡ 定理5. 如果).(mod m cb ca ≡则).),((modm c m b a ≡ 推论. 如果1),(=m c ，).(mod m cb ca ≡则).(mod m b a ≡ 定理6. 如果).(mod m b a ≡则).,(),(m b m a =定理7. a 和b 属于模m 的同一剩余类的充要条件是).(mod m b a ≡定理8. m 个整数m a a a ,...,,21是模m 的完全剩余系的充要条件是m a a a ,...,,21关于模m 两两互不同余。
2023年小升初第三讲专题训练之数论问题
小升初专题训练---数论数论在数学中旳地位是独特旳，高斯曾经说过“数学是科学旳皇后，数论是数学中旳皇冠”。
翻开任何一本数学辅导书，数论旳内容都占据了不少旳版面。
在小升初择校考试及小学各类数学竞赛中，直接运用数论知识解题旳题目分值大概占据整张试卷总分旳12%左右，小学阶段旳数论知识点重要有：1、质数与合数、因数与倍数、分解质因数2、数旳整除特性及整除性质3、余数旳性质、同余问题4、位值原理5、最值问题知识点一：质数与合数、因数与倍数、分解质因数1.质数与合数突破要点——质数合数分清晰，2是唯一偶质数(1)质数：一种数除了1和它自身以外，没有其他旳因数，这样旳数统称质数。
(2)合数：一种数除了1和它自身以外，尚有其他旳因数，这样旳数统称合数。
例如：4、6、8、10、12、14，…都是合数。
在100以内有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97共25个质数2约数与倍数公因数短除法到一种不能除为止，公倍数除到海枯石烂为止，因数有限个，倍数无穷多。
假如一种自然数a能被自然数b整除，那么称a为b旳倍数，b为a旳约数。
假如一种自然数同步是若干个自然数旳约数，那么称这个自然数是这若干个自然数旳公约数。
在所有公约数中最大旳一种公约数，称为这若干个自然数旳最大公约数。
自然数a1，a2，…，an旳最大公约数一般用符号（a1，a2，…，an）表达，例如，（6，9，15）=3。
3．质因数与分解质因数（1）假如一种质数是某个数旳约数，那么就是说这个质数是这个数旳质因数。
（2）把一种合数用质因数相乘旳形式表达出来，叫做分解质因数。
例如，把42分解质因数，即是42=2×3×7。
其中2、3、7叫做42旳质因数。
又如，50=2×5×5，2、5都叫做50旳质因数。
4、要注意如下几条：（1）1既不是质数，也不是合数。
苏科版五(下)奥数教案第3讲~韩信点兵
五（下）奥数第3讲~韩信点兵【知识精讲】本讲我们将在寒假余数的基础课上继续深入学习余数，的性质和计算，同样属于数论专题。
我们这节课重难点是学习物不知数问题的解法。
我们这节课要掌握以下几点：1、学习物不知数问题的解法；2、学习利用分解求余法计算余数；3、学习同余的概念，利用同余把余数问题转化为整除问题来解决。
知识点一：余同问题热身小练习：1、“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，春天到啦。
乐乐所在的班要去春游，需要把全班同学平均分成若干组，如果分成3人一组结果没有剩余，4人一组结果也没有剩余。
乐乐班可能有多少人？2、“好雨知时节，当春乃发生”，春雨过后，万物复苏，乐乐所在的班也要去春游，现把全班同学平均分成若干组，如果3人一组最后会多一人，4人一组最后也会多一人。
乐乐班可能有多少人？思考题：如果一个数除以3余2，除以4余2，这个数可能是多少？例1-1、大家好我是野猪佩奇，这是我的弟弟乔治，这是我的妈妈，这是我的爸爸，我们在包装冰淇淋，如果一袋装8个，最后一袋只有3个，如果一袋装12个，最后一袋也只有3个。
猪年里的小朋友，知道佩奇一家至少有多少个冰淇淋吗？例1-2、一个三位数除以9余4，除以8也余4，这个三位数最小是多少？练1-1、一个自然数除以7余3,除以6也余3,这个自然数最小是多少?练1-2、一个三位数除以10余3，除以16也余3，这个三位数最小是多少？知识点二：差同问题热身小练习：“踏一路春风，撒一路欢笑，向荒山野岭进军，春光染绿我们双脚。
”春天到处充满了生机，优优所在的班级也等不及去春游啦，现把全班同学平均分成若干组，若3个人为一组，则余2人；若4个人为一组，则余3人，优优班可能有多少人？想一想：如果一个数除以3余2，除以4余3、除以5余4，这个数可能是多少？例2-1、开学已经三周，但寒假作业的恐怖之处令部分同学仍心有余悸，张老师在寒假也提醒过“道路千万条，学习第一条。
寒假不学习，回校两行泪。
