圆锥曲线焦点弦的一个优美恒等式及应用
【高考】圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式 湖北省天门中学 薛德斌一、圆锥曲线的极坐标方程椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系．椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θρcos 1e ep -=. 其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ．当0＜e ＜1时，方程表示椭圆；当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线； 当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.二、圆锥曲线的焦半径公式设F 为椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P 为椭圆(双曲线的右支、抛物线)上任一点，则 ∵PQ e PF =，∴)cos (p PF e PF +=θ，其中FH p =，=θ〈x 轴，FP 〉 ∴焦半径θcos 1e ep PF -=． 当P 在双曲线的左支上时，θcos 1e ep PF +-=. 推论：若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，则有epNF MF 211=+.三、圆锥曲线的焦点弦长若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，1、椭圆中，c b c c a p 22=-=，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=. 2、双曲线中，若M 、N 在双曲线同一支上，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=； 若M 、N 在双曲线不同支上，2222cos 2cos 1cos 1ac ab e ep e ep MN -=--+-=θθθ. 3、抛物线中，θθπθ2sin 2)cos(1cos 1p p p MN =--+-=. 四、直角坐标系中的焦半径公式设P （x,y ）是圆锥曲线上的点，1、若1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，则ex a PF +=1，ex a PF -=2；2、若1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，当点P 在双曲线右支上时，a ex PF +=1，a ex PF -=2；当点P 在双曲线左支上时，ex a PF --=1，ex a PF -=2；3、若F 是抛物线的焦点，2p x PF +=.。
圆锥曲线弦长公式的各类表达形式及应用
圆锥曲线弦长公式的各类表达形式及应用
圆锥曲线弦长公式是指一种求解圆锥曲线弦长长度的数学公式。
圆锥曲线是常见的椭圆锥这类参数方程曲线，表示一条从圆柱面出发在四个方向上均呈轻微弯曲，伸展出不同长度的弦曲线，它具有如下表达形式：
X^2 + Y^2 + z^2 / a^2 + 2z / c = 1
其中a为曲线的椭圆截面半径，c为曲线的焦点到原点的距离。
此外，圆锥曲线的弦长公式又有两种表达形式：积分形式和解析形式。
即：
积分形式：l= ∫ a,b √[(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2+ (dz/dt)^2] dz
解析形式：l= 2a ∫ 0,π/2 [1+ (z/c)^2] ^1/2 d θ
这两种形式分别由圆锥曲线弦长公式参数方程求得，分别通过积分、解析解轴，分别求得弦长长度。
应用上，圆锥曲线弦长公式有各种广泛的应用。
它被冶金、机械、建筑等工程学科广泛使用，主要处理伸缩性有限的形状问题，满足测量要求及计算曲线的长度的需要。
同时，它还被广泛应用于地球物理学领域，一种可以变成圆锥曲线的小球轨迹，可以用来研究宇宙物质的运动规律。
总而言之，圆锥曲线弦长公式具有可探索性广泛的应用，对于求解圆锥曲线弦长长度具有重要意义。
圆锥曲线专题解析3：焦点弦问题
