余数与同余解析

六余数和同余

1.有余数的除法各部分之间的关系：

被除数=除数×商＋余数被除数－余数﹦商×除法

2.除法算式的特征:余数＜除数

3.有关余数问题的性质：

性质1：如果两个整数a,b除以同一个数m，而余数相同，那么a和b的差能被m整除。

性质2：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的差就一定能被这个数整除。性质3：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的乘方仍然同余。

解答同余类型题目的关键是灵活运用性质，把求一个比较大的数字除以某数的余数问题转化为求一个较小数除以这个数的余数，使复杂的问题变得简单化。

1.把题目转化为算式就是：□÷7﹦□……□

余数要比除数7小，商和余数相同，题中商和余数可能是0、1、2、3、4、5、6，带入原式。根据被除数﹦商×除法＋余数，算得：

0×7＋0﹦0；1×7＋1﹦8；2×7＋2﹦16；3×7＋3﹦24；

4×7＋4﹦32；5×7＋5﹦40；6×7＋6﹦48。

所求被除数可能是：0、8、16、24、32、40、48。

一个三位数被37除余17，被36除余3，那么这个三位数是多少？有啥好方法吗？

这道题可采取经典的余数处理方法------凑。

这个凑，可不是漫无目的的凑。而是有理有据才行。

1、找一个最小的自然数，满足除以37余17，当然17即可满足。

2、很显然，这个数除以36并不余3，作适当调整。

3、为了不改变37的那个余数，每次可加上一个37.

4、每加一次37，除以36的那个余数就增加1（记住，不要计算被除数是多少，而采取的是余数的性质。被除数扩大一倍，余数也扩大一倍，被除数增加几，余数也会增加几（或者除以除数的余数））

5、因为我们要求的数除以36要余3，现在只是余17，即达到36后再多出3，即余39（注意，这里用的是扩展余数），还差39-17=22.所以要增加22个37.

6、结果是17+22×37即为答案。

在作除法运算时，我们有这样的经验：

(1)一些不同的数除以一个相同的数可能会得到相同的余数.如，除以5余3的数有5×1+3=8，5×2+3=13，5×3+3=18，5×4+3=23，

(2)一个相同的数除以一些不同的数，可能会有相同的余数.如，389分别除以5、7和11会得到相同的余数4.

389÷5=77......余4，389÷7=55......余4，389÷11=55 (4)

由此，我们可以来讨论下面的两个问题.

某数被5除余4，被7除也余4，被11除还余4.要求某数和某数最小是多少?读者一定会想到有：

5×7×11+4=389，5×7×11×2+4=774，5×7×11×3+4=1159，

答案有无数多个，但最小的只能是389.

于是，我们也可以提这样的问题：

某数被5除余2，被7除余4，被11除余8.问某数是多少和某数最小是多少?读者一定会想到是

5×7×11×1-3=382，5×7×11×2-3=767，5×7×11×3-3=1152，答案有无数多个，但最小只能是382.

【规律】

某数分别除以a、b、c、……，都得到相同的余数k.求某数最小是多少?答案是[a，b，c，……]+k.

某数分别除以a、b、c、……，得到相应的余数A、B、C、……，并且这些余数跟相应的除数都相差同样多(设为k)，即

a-A=b-B=c-C=……=k.求某数最小是多少?答案是[a，b，c，……]-k.

例2：小张在计算有余数的除法时，把被除数113错写成131，结果商比原来多3，但余数恰巧相同。那么该题的余数是多少？

问题1、474除以一个两位数的余数是6，求符合条件的所有两位数。

想：因为被除数=商×除数＋余数，所以商×除数=被除数－余数。因此，所求两位数与商的积是474－6=468，把468分解质因数是468=2×2×3×3×13，又因为要求的除数是两位数，只要将468的质因数进行配对试算就行。

解：468=2×2×3×3×13，2×13=26，3×13=39，2×2×3=12，2×3×3=18，2×2×13=52，2×3×13=78，2×2×3×3=36.

答：符合条件的两位数有：13，26，39，12，18，52，78和36共8个。

试一试：1、1309除以一个质数，余数是21，求这个质数。

2、389除以一个两位数，余数是5，求符合条件的所有两位数。

问题3、一个大于1的整数，它除967，1000，2001得到相同的余数，那么这个整数是多少？

想：因为967，1000，2001除以这个整数的余数相同，967，1000，2001这三个数两两相减的差，都是所求整数的因数。

解：1000－967=33=3×11，2001－1000=1001=7×11×13，

2001－967=1034=2×11×47，这些差的公因数就是所求的整数。

答：这个整数是11。

试一试：

1、有一个大于1的整数，用它除1000，1975，2001都得到相同的余数，这个整数是

多少？

2、1989，901和306被同一个自然数除，得到相同的余数，求这个自然数。

问题4、两个自然数相除，商15，余3。已知被除数、除数、商、余数的和是853，求被除数和除数。

想：因为853是被除数、除数、商和余数相加的和，从853里减去余数3，减去商15的差，就是被除数、除数的和；又因为被除数=除数×商＋余数即被除数=除数×15＋3，再从850里减去余数3，就是除数的（15＋1）倍。

解：853－3×2－15=832，832÷（15＋1）=52，52×15＋3=783.

答：被除数是783，除数是52。

试一试：

1、两数相除，商16，余数是4，已知被除数、除数、商和余数的和是313，求除数和

被除数。

2、两数相除，商40余7，已知被除数、除数、余数和商的和是710，求被除数。

问题5、求111……11被13除的余数。

2007个1

解析：用2007个1所组成的2007位整数去除以13，再求出余数，显然太麻烦。我们可以先写出若干1所组成的数来除以13，容易发现111111是13的倍数，即每6个1所组成的六位数是13的倍数，再看2007个1组成的数中有多少个6个1组成的六位数，最后看还余下多少个1来确定余数。

由于2007÷6=334……3，即111……11可按6个1一节分成334节余3个1，

2007个1

而111÷13=8……7，所以所求的余数为7。

试一试：

1、777……7除以13，余数是几？商的各位数字之和是多少？

100个7