小升初第三讲――专题训练之数论问题.(优选)
小升初专项训练---数论数论在数学中的地位是独特的，高斯曾经说过“数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠”。
翻开任何一本数学辅导书，数论的内容都占据了不少的版面。
在小升初择校考试及小学各类数学竞赛中，直接运用数论知识解题的题目分值大概占据整张试卷总分的12%左右，小学阶段的数论知识点主要有：1、质数与合数、因数与倍数、分解质因数2、数的整除特征及整除性质3、余数的性质、同余问题4、位值原理5、最值问题知识点一：质数与合数、因数与倍数、分解质因数1.质数与合数突破要点——质数合数分清楚，2是唯一偶质数(1)质数：一个数除了1和它本身以外，没有其他的因数，这样的数统称质数。
(2)合数：一个数除了1和它本身以外，还有其他的因数，这样的数统称合数。
例如：4、6、8、10、12、14，…都是合数。
在100以内有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97共25个质数2约数与倍数公因数短除法到一个不能除为止，公倍数除到海枯石烂为止，因数有限个，倍数无穷多。
如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数。
如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。
在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。
自然数a1，a2，…，an的最大公约数通常用符号（a1，a2，…，an）表示，例如，（6，9，15）=3。
3．质因数与分解质因数（1）如果一个质数是某个数的约数，那么就是说这个质数是这个数的质因数。
（2）把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例如，把42分解质因数，即是42=2×3×7。
其中2、3、7叫做42的质因数。
又如，50=2×5×5，2、5都叫做50的质因数。
4、要注意以下几条：（1）1既不是质数，也不是合数。
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第三讲 同余
一、基础知识与典型例题
知识点1.同余的定义
设m 是一个给定的正整数，如果两个整数b a ,用m 除所得的余数相同，则称b a ,对模m 同余，记为：()m b a mod ≡.
知识点2.同余的性质
① ()a m m a ⇔≡mod 0
② 若()m b a mod ≡，则()()m b m a ,,=
③ 若()m b a mod ≡，()m c b mod ≡，则()m c a mod ≡
④ 若()m b a mod ≡，()m d c mod ≡，
则()m d b c a mod ±≡±，()m bd ac mod ≡
特别地，若()m b a mod ≡，则()m c b c a mod ±≡±，()m bc ac mod ≡,)(mod m b a n n ≡. ⑤ 若()m bc ac mod ≡，0≠c ，则()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
≡c m m b a ,mod 特别地，若()1,=c m ，则()m b a mod ≡
⑥ 若()m b a mod ≡，m d ，0>d ，则()d b a mod ≡
⑦ 若()1mod m b a ≡，()2mod m b a ≡，则[]()21,mod m m b a ≡
特别地，若()1,21=m m ，则()21mod m m b a ≡
例1.求数2006104
被29除的余数.
例2.求自然数102101100432
++的个位数.
例3.设p 是不小于5的质数,且12+p 也是质数.
求证:14+p 不是质数.
知识点3. 剩余类
（1）定义
设+∈N m ，把全体整数按其对模m 的余数)10(-≤≤m r r 归为一类，记为r K ，每一类)1,,2,1,0(-=m r K r 均称为模m 的剩余类（又叫同余类），同一类中任一数称为该类中另一类的剩余。
（2）性质
① 1210-=m K K K K Z ，而φ=j i K K ，j i ≠
② 对于Z n ∈∀，有唯一的{}1,,2,1,00-∈m r ，使得0r K n ∈
③ 对于()m b a K b a Z b a r mod ,,,≡⇔∈∈∀.