圆锥曲线专题解析3：焦点弦问题圆锥曲线专题解析3:焦点弦问题Ø方法导读圆锥曲线是高考的必考内容,主要命题点有直线与圆锥曲线的位置关系的应用,圆锥曲线中的弦长、弦中点、面积、定点、定值、最值、取值范围、存在性问题,综合性较强.从近三年高考情况来看,多考查直线与椭圆或抛物线的位置关系,常与向量、圆等知识结合,难度较大.解题时,充分利用数形结合思想,转化与化归思想,同时注重数学思想在解题中的指导作用,以及注重对运算能力的培养.在解题过程中常用到点差法、根与系数的关系、设而不求、整体代换等技巧,注意掌握.如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点,则称此弦为焦点弦.圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率(或倾斜角)、定比分点(向量)、焦半径和焦点弦长等有关知识.焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”,集数学知识、思想方法和解题策略于一体,倍受命题人青睐,在近几年的高考中频频亮相,题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题,也有作为大题进行考查的.Ø高考真题【2018·全国I卷理·19】设椭圆的右焦点为,过的直线与交于,两点,点M的坐标为.(1)当与轴垂直时,求直线的方程;(2)设为坐标原点,证明:.Ø解题策略【过程分析】第一问,先求出椭圆的右焦点的坐标,由于与轴垂直,所以可求出直线的方程,从而求出点的坐标,再利用直线方程的两点式,即可求出直线的方程;第二问,对直线分三类讨论:当直线与轴重合时,直接求出.当直线与轴垂直时,可直接证得.当直线与轴不重合也不垂直时,设的方程为,,,利用斜率公式表示出,把直线的方程代入椭圆的方程,消去转化为关于X的一元二次方程,利用根与系数的关系即可证明,从而证得.【深入探究】破解此类解析几何题的关键,一是“图形”引路,一般需画出大致图形,把已知条件翻译到图形中,利用直线方程的点斜式或两点式,即可快速表示出方程;二是“转化”桥梁,即会把要证的两角相等,根据图形的特征,转化为斜率之间的关系,再把直线与椭圆的方程联立,利用根与系数的关系,以及斜率公式即可证得结论.Ø解题过程(1)由已知得,的方程为.由已知可得,点的坐标为或,所以的方程为或.(2)当与轴重合时,.当与轴垂直时,为的垂直平分线,所以.当与轴不重合也不垂直时,设的方程为,,,则,,直线,的斜率之和为.由,得.将代入得.所以,,则.从而,故,的倾斜角互补,所以.综上,.Ø解题分析本题考查椭圆的标准方程及其简单性质、焦点弦斜率问题,考查考生的推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.对比2015年全国I卷理科数学第20题:在直角坐标系中,曲线与直线交于,两点.(1)当时,分别求在点和处的切线方程;(2)轴上是否存在点,使得当变动时,总有说明理由.2018年的全国I卷的第19题只是把2015年全国I卷的第20题的“抛物线”变为“椭圆”,仍然考查直线与圆锥曲线有两个交点的位置关系,都是“求方程”与“相交弦的斜率”问题,只是去掉了原来的是否存在型的外包装.在强调命题改革的今天,通过改编、创新等手段来赋予高考典型试题新的生命,这成为高考命题的一种新走向,所以我们在复习备考的过程中要注意对高考真题的训练,把握其实质,掌握其规律,规范其步骤,做到“胸中有高考真题”,那么我们就能做到以不变应万变.Ø拓展推广1.圆锥曲线过焦点的所有弦中最短的弦过焦点且与对称轴垂直的弦称为通径.(1)椭圆过焦点的最短弦为通径,长为.(2)双曲线过焦点的最短弦为通径或实轴长,长为或.注意:对于焦点在轴上的椭圆、双曲线,上述结论仍然成立.(3)抛物线过焦点的最短弦为通径,长为.注意:对于焦点在轴负半轴上,焦点在轴上的抛物线,上述结论仍然成立.2.圆锥曲线的焦半径公式圆锥曲线上任意一点到焦点的距离叫做圆锥曲线关于该点的焦半径,利用圆锥曲线的第二定义很容易得到圆锥曲线的焦半径公式.(1)椭圆的焦半径公式①若为椭圆上任意一点,点,分别为椭圆的左右焦点,则,.②若为椭圆上任意一点,点,分别为椭圆的上下焦点,则,.(2)双曲线的焦半径公式①若为双曲线上任意一点,点,分别为双曲线的左右焦点,当点在双曲线的左支上时,则,;当点在双曲线的右支上时,则,.