《曲线的方程和性质》专题

《曲线的方程和性质》专题江苏省泗阳中学 秦葆苓解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究几何图形的性质，即通过引进直角坐标系，建立点与坐标、曲线与方程之间的对应关系，将几何问题转化为代数问题，从而用代数方法对几何问题加以研究。

解析几何充分体现了数形结合的数学思想。

一、解读考试说明⒈直线和圆的方程 （1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式．掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程． （2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． （3）了解二元一次不等式表示平面区域． （4）了解线性规划的意义，并会简单的应用． （5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法．（6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程．⒉圆锥曲线方程（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程．（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质． （3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质． （4）了解圆锥曲线的初步应用．二、近3年高考试题回顾及2006试题展望1．2005年全国高考数学试题： 1、（江苏）抛物线24x y 上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ B ）A ．1617 B ．1615 C ．87D ．2、（江苏）点)1,3(-P 在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左准线上，过点P 且方向为)5,2(-=a 的光线经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ A ）A ．33 B ．31 C ．22D ．213、（江苏）如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，421=O O ，过动点P 分别作圆1O 、圆2O 的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得PN PM 2=。

试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程。

4、（福建）非负实数x 、y 满足y x y x y x 3,03042+⎩⎨⎧≤-+≤-+则的最大值为 9 . 5、（福建）已知方向向量为)3,1(=v 的直线l 过点（32,0-）和椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的焦点，且椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在过点E （－2，0）的直线m 交椭圆C 于点M 、N ，满足634=⋅ON OM cot ∠MON ≠0（O 为原点）.若存在，求直线m 的方程；若不存在，请说明理由.6、（湖北）某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元. 在满足需要的条件下，最少要花费 500 元.7、（湖北）双曲线)0(122≠=-mn ny m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为 （A ）A ．163B ．83C ．316 D ．388、（湖北） 设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点. （Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由.9、（湖南）已知点P （x ，y ）在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-022,01,02y x y x 表示的平面区域内，则z ＝x －y 的取值范围是 （ C ）A 、[－2，－1]B 、[－2，1]C 、[－1，2]D 、[1，2]10、（湖南）已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A 、B 两点，且|AB|＝3，则⋅ ＝ 21-11、（湖南）已知双曲线22a x －22by ＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△OAF 的面积为22a （O 为原点），则两渐近线的夹角为 （D ） A 、30ºB 、45ºC 、60ºD 、90º12、（湖南）设直线0132=++y x 和圆03222=--+x y x 相交于点A 、B ，则弦AB 的垂直平分线方程是 0323=--y x .13、（湖南）已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为e 。

直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设＝λ。

（Ⅰ）证明：λ＝1－e 2（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形。

即当32=λ时，△PF 1F 2为等腰三角形14、（湖南）．已知双曲线22a x －22b y ＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△OAF 的面积为22a （O 为原点），则两条渐近线的夹角为 A ．30º B ．45º C ．60º D ．90º （ D ）15、（湖南）已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点为F 1、F 2，离心率为e. 直线l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设＝λ. （Ⅰ）证明：λ＝1－e 2；（Ⅱ）若43=λ，△PF 1F 2的周长为6；写出椭圆C 的方程；（Ⅲ）确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形.16、（上海）若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是()0,10，则双曲线的方程是____1922=-y x ______。

17、（上海）直角坐标平面xoy 中，若定点)2,1(A 与动点),(y x P 满足4=∙，则点P 的轨迹方程是___ x+2y-4=0_______。

18、（上海）将参数方程⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 21y x （θ为参数）化为普通方程，所得方程是__ (x-1)2+y 2=419、（上海）过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ B ）A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在20、（上海）点A 、B 分别是椭圆1203622=+y x 长轴的左、右端点，点F 右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥。

（1）求点P 的坐标；（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于||MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值。

21、（重庆）圆5)2(22=++y x 关于原点（0，0）对称的圆的方程为（ A ） A ．5)2(22=+-y xB ．5)2(22=-+y xC ．5)2()2(22=+++y xD ．5)2(22=++y x22、（重庆）若动点（y x ,）在曲线)0(14222>=+b by x 上变化，则y x 22+的最大值为（ A ）A ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)4(2),40(442b b b bB ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)2(2),20(442b b b bC ．442+b D ．2b23、（重庆）连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是 ② ③ ⑤ （填写所有正确选项的序号）. ①菱形 ②有3条边相等的四边形 ③梯形 ④平行四边形 ⑤有一组对角相等的四边形24、（重庆）已知椭圆C 1的方程为1422=+y x ，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点. （Ⅰ）求双曲线C 2的方程；（Ⅱ）若直线2:+=kx y l 与椭圆C 1及双曲线C 2都恒有两个不同的交点，且l 与C 2的两个交点A 和B 满足6<⋅OB OA （其中O 为原点），求k 的取值范围.25、（河南省）已知直线l 过点），（02-，当直线l 与圆x y x 222=+有两个交点时，其斜率k 的取值范围是 (B)（A ）），（2222- （B ）），（22- （C ）），（4242-（D ）），（8181-26、（河南）已知双曲线)0( 1222>=-a y ax 的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为(A)（A ）23 （B ）23 （C ）26 （D ）332 27、（河南）已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与(3,1)a =-共线。

（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且 (,)OM OA OB R λμλμ=+∈，证明22μλ+为定值。

28、（广东）若焦点在x 轴上的椭圆1222=+my x 的离心率为21，则m=（ B ）A ．3B ．23 C ．38 D ．3229、（广东）在平面直角坐标系x Oy 中，抛物线y=x 2上异于坐标原点O 的两不同动点A 、B 满足AO ⊥BO （如图4所示）. （Ⅰ）求△AOB 的重心G （即三角形三条中线的交点）的轨迹方程； （Ⅱ）△AOB 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由. 30、（四川）已知过点()2A m -，和()4B m ，的直线与直线210x y +-=平行，则的值为 ( B )A 0B 8-C 2D 10 31、（四川）设l 为平面上过点()01，的直线，l 的0-ξ表示坐标原点到l 的距离，则随机变量ξ的数学期望E ξ=47。

32、（四川）已知双曲线2212y x -=的焦点为12F F 、，点M 在双曲线上且120MF MF ⋅=，则点M 到x 轴的距离为（ C ）A43 B 53 C D 33、（四川）设椭圆的两个焦点分别为12F F 、，过1F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若12F PF ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ D ）AB C 2 D 134、（四川）设()11A x y ，，()22B x y ，两点在抛物线22y x =上，l 是AB 的垂直平分线。

（Ⅰ）当且仅当12x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论； （Ⅱ）当直线l 的斜率为2时，求l 在y 轴上截距的取值范围。

35、（辽宁）若直线02=+-c y x 按向量)1,1(-=a 平移后与圆522=+y x 相切，则c 的值为（ A ）A ．8或－2B ．6或－4C ．4或－6D ．2或－8 36、（辽宁）已知双曲线的中心在原点，离心率为3.若它的一条准线与抛物线x y 42=的准线重合， 则该双曲线与抛物线x y 42=的交点到原点的距离是 （ B ） A ．23+6 B ．21 C ．21218+ D ．2137、（辽宁）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF（Ⅰ）设x 为点P 的横坐标，证明x ca P F +=||1；（Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；（Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S=.2b若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由. 2．2005年高考试题分析3、2005年高考试题的特点：今年数学试卷解析几何比较平易，题型仍稳定在1~2个选择题，1个填空题，1个解答题上，分值一般在22—28分左右。