知识点4. 完全剩余系（完系）
（1）定义
设1210,,,,-m K K K K 是模m 的全部剩余类，从每个r K 中任取一个数r a ，这m 个数1210,,,,-m a a a a 组成的一个数组称为模m 的一个完全剩余系，简称完系.
（2）性质
① 模m 的完全剩余系有无穷多个。
最常用的有两个：
（Ⅰ）最小非负剩余系：1,,2,1,0-m
（Ⅱ）最小绝对值剩余系
当12+=k m 时，为：k k k k ,1,,2,1,0,1,,1,--+--
当k m 2=时，为：()()k k k ,,2,1,0,1,,2,1 -----
或 ()1,2,,2,1,0,1,,1,------k k k k
② m 个整数m m a a a a a ,,,,,1321- 是模m 的一个完系
⇔当m j i ≤<≤1时，()m a a j i mod ≡
③ 任意m 个连续的整数构成模m 的一个完系
④ 设()1,=m b ，c 为任意整数，若m a a a ,,,21 是模m 的一个完系，
则c ba c ba c ba m +++,,,21 也是模m 的一个完系.
知识点5. 简化剩余系（简系）
（1）欧拉函数
m 为一正整数，
把1,,2,1,0-m 中与m 互质的数的个数叫做m 的欧拉函数，记为)(m ϕ. )(m ϕ的计算公式：设m 的标准分解式为：k k p p p m ααα⋅⋅⋅= 212
1， 则∏=-⋅
=k i i p m m 1)1
1()(ϕ （2）简化剩余系定义 如果模m 的一个剩余类r K 中的任一数与m 互质，则称r K 是与模m 互质的剩余类，在与模m 互质的每个剩余类中任取一个数(共)(m ϕ个)所组成的数组，称为模m 的一个简化剩余系（简称简系）.
（3）简化剩余系性质
① )(21,,,m a a a ϕ 是模m 的简化剩余系
⇔()1,=m a i ,且对于)(1m j i ϕ≤<≤，()m a a j i mod ≡
②在模m 的一个完全剩余系中，取出所有与m 互质的数组成的数组就是模m 的一个简化剩余系. ③ 设)(21,,,m a a a ϕ 是模m 的一个简化剩余系，若()1,=m b ，
则)(21,,,m ba ba ba ϕ 也是模m 的简化剩余系.
例4.设n 为偶数，n a a a ,,,21 与n b b b ,,,21 均是模n 的完全剩余系.
试证：n n b a b a b a +++,,,2211 不是模n 的完全剩余系.
知识点6.常用定理
（1）欧拉定理：若()1,=m a ，则)(mod 1)(m a m ≡ϕ
（2）费尔马小定理：若p 为素数，则)(mod p a a p ≡，
特别地，若p 为素数，且(,)1a p =，则11(mod )p a p -≡ .
例5.质数3>p 且)3(mod 2≡p ，Z y x ∈,
求证：若)(mod 33p y x ≡，则)(mod p y x ≡
知识点7.a 模m 的阶
（1）定义
设1>m 是一个固定的整数，a 是与m 互质的整数，则存在整数k ，m k ≤≤1，使得)(mod 1m a k ≡，我们将具有这一性质的最小正整数（仍记为k ）称为a 模m 的阶.
（2）性质
① 设()1,=m a ,k 是a 模m 的阶，v u ,是任意整数，则)(mod m a a v u ≡的充要条件是)(mod k v u ≡，特别地，)(mod 1m a u ≡的充要条件是u k .
② 设()1,=m a ,k 是a 模m 的阶,则数列 ,,,,,12+k k a a a a 是模m 的周期数列，其最小正周期为k ，而k 个数k a a a ,,,2 关于模m 互不同余.
③ 设()1,=m a ，则a 模m 的阶整除欧拉函数)(m ϕ.
例6.设a 和m 都是正整数，1>a ，证明：)1(-m a m ϕ.
例7.设p 是奇素数，证明：12-p 的任一素因子都具有形式12+px ，x 是正整数.
例8.设b a m ,,都是正整数，1>m ，则()
()11,1,-=--b a b a m m m .。