①若为双曲线上任意一点,点,分别为双曲线的上下焦点,当点在双曲线的下支上时,则,;当点在双曲线的上支上时,则,.(3)抛物线的焦半径公式①若为抛物线上任意一点,则;②若为抛物线上任意一点,则;③若为抛物线上任意一点,则;④若为抛物线上任意一点,则.3.圆锥曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为定值(1)椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数,(其中).(2)双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数,当焦点弦的两个端点,在同支时,;当,在异支时,(其中).注意:对于焦点在轴上的椭圆、双曲线,上述结论仍然成立.(3)抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数(其中).涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥曲线的定义求解.另外熟记圆锥曲线焦点弦的一些重要结论,可以快速求解与焦点弦有关的最值或范围问题.变式训练1如图,椭圆的右焦点为,过点的直线与椭圆交于、两点,直线与轴相交于点,点在直线上,且满足轴.(1)当直线与轴垂直时,求直线的方程;(2)证明:直线AM经过线段的中点.变式训练2已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,抛物线的动弦过点,过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点.(1)求抛物线的标准方程;(2)求的最小值.变式训练3设抛物线的焦点为,过且斜率为()的直线与交于两点,.(1)求的方程;(2)求过点且与的准线相切的圆的方程.变式训练4已知抛物线的焦点为,过的直线交抛物线于,两点.(1)若以,为直径的圆的方程为,求抛物线的标准方程;(2)过,分别作抛物线的切线,,证明:,的交点在定直线上.变式训练5抛物线的焦点为,是上一点,且.(1)求的方程;(2)过点的直线与抛物线相交于,两点,分别过点,两点作抛物线的切线,,两条切线相交于点,点关于直线的对称点,判断四边形是否存在外接圆,如果存在,求出外接圆面积的最小值;如果不存在,请说明理由.。
圆锥曲线焦点弦长公式
圆锥曲线焦点弦长公式
椭圆：
对于椭圆，其标准方程为 a2x2+b2y2=1（其中 a>b）。
焦点到椭圆上任意一点的距离之和为常数，等于椭圆的长轴长，即 2a。
焦点弦长的一般公式比较复杂，但如果是过焦点的直线与椭圆相交，且直线的斜率存在，设为 k，则弦长 L 可以用以下公式表示：
L=a2k2+b22b2
双曲线：
对于双曲线，其标准方程为 a2x2−b2y2=1。
焦点到双曲线上任意一点的距离之差为常数，等于双曲线的实轴长，即 2a。
对于双曲线的焦点弦长，情况与椭圆类似，但公式会有所不同。
如果过焦点的直线与双曲线相交，且直线的斜率存在，设为 k，则弦长 L 可以用以下公式表示：L=b2−a2k22b2
抛物线：
对于抛物线，其标准方程为 y2=4px（其中 p 是焦距）。
焦点到抛物线上任意一点的距离等于该点到准线的距离。
对于抛物线的焦点弦长，如果过焦点的直线与抛物线相交，且直线的斜率存在，设为 k，则弦长 L 可以用以下公式表示：
L=k22p。
圆锥曲线公式及知识点总结
圆锥曲线公式及知识点总结圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的商是常数e的点的轨迹。
数学里有很多公式，为了帮助大家更好的学习数学，小编特地为大家整理了圆锥曲线公式及知识点总结，希望对大家的数学学习有帮助。
圆锥曲线公式：椭圆1、中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：其中x²/a²+y²/b²=1,其中a>b>0,c²=a²-b²2、中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：y²/a²+x²/b²=1,其中a>b>0,c²=a²-b²参数方程：x=acosθ;y=bsinθ(θ为参数，0≤θ≤2π)圆锥曲线公式：双曲线1、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程：x²/a-y²/b²=1,其中a>0，b>0，c²=a²+b².2、中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程：y²/a²-x²/b²=1,其中a>0，b>0，c²=a²+b².参数方程：x=asecθ;y=btanθ(θ为参数)圆锥曲线公式：抛物线参数方程:x=2pt²；y=2pt(t为参数)t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率)特别地，t可等于0直角坐标:y=ax²+bx+c(开口方向为y轴，a≠0)x=ay²+by+c(开口方向为x轴，a≠0)离心率椭圆，双曲线，抛物线这些圆锥曲线有统一的定义：平面上，到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
且当01时为双曲线。
圆锥曲线公式知识点总结圆锥曲线椭圆双曲线抛物线标准方程x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)y²=2px(p>0)范围x∈[-a,a]x∈(-∞，-a]∪[a,+∞)x∈[0,+∞)y∈[-b,b]y∈Ry∈R对称性关于x轴，y轴，原点对称关于x轴，y轴，原点对称关于x轴对称顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)(a,0),(-a,0)(0,0)焦点(c,0),(-c,0)(c,0),(-c,0) (p/2,0)【其中c²=a²-b²】【其中c²=a²+b²】准线x=±a²/cx=±a²/cx=-p/2渐近线——————y=±(b/a)x—————离心率。
圆锥曲线焦点弦的性质及应用
线 Ｚ 方程 ． 的
Ａ（ ０） Ｓ（ ６ ， Ｉ ＢＩ＝２ ， 椭 圆 右 焦 点 Ｆ且 ａ， 、 Ｏ，） 若 Ａ √ 过 斜 率 为 的直 线 ｌ 椭 圆 截 得 的 线 段 长 为 椭 圆 长 轴 被
长的÷ ， 求椭圆方程・
解
ｅ ：
解
设直 线 ｚ 与 轴 的 倾 角 为 ａ， 题 意 得 由
设 Ｆ（ ， ）直 线 ｚ 倾 角 为 ， Ｃ０ 的 则
， ： Ｊ Ｄ
Ｆ（ ５ ０ ， √ ， ） ｅ＝√ ５，
堡 ．１Ｂ ： ， ． ２ ．Ａ ｌ
ｆ１）
若 面 ＝２ 由 定 理 １得 Ａ Ｆ
在 定 理 ２中 ， 于 分 子 为 定 值 ， 此 当 焦 点 Ｆ 内 由 因
分弦 Ａ Ｂ且 ＣＳａ ＝０， ａ ＝ ９ 。 ， 母 最 大 ， 以 Ｏ 即 ０ 时 分 所
Ｉ Ｂ Ｉ 值 最 小 ； 焦 点 ，外 分 弦 Ａ Ａ 的 当 Ｂ且 Ｃ Ｓａ ＝ １ Ｏ 即 ａ ＝０ 时 ， 母 最 大 ， 以 Ｉ ＢＩ的 值 最 小 ， 是 有 如 。 分 所 Ａ 于
当 ，为 椭 圆 的 左 焦 点 、 曲 线 的 右 焦 点 及 抛 物 线 的 双 焦 点 时 ， ａ是 弦 Ａ 角 Ｂ对 极 轴 正 方 向 的 倾 角 ； ，为 椭 当 圆 的 右 焦 点 、 曲 线 的 左 焦 点 时 ， ａ 是 弦 Ａ 对 极 双 角 Ｂ 轴反方 向的倾 角． （ ）当 焦 点 ，内 分 弦 Ａ ２ Ｂ时 ， ＞０ 此 时 弦 Ａ Ａ ． Ｂ在 圆锥 曲线 的 内部 （ 焦点 的 区域 ） 当点 ，外分 弦 Ａ 含 ； Ｂ 时 ， ＜ ０ 此 时 弦 Ａ 在 圆 锥 曲 线 的 外 部 （ 有 双 曲 Ａ ， Ｂ 只 线 才有 这 种情 形 ） ． 定 理 ２ 过 圆 锥 曲 线 焦 点 的 直 线 Ｚ 于 过 焦 点 对
专题16 圆锥曲线焦点弦 微点3 圆锥曲线焦点弦长公式及其应用
16．过双曲线 的右焦点 作倾斜角为 的直线，交双曲线于 两点，则 的值为________.
17．过抛物线 的焦点 作倾角为 的直线，与抛物线分别交于 、 两点（ 在 轴左侧），则 _______________________．
注意：夹角不是直线的倾斜角，而是直线与焦点所在轴的夹角，这样就不需要区的右焦点F作倾斜角为 的直线，交双曲线于 两点，求弦长 ．
三、圆锥曲线坐标式焦点弦长公式
1．椭圆的坐标式焦点弦长公式
例9
9．已知椭圆 ，若过左焦点的直线交椭圆于 两点，求 ．
【结论6】椭圆的坐标式焦点弦长公式：
我们有如下结论：
【结论6】双曲线的坐标式焦点弦长公式：
（1）双曲线 的焦点弦长公式：
同支弦 ；异支弦 ，统一为： ；
（2）双曲线 的焦点弦长公式：
同支弦 ；异支弦 ，统一为： ．
3．抛物线的坐标式焦点弦长公式
由抛物线的定义易得
【结论7】抛物线的坐标式焦点弦长公式：
（1）抛物线 的焦点弦长公式： ；
（2）抛物线 的焦点弦长公式： ；
说明：特殊情形，当倾斜角为 时，即为椭圆的通径，通径长 ．
2．双曲线的倾斜角式焦点弦长公式
例2
2．设双曲线 ，其中两焦点坐标为 ，过 的直线 的倾斜角为 ，交双曲线于 ， 两点，求弦长 ．
可得如下结论2：
【结论2】双曲线的倾斜角式焦点弦长公式：
（1） 为双曲线 的左、右焦点，过 倾斜角为 的直线 与双曲线 交于 两点，则 ．
专题16 圆锥曲线焦点弦 微点3 圆锥曲线焦点弦长公式及其应用
专题16圆锥曲线焦点弦
圆锥曲线焦点弦的公式及应用
圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦。
圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识。
焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。
本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用，与大家交流。
定理1已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。
（1）当焦点内分弦时，有；（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有。
证明设直线是焦点所对应的准线，点在直线上的射影分别为，点在直线上的射影为。
由圆锥曲线的统一定义得，，又，所以。
（1）当焦点内分弦时。
如图1，，所以。
图1（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。
如图2，，所以。
图2评注特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。
例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点。
若，则的离心率为（）解这里，所以，又，代入公式得，所以，故选。
例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆的离心率为。
过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则（）解这里，，设直线的倾斜角为，代入公式得，所以，所以，故选。
例3 （08高考江西卷理科第15题）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线交于两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿图3解如图3，由题意知直线与抛物线的地称轴的夹角，当点在轴左侧时，设，又，代入公式得，解得，所以。
例4（2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿解设直线与焦点所在的轴的夹角为，则，又，代入公式得，所以。
例5（自编题）已知双曲线的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交的两支于两点。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
有Ｉ １ — ｎ － 十 — ｍ Ｉ １ ： 。 ｌ 。 １ ， 其 中 为 离 心 率 ．
分析 ： 由于椭 圆是轴对称 图形 ， 故只需证 明其过 右焦 点 的情况． 我们 先证 明倾斜 角 为锐 角的情况．
已知椭 圆 ＋ ： １ （ 。 ＞ ６ ＞ ０ ） 的右焦 点 为Ｆ ， 过腿 倾
过Ｂ 作Ｂ Ｂ 。 垂 直准线于日 。 ， 过Ｂ 作Ｂ Ａ ＿ Ｌ Ａ Ａ １ 于Ａ
由圆锥 曲线统一性定义知
ＢＦ ＝ ＢＢ１ ＝ｎ， ＡＦ＝ ＡＡ １ ＝ ｍ，
Ａ Ｉ Ｏ 榀
图２
＝ ｅ ．—
—
：ｅ ．
—
＼
．
ＢＢＪ
ｌ
夕 ｎ Ａ Ａ
， Ａｌ
ｆ ［ Ｊ Ｂ Ｂｌ ： — ｎ —， ＡＡ１ ： — ｉ ｎ —
ｅ ｅ
，
￣ ［ Ｉ ＢＢ １ ： — ｍ —， ＡＡ１ ： — ｎ —
ｅ ｅ
，
ｎ Ａ２ ：— ｍ－
—
．
彭 Ａ ２ ＝ — ｎ － — ｍ．
Ｉ ｌ
则 有 Ｉ １ — ｒ ｎ ｔ － 十 — ｍ Ｉ １ ： ｃ ｏ ｓ ｌ ， 其 中 为 离 心 率 ．
分析 ： 由于双曲线是轴对称 图形 ， 故 只需证 明其过右 焦点 的情 况． 我们先证 明倾斜角ｏ ／ 为锐角的情况．
已知 双 曲线 一 ： １ （ ｎ ＞ ０ ， ６ ＞ ０ ） 的右焦 点 为Ｆ ， 过Ｆ
Ｉ Ｉ
证： Ｉ — ｎ － — ｍ Ｉ ： ｌ 。 Ｉ ， 其中 为 离 心 率 ．
Ｉ ｎ＋， 孔 Ｉ
证明： 如 图２ ， 作Ａ Ａ 垂直右准线于Ａ ，
证明 ： 如图１ ， 作Ａ Ａ。 垂 直右 准线 于Ａ ， 过Ｂ 作Ｂ Ｂ 垂直右准线 于Ｂ ， 过 作Ｂ Ａ ＿ Ｉ ＿ Ａ Ａ 于Ａ 》
图１
易知 ， 在 三角形Ａ Ｂ 中， Ｚ ＿ Ａ ￣ Ａ Ｂ ＝ ， Ｚ ． Ａ Ａ ｚ Ｂ ＝ ，
易 知， 在△ Ａ Ｂ 中 ， ／ ＿ Ａ ｅ ｔ Ｂ ＝ ， ／ ＿ Ａ Ａ ｚ Ｂ ＝ 要，
故伽ｓ ／ ＿ ． Ａｒ ４ Ｂ ＝ ￣ｃ ｏ ｓ ／Ａ ２ Ａ Ｂ ＝ ＝ ，
囊 曩 置 Ｉ — 一 十・ ７ 毒 幺 ・ ？ 高 中 版
２ ０ １ ３ 年 ６ 月
解 法 探 究
学 谋
则 有ｌ — ｒ ｔ － — ｍ Ｉ ： Ｃ Ｏ Ｓ Ｉ ．
１ ｎ 十 玎 ｝ １
ｘ ／ ３ －
． —
，
过右焦 点咀 斜率 为 （ 南 ＞ Ｏ ） 的直线 与椭 圆ｃ 交于
即ｅ ｃ ｏ ｓ ／ ＿ Ａ： ＡＢ＝ — ｍ－ — ｒ ｔ， 即ｅ ｃ ０ ｓ ／Ａ： ＡＢ ＝ — ｎ － — ｍ
，
＝
，
ｎ＋ｍ
即ｅ ｃ ０ ｓ ： — ｍ － — ｎ，
ｎ＋ｍ
即ｅ ｃ ０ ｓ ＝ — ｒ ｔ － — ｍ，
ｎ＋ ｍ
故 ｌ １ — ｎ － ＋ — ｍ ， ｎ ｌ Ｉ ： Ｉ ｃ ｏ ｓ １ ．
Ｄ‘
且倾斜 角为ｏ ｌ 的直线与 双 曲线 交于Ａ， 两点 ，设ＡＦ ＝ ｍ， 咫： ｎ ， 求证 ： ｅ ｃ ｏ ｓ ： — ｍ － — ｒ ｔ ， 其 中ｅ 为离心率．
ｎ＋，
斜 角为 的直线与椭 圆交 于Ａ， 两点 ，ｉ ￣ ． Ｌ ４ Ｆ ＝ ｍ， Ｆ Ｂ ＝ ｎ ， 求
由圆锥 曲线统一性定义知
过曰 作Ｂ Ｂ 垂直右准线于Ｂ 。 ，
过Ｂ 作Ｂ Ａ ２ ￣ Ａ Ａ １ 于Ａ 由圆锥 曲线统一性定义知
ＢＦ
～
Ｊ
Ａ ２ Ａ
ＡＦ
＝ｅ ．
：Ｐ ．一
ＢＢ１
— —
ＡＡ １
、 Ａ ｛ 。
日ｆ ．
ｌ Ｂ 。 ＼
教 参
解 法 探究
２ ０ １ ３年 ６月
圆锥 曲线焦点弦 的一个优 美恒等 式及应 用
⑩ 山东 省 莱 芜 市 凤 城 高 级 中学 来 振 华
为 （ ≠０ ） 的焦点弦分为长分别 是ｍ， ｎ 的上下两个部 分 ，
ｌ ｌ
弓 ｌ 理 １ 焦点在礴由 上 的椭 圆的焦点将一 个倾 斜角为 （ ≠０ ） 的焦点 弦分为长分别是ｍ， 的上下两个部分 ， 则
分析 ： 我们先证 明倾斜 角 为锐角 的情况．
已知抛 物线 ： ｚ Ｐ （ ｐ ＞ ０ ） 的焦 点为Ｆ ， 过殂 倾斜 角为
Ａ， Ｂ Ｎ点 ， 若 ３ 商， 则 ：
—
—
．
解析 ： 设直线的倾 斜角为 ，
的直线 与抛 物线交 ， 两点 ，￣ Ｓ ， Ｌ ４ Ｆ ＝ ｍ， Ｆ Ｂ ＝ ｎ ，求证 ：
Ｊ Ｉ — ｎ ， 十 － — ｍ ， ｌ ： ｅ ｌ ｃ ｏ Ｊ ．
证明 ： 如 图３ ， 渤 作４ 垂直准线于Ａ ，
由 定 理 知 Ｉ
故 ： ｔ ａ ： ： 、 ／ ．
孚ｃ ｏ ｓ ．
＇ ｓ ｉ ｎ ＝ ．
又因 为Ｊ Ｉ ＝ ３ Ｉ 商『 ， 故 ｃ 。 ｓ
故１ — ｎ － — ｍ Ｉ ： Ｉ Ｃ Ｏ Ｓ １ ．
Ｉ ｒ ｔ ＋ｍ Ｉ
故对 于倾 斜角ｏ ｔ 为锐角 的情况 得证 ． 同理我 们也可 以 证 明倾 斜角ｏ ｔ 为钝角 的情况 ，这里就不再详 细的证 明． 显 然， 倾斜角ｏ ／ 为直角也成立． 引理２ 焦点在 轴上 的双 曲线 的焦 点将 一个倾斜角
故对于倾斜 角 为锐角的情况得证． 同理我们也 可以 证 明倾斜 角Ｏ ／ 为钝角的情况 ，这里就不再详 细 的证 明． 显 然， 倾斜角Ｏ ｔ 为直角也成立． 引理３ 焦点在 轴上的抛物线 的焦点将一个 倾斜角 为 （ ≠０ ） 的焦点弦分为 长分别 是ｍ， ｎ 的上下两个 部分 ，